Неполное и полное квадратное уравнение: Основные понятия квадратных уравнений — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

  • ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax² + c = 0, при b = 0;
  • ax² + bx = 0, при c = 0.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.


Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

 
  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.

  2. По шагам решение выглядит так:

    −5x² = 0

    x² = 0

    x = √0

    x = 0

    Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax² = — c,
  • разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а < 0;
  • имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

 
  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    9x² = — 4


  2. Разделим обе части на 9:

    x² = — 4/9


  3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

 
  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    -x² = -9


  2. Разделим обе части на -1:

    x² = 9


  3. Найти корни:

    x = √9

    x = -3

    x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

 
  1. Вынести х за скобки

    х(2x — 32) = 0


  2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.

  3. Решить линейное уравнение:

    2x = 32,

    х = 32/2


  4. Разделить:

    х = 16


  5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:


Ответ: х = 0 и х = 4.

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.

Виды квадратного уравнения

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Корни квадратного уравнения

Если D=0, уравнение имеет один корень

корень уравнения

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Нахождения корней по дискриминанту

Ответ: x1=3; x2=-2

Пример №2:
x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:
7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:
x2

-8x=0
5x2+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

ax2+bx=0
x(ax+b)=0
x1=0 x2=-b/a

Пример №1:
3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0

3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

Пример №2:
x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0

x-1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax

2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

корень квадратного уравнения

Пример №1:
x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

Пример №2:
3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4

4>0 следовательно, есть решение,
x1=√4
x1=2

x2=-√4
x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения. Примеры и решение

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,   если   c = 0;
ax2 + c = 0,   если   b = 0;
ax2 = 0,   если   b = 0   и   c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + bx = 0,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся  x  за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0.

Чтобы  ax + b  было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение  ax2 + bx = 0  имеет два корня:

x1 = 0   и   x2 = —b .
a

Неполные квадратные уравнения вида  ax2 + bx = 0,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a2 — 12a = 0.

Решение:

a2 — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a1 = 0      a — 12 = 0
a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x2 = x.

Решение:

7x2 = x
7x2x = 0
x(7x — 1) = 0
x1 = 0      7x — 1 = 0 
7x = 1 

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + c = 0,  надо перенести свободный член уравнения  c  в правую часть:

ax2 = —c,   следовательно,   x2 = —c .
a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид  x2 — c = 0,  то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x2 = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x1 = +√c ,     x2 = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида  ax2 + c = 0,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y2.

Решение:

24 = 2y2
24 — 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12      y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b2 — 16 = 0.

Решение:

b2 — 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4      b2 = -4

Уравнение вида  ax2 = 0  всегда имеет только один корень:  x = 0.  Так как  a ≠ 0,  то из  ax2 = 0  следует, что  x2 = 0,  значит, и  x = 0.  Любое другое значение  x  не будет являться корнем данного уравнения.

Виды неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x2, а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0. Например:

–3x2 = 0
x2 = 0/–3
x2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax2 + c = 0 преобразуются к виду ax2 = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax2 + c = 0
ax2 = –c
x2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x2 – 16 = 0
4x2 = 16
x2 = 16 / 4
x2 = 4
x = √4
x1 = 2; x2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax2 + bx = 0 имеют два корня: x1 = 0, x2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x1 = 0; x2 = 10/3 = 3,(33)

Неполное и полное квадратное уравнение: значение, формула, решение, примеры | BingoSchool

Математические равенства с одной, несколькими неопределенными величинами называют уравнением. Решить задачу – означает определить числовые значения так, чтобы получить достоверное равенство после подстановки в исходный конструктив. Выражения с
неизвестными имеют определенную степень. Она устанавливается наивысшей степенью,
присущей переменной.

Выражение считается квадратным, если степень искомого элемента – вторая. Возможно наличие одного или нескольких искомых корней.

Решение сложной системы с Х во второй степени предполагает предварительный расчет дискриминанта. Используется установленная формула D = b² − 4ac.

Дискриминант, равный 0, – присутствует один Х. D меньше 0 – отсутствуют корни. D больше 0 – в формуле две основных переменных.

Главный признак любого примера с неизвестной величиной рассматриваемой группы – наличие. Допускается присутствие простого искомого определителя параметра Х, свободных членов.

Максимальная степень больше 2 – структура не относится к данной категории. Общий вид стандартного выражения:

ах² + bx + c = 0

Переменные Х – свободные. Числовыми определителями являются a, b и c, «а» не может иметь значение нуль.

Что такое неполное квадратное уравнение, как его решать, примеры

Неполная конструкция – квадратное уравнение без «с», имеет стандартный вид ах ² + bx + c = 0 .

Минимум один числовой элемент приравнивается к 0. Это может быть с, b или оба числа. Отсюда следует, что структура имеет вид:

  • При «c» нулевом: ах ² + bx + c = 0
  • При «b» нулевом: ах ² + c = 0
  • Оба коэффициента равны нулю: ах ² = 0

Как решить пример с неизвестными неполного типа

Для решения системы ах ² + bx = 0 левая часть структуры представляется в виде множителей. Скобка разделяет между собой х. Получается: х*(ах + b) = 0 . Получить ноль при умножении можно только при условии наличия одного нулевого множителя. Следовательно, х = 0 , ах + b = 0.

Для достоверности комбинации ах + b = 0 необходимо выполнение условия: X = — b : a. Тогда в ах ² + bx = 0 присутствуют 2 корня. Первый Х1 = 0, второй X2 = -b : 2a.

Правило: неполный функционал , равный 0. Показатель – ненулевая часть, предусматривается разложение левого элемента на множители. Всегда присутствует несколько основ, одна = 0.

Решение системы стандартного типа:
х ² — 15x = 0
x(x — 15) = 0
x1 = 0,
x — 15 = 0
x2 = 15

Полное квадратное уравнение: решение, примеры

Полный вариант конструкции предполагает наличие коэффициентов, все показатели положительные, больше нуля. Такие квадратные уравнения ОГЭ выглядят следующим образом: ² + bx + c = 0 , «а» не может быть равным нулю.2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)

{{2}} — {7} {x} = {0} $$$.

Перепишем уравнение в следующем виде: $$$ {3} {x} \ cdot {x} — {7} {x} = {0} $$$.

Теперь перепишем уравнение, используя распределительное свойство умножения: $$$ {x} {\ left ({3} {x} — {7} \ right)} = {0} $$$.

Когда произведение чисел равно 0?

Когда хотя бы один множитель равен 0.

Итак, либо $$$ {x} = {0} $$$, либо $$$ {3} {x} — {7} = {0} $$$.

Второе уравнение является линейным, его корень равен $$$ {x} = \ frac {{7}} {{3}} $$$.

Ответ : $$$ {x} = {0} $$$ и $$$ {x} = \ frac {{7}} {{3}} $$$.{{2}} — {9} = {0} $$$.

Ответ : $$$ {0} $$$ и $$$ — \ frac {{9}} {{4}} $$$.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Введение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — константы, а a 0.

Слово «квадратичный» происходит от латинского. В латинском языке «квадратичный» используется вместо «квадрат» . Поскольку наибольшая степень неизвестной переменной, которая появляется в уравнении, равна квадрату, поэтому подобные уравнения стали известны как квадратные уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, где

◾ a, b и c — постоянные, а

a не равно 0 (нулю).

Вот несколько примеров стандартной формы квадратного уравнения:

Уравнение Коэффициент
x 2 + 2x + 1 = 0 , где a = 1, b = 2 и c = 1
x 2 + 5x + 11 = 0 , где a = 1, b = 5 и c = 11

Полное квадратное уравнение

◾ Когда b не равно нулю

Некоторые примеры полной формы квадратного уравнения
◾ x 2 + 2x + 1 = 0, где a = 1, b = 2 и c = 1
◾ x 2 + 5x + 11 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 11

Чистое или неполное квадратное уравнение

◾ Когда b равно нулю, уравнение известно как чистое или неполное квадратное уравнение относительно x.

Некоторые примеры чистой или неполной формы квадратного уравнения
◾ 6x 2 -24 = 0, где b = 0
◾ 6x 2 -11 = 0, где b = 0

Корни квадратного уравнения

Корни или решение квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 — это значения переменной ‘x’, которые удовлетворяют квадратному уравнению i.е. сделать топор 2 + bx + c равным нулю.

Например:

x 2 + 5x — 50 = 0

x 2 — 5x + 10x -50 = 0

х (х — 5) + 10 (х — 5) = 0

(х — 5) (х + 10) = 0

x = 5 и x = -10

Как видите, если поставить 5 или -10 вместо x, квадратное уравнение x 2 + 5x — 10 будет равно нулю. Следовательно, 5 и -10 являются корнями квадратного уравнения x 2 + 5x — 50 = 0.

Решение квадратного уравнения

Есть три метода решения квадратного уравнения:

◾ Факторизация

◾ Заполнив квадрат

◾ Используя формулу корней квадратного уравнения

Решение по факторизации

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения методом факторизации:

Шаг 1: Преобразуйте уравнение в стандартную форму: ax 2 + bx + c = 0.Если правая часть не равна нулю, перенесите ее в левую и сделайте правую часть равной нулю.

Шаг 2: Полностью разложите левую часть на множители.

Шаг 3: Используйте закон нулевого фактора: если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения, приравняв каждый линейный коэффициент к нулю. Эти значения x будут решением квадратного уравнения.

Пример: Решить 3x 2 + 5x — 5 = -3

Шаг 1: Преобразование в стандартную форму

3x 2 + 5x -5 + 3 = 0

3x 2 + 5x — 2 = 0

Шаг 2: Разложите левую часть на множители

3x 2 + 6x — x — 2 = 0

3x (x + 2) -1 (x + 2) = 0

(3x — 1) (x + 2) = 0

Шаг 3: Приравняйте каждый линейный коэффициент к нулю.

3x — 1 = 0 или x + 2 = 0

3x = 1 или x = -2

x = 1/3, x = — 2 являются корнями уравнения.

Ловушка:

У вас может возникнуть соблазн разделить обе части выражением, содержащим x. Если вы сделаете это, вы получите только одно решение уравнения (одно значение или один корень от x) и можете потерять другое решение (значение x).

Например: рассмотрим x 2 = 7x

Правильное решение:

x 2 = 7x

x 2 -7x = 0

х (х-7) = 0

x = 0 и X = 7

Неправильное решение:

x 2 = 7x

Разделив обе стороны на x, получим

Х = 7

выше — неправильный способ решения уравнения, поскольку мы не смогли найти другое значение x, равное нулю.

Решение Завершив квадрат

Как вы уже знаете, все квадраты не могут быть легко разложены на множители. Например, x 2 + 4x + 1 нельзя разложить на множители простым разложением на множители. Это означает, что мы не можем записать x 2 + 4x + 1 в форме (x — a) (x — b), где a, b — рациональные числа.

Существует альтернативный способ решения уравнений, например x 2 + 4x + 1 = 0, то есть путем завершения квадрата .

Уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 можно преобразовать в форму (x + p) 2 = q. Так легко найти решения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения путем заполнения квадрата:

Шаг I: Составьте квадратное уравнение в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0.

Шаг II: теперь разделите обе части уравнения на коэффициент x 2 , если он еще не равен 1.

Шаг III: Сдвиньте постоянный член вправо.

Шаг IV: Добавьте квадрат половины коэффициента x к L.H.S. и R.H.S.

Шаг V: Запишите L.H.S в виде полного квадрата и упростите R.H.S.

Шаг VI: Найдите x, извлекая квадратный корень из L.H.S. и R.H.S.

Решим квадратное уравнение -3x 2 + 12x + 5 = 0 по «завершая квадрат»

-3x 2 + 12x + 5 = 0

x 2 — 4x — (5/3) = 0

x 2 — 4x = (5/3)

x 2 — 4x + 2 2 = (5/3) + 2 2

(х — 2) 2 = (17/3)

x — 2 = & pm; & Sqrt; (17/3)

x = 2 & pm; & Sqrt; (17/3)

x 1 = 2 + & Sqrt; (17/3)

x 2 = 2 — & Sqrt; (17/3)

Итак, Здесь x 1 и x 2 — корни уравнения.

Используя формулу корней квадратного уравнения

Квадратичная формула, которая также может использоваться для решения любого квадратного уравнения, получается в результате решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 для x путем заполнения квадрата.

Есть определенные случаи, когда решение квадратного уравнения факторизацией или завершение квадрата занимает много времени, долго или сложно. В таких случаях мы используем квадратную формулу для решения квадратного уравнения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

Шаг I: Составьте квадратное уравнение в стандартной форме ax 2 + b x + c = 0.

Шаг II: Сравните решаемое квадратное уравнение со стандартным квадратным уравнением и найдите значения коэффициентов a, b, c.

Шаг III: Поместите эти значения a, b, c в формулу квадратного уравнения.

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a

Как вы можете заметить в формуле. Квадратичная формула вычисляет два значения x: x 1 и x 2 , где

x 1 = −b + & Sqrt; b2 — 4ac
2a

x 2 = −b — & Sqrt; b2 — 4ac
2a

Эти два значения x, для которых выполняется ax 2 + bx + c = 0, называются решениями квадратного уравнения, также называемыми корнями квадратного уравнения.

Шаг I: — Преобразуйте квадратное уравнение, которое вы хотите решить, в стандартную форму квадратного уравнения, ax 2 + bx + c = 0

Например, если у вас есть квадратное уравнение в форме x 2 — 10x = -24, преобразуйте его в стандартную форму квадратного уравнения.

x 2 -10x = -24 преобразуется в x 2 — 10x + 24 = 0

Шаг II: — Найдите значение коэффициентов a, b и c, сравнив его со стандартной формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

Например, сравнивая x 2 — 10x + 24 = 0 с ax 2 + bx + c = 0, получаем

a = 1,
b = -10,
c = 24

Шаг III:

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a
x 1 = −b + & Sqrt; b2 — 4ac
2a
= — (- 10) + & Sqrt; (-10) 2-4 (1) (24) = 6
2 (1)
x 2 = −b — & Sqrt; b2 — 4ac
2a
= — (- 10) — & Sqrt; (-10) 2-4 (1) (24) = 4
2 (1)

Дискриминант

Мы узнали, что квадратная формула

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a

В приведенной выше квадратной формуле величина «b 2 — 4ac» , которая находится под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант = b 2 — 4ac

Выражение «b 2 — 4ac» говорит о природе корней квадратного уравнения. Корни могут быть реальными, равными или мнимыми.

Возможны три случая:

◾ Если b 2 — 4ac мнимый и неравный.

◾ Если b 2 — 4ac = 0, то корни будут действительными, равными и рациональными .(Это означает, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат).

◾ Если b 2 — 4ac> 0, то корни действительные и неравные.

Если b 2 — 4ac> 0, то корни действительные и неравные, и есть две возможности — здесь корни могут быть рациональными или иррациональными

◾ b 2 — 4ac — это полный квадрат, корни действительные, рациональные и неравные . (Это означает, что уравнение может быть решено путем факторизации).

◾ b 2 — 4ac не является совершенным, тогда корни действительны, иррациональны и неравны.

Сводка

Дискриминантное значение Случаи Корни квадратичной Факторизация квадратичной
Дискриминантное значение> 0 два настоящих отдельных корня два различных линейных фактора
Дискриминантное значение = 0 два одинаковых настоящих корня два одинаковых линейных фактора
Дискриминантное значение Настоящих корней нет Невозможно разложить на множители

Случай I — когда дискриминант> 0

Для квадратного уравнения x 2 + 7x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

x 2 + 7x + 4 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 7, c = 4

Дискриминант = 7 2 — 4 x 1 x 4 = 49 — 16 = 33

Дискриминант> 0, следовательно, есть два настоящих корня

Случай II — Когда Дискриминант = 0

Для квадратного уравнения x 2 + 6x + 9 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

x 2 + 6x + 9 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 6, c = 9

Дискриминант = 6 2 — 4 x 1 x 9 = 36 — 36 = 0

Дискриминант = 0, следовательно, есть два одинаковых реальных корня

Случай III — когда дискриминант

Для квадратного уравнения x 2 + 4x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

х 2 + 4х + 5 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 4, c = 5

Дискриминант = 4 2 — 4 x 1 x 5 = 16-20 = -4

Дискриминант

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры.Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите квадратное уравнение.
  2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
  3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения .

Эта теорема доказана в большинстве учебных пособий по алгебре.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, поскольку оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — это факторизация. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух множителей равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложите на множители.

Вспомните, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении.Если x = 6, то x 2 — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x 2 — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть указаны либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения.
также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите неполное квадратное уравнение.
  2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если уравнение представлено в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполное квадратичное уравнение .

Пример 1

5x 2 — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела.
Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решите относительно x, если x 2 — 12 = 0.

Решение Поскольку x 2 -12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, мы имеем


Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите трехчлен полного квадрата.
  2. Завершите третий член, чтобы получился полный квадрат трехчлена.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на само себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

  1. Два из трех членов являются точными квадратами. 4x 2 и 9 в первом примере, 25x 2 и 16 во втором примере, а также 2 и b 2 в общем виде.
    Другими словами, первый и третий члены представляют собой полные квадраты.
  2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x 2 + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x 2 и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x 2 , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x 2 + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x 2 + 6x — 7 = 0, завершив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделает выражение идеальным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое место для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-то с одной стороны, не добавляя то же самое с другой стороны.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 2 = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавляется в левую часть уравнения, это также должно быть добавлено в правую часть.

Теперь разложите на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x 2 + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x 2 , не является полным квадратом.
Исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавим 2 к обеим сторонам, получив


Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x 2 + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Опять же, получите коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику при сложении чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

не может быть упрощено. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число мы можем возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут в решении уравнений в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
  2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле ax 2 + bx + c = 0 представляет все квадратичные. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1.
Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
  2. Решайте текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы задач со словами можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза больше ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет двойную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем в два раза ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным значением.

Значение x равно.
Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель.
Каждый член нужно умножить в 10 раз.
Опять же, эту квадратичную величину можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн дать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и желает оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров.Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
  • Стандартная форма квадратного уравнения : ax 2 + bx + c = 0, когда a 0.
  • Неполное квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
  • Квадратичная формула равна

Процедуры

  • Самым прямым и, как правило, самым простым методом поиска решений квадратного уравнения является факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
  • Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
    Шаг 1 Если коэффициент при x 2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
    Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x 2 + bx + _____ = c + _____
    Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
    Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
    Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
    Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
  • Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
  • Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать как

топор 2 + bx + c = 0

, когда a 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: факторинг, использование формулы квадратиков и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение на множители,

  1. Поместите все члены с одной стороны от знака равенства, оставив ноль с другой стороны.

  2. Коэффициент

    .

  3. Установите каждый коэффициент равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, подставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x 2 -6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 — 6 x = 16 становится x 2 — 6 x — 16 = 0

Коэффициент

.

( x — 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого коэффициента на ноль,

Затем проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = — 6 y — 5.

Приравнивая все члены к нулю,

y 2 + 6 y + 5 = 0

Коэффициент

.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Для проверки, y 2 = –6 y — 5

Квадратичный с отсутствующим членом называется неполным квадратичным элементом (при условии, что член ax 2 не пропущен).

Пример 3

Решить x 2 — 16 = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 — 16 = 0

Пример 4

Решить x 2 + 6 x = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 + 6 x = 0

Пример 5

Решить 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины в одну сторону и комбинируя одинаковые термины.

А теперь фактор.

Для проверки, 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены факторизацией. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений включает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общем виде

топор 2 + bx + c = 0

, где a — это число перед x 2 , b — это число перед x , а c — это число без переменной рядом с ним (a .k.a., «постоянная»).

При использовании формулы корней квадратного уравнения вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком корня, b 2 -4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее:

  1. Два разных действительных корня, если дискриминант b 2 -4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 — 4 ac равен 0.

  3. Нет действительного корня, если дискриминант b 2 -4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решите относительно x : x 2 — 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

x 2 -5 x + 6 = 0

Затем замените 1 (который, как предполагается, стоит перед x 2 ), –5 и 6 вместо a , b и c, соответственно в формуле квадратного уравнения и упростите.

Поскольку дискриминант b 2 -4 ac положительный, вы получаете два разных действительных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере , квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого нерациональны.

Пример 7

Решить относительно y : y 2 = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

y 2 + 2 y — 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 на a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить относительно x : x 2 + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 -4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может использоваться для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Решите относительно x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 -4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы такими.

Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Запишите уравнение в виде ax 2 + bx = — c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a ≠ 1, умножьте уравнение на, прежде чем продолжить).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, сложите обе части уравнения, чтобы получить полный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить относительно x : x 2 — 6 x + 5 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x — 3 = ± 2

Решить.

Пример 11

Решить относительно y : y 2 + 2 y — 4 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решите относительно x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a ≠ 1, умножаем уравнение на.

Добавьте или с обеих сторон.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Вам может быть интересно узнать, что завершение квадратного процесса для решения квадратных уравнений использовалось для уравнения ax 2 + bx + c = 0 для вывода формулы квадратичного уравнения.

Обзор различных методов решения квадратного уравнения — Концепция

Решение квадратных уравнений может быть трудным, но, к счастью, есть несколько различных методов, которые мы можем использовать в зависимости от того, какой тип квадратичного уравнения мы пытаемся решить. Четыре метода решения квадратного уравнения — это факторизация с использованием квадратных корней, завершение квадрата и квадратичной формулы.

Итак, сейчас я хочу поговорить об обзоре всех различных способов решения квадратного уравнения.Под этим я подразумеваю что-нибудь в форме: ax² плюс bx плюс c. Итак, у нас есть четыре различных способа, которые нам удобны. У нас есть факторизация, свойство извлечения квадратного корня, завершение квадрата и квадратная формула. Мы можем использовать эти методы в разное время, и я просто хочу поговорить о том, когда мы можем их использовать, почему они хороши и почему плохие. Так что я просто спущусь вниз по ряду и расскажу о каждом из них. «Чек» означает «за», а «минус» — «против». Факторинг обычно является самым быстрым и простым способом решения чего-либо, когда это возможно.Часто мы имеем дело с квадратичным коэффициентом, который невозможно факторизовать, поэтому факторинг нам не поможет. Таким образом, это быстро и просто, когда его можно использовать, но не всегда можно использовать. Так быстро и просто, но не всегда применимо.
Следующее, о чем мы поговорим, — это свойство квадратного корня. Это когда у нас есть что-то квадратное. Итак, профи: это здорово, когда вы решаете что-то квадратное. Единственная проблема в том, что мы не всегда имеем дело с ситуацией. Каждый раз, когда у вас есть X-термин или что-то в этом роде, мы не сможем его использовать.Так что это не всегда квадратный термин. Когда это применимо, это здорово, но не всегда. На самом деле это не так часто.
Завершение кв. Самое замечательное в завершении квадрата — это то, что мы всегда можем это сделать. Никогда не будет времени, когда вы не сможете завершить квадрат. Но недостаток в том, что это может стать некрасивым. Если вы имеете дело с коэффициентом или нечетным средним членом или чем-то в этом роде, вы собираетесь ввести дроби. Это не всегда лучшая ситуация.
И, наконец, формула корней квадратного уравнения. Опять же, это здорово, потому что им всегда можно пользоваться. И минусы, это зависит от человека. Если вы используете квадратные корни, что не всегда нравится некоторым людям, вам всегда нужно использовать квадратные корни. Обычно это не так просто, как некоторые из этих других методов, я бы сказал, что завершение квадрата немного проще, но это то, что вы должны запомнить. Поэтому вам нужно запомнить формулу, и она может стать некрасивой.
Итак, это четыре разных способа, плюсы и минусы, а также некоторые вещи, о которых следует подумать при решении проблемы.На самом деле я не собираюсь ничего решать за вас. Я только что сделал небольшую диаграмму, чтобы вы знали, какие ресурсы у вас есть, а также плюсы и минусы каждого из них.

▷ КВАДРАТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ | Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , где a не равно нулю. В зависимости от значений, которые имеют b и c , мы будем говорить о полных или неполных уравнениях.

Полное квадратное уравнение

Полные квадратные уравнения являются конкретными, в которых b и c отличны от нуля, и решается по следующей формуле:

Пример полного квадратного уравнения:

Дискриминантное уравнение

Дискриминант уравнения используется для определения количества решений уравнения.

Неполное квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором b = 0 или c = 0 , и его можно решить очень просто, без необходимости применения каких-либо формул.

Факторинговые квадраты

Квадратичные коэффициенты — это квадратики, у которых есть факторные произведения в форме паралича, при котором появляется неизвестная переменная. Для ее решения устраняются факторы, и она решается по формуле полных уравнений.

Пример квадратичного разложения:

Помните : для решения квадратных уравнений, то есть «произведения нескольких множителей, равных нулю», мы приравниваем каждый множитель к нулю и решаем соответствующие уравнения.

Радикальные уравнения

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие корни. например:

Как решить уравнения радикалов:

  1. Мы изолируем радикал в одном элементе, передавая другой в другой:

  2. Мы возводим два элемента в квадрат:

  3. Все передаем элемент и заказываем его:

  4. Решаем полученное уравнение: ( a = –3, b = 8, c = 3 )

  5. В этом типе радикального уравнения при возведении в квадрат (2-й шаг ) могут появиться ложные решения.Следовательно, необходимо проверить решения, полученные путем их подстановки в исходное уравнение. В этом случае x = –1 / 3 не является решением, а x = 3 является. Уравнение имеет решение: x = 3

Упражнения с квадратными уравнениями

1. Рассчитайте значения неизвестных и индикаторов от наименьшего к наибольшему:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше.Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

Средний балл

Ваша оценка

2.Рассчитайте и укажите минимально возможные решения:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

Средний балл

Ваша оценка

Solver: Калькулятор квадратного уравнения


Чтобы найти корни (нули) функции второй степени, начните с преобразования этой функции в каноническую форму (максимально упрощая) и приравняв ее к нулю.2 + bx + c = 0`. В то время как в неполном `b` или` c` отсутствует или оба. Затем введите коэффициенты членов уравнения в соответствующие поля калькулятора. Таким образом, вы можете не только узнать нули, но и шаг за шагом просмотреть разрешение. Если это полное уравнение, используется общая формула полных уравнений второй степени. Если оно неполное, первым шагом в решении этого типа уравнений является построение общего множителя, поскольку в обоих членах повторяется «x».Наконец, у нас есть два фактора, результат которых равен нулю, поэтому один из двух должен быть 0.

×

ПРИМЕЧАНИЕ

Если вы хотите выполнить вычисления, в которых коэффициент является дробью, вы должны ввести число в десятичной форме. Например, вместо «1/4» вы должны ввести «0,25».


Решите (полное) квадратное уравнение

Пошаговое разрешение (полного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (независимый член отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (член первой степени отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение может иметь: 2 решения , если дискриминант (число внутри корня) больше нуля; одно решение , если дискриминант равен нулю; нет решения , если дискриминант отрицательный.