Неполное и полное квадратное уравнение: Основные понятия квадратных уравнений — урок. Алгебра, 8 класс.

Эти два значения x, для которых выполняется ax ² + bx + c = 0, называются решениями квадратного уравнения, также называемыми корнями квадратного уравнения.

Шаг I: — Преобразуйте квадратное уравнение, которое вы хотите решить, в стандартную форму квадратного уравнения, ax ² + bx + c = 0

Например, если у вас есть квадратное уравнение в форме x ² — 10x = -24, преобразуйте его в стандартную форму квадратного уравнения.

x ² -10x = -24 преобразуется в x ² — 10x + 24 = 0

Шаг II: — Найдите значение коэффициентов a, b и c, сравнив его со стандартной формой квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0

Например, сравнивая x ² — 10x + 24 = 0 с ax ² + bx + c = 0, получаем

a = 1,
b = -10,
c = 24

Шаг III:

Дискриминант

Мы узнали, что квадратная формула

В приведенной выше квадратной формуле величина «b ² — 4ac» , которая находится под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант = b ² — 4ac

Выражение «b ² — 4ac» говорит о природе корней квадратного уравнения. Корни могут быть реальными, равными или мнимыми.

Возможны три случая:

◾ Если b ² — 4ac мнимый и неравный.

◾ Если b ² — 4ac = 0, то корни будут действительными, равными и рациональными .(Это означает, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат).

◾ Если b ² — 4ac> 0, то корни действительные и неравные.

Если b ² — 4ac> 0, то корни действительные и неравные, и есть две возможности — здесь корни могут быть рациональными или иррациональными

◾ b ² — 4ac — это полный квадрат, корни действительные, рациональные и неравные . (Это означает, что уравнение может быть решено путем факторизации).

◾ b ² — 4ac не является совершенным, тогда корни действительны, иррациональны и неравны.

Сводка

Случай I — когда дискриминант> 0

Для квадратного уравнения x ² + 7x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

x ² + 7x + 4 = 0

Дискриминант = b ² — 4ac

Здесь a = 1, b = 7, c = 4

Дискриминант = 7 ² — 4 x 1 x 4 = 49 — 16 = 33

Дискриминант> 0, следовательно, есть два настоящих корня

Случай II — Когда Дискриминант = 0

Для квадратного уравнения x ² + 6x + 9 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

x ² + 6x + 9 = 0

Дискриминант = b ² — 4ac

Здесь a = 1, b = 6, c = 9

Дискриминант = 6 ² — 4 x 1 x 9 = 36 — 36 = 0

Дискриминант = 0, следовательно, есть два одинаковых реальных корня

Случай III — когда дискриминант

Для квадратного уравнения x ² + 4x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

х ² + 4х + 5 = 0

Дискриминант = b ² — 4ac

Здесь a = 1, b = 4, c = 5

Дискриминант = 4 ² — 4 x 1 x 5 = 16-20 = -4

Дискриминант

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры.Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения .

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — это факторизация. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Шаг 2 Полностью разложите на множители.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении.Если x = 6, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть указаны либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

Проверьте решения в исходном уравнении.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если уравнение представлено в стандартной форме ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполное квадратичное уравнение .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решите относительно x, если x ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² -12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Используя эту теорему, мы имеем

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите трехчлен полного квадрата.
2. Завершите третий член, чтобы получился полный квадрат трехчлена.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

1. Два из трех членов являются точными квадратами. 4x ² и 9 в первом примере, 25x ² и 16 во втором примере, а также ² и b ² в общем виде.
   

   Другими словами, первый и третий члены представляют собой полные квадраты.

2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x ² , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, завершив квадрат.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое место для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-то с одной стороны, не добавляя то же самое с другой стороны.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Теперь разложите на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x ² , не является полным квадратом.
Исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Теперь прибавим 2 к обеим сторонам, получив

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику при сложении чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле ax ² + bx + c = 0 представляет все квадратичные. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решайте текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы задач со словами можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза больше ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и желает оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров.Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения : ax ² + bx + c = 0, когда a 0.
• Неполное квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратичная формула равна
  

Процедуры

• Самым прямым и, как правило, самым простым методом поиска решений квадратного уравнения является факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент при x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx + _____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
  Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
• Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать как

топор ² + bx + c = 0

, когда a 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: факторинг, использование формулы квадратиков и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение на множители,

1. Поместите все члены с одной стороны от знака равенства, оставив ноль с другой стороны.

2. Коэффициент

   .

3. Установите каждый коэффициент равным нулю.

4. Решите каждое из этих уравнений.

5. Проверьте, подставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x ² -6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x ² — 6 x = 16 становится x ² — 6 x — 16 = 0

.

( x — 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого коэффициента на ноль,

Затем проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y ² = — 6 y — 5.

Приравнивая все члены к нулю,

y ² + 6 y + 5 = 0

.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Для проверки, y ² = –6 y — 5

Квадратичный с отсутствующим членом называется неполным квадратичным элементом (при условии, что член ax ² не пропущен).

Пример 3

Решить x ² — 16 = 0.

.

Для проверки, x ² — 16 = 0

Пример 4

Решить x ² + 6 x = 0.

.

Для проверки, x ² + 6 x = 0

Пример 5

Решить 2 x ² + 2 x — 1 = x ² + 6 x — 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины в одну сторону и комбинируя одинаковые термины.

А теперь фактор.

Для проверки, 2 x ² + 2 x — 1 = x ² + 6 x — 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены факторизацией. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений включает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общем виде

топор ² + bx + c = 0

, где a — это число перед x ² , b — это число перед x , а c — это число без переменной рядом с ним (a .k.a., «постоянная»).

При использовании формулы корней квадратного уравнения вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком корня, b ² -4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее:

1. Два разных действительных корня, если дискриминант b ² -4 ac является положительным числом.

2. Один действительный корень, если дискриминант b ² — 4 ac равен 0.

3. Нет действительного корня, если дискриминант b ² -4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решите относительно x : x ² — 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

x ² -5 x + 6 = 0

Затем замените 1 (который, как предполагается, стоит перед x ² ), –5 и 6 вместо a , b и c, соответственно в формуле квадратного уравнения и упростите.

Поскольку дискриминант b ² -4 ac положительный, вы получаете два разных действительных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере , квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого нерациональны.

Пример 7

Решить относительно y : y ² = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

y ² + 2 y — 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 на a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить относительно x : x ² + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b ² -4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может использоваться для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Решите относительно x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x ² + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b ² -4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы такими.

Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

1. Запишите уравнение в виде ax ² + bx = — c .

2. Убедитесь, что a = 1 (если a ≠ 1, умножьте уравнение на, прежде чем продолжить).

3. Используя значение b из этого нового уравнения, сложите обе части уравнения, чтобы получить полный квадрат в левой части уравнения.

4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить относительно x : x ² — 6 x + 5 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x — 3 = ± 2

Решить.

Пример 11

Решить относительно y : y ² + 2 y — 4 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решите относительно x : 2 x ² + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a ≠ 1, умножаем уравнение на.

Добавьте или с обеих сторон.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Вам может быть интересно узнать, что завершение квадратного процесса для решения квадратных уравнений использовалось для уравнения ax ² + bx + c = 0 для вывода формулы квадратичного уравнения.

Обзор различных методов решения квадратного уравнения — Концепция

Решение квадратных уравнений может быть трудным, но, к счастью, есть несколько различных методов, которые мы можем использовать в зависимости от того, какой тип квадратичного уравнения мы пытаемся решить. Четыре метода решения квадратного уравнения — это факторизация с использованием квадратных корней, завершение квадрата и квадратичной формулы.

Итак, сейчас я хочу поговорить об обзоре всех различных способов решения квадратного уравнения.Под этим я подразумеваю что-нибудь в форме: ax² плюс bx плюс c. Итак, у нас есть четыре различных способа, которые нам удобны. У нас есть факторизация, свойство извлечения квадратного корня, завершение квадрата и квадратная формула. Мы можем использовать эти методы в разное время, и я просто хочу поговорить о том, когда мы можем их использовать, почему они хороши и почему плохие. Так что я просто спущусь вниз по ряду и расскажу о каждом из них. «Чек» означает «за», а «минус» — «против». Факторинг обычно является самым быстрым и простым способом решения чего-либо, когда это возможно.Часто мы имеем дело с квадратичным коэффициентом, который невозможно факторизовать, поэтому факторинг нам не поможет. Таким образом, это быстро и просто, когда его можно использовать, но не всегда можно использовать. Так быстро и просто, но не всегда применимо.
Следующее, о чем мы поговорим, — это свойство квадратного корня. Это когда у нас есть что-то квадратное. Итак, профи: это здорово, когда вы решаете что-то квадратное. Единственная проблема в том, что мы не всегда имеем дело с ситуацией. Каждый раз, когда у вас есть X-термин или что-то в этом роде, мы не сможем его использовать.Так что это не всегда квадратный термин. Когда это применимо, это здорово, но не всегда. На самом деле это не так часто.
Завершение кв. Самое замечательное в завершении квадрата — это то, что мы всегда можем это сделать. Никогда не будет времени, когда вы не сможете завершить квадрат. Но недостаток в том, что это может стать некрасивым. Если вы имеете дело с коэффициентом или нечетным средним членом или чем-то в этом роде, вы собираетесь ввести дроби. Это не всегда лучшая ситуация.
И, наконец, формула корней квадратного уравнения. Опять же, это здорово, потому что им всегда можно пользоваться. И минусы, это зависит от человека. Если вы используете квадратные корни, что не всегда нравится некоторым людям, вам всегда нужно использовать квадратные корни. Обычно это не так просто, как некоторые из этих других методов, я бы сказал, что завершение квадрата немного проще, но это то, что вы должны запомнить. Поэтому вам нужно запомнить формулу, и она может стать некрасивой.
Итак, это четыре разных способа, плюсы и минусы, а также некоторые вещи, о которых следует подумать при решении проблемы.На самом деле я не собираюсь ничего решать за вас. Я только что сделал небольшую диаграмму, чтобы вы знали, какие ресурсы у вас есть, а также плюсы и минусы каждого из них.

▷ КВАДРАТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ | Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0 , где a не равно нулю. В зависимости от значений, которые имеют b и c , мы будем говорить о полных или неполных уравнениях.

Полное квадратное уравнение

Полные квадратные уравнения являются конкретными, в которых b и c отличны от нуля, и решается по следующей формуле:

Пример полного квадратного уравнения:

Дискриминантное уравнение

Дискриминант уравнения используется для определения количества решений уравнения.

Неполное квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором b = 0 или c = 0 , и его можно решить очень просто, без необходимости применения каких-либо формул.

Факторинговые квадраты

Квадратичные коэффициенты — это квадратики, у которых есть факторные произведения в форме паралича, при котором появляется неизвестная переменная. Для ее решения устраняются факторы, и она решается по формуле полных уравнений.

Пример квадратичного разложения:

Помните : для решения квадратных уравнений, то есть «произведения нескольких множителей, равных нулю», мы приравниваем каждый множитель к нулю и решаем соответствующие уравнения.

Радикальные уравнения

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие корни. например:

Как решить уравнения радикалов:

1. Мы изолируем радикал в одном элементе, передавая другой в другой:

2. Мы возводим два элемента в квадрат:

3. Все передаем элемент и заказываем его:

4. Решаем полученное уравнение: ( a = –3, b = 8, c = 3 )

5. В этом типе радикального уравнения при возведении в квадрат (2-й шаг ) могут появиться ложные решения.Следовательно, необходимо проверить решения, полученные путем их подстановки в исходное уравнение. В этом случае x = –1 / 3 не является решением, а x = 3 является. Уравнение имеет решение: x = 3

Упражнения с квадратными уравнениями

1. Рассчитайте значения неизвестных и индикаторов от наименьшего к наибольшему:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше.Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

2.Рассчитайте и укажите минимально возможные решения:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

Solver: Калькулятор квадратного уравнения

Чтобы найти корни (нули) функции второй степени, начните с преобразования этой функции в каноническую форму (максимально упрощая) и приравняв ее к нулю.2 + bx + c = 0`. В то время как в неполном `b` или` c` отсутствует или оба. Затем введите коэффициенты членов уравнения в соответствующие поля калькулятора. Таким образом, вы можете не только узнать нули, но и шаг за шагом просмотреть разрешение. Если это полное уравнение, используется общая формула полных уравнений второй степени. Если оно неполное, первым шагом в решении этого типа уравнений является построение общего множителя, поскольку в обоих членах повторяется «x».Наконец, у нас есть два фактора, результат которых равен нулю, поэтому один из двух должен быть 0.

ПРИМЕЧАНИЕ

Если вы хотите выполнить вычисления, в которых коэффициент является дробью, вы должны ввести число в десятичной форме. Например, вместо «1/4» вы должны ввести «0,25».