Неполное и полное квадратное уравнение: Основные понятия квадратных уравнений — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения и способы их решения с примерами

Неполные квадратные уравнения представляют собой частный случай равенств второго порядка. Необходимо уметь решать эти уравнения, поскольку они часто встречаются не только в математических, но и в физических задачах. Методам их решения посвящена эта статья.

Квадратные уравнения: полные и неполные

Перед тем как разбирать способы решения неполных квадратных уравнений, следует рассмотреть, что они собой представляют.

На рисунке ниже изображен общий вид равенств второго порядка, которые так называются из-за максимального значения степени переменной (она равна 2), содержащейся в них.

Где a, b и c — числа (коэффициенты). Неполное уравнение получается тогда, когда один из этих коэффициентов становится равным нулю (за исключением числа a, поскольку если оно занулится, то уравнение перестанет быть квадратным). Поскольку остается всего три возможные комбинации нулевых коэффициентов, то выделяют следующие типы неполных равенств второго порядка:

  1. Только b=0. Тогда уравнение преобразуется к виду a*x2 + c = 0. Оно называется чистым или простым неполным равенством квадратного типа.
  2. Только c=0. Тогда получаем вид: a*x2 + b*x = 0. Оно получило название смешенного неполного уравнения квадратного.
  3. Наконец, если b=0 и c=0, то мы имеем выражение a*x2=0.

Последний вид неполного уравнения не рассматривается ни в одном математическом курсе, поскольку его решение является очевидным и единственно возможным: x=0.

Можно ли решать неполные уравнения с помощью формулы с дискриминантом?

Да, можно, поскольку этот способ является универсальным для любых выражений второго порядка. Однако неполные уравнения квадратные в 8 классе школы уже встречаются, и изучаться они начинают раньше, чем полные равенства этого типа, для которых уже приводится формула с дискриминантом. Кроме того, рассматриваемый вид равенств является достаточно простым, чтобы применять к ним универсальные формулы и производить ряд ненужных вычислений.

Рассмотрим простые и понятные способы решения неполных уравнений второго порядка.

Решение простого неполного уравнения

Схема его решения в общем случае представлена на рисунке ниже.

Объясним подробнее каждый отмеченный на ней шаг. Первым делом необходимо привести уравнение к виду, указанному в начале этой схемы. Условие задачи может быть так составлено, что исходное равенство будет содержать больше двух слагаемых. Все их необходимо упростить (умножить, сложить и вычесть) до вида чистого неполного равенства.

После этого свободный член c переносится в правую часть равенства и делится на коэффициент a. Для получения неизвестных x остается взять квадратный корень из отношения -c/a, при этом нужно не забывать и учитывать, что он может быть, как со знаком минус, так и с положительным знаком.

Что следует из представленной на рисунке формулы? Во-первых, корней чистого неполного квадратного равенства всегда 2-а, при этом по модулю они оба равны, а по знаку отличаются. Во-вторых, если числа c и a имеют один знак, то корни x будут мнимыми, если c и a разного знака, тогда получаются два действительных решения.

Решение смешанного неполного уравнения

Для решения квадратного уравнения, у которого c=0, следует проделать такой же первый шаг, как и в случае определения корней чистого неполного равенства, то есть привести его к виду с двумя слагаемыми: одно из них должно содержать x2, а другое x. Затем, следует применить метод факторизации, то есть разложить левую часть равенства на множители. В отличие от полного уравнения это сделать очень просто, поскольку один из множителей всегда будет иксом. Сказанное выше можно записать в виде формулы:

x*(a*x+b) = 0.

Это равенство имеет решение, если каждый его множитель является нулем. Результат вычисления корней представлен на рисунке ниже.

Таким образом, корни этого типа неполного уравнения всегда будут действительными числами, причем один из них равен нулю. Знак второго корня определяется отношением ненулевых коэффициентов b/a.

Примеры математических задач

Теперь приведем наглядные примеры квадратных неполных уравнений с решением.

Пример 1. Найдите корни равенства 135-(2x + 3) (2x — 3) = 0. Раскрываем скобки, получаем: 135- x2+9=0. Заметим, что члены, содержащие x в первой степени, сократились. Выполняя перенос свободных членов в правую часть и деление их на -4, получаем: x2 = 36. Откуда следуют два корня: 6 и -6.

Пример 2. 23*(x2-2)=3 x-46. Как и в первом случае, раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть. Имеем: 23*x2-46-3 x+46=0. Теперь сокращаем свободные члены и разлагаем сумму на множители, получаем: x*(23*x-34)=0. Откуда следует, что x=0 и x = 34/23≈1,47826.

Решение примеров показало, что алгоритм нахождения корней любого вида неполного уравнения второго порядка является достаточно простым, поэтому нет никакого смысла запоминать представленные на рисунках выше формулы.

Пример физической задачи

Многие школьники слышали от своего учителя физики о том, что Галилео Галилей в XVII веке проводил эксперименты по вычислению ускорения свободного падения, сбрасывая различные тела с башни в Пизе. Многим это покажется любопытным, но не существует ни одного исторического свидетельства, что такие эксперименты ученый действительно проводил. Однако в том же XVII веке их выполнил другой итальянец.

Джованни Риччоли — астроном и иезуит, который смог действительно вычислить ускорение падения свободного, сбрасывая глиняные шары с высоты башни Азинелли, находящейся в городе Болонье. Риччоли получил значение ускорения равное 9,6 м/с2 (современная величина равна 9,81 м/с2). Зная это число, необходимо определить, сколько времени глиняный шар падал на землю, учитывая, что высота башни равна 97,6 метра.

Для решения задачи необходимо вспомнить, что путь при равноускоренном движении выражается формулой: l=v0*t+g*t2/2. 2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)

Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид , где . Если или , то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай

Неполное квадратное уравнение имеет вид , где .

Пример 1. .

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях  положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

Пример 2. .

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

Пример 3. .

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

Пример 4. .

Типичной ошибкой является ответ . На самом деле . То есть уравнение имеет два корня. Ответ:

Пример 5. .

Перенесем число в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда . Откуда . Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: .

Пример 6. .

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число , так как , поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что , ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае сначала упрощаем уравнение к виду , затем определяем знак числа . Если , то корней нет. Если , то . И если , то уравнение имеет два корня .

б) случай

Уравнение имеет вид , где .

Пример 7. .

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части — произведение. Вынесем за скобки, тогда . Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому или , откуда или . То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: .

Пример 8.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:



Далее разложим левую часть на множители.

Получим два линейных уравнения.

или , откуда или .

Ответ:

Таким образом, в случае неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.

Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

  1. 0; -3/7
  2. 0; 5/4
  3. -2; 2
  4. -4; 4

еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)

еще статья Как решать квадратные уравнения

все статьи по школьной математике

 

%d0%bf%d0%be%d0%bb%d0%bd%d0%be%d0%b5%20%d0%ba%d0%b2%d0%b0%d0%b4%d1%80%d0%b0%d1%82%d0%bd%d0%be%d0%b5%20%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5 — с английского на все языки

Все языкиРусскийАнглийскийИспанский────────Айнский языкАканАлбанскийАлтайскийАрабскийАрагонскийАрмянскийАрумынскийАстурийскийАфрикаансБагобоБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийБурятскийВаллийскийВарайскийВенгерскийВепсскийВерхнелужицкийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийГуараниГэльскийДатскийДолганскийДревнерусский языкИвритИдишИнгушскийИндонезийскийИнупиакИрландскийИсландскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКиргизскийКитайскийКлингонскийКомиКомиКорейскийКриКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛюксембургскийМайяМакедонскийМалайскийМаньчжурскийМаориМарийскийМикенскийМокшанскийМонгольскийНауатльНемецкийНидерландскийНогайскийНорвежскийОрокскийОсетинскийОсманскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийСанскритСеверносаамскийСербскийСефардскийСилезскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТатарскийТвиТибетскийТофаларскийТувинскийТурецкийТуркменскийУдмуртскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧеркесскийЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШайенскогоШведскийШорскийШумерскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЮпийскийЯкутскийЯпонский

 

Все языкиРусскийАнглийскийИспанский────────АрмянскийАфрикаансБаскскийБолгарскийВенгерскийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийДатскийДревнерусский языкИвритИндонезийскийИрландскийИсландскийИтальянскийЙорубаКазахскийКаталанскийКвеньяКитайскийКлингонскийКорейскийКурдскийЛатинскийЛатышскийЛитовскийМакедонскийМалайскийМальтийскийМаориМарийскийМокшанскийМонгольскийНемецкийНидерландскийНорвежскийПалиПапьяментоПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийСербскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТайскийТамильскийТатарскийТурецкийУдмуртскийУйгурскийУкраинскийУрдуФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧаморроЧерокиЧешскийЧувашскийШведскийЭрзянскийЭстонскийЯпонский

Неполные квадратные уравнения.

8-й класс

Цели урока:

  • Образовательные:
    • сформировать понятие о квадратном уравнении вида ax2 + bx + с = 0;
    • его коэффициентах а и b и свободном члене с;
    • познакомить учащихся с приведенным квадратным уравнением;
    • изучить определение неполного квадратного уравнения;
    • вырабатывать навыки решения неполных квадратных уравнений.
  • Развивающие:
    • развитие логического мышления, памяти, внимания;
    • развитие умения сравнивать, обобщать, формулировать учебно-познавательную мотивацию с помощью интересных задач.
  • Воспитательные: воспитание трудолюбия, математической культуры.

Оборудование: портрет Софьи Ковалевской.

ХОД УРОКА

I.  Организационный момент

Сообщение темы и целей урока.

II. Проверка домашней работы

1. Устно:

а) Что называется уравнением?
б) Что называется корнем уравнения?
в) Что значит решить уравнение?

2. Является ли число корнем уравнения?

а) 2х2 – 18 = 0;  – 3 (да)
б) 6х – 3х2 = 0;  – 2 (нет)
в) х2 – 6х + 8 = 0; 2 (да)

3. Доказать, что уравнение 12 + х2 = 0 не имеет корней

Вопрос:  Что общего есть в этих уравнениях? (В уравнениях а, б, в, г наибольшая степень у переменной –  вторая, квадрат, отсюда и название у этих уравнений – квадратные)

III. Изучение нового материала путем самостоятельной работы с учебником по плану

1. План (к п.21)

а) Определение квадратного уравнения
б) Название чисел a, b, c
в) Приведенное квадратное уравнение
г) Определение неполного квадратного уравнения.

2. Ответы на вопросы плана (по каждому вопросу плана привлекать ранее данные уравнения в устном счете)

3. Решение  неполных квадратных уравнений в общем виде.

Вместе с учителем учащиеся записывают в тетрадях решение каждого вида:


Один корень (оба корня равны 0). Решение уравнений такого вида мы и рассматривали ранее.

Вывод:  Неполное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень, не иметь корней.

4. Назовите вид неполного квадратного уравнения, в котором:

а) один из корней равен 0

Ответ:  ax2 + bx = 0

б) корни равны по модулю, но противоположны по знаку

Ответ:  ax2 + c = 0

в) оба корня равны нулю

Ответ:  ax2 = 0

– Тема «Квадратные уравнения» очень важная и нужная. Без неё невозможно движение дальше в математике. На уроках геометрии нам также придется очень часто обращаться к квадратным уравнениям, на уроках геометрии – квадратное уравнение не редкий гость.
Но не только мы с вами не можем дальше продвигаться в математике без квадратных уравнений. Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во  II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически. Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям, рассматривались во многих математических рукописях и трактатах.

IV. Закрепление нового материала

У доски:

№ 515 (в, г, д, е) – двумя способами
№ 517 (в, г, б)

– Ребята! Приближается юбилей первой русской женщины – математика Софьи Валерьевны Ковалевской, 160 лет со дня ее рождения. В 1850 году в России на математическом небосводе вспыхнула звезда, свет от которой чистый и сильный дошел и до нас. Через столько лет!
Мы, с вами решая квадратные уравнения, назовем число и месяц рождения  (выбрать только один корень)

V. Задание на дом: П.21, учить по тетради. № 518, № 521 (в, г), № 523 (а)

Сообщение о Софье Ковалевской – на 2 минуты

VI. Самостоятельно:

Проверка самостоятельной работы ведётся с помощью доски с отворотами, где учащиеся по желанию решают по вариантам уравнения.

VII. Итоги урока

– По какой теме работали?
– Что нового узнали?

№ 512: Какие из этих уравнений не являются квадратными?

Ответ: б), г)

№ 513: Назвать неполные квадратные уравнения

Найти корни

а) х2 – 2х = 0
б) 2х2 – 32 = 0
в) 1,5х2 + 7,5 = 0
г) 0,03х2 = 0

Выставляются оценки.

Вы все трудились, кто как мог.
Спасибо, дети за урок!

Учебник «Алгебра  8 класс для общеобразовательных учреждений» / [Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, СБ. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2009.

Квадратное уравнение

Предварительные навыки

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x2 − 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x2 = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x2 = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b2 = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x2 = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)2 = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2)2 = 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (x + 2)2 = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x1 = 2 и x2 = −2.  

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2)2 = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x2 + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax2 + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x2 + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x2 + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

В квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x2 + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x2 − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x2 = 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x2 = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Значит корнями уравнения 2x2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax2 + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x2 − 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x2 − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax2 + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x2 + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x2 = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 02 = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x2 − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax2 + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x2 − 2x + 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)2.

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

Значит корнем уравнения x2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x2 + 2x − 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

Пример 3. Решить уравнение x2 − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x2 + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)2 = 22x2 = 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x2 + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax2 + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax2 + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b2 − 4ac.

Выражение b2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b2 − 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x2 + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b2 − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b2 − 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b2 − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x2 + 2x − 8 = 0

D = b2 − 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x2 − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x2 + 4x + 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.

Пример 5. Решить уравнение 3x2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4)2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (x + 4)2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.

Пример 2. Решить уравнение x2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.

Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5, .

Пример 6. Решить уравнение x2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)2 + (x − 2)2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к умению решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите квадратное уравнение.
  2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
  3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением.Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебников по алгебре в колледжах.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, потому что оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — факторинг. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух факторов равно нулю, то по крайней мере один из факторов равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложить на множители.

Вспомните, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите для x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении. Если x = 6, то x 2 — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x 2 — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть указаны либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения.
также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите неполное квадратное уравнение.
  2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax 2 + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение будет неполным квадратичным .

Пример 1

5x 2 — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела.
Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решить относительно x, если x 2 — 12 = 0.

Решение Поскольку x 2 — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, мы имеем


Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите трехчлен полного квадрата.
  2. Завершите третий член, чтобы получить трехчлен в виде полного квадрата.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

  1. Два из трех членов являются точными квадратами. 4x 2 и 9 в первом примере, 25x 2 и 16 во втором примере, а также 2 и b 2 в общем виде.
    Другими словами, первый и третий члены — это полные квадраты.
  2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x 2 + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x 2 и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x 2 , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x 2 + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x 2 + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделает выражение идеальным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пробел для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить какие-либо правила алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо к одной стороне, не добавляя то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 2 = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавлено в левую часть уравнения, оно также должно быть добавлено в правую часть.

Теперь разложите на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x 2 + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x 2 , не является полным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавляем 2 к обеим сторонам, получая


Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x 2 + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все термины на 3.

Опять же, получите коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику при сложении чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

не может быть упрощено. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число возведем в квадрат и получим -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем заполнения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте это количество к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут решить уравнения в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
  2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле, тогда ax 2 + bx + c = 0 представляет все квадраты. Если вы можете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1.
Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите проблемы со словами, для решения которых требуется квадратное уравнение.
  2. Решать текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы задач со словами можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс определения и постановки проблемы такой же, как и в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза больше ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем удвоенную ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным.

Значение x равно.
Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель.
Каждый член нужно умножить в 10 раз.
Опять же, эту квадратичную величину можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн указать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и хочет оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров. Какие должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
  • Стандартная форма квадратного уравнения : ax 2 + bx + c = 0, когда a 0.
  • Неполное квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
  • Квадратичная формула :

Процедуры

  • Самый прямой и, как правило, самый простой метод поиска решений квадратного уравнения — это факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
  • Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
    Шаг 1 Если коэффициент при x 2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
    Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x 2 + bx + _____ = c + _____
    Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте это количество к обеим сторонам. уравнения.
    Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
    Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
    Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
  • Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
  • Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения
в одной переменной

1. Квадратичное уравнение
уравнение вида
ax2 + bx + c = 0
где a, b и c — действительные числа
2 Типы квадратных уравнений
Полный квадратичный
3х2 + 5х + 6 = 0
Неполное / чистое квадратное уравнение
3×2 — 6 = 0
3.Решение неполной квадратичной
4. Пример 1. Решить: x2 — 4 = 0

Решение:
х2 — 4 = 0
х2 = 4
√x² = √4
х = ± 2
5. Пример 2. Решить: 5x² — 11 = 49
Решение:
5x² — 11 = 49
5x² = 49 + 11
5x² = 60
x² = 12
х = ± √12
х = ± 2√3
6 Решение квадратного уравнения
7. Факторинг
Поместите все члены в левый член уравнения, чтобы правый член был равен нулю.
Разложите на множители левый элемент.
Установите каждый коэффициент, содержащий неизвестное, равным нулю.
Решите каждое из образованных таким образом простых уравнений.
Проверьте ответы, подставив их в исходное уравнение.
8. Пример: x² = 6x — 8
Решение:
x² = 6x — 8
x² — 6x + 8 = 0
(х — 4) (х — 2) = 0
x — 4 = 0 | х — 2 = 0
х = 4 х = 2
9. Завершение площади
Напишите уравнение с переменными членами в левом члене и постоянным членом в правом члене.
Если коэффициент при x² не равен 1, разделите каждый член на этот коэффициент, чтобы коэффициент при x² был равен 1.
Возьмите половину коэффициента при x, возведите это количество в квадрат и сложите результат с обоими членами.
Найдите квадратный корень из обоих членов, поставив знак ± перед квадратным корнем из правого члена.
Решите полученное уравнение относительно x.
10. Пример: x² — 8x + 7 = 0
11. С помощью квадратичной формулы
Пример: 3x² — 2x — 7 = 0
12.Решите следующее:
1. x² — 15x — 56 = 0
2. 7x² = 2x + 6
3. 9x² — 3x + 8 = 0
4. 8x² + 9x -144 = 0
5. 2x² — 3 + 12x
13.Действие:

Решите следующую формулу корней квадратного уравнения.
Факторинг по квадратичной формуле
1. x² — 5x + 6 = 0 1. x² — 7x + 6 = 0
2. 3 x² = x + 2 2. 10 x² — 13x — 3 = 0
3. 2 x² — 11x + 12 = 0 3. x (5x — 4) = 2

Завершив квадрат
1.x² + 6x + 5 = 0
2. x² — 8x + 3 = 0
3. 2 x² + 3x — 5 = 0

Решение квадратного уравнения методом «достройки квадрата»

Перейти к основной статье о квадратных уравнениях.
Есть два способа узнать, как заполнять квадрат для решения квадратного уравнения. Один из них состоит в том, чтобы изучить его визуально, в котором вы рассматриваете квадратное уравнение как неполный квадрат и, чтобы заполнить этот квадрат, вы переписываете квадратное уравнение соответствующим образом.Другой метод — изучить несколько шагов и применить их к любому квадратному уравнению, которое вы хотите решить, с помощью метода завершения квадрата.
Мы изучим оба метода и начнем сначала с первого.

Метод завершения квадрата: понимание его визуально

Теперь мы визуализируем квадратное уравнение в виде неполного квадрата, и для завершения этого квадрата мы перепишем это уравнение и, таким образом, решим квадратное уравнение следующим образом: способ завершения квадрата.2 + 6x как неполный квадрат. На данный момент мы будем игнорировать числовую часть (то есть 5).

  • Шаг 4: Теперь нам нужно добавить квадрат 3 x 3 к указанному выше незавершенному квадрату, чтобы сделать его полным квадратом. Но откуда мы его возьмем? Мы не можем просто вставить квадрат, потому что хотим. 2 + 12x + 10 = 0 Шаг 1: Переместите число 10 на другую сторону.2] = sqrt [4]
    x + 3 = (+/-) 2
    Либо x + 3 = 2, либо x + 3 = -2
    Либо x = -1, либо x = -5


    Поэтому мы решили квадратное уравнение с помощью метода завершения квадрата. Вышеупомянутые шаги также применимы к другим квадратным уравнениям.

    РЕШЕНО: ‘Решите каждое неполное квадратное уравнение a) 4 9 = b) 4 «[2r’

    Стенограмма видео

    Уравнение, данное учреждением

    , представляет собой уравнение, равное четырем, квадрат Y равен девяти.Теперь в вопросе говорится, что мы должны решить это уравнение, используя факторинг. Итак, давайте начнем проводить это слияние. Итак, первое справа данное уравнение, которому приписывают уравнение, учитывая, что четыре в квадрате равно девяти. Да, или я подумал, что после того, как все термины будут собраны на веб-сайт, это будет написано как этюды четыре, квадрат VIII минус девять равен нулю. Снова упростите это, тогда это будет записано так, что y все в квадрате минус три в квадрате равно нулю. Теперь мы знаем, что формула: квадрат минус B, квадрат будет равен плюсу B, умноженному на плюс B.Извините, квадрат минус B в квадрате будет равен круглой скобке плюс B. Время скобок минус B. Так что используйте эту формулу в форме овала. Итак, это будет Интернет, то есть два белых плюс три круглые скобки из двух. Y плюс три раза в скобках два Y минус три равно нулю. Нет, как вы видите, я понял фактор жалких человеческих уравнений. Итак, наш следующий шаг — применение роли продукта джино. Итак, в соответствии с этой ролью нулевого продукта, которую мы должны принять, каждый фактор равен нулю.Значит, это первые фабрики. То есть два, Y плюс три становятся, что равно нулю и вторым фабрикам. То есть у монастыря, который станет равным нулю. Нет, как видите, как видите, существует два линейных уравнения. Первое линейное уравнение — это два Y плюс три, а второе линейное уравнение объясняет, почему монастырь равен нулю. Итак, после проглатывания первого линейного уравнения, равного двум, Y плюс три равняется нулю. Я пойму, почему это минус 3/2. И после решения этого второго линейного уравнения, равного двум, Y минус три равно нулю.Я пойму, почему это равно 3/2. Это означает данное уравнение, два ее решения. Красноватый. Первое решение — минус 3/2, второе — 3/2, так что это ответ данного включения. Спасибо.

    Решение квадратных уравнений путем завершения квадрата

    Purplemath

    Квадратное уравнение в последнем примере на предыдущей странице было:

    Выражение в левой части этого уравнения можно умножить и упростить до следующего вида:

    Но мы все равно не смогли бы решить уравнение, даже с квадратичным форматом, отформатированным таким образом, потому что оно не факторно и не готово к извлечению квадратного корня.

    MathHelp.com

    Единственная причина, по которой мы могли решить это на предыдущей странице, заключалась в том, что они уже поместили все элементы x внутри квадрата, так что мы могли переместить строго числовую часть уравнения на другую сторону от «равных» знак, а затем извлеките квадратный корень с обеих сторон.Они не всегда будут форматировать вещи так хорошо, как это. Итак, как нам перейти от обычного квадратичного уравнения, подобного приведенному выше, к уравнению, готовому к использованию квадратного корня?

    Придется «доделать квадрат».

    Вот как бы мы решили последнее уравнение на предыдущей странице, если бы они не отформатировали его для нас хорошо.

    • Используйте завершение квадрата, чтобы решить
      x 2 — 4 x — 8 = 0.

    Как отмечалось выше, эта квадратичная величина не учитывается, поэтому я не могу решить уравнение путем факторизации. И они не дали мне уравнение в форме, готовой к извлечению квадратного корня. Но у меня есть способ манипулировать квадратичным, чтобы преобразовать его в форму, готовую к извлечению квадратного корня, чтобы я мог решить.

    Во-первых, я поставил число на другой стороне уравнения:

    x 2 — 4 x — 8 = 0

    x 2 — 4 x = 8

    Затем я смотрю на коэффициент члена x , который в данном случае равен –4. Я беру половину этого числа (, включая знак ), что дает мне –2. (Мне нужно отслеживать это значение. Это упростит мою работу в дальнейшем.)

    Затем я возведу это значение в квадрат, чтобы получить +4, и добавлю это значение в квадрат к обеим сторонам уравнения:

    x 2 — 4 x + 4 = 8 + 4

    x 2 — 4 x + 4 = 12

    Этот процесс создает квадратное выражение, которое представляет собой полный квадрат в левой части уравнения.Я могу разложить на множители или просто заменить квадратичную форму квадратично-биномиальной, которая представляет собой переменную, x , вместе с половинным числом, которое я получил раньше (и отметил, что мне понадобится позже), что было –2. В любом случае я получаю уравнение с извлечением квадратного корня:

    (Я знаю, что в скобках стоит «–2», потому что половина –4 была –2. Отмечая знак, когда я нахожу половину коэффициента, я помогаю себе не испортить знак позже, когда Я перехожу в квадратно-биномиальную форму.)

    (Между прочим, этот процесс называется «завершением квадрата», потому что мы добавляем термин для преобразования квадратичного выражения во что-то, что множится как квадрат бинома; то есть мы «завершили» выражение, чтобы создать бином полного квадрата.)

    Теперь я могу извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, упростить и решить:

    ( x — 2) 2 = 12

    Используя этот метод, я получаю тот же ответ, что и раньше; а именно:

    • Решите 2
      x 2 -5 x + 1 = 0, завершив квадрат.

    Есть один дополнительный шаг для решения этого уравнения, потому что старший коэффициент не равен 1; Сначала мне нужно разделить, чтобы преобразовать старший коэффициент в 1. Вот мой процесс:

    2 x 2 -5 x + 1 = 0

    x 2 — (5/2) x + 1/2 = 0

    x 2 — (5/2) x = — (1/2)

    Теперь, когда у меня есть все члены с переменными с одной стороны и строго числовой член с другой стороны, я готов заполнить квадрат с левой стороны.Сначала я беру коэффициент линейного члена (вместе со знаком) — (5/2), умножаю его на половину и возведу в квадрат:

    (1/2) × [- (5/2)] = — (5/4)

    (- (5/4)) 2 = 25/16

    Затем я добавляю это новое значение к обеим сторонам, конвертирую в квадратно-биномиальную форму с левой стороны и решаю:

    x 2 — (5/2) x + 25/16 = — (1/2) + 25/16

    ( x — 5/4) 2 = 17/16

    sqrt [( x — 5/4) 2 ] = ± sqrt [17/16]

    x — 5/4 = ± sqrt [17] / 4

    x = 5/4 ± sqrt [17] / 4

    Два члена в правой части последней строки выше можно объединить для получения общего знаменателя, и часто («обычно»?) Ответ будет записан так, особенно если инструкции к упражнению включают условие чтобы «упростить» окончательный ответ:

    В другом месте у меня есть урок решения квадратных уравнений путем завершения квадрата. Этот урок (повторно) объясняет шаги и дает (больше) примеров этого процесса. Он также показывает, как из этого процесса может быть получена квадратичная формула. Если вам нужны дополнительные инструкции или практика по этой теме, прочитайте урок по указанной выше гиперссылке.

    Между прочим, если вам не сказали, что у вас есть для заполнения квадрата, вы, вероятно, никогда не воспользуетесь этим методом на практике при решении квадратных уравнений. Либо какой-либо другой метод (например, факторинг) будет очевиден и быстрее, либо будет проще использовать квадратичную формулу (рассмотренную ниже).Однако, если ваш класс занимался завершением квадрата, вы должны ожидать, что от вас потребуют показать, что вы можете заполнить квадрат, чтобы решить квадратичный результат в следующем тесте.

    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений, заполнив квадрат. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить, заполнив квадрат», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

    (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad3.htm

    Вы забыли, как решить неполное квадратное уравнение?

    Как решить неполное квадратное уравнение? Известно, что это частный вариант равенства ax 2 + bx + c = a, где a, b и c — действительные коэффициенты при неизвестном x, а где a ≠ a, а b и c — нули одновременно или по отдельности.Например, c = o, in ≠ o или наоборот. Мы почти вспомнили определение квадратного уравнения.

    Уточним

    Трехчлен второй степени равен нулю. Его первый коэффициент a ≠ o, b и c может принимать любые значения. Тогда значение переменной x будет корнем уравнения, при его подстановке вернется к правильному числовому равенству. Остановимся на вещественных корнях, хотя решением уравнения могут быть комплексные числа. Уравнение, в котором ни один из коэффициентов не равен a, а ≠ o, принято называть ≠ o, c ≠ o.
    Давайте решим пример. 2x 2 -9x-5 = 0, находим
    D = 81 + 40 = 121,
    D положительно, тогда есть корни, x 1 = (9 + √121): 4 = 5, и второй x 2 = (9-√121): 4 = -o, 5. Проверка поможет убедиться, что они верны.

    Вот пошаговое решение квадратного уравнения

    С помощью дискриминанта можно решить любое уравнение, в левой части которого находится известный квадратный трехчлен для a o. В нашем примере.2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 + вх + с = о)

    • Сначала найдем дискриминант D из известной формулы в 2 -4ас.
    • Проверяем, каким будет значение D: у нас больше нуля, оно равно нулю или меньше.
    • Мы знаем, что если D> 0, квадратное уравнение имеет только 2 различных действительных корня, они обозначаются x 1 обычно x 2 ,
      Вот как вычислить:
      x 1 = (-B + √D): (2a), а второй: x 2 = (-in-√D): (2a).
    • D = o — это один корень, или, говорят, два равных:
      x 1 равно x 2 и равно: (2a).
    • Наконец, D

    Рассмотрим, что представляют собой неполные уравнения второй степени

    1. Oh 2 + ix = o. Свободный член, коэффициент c для x 0 , здесь равен нулю, в o.
      Как решить такое неполное квадратное уравнение? За скобки возьмем x.Напомним, когда произведение двух множителей равно нулю.
      x (ax + b) = o, это может быть, когда x = 0 или когда ax + b = o.
      Решая второе линейное уравнение, получаем x = -v / a.
      В результате имеем корни x 1 = 0, по расчетам x 2 = -b / a .
    2. Теперь коэффициент при x равен o, а c не равен (≠) o.
      x 2 + c = o. Перенося c из правой части равенства, получаем x 2 = -c.Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда -c является положительным числом (c x 1 тогда равно √ (-c), соответственно, x 2 — -√ (-s). В противном случае уравнение вообще не имеет корней.
    3. Последний вариант: b = c = o, то есть ah 2 = o. Естественно, такое простое уравнение имеет один корень x = o.

    Частные случаи

    Как решить неполное квадратное уравнение рассмотрели, а теперь возьмем любые виды.

    • В полном квадратном уравнении второй коэффициент для x является четным числом.
      Пусть k = o, 5b. У нас есть формулы для вычисления дискриминанта и корней.
      D / 4 = k 2 — ac, корни вычисляются как x 1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a для D> o.
      x = -k / a для D = o.
      Для D
    • Есть сокращенные квадратные уравнения, когда коэффициент при x в квадрате равен 1, они обычно записываются x 2 + px + q = o. К ним применимы все приведенные выше формулы, но вычисления несколько проще.
      Пример, x 2 -4x-9 = 0.Вычисляем D: 2 2 +9, D = 13.
      x 1 = 2 + √13, x 2 = 2-√13.
    • Кроме того, изложенная выше теорема Вита легко применима. В нем говорится, что сумма корней уравнения равна -p, второй коэффициент со знаком минус (что означает противоположный знак), а произведение этих же корней равно q, свободному члену. Проверьте, насколько легко было бы словесно определить корни этого уравнения. Для нередуцированных (для всех коэффициентов, не равных нулю) эта теорема применима следующим образом: сумма x 1 + x 2 равна -a / a, произведение x 1 · X 2 равно в с / у.

    Сумма свободного члена c и первого коэффициента a равна коэффициенту b. В этой ситуации уравнение имеет хотя бы один корень (легко доказать), первый должен быть -1, а второй должен быть c / a, если он существует. Как решить неполное квадратное уравнение, вы можете проверить сами. Проще простого. Коэффициенты могут находиться в некоторых отношениях между собой

    • x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
    • Сумма всех коэффициентов равна нулю.
      Корни этого уравнения — 1 и c / a. Например, 2x 2 -15x + 13 = o.
      x 1 = 1, x 2 = 13/2.

    Существует ряд других способов решения различных уравнений второй степени. Вот, например, метод отделения полного квадрата от заданного многочлена. Есть несколько графических способов. Часто сталкиваясь с такими примерами, вы научитесь «щелкать» по ним, как по семенам, потому что все способы приходят в голову автоматически.

    Онлайн-урок — Решение квадратных уравнений

    Примеры использования квадратных уравнений в жизни

    Длина земельного участка на 8 метров больше ширины.Каков размер этого участка?

    Решение:

    Пусть ширина графика равна x, тогда длина (x + 8), а площадь равна x * (x + 8). По проблемному состоянию площадь 425 м². Составим уравнение для нахождения площади: x * (x + 8) = 425.

    Раскроем скобки и получим квадратное уравнение x² + 8x = 425.

    Если правая часть уравнения ≠ 0, необходимо поменять все местами в левую часть (заменяем правые цифры на левую, используя противоположные знаки).В результате получаем x² + 8x — 425 = 0. Уравнение этого типа называется квадратичным. Зная, как решать такие уравнения, мы можем найти значения x, следовательно, рассчитать длину и ширину земельного участка.

    Решив это уравнение, получаем:

    x = 17 (метров) — ширина земельного участка, (x + 8) = 25 (метров) — его длина.
    Ответ: 17м, 25м.

    Определение:

    Если уравнение соответствует форме ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, а a ≠ 0, то это квадратное уравнение.Число a — это первый коэффициент, b — второй коэффициент, а c — свободный член.

    Примеры:

    Рассмотрим примеры квадратных уравнений и определим составляющие:

    Решения квадратных уравнений

    Прежде чем изучать множество способов решения квадратных уравнений, вам необходимо изучить такие концепции:

    полное квадратное уравнение (все коэффициенты не равны нулю) и неполное квадратное уравнение (некоторые коэффициенты равны нулю).

    Ответьте, полное или неполное уравнение?

    Решение полных квадратных уравнений:

    Вот уравнение вида ax² + bx + c = 0. Давайте убедимся, что все коэффициенты не равны нулю: b ≠ 0 и c ≠ 0, a ≠ 0. Теперь мы можем приступить к решению этого полного квадратного уравнения. Во-первых, нам нужно найти количество корней уравнения или их отсутствие, вычислив дискриминант (D). Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, где
    a ≠ 0, b ≠ 0 или c ≠ 0, мы можем вычислить значение дискриминанта по формуле: D = b² — 4ac (очень важно помнить !).

    Алгоритм решения полных квадратных уравнений

    Примеры:

    3x² + x + 2 = 0

    Решение:

    1. Определите коэффициенты в уравнении: a = 3, b = 1, c = 2.
    2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (1) ² — 4 * 3 * 2 = 1-24 = -23
    3. Определите значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = -23.Это меньше нуля. Значит, корней уравнения не будет.

      Ответ: без корней.

    x² — 6x + 9 = 0

    Решение:

    1. Найдите коэффициенты в уравнении: a = 1, b = -6, c = 9.
    2. Определите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (-6) ² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
    3. Используйте минимальное и максимальное значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = 0 Он равен нулю.Это означает, что будет один действительный корень уравнения: x = (6) / 2 * 1 = 3.

      Ответ: 3.

      Метод решения неполных квадратных уравнений

      Уравнения, которые соответствуют форме ax² + bx + c = 0, где b = 0 или c = 0, b = 0 и c = 0, называются неполными квадратными уравнениями. Рассмотрим способы решения основных типов таких уравнений: ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0.

    Примеры

    -x² + x = 0

    Решение:

    1. Сначала определите коэффициенты уравнения: a = -1, b = 1, c = 0 — уравнение неполное, так как свободный член равен нулю.
    2. Найдите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (1) ² — 4 * (- 1) * 0 = 1 — 0 = 1
    3. Используйте значение дискриминанта, чтобы определить свойства корней: D = 1 — больше нуля. Это означает, что уравнение будет иметь два корня.
    4. Определим корни x₁ и x₂:

    Мы можем решить это неполное квадратное уравнение, используя форму ax² + bx = 0:

    -x² + x = 0

    х * (-x + 1) = 0 → х = 0 → х = 0

    -x + 1 = 0 х = 1

    Ответ: 0, 1.

    3x² — 27 = 0

    Решение:

    1. Найдем коэффициенты уравнения: a = 3, b = 0, c = 27 — уравнение неполное, так как коэффициент b равен нулю.
    2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (0) ² — 4 * 3 * (- 27) = 0 + 324 = 324
    3. Определите значение дискриминанта, чтобы определить свойства корней: D = 324 — Оно больше 0. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.
    4. Вычислим корни x₁ и x₂:

    Решим неполное квадратное уравнение, выбрав метод, основанный на форме ax² + c = 0:

    3x² — 27 = 0

    3 * (x² — 9) = 0

    x² — 3² = 0 → (x — 3) = 0 → x = 3

    (х + 3) = 0 х = -3

    Ответ: -3, 3.

    5x² = 0

    Решение:

    1. Определим коэффициенты уравнения: a = 5, b = 0, c = 0 — уравнение неполное, так как коэффициент b и свободный член равны нулю.
    2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (0) ² — 4 * 5 * (0) = 0 — 0 = 0
    3. Проанализируйте значение дискриминанта, чтобы определить свойства корней: D = 0 — будет один действительный корень, поскольку уравнение является неполным и дискриминант равен 0.
РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *