Неопределенное множество это – Нечёткое множество — Википедия

6.3. Нечёткие множества: основные определения

Обобщение понятия принадлежности. В рассмотренных примерах характеристическая функция принимала значения 0 или 1. Предположим, что характеристическая функция принимает любое значение из . Тогда элемент может не принадлежать множеству , принадлежать в какой-либо степени или быть элементом множества .

Нечёткое множество. Нечётким подмножеством (нечётким множеством) множества называется множество упорядоченных пар , где – функция принадлежности элемента множеству , характеризующая степень принадлежности элемента этому множеству, или, другими словами, меру соответствия элемента универсального множества свойствам нечёткого множества . В случае непрерывного множества для задания нечёткого множества используют такое обозначение: .

Множество принадлежностей. Множество значений функции принадлежности называется

Множеством принадлежностей. Если , то – обычное множество, т. е. чёткое множество можно рассматривать как предельный случай нечёткого множества. Далее в этом учебном пособии множество принадлежностей .

Мощность нечёткого множества. Пусть на универсальном множестве задано нечёткое множество . Мощность нечёткого множества или его Кардинальное число определяется следующим образом: .

Пример 28. На универсальном множестве определим следующее нечёткое множество:

.

Определим кардинальное число нечёткого множества :

Принадлежность элемента нечёткому множеству можно обозначать и так: .

Для определения степени принадлежности элемента нечёткому множеству существует специальная терминология. Так, нечёткое множество , заданное в Примере 28, содержит в незначительной степени элемент , не содержит , в небольшой степени содержит , в значительной степени – и , и содержит элемент .

Пример 29. Нечёткое множество небольших натуральных чисел может быть задано, например, так:

Замечание. Значения заданы субъективно.

Носитель нечёткого множества. Носителем (суппортом) нечёткого множества (supp) называется множество элементов , для которых . Нечёткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Ядро нечёткого множества. Ядром Нечёткого множества () называется множество элементов , для которых .

Высота нечёткого множества. Величина ( для дискретных универсальных множеств) называется Высотой нечёткого множества ().

Нормальные и субнормальные нечёткие множества. Нечёткое множество Нормально, если его высота равна 1. Если высота меньше 1, то нечёткое множество называется

Субнормальным. Всякое непустое субнормальное нечёткое множество можно преобразовать к нормальному , нормируя его функцию принадлежности:

.

Унимодальные нечёткие множества. Нечёткое множество называется Унимодальным, если только для одного .

Точки перехода нечётких множеств. Элементы , для которых , называются Точками перехода нечёткого множества .

Выпуклые нечёткие множества. Нечёткое множество называется Выпуклым, если:

.

Пример 30. Пусть универсальное множество есть множество действительных чисел, т. е. . Определим нечёткое множество как множество чисел, близких к числу (Рис. 4).

Рисунок 4

Функцию принадлежности можно задать следующим образом: , где . Показатель степени выбирается в зависимости от степени близости к . Например, для описания множества чисел, очень близких к , можно взять ; для множества чисел, не очень далеких от , .

Пример 31. На универсальном множестве из Примера 28 Задано нечёткое множество . Для нечёткого множества : 1) определить его мощность; 2) определить носитель, ядро и высоту; 3) выяснить, является ли оно нормальным или субнормальным. Если является субнормальным, преобразовать его к нормальному; 4) проверить, будет ли полученное множество унимодальным; 5) определить точки перехода .

Решение.

1. По определению, мощность (кардинальное число) нечёткого множества , заданного на конечном универсальном множестве , определяется по формуле: .

Тогда .

2. Воспользуемся определениями носителя, ядра и высоты нечёткого множества. Очевидно, , , .

3. Заданное нечёткое множество является субнормальным. Построим соответствующее ему нечёткое нормальное множество . Для этого вычислим значения функции принадлежностей элементов по формуле:

.

Имеем: , аналогично: , , , , . Таким образом, нечёткое нормализованное множество .

4. Множество является унимодальным, так как содержит только один элемент , для которого .

5. Множество имеет единственную точку перехода – , так как только .

Умножение нечётких множеств на число. Если – такое положительное число, что , то для нечёткого множества функция принадлежности определяется следующим образом: .

Сравнение нечётких множеств. Рассмотрим два нечётких множества и , заданных на универсальном множестве .

Говорят, что Содержится в , т. е. , если для любого . Графически это означает, что кривая, задающая нечёткое множество располагается выше аналогичной кривой нечёткого множества . Если условие включения выполняется не для всех , то говорят о

Степени включения в , которая определяется как , где – множество , на котором выполняется условие включения.

Два нечётких множества и Равны, если они содержатся друг в друге, т. е. , если для любого .

Подмножество -уровня. Подмножеством -уровня нечёткого множества , , называется чёткое подмножество элементов , для которых . Множество называют также -сечением нечёткого множества . При этом, если , то говорят о сильном сечении, а если , то о слабом сечении. Имеет место

Важное свойство: если , то .

Для задач анализа и синтеза нечётких множеств применяют Теорему о декомпозиции: нечёткое множество можно разложить по его множествам -уровня следующим образом: , где – произведение числа на множество .

Пример 32. На универсальном множестве определим нечёткое множество . Найдём все подмножества нечёткого множества :

По теореме о декомпозиции нечётких множеств заданное нечёткое множество представим следующим образом:

,

Где , т. е.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Теория нечётких множеств — это… Что такое Теория нечётких множеств?

Теория нечётких множеств — раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределённых данных, в которых описание неопределённостей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих чётких границ.

Теория нечётких множеств — это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с чётким условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечётких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству — к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический аппарат

Нечёткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечёткого множества) в отрезок [0; 1]. Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечёткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

История

Понятие «нечёткое множество» введено Л. А. Заде в 1965 г. [1]. Исходный термин — fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык — расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей [2, 3, 4].

Применение

Теория нечётких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределённости ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

В психологии

Литература

• Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, vol.8, N 3, pp. 338-353.

• Батыршин И. З., Недосекин А. А., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечётких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. — 166c.

• Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 224 c. ISBN 5-94052-027-8

• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.

• Нечёткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. — М.: Радио и связь, 1986.

См. также

dic.academic.ru

Теория нечётких множеств (Заде) — это… Что такое Теория нечётких множеств (Заде)?

Теория нечётких множеств (Заде) — это расширение классической теории множеств, используется в нечёткой логике. Впервые предложена Лотфи Заде в 60-х годах XX века.

В классической теории множеств принадлежность элементов множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с чётким условием — элемент либо принадлежит, либо нет данному множеству. Напротив, теория нечётких множеств разрешает градуированную оценку отношения принадлежности элементов множеству; то есть это отношение описывается при помощи функции принадлежности . Нечёткие множества — это расширение классической теории множеств, поскольку на некотором множестве функция принадлежности может действовать так же, как индикаторная функция, отображая все элементы либо в 1, либо в 0, как в классическом варианте.

Определение

Нечёткое множество на классическом множестве определяется как следующее:

Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментальному множеству . Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 соответствует полной принадлежности элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.

Нечёткое множество и чёткое (crisp) классическое множество

Для значений функции принадлежности выполняются следующие соотношения:

Применения

Нечёткое множество B, где B = {(3,0.3), (4,0.7), (5,1), (6,0.4)} в стандартных обозначениях теории нечётких множеств обычно записывается как B = {0.3/3, 0.7/4, 1/5, 0.4/6}. Заметим, что произвольное значение со степенью принадлежности нуль zero не появляется в этом выражении нечёткого множества. Стандартное обозначение для степени принадлежности нечёткому множеству B значения 6 выглядит так: μ_B(6) = 0.4.

Нечёткая логика

В качестве расширения многозначной логики оценками (valuations) () пропозициональных переменных () на множестве степеней принадлежности () может рассматриваться функция принадлежности, отображающая предикаты в нечёткое множество (или более строго, в упорядоченное множество нечётких пар, называемых нечётким отношением). Такими оценками (valuations) многозначная логика может быть расширена до того, чтобы разрешить нечёткие подстановки, из которых могут быть сделаны градуированные выводы.

Иногда это расширение называют «нечёткой логикой в узком смысле» в противопоставление «нечёткой логике в широком смысле», которая возникла в прикладных областях автоматического управления и инженерии знаний, и которая охватывает много тем, включающих нечёткие множества и «приближенные рассуждения».

Промышленные применения нечётких множеств в контексте «нечёткой логики в широком смысле» можно найти в нечёткой логике.

Нечёткое число

Нечёткое число — это выпуклое, нормализованное нечёткое множество , чья функция принадлежности по крайней мере кусочно непрерывна и имеет функциональное значение на точно одном элементе. Это можно связать с игрой в пари «предположите ваш вес», где некто предполагает вес соперников, и чем ближе предположения, тем они правильнее, а «побеждает» тот, чьи предположение веса соперников ближе остальных (будучи полностью правильным, когда функцией принадлежности равна 1).

Нечёткий интервал

Нечёткий интервал — это неопределенное множество со средним интервалом, чьи элементы обладают функцией принадлежности . Как и для нечётких чисел, функция принадлежности должна быть выпуклой, нормализованной и по крайней мере кусочно непрерывной.

См. также

Внешние ссылки

Литература

• Lakhmi C. Jain; N.M. Martin Fusion of Neural Networks, Fuzzy Systems and Genetic Algorithms: Industrial Applications. — CRC Press, CRC Press LLC, 1998
• Gottwald, Siegfried, A Treatise on Many-Valued Logics. Research Studies Press LTD. (2001) Baldock, Hertfordshire, England.
• Zadeh, L. A., Fuzzy sets. Information and Control, Vol. 8, pp. 338–353. (1965).
• Zadeh, L. A., The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning. Information Sciences, Vol. 8, pp. 199–249, 301—357; Vol. 9, pp. 43–80. (1975).
• Zadeh, L. A., Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 1, No. 1, pp. 3–28 (1978).

dic.academic.ru

МНОЖЕСТВО — Новая философская энциклопедия

МНОЖЕСТВО – философская категория, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого [ЕДИНОЕ], а также одно из главных понятий математики, развитое на основании этих категорий.

Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, т.е. не допускает никакого отношенияи может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает множество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Проклом [ПРОКЛ], который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: во-первых, как ограниченное целое, а во-вторых, как составленное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность. Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству (см. число [ЧИСЛО]), которое есть множество единиц. Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям [АПОРИЯ]. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества – единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек.

Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьезного внимания, как античная. Кант ввел эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трех категорий количества (две другие – единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна быть рассмотрена как цельность, формируемая последовательным прибавлением друг к другу множества частей. Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием множеств теории [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ]в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований.

В качестве математической теории «учение о множествах» было создано Кантором [КАНТОР], который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, т.е. того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чем сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделенных общим свойством и ясно отличимых, на основании исключенного третьего закона [ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН], от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причем часто используемый Кантором прием формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот прием вызвал в дальнейшем серьезные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию все более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределенности (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось «множество всех множеств, не являющихся собственным элементом». Введенное так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение все созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия.

Еще одно введенное Кантором понятие, которое порождает трудности, – это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, т.е. является несчетным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчетным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество – континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, напр., отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации [ИНДИВИДУАЦИЯ]этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имен или предложений языка может быть только счетным.

Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлен Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины «множество» и «элемент множества» вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределенные сами но себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре.

Литература:

1. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985;

2. Платон. Парменид.– Собр. соч. в четырех томах, т. 2, с. 346–412;

3. Прокл. Первоосновы теологии. – В кн.: Лосев А.Ф. История античной эстетики. Высокая классика. М., 1974;

4. Френкель Α., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966;

5. Новосёлов Μ.Μ. Абстракция множества и парадокс Рассела. – В кн.: Тр. научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН (1998). М., 1999.

Г.Б.Гутнер

Источник: Новая философская энциклопедия на Gufo.me

gufo.me

множество — это… Что такое множество?

МНОЖЕСТВО —         см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО …   Философская энциклопедия

множество — См. избыток, много, обилие многое множество… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. множество избыток, много, обилие, масса, уймища, бездна, пропасть, тьма( тьмущая, тем), куча …   Словарь синонимов

множество — набор комплект — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=4318] множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… …   Справочник технического переводчика

Множество — [set] одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… …   Экономико-математический словарь

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множества, ср. (книжн.). 1. только ед. Неопределенно большое количество, число чего нибудь. Множество рабочих. Множество фактов. «Я слышал в жизни множество отличнейших певцов.» Некрасов. 2. Совокупность элементов, выделенных в… …   Толковый словарь Ушакова

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множить и пр. см. многий. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 …   Толковый словарь Даля

МНОЖЕСТВО — набор, совокупность, собрание к. л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так,… …   Физическая энциклопедия

множество —     МНОЖЕСТВО, изобилие, лавина, море, обилие, поток, разг. бездна, разг. вагон, разг. воз, разг. куча, разг. масса, разг. пропасть, разг. тьма, разг. уйма, разг. уймища, разг. сниж. гибель, разг. сниж. прорва, разг. сниж. сила, разг. сниж. тьма… …   Словарь-тезаурус синонимов русской речи

Множество — совокупность элементов, параметров, объединенных по какому либо признаку Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

МНОЖЕСТВО — в математике, см. Множеств теория …   Большой Энциклопедический словарь

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, а, ср. 1. Очень большое количество, число кого чего н. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве. 2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому н. признаку. Теория множеств. Толковый словарь Ожегова. С.И.… …   Толковый словарь Ожегова

dic.academic.ru

МНОЖЕСТВО — это… Что такое МНОЖЕСТВО?

— набор, совокупность, собрание к.-л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о M. людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о M. точек данной геом. фигуры, о M. решений данного дифференц. ур-ния. Люди, живущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геом. фигуры, решение данного дифференц. ур-ния являются элементами соответствующего M. Множество А считается заданным, если указано характеристич. свойство элементов этого M., т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого M., и только они. Для обозначения того, что элемент а принадлежит M. А , пишут а А (если а не принадлежит А, то пишут a А). Может случиться, что характеристич. свойством, определяющим M. А, не обладает вообще ни один элемент, тогда говорят, что M. А пустое, и пишут А =. Напр., M. действительных решений ур-ния х² = —1 пустое. Если каждый элемент M. А является в то же время элементом M. В, то А наз. подмножеством В и пишут А В. Если одновременно выполнено А В и В А, то говорят, что M. А и В равны и пишут A = B. Объединением А В M. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из M. А и В. Пересечением А ВM. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Операции объединения и пересечения коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Напр., ( А В) C = = (А С) (В С). Наряду с данными двумя M. А и В рассмотрим M. С, элементами к-рого являются всевозможные пары (а, 6), где а А, b В.M. всех таких пар наз. произведением M. A и B иобозначается А В. Напр., евклидова плоскость R²=- R¹R¹ является произведением двух веществ. прямых R¹. Если каждому элементу а А поставлен в соответствие нек-рый элемент f( а) В, то говорят, что задано отображение M. А в M. В (записывается f: А В), иназывают точку f(A )образом точки а при отображении f, M. f(A) — образом M. A, a M. f^-1(b) — прообразом точки b В. Если f(A) — С В, то f наз. отображением «в», в случае, когда f(A) = В, f наз. сюрьективным отображение м или отображением «на». Отображение f: А В наз. инъективным или вложением, если из a₁, a₂ А и a₁ a₂ следует f(a₁) f(a₂). Отображения, одновременно инъективные и суръективные, наз. биекциям и или взаимнооднозначными соответствиями.

Часто рассматривают только такие M., к-рые содержатся в нек-ром фиксиров. M. X. Если A — подмножество X и P — свойство, характеризующее элементы из A, то пишут А ={ х X: Р(х)}, где Р(х )означает, что свойство P выполнено для x (двоеточие заменяет слова «такое, что»). Напр., если X —M. всех действит. чисел, а A — подмножество положит. чисел, то А= { х Х: х>0}. Если А X, то M. X А = = {х X : cА}. наз. дополнением M. А. Операции объединения, пересечения и дополнения связаны т. н. законами де Моргана, напр.: Х(A B) = ( Х А) (X В).

Между двумя конечными M. можно установить биек-цию тогда и только тогда, когда оба M. состоят из одного и того же числа элементов. Обобщая этот факт, Г. Кантор (G. Cantor, 1871-83) определил количественную эквивалентность, или равномощность бесконечных M. как возможность установить между двумя M. взаимно однозначное соответствие. Если M. А равномощно M. В, то говорят, что A и B имеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности M. определяется существованием неравномощных бесконечных M. Напр., M. всех действит. чисел и M. всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность континуума, а второе — счётное M. T. о., бесконечность M. допускает расчленение на разные ступени матем. бесконечности, к-рым соответствуют разл. кардинальные числа, образующие шкалу мощностей. Предположение о месте мощности континуума в этой шкале (точнее, о совпадении континуума с первой несчётной мощностью) наз. континуум-гипотезой. Отметим, что в каждом бесконечном M. А имеется собств. подмножество, равномощное всему А (правильная часть M.), в то время как ни в одном конечном M. такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконочного M.

Использование теоретико-множеств. конструкций в физике, как правило, опосредованно и происходит в осн. через такие матем. дисциплины, как функциональный анализ, динамич. системы, теория групп, топология, алгебраич. геометрия, нестандартный анализ и др. Классич. пример — формализация дельта-функции Дирака d( х), к-рую физик представляет, напр., как точечную единичную массу бесконечной плотности, а математик — как отображение M. финитных ф-ций на прямую, т. е. функционал на пространстве финитных ф-ций. Др. пример — это моделирование эл.-магн. поля или поля Янга — Миллса как связностей на специальных геом. объектах ( расслоениях), заданных парой пространств E и M и отображением f : E M, если M — модель пространства-времени, а f^-1( т) — пространство внутр. состояний точки т M. Такой подход является существ. шагом в единой теории поля. Многообещающим выглядит использование нестандартного анализа для нового построения квантовой механики и статистич. физики, где формализуются, напр., такие физ. конструкции, как бесконечные флуктуации поля в бесконечно малой области.

Лит.: Бурбаки H., Начала математики, ч. 1- Основные структуры анализа, кн. 1 — Теория множеств, пер. с франц., M., 1965; Столл P. Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., M., 1968; Fагrukh M. О., Application of nonstandard analysis to quantum mechanics, «J. Math. Phys.», 1975, v. 16, № 2, p. 177; Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, M., 1977; Mанин Ю. И., Доказуемое и недоказуемое, M., 1979; его же, Калибровочные поля и комплексная геометрия, M., 1984; Девис M., Прикладной нестандартный анализ, пер. с англ., M., 1980; Кантор Г., Труды по теории множеств, пер. с нем., франц., M., 1985; Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, Orlando — [a. o.], 1986; Архангельский А. В., Канторовская теория множеств, М., 1988.

Б. А. Ефимов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

dic.academic.ru

Ограниченность — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел B⊂R{\displaystyle B\subset \mathbb {R} }, для которого существуют числа m,M∈R{\displaystyle m,M\in \mathbb {R} } такие, что для любого x{\displaystyle x} из B{\displaystyle B} имеет место: m⩽x⩽M{\displaystyle m\leqslant x\leqslant M}, иными словами, B{\displaystyle B} целиком лежит в интервале [m,M]{\displaystyle [m,M]}. Числа m{\displaystyle m} и M{\displaystyle M} называются в этом случае нижней и верхней границей множества X{\displaystyle X} соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу —

ru.wikipedia.org