Найти ранг системы векторов найти базис системы: Найти ранг и базис системы векторов онлайн. Как найти базис данной системы векторов

Содержание

Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк или столбцов » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Пример. Вычислить ранг матрицы и найти базис и размерность линейной оболочки натянутой на ее столбцы.

Решение.

1-й шаг: умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй строке:

;

2-й шаг: прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–3):

;

3-й шаг: прибавим ко второй строке 3-ю, умноженную на (–1):

;

4-й шаг: умножаем вторую строку на (–3) и прибавляем к третьей строке:

Ранг последней матрицы равен 3, так как в первых трех столбцах стоит ненулевой минор 3-го порядка

, а миноров 4-го порядка не существует.

Приведенные преобразования не изменяют величину определителя, построенного на первых трех столбцах матрицы А, поэтому он отличен от нуля и, следовательно, его столбцы линейно независимые и образуют максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов матрицы А. Отсюда можно сделать вывод, что первые три столбца матрицы А образуют базис линейной оболочки натянутой на столбцы матрицы А, т.е. и .

Ответ: , – базис линейной оболочки , .

Определение. Любой ненулевой минор матрицы А максимального порядка называют базисным минором матрицы А.

Из этого определения следует, что порядок базисного минора матрицы А равен рангу матрицы А.

Замечание. Максимальную линейно независимую подсистему системы строк матрицы, которая образует базис линейной оболочки системы строк матрицы, мы будем, для краткости, называть базисными строками матрицы. И то же самое для столбцов.

Из приведенного примера можно сделать вывод, что если, вычисляя ранг матрицы, мы не переставляем строки и столбцы матрицы, то найдя базисный минор матрицы и определив номера строк и столбцов на которых он построен, мы, тем самым, находим номера базисных строк и столбцов исходной матрицы.

Так в примере, базисный минор матрицы А построен на первых трех строках и первых трех столбцах, следовательно именно они и образуют базисы системы строк и столбцов матрицы А.

Еще записи по теме

Ранг системы векторов, базисы и линейная зависимость между векторами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

, ,

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

для студентов дневной формы обучения

Контрольная работа № 1

по теме «Линейная алгебра»

МИНСК 2008

ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Студент должен выполнить контрольную работу, строго придерживаясь указанных ниже правил. Работа, выполненная без их соблюдения, к защите не допускается и возвращается студенту на доработку.

Номер варианта выполненной контрольной работы должен совпадать с порядковым номером в журнале старосты группы. Контрольная работа, выполненная не по своему варианту заданий, не зачитывается.

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы должны быть разборчиво написаны фамилии и инициалы студентов, номер зачетной книжки (шифр), номер группы, номер контрольной работы. Заголовок работы нужно поместить на обложке тетради.

3. Условия всех задач нужно записывать полностью. В том случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными из соответствующего номера варианта.

4. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.

5. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

6. В конце работы нужно указать использованную литературу.

7. После получения отрецензированной работы студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты и вернуть ее на повторное рецензирование. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант №1

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение XA = B, где

5.Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №2

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение XA -2B = C, где

5. Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №3

1.Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3.Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение XA = B, где

5.Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №4

1.Вычислить определитель матрицы:

2.Решить систему:

3.Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение AX + B = C, где

5.Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант № 5

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Показать, что система векторов линейно зависима, найти базисы и линейную зависимость между векторами:

4.Решить матричное уравнение XA = B, где

5.Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №6

1.Вычислить определитель матрицы:

2.Решить систему:

3.Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4.Решить матричное уравнение 4C-XA = 2B, где

5.Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №7

1.Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Показать, что система векторов линейно зависима, найти базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение:

5. Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №8

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Показать, что система векторов линейно зависима, найти базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение AXB = C, где

5. Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Вариант №9

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Найти ранг системы векторов, базисы и линейную зависимость между векторами:

4. Решить матричное уравнение XA = B, где

5. Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве

2.

+ А2х2 + Аъхъ + А4х4 = 0. (2.12)

Имеем:

X,	Х2		*4			х1	Х2	хг	Х4
5	4	1 1 1	3	0		5	4	1	3	0
2	1	1	4	0	-»	-3	-3	0	1	0	->
-3	-2	-1	-1	0			2	0	2	0
1	3	-2	2	0		п	11	0	8	0
	х1	Х2	х3				х1	Х2	хъ	*4
	0	-1	1	-2	0		0	-1	1	0	0
-»	0	0	0	1 4 \|	0	->	0	0	0	1	0
	1	1	0	1	0		1	1	0	0	0
	0	0	0	-3	0		0	0	0	0	0

Из последней таблицы следует, что неизвестные xv xv х4 образуют набор разрешенных неизвестных общего решения системы уравнений (2. 12). Следовательно, векторы Av Ау А4 образуют базис системы векторов Av А2, А3, А4. •

Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.

Если ранг системы векторов Av А2,Ап равен г, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из г векторов, является ее базисом.

Основы линейной алгебры

Этот документ представляет собой список некоторых материалов по линейной алгебре. с которыми вы должны быть знакомы. В дальнейшем мы будем считать A матрицей 3 x 4.

Я предполагаю, что вы знакомы с матричным и векторным сложением и умножением.

Все векторы будут столбцов векторов.
Дан вектор v , если мы так скажем, мы имеем в виду, что v имеет хотя бы один ненулевой компонент.
Транспонирование вектора или матрицы обозначается верхним индексом T . Например,
Внутреннее произведение или скалярное произведение двух векторов u и v в можно записать u ^T v ; это означает . Если u ^T v =0, то u и v являются ортогональными .
Пустое пространство из A — это набор всех решений x для матрично-векторное уравнение Ax =0.
Чтобы решить систему уравнений Ax = b , используйте метод исключения Гаусса. Например, если , то решаем х = b следующим образом: (Мы настраиваем расширенную матрицу и уменьшаем (или поворачиваем) строку до верхней. треугольной формы.)

Таким образом, решениями являются все векторы x вида

для любых чисел s и t .
диапазон набора векторов представляет собой набор всех линейных комбинаций векторов. Например, если и тогда диапазон v ¹ и v ² является набором все векторы вида sv ¹ + tv ² для некоторых скаляров s и t .
Промежуток набора векторов в дает подпространство из . Любое нетривиальное подпространство можно записать как оболочку любого из несчетное множество наборов векторов.
Набор векторов является линейно независимым если единственное решение векторного уравнения является для всех и . Если набор векторов не является линейно независимым, тогда это линейно зависимое . Например, строки A являются , а не линейно независимыми, поскольку

Чтобы определить, является ли набор векторов линейно независимым, запишите векторы как столбцы матрицы C , скажем, и решите Cx =0.Если есть какие-то нетривиальные решения, то векторы линейно зависимый; в противном случае они линейно независимы.
Если линейно независимый набор векторов охватывает подпространство тогда векторы образуют базис для этого подпространства. Например, v ¹ и v ² образуют основу для диапазона строк A . Учитывая подпространство S , каждый базис S содержит одинаковое количество векторы; это число является измерением подпространства.Чтобы найти основу для промежутка набора векторов, запишите векторы в виде строк матрицы, а затем уменьшите строку матрицы.
Промежуток строк матрицы называется пространством строк матрицы. матрица. Размерность пространства строк равна рангу матрицы.
Диапазон столбцов матрицы называется диапазоном или пространство столбца матрицы. Пространство строки и пространство столбца всегда имеют одинаковую размерность.
Если M является матрицей размером m x n , то нулевое пространство и пространство строк M являются подпространствами и диапазон M является подпространством .
Если u находится в пространстве строк матрицы M и v находится в пустом пространстве M , то векторы ортогональны. Размерность нулевого пространства матрицы равна недействительности матрицы. Если M имеет n столбцов, то rank( M )+nullity( M )= n . Любая основа для пространства строк вместе с любой основой для нулевого пространства дает основание для .
Если M — квадратная матрица, — скаляр, а x — вектор удовлетворяющий тогда x является собственным вектором M с соответствующим собственным значением .Например, вектор является собственным вектором матрицы

с собственным значением .
Собственные значения симметричной матрицы всегда действительны. Несимметричная матрица может иметь комплексные собственные значения.
Дана симметричная матрица M , следующие эквивалентны:
1.
Все собственные значения M положительны.
2.
x ^T Mx >0 для любого .
3.
М есть положительно определенный .
Дана симметричная матрица M , следующие эквивалентны:
1.
Все собственные значения M неотрицательны.
2.
для любого x.
3.
M есть положительно-полуопределенное .

Джон Э. Митчелл
31 августа 2004 г.

Базис векторного пространства

Пусть V будет подпространством R ⁿ для некоторого n .Коллекция B = { V V , V ₂, …, R _R} векторов от V готов: базис для V если B линейно независим и охватывает V . Если хотя бы один из этих критериев не выполняется, то коллекция не является основой для V . Если набор векторов охватывает V , то он содержит столько векторов, что каждый вектор из V может быть записан как линейная комбинация векторов в наборе.Если набор линейно независим, то он не содержит столько векторов, чтобы одни становились зависимыми от других. Таким образом, интуитивно понятно, что базис имеет правильный размер: он достаточно велик, чтобы охватывать пространство, но не настолько велик, чтобы быть зависимым.

Пример 1 : Набор { i, j } является основой для R ² , поскольку он охватывает R ² и векторы i и 9 ни один из них не кратен другому).Это называется стандартной базой для R ² . Аналогично набор { i, j, k } называется стандартным базисом для R ³ и вообще

является стандартной основой для R ⁿ .

Пример 2 : Набор { i, i+j , 2 j } не является основой для R ² . Хотя он охватывает R ² , он не является линейно независимым.Никакая коллекция из 3 или более векторов из R ² не может быть независимой.

Пример 3 : Набор { i+j, j+k } не является основой для R ³ . Хотя он линейно независим, он не охватывает все R ³ . Например, не существует линейной комбинации i + j и j + k , равной i + j + k .

Пример 4 : Набор { i + j, i − j } является основой для R ² .Во-первых, оно линейно независимо, так как ни i + j , ни i − j не кратны другим. Во-вторых, он охватывает все R ², потому что каждый вектор в R ² может быть выражен как линейная комбинация i + j и i − j . В частности, если A I + B J J — это любой вектор в R ², то если K ₁ = ½ ( A + B ) и K ₂ = ½( а — б ).

Пространство может иметь много разных оснований. Например, как { i, j }, так и { i + j, i − j } являются базовыми для R ². Фактически, любой набор , содержащий ровно два линейно независимых вектора из R ², является основой для R ² . Точно так же любой набор, содержащий ровно три линейно независимых вектора из R ³, является основой для R ³ и так далее.Хотя ни одно нетривиальное подпространство R ⁿ не имеет уникальной базы, есть нечто общее, что должно быть у всех баз данного пространства.

Пусть V будет подпространством R ⁿ для некоторого n . Если V имеет базис, содержащий ровно r векторов, то каждый базис для V содержит ровно r векторов. То есть выбор базисных векторов для данного пространства не уникален, но число базисных векторов является уникальным.Этот факт позволяет четко определить следующее понятие: число векторов в базисе векторного пространства V ⊆ R ⁿ называется размерностью V , обозначаемой dim V . .

Пример 5 : Поскольку стандартный базис для R ² , { i, j } содержит ровно 2 вектора, каждый базис для R ^{2 ровно} содержит ровно 2 вектора Р ² = 2.Точно так же, поскольку { i, j, k } является базисом для R ³, который содержит ровно 3 вектора, каждый базис для R ³ содержит ровно 3 вектора, поэтому dim R 8 3 = 3. В общем, dim R ⁿ = n для каждого натурального числа n .

Пример 6 : В R ³ векторы i и k охватывают подпространство размерности 2.Это плоскость x−z , как показано на рисунке .

Рисунок 1

Пример 7: Одноэлементный набор { i + j = (1, 1)} является базой для одномерного подпространства V из R ², состоящего из прямой y = х . См. рис.

Рисунок 2

Пример 8 : Говорят, что тривиальное подпространство { 0 } в R ⁿ имеет размерность 0.Таким образом, чтобы соответствовать определению измерения, основой для { 0 } должна быть коллекция, содержащая нулевые элементы; это пустой набор, ø.

Подпространства R ¹ , R ² и R ³ , некоторые из которых были проиллюстрированы в предыдущих примерах, можно обобщить следующим образом:

Пример 9 : Найдите размерность подпространства V из R ⁴, натянутого на векторы

Коллекция { V ₁, V ₂, 4 2 , V , ₃, V ₄} не является основой для V — и Dim V не 4- потому что { v ₁, v ₂, v ₃, v ₄} не является линейно независимым; см. расчет, предшествующий приведенному выше примеру.Отказ от V 3 и 3 и 4 ₄ ₄ ₄ из этой коллекции не уменьшается промежуток { V ₁, V ₂, V ₃, V ₄ }, но результирующий набор { v ₁ , v ₂ } линейно независим. Таким образом, { v ₁, v ₂} является основой для V , поэтому dim V = 2.

Пример 10 : Найдите размер промежутка векторов

Поскольку эти векторы находятся в R ⁵ , их диапазон S является подпространством R ⁵ . Однако это не трехмерное подпространство R ⁵ , поскольку три вектора w ₁ , w ₂ и w 3_{не являются линейно независимыми. Фактически, поскольку w ₃ = 3w ₁ + 2w ₂ , вектор w ₃ можно исключить из набора, не уменьшая его.Поскольку векторы w ₁ и w ₂ независимы — ни один из них не является скалярным кратным другого, набор { w ₁ , w _{1 _{служит базисом для 5 9 _{} S , поэтому его размерность равна 2.}}}}

Наиболее важным атрибутом базиса является возможность записать каждый вектор в пространстве уникальным способом в терминах базисных векторов. Чтобы понять, почему это так, пусть B = { v ₁ , v ₂ , …, v _r } пространство будет базисом 90 .Поскольку базис должен охватывать V , каждый вектор v в V может быть записан по крайней мере одним способом как линейная комбинация векторов в B . То есть существуют скаляры k ₁ , k ₂ , …, k _r такие, что

Чтобы показать, что никакой другой выбор скалярных множителей не может дать v , предположим, что

также является линейной комбинацией базисных векторов, равной v .

Вычитание (*) из (**) дает

Это выражение представляет собой линейную комбинацию базисных векторов, которая дает нулевой вектор. Поскольку базисные векторы должны быть линейно независимыми, каждый из скаляров в (***) должен быть равен нулю:

Поэтому, K ‘₁ = K
, K’ ₂, K ‘₂ = K ₂, … и K’ _R = K _R, поэтому представление в ( *) действительно уникален.Когда V написано как линейная комбинация (*) база векторов V ₁, V , V , ₂, …, V _R, уникальные определенные скалярные коэффициенты к ₁ , k ₂ , …, k _r называются компонентами v относительно основы B . Строка вектор ( K ₁, K , K ₂, …, K _R ) называется компонентным вектором из V относительно B и обозначается ( V ) _Б . Иногда удобно записать вектор компонентов как вектор из столбцов ; В этом случае компонент вектор ( K ₁, K ₂, …, K _R ) ^T обозначен [ V ] _B.

Пример 11 : Рассмотрим набор C = { i, i + j , 2 j } векторов в R ² . Заметим, что вектор v = 3 i + 4 j можно записать в виде линейной комбинации векторов C следующим образом:

Тот факт, что существует более одного способа выразить вектор v в R ² в виде линейной комбинации векторов в C , еще раз указывает на то, что C не может быть основой для R ² .Если бы C были базисом, вектор v можно было бы записать как линейную комбинацию векторов из C одним и только одним способом.

Пример 12 : Рассмотрим базис B = { i + j , 2 i − j } числа R 1 2 90. Определить компоненты вектора v = 2 i − 7 j относительно B .

Компоненты v относительно B представляют собой скалярные коэффициенты k ₁ и k ₂, которые удовлетворяют уравнению

Это уравнение эквивалентно системе

Решение этой системы: k ₁ = −4 и k ₂ = 3, поэтому

Пример 13 : относительно стандартной базы { I, J, K } = { ê ₁, ê ₂, ê ₃} для R ³ , компонентный вектор любого вектора v в R ³ равен самому v : ( v ) _B = v . Тот же результат справедлив для стандартного базиса { ê ₁ , ê ₂ ,…, ê _n } для каждого 1 8 8 }

Ортонормированные базисы . Если B = { V ₁, V , 2 , …, V , …, V _N} является основой для векторного пространства V , затем каждый вектор V в V можно записать как линейную комбинацию базисных векторов одним и только одним способом:

Нахождение компонент v относительно базиса B — скалярных коэффициентов k ₁ , k ₂ , …, k n 90 обычно включает в себя 71 решение 2 в приведенном выше представлении _{n 90 система уравнений.Однако, если базисные векторы ортонормированы , то есть взаимно ортогональные единичные векторы, то вычисление компонентов особенно легко. Вот почему. Предположим, что B = {vˆ ₁ ,vˆ ₂ ,…,vˆ _n } является ортонормированным базисом. Начиная с уравнения выше — с V ₁, V ₂, …, V _N Замена V ₁, V ₂, …, V _N Чтобы подчеркнуть что базисные векторы теперь считаются единичными — возьмите скалярное произведение обеих сторон с vˆ ¹ :}

В силу линейности скалярного произведения левая часть становится равной

.

Теперь, в силу ортогональности базисных векторов, vˆ _i · vˆ ₁ = 0 для i = 2 через n .Кроме того, поскольку vˆ является единичным вектором, vˆ ₁ · vˆ ₁ = ‖vˆ ₁ ‖1 ² = 1 ² = 1. Следовательно, приведенное выше уравнение упрощается до утверждения
В целом, если B = { V , ₁, V ₂ ₂, . .., V _N} является ортонормированным основанием для векторного пространства V , затем компоненты, k _i , любого вектора v относительно B находятся по простой формуле

Пример 14 : Рассмотрим векторы

из Р ³ .Эти векторы взаимно ортогональны, так как вы можете легко проверить, проверяя, что V ₁ · — ₂ = V ₁ · V ₃ = V ₂ · v ₃ = 0. Нормируем эти векторы, тем самым получая ортонормированный базис для R ³ и затем находим компоненты вектора v = (1, 2, 3) относительно этого базиса.
Ненулевой вектор нормализуется — преобразуется в единичный вектор — путем деления его на длину. Следовательно,

с B = { V ₁, 4 1 , V ₂, 4 2 5, 4 2 ₃} является ортонормированным основанием для R ³, результат указанный выше гарантирует, что компоненты v относительно B можно найти, просто взяв следующие скалярные произведения:
Следовательно, ( v ) _B = (5/3, 11/(3√2),3/√2), что означает, что единственное представление v в виде линейной комбинации базиса векторы читаются как v = 5/3 vˆ ₁ + 11/(3√2) vˆ ₂ + 3/√2 vˆ _{3 902}
Пример 15 : Докажите, что набор взаимно ортогональных ненулевых векторов линейно независим.
Доказательство . Пусть { V 1 , V , 2 ₂, . .., V , …, V _R} Быть набором ненулевых векторов от 30324 R ^N, которые являются взаимно ортогональными, что означает Что № V _I = 0 и V _I · V _J = 0 для I ≠ J .Пусть

— линейная комбинация векторов в этом наборе, дающая нулевой вектор. Цель состоит в том, чтобы показать, что k ₁ = k ₂ = … = k _r = 0. Для этого возьмем скалярное произведение обеих частей уравнения с v 1 :
Второе уравнение следует из первого в силу линейности скалярного произведения, третье уравнение следует из второго в силу ортогональности векторов, а итоговое уравнение является следствием того, что ‖ v ₁ ‖ ² ≠ 0 (начиная с v ₁ ≠ 0 ). Теперь легко видеть, что скалярное произведение обеих сторон (*) с v _i дает k _i = 0, устанавливая, что каждые скалярных коэффициентов в (*) должны быть нулю, тем самым подтверждая, что векторы v ₁ , v ₂ , …, v _r действительно независимы.

233 набора задач
233 набора задач
233 набора задач

Набор задач 1
1.Опишите пересечение трех плоскостей u + v + w + z = 6 и u + w +z = 4 и u + w =2 (все в четырехмерном пространстве). Это линия или точка или пустое множество? Что такое пересечение, если четвертая плоскость u = -1 включено? Найдите четвертое уравнение, которое оставляет нас без решение.
2. При каких условиях на y0, y1, y2 точки (0,y0), (1,y1), (2,y2) лежать на прямой?
3. Ниже представлена система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с двумя символические константы a и b. Изменяя значения a и b, мы можем получить не только разные решения, но и разное количество решения. Используйте свой калькулятор, чтобы уменьшить расширенную матрицу этого системы, чтобы ответить на вопросы.
х + 2у+ аз = 4, 2х — у + 3z = b, 3х — 4у + 2z = -3
При каких значениях a и b
а) нет решений?
б) единственное решение?
(c) ряд решений (т.е. одна свободная переменная)?
г) плоскость решений (т.е. две свободные переменные)?
4. Какое из этих правил дает правильное определение ранга A?
(a) Количество ненулевых строк в сокращенной по строкам матрице R.
(b) Количество столбцов минус общее количество строк в A.
(c) Количество столбцов минус количество свободных столбцов в A.
(d) Количество единиц в R.
5. Используйте полученную информацию, чтобы определить, является ли каждая линейная система Ax=b последовательный. Если да, укажите количество параметров в общем решение:
Размер А Ранг(A)        Ранг[A | б]
а)    3 х 3 3 3
б)    3 х 3 2 3
в)    3 х 3 1 1
г)    5 х 9 2 2
д)    5 х 9 2 3
е)    4 х 4 0 0
ж)    6 х 2 2 2
6. Методом проб и ошибок найдите примеры матриц 2 на 2 такие, что
(a) A(A) = -I, A имеет только действительные записи
(б) B(B) = 0, хотя B ≠ 0
(c) CD = -DC, но CD ≠ 0
(d) EF = 0, хотя никакие элементы E или F не равны нулю.
7. A — 3 на 5, B — 5 на 3, C — 5 на 1 и D — 3 на 1. Все записи равно 1. Какие из этих матричных операций разрешены и какие Результаты? Для тех, кому нельзя, объясните, почему нельзя.
BA, AB, ABD, DBA, A(B+C)
8.Пусть L будет буквенной матрицей L, которая представляет собой квадратную матрицу нулей и единиц в единицы которого образуют форму буквы L. Для любой квадратной матрицы A поэкспериментируйте, используя свой калькулятор с произведением AL для A и L различных размеры, такие как 4 на 4, 5 на 5 и 6 на 6, чтобы помочь вам ответить на следующие вопросы. вопросы. Ваши ответы должны быть действительны для буквенных матриц каждого возможный размер.
(a) Опишите продукт AL, то есть, что L делает с A, когда он умножается справа от А? Объяснять.
(b) Что такое L ²?
(c) Найдите общую формулу для L ^p через p и n, где L н за н.
Вот решения этой первой проблемы.
Набор задач 2
1. Если каждая строка матрицы 4 на 4 содержит числа 0, 1, 2, 3 в некотором порядок, может ли матрица быть симметричной? Может ли он быть обратимым? Объяснять.
2. У этой матрицы есть неожиданная обратная. Найдите его обратное по строке сокращение на [А | Я].Повторите для «переменной матрицы» 5 на 5 и объясните, почему этот шаблон будет продолжаться для «переменной матрицы» любого размера.
[1 -1 1 -1]
А = [0 1 -1 1]
[0 0 1 -1]
[0 0 0   1]
3. (a) Какая матрица 3 на 3 добавит строку 3 к строке 1?
б) Какая матрица добавляет строку 1 к строке 3 и при этом время добавляет строку 3 в строку 1?
в) Какая матрица добавляет строку 1 к строке 3, а затем добавляет ряд 3 в ряд 1? Объясните различия.
4. Если матрица 4 на 4 имеет det A = 1/2. найти det(2A), det(-A), det(A ²), и det(A ^-1 ) (если есть проблемы с набором, последние два квадрат и инверсия).
5. Мы обсудили формулу для определителя 3 на 3 с шестью членами, тремя вниз и три вверх вычитается. Есть похожая формула для 4 на 4 определителя, но у него 4! = 24 термина (а не только восемь). Также негативы не там, где вы можете догадаться.Считать замены строк на найти эти определители. Объясните все.
[0 0 0 1] [0 1 0 0]
[0 0 1 0] [0 0 1 0]
det   [0 1 0 0]   = +1      и det    [0 0 0 1] = -1
[1 0 0 0] [1 0 0 0]
[-1 4 -4]
6.Пусть A = [ 1 -3   1].
[ 1 -2   0]
Вычислить A ³ + 4A ² + 5A + 2I (не стесняйтесь использовать калькулятор), чтобы убедиться, что оно равно 0. Перепишите уравнение A ³ + 4A ² + 5A + 2I = 0, чтобы найти формулу, обратную A как многочлен от A. Внимание: Не предполагайте, что обратный существует, так как это часть того, что вы должны показать. Наконец рассчитать обратное A, используя вашу формулу (не стесняйтесь снова использовать свою калькулятор).
[а б в]
7. Если определитель A =    [d e f] = k, найдите определитель этих матриц (и объясните причины):
[g h i]
    [d e f] [3a 3b 3c]      [a + g   b + ч   с + я]         [ -3a      -3b     -3c ]
а) [g h i] б) [-d   -e -f]   в)[ д д         е ]    г) [ д е        ж   ]
[a b c]    [4g 4h 4i] [ г    ч я ]    [г- 4д ч — 4д и — 4ж]
8.Если правая часть b является последним столбцом A, решите систему 3 на 3 Ax = б. Объясните, как каждый определитель в правиле Крамера приводит к вашему раствор х.
9. Рассмотрим параллелограмм PQRS, где P = (2,1), Q = (4,2), R = (3,6), S = (1,5). Используйте векторную алгебру в этой задаче.
а) Найдите вершины переноса этого параллелограмма, в которых P переводится в исходное положение.
(b) Найдите вершины трансляции PQRS, центр которых находится в точке источник.(«Центр» — это общая середина его диагоналей.)
(c) Найдите вершины параллелограмма, полученного вращением PQRS 180 градусов вокруг вершины P и делая его стороны в два раза длиннее.
Вот решения второго набора задач (если кто-то хочет увидеть файл TeX для этого, пожалуйста, спросите).
Набор задач 3: (здесь 11 задач; набор задач будет набрано из 40 баллов)
1. Набор векторов {u1, u2, u3} является базисом подпространства W в R ⁴ . и {v1, v2, v3} является базисом того же подпространства. Вектор w в W имеет координаты (2, 4, -3) относительно первого базиса. Найдите его координаты относительно второго базиса. Не стесняйтесь использовать ваш калькулятор.
u1 = (1,-2,0,3), u2 = (0,-1,3,2), u3 = (2,-3,1,0), v1 = (1,-1,-3, 1), v2 = (-1, 1,1,1), v3 = (1,-2,2,1).
2. (a) Найдите базис для пространства столбцов матрицы A ниже.
(b) Найдите базис для пространства столбцов матрицы A найдя A ^T, а затем найдя основу для пространства строк.
(c) Зная, что эти два основания относятся к одному и тому же подпространство, как два набора базисных векторов должны быть связаны друг с другом алгебраически?
[1 1 -3 3]
[-2 0   2 0]
А = [-3 2 -1 3]
[-2 1 0 1]
[2 0 -2 -1]
Не стесняйтесь использовать свой калькулятор, чтобы помочь.
3. (a) Спроецируйте b = (1,0,0) на прямые, проходящие через a1 = (-1,2,2), a2= (2,-1,2) и a3 = (2,2,-1).Добавьте три проекции p1+p2+p3.
(b) Спроецируйте вектор d = (1,1) на прямые, проходящие через с1 = (1,0) и с2 = (1,2). Добавьте проекции p1+p2.
(c) Объясните разницу между (a) и (b).
4. Если w1, w2 и w3 — независимые векторы, показать, что разности d1 = w2-w3, d2 = w1-w3, d3 = w1-w2 зависимы. С другой стороны, покажите что суммы s1 = w2 + w3, s2 = w1 + w3 и s3 = w1 + w2 равны независимый.
5. Выберите x = (x1, x2, x3, x4) в R ⁴ . Он имеет 24 перестановки типа (x2, x1, x3, x4) и (x4, x3, x1, x2). Те 24 векторы, включая сам x, охватывают подпространство S. Найти определенные векторы x так, что размерность S равна (a) 0, (b) 1, (c) 3, (d) 4.
6. Найдите базис для каждого из этих подпространств R ⁴ :
(a) Все векторы, компоненты которых равны.
(b) Все векторы, компоненты которых в сумме равны нулю.
(c) Все векторы, перпендикулярные (1,1,0,0) и (1,0,1,1).
(d) Пространство столбца и пустое пространство U = [1 0 1 0 1]
[0 1 0 1 0].
7. Верно или неверно. Пожалуйста, объясни.
(a) Если столбцы A линейно независимы, то Ax=b имеет ровно один решение для каждого б.
(b) Матрица 5 на 7 никогда не имеет линейно независимых столбцов.
8. Если мы добавим дополнительный столбец b к матрице A, то пространство столбца становится больше, если __________. Приведите пример, в котором столбец пространство становится больше, и пример, в котором это не так. Почему Ах = б решаемо именно тогда, когда пространство столбца не увеличивается за счет включения b?
9. Постройте матрицу с требуемым свойством или объясните, почему вы не могу
(a) Пространство столбца содержит (1,1,0), (0,0,1), пространство строки содержит (1,2) , (2,5).
(b) Пространство столбцов имеет базис (1,2,3), нулевое пространство имеет базис (3,2,1).
(c) Размерность нулевого пространства = 1 + размерность нулевого пространства транспонировать.
(d) Пустое пространство транспонирования содержит (1,3), пространство строк содержит (3,1).
(e) Пространство строки = пространство столбца, пустое пространство ≠ пустое пространство транспонирования.
10. A — матрица p на q ранга r. Предположим, что существуют векторы b для которое Ax = b не имеет решения.
а) Какие неравенства должны выполняться между p, q и r?
б) Откуда вы знаете, что A ^T y = 0 имеет ненулевое решение?

11.Объясните, почему v = (1, 0 , -1) не может быть строкой A и при этом находиться в нулевое пространство.
Вот решения третьего набора задач.
Набор задач 4
1. Для вектора u = (7,7,7) и плоскости W, заданной формулой 2x + y + 3z = 0, используйте проекцию u на W, чтобы найти:
(а) Расстояние от вершины u до плоскости W
(b) ненулевой вектор q, ортогональный каждому вектору из W.
2. Рассмотрим подпространство R5, натянутое на u1 = (1, 0, 2, 0, -1), u2 = (0,1,1,-2,0) и u3 = (-1,2,0,1,-3).Примените процесс Грама-Шмидта к найти ортогональный базис этого подпространства. Теперь измените их порядок, используйте u3 сначала, затем u1, затем u2, снова применяя процесс Грама-Шмидта. Почему дает ли это другой ортогональный базис для одного и того же подпространства? Не стесняйтесь использовать калькуляторы для вычислений.
3. Найдите все векторы, перпендикулярные (1,4,4,1) и (2,9,8,2).
4. Почему эти утверждения ложны?
(a) Если V ортогонален W, то ортогональное дополнение к V есть ортогональный ортогональному дополнению W.
(b) Если V ортогонален W и W ортогонален Z, то V ортогонален до Z.
5. Предположим, что S содержит только два вектора (1,5,1) и (2,2,2) (не подпространство). Найдите матрицу, ортогональное дополнение к S которой нулевое пространство. Обратите внимание, что ортогональное дополнение к S является подпространством, несмотря на то, что S не является одним из них.
6. Если q1 и q2 являются выходными данными процесса Грама-Шмидта, каковы были возможные входные векторы a и b?
7.Косинусное пространство F3 содержит все комбинации y(x) = A cos x + B cos 2x + С кос 3х. Найдите базис для подпространства, имеющего y(0) = 0.
8. Найдите базис для пространства многочленов p(x) степени ≤ 3. Найдите базис для подпространства с p(1) = 0.
9. Пусть W — множество всех верхнетреугольных 4 на 4 матриц. Покажи это W является подпространством M44. Найдите базис для W и определите его измерение.
10. Обозначим через V множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел. (x1,x2,…,xn…).Задайте сложение и скалярное умножение с помощью компоненты. Покажите, что V с этими двумя операциями является вектором космос. Будьте осторожны, чтобы проверить все необходимые аксиомы. Это утомительно, но не сложно.
Вот решения этой четвертой проблемы набор.
Набор задач 5
1. Найдите циклическую матрицу перестановок 4 на 4, в которой x = (x1, x2, x3, x4) преобразуется в Ax = (x2, x3, x4, x1). На что влияет А в квадрате? Покажите, что A в кубе = обратное A.
2. Найдите матрицу A 4 x 3, представляющую сдвиг вправо: (x1, x2, x3) преобразуется в (0, x1, x2, x3). Найдите также матрицу сдвига влево B из R ⁴ обратно в R ³ , преобразуя (x1, x2, x3, x4) в (х2, х3, х4). Что такое продукты AB и BA?
3. Какова ось и угол поворота для преобразования, которое происходит (x1, x2, x3) до (x2, x3, x1)?
4. Какое из этих преобразований не является линейным для v = (v1, v2)?
(а) T(v) = (v2, v1)
(б) T(v) = (v1, v1)
(в) T(v) = (0, v1)
(г) T(v) = (0, 1)
Объясните все.
5. Какие из этих преобразований удовлетворяют условию T(v + w) = T(v) + T(w), а какие удовлетворяют T(cv) = cT(v)?
(а) T(v) = v/||v||
(б) T(v) = v1 + v2 + v3
(в) Т(v) = (v1,2v2,3v3)
(d) T(v) = наибольший компонент v.
6. Для этих преобразований V = R2 в W = R2 найдите T(T(v))
(а) Т(v) = -v
(б) T(v) = v + (1,1)
(c) T(v) = поворот на 90° = (-v2, v1)
(г) T(v) = проекция = 1/2(v1+v2, v1+v2)
7. Найдите образ и ядро T
а) Т(v1,v2) = (v2, v1)
(б) Т(v1, v2, v3) = (v1, v2)
(в) Т(v1,v2) = (0,0)
(d) T(v1,v2) = (v1, v1)
8. Предположим, что линейное T преобразует (1,1) в (2,2) и (2,0) в (0,0). Найдите матрицу для T.
9. Просмотрите весь этот набор задач. Какие преобразования изоморфизмы? Обоснуйте свое утверждение.
Вот решения пятого набора задач.
Набор задач 6
1.Используйте свой калькулятор, чтобы найти собственные значения и их геометрические кратности для матрицы n на n буквы L. Объясните, почему собственные значения имеют заявленные геометрические кратности.
2. Почему собственные значения A равны собственным значениям его транспонировать? Должны ли собственные векторы быть одинаковыми?
3. Если B имеет собственные значения 1, 2, 3, C имеет собственные значения 4, 5, 6, а D имеет собственные значения 7, 8, 9, каковы собственные значения матрицы 6 на 6
А = [В С]
[0   Д] ?
4. Предположим, что A имеет собственные значения 0, 3, 5 с независимыми собственными векторами u, v, w.
(a) Дайте основу для nullpsace и основу для пространства столбца.
(b) Найдите частное решение Ax = v + w. Найти все решения
(c) Покажите, что Ax = u не имеет решения. (подсказка: если бы решение, то что-то было бы в пространстве столбца.)
5. Диагонализировать матрицу A и найти один из ее квадратных корней, такую матрицу что его квадрат равен A. Сколько будет квадратных корней?
А = [5 4]
[4 5]
6.Если собственные значения A равны 1 и 0, запишите все, что должно быть правдой. о матрице A и ее квадрате.
7. Предположим, что Ax = kx. Если k = 0, то x находится в нулевом пространстве. Если k ≠ 0, то x находится в пространстве столбцов. Эти пространства имеют размеры (п — г) + г = п. Итак, почему не каждая квадратная матрица имеет n линейно независимые собственные векторы?
8. M — любая матрица 2 на 2 и A = [1 2].
[3 4]
Линейное преобразование T определяется формулой T(M) = AM.Какие правила матричное умножение показывает, что T является линейным?
9. Предположим, что T транспонирует каждую матрицу M. Попробуйте найти матрицу A что дает AM = T(M). Покажите, что ни одна матрица A этого не сделает.
10. Рассмотрим векторное пространство матриц 2 на 2. Что такое базис для этого векторного пространства? Какова его размерность? Предположим, что Т транспонирует каждую матрицу M. Что такое матрица для этого преобразования относительно этого векторного пространства? Сравните это с предыдущим вопрос.
Вот ваши самые последние решения. ни у кого нет ответил на предыдущие еще.
Поиск ядра и образа
Поиск ядра и образа
ПОИСК ОСНОВЫ ДЛЯ ЯДРА ИЛИ ОБРАЗА
Найти ядро матрицы А — это то же самое, что решить система AX = 0, и обычно это делается путем помещения A в rref. Матрица A и ее rref B имеют точно такое же ядро. В обоих случаях ядром является множество решений соответствующих однородных линейные уравнения, AX = 0 или BX = 0.
Вы можете выразить набор решений как линейную комбинацию некоторых постоянные векторы, в которых коэффициенты являются свободными переменными.
Например, чтобы получить ядро
1 2 3
2 4 6
один получает rref
1 2 3
0 0 0
а затем решается x + 2y + 3z = 0 (это уже приведено). Генерал решение
-2y-3z
{         y     :        y, z в R}
          z
который вы можете написать как
-2               -3
г    1    +    z     0
       0                1
Векторы-столбцы
-2
   1
   0
и
-3
   0
   1
охватывают ядро, ясно.Они независимы, потому что каждый, в точке координат, соответствующей свободной переменной, которая — его коэффициент, имеет 1, а другой вектор (ы) имеет 0 в том месте.
Таким образом, векторы, созданные для охвата ядра этим методом, равны всегда основа для ядра, и размерность ядра = количество свободных переменных при решении AX = 0,
Получая основу образа, хочется выделить определенные столбцы. Отношения в столбцах rref такие же как отношения на столбцах исходной матрицы.(Решения уравнений снова.) Следовательно, если набор столбцов rref является основой для образа rref, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ столбцы исходная матрица A также является базой. Одна вещь, которая всегда работает заключается в использовании опорных столбцов исходной матрицы: это столбцы, где у rref есть ведущие.
Например, рассмотрим
. 0 0 0
1 2 3
2 4 7
Ссылка
1 2 0
0 0 1
0 0 0
Сводные столбцы — первый и третий.Это показывает, что первый и третий столбцы исходного матрица является основой для его изображения. ОДНАКО эти две матрицы не имеют одинакового изображения.
Простейший пример, когда матрица A и ее rref не имеют то же изображение (пространство столбца) есть, когда A =
0
1
Пространство столбца — это линия, натянутая на этот вектор: ось e_2 или y.
Но rref
1
0
а пространство столбца — это линия, натянутая на этот единственный вектор: e_1 или ось x.
1.5: Ранговые и однородные системы
Ранговые и однородные системы
Существует особый тип системы, который требует дополнительного изучения. Система такого типа называется однородной системой уравнений, которую мы определили выше в определении 1.2.3. В этом разделе мы сосредоточимся на рассмотрении возможных типов решений однородной системы уравнений.
Рассмотрим следующее определение.
Определение \(\PageIndex{1}\): простое решение
Рассмотрим однородную систему уравнений, заданную \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{ m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{array}\nonumber \] Тогда \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) всегда является решением этой системы.Мы называем это тривиальным решением .
Если система имеет решение, в котором не все \(x_1, \cdots, x_n\) равны нулю, то мы называем это решение нетривиальным . Тривиальное решение мало что говорит нам о системе, так как говорит, что \(0=0\)! Поэтому при работе с однородными системами уравнений мы хотим знать, когда система имеет нетривиальное решение.
Предположим, у нас есть однородная система \(m\) уравнений, использующая \(n\) переменных, и предположим, что \(n > m\).Другими словами, переменных больше, чем уравнений. Тогда оказывается, что эта система всегда имеет нетривиальное решение. Система не только будет иметь нетривиальное решение, но и будет иметь бесконечно много решений. Также возможно, но не обязательно, иметь нетривиальное решение, если \(n=m\) и \(n
Рассмотрим следующий пример.
Пример \(\PageIndex{1}\): решения однородной системы уравнений
Найдите нетривиальные решения следующей однородной системы уравнений \[\begin{array}{c} 2x + y — z = 0 \\ x + 2y — 2z = 0 \end{array}\nonumber \]
Раствор
Обратите внимание, что эта система имеет \(m = 2\) уравнений и \(n = 3\) переменных, так что \(n>m\). Следовательно, согласно нашему предыдущему обсуждению, мы ожидаем, что эта система будет иметь бесконечно много решений.
Процесс, который мы используем для нахождения решений однородной системы уравнений, — это тот же процесс, который мы использовали в предыдущем разделе. Во-первых, мы строим расширенную матрицу, заданную \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Затем мы переносим эту матрицу на ее , указанную ниже. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Соответствующая система уравнений имеет вид \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y — z =0 \\ \end{array}\nonumber \] Поскольку \(z\) не ограничивается никаким уравнением, мы знаем, что эта переменная будет стать нашим параметром.Пусть \(z=t\), где \(t\) — любое число. Следовательно, наше решение имеет вид \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = z = t \\ z = t \end{array}\nonumber \] Следовательно, эта система имеет бесконечно много решений, причем один параметр \(t\).
Предположим, нам нужно написать решение предыдущего примера в другой форме. В частности, \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = 0 + t \\ z = 0 + t \end{array}\nonumber \] можно записать как \[\left[ \begin{ array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + t \ left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Обратите внимание, что мы построили столбец из констант в решении (все равны \(0\ )), а также столбец, соответствующий коэффициентам при \(t\) в каждом уравнении.Хотя мы еще обсудим эту форму решения в следующих главах, сейчас рассмотрим столбец коэффициентов параметра \(t\). В данном случае это столбец \(\left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\).
У этого столбца есть специальное имя: базовое решение . Базовые решения системы представляют собой столбцы, построенные из коэффициентов при параметрах решения. Мы часто обозначаем основные решения как \(X_1, X_2\) и т. д., в зависимости от того, сколько решений встречается. Следовательно, пример \(\PageIndex{1}\) имеет базовое решение \(X_1 = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\).
Мы рассмотрим это подробнее в следующем примере.
Пример \(\PageIndex{2}\): основные решения однородной системы
Рассмотрим следующую однородную систему уравнений. \[\begin{array}{c} x + 4y + 3z = 0 \\ 3x + 12y + 9z = 0 \end{array}\nonumber \] Найдите основные решения этой системы.
Раствор
Расширенная матрица этой системы и результат: \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 3 & 12 & 9 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] При записи в уравнений, эта система задается как \[x + 4y +3z=0\nonnumber \] Обратите внимание, что только \(x\) соответствует опорному столбцу.В этом случае у нас будет два параметра: один для \(y\) и один для \(z\). Пусть \(y = s\) и \(z=t\) для любых чисел \(s\) и \(t\). Тогда наше решение принимает вид \[\begin{array}{c} x = -4s — 3t \\ y = s \\ z = t \end{array}\nonumber \], что можно записать как \[\left[ \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + s \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Здесь вы видите, что у нас есть два столбца коэффициентов, соответствующих параметрам, в частности, один для \(s\) и один для \(t\).Таким образом, эта система имеет два основных решения! Это \[X_1= \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], X_2 = \left[ \begin{array}{r} -3 \ \ 0 \\ 1 \end{массив} \right]\номер \]
Теперь мы представляем новое определение.
Определение \(\PageIndex{2}\): линейная комбинация
Пусть \(X_1,\cdots ,X_n,V\) — матрицы-столбцы. Тогда \(V\) называется линейной комбинацией столбцов \(X_1,\cdots , X_n\), если существуют скаляры \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) такие что \[V = a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n\nonumber \]
Замечательным результатом этого раздела является то, что линейная комбинация основных решений снова является решением системы. Еще более примечательно то, что каждое решение может быть записано как линейная комбинация этих решений. Следовательно, если мы возьмем линейную комбинацию двух решений примера \(\PageIndex{2}\), это также будет решением. Например, мы могли бы взять следующую линейную комбинацию
\[3 \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{массив} \right] + 2 \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0\ \ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]\nonumber \] Вы должны найти время, чтобы убедиться, что \[\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end {массив} \справа]\номер\]
на самом деле является решением системы в примере \(\PageIndex{2}\).
Еще один способ получить больше информации о решениях однородной системы — рассмотреть ранг соответствующей матрицы коэффициентов. Определим теперь, что подразумевается под рангом матрицы.
Определение \(\PageIndex{3}\): ранг матрицы
Пусть \(A\) — матрица и рассмотрим любую из \(A\). Тогда число \(r\) ведущих элементов \(A\) не зависит от того, что вы выберете, и называется рангом из \(A\).Обозначим его через Rank(\(A\)).
Точно так же мы могли бы подсчитать количество опорных позиций (или опорных столбцов), чтобы определить ранг \(A\).
Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение ранга матрицы
Рассмотрим матрицу \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right]\nonumber \] Что такое его ранг?
Раствор
Сначала нам нужно найти число \(A\). По обычному алгоритму находим, что это \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 0 & -1 \\ 0 & \fbox{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Здесь у нас есть два ведущих элемента или две опорные позиции, показанные выше в прямоугольниках.Ранг \(A\) равен \(r = 2.\)
Обратите внимание, что мы получили бы тот же ответ, если бы нашли число \(A\) вместо числа .
Пусть у нас есть однородная система \(т\) уравнений в \(п\) переменных, и предположим, что \(п > т\). Из нашего обсуждения выше мы знаем, что эта система будет иметь бесконечно много решений. Если рассмотреть ранг матрицы коэффициентов этой системы, то можно узнать о решении еще больше. Обратите внимание, что мы рассматриваем только матрицу коэффициентов, а не всю расширенную матрицу.
Теорема \(\PageIndex{1}\): ранг и решения однородной системы
Пусть \(A\) будет \(m \times n\) матрица коэффициентов, соответствующая однородной системе уравнений, и предположим, что \(A\) имеет ранг \(r\). Тогда решение соответствующей системы имеет \(n-r\) параметров.
Рассмотрим приведенный выше пример \(\PageIndex{2}\) в контексте этой теоремы. Система в этом примере имеет \(m = 2\) уравнений в \(n = 3\) переменных. Во-первых, поскольку \(n>m\), мы знаем, что система имеет нетривиальное решение и, следовательно, бесконечно много решений.Это говорит нам о том, что решение будет содержать хотя бы один параметр. Еще больше о решении может рассказать ранг матрицы коэффициентов! Матрица коэффициентов системы имеет ранг \(1\), так как она имеет один ведущий элемент в ступенчато-строковой форме. Теорема \(\PageIndex{1}\) говорит нам, что решение будет иметь \(n-r = 3-1 = 2\) параметров. Вы можете убедиться, что это так, в решении примера \(\PageIndex{2}\).
Обратите внимание, что если \(n=m\) или \(n
Здесь мы не ограничиваемся однородными системами уравнений. Ранг матрицы можно использовать, чтобы узнать о решениях любой системы линейных уравнений. В предыдущем разделе мы обсуждали, что система уравнений может не иметь решения, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Предположим, что система непротиворечива независимо от того, однородна она или нет. Следующая теорема говорит нам, как мы можем использовать ранг, чтобы узнать о типе решения, которое у нас есть.
Теорема \(\PageIndex{2}\): ранг и решения согласованной системы уравнений
Пусть \(A\) будет \(m \times \left( n+1 \right)\) увеличенной матрицей, соответствующей непротиворечивой системе уравнений в \(n\) переменных, и пусть \(A\) имеет ранг \(г\). Затем
система имеет единственное решение, если \(r = n\)
система имеет бесконечно много решений, если \(r < n\)
Мы не будем приводить формальное доказательство этого, а рассмотрим следующие рассуждения.
Нет решения Приведенная выше теорема предполагает, что система непротиворечива, то есть что она имеет решение. Оказывается, расширенная матрица системы без решения может иметь любой ранг \(r\), пока \(r>1\).Следовательно, мы должны знать, что система непротиворечива, чтобы использовать эту теорему!
Уникальное решение Предположим, \(r=n\). Тогда в каждом столбце матрицы коэффициентов \(A\) есть точка опоры. Следовательно, существует единственное решение.
Бесконечное множество решений Предположим, \(r Столбцы, которые \(не\) являются сводными столбцами, соответствуют параметрам. На самом деле в этом случае у нас есть \(n-r\) параметров.
Диапазон и нулевое пространство матрицы
Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects. org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.
Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105
Или заполните форму ниже:

Линейная алгебра 6: Ранг, Базис, Размерность | by adam dhalla
Это продолжение моей серии по линейной алгебре, которую следует рассматривать как дополнительный ресурс при изучении 18-го класса Гилберта Стрэнга. 06 на ОСВ. Это можно близко сопоставить с Лекциями 9 и 10 в его серии.
Сегодня мы коснемся темы, которую уже видели, но официально не обсуждали. Возможно, это самая важная идея, которую следует охватить в этой части линейной алгебры, и это ранг матрицы. Две другие идеи, основа и измерение, как бы выпадают из этого.
Ранг
Проще говоря, ранг матрицы представляет количество независимых столбцов в матрице.Это число, р, очень важно при рассмотрении матрицы. Возьмем ранг этой матрицы.
Ранг этой матрицы равен 2. Это потому, что у нас есть два независимых столбца , столбцы 1 и 2. Третий столбец кратен первому столбцу и поэтому зависим. Проще говоря, r = 2.
Но мы можем получить больше из этого числа. Если бы мы смотрели на это в контексте системы уравнений и решали либо b, либо 0, мы бы искали свободные столбцы против опорных столбцов.
Затем мы понимаем, что количество опорных столбцов равно рангу, поскольку опорные столбцы = независимые столбцы.
Кроме того, мы также можем получить количество свободных столбцов в матрице (m, n), выполнив n — r, что даст нам количество свободных столбцов.
Пока:
r — количество независимых/сводных столбцов, а также сводных переменных
n — r — количество зависимых/свободных столбцов, а также свободных переменных
И в расширении,
n — r — количество векторов, определяющих нулевое пространство
r — количество векторов, определяющих пространство столбцов
матрица — это ее «истинный размер».Даже если у вас есть матрица m = 100, n = 200, вы можете описать то же пространство столбцов всего 100 столбцами вместо 200. Это подводит нас к обсуждению базиса.
Базис
Базис — это наименьший возможный набор векторов, который можно использовать для описания векторного пространства. Векторное пространство имеет бесконечное количество оснований. Например, все следующие являются базисными векторами R².
Другими словами, если мы возьмем комбинации любых из этих пар базисных векторов, мы можем получить любой вектор в R².Эти базисные векторы всегда полностью независимы.
Важно:
Все векторы в базисе линейно зависимы
Векторы должны охватывать рассматриваемое пространство.
В расширении базис не имеет ненулевой записи в нулевом пространстве.
Глядя на матрицу, которая зависит от , мы можем проанализировать матрицу, чтобы найти меньшее количество базисных векторов, которые охватывают то же пространство, что и матрица.
Это зависимая матрица. Последний столбец кратен первому столбцу. Колонны охватывают двухмерную плоскость в трех измерениях. Мы можем описать двумерную плоскость всего двумя векторами, так как же мы можем свести эти три вектора к двум?
Ну, мы можем просто взять два независимых столбца. Первый и второй. Эти два вектора охватывают одно и то же пространство.
Эти векторы являются одним из многих базисных векторов для матрицы, с которой мы имели дело.
Измерение
Измерение, возможно, самое простое понятие — это количество измерений, которые охватывают столбцы или векторы. Размерность приведенной выше матрицы равна 2, поскольку пространство столбцов матрицы равно 2.
Как правило, rank = размерность, или r = размерность.
Это будет график того, как может выглядеть наше пространство столбцов для A. Это 2D-плоскость, продиктованная нашими двумя 2D-базисами, независимыми векторами, помещенными в среду R³.
Полный ранг; r = m = n
Часто мы имеем дело со случаем полного ранга: где r = m = n. В этом случае наша матрица, очевидно, квадратная, поскольку требует, чтобы m = n. Более того, это означает, что каждый столбец (и каждая строка) независимы.
Это означает, что наша квадратная матрица «полного ранга» является основой собственного пространства, поскольку это наименьший и наиболее «эффективный» способ описания векторного подпространства. Невозможно более кратко описать пространство столбцов матрицы, чем столбцы матрицы полного ранга.
Все вышеперечисленные матрицы являются матрицами полного ранга. Их строки и столбцы независимы. У них нет записей в нулевом пространстве, кроме нулевого вектора {0}.
При выполнении исключения на матрице A полного ранга у вас не возникнет проблем с получением опорной точки в каждой строке и столбце.
Если вы выполните исключение Гаусса-Жордана на матрице полного ранга (приведите ее к сокращенной ступенчатой форме), вы получите в результате единичную матрицу I, так как удаление всех нулей выше и ниже опорных не оставит пробелов и делений каждая строка по оси каждой строки будет возвращать 1 по диагонали.
Полноранговые матрицы также обратимы, так как столбцы могут объединяться для создания каждого столбца единичной матрицы.
При рассмотрении в контексте линейной системы уравнений это означает, что существует одно единственное решение любой линейной системы , где A — матрица полного ранга. Это связано с тем, что столбцы A могут комбинироваться одним уникальным способом для формирования любого ответа b, , поскольку любой b находится в пространстве столбца A.
Полный рейтинг столбца; r = n, r
< m
При полном ранге столбцов ваша матрица состоит из полностью независимых столбцов (поскольку r = n или по одной опорной точке в каждом столбце).Разница в том, что у вас есть зависимые 90 126 строк, 90 127 или оставшиеся строки.
В системе уравнений это означает, что у нас такое же количество опорных точек, как и у неизвестных, но больше уравнений, чем нам нужно. Давайте рассмотрим матрицу A с полным рангом столбца в контексте системы уравнений.
Нижние две строки матрицы сокращаются, так как они кратны первым двум. Третья строка — это первая строка x 2, а четвертая строка — это вторая строка x 2.
Таким образом, при сокращении мы получаем эквивалентную систему Ux = c.
Повороты выделены. Забыл поставить «2» в конце последней буквы «б» в слове «в».
Теперь Ux = c можно решить только , если выполняются два условия разрешимости. только если b3–2b_1 = 0 и b4–2b_2 = 0, это может быть правдой.
Но если эти два условия верны, у нас остается единственный ответ для решения нашей системы. Вот почему мы говорим, что с матрицей r = n (полный ранг столбца) имеет либо 0, либо 1 решение. 0, если одно или несколько наших условий разрешимости ложны, и 1, если все условия разрешимости истинны.Скорее всего, если бы мы случайно выбрали
Наконец, если мы преобразуем любую матрицу ранжирования полного столбца в форму эшелона с уменьшенной строкой, мы получим тождество с нулями, прикрепленными внизу.
Это имеет смысл. Взяв только две верхние строки нашей исходной матрицы A, мы получим полностью полную ранговую систему, с опорными точками во всех столбцах и строках. Как только мы уменьшим верхнюю часть строки, мы должны ожидать идентичности. Нижние строки полностью избыточны (зависимы) и будут аннулированы путем исключения.
Таким образом, можно ожидать, что любая полная матрица рангов столбца в сокращенной форме строки-эшелона будет выглядеть как (I, 0) при перестановке таким образом.
Матрицы ранжирования полных столбцов не содержат ненулевых элементов в пустом пространстве, так как нет свободных столбцов или переменных, поскольку, хотя могут быть зависимые строки, зависимых столбцов нет.
Ранг полного ряда; r = m, r
< n
Полный ранг строки — это когда наше уравнение имеет то же количество опорных точек, что и строки. В этом сценарии наша матрица имеет свободные переменные и свободные столбцы и, таким образом, содержит элементы в пустом пространстве.
Давайте посмотрим на уравнение с полным рангом строки:
Второй столбец — это первый столбец x 2, а четвертый столбец — это второй столбец x 2. Таким образом, при сокращении мы можем получить обновленное уравнение Ux = с.
Трудно понять, что мы здесь делаем, поэтому давайте еще больше упростим до простейшей системы, Rx = d, используя исключение Гаусса-Жордана, чтобы получить уменьшенную матрицу формы строки-эшелона.
Я не буду продолжать с правой стороны, так как это выйдет из-под контроля с делением и всем остальным, но как только мы закончим, наша матрица будет выглядеть так:
Знакомо? Похоже на полную матрицу ранжирования столбцов, но сбоку.
В этом сценарии мы получаем несколько интересных результатов. Хотя я не скопировал правую часть, так как было бы слишком утомительно добавлять какую-либо реальную ценность, мы можем видеть возможные решения.
Так как наш ответ будет двухмерным, и у нас есть базисные векторы для описания двумерного пространства в первых двух столбцах нашей матрицы, мы можем решить любой ответ b.
Но что более важно, у нас также есть «свободные столбцы» нулей.Они умножают наши «свободные переменные» z и t . Таким образом, мы можем установить z и t в любые константы, которые нам нравятся, так как они будут умножаться на 0. Отсюда мы можем сказать, что у нас есть бесконечное количество решений для любого ответа.
В отличие от последних двух случаев, если наше n > r, у нас есть по крайней мере n-r свободных переменных и свободных столбцов, и, в расширении, по крайней мере n-r векторов в пустом пространстве.
Здесь, поскольку у нас есть зависимые/свободные столбцы, у нас будет два вектора в пустом пространстве.Чтобы выяснить это, мы можем использовать методы, описанные в части 4 этой серии, которая находит точные ответы на Ax = 0. должен быть квадратным
Каждое число имеет единственное решение b.
Эшелонная форма с уменьшенной строкой R является тождеством I.
В нулевом пространстве нет ничего
Матрица обратима
В матрицах полного столбца рангов, или r = n < m
Существует 1 или 0 решений для каждого
b
Эшелонная форма с уменьшенной строкой R есть тождество I поверх нулевой матрицы
В нулевом пространстве нет ничего r = m < n
Существует бесконечное количество решений каждых b.

РубрикаРазное

Найти ранг системы векторов найти базис системы: Найти ранг и базис системы векторов онлайн. Как найти базис данной системы векторов

Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк или столбцов » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Еще записи по теме

Ранг системы векторов, базисы и линейная зависимость между векторами

2.

Основы линейной алгебры

Базис векторного пространства

233 набора задач

233 набора задач

Поиск ядра и образа

ПОИСК ОСНОВЫ ДЛЯ ЯДРА ИЛИ ОБРАЗА

1.5: Ранговые и однородные системы

Ранговые и однородные системы

Определение \(\PageIndex{1}\): простое решение

Пример \(\PageIndex{1}\): решения однородной системы уравнений

Пример \(\PageIndex{2}\): основные решения однородной системы

Определение \(\PageIndex{2}\): линейная комбинация

Определение \(\PageIndex{3}\): ранг матрицы

Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение ранга матрицы

Теорема \(\PageIndex{1}\): ранг и решения однородной системы

Теорема \(\PageIndex{2}\): ранг и решения согласованной системы уравнений

Диапазон и нулевое пространство матрицы

Линейная алгебра 6: Ранг, Базис, Размерность | by adam dhalla

Ранг

Базис

Измерение

Полный ранг; r = m = n

Полный рейтинг столбца; r = n, r

Ранг полного ряда; r = m, r

Существует 1 или 0 решений для каждого

Добавить комментарий Отменить ответ