Множества тема – Тема 1. Множества и операции над ними

Тема 1. Множества и операции над ними

Содержание

  1. Понятие множества и элемента множества.

  2. Способы задания множества.

  3. Отношения между множествами. Подмножества.

  4. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 2, 31, 82, 87, 92

Введение

Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.

Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще, любые математические объектыэто результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.

Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.

Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов — понятию множества.

1. Понятие множества и элемента множества

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918),

«множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.

Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком .

Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аА. Прочитать его можно по-разному:

Объект а принадлежит множеству А.

Объект а – элемент множества А.

Множество А содержит элемент а.

Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а  А. Его читают:

Объект а не принадлежит множеству А.

Объект а не является элементом множества А.

Множество А не содержит элемента а.

Пример

Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7А” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14 А” означает: “Число 14 не является однозначным”.

Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).

studfiles.net

Тема 2. Операции над множествами

Содержание

  1. Пересечение множеств.

  2. Объединение множеств.

  3. Законы пересечения и объединения множеств.

  4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.

  5. Понятие разбиения множества на классы.

  6. Декартово произведение множеств.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 82, 87, 92

1. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатомопераций над множествами.

Пример

Пусть даны два множества: А = 2, 4, 6, 8  и В = 5, 6, 7, 8, 9.

Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = 6, 8 . Так, полученное множество С называют

пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А  В. Тогда определение можно представить в символической записи:

х х и х .

Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А  В = .

Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением

  • Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.

  • Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Пример

Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.

Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А  В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24  АВ, поскольку число 24 четное и двузначное.

Пример

Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А  В = В.

2. Объединение множеств

Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на

операцию объединения двух множеств.

В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают   . В символической записи: х      х  или х  .

Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).

Рис 1. Рис. 2.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называют также объединением.

  • Если все элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти , достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя одному из множеств.

Пример

Так, если А = 2, 4, 6, 8, В = 5, 6, 7, 8, 9, то А  В = 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  • Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А В составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».

Пример

Найти объединение множества А четных чисел и множества В двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А – «быть четным числом», а свойство элементов В – «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых — «быть четным или двузначным числом».

Например, в А  В есть числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное; 36, поскольку оно четное и двузначное.

Пример

Найти объединение множеств А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4.

Ранее было установлено, что В  А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А  , будут элементы множества А.

Следовательно, в данном случае  = А.

studfiles.net

Множества — тема курса информатики

Понятие “Множество” в математике и информатике играет очень важную роль. В математике существует целая теория множеств.

Первое знакомство с данной темой может быть у учащихся как в начальной школе, если у них есть курс информатики, так и у учащихся 5-6 классов, которые раньше не изучали информатику. Данный материал подготовлен для учащихся 5-6 классов. Теме “Множества” желательно посвятить как минимум 2 урока. Материал может быть полезен и для преподавания информатики в начальной школе.

В курсе А.В. Горячева “Информатика в играх и задачах”, рассчитанного на учащихся начальной школы, тема “Множества” рассматривается и во 2 классе, и в 3 и в 4 классах. Естественно, что эта тема прорабатывается с детьми не один урок, а задания постепенно усложняются.

1. На первом уроке по теме “Множества” важно сразу же дать четкие определения тех терминов, которые потом будут использоваться в самых различных заданиях. Урок основан на использовании презентации (см. Приложение 1).

Множество произошло от слова “много”. Но в математике понятие “множество” используется более широко.

Множество может объединять любое количество предметов, чисел, существ. Каждый предмет множества называется элементом множества.

Множество, которое не содержит элементов, называется пустым.

Множество может иметь подмножества.

Множества могут пересекаться, не пересекаться, объединяться.

Равными называются множества, состоящие из одинакового числа одинаковых элементов.

(Желательно, чтобы эти определения были записаны учащимися в тетрадь, чтобы потом они могли к ним вернуться.)

Эти определения необходимо закрепить на простейших примерах, например: множество животных имеет несколько подмножеств: рыбы, птицы, звери, насекомые – и они не пересекаются. Если же мы возьмем множество морских животных, то оно будет пересекаться с множеством птиц и множеством зверей (приводятся несколько примеров). В качестве пустого множества можно дать такой пример: в яркий солнечный день на небе нет облаков, поэтому в этот день множество облаков (такое множество естественно существует) – пустое, а в другой день оно уже не будет пустым. Этот пример используется в тетради А.В. Горячева “Информатика в играх и задачах” 3 класс, часть 2. Можно привести и другие примеры, когда какое-то множество в конкретной ситуации будет пустым.

Также для удобства выполнения различных заданий необходимо ввести систему обозначения множеств (геометрические фигуры), подчеркнув, что это только условное обозначение, но оно очень удобно. Элементы множеств обозначаются точками.

Для закрепления понятия “элементы множества” учащимся предлагается следующее задание 1 (приложение 2) (его можно давать как домашнее задание, которое вклеивается в тетрадь).

2. Далее вводятся понятия, связанные с использованием логических связок в названиях множеств.

В названиях множеств и высказываниях могут употребляться логические связки: “и”, “не”, “или” и их комбинация: “не … и”, “не … или”. “не … и не …”

Если в названии множества есть связка “не”, то его элементы находятся за пределами фигуры, обозначающей это множество.

Если в названии множества есть связка “и”, то его элементы находятся на пересечении фигур, обозначающих множества.

Если в названии множества есть связка “или”, то это означает, что его элементы находятся в нескольких фигурах.

Эти схемы также необходимо закрепить с учащимися на разных примерах, включенных в задания в тетради (курс Горячева для начальной школы), а также на тех, где они сами приводят примеры различных множеств. Для закрепления понятий пересечения и объединения множеств учащимся предлагается дополнительное задание 2.

3. На следующем(их) уроке(ах) следует продолжить подробный разбор заданий, например, включив задания на пересечение трех множеств. (Желательно также, чтобы эти схемы были зарисованы учащимися в тетрадях).

При пересечении 2-х множеств образуется IV области: 2 области без пересечения, одна область пересечения множеств и одна область, лежащая за пределами выделенных множеств.

При пересечении 3-х множеств образуется VIII областей: 3 области без пересечения, 4 области пересечения множеств и 1 область, лежащая за пределами выделенных множеств.

Обозначение множеств:

При пересечении двух множеств закрашивается вся область пересечения этих множеств. При объединении двух множеств закрашиваются оба множества. При пересечении трех множеств закрашивается общая часть всех трех множеств. При отрицании всех трех множеств закрашивается область, не включающая в себя сами множества.

Данные схемы сделаны для задания, когда надо распределить слова, в состав которых входят буквы “С”, “Т” и “О”. Набор слов должен включать слова только с “Т”, только с “С”, только с “О”, а также одновременно с двумя и тремя буквами. Два-три слова должны быть без букв “С”, “Т”, “О”. (Например: рельсы, купе, проводник, скорость, колесо, электровоз, тамбур, вагон, сумка, место, шпалы, поезд, машинист, билет, состав, дверь, станция).

В курсе информатики А.В. Горячева в тетради 2 класса есть аналогичное задание на множества “Круглые”, “Желтые”, “Шары”.

Закрепление теоретического материала должно сопровождаться решением задач. Простейшие задачи, например, “Про коз и коров”, “Фиалки и подруги”, “Газеты и журналы” могут быть использованы даже во 2 классе (см. приложение 4). Для более сильных учеников и для более старших классов, соответственно, можно подобрать задачи нужного уровня, а можно также использовать какие-то задачи и для проведения конкурсов, КВНов, школьных олимпиад, недели математики и информатики. Подобные задачи удобно решать, используя схему множеств и обозначая элементы просто точками (если числа малые) или указывая число элементов в соответствующей области (в пересечении, без пересечения).

Задачи собраны из самых различных источников, включая журнал “1 сентября. Информатика”, сайт Малого Мехмата МГУ и другие сайты, посвященные решению логических задач.

Список литературы.

  1. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. “Информатика в играх и задачах” 2 кл., в 2-х ч.
  2. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. “Информатика в играх и задачах” 3 кл., в 2-х ч.
  3. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. “Информатика в играх и задачах” 4 кл., в 2-х ч.
  4. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. Методические рекомендации для учителя. 2 кл..
  5. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. Методические рекомендации для учителя. 3 кл..
  6. Горячев А.В., Горина К.И., Суворова Н.И. Методические рекомендации для учителя. 4 кл.
  7. Горячев А.В., Суворова Н.И. Информатика. Логика и алгоритмы. 3 кл.
  8. Горячев А.В., Суворова Н.И. Информатика. Логика и алгоритмы. 4 кл.
  9. Журнал “1 сентября. Информатика”. Сайт http://inf.1september.ru/
  10. Фестиваль “Открытый урок”. Сайт http://festival.1september.ru/ раздел “Информатика”.
  11. Малый Мехмат МГУ. Сайт http://mmmf.msu.ru/.
  12. Сайт Логические задачи и головоломки http://www.smekalka.pp.ru/.
  13. Сайт Логические задачи, головоломки, загадки, тесты – Лого-рай http://logo-rai.ru/

urok.1sept.ru

Урок по математике на тему «Множества»

6 класс

Тема урока: Множество

и его элементы. Подмножество.

ЦЕЛИ УРОКА:

ОБУЧЕНИЯ: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: культуры умственного труда. Воспитание аккуратности при работе в тетради, самостоятельности, грамотной математической речи

РАЗВИВАЮЩИЕ: Развитие мышления учащихся (в ходе выполнения заданий актуализации и на протяжении всего урока). внимания учащихся (выполнение заданий на нахождение соответствия). Развитие памяти учащихся

ТИП УРОКА: изучение нового материала

СТРУКТУРА УРОКА

1. организационный момент

2. разминка

1) 52 + 32 2)67 – 25 3) 51:10

-19 • 4 • 3

8 — 66 + 4,7

: 6 : 6 — 8,2

+47 -3 : 2

3. Изучение нового материала

Эпиграф:

Множество возникает путем объединения

отдельных предметов в единое целое.

Оно есть множественность мыслимая как единое.

Ф. Хаусдорф

Множество представляет собой объединение некоторых объектов или предметов в единую совокупность по каким-либо общим свойствам или законам.

Например:

  • множество зверей,

  • множество учеников;

  • множество столов;

  • множество стульев;

  • множество окон;

  • множество компьютеров и т.д.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» 

(основатель теории множеств – Георг Кантор)

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы множества букв в слове САМОПОЗНАНИЕ

Элементы Р = С,А,М,О,П,З,Н,И,Е

Сϵ Р, К ϵ Р

М = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 множество цифр

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий — из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Виды множеств

Подмножество

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.

В подмножество множества А

В

Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

Равные множества

Если два множества состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Круги́ Э́йлера[— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математикелогике, менеджменте и других прикладных направлениях

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов.

Однако, этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (16461716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[

Практическая работа

Задание1

  1. Перечислите множество фруктов

  2. Перечислите множество овощей

  3. Перечислите множество школьных предметов учеников 6 класса

Задание 2

Перед вами три круга изображающие круги Эйлера. В самом маленьком круге напишите, те знания и умения которые вы приобрели в дошкольном возрасте (множества А), во втором круге – чем пополнились ваши знания в начальной школе (множества В) и в самом большом круге чему вы научились в 5-6 классах (множество С). В каком отношении находятся эти множества? (ответ А подмножества множества В и в – подмножества множества С)



Работаем в классе:

Подводим итоги урока

6. Рефлексия

  • Мне больше всего удалось…

  • Для меня было открытием то, что …

  • За что ты можешь себя похвалить?

  • Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

  • Мои достижения на уроке.

7. Домашнее задание: §6 учить правила, № 231, 234, 237(1)


infourok.ru

Тема 5. Отношения на множестве

Содержание

  1. Понятие отношения между элементами одного множества.

  2. Способы задания отношений.

  3. Свойства бинарных отношений.

  4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 1, 10, 14, 74

1. Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = 2, 4, 6, 8 задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2 4, 2  6, 2  8, 4  6, 4  8, 6  8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения ХХ, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества ХХ.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:

Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.

Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, R ХХ. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества ХХ , то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.

Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у) R или х R у. Последняя запись читается : “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.

2. Способы задания отношений

По определению отношения R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения Х  Х, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений, по существу, такие же, как и способы задания множеств.

Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.

Формы записи при этом могут быть различными. Например, некоторое отношение R на множестве Х = 4, 5, 6, 7, 9можно задать, записав множество пар: (5,4),(6,4),(6,5),(7,4),(7,5),(7,6),(9, 4),(9,5),(9,6),(9,7).То же отношение можно задать при помощи графа.

Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно, при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.

Построим граф отношения «меньше», заданного на множестве Х = 2, 4, 6, 8. Для этого элементы множества Х изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» – стрелкой.

2• •4

8   6

Пример

На том же множестве Х можно рассмотреть другое отношение – «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе.

2   4

8   6

Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство задается при помощи предложения с двумя переменными.

Пример. Пусть заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений«число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записать используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было записать в таком виде: «х  у», «ху». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3). Отношение между прямыми плоскости задают, используя символы: х // у, х у.

Для отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное. Например, если R – отношение “х меньше у”, то обратным ему будет отношение “ у меньше х”.

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» – ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?». Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

studfiles.net

Множества Операции над множествами

РЕФЕРАТ

Множества. Операции над множествами

СОДЕРЖАНИЕ

Способы задания множества

Включение и равенство множеств

Диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами

а) Объединение множеств

б) Пересечение множеств

в) Разность множеств

Дополнение множества

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

1) множество студентов в данной аудитории;

2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

3) множество точек данной геометрической фигуры;

4) множество чётных чисел;

5) множество корней уравнения х2 -5х+6=0;

6) множество действительных корней уравнения х2 +9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а

А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5

N , но N, N. Если А — множество корней уравнения х2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z+ , Q+ , R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ , QЇ , RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества;

2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких,

mirznanii.com

Тема 2.2 Подмножество. Понятие универсального множества. Подмножество

Определение: Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит множеству Y. Это еще называется нестрогим включением.

Некоторые свойства подмножества:

  1. ХХ — рефлективность

  2. X  Y & YZ  X  Z — транзитивность

  3.   X т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.

Например:

Пусть Х – множество студентов некоторой группы, Е – множество отличников этой же группы.

EX т.к. группа может состоять только из отличников.

Когда хотят подчеркнуть, что в множестве У есть обязательно элементы, отличные от элементов множества Х, то пишут ХУ. Это называется строгим включением.

Например:

Пусть Х – множество всех курсантов ДВИММУ, Е – множество курсантов электромеханического факультета.

EX т.к. в множестве всех курсантов ДВИММУ, обязательно есть элементы  E.

Упражнение: Самостоятельно определить свойства строгого включения.

Универсальное множество

Определение: Универсальное множество – это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.

  1. Если М I , то М I

  2. Если М I , то Ώ(М) I , где под Ώ(М) – понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.

Универсальное множество обычно обозначается I.

Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зависимости от рассматриваемого множества, и решаемых задач.

Например:

Рассматривая множество студентов вашей группы, в качестве универсального множества можно взять и множество студентов ДВГМА, и множество всех людей земли, и множество всех живых существ земли.

Рассматривая множество целых положительных чисел, в качестве универсального множества можно взять и множество целых чисел, и множество действительных чисел, и множество комплексных чисел, и само множество целых положительных чисел.

Более подробно о свойствах универсального множества мы поговорим, обсуждая операции над множествами. Скажем только, что если роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. То универсальное множество, играет роль единицы в алгебре множеств.

Тема 2.3 Операции над множествами.

Теперь определим операции над множествами.

  1. Пересечение множеств.

Определение: Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Х и множеству У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} пересечением {2,4}

Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.

Например: непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих одновременно всем множествам.

Свойства пересечения:

  1. X∩Y = Y∩X — коммутативности

  2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — ассоциативности

  3. X∩ = 

  4. X∩I = Х

2. Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Свойства объединения:

  1. XUY= YUY- коммутативности

  2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ — ассоциативности

  3. XU = X

  4. XUI = I

Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.

studfiles.net