Множества чисел и их обозначения: Урок 38. множества чисел — Алгебра — 8 класс
Множества чисел и примеры числовых множеств
Что такое множество чисел
ОпределениеТермин множества чисел можно описать, как совокупность, объединение, набор некоторых объектов произвольной природы – элементы множества. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов факультета, множество парных чисел, множество точек заданного отрезка и т. п.
Если элемент принадлежит множеству , тогда пишут , если же элемент не принадлежит множеству , тогда пишут, что или .
Множества, в которых нет ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .
Рассмотрим несколько важных операций:
1. Два множества и называются равными (обозначают ), если они состоят из одинаковых элементов.
2. Множество называется подмножным множеством , если каждый элемент множества есть элементом множества .
Это обозначается так: и читается содержится в или в находится . Очевидно, что пустое множество входит в любое множество .
Например, если множество состоит из элементов обозначают:
= {}), а в = {} тогда .
3. Множества элементов , которые принадлежат множеству или множеству , или и , называется объединением этих множеств и обозначается .
4. Множества элементов , которые принадлежат двум множествам и называется пересечением множеств и и обозначается
Если, например, и – это множества точек, что принадлежат двум фигурам соответственно, тогда схематически на рис. 1 изображены их объединения в случаях а) и б). На рис. 2 изображено пересечение множеств и .
Рис. 1
Рис. 2
5. Разницей множеств A и называется множество , что содержит те элементы , которые не есть элементами множества (см. рис. 3).
Рис. 3
Виды чисел
Существует 7 видов чисел:
1. Натуральные – ;
2. натуральные числа, в которые включается нуль – ;
3. целые числа – ;
а) целые положительные числа – ;
б) целые отрицательные числа – ;
4.
рациональные числа – ;
5. иррациональные числа
6. Действительные числа – ;
7. Комплексные числа – .
Рассмотрим каждый вид числа более подробно:
1. Натуральные числа всегда используются при естественном счёте или перечислении предметов, вернее при их нумерации, то есть “первый”, “второй”, “третий”. Описывается множество натуральных чисел так:
= {1, 2, 3, …, }.
2. Натуральные числа, в которые включён нуль используются для обозначения количества предметов:
= {0, 1, 2, 3, …}
3. Целые числа – это числа, в которые входят натуральные числа с положительным и отрицательным знаками:
а) целые положительные числа (обозначаются ) и пишутся: {1, 2, 3, …};
б) целые отрицательные числа (обозначаются ) и пишутся: {…, -3, -2, -1};
= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Рациональные числа – числа, которые представляются в виде обыкновенной дроби , где и – целые числа, а . Рациональные числа обозначаются латинской большой буквой :
= {}.
Если переводить в десятичную дробь, тогда рациональное число может представляться конечной и бесконечной дробью.
5. Иррациональные числа – вещественное число, которое не рациональное и не может представляться в виде десятичной дроби.
6 Действительные числа или вещественные – это числа, в которых объединяются рациональные и иррациональные числа ().
7. Комплексные числа – это числа, в которых содержится – мнимая единица:
= { и }.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решения задач
Пример 1Задача
Записать множество , если , причём = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, = {3, 6, 9, 12}.
Решение
есть не что иное, как объединение множеств и , то есть, множество будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству : = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.
Ответ
Множество состоит из элементов, которые принадлежат двум множествам и .
Задача
Все студенты курса изучают разные иностранные языки. Значит, из них, 91 студент изучает английский язык, ещё 96 студентов изучают немецкий язык, 94 студента изучают исключительно французский язык, 36 студентов изучают не только английский, но и немецкий языки, ещё 32 студента изучают английский и французский языки, а 10 студентов занимаются изучением всех языков без исключения.
Вопрос: сколько студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если всего на курсе по списку 189 студентов?
Решение
Итак, для начала введём обозначения:
– множество всех студентов, которые находятся на данном курсе;
– множество студентов, которые изучают только английский язык;
– множество студентов, которые занимаются изучением немецкого языка;
– множество студентов, изучающих исключительно французский язык;
– множество студентов, которые изучают, как английский, так и немецкий язык;
– множество студентов, изучающие английский и французский языки;
– множество студентов, которіе изучают немецкий и французский язіки;
– множество студентов, которые изучают абсолютно все языки;
– количество элементов множества .
По условию задачи:
Найдём – количество студентов, которые изучают немецкий и французский языки. Согласно вышеописанному обозначению, у нас получается:
, , , .
Из методов включения и исключения следует, что
.
Ответ
студента занимаются изучением немецкого и французского языков.
Что такое множество
Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.
В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.
Обозначения
Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными.
При этом элементы заключаются в фигурные скобки.
Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.
Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:
F = { Том, Джон, Лео }
Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.
Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D
D
затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6
D = { 1, 2, 3, 6 }
Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D).
2 ∈ D
Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»
Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:
5 ∉ D
Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»
Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг
{ Том }
Зададим множество, которое состоит из одного числа 2
{ 2 }
Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5
{ 2, 5 }
Множество натуральных чисел
Это первое множество с которым мы начали работать.
Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.
Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.
В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число»
В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.
Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N
1 ∈ N
Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»
Множество целых чисел
Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.
Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.
Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:
−5 ∈ Z
Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:
10 ∈ Z
Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:
0 ∈ Z
В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.
Множество рациональных чисел
Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.
Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.
В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).
Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2
10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.
Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.
Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.
12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.
Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:
При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.
В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:
- целые числа
- обыкновенные дроби
- десятичные дроби
- смешанные числа
Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.
Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:
4,5 ∈ Q
Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Вводный урок по множествам завершён.
В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные
Тестирование онлайн
Округление чисел
Натуральные числа
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N.
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+».
Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа
Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,
Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:
Множество иррациональных чисел обозначается J.
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R.
Округление чисел
Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой.
Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.
Округлить 8,759123… с точностью до целой части.
Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.
Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.
Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.
натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный
Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.
Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел.
Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.
В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.
Натуральные числа $\mathbb{N}$
Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4… \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.
В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:
1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения
Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.
Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($
1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$
Целые числа $\mathbb{Z}$
Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$
Решение уравнения
$a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.
Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $
1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$
Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$
Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.
Рациональные числа $\mathbb{Q}$
Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$
Теперь рассмотрим уравнения вида
$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ — известные целые числа, а $x$ — неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.
{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$
Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}
Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.
Иррациональные числа $\mathbb{I}$
Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$
$\pi \approx 3.1415926535…$
Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения
$x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел.
2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.
Действительные числа $\mathbb{R}$
Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.
Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества
$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$.
2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.
Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.
Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.
Какие числа называются Рациональными? Примеры и Определение
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333.
.. — это 1/3; - смешанное число — это 25/10;
- отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Основные свойства действий с рациональными числами
|
Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
- Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».
- Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».
- Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство.
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a — b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Примеры:
- π = 3,1415926…
- √2 = 1,41421356…
- e = 2,71828182…
- √8 = 2.828427…
- -√11= -3. 31662…
31662…Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
- результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
- результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
- результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
- результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
- Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
- Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
- Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.
Умножение на ноль дает ноль.Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел.
Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
Татьяна Мельничук | Числовые множества
Числовые множества
Число — это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Множество натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, возникающие при естественном счёте. Множество натуральных чисел обозначается символом . Иными словами, множество натуральных чисел — это множество .
Проблема нуля. Следует иметь в виду, что вопрос отнесения нуля к множеству натуральных чисел является нерешённой проблемой. Математикам всего мира так и не удалось договориться относительно того, следует ли включать в множество натуральных чисел, либо нет.
Именно поэтому в математической литературе можно встретить также и такое определение множества натуральных чисел: . Однако, мы будем исходить из предположения, что не является элементом множества натуральных чисел.
Множество простых чисел
Крайне важным подмножеством множества натуральных чисел является множество простых чисел , для получения информации о котором я рекомендую обратиться к статье «Простые числа».
Множество целых чисел
Множество целых чисел — это объединение множества натуральных чисел с нулём и множеством чисел противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначают символом . Таким образом, и .
Множество рациональных чисел
Рациональные числа — это числа, представимые в виде дроби , где и . Множество рациональных чисел обозначают символом . Таким образом, . В силу определения имеем: .
Иными словами, рациональные числа и только они — это бесконечные периодические десятичные дроби.
В силу того, что всякую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, конечные десятичные дроби также являются элементами множества рациональных чисел.
Множество действительных чисел
Действительные (вещественные) числа — это числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби. Поскольку конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, то всякая конечная десятичная дробь в силу определения также является элементом множества действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают символом . Таким образом, .
Множество иррациональных чисел
Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть число не представимое в виде дроби , где и . Иррациональные числа и только они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество иррациональных чисел обозначается символом .
Таким образом, .
Вернуться назад…
МЕТКИ >математика, множество, число
Числовые множества N,Z,Q,R
Текст 1. Числовые множества
N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.
Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел. Q = { (m∈Z, n∈ N)} – множество всех рациональных чисел.
R – множество всех действительных чисел.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.
2) Читайте текст. 3) Пишите текст. 4) Выучите текст.
Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:
1 – натуральное число.
1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.
N= {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.
1∈ N, 2∈N, 0∉N, – 2 ∉ N.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы:
а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?
б) Какое множество обозначают буквой N? в) Какое самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?
Задание 3.
1)Смотрите, слушайте и повторяйте:
-2 – целое число.
2; 0; 2 – целые числа.
Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел.
1∈ Z, — 1∈Z, 0∈Z, ½∉Z.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех целых чисел? б) Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?
Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:
½ рациональное число.
3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.
Числа вида (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде (m∈ Z, n∈N). Q = { (m∈Z, n∈N)} – множество всех рациональных чисел.
-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q; 3 (корень из трёх)∉Q.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество обозначают буквой Q? в) Какие числа называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?
Задание 5.
1) Смотрите, слушайте и повторяйте:
Если число нельзя записать в виде (m∈Z, n∈N), то это
иррациональное число. 3 = 1, 73205…; — 2 = — 1,41421…;
е = 2,71828…; π (пи) = 3,14159…– иррациональные числа.
Иррациональные числа – бесконечные непериодические
десятичные дроби.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.
2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество обозначают буквой R? в) Какие числа образуют
множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;
-9,02; — ; − ; е; 10; 12,5?
Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:
√3
-√2
π
Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:
-2 … Z 4 16 … Z π …R – … R
0 … N 3 …Q – … Q 0,175 … Q
100 … N 5,5 …Q − …R е … R
Задание 8.
Выпишите: 1) рациональные числа; 2) иррациональные числа:
25 ; 17 ;
3
; 0; – 6; — 2 ; 3,6; 0,6666… ; 0,313131… ;
7
0,272272227… ; 5 .
Задание 9. Выполните действия:
1) N ∩ Z; 2) N U Z; 3) Q ∩ Z; 4) Z U Q; 5) N U R; 6)R∩N;
7) N ∩ Q; 8) R∩ Q; 9) Q U R; 10) Z ∩ Q.
Задание 10. Ответьте на вопросы:
1) Чему равно пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел?
2) Чему равно объединение множеств рациональных и иррациональных чисел?
Задание 11. Назовите несколько элементов множества:
1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных
чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.
Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.
Приведите примеры.
1) Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и чисел,
противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из
p
целых чисел и дробей вида
, где р – целое, q – натуральное. q
3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.
Слова и словосочетания:
натуральное число действительное число целое число периодическая дробь рациональное число десятичная дробь иррациональное число
Материал взят из книги Начальный курс по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)
Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, вещественные числа и другие числа
Натуральные числа
натуральные (или считая ) числа равны 1,2,3,4,5 и т.
д.
много натуральных чисел. Набор натуральных чисел {1,2,3,4,5,…},
иногда пишется N для краткости.
целых чисел — это натуральные числа вместе с 0.
(Примечание: некоторые учебники не согласны и говорят, что натуральные числа включают 0.)
Сумма любые два натуральных числа также являются натуральным числом (например, 4+2000=2004), а произведение любых двух натуральных чисел — натуральное число (4×2000=8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.
Целые числа
целых чисел — это множество действительных чисел, состоящее из натуральных чисел, их аддитивных инверсий и нуля.
{…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…}
Набор целых чисел иногда написано J или Z для краткости.
сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это неверно для деления… просто попробуйте 1÷2.
Рациональные числа
рациональных чисел те числа, которые могут быть выражены как отношение между
два целых числа.
Например, дроби 13 и −11118 равны
рациональное число. Все целые числа входят в число рациональных,
так как любое целое число z может быть записано как отношение z1.
Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (начиная с 8.27 можно записать как 827100.) которые имеют повторяющийся шаблон после некоторого момента, также являются рациональными: например,
0,0833333….=112.
Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разность, произведение и частное также являются рациональными числами (если мы не делим на 0).
Иррациональные числа
Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби).В десятичной форме оно никогда не заканчивается и не повторяется. То
древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там
уравнения, которые нельзя решить, используя отношения целых чисел.
Первое такое уравнение для изучения было 2=x2. Что число, умноженное на себя, равно 2?
2 есть около 1,414, потому что 1,4142=1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно в квадрат дроби (или десятичный). Квадратный корень из 2 является иррациональным числом, т. десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося шаблона:
2=1.41421356237309…
Другой известный иррациональный числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:
1+52=1,61803398874989…
π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:
π=3,14159265358979…
и е, самое важное число в исчислении:
е=2,71828182845904…
Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторых полиномиальных уравнений (таких как 2 и золотое сечение), и трансцендентных чисел, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения.
π и e оба трансцендентны.
Реальные числа
Действительные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» на числовой прямой. Существует бесконечно много действительных чисел, так же как бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел в раз больше бесконечности.
«Меньший», или исчисляемых бесконечностей целых чисел и рациональные числа иногда называют ℵ0 (алеф-ноль), и бесчисленных бесконечностей реалов называется ℵ1 (алеф-один).
Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам нужно пройти курс теории множеств!
Комплексные числа
Комплексные числа множество {a+bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1. (нажмите здесь для подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).
Комплексные числа включают множество действительных чисел.
Действительные числа в сложной системе записываются в виде a+0i=a. реальное число.
Этот набор иногда пишется как C для краткости.Набор комплексных чисел это важно, потому что для любого многочлена p(x) с вещественными коэффициентами все решения p(x)=0 будут в C .
За пределами…
Есть наборы и побольше числа, которыми пользуются математики. кватернионов , открытые Уильямом Х. Гамильтоном в 1845 году, образуют систему счисления с тремя разные воображаемые единицы!
Типы чисел – Различие и классификация
Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было способа представить возраст, вес, дни рождения, время, баллы, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.
Числа — это строки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает на размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким.
Они существуют в различных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. д.
Типы чисел в математике
Точно так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа относятся к одной семье, но имеют разные типы . Со временем различные комбинации из десяти цифр были отнесены к различным типам чисел.Эти образцы чисел отличаются друг от друга из-за различных представлений и свойств.
Натуральные числа
Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые узнали в детстве. Они начинаются с 1 и идут до бесконечности, т. е. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В заданной форме они могут быть записаны как:
{1, 2, 3, 4, 5, …}
Натуральные числа представлены символом N .
Целые числа
Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и доходят до 1, 2, 3 и т. д., т. е.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Целые числа представлены символом W .
Целые числа
Целые числа представляют собой множество всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в виде десятичной или дробной части.Целые числа можно записать в заданной форме как
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми числами, но не все целые числа — это натуральные числа или целые числа.
Символ Z представляет целые числа.
Дроби
Дробь представляет части целого куска. Его можно записать в виде a/b , где a и b являются целыми числами, а b никогда не может быть равно 0.Все дроби — рациональные числа, но не все рациональные числа — дроби.
Дроби далее сводятся к правильным и неправильным дробям. Неправильные дроби — это те, в которых числитель больше знаменателя, а в правильных функциях верно обратное, то есть знаменатель больше числителя.
Примерами правильных дробей являются 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.
Все конечные десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби можно записать в виде дробей.Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.
Рациональные числа
Вы можете записывать рациональные числа в виде дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «отношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел. Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. д.
Рассмотрим рациональное число p/q , где p и q — два целых числа.Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть равен 0, так как дробь не определена.
Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.
Символ Q обозначает рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби, т. е. их нельзя записать в виде отношения двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее.Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.
Символ Q обозначает иррациональные числа.
Вещественные числа
Вещественные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме. Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и так далее.
Символ R обозначает действительные числа.
Мнимые числа
Числа, отличные от действительных, являются мнимыми или комплексными числами.
Когда мы возводим в квадрат мнимое число, он дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, результаты равны -2 и -5. Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.
i = √-1
Пример 1
Чему равен квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в терминах воображаемого числа i .
Решение
- Шаг 1: Запишите форму квадратного корня.
√(-16)
√(16 × -1)
- Шаг 3: Разделение квадратных корней.
√(16) × √(-1)
- Шаг 4: Извлеките квадратный корень.
4 × √(-1)
- Шаг 5: Запишите в виде i.
4 i
Иногда вы получаете мнимое решение уравнений.
Пример 2
Решить уравнение,
1 x x x x x x x xx 2 = -2
- Шаг 2: Извлеките квадратный корень из обеих сторон.
√
√ x 2 = + √-2 или -√-2
x = √ (2) × √ (-1)
x = + √2 I или -√2 i
- Шаг 4: Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.
x 2 + 2
(+ √2
1 I ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (как I = √ — 1 и квадрат I -1)(-√2 i ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 ( i = √-1 и квадрат i равен -1) «воображаемые» не означает, что они бесполезны. У них много приложений. Одним из величайших применений мнимых чисел является их использование в электрических цепях.Расчеты тока и напряжения выполняются в терминах мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных математических вычислениях. В некоторых местах мнимое число также представлено буквой j .
Комплексные числа
Мнимое число объединяется с действительным числом для получения комплексного числа.
Он представлен как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа. Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные — на двумерной плоской плоскости.
Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».
Простые и составные числа
Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это тип целых чисел без делителей, кроме самих себя и 1, например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Точно так же 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4.Таким образом, 4 и 12 являются примерами составных чисел.
Трансцендентные числа
Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами.
Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.
Классификация чисел
Семейство чисел, которое мы видели выше, также может быть отнесено к разным категориям. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух общих семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме.Мы можем сказать, что два или более типов чисел могут подпадать под одну категорию.
Дискретные и непрерывные числа
Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые нельзя посчитать, называются непрерывными числами. Все натуральные числа, целые числа, целые числа и рациональные числа дискретны. Это связано с тем, что каждое их множество счетно. Множество действительных чисел слишком велико и не может быть сосчитано, поэтому оно классифицируется как непрерывное число.Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет бесконечно больше действительных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.
Наборы чисел
Числа также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Точно так же целые числа являются подмножеством целых чисел. Множество рациональных чисел содержит все целые числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа.Действительные числа подпадают под комплексные числа с мнимой частью, равной 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической таблице, как показано ниже:
Натуральные числа могут быть дополнительно сокращены до четных, нечетных, простых, взаимно простых, составных и совершенных квадратов. числа.
Наборы чисел: характеристики и примеры — видео и расшифровка урока
Наборы чисел и наборы чисел
Мы все ежедневно имеем дело с числами, например, отмеряя три четверти чашки хлопьев на завтрак.
Их можно разделить на набора чисел , которые представляют собой просто набор чисел. Наиболее распространенные наборы чисел вместе с символами, которые мы используем для представления каждого набора, показаны на следующем изображении:
| . |
Начнем с натуральных чисел , которые состоят из счетных чисел 1, 2, 3 и так до бесконечности; целых числа включают в себя все натуральные числа и 0. Мы называем их целыми числами, потому что они представляют целое, а не дробную часть числа.Далее у нас есть целых числа , которые состоят из всех целых чисел и их отрицательных значений.
Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби. Для сравнения, 90 393 иррациональных числа 90 394 не могут быть записаны в виде дроби и продолжаться бесконечно после их десятичной точки, не предполагая повторяющийся шаблон.
Реальные числа — это те числа, с которыми мы обычно работаем ежедневно.
Они включают в себя все описанные наборы чисел, за исключением комплексных чисел и мнимых чисел.Мнимые числа содержат число i = √-1. Действительные числа являются комплексными числами и могут быть записаны как a + bi .
Наборы номеров следуют порядку, в котором каждый набор содержится в следующем за ним, за некоторыми исключениями, как показано на следующей диаграмме:
Один и тот же номер может принадлежать более чем одному набору номеров. Мы можем поместить число в множество, если оно удовлетворяет определению этого множества.Например, число 3/4 не соответствует определению натурального, целого, иррационального, мнимого или целого числа. Однако оно удовлетворяет определениям рациональных, действительных и комплексных чисел. Таким образом, мы можем разместить его на нашей диаграмме, как показано на рисунке:
Обозначение Set-Builder { х | х ≠ 0}, находится в нотации конструктора наборов. Этот набор читается как .«Набор всех действительных чисел x , таких что x не равно 0», (где символ | читается как таковой). То есть это множество содержит все действительные числа, кроме нуля.
Другой пример нотации конструктора наборов: .{ х | − 2 < x ≤ 3} . Этот набор читается как «Набор всех действительных чисел x , таких, что x больше -2 и меньше или равно 3». Как указано выше, мы можем использовать нотацию построителя множеств для выражения домена функции. Например, функция имеет домен, состоящий из всех действительных чисел, больших или равных нулю, потому что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом.Мы можем записать домен f ( x ) в нотации построителя наборов как .{ х | х ≥ 0}. Если доменом функции являются все действительные числа (т. е. нет ограничений на x ), вы можете просто указать домен как «все действительные числа» или использовать символ для представления всех действительных чисел. Обозначение интервала Мы также можем использовать запись интервала для выражения области определения функции.В обозначении интервала используются следующие символы
Интервальная нотация может использоваться для выражения различных наборов чисел. Вот несколько распространенных примеров.
***** В следующем разделе мы опишем нотацию суммирования. Обозначение суммирования |
Мы можем использовать нотацию построителя наборов, чтобы выразить домен или диапазон функции. Например, набор, заданный
е. мы не включаем конечные точки)
Набор чисел (действительные, целые, рациональные, натуральные и иррациональные числа)
В этом разделе мы дадим краткое, но более содержательное введение в понятия множеств чисел, причем множество действительных чисел является наиболее важным и обозначается $$\mathbb{R}$$.
Но сначала, чтобы перейти к действительным числам, мы начнем с множества натуральных чисел.
Натуральные числа $$\mathbb{N}$$
Натуральные числа — это те, которые с незапамятных времен использовались для счета. В большинстве стран они переняли арабские цифры, названные так потому, что арабы привезли их в Европу, но они были изобретены в Индии.
Множество натуральных чисел обозначается как $$\mathbb{N}$$; так:
$$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6\ldots\}$$$
Натуральные числа характеризуются двумя свойствами:
- Число 1 является первым натуральным числом, и каждое натуральное число образуется путем прибавления 1 к предыдущему.
- Когда мы вычитаем или делим два натуральных числа, результат не обязательно является натуральным числом, поэтому мы говорим, что натуральные числа не замыкаются при выполнении этих двух операций. Натуральные числа замкнуты только при сложении и умножении, т. е. сложение или умножение двух натуральных чисел всегда приводит к другому натуральному числу.
Целые числа $$\mathbb{Z}$$
Когда возникает необходимость отличать одни значения от других по эталонной позиции, в игру вступают отрицательные числа.Например, когда от уровня 0 (уровень моря) мы различаем выше уровня моря или глубокого моря. Или в случае отрицательных или положительных температур. То есть мы можем быть на высоте 700м, $$+700$$, или нырнуть на 10м в глубину, $$-10$$, а может быть около 25 градусов $$+25$$, или 5 градусов ниже 0, $$-5$$.
Для обозначения отрицательных чисел мы добавляем знак минус перед числом.
Короче говоря, набор, образованный целыми отрицательными числами, числом ноль и целыми положительными числами (или натуральными числами), называется набором целых чисел.
Они обозначаются символом $$\mathbb{Z}$$ и могут быть записаны как:
$$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$$
Представим их на числовой прямой следующим образом:
Важным свойством целых чисел является то, что они замкнуты относительно сложения, умножения и вычитания, то есть любое сложение, вычитание и умножение двух целых чисел приводит к другому целому числу.
Обратите внимание, что частное двух целых чисел, например $$3$$ и $$7$$, не обязательно является целым числом.Таким образом, множество не замыкается при делении.
Рациональные числа $$\mathbb{Q}$$
Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как деление двух целых чисел. Множество рациональных чисел обозначается как $$\mathbb{Q}$$, поэтому:
$$$\mathbb{Q}=\Big\{\dfrac{p}{q} \ | \ p,q \in\mathbb{Z} \Big\}$$$
Результат рационального числа может быть целым ($$-\dfrac{8}{4}=-2$$) или десятичным ($$\dfrac{6}{5}=1,2$$) число, положительное или отрицательное. Кроме того, среди десятичных дробей есть два разных типа: один с ограниченным количеством цифр, который называется точной десятичной дробью ($$\dfrac{88}{25}=3,52$$), а другой с неограниченным количеством цифр. цифр, которые называются повторяющимися десятичными числами ($$\dfrac{5}{9}=0,5555\ldots=0,\widehat{5}$$).
Мы называем их повторяющимися десятичными дробями, потому что некоторые цифры в десятичной части повторяются снова и снова.
Если только повторяющиеся цифры начинаются с десятого, мы называем их чистыми повторяющимися десятичными знаками ($6,8888\ldots=6,\widehat{8}$$), в противном случае мы называем их смешанными повторяющимися десятичными знаками ($3,415626262\ldots=3,415\). широкий{62}$$).
Обратите внимание, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку, например, $$5=\dfrac{5}{1}$$; следовательно, $$\mathbb{Z}$$ является подмножеством $$\mathbb{Q}$$. Точно так же каждое натуральное число также является целым числом, в частности положительным целым числом.Таким образом имеем:
$$$\mathbb{N}\подмножество\mathbb{Z}\подмножество\mathbb{Q}$$$
Рациональные числа замкнуты не только на сложение, умножение и вычитание, но и на деление (кроме $$0$$).
Иррациональные числа $$\mathbb{I}$$
Мы видели, что любое рациональное число может быть представлено как целое, десятичное или точное десятичное число.
Однако не все десятичные числа являются точными или повторяющимися десятичными числами, и поэтому не все десятичные числа могут быть выражены в виде доли двух целых чисел.
Эти десятичные числа, которые не являются ни точными, ни повторяющимися десятичными числами, характеризуются бесконечными непериодическими десятичными цифрами, т. е. никогда не заканчивающимися и не имеющими повторяющегося рисунка.
Обратите внимание, что множество иррациональных чисел является дополнительным к множеству рациональных чисел.
Некоторыми примерами иррациональных чисел являются $$\sqrt{2},\pi,\sqrt[3]{5},$$ и, например, $$\pi=3,1415926535\ldots$$ получается из отношения между длина окружности и ее диаметр.
Действительные числа $$\mathbb{R}$$
Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел и обозначается как $$\mathbb{R}$$.
Таким образом имеем:
$$$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$$$
И рациональные числа, и иррациональные числа являются действительными числами.
Одним из наиболее важных свойств действительных чисел является то, что их можно представить в виде точек на прямой линии.
Мы выбираем точку, называемую источником, для представления $$0$$ и другую точку, обычно справа, для представления $$1$$.
Соответствие между точками на прямой и действительными числами возникает естественным образом; другими словами, каждая точка на прямой представляет одно действительное число, и каждое действительное число имеет одну точку на прямой.Мы называем это реальной линией. На следующем рисунке вы можете увидеть пример:
21-110: Наборы
21-110: Наборы Понятие множества — одна из самых фундаментальных идей математики.
По сути, набор — это просто набор объектов. Область математики
которая изучает множества, названная теорией множеств , была основана немецким
математик Георг
Кантор во второй половине XIX в. Сегодня концепция наборов
пронизывает почти всю современную математику; почти любой другой математический
концепция (включая кажущуюся фундаментальной концепцию чисел!) была
определяются прямо или косвенно в терминах множеств.
Основные определения и обозначения
Набор представляет собой набор объектов, рассматриваемых как математический объект сам по себе. (Полезная метафора для набора — картонная коробка — коробка может содержать предметы, и мы можем думать о том, объекты в коробке по отдельности или думать о коробке и ее содержимом вместе как единый объект.) Объекты в наборе называются элементов (или элементов ) множества; говорят элементы принадлежат к набору (или быть в набору), а набор Говорят, что содержат элементов.Обычно элементы множества другие математические объекты, такие как числа, переменные или геометрические точки.
Письменные наборы
Набор часто записывается путем перечисления его элементов между фигурными фигурные скобки { }. Например, набор, содержащий числа 1, 2, и 3 будет записано как {1, 2, 3}.
Когда элементы набора следуют очевидному шаблону, но их слишком много
из них для явного перечисления, обычно перечисляются первые несколько элементов (чтобы
установить шаблон) и последний элемент (чтобы указать, где шаблон
останавливается) с многоточием (…) между ними, чтобы указать, что
элементы в середине были опущены.
Например, чтобы записать множество положительных
целые числа от 1 до 100, мы можем написать
{1, 2, 3, …, 100}. Если ни один элемент не написан после
многоточие, предполагается, что шаблон будет продолжаться вечно; так набор написан
{1, 2, 3, …} содержит все положительные целые числа.
Иногда элементы множества продолжаются бесконечно в обоих случаях.
«направления» — например, множество всех целых чисел (оба
положительный и отрицательный) можно записать как
{…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
Множество также можно описать на естественном языке с помощью английских фраз.За
Например, «множество всех положительных целых чисел» описывает конкретное
набор. Важно, чтобы описание было точным, чтобы не было сомнений.
о том, является ли тот или иной объект элементом множества. Общий
Примером неточного описания является такая фраза, как «числа
от 1 до 10». В этой фразе есть несколько неясностей. Являются ли
числа 1 и 10 сами являются элементами множества или они исключены? Являются включены все действительных числа от 1 до 10 или только целые числа?
Наконец, фраза, вероятно, должна быть более ясной в отношении того факта, что эти
числа следует рассматривать как набор, а не по отдельности.
Более точный
описанием этого набора может быть «множество положительных целых чисел, не превышающих
чем 10” (если в наборе есть числа 1 и 10 и только
включены целые числа) или «множество действительных чисел между 1
и 10, исключая» (если в наборе есть числа с дробной
части, но не сами цифры 1 и 10).
Символ ∈ используется для обозначения «является элементом», просто поскольку символ = используется для обозначения «равно». Например, чтобы сказать что число 2 является элементом множества {1, 2, 3}, мы можем напишите 2 ∈ {1, 2, 3}.Чтобы выразить обратное, «не является элементом», мы ставим косую черту через символ и напишите ∉. Например, мы можем написать 4 ∉ {1, 2, 3}.
Часто полезно присваивать имена наборам. Эти имена обычно выбирают
быть одиночными буквами, аналогично использованию букв для представления чисел в
алгебра. Очень распространенным соглашением является использование заглавных букв в именах
наборы и строчные буквы для представления элементов наборов. Таким образом, для
например, если мы назначим букву A набору
{1, 2, 3}, написав A = {1, 2, 3}, мы
тогда можно сказать, что 2 ∈ A .
Мы также можем написать a ∈ A , под которым мы подразумеваем, что a – число (возможно, неизвестное), являющееся элементом
установить A — другими словами, значение a должно
быть либо 1, 2, либо 3.
Равенство множеств
Два набора называются равными , если каждый элемент первого набора является элементом второго множества, и наоборот. Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 1}, тогда множества A и B равны.Каждый элемент A также является элемент B , и каждый элемент B также является элемент A . Мы выражаем равенство множеств знаком равенства, поэтому в этом случае мы пишем A = B . Когда два набора равны, они считаются одним и тем же набором. Важно помнить, что равенство между множествами — это другое понятие, чем равенство между числами.
Одним из следствий этого определения равенства является то, что порядок, в котором
перечисление элементов множества не имеет значения.
Мы заботимся только о том, какие
объекты являются элементами множества, а не порядком их появления. Так, например,
выражения {1, 2, 3} и {2, 3, 1} описывают
тот же набор.
Другим последствием является то, что количество раз, когда элемент перечисляется, не имеющий отношения. Набор {1, 2, 1, 3, 3, 3} равен набор {1, 2, 3}, поскольку каждый элемент первого набора является элементом второго, и наоборот. (Неважно, что числа 1 и 3 перечислены несколько раз в первом наборе.)
[Иногда нам нужно использовать набор объектов, в котором порядок равен важный. Такая коллекция называется последовательностью или последовательностью . заказанный список . Примером может служить использование упорядоченных пар форма ( x , y ) для представления точек в
двумерная плоскость; точка (2, 5) отличается от
точка (5, 2). Точно так же нам иногда нужна коллекция объектов в
что имеет смысл, чтобы элемент появлялся более одного раза.
Такой
сборник называется мультимножество . Когда
мы имеем в виду набор , однако следует понимать, что порядок и
повторение элементов не имеет значения.]
Наборы, содержащие другие наборы
Элементами набора может быть что угодно — даже другие наборы. Например, предположим, что у нас есть два множества: A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4, 5}. Думайте о A как о коробка с цифрами 1, 2 и 3 и B в качестве поле с цифрами 2, 3, 4 и 5.ничто не останавливает нам положить коробку A и коробку B вместе в большой коробке C . Точно так же мы можем сделать набор C , содержащий набор A и установите B в качестве элементов. Мы можем записать набор C как { A , B }, или, если хотите, мы можем сказать
C = { {1, 2, 3}, {2, 3, 4, 5} }.
Набор, содержащий другие наборы, подобен коробке, содержащей другие коробки.
В этом
В этом случае множество C состоит из двух элементов, которые являются двумя
наборы A и B . Эти элементы
set C сами являются наборами; набор A состоит из трех
элементов, а множество B состоит из четырех элементов.
Следовательно, верно, что A ∈ C , потому что A является элементом C . Точно так же верно что B ∈ C . Конечно, это тоже верно что, скажем, 1 ∈ A , потому что число 1 является элемент набора A .
Однако верно , а не , что 1 ∈ C , потому что 1 не является элементом множества C . только два элемента из C являются наборы A и B , и ни один из этих двух элементов не является числом 1. (Набор A содержит номер 1, но А сам по себе не является номер 1.)
Возвращаясь к метафоре коробки, мы должны думать об элементах множества (a
коробка) как объекты, которые находятся непосредственно внутри коробки.
То
номер 1 не находится прямо внутри коробки C ; вместо этого это
спрятан внутри коробки A . Таким образом, 1 не является элементом
set C , но 1 – это элемент
набор A .
Аналогично, хотя верно, что 2 ∈ A и также верно, что 2 ∈ B , не верно, что 2 ∈ C , потому что число 2 напрямую не внутри коробки C .
Теперь рассмотрим набор
D = {1, 2, 3, 2, 3, 4, 5},
, который совпадает с набором {1, 2, 3, 4, 5}, поскольку
порядок и повторение элементов значения не имеют.Набор D отличается от набора C — эти наборы не
равный. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти один элемент в одном множестве, который
не является элементом другого множества. Ну, например, число 1 – это
элемент D , но (как объяснялось выше) не является элементом
из С ; поэтому наборы не равны.
Думая о C и D в виде коробок, мы видим, почему они не совпадают:
set C — это блок, содержащий два блока (которые сами по себе
содержать несколько чисел), тогда как набор D представляет собой коробку,
непосредственно содержит пять чисел (и никаких ящиков).
В качестве другого примера рассмотрим два набора E = {1} и F = {{1}}. Эти множества не равны.
В наборе E есть один элемент, номер 1; в
set F также содержит один элемент, но единственный элемент
из F — это другой набор, а не число. Таким образом, тогда как
set E – это поле, содержащее число 1,
set F – это поле, содержащее поле, содержащее число 1.
(Другими словами, набор F представляет собой коробку
содержащий E — вы видите это?) Оба они
отличается от самого числа 1.Так что это правда, что
1 ∈ E , а на самом деле E ∈ F (поскольку единственный элемент
из F есть набор E ), но не верно
что 1 ∈ F .
Множества, содержащие другие множества, распространены в некоторых областях математики, но мы не будет видеть их очень часто в этом курсе. (Математики, работающие в эти области часто называют множество, содержащее другие множества, «набором наборы» или «семейство наборов», чтобы избежать неловкой фразы «Набор наборов.»)
Мощность
кардинальность набора — это количество элементов, которые набор содержит. (Иногда мощность множества называют просто «размер» набора, потому что размер более короткое слово; но «мощность» — технически правильный термин.)
Обычно пишут | А | означать мощность набор A . Например, если A = {1, 4, 8}, тогда | А | = 3, потому что A состоит из трех элементов.Это та же запись, что и для абсолютного значения числа, но контекст поясняет, что имеется в виду: если набор окружают вертикальные полосы, они относятся к мощности множества.
Количество элементов множества может быть бесконечным.
Например, мощность
набор положительных целых чисел {1, 2, 3, …} равен
бесконечный.
Пустой набор
Мы думали о наборах как о коробках. Какой набор соответствует идея пустой коробки? Ясно, что это должно быть множество, не содержащее ни одного элемента все.Мы называем такое множество пустым множеством . Так как любые два пустых множества содержат точно такие же элементы (точнее, вообще не содержат элементов), мы считать любые два пустых множества равными и, следовательно, одним и тем же множеством. Так что мы обычно обратитесь к пустому набору , потому что на самом деле он только один.
Пустой набор можно записать двумя способами. Первый способ, как вы можно ожидать, { }. Другое обозначение — круг или ноль с прорежьте его, что выглядит как ∅. Оба { } и ∅ – символы пустого набора.
Обратите внимание, что между ∅ и {∅} есть разница. То
во-первых, это пустой набор, который представляет собой пустой ящик. Второй — коробка содержит пустой ящик, поэтому второй ящик не пуст — у него есть
коробка в нем! Не пишите {∅}, когда имеете в виду пустой набор,
потому что {∅} относится к набору, содержащему пустой набор, который не является
как и само пустое множество.
Кардинальность пустого множества равна 0, что логично, поскольку пустое множество не содержит элементов. Заявление x ∈ ∅ всегда ложно, несмотря ни на что x , потому что нет такой вещи, как пустой элемент набор.
Подмножества
Выше мы определили два набора A и B равными, если каждый элемент A является элементом B , и наоборот наоборот Если убрать из этого определения «наоборот», то получим определение подмножества.
Мы говорим, что множество A является подмножеством установить B , если каждый элемент A также является элементом
из B . Мы используем символ ⊆ для обозначения «является подмножеством
из»; например, A ⊆ B означает
« A является подмножеством B .» Мы также можем
поверните этот символ в другую сторону и запишите множества в другом порядке, чтобы получить В ⊇ А ; это значит то же самое, что А ⊆ В .
Чтобы написать, что A это
не является подмножеством B , мы рисуем косую черту через символ подмножества: А ⊈ В . Интуитивно, подмножество B является «частью» B .
Например, рассмотрим наборы C = {1, 2} и D = {1, 2, 3, 4}.Набор C является подмножеством D , потому что каждый элемент C является также элемент D . Итак, мы можем написать C ⊆ D . У данного набора есть много подмножеств; за например, другое подмножество D — это {1, 3, 4}.
Чтобы запомнить, в каком направлении писать символ ⊆, подумайте о
мощностей множеств и символа неравенства ≤. Если А является подмножеством B , то B должно содержать не менее
много элементов, как A (просто потому, что B содержит
все элементы A ), поэтому мощность
из B должно быть больше или равно количеству элементов
из А .
Другими словами,
А ⊆ В подразумевает, что | А | ≤ | Б |.
Обратите внимание, что символы выше «указывают» в одном направлении.
Существует очень важное различие между символами ∈ и ⊆. Символ ∈ используется для обозначения элемента набора, тогда как символ ⊆ используется для обозначения 90 131 подмножества 90 132 . Например, рассмотрим набор
Д = {1, 2, 3, 4}.
Набор {2, 4} является подмножеством D , поскольку каждый
элемент {2, 4} также является элементом D , поэтому он
правильно писать {2, 4} ⊆ D .Но
набор {2, 4} – это , а не , элемент набора D ,
потому что все четыре элемента множества D являются числами
( D не содержит наборов в качестве элементов), поэтому некорректно
напишите {2, 4} ∈ D . С другой стороны,
число 2 является элементом D , поэтому правильно писать
2 ∈ D ; но число 2 – это 90 131, а не 90 132, подмножество
из D (поскольку число 2 – это число, а не набор), поэтому
неправильно писать 2 ⊆ D .
Если мы хотим обратиться к
подмножество D , содержащее только число 2, мы должны
напишите {2}, то есть набор, содержащий 2 (обратите внимание, что набор {2}
отличается от числа 2). Набор {2} является подмножеством
из D , то есть {2} ⊆ D ; но это не элемент D , потому что D не является
имеют какие-либо множества в качестве элементов, поэтому некорректно писать
{2} ∈ D .
Когда A является подмножеством B ,
набор B иногда называют надмножеством из А .Мы также можем сказать
« B содержит A в качестве подмножества», но
следует быть очень осторожным со словом «содержит», потому что, как
отмечено в предыдущем абзаце, есть большая разница между высказыванием
» B содержит A в качестве элемента»
(что означает A ∈ B ) и сказать
» B содержит A в качестве подмножества» (значение А ⊆ В ).
попробую использовать слово
содержит только для ссылки на элементы, а не на подмножества.
Внимательное прочтение определения подмножества показывает, что каждое множество является
подмножество самого себя. Например, используя приведенный выше набор D ,
очевидно верно, что «каждый элемент D также является
элемент D », поэтому по определению D является
подмножество D . Мы часто хотим исключить этот случай, поэтому мы определяем правильное подмножество набора B быть подмножеством B , который не является самим B . Мы пишем A ⊂ B означает, что A является
правильное подмножество B .[Это использование символов ⊆
и ⊂ означает «является подмножеством (или равным)» и «является
правильное подмножество», соответственно, соответствует использованию неравенства
символы ≤ и < означают «меньше или равно» и
«строго меньше» соответственно.
]
Пустое множество считается подмножеством любого множества (включая его самого). Это может показаться довольно странным соглашением. Пожалуй, лучшее оправдание это происходит от того, что мы переворачиваем определение подмножества с ног на голову и задаемся вопросом, что оно означает, что набор A не является подмножеством из B .Из определения это должно означать, что существует некоторое элемент в A , который не является элементом B . Так что значит сказать, что пустое множество не является подмножеством из B ? Это означало бы, что в пустом множестве есть какой-то элемент это не элемент B — но это не может быть правдой, потому что в пустом наборе нет элементов! Итак, с этого момента точки зрения, имеет смысл сказать, что пустое множество является подмножеством каждый набор.
[Следует отметить, что использование символов ⊆ и ⊂
описанное выше не является универсальным. Некоторые авторы используют символ ⊂ для
означает «является подмножеством» (для которого мы используем
символ ⊆) и ввести новый символ ⊊, символ подмножества
с перечеркнутой полосой «равно», что означает «является правильным
подмножество» (для которого мы используем символ ⊂).
]
Наборы цифр
Некоторые наборы чисел настолько часто используются, что их специальные символы. Двойные прописные буквы, иногда называемые жирным шрифтом на доске. часто используются буквы (в частности, буквы ℝ, ℤ, ℕ и ℚ).В качестве альтернативы буквы могут быть просто набраны в полужирный. [Из-за возможности того, что необычные символы, такие как классная доска, жирным шрифтом, может отображаться не во всех веб-браузерах, я буду использовать простое полужирное начертание буквы здесь.]
Множество всех действительных чисел, как положительных, так и отрицательных (и нулей), равно называется R (от «настоящего»). Множество действительных чисел включает все числа, обычно встречающиеся в алгебре, тригонометрии или исчислении курс. (Он не содержит комплексных чисел, таких как как √−1.)
Набор целых чисел (положительных, отрицательных и нулевых) называется Z (от немецкого слова Zahlen, означающего
«числа»). Другими словами, Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
Набор натуральных чисел называется N (для
«естественный»). Множество натуральных чисел содержит все положительные
целые числа и никаких отрицательных целых чисел. К сожалению, нет единого мнения о
следует ли считать ноль натуральным числом. Некоторые авторы включают 0
в комплекте N , а других нет.Причина этого отсутствия
согласованность заключается в том, что иногда полезно включать ноль, а иногда нет,
в зависимости от ситуации. Таким образом, математики используют любое определение, которое подходит
их лучше всего в то время, но они знают о различиях в использовании, поэтому
они всегда очень тщательно указывают, какое именно определение они используют
в каждом конкретном случае, чтобы избежать какой-либо путаницы или двусмысленности, и как только они
выбрав определение, они придерживаются его. Для этого класса давайте договоримся
что 0 – это 90 131, а не 90 132 – натуральное число, если не указано иное.В
другими словами, если не указано иное, мы будем использовать символ N для
представляют набор {1, 2, 3, …}.
Если мы хотим обратиться к
набор {0, 1, 2, 3, …}, когда мы используем это
определение N , мы всегда можем написать N ∪ {0}
(о значении символа ∪ мы поговорим чуть позже).
В качестве альтернативы, термины положительное целое число и неотрицательное число
целых всегда однозначны: ноль не положителен, но он
неотрицательный. Следовательно, другой способ обратиться к множеству
{1, 2, 3, …} — это «множество положительных
целые числа», а {0, 1, 2, 3, …} – это
множество неотрицательных целых чисел.
Наконец, множество рациональных чисел называется Q (от слова
«частное»). Рациональное число — это число, которое может быть
записывается точно как дробь или частное двух целых чисел. Например,
число 2/3 является рациональным числом, как и число –7/2. Все
целые числа являются рациональными числами, потому что любое целое число можно записать в виде дроби
со знаменателем 1; например, целое 5 можно записать
как 5/1. Другие примеры рациональных чисел включают числа, которые могут быть
записывается как завершающая десятичная дробь (например, число 8.
13 может быть
записывается как 813/100) или как повторяющаяся десятичная дробь (например,
число 0,333… можно записать как 1/3). Не все действительные числа
однако рациональны. Примеры вещественных чисел, которые нельзя записать точно
как дробь двух целых чисел включает
√2
и π ; десятичные расширения этих чисел продолжаются вечно
и никогда не повторять. В этом курсе у нас не будет особой необходимости различать
рациональные числа из действительных чисел, поэтому мы редко (если вообще когда-либо) будем использовать
символ Q .
Обратите внимание, что эти четыре набора чисел являются (правильными) подмножествами друг друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
Обозначение конструктора наборов
Перечислить все элементы набора можно, если набор не слишком
большой. Для больших наборов мы можем пропустить некоторые элементы, написав
многоточие (…), как мы видели, но это возможно только тогда, когда
элементы следуют шаблону, который хорошо виден в первых нескольких элементах.
Это не всегда так.Например, множество всех простых чисел между
100 и 500 можно было бы записать как
{101, 103, 107, …, 499}, но это не очень
полезно написать, потому что очень трудно угадать правильный
закономерность только из этих цифр (и это выражение не исключает
неправильные шаблоны, такие как «набор всех нечетных чисел между 100
и 500, кроме кратных 5″).
В подобных ситуациях часто лучше описать набор, указав условие для членства.(Наше английское описание набора выше делает именно это; фактически он говорит, что условие для числа Элемент набора состоит в том, что число должно быть простым и лежать в пределах 100. и 500.) Когда мы хотим таким образом описать множество, мы можем использовать нотация конструктора наборов .
Когда мы используем нотацию построителя наборов, мы должны сначала установить универсальный набор (иногда называемый доменом дискурса или вселенная дискурса ), которая представляет собой множество всех возможных объектов
на рассмотрении.
Например, можно сказать, что универсальное множество R , множество всех действительных чисел; или, возможно, Z ,
набор целых чисел. Другая возможность состоит в том, чтобы использовать ранее определенный набор в качестве
универсальный набор. Если мы определили A = {1, 2, 3},
например, мы можем использовать A в качестве универсального набора.
После того, как мы выбрали универсальный набор, мы можем «построить» набор, выбор всех элементов универсального множества, удовлетворяющих заданному состояние. Например, если универсальный набор равен R , мы можем определить установить B , скажем, как набор всех элементов R , которые больше 17.(Таким образом, B содержит числа 18 и 29,4, например, но не содержит 11,26 или -30.) Это набор B может быть записан с использованием нотации конструктора наборов как
. B = { x ∈ R | x > 17 }.
В системе построения наборов вертикальная черта | следует читать как «такой, что» или «удовлетворяющий условию, что». Так что Вышеприведенное выражение можно прочитать как « B — это набор, который содержит все элементы x универсального набора R удовлетворяющие условию x > 17.
Обратите внимание, что универсальный набор указан слева от вертикальной bar, и дается имя для представления произвольного элемента универсального множества с помощью символа ∈. Справа от полосы находится условие которым элемент должен удовлетворять, чтобы быть членом множества, которое мы строительство. Имя произвольного элемента ( x в примере выше) может быть любым; приведенный выше пример означает то же самое, что и, скажем,
B = { z ∈ R | z > 17 },
или даже
B = { ♣ ∈ R | ♣ > 17 },
, хотя ♣ не очень распространенное имя переменной (и оно, вероятно, вызовет
некоторое недоумение, поэтому его, вероятно, следует избегать).
Почему важен универсальный набор? Ответ состоит в том, что множество, описанное с помощью Нотация создателя множества всегда будет подмножеством универсального множества. Рассмотрим набор
C = { x ∈ N | x > 17 },
, который определяется точно так же, как набор B выше. за исключением того, что универсальный набор был изменен на N . Наборы B и C имеют много общего; Например, число 20 является элементом как B , так и C .Однако, поскольку C состоит из элементов N . вместо элементов R набор C содержит только (положительные) целые числа и не содержит чисел с дробной частью. Так, например, число 23,456 является элементом B , но , а не элемент C .
В качестве другого примера нотации конструктора наборов рассмотрим набор
. D = { n ∈ N | n ≤ 10 }.
Что это значит? Читая слева направо по одному символу за раз, мы читать, » D это множество, которое содержит все элемент N в универсальном наборе N удовлетворяющий при условии, что n ≤ 10». Здесь универсальный набор есть множество N натуральных чисел (которое, как мы договорились, не include 0), поэтому мы видим, что
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Обратите внимание, что набор, описанный с помощью нотации конструктора наборов, может быть пустым, если нет элементы универсального множества удовлетворяют указанному условию! Например, набор
E = { n ∈ N | n < 0 }
— пустое множество, потому что натуральных чисел меньше нуля не существует.А несколько более тонкий пример набора, который оказывается пустым, это
F = { n ∈ N | 8 < n < 9 },
, которое пусто, потому что нет натурального числа n , которое
удовлетворяет неравенству 8 < n < 9.
(Напомним, что 8 < n < 9 является сокращением для
«8 < n и n < 9».
Ни одно натуральное число не удовлетворяет этому условию, потому что каждое натуральное число
либо меньше или равно 8, либо больше или равно 9.)
Вариации нотации конструктора наборов
Условие в нотации построителя набора не нужно записывать в математические символы. Обычно условие записывается как английская фраза. Например, мы можем определить S как набор совершенные квадраты, написав
S = { t ∈ Z | t – полный квадрат}.
(Здесь в качестве универсального набора мы использовали Z вместо N , даже хотя никакое отрицательное целое число не является полным квадратом, потому что ноль равен а идеальный квадрат, и мы хотели включить его в набор S .Этот пример, в котором было бы удобно, чтобы 0 был в N . Ну ладно.)
Если универсальный набор указан явно в словах до или после
использование нотации построителя наборов, он часто опускается в нотации построителя наборов
сам.
Например, при определении нескольких наборов мы можем сказать:
Пусть
К = { x | x ≠ 0 }, L = { x | −6 ≤ x < 1 }, M = { x | x ≥ 50 и x идеально}, , где универсальный набор — это набор действительных чисел.
В этом случае, поскольку универсальный набор указан как набор реальных чисел, мы должны читать определение множества K как » K это множество, содержащее все действительные число x , удовлетворяющее условию, что x ≠ 0». Другими словами, K – это набор всех действительных чисел, кроме 0. Можете ли вы понять определения L и M ?
Иногда вместо вертикальной черты используется двоеточие (:).
нотация построителя множества.Это особенно распространено, когда состояние включает в себя
выражение абсолютного значения, потому что вертикальные полосы, используемые в абсолютном значении
обозначение можно легко спутать с вертикальной чертой, используемой в конструкторе наборов.
обозначение.
Набор операций
Есть несколько операций, которые можно выполнить над множествами, чтобы получить новые комплекты из старых. Эти операции столь же фундаментальны для теории множеств, как и сложение и умножение относятся к арифметике.
Соединения и пересечения
Рассмотрим наборы
| A | = | {1, 2, 3, 5, 8, 13}, |
| b b | = | {2, 4, 6, 8, 10}. |
Одна полезная вещь, которую можно сделать с этими наборами, — это «поместить их
вместе» — другими словами, создать новый набор, содержащий все
элемент A , а также каждый элемент B .
Такой
набор называется соединением из A и B ,
и записывается A ∪ B . В этом примере мы
есть
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13}.
Обратите внимание, что числа 2 и 8 содержатся в обоих A и B , но каждый из них указан только один раз. в A ∪ B , потому что количество раз элемент, указанный в наборе, не имеет значения.
Какими бы ни были наборы A и B , всегда правда что А ⊆ ( А ∪ В ) и B ⊆ ( A ∪ B ). Делать понимаешь почему?
Еще одна полезная операция — выбрать элементы, которые A и B имеют много общего. Это называется пересечение A и B , и написано А ∩ В . В нашем текущем примере у нас есть
А ∩ В = {2, 8}.
Какими бы ни были наборы A и B , всегда правда что ( A ∩ B ) ⊆ A и ( A ∩ B ) ⊆ B . Делать понимаешь почему?
Если наборы A и B не имеют общих элементов, они называются непересекающимися . В этом случае пересечение A ∩ B пусто набор.
Предположим, что один из двух наборов, с которыми мы работаем, является пустым набором.Независимо от того что такое набор A , всегда верно, что A ∪ ∅ = A и A ∩ ∅ = ∅. Вы понимаете, почему?
Дополняет
Еще одна полезная вещь, которую можно сделать с набором, — рассмотреть все, что есть. , а не в комплекте. Для того, чтобы иметь точное значение для
«все», нам нужно указать универсальный набор (как мы сделали, когда
используя нотацию конструктора наборов). Совокупность всех элементов универсального множества,
не являются элементами множества называется дополнением A , и
написано А .
(Еще один распространенный
обозначение дополнения A А в .)
Например, предположим, что универсальный набор N . Пусть P быть набором простых чисел; то есть
P = { n ∈ N | n простое } = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}.
Затем P , дополнение P , это набор составных чисел (и число 1, который не является ни простым, ни составным):
P = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …}.
Установить разницу
Иногда нам нужно обратиться ко всем элементам в некоторых
set A , которые являются , а не элементами какого-либо другого
набор B . Эта операция называется набором разности .
(иногда называется относительным дополнением ) и записывается А \ В . (Некоторые авторы используют стандартный знак минус
и напишите A − B , но операция множества
разница сильно отличается от обычной идеи вычитания, поэтому
обратная косая черта встречается чаще.
)
Например, если у нас есть наборы
| A | = | {3, 4, 5, 10, 14, 17}, |
| B B | = | {4, 5, 17}, |
разница в наборе A \ B равна
А \ В = {3, 10, 14},
, потому что это элементы A , которые не являются элементами из B .
Нет необходимости, чтобы один набор был подмножеством другого.Например, рассмотрим наборы
| C C | = | {1, 3, 6, 10, 15}, | |
| D | = | = | {1, 4, 5, 6, 10, 20}. |
Ни один из этих наборов не является подмножеством другого. Операция установки разницы однако по-прежнему имеет смысл. У нас есть
C \ D = {3, 15},
, потому что это элементы C , которые не являются элементами из D ; и
D \ C = {4, 5, 20},
, потому что это элементы D , которые не являются элементами
из C .
Обратите внимание, что если универсальное множество называется U , то мы можем выразить дополнение множества A как разность множеств:
А = U \ А .
Давайте подумаем, как ведет себя пустой набор с разницей в наборе операция. Каким бы ни был набор A , всегда верно, что А \ ∅ = А и ∅ \ A = ∅. Вы понимаете, почему?
Скобки
Когда мы выполняем две или более операции над множествами, нам часто нужно включать круглые скобки, чтобы сделать порядок вычислений однозначным.Например, предположим у нас есть наборы
| = | {1, 2, 3}, | |
| b b | = | {2, 3, 4}, |
| = | {3, 4, 5}. |
Рассмотрим выражение
( A ∪ B ) ∩ C .
Мы
сначала оцените A ∪ B , потому что это в
скобки. Мы видим, что А ∪ В = {1, 2, 3, 4},
так
( A ∪ B ) ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ C = {3, 4}.
С другой стороны, предположим, что у нас есть выражение A ∪ ( B ∩ C ), который точно так же, за исключением размещения скобок. Мы тут сначала оцените B ∩ C , что {3, 4}, поэтому мы получаем
A ∪ ( B ∩ C ) = A ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Этот пример показывает, что размещение скобок важно. Скобки свободны — если вы не уверены, нужны ли вам круглые скобки в выражении, поместите их на всякий случай.
Диаграммы Венна
диаграммы Венна, введенные английским математиком Джоном Венном в 1881 году очень полезны для понимания отношений между наборы.
На диаграмме Венна наборы представлены перекрывающимися фигурами.
То
самая внешняя форма, которая обычно представляет собой прямоугольник, представляет собой универсальный
набор. Внутри этого прямоугольника находятся другие формы (часто круги), представляющие
различные наборы. Эти формы могут перекрываться, указывая на возможность того, что две или
несколько наборов могут иметь некоторые общие элементы.
Ниже показан наиболее распространенный способ построения диаграммы Венна для двух наборов. A и B . Здесь универсальный набор называется U .
Например, предположим, что универсальный набор —
.U = {1, 2, 3, …, 12}
и мы определяем множества
| A | = | {1, 2, 3, 7, 9, 11}, |
| B B | = | {3, 4, 7, 11}. |
На приведенной ниже диаграмме Венна показаны целые числа от 1 до 12 в
соответствующие места.
Например, число 1 находится внутри круга.
помечен A , но вне круга с пометкой B ,
потому что 1 является элементом A , но не B . То
число 7 находится внутри обоих кругов, потому что оно является элементом обоих A и B . Число 5 находится внутри прямоугольника,
потому что это элемент универсального множества, но он вне обоих кругов,
потому что его нет ни в A , ни в B .
Из этой диаграммы легко увидеть, например, что A ∩ B = {3, 7, 11}.
Диаграмма Венна особенно полезна, когда мы думаем об абстрактных или
неизвестные наборы, а не конкретные примеры, такие как наборы выше. В этом
случай, когда мы не можем явно выписать элементы множеств; вместо этого мы представляем
различные области самой диаграммы как метафоры для различных наборов, которые мы
работают с. Полезно заштриховать или раскрасить части диаграммы, чтобы
выделить определенные области.
Заштрихованные области на диаграммах ниже показывают области, соответствующие указанные наборы.
Одним из способов использования диаграмм Венна является проверка того, что два выражения действительно описывают тот же набор. Например, рассмотрим два выражения
( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) и ( A \ B ) ∪ ( B \ A ).
Нарисуем диаграммы Венна для этих наборов. Мы начнем с выражение слева.Диаграммы Венна для A ∪ B и A ∩ B показаны ниже.
| А ∪ В | А ∩ В |
Теперь заштрихованная область на диаграмме Венна для
( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )
должны включать области, заштрихованные на диаграмме Венна для A ∪ B , но , а не , заштриховано Венном
схема для A ∩ B .
Итак, диаграмма Венна для
( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )
выглядит так:
| ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) |
Теперь рассмотрим другое выражение: ( A \ B ) ∪ ( B \ A ). Диаграммы Венна для A \ B и B \ A показаны ниже.
| А \ В | Б \ А |
Теперь заштрихованная область на диаграмме Венна для ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) должна включать заштрихованную область на диаграмме Венна для A \ B а также заштрихованная область в Венне схема для B \ A .Итак, диаграмма Венна для ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) выглядит так:
| ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) |
Обратите внимание, что это точно такая же диаграмма Венна, которую мы получили для
( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ).
Это показывает, что эти два выражения представляют собой разные способы именования одного и того же
набор. Другими словами, для любых двух наборов A и B будет
правда что
( a ∪ b ) \ ( a ∩ b ) = ( a \ b ) ∪ ( b \ a ).
(Этот набор иногда называют симметричной разностью A и B , письменный А ∆ В .)
Вопросы
Вот несколько вопросов о наборах, чтобы проверить ваше понимание.
- Запишите множество положительных четных целых чисел не менее чем в трех различных способы.
- В каждом из следующих утверждений решите, является ли
пусто _ можно правильно заполнить
символ ∈, символ ⊆, оба или ни один из них.
- 2 _ {2, {2}, {5}}
- 5 _ {2, {2}, {5}}
- {2} _ {2, {2}, {5}}
- {5} _ {2, {2}, {5}}
- {{2}} _ {2, {2}, {5}}
- {{5}} _ {2, {2}, {5}}
- {{2}, {5}} _ {2, {2}, {5}}
- Укажите элемент каждого из следующих наборов: Z \ N , Q \ Z , и R \ Q .
- Пусть A и B будут множествами, и пусть U обозначит
универсальный набор.Определите, являются ли следующие утверждения обязательно правда. Если да, объясните почему. Если нет, приведите контрпример.
- Если | У | = 14 и | А | = 8, тогда | А | = 6,
- Наборы A и A не пересекаются.
- Если | А | = 7 и | Б | = 3, тогда | А \ В | = 4,
- Составьте диаграмму Венна для трех наборов A , B , и C .Заштрихуйте область, соответствующую ( A ∪ B ) ∩ C .
- Предположим, что A и B являются наборами с
| А | = 5, | Б | = 10 и
| A ∩ B | = 3. Что такое
| А ∪ В |? (Подсказка: нарисуйте диаграмму Венна. )
)Назад на стр. 21-110
Последнее обновление: 19 марта 2010 г. Брайан КеллНаборы чисел и их обозначения, используемые в математике
В качестве основы математики мы должен иметь надлежащие знания о различных типах NUMBER SET s.Все, кто имеет правильное представление об этом, может быть близким другом или поклонником математика. Поэтому в этой статье будут подробно описаны пять основных числовые наборы, о которых должен знать студент колледжа.Типы числовых наборов, которые будут в этой статье,
1. Набор целых чисел (Z)
2. Набор натуральных чисел (N)
3. Набор рациональных чисел (Q)
4. Набор иррациональных чисел (Q’)
5. Набор реальных чисел (R)
Набор целых чисел (Z) В детском возрасте мы начинаем считать и
учить числа от 1, 2, 3, … Таким образом, это, естественно, называется Подсчет чисел .
Причина наименования
это таким образом очень ясно. Однако этот набор чисел также называется множество положительных целых чисел . Который
обозначается в системе обозначений, как показано ниже (на рис. 1).
Рисунок 1
С другой стороны, есть отрицательные целые тоже! Множество отрицательных целых чисел обозначается в обозначении множества как показано ниже (на рисунке 2).Рисунок 2
Как мы видим, ни в один из двух вышеперечисленных наборов не входит « 0 ». Но нуль должен быть включен в полный набор целых чисел. Поэтому полный набор целые числа могут быть проиллюстрированы, включая «0», как показано ниже (на рисунке 3). Это показывает установить с использованием операции установки под названием « Union ».Рисунок 3
Кроме того, многие математики и студенты высших учебных заведений используют еще два основных обозначения для целых чисел: ниже (на рис. 4).Рисунок 4
Вы можете понять обозначение, что это не что иное, как множество положительных целых чисел, включая «0» и множество отрицательные целые числа, включая «0».
Наконец, полный набор целых чисел может быть представлен
в некоторых случаях, кроме как на рисунке 3, как показано ниже (на рисунке 5).Рисунок 5
Набор натуральных чисел (N) Вы можете видеть, что множество положительных числа и счетные числа полностью аналогичны.Далее, множество натуральные числа тоже такие. Имеется в виду множество натуральных чисел также являются набором положительных целых чисел или счетных чисел. Он обозначается как ниже (на рис. 6).Рисунок 6
ВАЖНО ; Несмотря на то что
определяется, как указано выше, есть некоторые сомнения относительно способа рассмотрения
числа как натуральные числа среди математиков. Есть в основном две вещи.
Математики, специалисты по теории множеств, рассматривали «0» как
натуральное число, с другой стороны, в большинстве книг по теории чисел не рассматривается
«0» как натуральное число.Поэтому лучше использовать эти два
Условия согласно источникам, на которые вы ссылаетесь.
Если они рассматривают «0» как
натуральное число, вам лучше это учитывать, а если они считают «0» ненатуральным
номер тебе тоже лучше не надо. Однако это может быть четко определено в источниках.
в такой ситуации следует ли рассматривать «0» или нет.
Рисунок 7
Цифра 8 также может быть использована для обозначим множество рациональных чисел.Рисунок 8
Если внимательно прочитать два предыдущих наборы чисел и снова посмотрите на рисунок 8, вы определенно можете понять обозначение. На рис. 9 показаны некоторые примеры рациональные числа следующим образом.Рисунок 9
Набор иррациональных чисел (Q’) Есть еще числа, кроме числа, определенные в соответствии с рациональными числами, которые не могут быть записаны в виде дроби два целых числа.
Если хорошенько подумать, то есть много цифр, отличных от
набор рациональных чисел, который ДОЛЖЕН лежать на числовой прямой. Следовательно
иррациональные числа определяются как числа
которое нельзя записать в виде дроби от двух целых чисел . Q’ принимается за обозначение иррациональных чисел с
смысл дополнения множества рациональных чисел. есть еще один
ценное определение иррациональных чисел, то есть 90 393, квадратный корень из любого положительного несовершенного квадрата является иррациональным.
номер . На рис. 10 показаны некоторые
примеры иррациональных чисел в наборе с символом ниже.Рисунок 10
ПРИМЕЧАНИЕ ; Хотя мы принимаем за π = 22/7, это всего лишь аппроксимации для удобства расчетов. Это бесконечное десятичное число число, равное 60 ближайшим десятичным знакам, как, 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
Набор действительных чисел (R) В простейшем случае все числа которые могут быть представлены на числовой прямой, являются действительными числами.