Минус 2 косинус 2 1 – Решите уравнение cos(x)=-(1/2) (косинус от (х) равно минус (1 делить на 2))
Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2
Дано неравенство:$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-2) * (1/2) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
/ ___\ 1
- 2*atan\2 + \/ 3 / - --
10=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} — \frac{1}{10}$$
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}
2/ / ___\ 1 \ 2/ / ___\ 1 \ cos |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| - sin |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --|2/1 / ___\\ 2/1 / ___\\ cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /|
но2/1 / ___\\ 2/1 / ___\\ cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| > 1/2 \10 / \10 /
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x_____ _____ / \ / \ -------ο-------ο-------ο-------ο------- x3 x1 x2 x4
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x $$x > \frac{\pi}{6} \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2>=1/2 (косинус от (х) в квадрате минус синус от (х) в квадрате больше или равно 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-2) * (1/2) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
/ ___\ 1
- 2*atan\2 + \/ 3 / - --
10=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
2/ / ___\ 1 \ 2/ / ___\ 1 \
cos |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| - sin |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| >= 1/2
\ 10/ \ 10/ 2/1 / ___\\ 2/1 / ___\\
cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| >= 1/2
\10 / \10 / значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
_____ _____ _____
\ / \ /
-------•-------•-------•-------•-------
x3 x1 x2 x4Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x \geq — \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство cos(-x*1/2)>-1/2 (косинус от (минус х умножить на 1 делить на 2) больше минус 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} = — \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n — \frac{\pi}{3}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{4 \pi}{3} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} > — \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left (\frac{1}{2} \left(-1 \left(2 \pi n + \frac{4 \pi}{3} + — \frac{1}{10}\right)\right) \right )} > — \frac{1}{2}$$
/ 1 pi \
-sin|- -- + -- + pi*n| > -1/2
\ 20 6 / значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство cos(x)^2>-1/2 (косинус от (х) в квадрате больше минус 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\cos^{2}{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (1/2) = -2
Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi — \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi — \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например
x0 = 0
$$\cos^{2}{\left (0 \right )} > — \frac{1}{2}$$
1 > -1/2
зн. неравенство выполняется всегда
www.kontrolnaya-rabota.ru
Тригонометрические тождества. !!помогите пожалуйста! срочно
1) равно синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа равно косинус квадрат альфа. (синус и минус синус сокращаются) 2) равно косинус квадрат альфа плюс дробь в числителе синус квадрат альфа в знаменателе косинус квадрат альфа и эта дробь умножена на косинус квадрат альфа равно косинус квадрат альфа плюс синус квадрат альфа равно единице.
1) косинус квадрат альфа 2) 1 в первом это доказано и все это знают во втором тангенс в квадрате ( тг )=синус в квадрате/косинус в квадрате Косинус и косинус сокращаются и остается 1 — синус квадрат + синус квадрат, синусы сокращаются и остается единица Поняла если что обращайся пиши в личку пообщаемся
Один минус синус альфа косинус альфа умножить на тангенс альфа
touch.otvet.mail.ru