Минус 2 косинус 2 1 – Решите уравнение cos(x)=-(1/2) (косинус от (х) равно минус (1 делить на 2))

Тригонометрические тождества. !!помогите пожалуйста! срочно

1) равно синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа равно косинус квадрат альфа. (синус и минус синус сокращаются) 2) равно косинус квадрат альфа плюс дробь в числителе синус квадрат альфа в знаменателе косинус квадрат альфа и эта дробь умножена на косинус квадрат альфа равно косинус квадрат альфа плюс синус квадрат альфа равно единице.

1) косинус квадрат альфа 2) 1 в первом это доказано и все это знают во втором тангенс в квадрате ( тг )=синус в квадрате/косинус в квадрате Косинус и косинус сокращаются и остается 1 — синус квадрат + синус квадрат, синусы сокращаются и остается единица Поняла если что обращайся пиши в личку пообщаемся

Один минус синус альфа косинус альфа умножить на тангенс альфа

touch.otvet.mail.ru

Решите неравенство cos(-x*1/2)>-1/2 (косинус от (минус х умножить на 1 делить на 2) больше минус 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} = — \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n — \frac{\pi}{3}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{4 \pi}{3} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (\frac{-1 x}{2} \right )} > — \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left (\frac{1}{2} \left(-1 \left(2 \pi n + \frac{4 \pi}{3} + — \frac{1}{10}\right)\right) \right )} > — \frac{1}{2}$$

    /  1    pi       \       
-sin|- -- + -- + pi*n| > -1/2
    \  20   6        /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство cos(x)^2>-1/2 (косинус от (х) в квадрате больше минус 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1/2) = -2

Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi — \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi — \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{\sqrt{2} i}{2} \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$\cos^{2}{\left (0 \right )} > — \frac{1}{2}$$

1 > -1/2

зн. неравенство выполняется всегда

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство cos(x)^2-sin(x)^2

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-2) * (1/2) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=

        /      ___\   1 
- 2*atan\2 + \/ 3 / - --
                      10

=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}

   2/        /      ___\   1 \      2/        /      ___\   1 \      
cos |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| - sin |- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| 
   2/1          /      ___\\      2/1          /      ___\\      
cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| 
но
   2/1          /      ___\\      2/1          /      ___\\      
cos |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - sin |-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| > 1/2
    \10                    /       \10                    /      

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x $$x > \frac{\pi}{6} \wedge x 

www.kontrolnaya-rabota.ru