Метод жордана гаусса решения систем линейных уравнений: Метод Жордана-Гаусса онлайн

Метод Жордана-Гаусса — онлайн калькулятор

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Пожалуйста, обратите внимание, что коэффициенты расположенные на «красных» позициях исчезают.

( -4 x₁ + 5 x₁)

+ ( 5 x₂ + 4 x₂)

+ ( -3 x₃ + 4 x₃)

+ ( 3 x₄ + 3 x₄)

= 20 + 20

Данное преобразование позволит нам считать без дробей какое то время.

( 4 x₁ + x₁ * ( -4) )

+ ( 2 x₂ + 9 x₂ * ( -4) )

+ ( 3 x₃ + x₃ * ( -4) )

+ ( 4 x₄ + 6 x₄ * ( -4) )

= 10 + 40 * ( -4)

«Красный» коэффициент равен нулю.

( 5 x₁ + x₁ * ( -5) )

+ ( 4 x₂ + 9 x₂ * ( -5) )

+ ( 4 x₃ + x₃ * ( -5) )

+ ( 3 x₄ + 6 x₄ * ( -5) )

= 20 + 40 * ( -5)

«Красный» коэффициент равен нулю.

( -41 x₂ + ( -34 x₂) * ( -41/34) )

+ ( — x₃ + ( — x₃) * ( -41/34) )

+ ( -27 x₄ + ( -20 x₄) * ( -41/34) )

= -180 + ( -150) * ( -41/34)

«Красный» коэффициент равен нулю.

Уравнеие 3 разделим на 7/34.

— 34 x₂

+ ( — x₃ + x₃)

+ ( -20 x₄ + ( -14 x₄) )

= -150 + 30/7

«Красный» коэффициент равен нулю.

x₁

+ 9 x₂

+ ( x₃ + x₃ * ( -1) )

+ ( 6 x₄ + ( -14 x₄) * ( -1) )

= 40 + 30/7 * ( -1)

«Красный» коэффициент равен нулю.

Уравнеие 2 разделим на -34.

x₁

+ ( 9 x₂ + x₂ * ( -9) )

+ ( 20 x₄ + x₄ * ( -9) )

= 250/7 + 30/7 * ( -9)

«Красный» коэффициент равен нулю.

Ответ:

x₁ = — 20/7 — 11 x₄

x₂ = 30/7 — x₄

x₃ = 30/7 + 14 x₄

Тема 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса.

Общим решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

решение, в котором свободные неизвестные произвольны

!решение, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные неизвестные

сумма частных решений этой системы

сумма частных и базисных решений этой системы

Частным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

!решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения

решение, состоящее только из свободных неизвестных

решение, в котором все компоненты – дробные

частное от деления общего решения на базисное

При отыскании общего решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве разрешающего элемента выбирается

элемент таблицы, удовлетворяющий условию

элемент таблицы, удовлетворяющий условию

!любой отличный от нуля элемент таблицы, кроме элементов столбца свободных членов и контрольного столбца

любой элемент таблицы

Система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, если на некоторой итерации

все элементы какой либо строки таблицы Жордана – Гаусса равны нулю

две какие – либо строки таблицы Жордана – Гаусса одинаковы

какой – либо из свободных членов

!все элементы какой – либо строки таблицы Жордана – Гаусса, кроме свободного члена, равны нулю

Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

!решение, полученное из общего решения системы, в котором свободные неизвестные равны 0

решение, в котором базисные неизвестные произвольны

решение, в котором свободные неизвестные произвольны

система, приведенная к единичному базису

Если r – число базисных неизвестных, а n – общее число неизвестных в произвольной системе m линейных уравнений, то система имеет бесконечное множество решений при

!

Если дано матричное уравнение , то его решение определяется по формуле

!

Если в таблице Жордана – Гаусса — разрешающий элемент, то элемент находится по формуле (правило прямоугольника)

!

Итерацией в методе Жордана — Гаусса называется

расчет одной строки в таблице Жордана – Гаусса

!расчет элементов одной таблицы Жордана – Гаусса

вычисление элементов одного столбца в таблице Жордана – Гаусса

вычисление элементов вводимой строки

Метод Жордана – Гаусса это

нахождение производной

нахождение разрешающего уравнения

!последовательное исключение неизвестных

нахождение разрешающего элемента

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две одинаковые строки, то

их нужно сложить

их нужно перемножить

одну из них сложить со строкой, элементы которой отличаются

!одну из них можно вычеркнуть

Единичным называется столбец таблицы Жордана – Гаусса, который состоит из

единиц

!одной единицы и остальных 0

двух единиц и нулей

нулей

Переменная называется базисной, если в таблице Жордана – Гаусса столбец коэффициентов перед ней является

нулевым

отрицательным

!единичным

положительным

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две пропорциональные строки, то

одну можно вычесть из другой

их нужно сложить

их нужно перемножить

!одну из них нужно вычеркнуть

Переменная называется свободной, если в таблице Жордана – Гаусса

столбец коэффициентов при ней нулевой

!она не входит в столбец — базис

столбец коэффициентов при ней состоит из единиц

она входит в столбец — базис

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены

!равны 0

положительны

отрицательны

принимают любые значения

Матрица коэффициентов при неизвестных системы m линейных уравнений с n неизвестными является

квадратной

диагональной

!прямоугольной

матрицей столбцом

Число частных решений равно

числу базисных решений

числу опорных решений

числу допустимых решений

!бесчисленному множеству решений

Переход от одного базисного решения к другому осуществляется путем

!проведения еще одной итерации метода Жордана – Гаусса

выбора разрешающей строки

выбора разрешающего столбца

проведения симплексных преобразований

Элементы вводимой строки в таблице Жордана – Гаусса находятся

умножением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на (-1)

делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на (-1)

!делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающей элемент

умножением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающий элемент

Число базисных решений произвольной системы m линейных уравнений с n неизвестными определяется

!формулой

числом уравнений

числом неизвестных

размерностью матрицы системы

Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные, называется

частным

допустимым

!общим

единственным

Систему можно решить матричным способом, если

число уравнений не равно числу неизвестных

!число уравнений равно числу неизвестных

число уравнений меньше числа неизвестных

число уравнений больше числа неизвестных

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения, называется

допустимым

опорным

!частным

единственным

Значение базисных переменных в таблице Жордана – Гаусса находится в

вводимой строке

!столбце

контрольном столбце

в разрешающей строке

В контрольный столбец 1-й таблицы Жордана – Гаусса записывается

сумма элементов по каждой строке, включая свободные члены

!сумма коэффициентов при неизвестных по каждой строке

разность коэффициентов при неизвестных и

произведение коэффициентов при неизвестных по каждой строке

Матрица коэффициентов при неизвестных при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом является

прямоугольной

!невырожденной

диагональной

вырожденной

При решении системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса контроль вычислений в таблицах Гаусса, начиная со 2 –ой, проводится путем

сравнения элементов столбца с элементами контрольного столбца

сравнения сумм коэффициентов при неизвестных с элементами контрольного столбца

нахождение разности элементов столбца и контрольного столбца

!сравнения суммы элементов по каждой строке, включая свободные члены, с элементами контрольного столбца

В столбце таблицы Жордана – Гаусса находятся значения неизвестных

свободных

искусственных

!базисных

отрицательных

Решение системы линейных уравнений с n неизвестными находится с применением обратной матрицы, если число уравнений равно

!n

m

n+m

n-m

Решение, матричного уравнения находится по формуле , если оно имеет вид

!

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать нулевые значения называется

частным

единственным

опорным

!базисным

Если в таблице Жордана – Гаусса все элементы какой – либо строки, кроме свободного члена, равны нулю, то система m линейных уравнений с n неизвестными

имеет единственное решение

!не имеет решений

имеет бесчисленное множество решений

имеет m решений

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными r — число базисных неизвестных и при этом , то система имеет

единственное решение

r решений

m решений

!бесчисленное множество решений

Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающей строке таблицы Жордана – Гаусса находится нуль, то столбец, содержащий этот нуль

!переносится в следующую таблицу без изменения

рассчитывается по правилу прямоугольника

становится единичным

становится нулевым

Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающем столбце таблицы Жордана – Гаусса имеется нуль, то строка, содержащая этот нуль

в следующей таблице состоит из нулей

!переносится в следующую таблицу без изменения

рассчитывается по правилу прямоугольника

в следующую таблицу переносится с обратными знаками

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно

35

3

!30

20

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно

!16

20

2

4

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется

переопределенной

однородной

несовместной

!неопределенной

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется

!переопределенной

несовместной

однородной

неопределенной

В системе m линейных уравнений с n неизвестными число базисных решений равно

только m

только n

n—m

!

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно

8

1

!6

0

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно

!6

8

0

2

M.7 Устранение Гаусса-Джордана | STAT ONLINE

Исключение Гаусса-Жордана — это алгоритм, который может использоваться для решения систем линейных уравнений и нахождения обратной матрицы любой обратимой матрицы. Он основан на трех операциях с элементарной строкой , которые можно использовать с матрицей:

1. Поменять местами две строки
2. Умножьте одну из строк на ненулевой скаляр.
3. Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.

В качестве примера операции с первой элементарной строкой поменяйте местами 1-ю и 3-ю строки.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \ end {pmatrix} \]

Для примера операции второй элементарной строки умножьте вторую строку на 3.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 6 & -6 & 9 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]

В качестве примера операции с третьей элементарной строкой добавьте дважды первую строку ко второй строке.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 10 & -2 & 1 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]

Редукторный эшелон

Цель метода исключения Гаусса-Жордана состоит в том, чтобы использовать три операции с элементарными строками для преобразования матрицы в эшелонированную форму сокращенных строк. Матрица находится в эшелоне сокращенных строк формы , также известной как каноническая форма строк , если выполняются следующие условия:

1. Все строки с нулевыми записями находятся внизу матрицы
2. Первая ненулевая запись в строке, называемая ведущей записью или опорной точкой , каждой ненулевой строки находится справа от ведущей записи строки над ней.
3. Начальная запись, также известная как опорная точка, в любой ненулевой строке — 1.
4. Все остальные записи в столбце с первой единицей — нули.

Например,

\ [A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, B = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}, C = \ begin {pmatrix} 0 & 7 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, D = \ begin {pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \]

Матрицы A, и B находятся в виде эшелона с уменьшенной строкой, а матрицы C и D — нет. C не находится в форме пониженного ряда, поскольку нарушает условия два и три. D не находится в форме пониженного ряда, поскольку нарушает условие четыре. Кроме того, операции с элементарными строками могут использоваться для уменьшения матрицы D в матрицу B .

Шаги для исключения Гаусса-Джордана

Для выполнения исключения Гаусса-Джордана:

1. Поменяйте местами строки так, чтобы все строки со всеми нулевыми записями находились внизу
2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой ненулевой записью была наверху.
3. Умножьте верхнюю строку на скаляр так, чтобы ведущая запись верхней строки стала 1.
4. Сложить / вычесть кратные числа верхней строки из других строк, чтобы все остальные записи в столбце, содержащем ведущую запись верхней строки, были равны нулю.
5. Повторите шаги 2–4 для следующей самой левой ненулевой записи, пока все ведущие записи не станут 1.
6. Поменяйте местами строки так, чтобы первая запись каждой ненулевой строки находилась справа от первой записи строки над ней.

Выбранные примеры видео показаны ниже:

Чтобы получить инверсию матрицы n × n A :

1. Создайте разделенную матрицу \ ((A | I) \), где I — единичная матрица.{-1} = I \).

2.2: Системы линейных уравнений и метод Гаусса-Жордана

Цели обучения

В этом разделе вы узнаете о

1. Представьте систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
2. Решите систему, используя элементарные операции со строками.

В этом разделе мы учимся решать системы линейных уравнений, используя процесс, называемый методом Гаусса-Жордана. Процесс начинается с того, что сначала система выражается в виде матрицы, а затем сводится к эквивалентной системе с помощью простых операций со строками.Процесс продолжается до тех пор, пока решение не станет очевидным из матрицы. Матрица, представляющая систему, называется расширенной матрицей , а арифметические операции, которые используются для перехода от системы к сокращенной эквивалентной системе, называются операцией строки .

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Запишите следующую систему в виде расширенной матрицы.

\ [\ begin {array} {l}
2 x + 3 y-4 z = 5 \\
3 x + 4 y-5 z = -6 \\
4 x + 5 y-6 z ​​= 7
\ конец {массив} \ nonumber \]

Раствор

Мы выражаем вышеуказанную информацию в матричной форме.Поскольку система полностью определяется своей матрицей коэффициентов и матрицей постоянных членов, расширенная матрица будет включать только матрицу коэффициентов и постоянную матрицу. Итак, расширенная матрица, которую мы получаем, выглядит следующим образом:

\ [\ left [\ begin {array} {ccc | c}
2 & 3 & -4 & 5 \\
3 & 4 & -5 & -6 \\
4 & 5 & -6 & 7
\ конец {массив} \ nonumber \ right] \ nonumber \]

В последнем разделе мы выразили систему уравнений как \ (AX = B \), где \ (A \) представляет матрицу коэффициентов, а \ (B \) — матрицу постоянных членов.В качестве расширенной матрицы мы записываем матрицу как \ (\ left [\ begin {array} {l | l} A & B \ end {array} \ right] \). Ясно, что вся информация сохраняется в этой матричной форме, и отсутствуют только буквы \ (x \), \ (y \) и \ (z \). Учащийся может написать \ (x \), \ (y \) и \ (z \) поверх первых трех столбцов, чтобы облегчить переход.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Для следующей расширенной матрицы запишите систему уравнений, которую она представляет.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 3 & -5 & | & 2 \\
2 & 0 & -3 & | & -5 \\
3 & 2 & -3 & | & -1
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Раствор

Легко получить систему, как показано ниже.

\ [\ begin {array} {l}
x + 3 y-5 z = 2 \\
2 x-3 z = -5 \\
3 x + 2 y-3 z = -1
\ end { массив} \ nonumber \]

После того, как система выражена как расширенная матрица, метод Гаусса-Жордана сокращает систему до ряда эквивалентных систем с помощью строковых операций. Это сокращение строк продолжается до тех пор, пока система не будет выражена в так называемой сокращенной форме эшелона строк . Уменьшенная ступенчатая форма матрицы коэффициентов имеет единицы по главной диагонали и нули в других местах.Решение легко получить из этой формы.

Этот метод не сильно отличается от алгебраических операций, которые мы использовали в методе исключения в первой главе. Основное отличие состоит в том, что он носит алгоритмический характер и, следовательно, может быть легко запрограммирован на компьютере.

Далее мы решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, используя метод исключения, а затем покажем, что этот метод аналогичен методу Гаусса-Жордана.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Решите следующую систему методом исключения.

\ [\ begin {array} {l}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array} \ nonumber \]

Раствор

Умножаем первое уравнение на — 3 и добавляем его ко второму уравнению.

\ begin {выравнивается}
-3 x-9 y & = — 21 \\
3 x + 4 y & = 11 \\ \ hline
-5y & = — 10
\ end {выравнивается}

Таким образом мы преобразовали нашу исходную систему в эквивалентную систему:

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {выравнивается}

Разделим второе уравнение на — 5 и получим следующую эквивалентную систему.

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
y & = 2
\ end {выравнивается}

Теперь мы умножаем второе уравнение на — 3 и прибавляем к первому, получаем

\ [\ begin {array} {l}
x = 1 \\
y = 2
\ end {array} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите следующую систему из примера 3 методом Гаусса-Жордана и покажите сходство в обоих методах, написав уравнения рядом с матрицами.

\ begin {array} {l}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array}

Раствор

Расширенная матрица для системы выглядит следующим образом.

\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7 \\
3 & 4 & | & 11
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {c}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Умножаем первую строку на — 3, и прибавляем ко второй строке.

\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7 \\
0 & -5 & | & -10
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {c}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Делим вторую строку на — 5, получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 3 & | & 7 \\
0 & 1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {rl}
x + 3 y & = 7 \\
y & = 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Наконец, мы умножаем вторую строку на — 3 и прибавляем к первой строке, и мы получаем

\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 0 & | & 1 \\
0 & 1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {l}
x = 1 \\
y = 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Теперь мы перечислим три операции со строками, которые использует метод Гаусса-Жордана.

Операции со строками

1. Любые две строки в расширенной матрице могут быть заменены местами.
2. Любая строка может быть умножена на ненулевую константу.
3. Постоянное кратное одной строке может быть добавлено к другой строке.

Легко видеть, что эти операции с тремя строками могут изменить внешний вид системы, но они не меняют решения системы.

Операция первой строки утверждает, что если любые две строки системы поменять местами, полученная новая система имеет то же решение, что и старая.Давайте посмотрим на пример в двух уравнениях с двумя неизвестными. Рассмотрим систему

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Меняем ряды местами, и получаем,

\ begin {выравнивается}
3 x + 4 y & = 11 \\
x + 3 y & = 7
\ end {выравнивается}

Очевидно, что эта система имеет то же решение, что и предыдущая.

Вторая операция утверждает, что если строка умножается на любую ненулевую константу, полученная новая система имеет то же решение, что и старая.Снова рассмотрим указанную выше систему,

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Умножаем первую строку на –3, получаем

\ begin {align}
-3 x-9 y & = — 21 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {align}

Опять же, очевидно, что эта новая система имеет то же решение, что и исходная.

Операция третьей строки утверждает, что любое постоянное кратное одной строки, добавленной к другой, сохраняет решение.Рассмотрим нашу систему,

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Если мы умножим первую строку на –3 и прибавим ее ко второй строке, мы получим

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {выравнивается}

И снова сохраняется то же самое решение.

Теперь, когда мы понимаем, как работают операции с тремя строками, пора ввести метод Гаусса-Жордана для решения систем линейных уравнений.Как упоминалось ранее, метод Гаусса-Жордана начинается с расширенной матрицы и с помощью серии операций со строками заканчивается матрицей, которая находится в форме сокращенного эшелона строк .

Матрица находится в сокращенном эшелоне строк формирует , если первая ненулевая запись в каждой строке равна 1, а столбцы, содержащие эти единицы, имеют все остальные записи как нули. Форма сокращенного эшелона строк также требует, чтобы ведущая запись в каждой строке была справа от ведущей записи в строке над ней, а строки, содержащие все нули, были перемещены вниз.Сформулируем метод Гаусса-Жордана следующим образом.

Метод Гаусса-Джордана

1. Запишите расширенную матрицу.
2. Поменяйте местами строки, если необходимо, чтобы получить ненулевое число в первой строке, первом столбце.
3. Используйте строковую операцию, чтобы получить 1 в качестве записи в первой строке и первом столбце.
4. Используйте операции со строками, чтобы сделать все остальные записи нулями в первом столбце.
5. Поменяйте местами строки, если необходимо, чтобы получить ненулевое число во второй строке, втором столбце.Используйте строковую операцию, чтобы сделать эту запись 1. Используйте строковую операцию, чтобы сделать все остальные записи нулями во втором столбце.
6. Повторите шаг 5 для строки 3, столбца 3. Продолжайте двигаться по главной диагонали, пока не дойдете до последней строки или пока число не станет равным нулю.

Итоговая матрица называется сокращенной формой «строка-эшелон».

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите следующую систему методом Гаусса-Жордана.

\ begin {выравнивается}
2 x + y + 2 z & = 10 \\
x + 2 y + z & = 8 \\
3 x + y-z & = 2
\ end {выравнивается}

Раствор

Пишем расширенную матрицу.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
2 & 1 & 2 & | & 10 \\
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Нам нужна 1 в первой строке, первом столбце. Этого можно добиться, разделив первую строку на 2 или поменяв местами вторую строку с первой. Перестановка строк — лучший выбор, потому что таким образом мы избегаем дробей.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
2 & 1 & 2 & | & 10 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ text {мы поменяли местами строку 1 (R1) и строку 2 (R2)} \ nonumber \]

Нам нужно обнулить все остальные записи в столбце 1.Чтобы сделать запись (2) нулем в строке 2, столбце 1, мы умножаем строку 1 на — 2 и добавляем ее ко второй строке. Получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & -3 & 0 & | & -6 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad-2 R 1 + R 2 \ nonumber \]

Чтобы сделать запись (3) нулем в строке 3, столбце 1, мы умножаем строку 1 на — 3 и добавляем ее в третью строку. Получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & -3 & 0 & | & -6 \\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array} \ right] \ quad-3 R 1 + R 3 \ nonumber \]

Пока что мы поставили 1 в левом углу и все остальные записи в этом столбце равны нулю.Теперь мы переходим к следующей диагональной записи, строке 2, столбцу 2. Нам нужно сделать эту запись (–3) равной 1 и обнулить все остальные записи в этом столбце. Чтобы сделать запись строки 2, столбца 2 равной 1, мы делим всю вторую строку на –3.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array} \ right] \ quad \ mathrm {R} 2 \ div (-3) \ nonumber \]

Затем мы обнуляем все остальные записи во втором столбце.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & -4 & | & -12
\ end {array} \ right] \ quad-2 R 2 + R 1 \ text {и} 5 R 2 + R 3 \ nonumber \]

Сделаем последнюю диагональную запись равной 1, разделив строку 3 на — 4.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array} \ right] \ quad \ quad R 3 \ div (-4) \ nonumber \]

Наконец, мы обнуляем все остальные записи в столбце 3.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 0 & | & 1 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array} \ right] \ quad- \ mathrm {R} 3+ \ mathrm {R} 1 \ nonumber \]

Ясно, что решение читается как \ (x = 1 \), \ (y = 2 \) и \ (z = 3 \).

Прежде чем мы закончим этот раздел, мы упомянем некоторые термины, которые могут нам понадобиться в четвертой главе.

Процесс получения 1 в местоположении с последующим обнулением всех остальных записей в этом столбце называется поворотом .

Число, равное 1, называется поворотным элементом , , , а строка, которая содержит поворотный элемент, называется строкой поворота .

Мы часто умножаем сводную строку на число и добавляем ее к другой строке, чтобы получить в последней ноль. Строка, к которой добавляется кратное сводной строке, называется целевой строкой .

Систем линейных уравнений: исключение Гаусса

Системы линейных уравнений:
Решение методом исключения Гаусса (стр. 6 из 7)

Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный. Вам нужно будет очень аккуратно работать, и вам следует планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и можно использовать его последовательно правильно.

Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы. Этот метод называется «исключением по Гауссу» (с уравнения заканчиваются так называемой «строковой формой»).

Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.

• Решите следующие проблемы система уравнений.

Достаточно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто обратно заменю значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для y , г. а затем штекер z и y в первое уравнение и решите результат для x .

10 y 3 (3) = 11
10 y 9 = 11
10 y = 20
y = 2

5x + 4 (2) (3) = 0
5 x + 8 3 = 0
5 x + 5 = 0
5 x = 5
x = 1

Тогда решение ( x , y , z ) = (1, 2, 3).

Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.

Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссово исключение — это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.

• Решите следующие проблемы система уравнений с использованием исключения Гаусса.

Уравнение не решается для переменной, поэтому мне придется проделать умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я буду делать свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:

Первое, что нужно сделать избавиться от ведущих терминов x в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в «верхний треугольной «формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x — срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку.Я делаю вычисления на бумаге для заметок:

… а потом записываю результатов:

(Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.) ​​

Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.I б / у третий ряд, но я на самом деле не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».

Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку на половину:

Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:

… а потом записываю результаты: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.

Хорошо, теперь x — столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать на колонке y .

Предупреждение: С третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с по уравнению , но не с с . Это.

Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду.Я не буду избавились от ведущего y -term во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:

… а потом записываю результатов:

Теперь могу использовать второй ряд, чтобы убрать y -term в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:

… а потом записываю результатов:

Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды, чтобы они имели верхнюю треугольную форму:

Теперь я могу начать процесс обратного решения:

Тогда решение ( x , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .

Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал при решении указанной выше системы; там ничего не было особенно о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, «как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось простейшим, или что пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на этом пути верен, вы придумаете Такой же ответ.

В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, удаляя все термины и кроме этого во втором ряду и во всех терминах z кроме того, что в первой строке.Это то, что процесс тогда выглядело так:

Так я могу просто читать от значений x , y , г. и z , и мне не нужно возиться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, заканчивающиеся тем, что называется «эшелон сокращенного ряда» форма»).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.

Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работая с и работая на в том же ряду на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочая по второй и третий ряды.

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса

Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса

После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.

Что такое гауссово исключение

Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы. Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят.Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения. Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой.На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):

1. Перестановка двух рядов
2. Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
3. Добавление строки в другую строку

Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.

Как выполнить исключение по Гауссу

На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать, чтобы решить систему линейных уравнений, это все о матрице, которая у вас есть в ваших руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:

Пример 1

Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения ряда: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:

• Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения

Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z равно: z = -2.Мы используем это знание, чтобы подставить его во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:

В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.

Разница между исключением по Гауссу и по Гауссу Иордану

Разница между гауссовым исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме редуцированного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).

История исключения Гаусса и его названия весьма интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому уроку, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.

На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут называть метод исключения Гаусса и исключения Гаусса Джордана методами создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы сокращенной формы эшелона, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объясняли это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно рассматривать также как поворотное исключение Гаусса).

Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать, что, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.

Примеры исключения Гаусса

В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше попрактиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.

Пример 2

Пример 3

Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.

• Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив в это уравнение значение z = 0 \, в результате получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:

• Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений

Пример 4

Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные из второй и первой строк (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:

Пример 5

• Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
• Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

• Что автоматически говорит нам y = 8 .Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:

  Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений

Пример 6

Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке, чтобы дополнить ваши исследования: Исключение Гаусса — статья, которая содержит дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на протяжении всего курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!

Устранение Гаусса Джордана — объяснение и примеры

Метод исключения Гаусса-Жордана — это алгоритм для решения линейной системы уравнений. Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:

Исключение Гаусса Джордана или Гаусса исключение — это алгоритм для решения системы линейных уравнений, представляющий ее в виде расширенной матрицы, сокращая ее с помощью операций со строками и выражая систему в сокращенной строке. -эшелонированная форма для нахождения значений переменных.

В этом уроке мы увидим детали метода исключения Гаусса и того, как решить систему линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана. Примеры и практические вопросы будут приведены ниже.

Что такое метод исключения Гаусса?

Метод исключения Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, и его можно легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель метода исключения Гаусса-Джордана:

• для представления системы линейных уравнений в форме расширенной матрицы
• , затем выполнение над ней строковых операций $ 3 до тех пор, пока не будет получена сокращенная форма эшелона строк (RREF) достигнуто
• Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF

Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, операции со строками стоимостью 3 доллара, которые мы можем делать с матрицей, и сокращенная форма эшелона строк матрицы.

Расширенная матрица

Система линейных уравнений показана ниже:

$ \ begin {align *} 2x + 3y & = \, 7 \\ x — y & = 4 \ end {align *} $

We запишет расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и запишет ее в стиле , показанном ниже:

$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \ end {array} \ right] $

Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:

$ \ begin {align *} 2x + y + z & = \, 10 \\ x + 2y + 3z & = 1 \\ — x — y — z & = 2 \ end {align *} $

Представление этой системы в виде расширенной матрицы:

$ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ — 1 & — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $

Операции со строками в матрице

Есть $ 3 $ Элементарные операции со строками , которые мы можем делать с матрицами.Это не изменит решения системы. Это:

1. Обмен $ 2 $ строк
2. Умножить строку на ненулевой ($ \ neq 0 $) скаляр
3. Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.

Форма сокращенного эшелона строк

Основная цель исключения Гаусса Джордана — использовать операции элементарной строки стоимостью 3 доллара в расширенной матрице, чтобы привести ее к форме сокращенного эшелона строк (RREF). Считается, что матрица находится в сокращенном эшелоне строк формы , также известной как каноническая форма строк , если выполняются следующие условия $ 4 $:

1. строк с нулевыми записями (все элементы этой строки равны $ 0 $. s) находятся внизу матрицы.
2. Начальная запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки соответствует правой ведущей записи строки, расположенной непосредственно над ней.
3. Начальная запись в любой ненулевой строке — 1 доллар.
4. Все записи в столбце, содержащем начальную запись ($ 1 $), нулевые.

Как выполнить исключение Гаусса Джордана

Нет никаких определенных шагов в методе исключения Гаусса Джордана, но алгоритм ниже описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы прийти к сокращенной форме эшелона строк расширенной матрицы.

1. Поменяйте местами строки так, чтобы все строки с нулевыми записями находились внизу матрицы.
2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой цифрой находилась наверху матрицы.
3. Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует ведущую запись верхней строки в $ 1 $ (если ведущей записью верхней строки является $ a $, умножьте ее на $ \ frac {1} {a} $, чтобы получить $ 1 $).
4. Добавьте или вычтите значения, кратные верхней строке, из других строк так, чтобы все значения в столбце ведущей записи верхней строки были нулями.
5. Выполните шаги $ 2 — 4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи до тех пор, пока все ведущие записи каждой строки не будут равны 1 $.
6. Поменяйте местами строки так, чтобы первая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки, расположенной непосредственно над ней.

На первый взгляд, запомнить / запомнить шаги не так-то просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоитесь с процессом. Существует также фактор , интуиция , которая играет B-I-G роль в выполнении исключения Гаусса Джордана.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Джордана .

Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

$ \ begin {align *} {- x} + 2y & = \, {- 6} \\ { 3x} — 4y & = {14} \ end {align *} $

Решение

Первый шаг — написать расширенную матрицу системы.Мы показываем это ниже:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & -4 & 14 \ end {array} \ right] $

Теперь наша задача — преобразовать матрицу в сокращенную форму эшелона строк (RREF), выполнив команду $ 3 $ элементарные операции со строками.

У нас есть расширенная матрица:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $

Шаг 1:

Мы можем умножить первую строку на $ — 1 $, чтобы получить ведущий вход $ 1 $.Показано ниже:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $

Шаг 2:

Теперь мы можем умножить первую строку на 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Показано ниже:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & -2 & 6 \\ {3 — (1 \ times 3)} & {-4 — (-2 \ times 3)} & {14 — (6 \ times 3)} \ end {array} \ справа] $

$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 2 & — 4 \ end {array} \ right] $

У нас есть $ 0 $ как первая запись второй строки.

Шаг 3:

Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac {1} {2} $. Показано ниже:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ {\ frac {1} {2} \ times 0} & {\ frac {1} {2} \ times 2} & {\ frac {1} {2} \ times — 4} \ end {array} \ right] $

$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $

Шаг 4:

Мы почти у цели!

Вторая запись первой строки должна быть $ 0 $.Для этого мы умножаем вторую строку на $ 2 $ и добавляем ее к первой строке. Показано ниже:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} {1 + (0 \ times 2)} & {- 2 + (1 \ times 2)} & {6 + (- 2 \ times 2)} \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ справа] $

$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $

Это сокращенный ряд строк , форма , форма . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 2 \\ 0x + y & = -2 \ end {align *} $

$ \ begin {align *} x & = \, 2 \\ y & = — 2 \ end {align *} $

Таким образом, решение системы уравнений: $ x = 2 $ и $ y = — 2 $.

Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

$ \ begin {align *} x + 2y & = \, 4 \\ x — 2y & = 6 \ end { align *} $

Решение

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 & — 2 & 6 \ end {array} \ right] $

Теперь мы выполняем элементарные операции со строками с этой матрицей, пока не получим сокращенную форму эшелона строк.

Шаг 1:

Умножаем первую строку на $ 1 $, а затем вычитаем ее из второй строки. Это в основном вычитание первой строки из второй:

$ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 — 1 & — 2 — 2 & 6 — 4 \ end {array} \ right] $

$ = \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & — 4 & 2 \ end {array} \ right] $

Шаг 2:

Мы умножаем вторую строку на $ — \ frac {1} {4} $, чтобы получить вторая запись строки, $ 1 $:

$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 и 2 и 4 \\ 0 \ times — \ frac {1} {4} & — 4 \ times — \ frac {1} {4} и 2 \ times — \ frac {1} {4} \ end {массив} \ right] $

$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $

Шаг 3:

Наконец, мы умножаем вторую строку на $ — 2 $ и добавьте его к первой строке, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:

$ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 + (- 2 \ times 0) & 2+ (- 2 \ times 1) & 4 + (- 2 \ times — \ frac {1} {2}) \\ 0 & 1 & — \ frac {1 } {2} \ end {array} \ right] $

$ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $

Это сокращенный ряд строк , , форма .Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \ begin {align *} x + 0y & = \, 5 \\ 0x + y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $

$ \ begin {align *} x & = \, 5 \\ y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $

Таким образом, решение системы уравнений составляет $ x = 5 $ и $ y = — \ frac {1} {2} $.

1. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

   $ \ begin {align *} 2x + y & = \, — 3 \\ — x — y & = 2 \ end {align *} $

2. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

   $ \ begin {align *} x + 5y & = \, 15 \\ — x + 5y & = 25 \ end {align *} $

Ответы

1. Начнем с написания расширенной матрицы системы уравнений:

   $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 1 & — 3 \\ — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $

   Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы прийти к нашему решению.

   Первый,
   Меняем знаки второй строки местами. Итак, имеем:
   $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 & 1 & — 3 \ end {array} \ right] $
   Во-вторых,
   Мы дважды вычитаем первую строку из второй строки:
   $ \ left [\ begin {array} { rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 — (2 \ times 1) & 1 — (2 \ times 1) & — 3 — (2 \ times — 2) \ end {array} \ right] $
   $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & — 1 & 1 \ end {array} \ right] $
   В-третьих,
   Мы инвертируем вторую строку, чтобы получить:
   $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
   Наконец,
   Мы вычитаем вторую строку из первой и получаем:
   $ = \ left [\ begin { массив} {rr | r} 1 & 0 & — 1 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $

   Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

   $ \ begin {align *} x + 0y & = \, — 1 \\ 0x + y & = — 1 \ end {align *} $

   $ \ begin {align *} x & = \, — 1 \\ y & = — 1 \ end {align *} $

   Таким образом, решение системы уравнений: $ x = — 1 $ и $ y = — 1 $.

2. Расширенная матрица системы:
   $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 & 5 & 25 \ end {array} \ right] $
   Давайте приведите эту матрицу к приведенной форме эшелона строк и найдите решение системы.
   
   Сначала
   Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
   $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 — (- 1) & 5 — (- 5) & 25 — (- 15) \ end {array} \ right] $
   $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40 \ end {array} \ right] $
   Во-вторых,
   Разделите вторую строку на $ 10 $, чтобы получить:
   $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
   Затем
   Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы получить окончательное решение:
   $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 — (5 \ times 0) & 5 — (5 \ times 1) & 15 — (5 \ times 4) \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
   $ = \ left [ \ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & — 5 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
   Это сокращенная форма эшелона строк (RREF).Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

   $ \ begin {align *} x & = \, — 5 \\ y & = 4 \ end {align *} $

   Таким образом, решение системы уравнений $ x = — 5 $ и $ y = 4 $.

Решение систем с исключением Гаусса — алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
• Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
• Выполняет операции со строками в матрице.
• Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика.Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные. В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Запись расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

имеет матрицу коэффициентов

и представлена ​​расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идет в первый столбец, — -термов во втором столбце и z -термов в третьем столбце.Очень важно, чтобы каждое уравнение было написано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

1. Запишите коэффициенты членов x как числа в первом столбце.
2. Запишите коэффициенты членов и в виде чисел во втором столбце.
3. Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
4. Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными.Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

Выполнение операций со строками в матрице

Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение строковых операций над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме.Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

1. В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
2. Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
3. Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
4. Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях столбца.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

1. Поменяйте местами ряды. (Обозначение 🙂
2. Умножьте строку на константу. (Обозначение 🙂
3. Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание:

Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными. С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения многоуровневой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу с номером 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули внизу.

Первый шаг стратегии Гаусса включает получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

1. Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1. Поменяйте местами строки или умножьте на константу, если необходимо.
2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса для решения данной системы уравнений.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполняет операции со строками с заданной матрицей, чтобы получить форму строки-эшелона.

Запишите систему уравнений в виде строк.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы видели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Решите систему, используя матрицы.

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
2. Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 фунтов стерлингов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 фунтов стерлингов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 фунтов стерлингов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 евро. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5%, пусть будет сумма, вложенная под 8%, пусть будет сумма, вложенная под 9%. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

В третьей строке указано usthus

Вторая строка говорит нам, что подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам о замене и получаем

Ответ: 3000 евро вложены под 5%, 1000 евро вложены под 8% и 6000 евро вложены под 9%.

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 фунтов стерлингов для расширения своих запасов. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 фунтов стерлингов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

? 150 000 при 7%, 750 000 фунтов стерлингов при 8%, 600 000 фунтов стерлингов при 10%

Ключевые понятия

• Расширенная матрица — это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений.См. (Рисунок).
• Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​как исходная система уравнений. См. (Рисунок).
• Операции со строками включают в себя умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и замену строк местами.
• Мы можем использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
• Операции со строками выполняются над матрицами для получения формы «строка-эшелон». См. (Рисунок).
• Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в форме расширенной матрицы.Выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк. Обратно-заменитель, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
• Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту расширенную матрицу.

Да. Для каждой строки коэффициенты переменных записываются поперек соответствующей строки и помещается вертикальная черта; затем константы помещаются справа от вертикальной полосы.

Можно ли записать любую матрицу в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.

Есть только один правильный метод использования операций со строками в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно выполнить для расширенной матрицы

Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций над матрицей.Есть два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Разделить строку 1 на 9.

Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

Расширения

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 фунтов стерлингов.Шоколадные кексы стоят 2,25 евро, а кексы из красного бархата — 1,75 евро. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

860 красный бархат, 1340 шоколад

Вы вложили 10 000 евро в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой — с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283,50 фунтов стерлингов, какая сумма была на каждом счете по истечении года?

Вы вложили 2300 евро на счет 1 и 2700 евро на счет 2.Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 евро, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

4% на счет 1, 6% на счет 2

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 фунтов стерлингов. Производитель обошелся в 180 фунтов стерлингов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 фунтов стерлингов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя.Магазин сможет приобрести пылесосы по 86 фунтов стерлингов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 фунтов стерлингов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать плату за пылесосы?

Три самых популярных вкуса мороженого — это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого растет спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге увеличились вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы увеличились на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено на каждое отдельное мороженое в прошлом году.

Банан составлял 3%, тыква — 7%, а каменистая дорога — 2%

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки — 4 г, миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Изначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

100 миндальных орехов, 200 кешью, 600 фисташек

Глоссарий

дополненная матрица

матрица коэффициентов, примыкающая к столбцу констант, разделенному вертикальной линией в скобках матрицы

матрица коэффициентов

матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений

Исключение по Гауссу

с использованием элементарных операций со строками для получения матрицы в форме строка-эшелон

главная диагональ

записи из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы

рядная форма

после выполнения строковых операций матричная форма, содержащая единицы по главной диагонали и нули в каждом пробеле ниже диагонали

эквивалент ряда

две матрицы и эквивалентны строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками

строковые операции

: добавление одной строки к другой, умножение строки на константу, перестановка строк и т. Д. С целью получения формы «строка-эшелон»

Метод Гаусса-Джордана — обзор

Обращение матрицы Гаусса-Жордана

Метод Гаусса-Жордана основан на том факте, что существуют матрицы M _L такие, что произведение M _L A оставит произвольную матрицу A неизменной, за исключением

(a)

одна строка, умноженная на константу, или

(b)

одна строка заменена исходной строкой за вычетом числа, кратного другой строке, или

(c)

чередование двух рядов.

Используя эти преобразования, можно изменять строки матрицы (путем умножения матриц) тем же способом, которым мы могли изменять элементы определителей, поэтому мы можем действовать аналогично тем, которые используются для сокращения определителей по Гауссу. устранение. Если A неособое число, применение последовательности M _L , т.е.е., M = (… ML′′ML′ML), может приводить A к единичной матрице:

MA = 1 или M = A − 1.

Вот конкретный пример. Мы хотим инвертировать матрицу

A = (321231114).

(321231114) и (100010001).

(1231313212114) и (13000120001).