Метод крамера матрица онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

1. Матрицы

Метод Гаусса
Формулы Крамера

2. Матрица Определение

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n –
столбцов, вида: a a a a
a 11a 12 a 1i a1n
2j
2n
21 22
a a a a
ij
in
i1 i 2
a a a a
mj
mn
m1 m 2
называется
матрицей размера
m n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
A (aij ) ;
i 1, m;
j 1, n

3. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

4. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы
линейных алгебраических уравнений.

Это метод последовательного
исключения переменных, когда с помощью элементарных
преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого
последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных,
находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2 … a 2 n xn b2
………………………………………..
a m1 x1 a m 2 x2 … am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j — коэффициенты при неизвестных.
bi — свободные члены (или правые части)

5. Типы уравнений

Система линейных уравнений называется совместной, если она
имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение и неопределенной, если она имеет
бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они
имеют одно и то же множество решений.

6. Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1.
2.
3.
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих частей любого из уравнений на
произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на
любое действительное число.

7. Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
(1)
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое
уравнениеa системы (1) на аb11. Получим уравнение:
где
a1 j
(1)
1j
a11
;
j 1,2,3 ;
b1
(1)
1
a11
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1).

Для этого вычтем из
них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
x a x a x b
(2)
Система примет вид:
(1)
1
12
(1)
2
13
(1)
3
1
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой
преобразованной системы. x a x a x b
a x a x b
(3)
(1)
1
12
(1)
22
(1)
2
2
13
(1)
23
(1)
3
3
1
(1)
2
a32 x2 a33 x3 b3
(1)
(1)
(1)
2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе
уравнение системы (3), получим уравнение: x a x b (4)
( 2)
2
где
a23
( 2)
a23
(1)
a22
(1)
;
b2
( 2)
b2
23
( 2)
3
2
(1)
a22
(1)
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на
Получим уравнение:
Предполагая, что
a33
( 2)
x3
b3
( 2)
находим
a33
( 2)
0,
x3
b3
( 2)
a33
( 2)
b3
3
(1)
a33 .

В результате преобразований система приняла вид:
x1 a12 (1) x 2 a13 (1) x3 b1 (1)
( 2)
( 2)
x 2 a 23 x3 b2
( 3)
x3 b3
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5)
(шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы
называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе
уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3
подставляют в первое уравнение и находят х1.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое
уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и

решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,
составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное
решение, которое находится в
x1 c12 x 2 .

.. a1n x n d1
x 2 … a 2 n x n d 2
…………….
xn d n
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.
x1 c12 x2 … c1n xn d1
x2 … c2 n xn d 2
…………………
xk … ck n xn d k

11. Рассмотрим на примере

1.
Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
2.
Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из
третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
3.
x3=-42/(-14)=3;
Тогда
x2=8-2×3=2
x1=8-0,5×2-2×3=1

12. Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной матрицы.

Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

13. Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

14. Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

Теорема. Cистема
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
…
an1x1+an2x2+…+annxn=bn

15. Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…
…
an1 an2 … ann
≠0

16. В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

17. Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей

Пример. Решить систему уравнений :

18. Решение.

19. Найдите оставшиеся компоненты решения.

Формулы Крамера не представляют практического значения в
случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по
ним решения конкретных систем линейных уравнений
неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го
определителя порядка n , в то время как метод Гаусса
фактически эквивалентен вычислению одного определителя
порядка n .

Тем не менее, теоретическое значение формул
Крамера заключается в том, что они дают явное
представление решения системы через ее коэффициенты.
Например, с их помощью легко может быть доказан результат
Решение системы линейных уравнений с квадратной
матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов
этой системы при условии, что det A не равно 0 .

20. Найдите оставшиеся компоненты решения.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной
эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
зависящей от параметра
решения:
, определить предел отношения компонент

21. Решение.

В этом примере определитель матрицы
системы равен
. По теореме Крамера
система совместна при
. Для случая
применением метода Гаусса убеждаемся,
что система несовместна. Тем не менее,
указанный предел существует. Формулы
Крамера дают значения компонент решения
в виде
и, хотя при
каждая из них имеет бесконечный предел, их
отношение стремится к пределу конечному.

22. Ответ.

Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных
уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится

несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому
значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя
бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

23. Использованные источники

1.
В.С. Щипачев, Высшая математика
2.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная
алгебра: Учебник для вузов.
3.
Волков Е.А. Численные методы.
4.
В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс
высшей математики,том I.

Метод Крамера

1. Описание метода

Для системы n {\displaystyle n} линейных уравнений с n {\displaystyle n} неизвестными над произвольным полем

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a n x n = b n {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\\\\\\\\\\cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}

с определителем матрицы системы Δ {\displaystyle \Delta }, отличным от нуля, решение записывается в виде

x i = 1 Δ | a 11 … a 1, i − 1 b 1 a 1, i + 1 … a 1 n a 21 … a 2, i − 1 b 2 a 2, i + 1 … a 2 n … … … … … … … a n − 1, 1 … a n − 1, i − 1 b n − 1 a n − 1, i + 1 … a n − 1, n a n 1 … a n, i − 1 b n a n, i + 1 … a n | {\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1.

1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}

i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов. В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1, c 2, …, c n справедливо равенство:

c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n ⋅ Δ = − | a 11 a 12 … a 1 n b 1 a 21 a 22 … a 2 n b 2 … … … … … a n 1 a n 2 … a n b n c 1 c 2 … c n 0 | {\displaystyle c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что Δ {\displaystyle \Delta } отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов. Можно также считать, что либо наборы b 1, b 2., b n {\displaystyle b_{1},b_{2}.,b_{n}} и x 1, x 2., x n {\displaystyle x_{1},x_{2}.,x_{n}}, либо набор c 1, c 2., c n {\displaystyle c_{1},c_{2}.,c_{n}} состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Как решать систему уравнений (СЛАУ) методом Крамера: примеры, описание метода

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ. К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x, при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B, соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

А теперь о том, как посчитать определитель. Например, определитель матрицы третьего порядка, который чаще всего встречается на практике, вычисляется по формуле:

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте.

Практика — путь к успеху в решении СЛАУ

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект. Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Автор: Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Метод Крамера — 📙 Математика

1. Общие понятия
2. Способы расчета определителей матриц
3. Использование метода Крамера

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

При условии, что главный детерминант матрицы $D$, состоящей их коэффициентов системы уравнений, не равняется нулю, эта система уравнений считается совместной, с существующим для нее единственным решением. Неизвестные этих систем линейных уравнений рассчитывают по формуле Крамера: $x_i={D_i\over D}$.

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

Сперва рассчитывают главный детерминант матрицы $D$. Если найденный детерминант равняется нулю, то для данной системы уравнений не существует решений или их существует бесконечное множество. В таком варианте рекомендуют воспользоваться методом Гаусса для определения базисного решения.
Если же главный детерминант не равняется нулю, то эту систему уравнений рассчитывают методом Крамера. Левый столбик главной матрицы заменяют на столбик свободных членов и рассчитывают детерминант $D_1$.
Проделывают те же действия для всех следующих столбиков по порядку и определяют детерминанты $D_1, D_2, …, D_n$, где $n$ – число столбиков.
Теперь, имея все детерминанты, рассчитывают все переменные от $x_1$ до $x_n$.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали. Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end{cases}$

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

$D= \begin{vmatrix} {a_1 a_2\\a_3 a_4 } \end{vmatrix} =a_1∙a_4-a_3∙a_2$

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

$D_1=\begin{vmatrix}{b_1 a_2\\b_2 a_4}\end{vmatrix}=b_1∙a_4-b_2∙a_2$
$D_2=\begin{vmatrix}{a_1 b_1\\a_3 b_2 }\end{vmatrix}=a_1∙b_2-a_3∙b_1$

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

$x_1={D_1\over D} \\ x_2={D_2\over D}$

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

$\begin{cases}3x_1-2x_2+4x_3=21\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\2x_1-x_2-x_3=10\end{cases}$

Порядок решения:

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

$D=\begin{vmatrix}3&-2&4\\3&4&-2\\2& -1&1\end{vmatrix}=$ $3∙4∙(-1)+2∙(-2)∙2+4∙3∙(-1)-4∙4∙2-3∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙3=$
$=-12-8-12-32-6+6=-64. $

2. Далее рассчитаем остальные детерминанты:
$D_1=\begin{vmatrix}21& -2&4\\9&4&-2\\10& -1&1\end{vmatrix}=$$21∙4∙(-1)+2∙(-2)∙10+4∙9∙(-1)-4∙4∙10-9∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙21=$
$=-84-40-36-160-18+42=-296.$

$D_2=\begin{vmatrix}3&21&4\\3& 9& -2\\2&10&1\end{vmatrix}=$$=3∙9∙(-1)+2∙21∙2+4∙3∙10-4∙9∙2-3∙21∙(-1)-10∙2∙3=$
$=-27+120+84-72+63-60=108.$

$D_3=\begin{vmatrix}3 &-2&21\\3&4& 9\\2& -1&10\end{vmatrix} =$$=3∙4∙10+9∙(-2)∙2+21∙3∙(-1)-21∙4∙2-3∙(-2)∙10-(-1)∙9∙3=$
$120-63-36-198+60+27=-60. $

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

$x_1={D_1\over D}={-296\over-64}=4,625$
$x_2={D_2\over D}={108\over-64}=-1,6875$
$x_2={D_3\over D}={-60\over-64}=0,9375$

Дети и учеба — Информационный портал

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1. 13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1. 16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1. 21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1. 1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1. 1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

«Решение линейных уравнений методом Крамера»

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Еще одним популярным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Крамера. Если вы знаете, как найти определитель матрицы, то данный способ не вызовет у вас никаких затруднений. На а если не знаете, то благодаря нашему онлайн сервису, сможете с легкостью разобраться. Итак, если система линейных уравнений по теореме Кронекера-Капелли имеет решение, а это условие наш онлайн калькулятор проверяет всегда, прежде чем браться за решение, то его можно найти методом Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений x_i (i=1,n)

x_i=Δⁱ_n/Δ_n (i=1,n),

где Δ_n=det A, а Δⁱ_n являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δ_n путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравнений методом Крамера.

76x₁-7x₂-6x₃=-5

10x₁+12x₂-7x₃=11

-16x₁+10.5x₂-13x₃=-10

Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

A= 76

-7

-6

-7

-16

10.5

-13

и ранг расширенной матрицы

B= 76

-7

-6

-5

-7

-16

10.5

-13

-10

были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Согласно вышеприведенной формуле для метода Крамера, необходимо найти главный определитель и он будет равен

Δ= 76

-7

-6

-7

-16

10.5

-13

=-9746

Для вычисления X₁ найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

Δ₁= -5

-7

-6

-7

-10

10.5

-13

=-2491.5

Точно как же как и для X₁ найдем определитель, для вычисления X₂

Δ₂= 76

-5

-6

-7

-16

-10

-13

=-17854

Проделаем аналогичную операцию для вычисления следующего определителя для X₃

Δ₃= 76

-7

-5

-16

10.5

-10

=-18851

В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим :

X₁=Δ₁/Δ ?0.256
X₂=Δ₂/Δ ?1.832
X₃=Δ₃/Δ ?1.934

На нашем сайте вы также можете:

Решение онлайн

Для ввода исходных данных необходимо указать количество уравнений:

Решим систему уравнений

x₁

x₂

—

x₃

x₁

x₂

—

x₃

x₁

x₃

Прямой ход. Процесс решения системы уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.
Серые прямоугольники (см.решение ниже), позволят Вам проследить последовательность исключения переменных.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.
Каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы (сравните сами).
Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.

 Исключим переменную x₁ из всех уравнений, за исключением первого. Поменяем местами уравнения 1 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

x₁

x₃

x₁

x₂

—

x₃

x₁

x₂

—

x₃

—

Из уравнения 2 вычитаем уравнение 1, умноженное на 3.

x₁

x₃

x₂

—

x₃

—

x₁

x₂

—

x₃

—

Из уравнения 3 вычитаем уравнение 1, умноженное на 2.

x₁

x₃

x₂

—

x₃

—

x₂

—

x₃

—

 Исключим переменную x₂ из последнего уравнения. Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2.

x₁

x₃

x₂

—

x₃

—

x₃

—

Обратный ход. Если посмотреть на получившеюся систему, то, очевидно, что она приведена к ступенчатому виду.
Что это нам дает?
Посмотрите дальнейшие наши действия, и Вы сами ответите на этот вопрос.

 Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы.

x₃

 Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы.

x₂

—

x₃

—

Из данного уравнения найдем значение переменной x₂.

x₂

x₃

—

Подставим, ранее найденное, значение переменной x₃.

x₂

5 *

—

x₂

—

 Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы.

x₁

x₃

Из данного уравнения найдем значение переменной x₁.

x₁

—

x₃

Подставим, ранее найденное, значение переменной x₃.

x₁

—

x₁

Ответ :

x₁

x₂

—

x₃

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений

выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах.

Пример 14. Установить совместность и решить систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.

Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

Итак, имеем Далее, подставляя в третье уравнение, найдем Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные получим Таким образом, имеем решение системы

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел — матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин «матрица» появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…, a_nn .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц — поэлементная операция

2. Вычитание матриц — поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число — поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А — квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A’

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A’)’=A

(λA)’=λ(A)’

(A+B)’=A’+B’

(AB)’=B’A’

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n — произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) — во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,…,m

j=1,2,…,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)

Пример.

Ясно, A’=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a_ii=-ã_ii (ã_ji — комплексно — сопряженное к a_ji, т.е. если A=3+2i, то комплексно — сопряженное Ã=3-2i)

Пример

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами —

Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:

метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
метод Гаусса;
метод Крамера;
метод обратной матрицы.

Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример.

Необходимо решить систему:

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x₁ из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты
первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.

Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.

Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Обратный ход.

Рассмотрим второе уравнение получившейся системы:

Рассмотрим первое уравнение получившейся системы:

Найдем значение переменной x₁

Найдем значение переменной x₂, подставив найденное значение x₁.

Ответ :

Если решили построить дом, то проекты коттеджей (http://www.intexhome.ru/projects/) вам будут необходимы.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Решите систему линейных уравнений по правилу Крамера онлайн

Один из способов решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — использование Правило Крамера . Допустим, у нас есть СЛАУ:

a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22x2a23x3b2a31x1a32x2a33x3b3

Для ее решения нужно найти такие значения переменных х ₁, х ₂, х ₃ которые преобразуют исходный SLAE в правильный идентификатор.Чтобы показать, как работает правило Крамера, перепишите нашу исходную СЛАУ в матричной форме:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33x1x2x3b1b2b3

Первый шаг Правило Крамера , состоит в том, чтобы проверить ценность детерминант матрицы СЛАУ:

Δa11a12a13a21a22a23a31a32a33

Если вычисленный определитель не равен нулю, то исходная СЛАУ имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.Если вычисленный определитель равен нулю, то исходная СЛАУ может либо не иметь решения, либо иметь бесконечный набор решений, который не может быть найден по правилу Крамера.

Предположим, вычисленный определитель не равен нулю:

Δ0

то по правилу Крамера решение СЛАУ можно найти по формулам:

xΔxΔyΔyΔzΔzΔ

здесь, ∆ _x, ∆ _y а также ∆ _z являются детерминантами, производными от определителя ∆ заменив соответствующий столбец на вектор свободных коэффициентов.Например, определитель ∆ _x полученный от определителя ∆ заменив первый столбец на вектор свободных коэффициентов:

Δxb1a12a13b2a22a23b3a32a33

Используя этот метод, можно получить определители ∆ _и а также ∆ _z. Следует отметить, что правило Крамера применимо к СЛАУ, в которых количество уравнений равно количеству переменных.

Наш онлайн-калькулятор решает SLAE по правилу Крамера с пошаговым решением. Коэффициенты СЛАУ могут быть не только числами дробей, но и параметрами. Чтобы использовать калькулятор, нужно ввести СЛАУ и выбрать переменные СЛАУ для поиска.

Калькулятор правила Крамерса

Формула правила Крамера

x = D _x / D

y = D _y / D

z = D _z / D

Где,

D _x, D _y, и D _z являются определителем матрицы x, y, и z соответственно, и

D является определителем основной матрицы.

Калькулятор правил Крамера эффективно решает одновременные линейные уравнения и мгновенно находит значения переменных в уравнении. Он также применяет правило Крамера для матриц 2×2, , 3×3, и 4×4, .

Если вы знаете, как использовать правило Крамера в системе 2×2, и ищете реализацию правила Крамера в системах 3×3 или 4×4, продолжайте читать следующие разделы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод оценки значения заданных неизвестных переменных в линейных уравнениях.Он был предложен Габриэлем Крамером в 1750 году. Используя это правило, можно легко решить одновременные линейные уравнения.

Как решить линейные уравнения с помощью правила Крамера?

Чтобы решить совместные линейные уравнения с помощью правила Крамера, выполните следующие действия.

Пример:

Решите приведенные ниже уравнения для x, y, и z.

2x + 3y + 5z = 10

5x + 3y + 2z = 12

x + 5y + 0z = 8

4 9000 Шаг 1: Используя коэффициенты, переменные и константы, создайте матрицу, как показано ниже.

Шаг 2: Найдите определитель главной матрицы. Предположим, что основная матрица равна D.

= 2 [(3 × 0) — (2 × 5)] — 3 [(5 × 0) — (2 × 1 )] + 5 [(5 × 5) — (3 × 1)]

= 2 (0-10) — 3 (0-2) + 5 (25-3)

= -20 + 6 + 110

| D | = 96

Шаг 3: Построение матриц x, y, и z путем замены x, y, и z столбцов основной матрицы D по постоянной матрице соответственно.

Шаг 4: Возьмите определитель всех трех новых матриц x, y, и z .

D _x = 10 [(3 × 0) — (2 × 5)] — 3 [(12 × 0) — (2 × 8)] + 5 [(12 × 5) — (3 × 8)]

D _x = -100 + 48 + 180

D _x = 128

D _y = 2 [(12 × 0) — (2 × 8)] — 10 [(5 × 0) — (2 × 1)] + 5 [(5 × 8) — (12 × 1)]

D _y = -32 + 20 + 140

D _y = 128

D _z = 2 [(3 × 8) — (12 × 5)] — 3 [(5 × 8) — (12 × 1)] + 10 [(5 × 5) — (3 × 1)]

D _z = -72 — 84 + 220

D _z = 64

Шаг 4: Примените правила Крамера и разместите значения.

x = D _x / D = 128/96

x = 1,33

y = D _y / D = 128/96

y = 1,33

z = D _z / D = 64/96

z = 0,67

Итак, мы получили x = 1,33, y = 1,33, и z = 0,67 после применения правила Крамера к данному уравнению 3×3 .

Калькулятор правила Крамерса 3×3

Калькулятор, приведенный в этом разделе, может использоваться для решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными с использованием правила Крамера или метода определителей.

Результат:
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & nbspΔ =
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & nbspΔ _х =
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & nbspΔ _у =
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & nbspΔ _г =
и NBSP & NBSP & NBSP & NBSP х =
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP у =
& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP & NBSP г =

Примечание:

Если вы получите x = 0, y = 0 и z = 0, то система может быть несовместимой или может иметь бесконечно много решений.Чтобы узнать больше об этом, следуйте инструкциям, приведенным ниже.

Инструкции:

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Проблемы со словами на квадратных уравнениях 4

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости единицы

задачи по сравнению ставок

Преобразование общепринятых единиц словесные задачи

Преобразование метрических единиц текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word задачи по сложным процентам

Word задачи по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами в тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами в виде прибылей и убытков 000 задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанные фракции

задачи со словами на одноэтапное уравнение

задачи на слова с линейным неравенством 12 05 Задачи со словами

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами по возрастам

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

0 Домен и диапазон рациональных функций 912 функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Решение любых систем с помощью калькулятора правила Крамера — Онлайн калькуляторы

Полезная информация
Система линейных уравнений — это система цифр:
$$ \ large {\ left \ {\ begin {array} {1} \ mathrm {a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2}} & + & \ cdots & + & \ mathrm {a_ {1n} x_ {n} = b_ {1}}, \\ \ mathrm {a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2}} & + & \ dotsb & + & \ mathrm {a_ {2n} x_ {n} = b_ {2}}, \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ mathrm {a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2}} & + & \ cdots & + & \ mathrm {a_ {mn} x_ {n} = b_ {m}} \ end {array} \ right.} $$
gdzie:
\ (\ mathrm {\ large {a_ {11}, …, a_ {mn}}} \) — это коэффициенты уравнения (данных)
\ (\ mathrm {\ large { b_ {1}, …, b_ {m}}} \) — свободные слова (данные)
\ (\ mathrm {\ large {x_ {1}, …, x_ {n}}} \) — неизвестно
Существует два типа систем линейных уравнений:
• однородные системы линейных уравнений,
• системы линейных уравнений неоднородные,

Система линейных уравнений называется однородной, если все члены равны нулю.
$$ \ large {\ left \ {\ begin {array} {1} \ mathrm {a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2}} & + & \ cdots & + & \ mathrm {a_ {1n} x_ {n} = 0}, \\ \ mathrm {a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2}} & + & \ dotsb & + & \ mathrm {a_ {2n} x_ {n} = 0}, \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ mathrm {a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2}} & + & \ cdots & + & \ mathrm {a_ {mn} x_ {n} = 0} \ end {array} \ right.} $$
Методы решения линейных уравнений делятся на два класса:
• конечные методы — позволяют получить решение после выполнения конечного числа арифметических операций, а полученные решения обременяют только с ошибками округления.
• итерационные методы — они заключаются в определении последовательности векторов, сходящейся к решению системы. Полученные решения допускают ошибки в методе и округлении. Однако эти методы позволяют находить решения с любой заданной точностью.
Теорема Крамера:
Если определитель матрицы коэффициентов системы отличен от нуля ( detA ≠ 0 ), то система линейных уравнений в векторной форме \ (\ color {blue} {x_1 } \ mathbf a_1 + \ dots + \ color {blue} {x_n} \ mathbf a_n = \ color {red} {\ mathbf b} \) имеет ровно одно решение, задаваемое формулами:
$$ \ color {blue} {x_1 } = \ frac {\ det (\ color {red} {\ mathbf b}, \; \ mathbf a_2, \ dots, \ mathbf a_n)} {\ det (\ mathbf a_1, \ mathbf a_2, \ dots, \ mathbf a_n)}, $$ $$ \ vdots $$ $$ \ color {синий} {x_n} = \ frac {\ det (\ mathbf a_1, \ dots, \ mathbf a_ {n-1}, \; \ color {red} {\ mathbf b})} {\ det (\ mathbf a_1, \ точки, \ mathbf a_ {n-1}, \ mathbf a_n)} $$.
so
$$ x_i = \ frac {W_i} {W}; $$ где
\ (W = detA \) — это определитель матрицы коэффициентов системы. Это называется главным детерминантом.
\ (W_i \) — это определитель матрицы, которая получается из матрицы \ (A \), заменяя столбец коэффициентов неизвестного \ (\ color {blue} {x_i} \) на столбец перехватов \ (\ color {red} {b} \).
Систему уравнений можно записать в матричной форме:
$$ \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ dots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ dots & a_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ dots & a_ {mn} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ color {blue} {x_1} \\ \ color {blue} {x_2} \\ \ vdots \\ \ color {blue} {x_n} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ color {red} {b_1} \\ \ color {red} {b_2} \\ \ vdots \\ \ color {red} {b_n} \ end {bmatrix}.$$ Учитывая квадратную матрицу перехватов, где количество строк равно количеству столбцов (m = n), давайте вычислим главный определитель W .
$$ W = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ dots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ dots & a_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ dots & a_ {mn} \ end {vmatrix} $$ Если W ≠ 0 , вычисляем определители вспомогательных матриц W ₁, W ₂… W _n замена соответствующего столбца коэффициентов столбцом пересечения.
$$ W_1 = \ begin {vmatrix} \ color {red} {b_1} & a_ {12} & \ dots & a_ {1n} \\ \ color {red} {b_2} & a_ {22} & \ dots & a_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ \ color {красный} {b_n} & a_ {m2} & \ dots & a_ {mn} \ end {vmatrix}; W_2 = \ begin {vmatrix} a_ {11} & \ color {red} {b_1} & \ dots & a_ {1n} \\ a_ {21} & \ color {red} {b_2} & \ dots & a_ {2n } \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ color {красный} {b_n} & \ dots & a_ {mn} \ end {vmatrix}; …; W_n = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ dots & \ color {red} {b_1} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ dots & \ color {red} {b_2 } \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ dots & \ color {красный} {b_n} \ end {vmatrix} $$
Теперь по приведенной выше формуле, подставляя определители, мы можем вычислить неизвестные.
Решите метод привода в режиме онлайн с подробным решением. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.Системы линейных алгебраических уравнений
Для того, чтобы усвоить этот абзац, вы должны уметь раскрывать идентификаторы «два-два» и «три-три». Если детерминанты плохие, изучите урок Как вычислить определитель?
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом убивающего сложения!
Дело в том, что даже если иногда и встречается, такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам краулера.Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило краулера для более сложного случая — системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .
Метод Гаусса.
Если система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два детерминанта:
и
На практике вышеуказанные детерминанты также могут обозначаться латинскими буквами.
Корни уравнений находятся по формулам:
,
Пример 7.
Решаем систему линейных уравнений
Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, есть десятичные дроби с запятой в правой части.Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, я взял эту систему из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае обязательно получатся ужасные штаны, с которыми работать крайне неудобно, а оформление раствора будет смотреться просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить вычитание почвы, но также получатся те же дроби.
Что делать? В таких случаях на помощь приходит формула кратера.
;
;
Ответ :,
Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже обыкновенно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательный фрагмент дизайна задачи представляет собой следующий фрагмент: «Итак, система имеет одно решение» .В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.
Вовсе не будет лишним, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В итоге с небольшой ошибкой должны быть вывернуты числа, которые находятся в нужных частях.
Пример 8.
Ответ представить в обыкновенные нерегулярные дроби. Сделайте чек.
Это пример самостоятельного решения (пример чистого дизайна и ответа в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если, система имеет бесконечно много решений или незаметных (не решений) . В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если система имеет одно решение и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:
«
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три к трем» принципиально не отличается от случая «два-два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9.
Решите систему по формулам искателя.
Решение : Разрешить систему в соответствии с формулами искателя.

Итак, у системы есть единственное решение.
Ответ :.
Собственно и здесь комментировать больше нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам.Но есть пара замечаний.
Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» неинтерпретируемые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм лечения. Если под рукой нет компьютера, сделайте так:
1) Допускается ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохой» фракцией, сразу нужно проверить, проводящий кондиционер правильно . Если условие переписывается без ошибок, то нужно пересчитать детерминанты, используя разложение на другой строке (столбце).
2) Если проверка ошибок не обнаружена, скорее всего, это опечатка в условии присваивания. В этом случае спокойно и осторожно доводим задачу до конца, а затем обязательно проверяем И делаем это на доводке после решения. Конечно, проверка дробного ответа неприятна, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно в ответе к примеру 8.
Если под рукой есть компьютер, то воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока.Кстати, выгоднее всего сразу использовать программу (еще до принятия решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором была допущена ошибка! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение решения матричным методом.
Замечание Второе. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором — переменной. В таких случаях очень важно правильно и внимательно записать основной идентификатор:
— На месте отсутствующих переменных стоят нули.
Кстати, детерминанты с нулями рационально раскрыты по строке (столбцу), которая равна нулю, так как вычислений заметно меньше.
Пример 10.
Решите систему по формулам искателя.
Это пример независимого решения (образец чистого дизайна и ответ в конце урока).
Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формула Крамера записывается по аналогичным принципам.Живой пример можно посмотреть на уроке свойств определителя. Уменьшение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка полностью твердые. Хотя задание уже вполне напоминает сапог профессора на груди у удачливого ученика.

Решение системы с матрицей возврата
Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).
Чтобы изучить этот раздел, вы должны уметь раскрыть детерминанты, найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны в ходе объяснения.
Пример 11.
Решите систему матричным методом
Решение : Запишите систему в матричной форме:
, где
Посмотрите на систему уравнений и матрицу. По какому принципу писать элементы в матрице, думаю всем понятно.Единственное замечание: если бы в уравнениях не было переменных, то в соответствующих местах матрицы нужно было бы ставить нули.
Обратную матрицу находим по формуле:
где — транспонированная матрица алгебраических сложений к соответствующим элементам матрицы.
Сначала мы имеем дело с определителем:
Здесь определитель раскрывается в первой строке.
Внимание! Если, то матрица возврата не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается путем исключения неизвестного (метод Гаусса).
Теперь вам нужно вычислить 9 миноров и записать их в Mind Matrix
Ссылка: Полезно знать значение индексов двойной подстановки в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится этот элемент. Вторая цифра — это номер столбца, в котором находится этот элемент:

То есть индекс двойной подстановки указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце и, например, элемент находится в 3 строках, 2 столбцах
В ходе решения, расчет мелких переустановок лучше расписать подробно, хотя, имея определенный опыт, их можно принять для прочтения с ошибками устно.
В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почвенного сложения системы уравнений. Всем, кто заходил на сайт через эту страницу, рекомендуется ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в процессе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.
А теперь разберем правило краулера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут узнать, как решать системы вышеуказанными методами.
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом убивающего сложения!
Дело в том, что даже если и бывает, такая задача встречается — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам краулера.Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило краулера для более сложного случая — системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .
Метод Гаусса.
Если, система имеет одно решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и
.
На практике вышеуказанные детерминанты также могут обозначаться латинскими буквами.
Корни уравнений находятся по формулам:
,
Пример 7.
Решите систему линейных уравнений
Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, есть десятичные дроби с запятой в правой части.Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, я взял эту систему из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае обязательно получатся ужасные штаны, с которыми работать крайне неудобно, а оформление раствора будет смотреться просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить вычитание почвы, но также получатся те же дроби.
Что делать? В таких случаях на помощь приходит формула кратера.
;
;
Ответ :,
Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже обыкновенно) для задач эконометрики.
Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательный фрагмент дизайна задачи представляет собой следующий фрагмент: «Итак, система имеет одно решение» .В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.
Вовсе не будет лишним, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В итоге с небольшой ошибкой должны быть вывернуты числа, которые находятся в нужных частях.
Пример 8.
Ответ представить в обыкновенные неправильные дроби. Сделайте чек.
Это пример самостоятельного решения (пример чистого дизайна и ответа в конце урока).
Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если, в системе бесконечно много решений или неприметных (не решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если система имеет единственное решение и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:
«
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Как видите, случай «три-три» принципиально не отличается от случая «два-два», столбцы свободных членов последовательно «прогуливаются» слева направо по столбцам главного определителя.
Пример 9.
Решите систему в соответствии с формулами искателя.
Решение : Разрешить систему в соответствии с формулами поискового робота.

Итак, у системы есть единственное решение.
Ответ :.
Собственно, и здесь комментировать больше нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам.Но есть пара замечаний.
Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» неинтерпретируемые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм лечения. Если под рукой нет компьютера, сделайте так:
1) Допускается ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохой» фракцией, сразу нужно проверить, проводящий кондиционер правильно . Если условие переписывается без ошибок, то нужно пересчитать детерминанты, используя разложение на другой строке (столбце).
2) Если проверка ошибок не обнаружена, вероятно, это опечатка в условии присваивания. В этом случае спокойно и осторожно доводим задачу до конца, а затем обязательно проверяем И делаем это на доводке после решения. Конечно, проверка дробного ответа неприятна, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями подробно описано в ответе например 8.
Если под рукой есть компьютер, то воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока.Кстати, выгоднее всего сразу использовать программу (еще до принятия решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором была допущена ошибка! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение решения матричным методом.
Замечание Второе. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором — переменной. В таких случаях очень важно правильно и внимательно записать основной идентификатор:
— На месте отсутствующих переменных стоят нули.
Кстати, детерминанты с нулями рационально раскрыты по строке (столбцу), которая равна нулю, так как вычислений заметно меньше.
Пример 10.
Решите систему в соответствии с формулами искателя.
Это пример самостоятельного решения (образец чистого дизайна и ответ в конце урока).
Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формула Крамера записывается по аналогичным принципам.Живой пример можно посмотреть на уроке свойств определителя. Уменьшение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка полностью твердые. Хотя задание уже вполне напоминает сапог профессора на груди у удачливого ученика.
Решение системы с матрицей возврата
Метод обратной матрицы — это, по сути, частный случай матричное уравнение (см. Пример № 3 указанного урока).
Чтобы изучить этот раздел, вы должны уметь раскрыть детерминанты, найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны в ходе объяснения.
Пример 11.
Решите систему матричным методом
Решение : Запишите систему в матричной форме:
, где
Посмотрите на систему уравнений и матрицу. По какому принципу писать элементы в матрице, думаю всем понятно.Единственное замечание: если бы в уравнениях не было переменных, то в соответствующих местах матрицы нужно было бы ставить нули.
Обратную матрицу находим по формуле:
где — транспонированная матрица алгебраических сложений к соответствующим элементам матрицы.
Сначала разберемся с определителем:
Здесь определитель раскрывается в первой строке.
Внимание! Если, то матрица возврата не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается путем исключения неизвестного (метод Гаусса).
Теперь вам нужно вычислить 9 несовершеннолетних и записать их в Mind Matrix
.
Ссылка: Полезно знать значение индексов двойной подстановки в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится этот элемент. Вторая цифра — это номер столбца, в котором находится этот элемент:

То есть индекс двойной подстановки указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце и, например, элемент находится в 3 строках, 2 столбцах
Габриэль Крамер — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, одного из создателей линейной алгебры.Крамер рассматривал систему произвольного числа линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дроби с общим знаменателем — определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений, что позволяет значительно ускорить процесс решения. Этот метод может применяться при решении системы такого количества линейных уравнений, как в каждом уравнении неизвестного. Главное, чтобы определитель системы не был равен «0», тогда в решении можно использовать метод Крамера, если «0» в этом методе не используется.Также этот метод может применяться для решения систем линейных уравнений с одним решением.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, система линейных уравнений имеет одно единственное решение и неизвестное, равное отношению определителей. В знаменателе — определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы путем замены коэффициентов одновременно неизвестными свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Допустим, учитывая Славу такого типа:
\ [\ left \ (\ begin (Matrix) 3x_1 + 2x_2 = 1 \\\\ x_1 + 4x_2 = -3 \ end (Matrix) \ Right. \\]
Согласно теореме Крамера получаем:
Ответ: \\
Где я могу решить уравнение Крамера с помощью онлайн-решателя?
Вы можете решить уравнение на нашем сайте https: // Site. Бесплатная онлайн-программа решит онлайн-уравнение любой сложности за секунды.Все, что вам нужно сделать, это просто ввести свои данные в решатель. Вы также можете посмотреть видеоинструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас возникнут вопросы, вы можете задать их в нашей группе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Присоединяйтесь к нашей группе, мы всегда рады вам помочь.
Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т.е. имеет вид
Такие системы линейных уравнений называются квадратными.Определитель, составленный из коэффициентов с независимыми переменными системы (1.5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой D. Таким образом,
. (1,6)
Если в произвольном столбце основного идентификатора ( j. ) заменить столбец свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n. Вспомогательные идентификаторы:
( j. = 1, 2,…, n. ). (1,7)
Правило Крамера Решение квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом.Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и, более того, единственное решение, которое можно найти по формулам:
(1,8)
Пример 1.5. Метод Крамера решения системы уравнений
.
Вычислить главный определитель системы:
Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):
Таким образом,
Действия с матрицами
1.Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы определяется следующим образом.
2. Чтобы умножить матрицу на число, все ее элементы умножаются на это число. Т.е.
. (1,9)
Пример 1.6. .
Добавление матриц.
Эта операция вводится только для матриц одного порядка.
Чтобы свернуть две матрицы, необходимо добавить к элементам одной матрицы соответствующие элементы другой матрицы:
(1.10)
Операция расположения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутации.
Пример 1.7. .
Матричное умножение.
Если количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В Для таких матриц вводится операция умножения:
2
Таким образом, при умножении матрицы А размерностью м. ´ п. на матрице В размерностью н. ´ к. получаем матрицу ИЗ размерностью м. ´ к. . В этом случае элементы матрицы ИЗ вычисляются по формулам:
Задача 1.8. Найдите, если возможно, работу матриц AB, и BA. :
Решение. 1) для того, чтобы найти работу AB , нужны строки матрицы A. умножить на столбцы матрицы B. :
2) Работа БА. нет, так как количество столбцов матрицы B. не совпадает с количеством строк матрицы A. .
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом
Матрица A — 1 называется квадратной матрицей НО Если выполняется равенство:
, где через I. обозначает одну матрицу того же порядка, что и матрица НО :
.
Для того чтобы квадратная матрица была обратной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратные матрицы находятся по формуле:
, (1.13)
, где A ij. — Алгебраические дополнения к элементам a ij. Матрицы НО (Обратите внимание, что алгебраические дополнения к строкам матрицы НО расположены в возвращаемой матрице в виде соответствующих столбцов).
Пример 1.9. Найдите обратную матрицу A — 1 к матрице
.
Обратная матрица Найдем по формуле (1.13), которая соответствует случаю n. = 3 имеет вид:
.
Находим Дет. A. = | A. | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Поскольку определитель исходной матрицы отличен от нуля, обратная матрица существует.
1) Найдем алгебраические дополнения A ij.:
Для удобства нахождения обратной матрицы алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы располагаем в соответствующих столбцах.
Из полученных алгебраических сложений составим новую матрицу и разделим ее на определитель DET A. . Таким образом, мы получим обратную матрицу:
Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем могут быть решены с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричном виде:
где
Умножая обе части равенства (1.14) на левую A — 1, мы получим системное решение:
От!
Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти матрицу, обратную основной матрице системы, и умножить ее вправо на столбец матрица-столбец.
Задача 1.10. Решите систему линейных уравнений
с использованием обратной матрицы.
Решение. Запишем систему в матричном виде:,
где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных элементов. Так как основной определитель системы, то основная матрица системы НО имеет обратную матрицу НО — единицу. Чтобы найти обратную матрицу НО -1, вычислите алгебраические сложения для всех элементов матрицы НО :
Из полученных чисел составим матрицу (и алгебраические прибавления к строкам матрицы НО запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D.Таким образом, мы нашли обратную матрицу:
Решение системы находится по формуле (1.15):
Таким образом,
Решение систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений
Пусть произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:
(1,16)
Требуется найти систему решений, т.е. такой набор переменных, который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В целом система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. У него тоже может вообще не быть решений.
При решении таких задач используется метод исключения неизвестного, который еще называют методом обычных исключений Иордании из школьного курса. Суть этого метода состоит в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая одно уравнение к одному уравнению и на одну переменную меньше, чем исходная система.Запоминается уравнение, из которого выражена переменная.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестного некоторые уравнения могут превратиться в точные тождества. Такие уравнения из системы исключены, так как выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестного хотя бы одно уравнение сравняется, что невозможно выполнить ни при каких значениях переменных (например), то делаем вывод, что система не имеет решения.
Если при решении противоречивых уравнений не произошло, то из последнего уравнения в нем осталась одна из переменных. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются другие переменные, они считаются параметрами, а переменная, выраженная через них, будет функцией этих параметров. Затем выполняется так называемое «обратное движение». Найденная переменная подставляется в последнее запомненное уравнение и находит вторую переменную.Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее сохраненное уравнение и находят третью переменную и так далее до первого запомненного уравнения.
В результате получаем решение системы. Это решение будет единственным, если найденные переменные будут числами. Если первая найденная переменная, а затем все остальные будут зависеть от параметров, у системы будет бесчисленное количество решений (каждый набор параметров соответствует новому решению). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того, называется ли другой набор параметров общим решением системы.
Пример 1.11.
х.
Запомнив первое уравнение и приведя аналогичные члены во втором и третьем уравнениях, мы приходим к системе:
Экспресс г. Из второго уравнения и подставьте его в первое уравнение:
Запомним второе уравнение, а из первого найдем z. :
Верните референцию, стабильно найдем г. и z. . Для этого сначала подставляем последнее запомненное уравнение, где находим y. :
.
Затем подставляем и в первое запомненное уравнение Где находим x. :
Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:
. (1.17)
Решение. Выразите переменную из первого уравнения x. и подставляем во второе и третье уравнение:
.
Мы помним первое уравнение
В этой системе первое и второе уравнение противоречат друг другу. Действительно, выражая г. , у меня получается, что 14 = 17. Это равенство не выполняется ни при каких значениях переменных x. , г. , I. з. . Следовательно, система (1.17) невычислима, т.е. не имеет решения.
Предлагаем читателям самостоятельно проверить, что основной детерминант исходной системы (1.17) равен нулю.
Рассмотрим систему, которая отличается от системы (1.17) только одним свободным членом.
Задача 1.13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:
. (1.18)
Решение. Как и раньше, выразим из первого уравнения переменную x. и подставляем во второе и третье уравнение:
.
Мы помним первое уравнение и представляем аналогичные члены во втором и третьем уравнениях.Заходим в систему:
Выражение г. из первого уравнения и подставив его во второе уравнение Получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а значит, может быть исключено из системы.
В последней запомненной переменной равенства z. Рассмотрим параметр. Мы верим. Тогда
Заменитель г. и z. в первом заученном равенстве и найти x.:
.
Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19), выбрав произвольное значение параметра t. :
(1.19)
Итак, системные решения, например, представляют собой следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. Д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение система (1.18).
В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений оказывается громоздким.Однако это не так. Достаточно вообще отказаться от алгоритма пересчета коэффициентов системы за один шаг, а решение задачи сделать в виде специальных жордановых таблиц.
Пусть дана система линейных форм (уравнений):
, (1.20)
Где x J. — независимые (искомые) переменные, a ij. — Постоянные коэффициенты
( i =. 1, 2,…, м. ; j. = 1, 2,…, n.). Правые части системы y I. ( i = 1, 2,…, м. ) могут быть как переменными (зависимыми), так и постоянными. Требуется найти решения этой системы, исключив неизвестное.
Рассмотрим следующую операцию, которая в будущем будет называться «один шаг обычных исключений Джордана». От произвольного ( r. -to) равенства выражают произвольную переменную ( x S. ) и заменяют все остальные равенства. Конечно, это возможно только при RS. ¹ 0. Коэффициент а RS. Это называется разрешающим (иногда направляющим или основным) элементом.
Получим следующую систему:
. (1,21)
Из с. — Равенство системы Ho (1.21) Позже мы найдем переменную x S. (после того, как найдены остальные переменные). S. — строка помню и позже из системы исключена. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение, и на одну независимую переменную меньше, чем в исходной системе.
Вычислить коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с с. р. — к уравнению, которое после выражения переменной x S. через оставшиеся переменные будет выглядеть так:
Таким образом, новые коэффициенты р. Уравнения рассчитываются по следующим формулам:
(1,23)
Рассчитайте новые коэффициенты b IJ. ( и. ¹ р. ) произвольное уравнение. Для этого подставляем произносимую в (1.22) переменную x S. в i. — Уравнение системы (1.20):
Приведя таких членов, получаем:
(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (кроме r. — Уравнения):
(1.25)
Преобразование системы линейных уравнений методом обычных жордановых исключений производится в виде таблиц (матриц).Эти столы получили название «Иордан».
Итак, задача (1.20) ставится в соответствие следующей таблице Жорданова:
Таблица 1.1.
х. 1 х. 2 … x J. … x S. … x N.
г. 1 = а. 11 а. 12 а. 1 Дж. а. 1 с. а. 1 п.
………………………………………………………………… ..
г. I. = а I. 1 а I. 2 a ij. а есть. а IN.
………………………………………………………………… ..
г. = а пр. 1 а пр. 2 а RJ. RS. а РН.
……………………………………………………………….
y N. = а М. 1 а М. 2 а MJ. MS. а MN.
Жортанова Таблица 1.1 Содержит левый заглавный столбец, в котором записаны правые части системы (1.20) и верхняя строка заголовка, в которую записаны независимые переменные.
Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу НО на матрицу, состоящую из элементов верхней строки заголовка, то матрица состоит из элементов левого заглавного столбца.То есть, по сути, Таблица Жорданова представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений:. Система (1.21) соответствует следующей таблице Жорданова:
Таблица 1.2.
х. 1 х. 2 … x J. … y Р. … x N.
г. 1 = б. 11 б. 12 б. 1 Дж. б. 1 С. б. 1 Н.
………………………………………………………………… ..
y i =. б I. 1 б I. 2 b IJ. б. б в
………………………………………………………………… ..
х s =. б пр. 1 б пр. 2 b RJ. b RS млрд р-н.
……………………………………………………………….
y n = б М. 1 б М. 2 б МДж. b МС. b Mn.
Элемент разрешающий а RS. Выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага исключений Jordan разрешающий элемент должен быть отличным от нуля. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется строкой разрешения.Столбец, содержащий разрешающий элемент, называется столбцом разрешения. При переходе от этой таблицы к следующей таблице одна переменная ( x S. ) Из строки заголовка таблица перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, в один из свободных членов системы ( y R. ) Из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю строку заголовка.
Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) в таблицу (1.2), полученную из формул (1.23) и (1.25).
1. Элемент разрешения заменяется обратным числом:
2. Остальные разрешающие строковые элементы делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:
3. Остальные элементы столбца разрешения разделены на разрешающий элемент:
4. Элементы, не попадающие в строку разрешения и разрешающую колонку, пересчитываются по формулам:
Последнюю формулу легко запомнить, если учесть, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i. — I. г. Замок I. j. — I. с. — к столбцам (разрешающая строка, разрешающая столбец и строку и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы Вы можете использовать следующую диаграмму:
-21 -26 -13 -37
Делая первый шаг с исключениями Jordan, вы можете выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах, в качестве элемента разрешения. х. 1,…, х. 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не выбирайте только элемент разрешения в последнем столбце, потому что нужно найти независимые переменные x. 1,…, х. пять. Выберем, например, коэффициент 1 С переменной x. 3 В третьей строке таблицы 1.3 (жирным шрифтом выделен элемент разрешения). При переходе к таблице 1.4 переменная x. 3 из верхней строки заголовка меняется местами с константой левого столбца 0 (третья строка).В данном случае переменная x. 3 выражается в других переменных.
Линия х. 3 (Таблица 1.4) можно запомнить, исключив из Таблицы 1.4. В таблице 1.4 третий столбец с нулем также исключен в верхней строке заголовка. Дело в том, что независимо от коэффициентов этого столбца b I. 3 Все соответствующие члены каждого уравнения 0 · b I. 3 системы будут равны нулю. Следовательно, указанные коэффициенты не могут быть рассчитаны.Исключив одну переменную x. 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с освобожденной строкой x. 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве элемента разрешения b. 14 = -5, перейдите к Таблице 1.5. Таблица 1.5 запоминает первую строку и исключает ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).
Таблица 1.5 Таблица 1.6
Из последней таблицы 1.7 находим: x. 1 = — 3 + 2 х. 5.
Последовательно подставляя переменные, уже найденные в сохраненных строках, находим оставшиеся переменные:
Таким образом, в системе есть бесчисленное множество решений. Переменная х. 5, можно задавать произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x. 5 = т. Мы проверили системность системы и нашли ее общее решение:
X. 1 = — 3 + 2 т.
X. 2 = — 1 — 3 т.
Х. 3 = — 2 + 4 т. . (1,27)
х. 4 = 4 + 5 т.
х. 5 = т.
Подача параметра т. Различных значений, мы получаем бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, системным решением является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).
Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс принятия решения.
Кратерный метод можно использовать при решении системы стольких линейных уравнений, как в каждом уравнении неизвестного. Если определитель системы не равен нулю, в решении можно использовать метод Крамера, если он равен нулю, нельзя. Кроме того, метод Крамера можно использовать при решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестном, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Deterpetes
получается заменой коэффициентов на соответствующие неизвестные для свободных участников:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, система линейных уравнений имеет одно единственное решение и неизвестное, равное отношению определителей. В знаменателе — определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы путем замены коэффициентов одновременно неизвестными свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решите систему линейных уравнений:
Согласно теореме крамера Имеем:
Итак, решение Решение (2):
Онлайн-калькулятор, решающий кратерный метод.
Три случая решения систем линейных уравнений
Как ясно теоремы Крамера При решении системы линейных уравнений может быть три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(совместно и определено в системе)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместного и неопределенного)
**,
тех.Коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.
Третий случай: в системе линейных решений нет
(система непонятна)
Итак, система м. Linear Equations S. n. переменных называют нон-стоп , если у нее нет решения, и объединяют , если у нее есть хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется , определенное , более одного — неопределенное .
Примеры решения систем линейных уравнений по Крамеру
Пусть дано системе
.
На основе теоремы Крамера
………….
,
где
—
определение системы. Остальные определители получаем, заменяя столбец коэффициентами соответствующих переменных (неизвестных) свободных членов:
Пример 2.
Следовательно, система определена.Чтобы найти ее решения, вычислим определители
По формулам краулера находим:
Итак (1; 0; -1) — единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.
Пример 3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Внимательно посмотрите на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решения, вычислим определители при неизвестном
.
По формулам краулера находим:
Итак, решение системы (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.
Начало страницы
Продолжаем решать систему по методу Крамера вместе
Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестном не равны нулю, система непонятна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующий пример.
Пример 6. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо неполна и определена, либо противоречива, то есть не имеет решений. Для пояснения вычислим детерминанты при неизвестном
Определители при неизвестном не равны нулю, следовательно, система неполная, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.
В задачах по системе линейных уравнений встречаются и такие, где встречаются и другие буквы, обозначаемые переменными. Эти буквы обозначают какое-то число, чаще всего действительное. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств любых явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, как правило, независимо от размера или количества экземпляра, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов с переменными — буквы.Например, ходить не обязательно.
Следующий пример представляет собой аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих допустимое число.
Пример 8. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Мы находим детерминанты в неизвестном
онлайн-калькулятор системы уравнений
Найдите другие виджеты математики в Wolfram | Alpha.Онлайн-решение уравнений. Введите ODE, укажите начальные условия и затем щелкните решить. Введите линейное уравнение в данное поле, и калькулятор обновит вас системой уравнений. Первое уравнение системы представляет собой эллипс с большой полуосью, равной 2, и малой полуосью, равной 2 5. Решение сопровождается подробным описанием, также вы можете определить совместимость системы уравнений, в этом уникальность решения. Получите бесплатный виджет «3 Equation System Solver» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle.Как решить систему уравнений в калькуляторе алгебры. Решение линейных уравнений с использованием матричной алгебры. Простые способы найти LCM, бесплатную распечатку рабочего листа для 5-го и 6-го классов, математическое решение gallian. Пример (Щелкните для просмотра) Wolfram | Alpha может решать самые разные системы уравнений. Алгебра Гленко 1 отвечает на учебник по Луизиане, бесплатный онлайн-калькулятор рациональных выражений и уравнений, алгебра: факторинговая машина. Даже если точного решения не существует, он вычисляет численное приближение корней.Введите любое уравнение, чтобы получить решение, шаги и график Уравнения Неравенства Система уравнений Система неравенств Основные операции Алгебраические свойства Частичные дроби Полиномы Рациональные выражения Последовательности Суммы степеней Пи (продукт) Обозначение Индукция Логические множества Если ваше уравнение имеет меньшее количество элементов, оставьте места у переменных, которые не используются в ваших уравнениях, пусто. Теория линейных уравнений — основная и фундаментальная часть линейной алгебры. Получите бесплатный виджет «3 Equation System Solver» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle.В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому «5x» эквивалентно «5 * x». Могут быть выполнены следующие операции: Чтобы увидеть подробное решение — помочь продвинуть этот сайт, Система двух уравнений с двумя неизвестными, Система трех уравнений с тремя переменными, Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными, Система трех нелинейные уравнения с квадратом или дробью, Система двух уравнений с кубом (3-я степень), Система экспоненциальных или логарифмических уравнений, модуль или абсолютное значение: абсолютное (x) или | x |, экспоненциальное функции и показатели exp (x).Калькулятор систем уравнений — это калькулятор, который решает системы уравнений шаг за шагом. Также вы можете вычислить ряд решений в системе линейных уравнений (проанализировать совместимость), используя теорему Руше – Капелли. : уравнения интегрального типа в одном блоке, матричный метод входит в матрицу коэффициентов и столбец констант, коэффициенты индивидуального типа метода один за другим. Wolfram | Alpha — это больше, чем просто средство решения уравнений онлайн. Это отличный инструмент для поиска корней многочленов и решения систем уравнений.Наш калькулятор способен решать системы с одним уникальным решением, а также неопределенные системы, которые имеют бесконечное множество решений. Бесплатный калькулятор системы ODE — шаг за шагом находите решения для системы ODE. Введите свои уравнения через запятую в поле и нажмите «Рассчитать»! Математические тесты; Уроки математики; Математические формулы; Онлайн-калькуляторы; Все калькуляторы :: Системы уравнений; Решатели систем уравнений. Он может решать системы линейных уравнений или системы, включающие нелинейные уравнения, а также может искать целочисленные решения или решения в другой области.Решите систему уравнений 2 на 2 Решите систему уравнений 3 на 3 Решите систему уравнений 4 на 4. Введите следующее: Первое уравнение x + y = 7; Затем запятая, Затем второе уравнение x + 2y = 11; Попробуйте прямо сейчас: x + y = 7, x + 2y = 11 Интерактивная демонстрация Попробуйте ввести x + y = 7, x + 2y = 11 в текстовое поле. Онлайн-программа для решения математических задач с бесплатными пошаговыми решениями алгебры, исчисления и других математических задач. Бесплатный калькулятор уравнений — решайте линейные, квадратные, полиномиальные, радикальные, экспоненциальные и логарифмические уравнения со всеми шагами.Метод Гаусса-Зейделя: это итерационный метод решения n уравнений квадратной системы n линейных уравнений с неизвестным x, где Ax = b только по одному за раз в последовательности. Бесплатный калькулятор системы нелинейных уравнений — решите систему нелинейных уравнений шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам наилучший опыт. mathportal.org. Чтобы улучшить эту «Систему 2-х линейных уравнений в 2-х переменных Калькуляторе», пожалуйста, заполните анкету. Решение сопровождается подробным описанием, также можно определить совместимость системы уравнений, то есть уникальность решения.Перепишите уравнения каноническим способом: x 2 4 5 y 2 4 1 y 3 x 5 3 5. Решение систем линейных уравнений онлайн Этот онлайн-калькулятор позволяет вам решать системы уравнений различными методами в режиме онлайн. Решает ваши линейные системы методом исключения Гаусса-Жордана. С помощью… Чтобы вычислить алгебру, линейное уравнение с использованием матрицы: Введите правильные значения линейных уравнений в форму ниже и нажмите «Рассчитать». Математические калькуляторы, уроки и формулы. Найдите больше виджетов математики в Wolfram | Alpha. Система уравнений онлайн-решатель. Предположим, у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными: x 2 5 y 2 4 5 y 3 x 3.Пришло время решить вашу математическую задачу. … Вот бесплатный онлайн-калькулятор для решения линейных уравнений алгебры с помощью матриц. Показать инструкции. Можно использовать дроби (1/3). Если поле оставлено пустым, коэффициент переменной автоматически выбирается равным нулю. Этот онлайн-калькулятор позволяет решать систему уравнений различными методами в режиме онлайн. Калькулятор на этой странице поможет проанализировать совместимость системы линейных уравнений (SLE), позволяет решить систему уравнений методом Гаусса, обратной матрицы или методом Крамера.Если a = 0, то уравнение является линейным, а не квадратичным, поскольку нет члена ax². Уравнение Миффлина-Сент-Джера оказалось более точным, чем пересмотренное уравнение Харриса-Бенедикта. Он также множит многочлены, графики … Также поддерживаются начальные условия. Вы можете вводить дроби и десятичные дроби. Здесь вы можете бесплатно решать системы одновременных линейных уравнений с помощью калькулятора исключения Гаусса-Жордана с комплексными числами онлайн с очень подробным решением. Используйте этот калькулятор системы уравнений для решения линейных уравнений с различными переменными.С помощью калькулятора вы сможете решить систему уравнений онлайн разными способами: по Крамеру, по методу Гаусса, по методу обратной матрицы, по методу Жордана. Показывает всю работу, аккуратен и удобен в использовании. Линейный решатель. Мужской или женский ? В этой категории 3 решателя. Получите помощь в Интернете или с помощью нашего математического приложения. Это главный сайт WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): интерактивные упражнения, онлайн-калькуляторы и плоттеры, математические развлечения и игры.2 = 0 2/7 * x + y — z = -3
Индикаторы графика оплаты труда врача Medicare 2019, Как развивались трудовые системы с 1450 по 1750 год, Airflow — это инструмент Etl, Что означает Ионафан в Библии, Блок питания Канто Msrp, Запчасти для тракторов Интернет-магазины,
nirmalpaul383 / Project-Cramer-s-Rule-Matrix-Calculator: это приложение для решения уравнений, основанное на правиле Крамера.
О: Это приложение для решения уравнений, основанное на правиле Крамера.
Описание: Мы можем использовать несколько методов для решения линейного уравнения. Одно из них — правило Крамера. В этом методе находится значение двух или более неизвестных переменных. Коэффициенты переменных используются для формирования матрицы и с помощью их определителей значения переменных решаются. Дополнительную информацию об этом правиле можно найти на https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule этой странице. Эта программа помогает пользователю решать линейные уравнения и находить значения неизвестных переменных.Это приложение поддерживает данные линейных уравнений 2×2 и 3×3 (2×2 для двух неизвестных переменных, например X, Y и 3X3 для трех неизвестных переменных, например X, Y, Z). Эта программа также показывает полный метод обработки (по формулам) для лучшего понимания происходящего …
О совместимости приложения:
Значок и содержимое этого приложения разработаны и разработаны мной (Н. Пол). Эта программа лучше всего подходит для стокового android с разрешением экрана FullHD + (1080 * 2160 p). Это проект с открытым исходным кодом (изначально созданный мной, Н. Полом), и любой может просмотреть, изменить и перестроить его.Чтобы загрузить исходный файл проекта, посетите мой профиль GitHub https://www.github.com/nirmalpaul383/ Если вы хотите поддержать меня, поставьте лайк на нашей странице в Facebook https://www.facebook.com/a.new.way.technical/
О исходном проекте: Это приложение создано с помощью Tasker (https://play.google.com/store/apps/details?id=net.dinglisch.android.taskerm) и с фабрикой приложений Tasker (https://play.google.com/store/apps/details?id=net.dinglisch.android.appfactory). Чтобы установить и запустить «Cramer’s Rule Calc», вам «не понадобится» ни одно из этих приложений.Однако, если вы хотите «просмотреть или изменить» исходный файл вам «понадобится» приложение Tasker, и если вы хотите «экспортировать свою собственную модификацию», то вам «понадобится» как Tasker, так и его расширение, приложение Tasker app factory.
Вот руководство по каталогам и файлам: есть 3 папки (1) Папка «Apk file» [содержит предварительно созданный / экспортированный файл приложения Android ‘Cramer_s_Rule_Calc.apk’] (2) Папка «Assets» [содержит несколько файлов ресурсов (изображений) для проекта (в основном изображения руководства и логотип / значок. для приложения), и вы даже можете изменить их через фотошоп.] (3) Папка «Исходный файл проекта» [содержит основной файл проекта. Загрузите его и импортируйте в приложение Tasker, измените или просмотрите это и наслаждайтесь …]
Если вы хотите поддержать, поставьте лайк на моей странице в facebook https://www.facebook.com/a.new.way.Technical/
.

РубрикаРазное

	х. 1	х. 2	…	x J.	…	x S.	…	x N.
г. 1 =	а. 11	а. 12		а. 1 Дж.		а. 1 с.		а. 1 п.
………………………………………………………………… ..
г. I. =	а I. 1	а I. 2		a ij.		а есть.		а IN.
………………………………………………………………… ..
г. =	а пр. 1	а пр. 2		а RJ.		RS.		а РН.
……………………………………………………………….
y N. =	а М. 1	а М. 2		а MJ.		MS.		а MN.

Метод крамера матрица онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

1. Матрицы

2. Матрица Определение

3. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

4. Метод Гаусса

5. Типы уравнений

6. Элементарные преобразования

7. Общий случай

11. Рассмотрим на примере

12. Метод Крамера

13. Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

14. Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

15. Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

16. В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

17. Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей

18. Решение.

19. Найдите оставшиеся компоненты решения.

20. Найдите оставшиеся компоненты решения.

21. Решение.

22. Ответ.

23. Использованные источники

Метод Крамера

1. Описание метода

Как решать систему уравнений (СЛАУ) методом Крамера: примеры, описание метода

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

Метод Крамера — 📙 Математика

Дети и учеба — Информационный портал

Метод Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение СЛАУ методом Крамера

«Решение линейных уравнений методом Крамера»

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Решите систему линейных уравнений по правилу Крамера онлайн

Калькулятор правила Крамерса

Формула правила Крамера

Что такое правило Крамера?

Как решить линейные уравнения с помощью правила Крамера?

Калькулятор правила Крамерса 3×3

Решение любых систем с помощью калькулятора правила Крамера — Онлайн калькуляторы

Где я могу решить уравнение Крамера с помощью онлайн-решателя?

Действия с матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Решение систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений

Три случая решения систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений по Крамеру

Начало страницы

Продолжаем решать систему по методу Крамера вместе

онлайн-калькулятор системы уравнений

nirmalpaul383 / Project-Cramer-s-Rule-Matrix-Calculator: это приложение для решения уравнений, основанное на правиле Крамера.

Добавить комментарий Отменить ответ