Метод гаусса крамера и матричный метод: DSpace at Saint Petersburg State University: Invalid Identifier

Презентация «Решение систем линейных уравнений»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Д ЙНИК ЧА А Д ЗА А

Номер слайда 2

Номер слайда 3

Уравнение

Номер слайда 4

Методы решения: 1)Матричный метод решения. 2)Метод Крамера. 3) Метод Гаусса

Номер слайда 5

1)Матричный метод решения. Запишем заданную систему в матричном виде: АХ=В, где А – основная матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Если матрица А  невырожденная (det А=0), то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу Х . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому умножив последнее равенство на матрицу  слева:

Номер слайда 6

1)Матричный метод решения. Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу Х надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Номер слайда 7

Пример 1. Решить систему матричным способом. Решение: Решим систему линейных уравнений матричным методом. Обозначим Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.

Номер слайда 8

Т. к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A-1B.

Номер слайда 9

Номер слайда 10

Номер слайда 11

Номер слайда 12

Тогда A-1 = Получим X = A-1B = Ответ: х1 = –1, х2 = 4, х3 = 1.

Номер слайда 13

2)Метод Крамера. Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: где — определитель матрицы системы,  — определитель матрицы системы,

Номер слайда 14

где вместо  -го столбца стоит столбец правых частей. Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.   Решение: Решим систему по формулам Крамера.

Номер слайда 15

D 0, значит, система имеет единственное решение.

Номер слайда 16

Номер слайда 17

Ответ: x1 =  5, x2 =  -1, x3 =  1.

Номер слайда 18

3) Метод Гаусса Метод Гаусса — Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный — методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Номер слайда 19

Пример 3. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна Решение: Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4). 1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.

Номер слайда 20

Номер слайда 21

(привели матрицу (A,B) к матрице ( ), имеющую ступенчатую форму). Итак, Rg(A, B) = Rg( ) = 4, RgA= Rg = 4  RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4)  система имеет единственное решение. Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе.

Номер слайда 22

Номер слайда 23

 решение найдено верно.

Номер слайда 24

е А Р Н В СТВО Н РА Е Л

Номер слайда 25

ЦА Ь Т Р=Т Д НА ОДИН 1 Д Р

Номер слайда 26

ТЬ Е А ТЬ Е 2 1,2 ДВ НАД ЦА ПЛЯ

Номер слайда 27

РТ Ь НА ЦА Р Д Д Ь Т ПЯТ

Номер слайда 28

О С И Л Ч О СИЛАЧ 5,2,1,3, 2кг

Номер слайда 29

2,3,А Д Т о Т С А ТОК Д ЕЛЬ О К ЗА Т В О СТ

Номер слайда 30

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.

(6.1.11.)

Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить соответственно и , то получим три верных равенства (три тождества).

(6.1.12)

— основная матрица системы (2.1)

(6.1.13)

— расширенная матрица (2.1)

; ; (6.1.14)

система (2.1) может быть записана в матричном виде так:

AX=D (6.1.15)

X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:

Предполагая, что матрица A — невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A^-1, получим

–(6.1.16) матричный способ решения системы.

Используя понятие равенства двух матриц, получим

(6. 1.17)

(6.1.18)

(6.1.19)

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. Перестановка местами произвольных двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.

Пример 6. 1.2. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат.

Обратную матрицу находим по формуле .

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника:

Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Составляем матрицу из алгебраических дополнений ( ) и транспонируем ее.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Выполним проверку:

· =

.

·

Получим: A^-1×A=A×A^-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: .

Пример 6.1.3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

.

Решение:

Найдем главный определитель системы

Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители:

Неизвестные находим по формулам Крамера:

; .

Ответ: .

Пример 6.1.4.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

.

Решение.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).

.

Ответ: .

Пример 6.1.5. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .

Решение.

Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0;0;0;0), поэтому нас интересуют другие решения системы.

Применяем метод Гаусса:

.

Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3×4 и 3×5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, — базисные переменные, а — свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса:

.

Решением системы будет множество четверок чисел , где .

Например, (0;2;2;0), (0;-1;-1;0), — решения системы.

Ответ: .

Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.

Пример 6. 1.6. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

; ; ; ; .

Решение.

Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть

.

Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля.

Решаем методом Гаусса:

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали , видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора b в этом базисе

.

Следовательно, или b=(5;0;-1;2) в базисе .

Ответ: .

Узнать еще:

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения СЛАУ:
    Метод Крамера
    Метод обратной матрицы
    Метод Гаусса
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем:
    Метод простой итерации или метод Якоби
    Метод Гаусса – Зейделя

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи ( по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.

Постановка задачи

Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

,

Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:

,

где , , .

A – матрица системы, – вектор правых частей, – вектор неизвестных.

При известных A и требуется найти такие , при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы решения СЛАУ

Метод Крамера

При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:

(i = 1, 2, …, m). Эти формулы позволяют находить неизвестные в виде дробей, знаменателем которых является определитель матрицы системы, а числителем – определители матриц A_i, полученных из A заменой столбца коэффициентов при вычисляемом неизвестном столбцом свободных членов. Так А₁ получается из матрицы А заменой первого столбца на столбец правых частей f.

Например, для системы двух линейных уравнений

Размерность системы (т. е., число m) является главным фактором, из–за которого формулы Крамера не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При непосредственном раскрытии определителей решение системы с m неизвестными требует порядка m!*m арифметических операций. Таким образом, для решения системы, например, из m = 100 уравнений потребуется совершить 10¹⁵⁸ вычислительных операций (процесс займёт примерно 10¹⁹ лет), что не под силу даже самым мощным современным ЭВМ

Метод обратной матрицы

Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица . Тогда решение СЛАУ записывается в виде: . Следовательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы. Проблемы использования этого метода те же, что и при использовании метода Крамера: нахождение обратной матрицы – трудоемкая операция.

Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на и исключим x₁ из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим

.

Если , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

.

Из нее в обратном порядке находим все значения x_i:

.

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁ был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁ из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

В первом уравнении коэффициент при =0, во втором = 1 и в третьем = -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент в третьем уравнении. Поэтому переставим третье и первое уравнение:

Исключим из второго и третьего уравнений с помощью первого. Во втором уравнении исключать не надо. Для исключения из третьего уравнения умножим первое на 0.5 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при в третьем. Поэтому поместим его на место второго:

Исключим из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

Обратный ход: .

Проверка: 0.5*8+0=4, -3+8-0=5, -2*(-3)+0=6.

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы которые являются слабо заполненными, т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Например, метод прогонки, который мы рассмотрим позже при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации или метод Якоби

Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

,

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

(1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или

Условие окончания итерационного процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Пример.

Решить систему линейных уравнений с точностью :

Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

.

Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: , , .

Приводим систему уравнений к виду (1):

.

Начальное приближение . Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

Здесь

,

И т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что произойдет на 13 – ой итерации.

Следовательно, приближенное решение имеет вид:

Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т. е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.

Страница не найдена | MIT

• Образование
• Исследовать
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О MIT
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT

Предложения или отзывы?

(PDF) Сравнение правила Крамера и предлагаемого метода исключения Крамера 2 на 2 для решения систем из трех или более линейных уравнений

Сравнение правила Крамера и предлагаемого метода исключения Крамера 2 × 2

для решения систем трех или более линейных уравнений

DKR Babajee

†

Совет по научным и академическим исследованиям, Союзная сеть по политике, исследованиям и действиям в целях устойчивого развития (ANPRAS), Маврикий

электронная почта: dkrbabajee @ gmail. com

Abstract

Правило Крамера — это 262-летний подход к решению систем из n линейных уравнений от n переменных. Для системы

из 3 линейных уравнений правило Крамера требует вычисления определителей четырех матриц 3 × 3 (9

определителей матриц 2 × 2 или 9 сомножителей). Метод также не работает, когда определитель матрицы коэффициентов

равен нулю.

В этой работе мы предлагаем метод исключения Крамера 2 × 2, который состоит из решения первых двух линейных уравнений

с использованием правила Крамера и получения выражений первой и второй переменных через третью переменную

.Подставляя эти выражения в третье уравнение, мы получаем значение третьей переменной, а затем получаем

решений других переменных. Таким образом, мы сокращаем количество вычислений определителей

до 5.

Мы показываем, что предлагаемый нами метод эквивалентен классическому правилу Крамера для решения общих систем из 3

линейных уравнений, и его можно использовать для решения систем из 3 линейные уравнения, когда определитель матрицы коэффициентов

3 × 3 равен нулю. Мы показываем на примере, как применить метод исключения Крамера 2 × 2 для системы n линейных

уравнений, и показываем его преимущество перед классическим правилом Крамера.

Ключевые слова

Правило Крамера, системы линейных уравнений, Детерминанты, метод исключения Крамера 2 × 2.

1 Правило Крамера для решения систем из n линейных уравнений

Правило Крамера [2] обычно преподается на курсах бакалавриата как ценный инструмент для решения систем линейных уравнений.

Правило Крамерса дает явное выражение для решения системы и, следовательно, является теоретически важным

.Кляйн [6] описал педагогический подход, основанный на правиле Крамера.

Система n линейных уравнений задается следующим образом:

a

1,1

x

1

+ a

1,2

x

2

+ a

1,3

x

3

+ a

1,4

x

4

+ … + a

1, n

x

n

= b

1

, ( 1)

a

2,1

x

1

+ a

2,2

x

2

+ a

2,3

x

3

+ a

2,4

x

4

+. .. + a

2, n

x

n

= b

2

, (2)

a

3,1

x

1

+ a

3, 2

x

2

+ a

3,3

x

3

+ a

3,4

x

4

+ … + a

3, n

x

n

= b

3

, (3)

a

4,1

x

1

+ a

4,2

x

2

+ a

4,3

x

3

+ a

4,4

x

4

+… + a

4, n

x

n

= b

4

, (4)

.

.

.

a

n, 1

x

1

+ a

n, 2

x

2

+ a

n, 3

x

3

+ a

n, 4

x

4

+ … + a

n, n

x

n

= b

n

.(5)

Систему можно записать в матричной форме

Ax = b, (6)

где

A =



















a

1,1

a

1,2

a

1,3

a

1,4

. . . a

1, n

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,4

.. . a

2, n

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,4

. . . a

3, n

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,4

. . . а

4, номер

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

a

n, 1

a

n, 2

a

n, 3

a

n, 4

. . . a

n, n



















, x =



















x

1

x

2

x

3

x

4

.

.

.

x

n



















и b =



















b

1

b

2

b

3

b

4

.

.

.

b

n



















Исключение Гаусса — обзор

1.3.7 Исключение Гаусса или Гаусса

Исключение Гаусса (также известное как Исключение Гаусса ) — широко используемый метод для решения систем линейных уравнений в форме [ K ] { u } = { F }.В операциях с матрицами существует три распространенных типа манипуляций, которые служат для создания новой матрицы, обладающей теми же характеристиками, что и исходная:

1.

Обменять любые две строки.

2.

Умножьте каждую запись в любой строке на ненулевое постоянное значение.

3.

Добавьте значения из каждой записи одной строки к каждой записи другой строки.

Цель использования исключения Гаусса — создать новую матрицу с теми же свойствами, что и исходная [ K ], но в формате, в котором только верхний треугольник имеет ненулевые элементы.Используя предыдущую матрицу 5 × 5 в качестве примера, верхний треугольник состоит из элементов в правом верхнем треугольнике матрицы и включает элементы в правой диагональной строке в виде

[m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55].

Мы достигаем цели исключения Гаусса, правильно применяя одну из трех вышеупомянутых операций за раз. После того, как верхняя треугольная матрица сформирована, мы используем метод обратной подстановки , чтобы сначала найти последнюю переменную.Причина, по которой этот метод называется «обратной заменой», заключается в том, что последняя строка верхней треугольной матрицы должна быть решена первой. Поскольку в последней строке верхней треугольной матрицы есть только один ненулевой элемент, мы можем найти неизвестную переменную простым арифметическим делением, то есть из

[K] {u2v2u3u4v4} = [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m4HF2] {u2V2VF2VF2VF2VF2VF2VF2VF2VF2VF2VF2VF } → v4 = F4Vm55.

Имея значение v ₄ , мы решаем от второй до последней переменной.Поскольку m ₄₄ u ₄ + m ₄₅ v ₄ = F _{4 H} , мы можем решить для u _{4 F4H − m45v4m44. Мы многократно применяем один и тот же набор процедур, пока не будут найдены значения всех переменных.}

Мы будем использовать типичный 64-битный компьютер, чтобы проиллюстрировать критическую проблему при использовании исключения Гаусса. Хорошо известно, что такой компьютер хранит действительное (десятичное) число в формате с плавающей запятой, используя 64 бита: 1 бит для представления знака (плюс или минус), 52 бита для представления числа точных цифр (мантисса), и 11 бит для представления экспоненты. При делении числа на другое очень маленькое число имеющихся цифр в мантиссе может быть недостаточно для поддержания необходимой точности, то есть может возникнуть ошибка округления. При исключении Гаусса точка поворота или позиция поворота — это позиция в строке, которая совпадает с правой диагональной линией. Значения в точках поворота используются в качестве знаменателя при формировании верхней треугольной матрицы. Чтобы исключить ошибки округления, возникающие при делении на очень маленькое число, используется первый тип манипуляции для перемещения строки с очень маленьким числом в точке поворота в другую строку.Это достигается простым перестановкой рядов так, чтобы большие числа располагались в точках поворота. Вторую и третью операции мы используем для получения нулей в левой нижней части матрицы, что необходимо для получения верхней треугольной матрицы.

Модифицированной версией метода исключения Гаусса является метод исключения Гаусса – Жордана. Цель исключения Гаусса – Жордана — получить матрицу, которая имеет правую диагональную линию всех единиц (единиц), а все остальные позиции матрицы содержат нули. Это достигается с помощью тех же трех типов манипуляций с матрицами, которые используются в методе исключения Гаусса. Поскольку квадратная матрица состоит только из единичных значений в диагональных элементах, решения для всех неизвестных становятся легко доступными. Один из недостатков метода Гаусса – Жордана заключается в том, что он более затратный в вычислительном отношении, чем метод исключения Гаусса. Таким образом, он полезен только для решения проблем путем ручного расчета, когда есть небольшое количество одновременных уравнений.Используя метод исключения Гаусса, а не метод Гаусса – Жордана, мы избегаем многих дополнительных шагов. Поскольку метод FE обычно включает большую систему, чаще используется метод исключения Гаусса.

В следующем разделе мы шаг за шагом продемонстрируем процессы в методе исключения Гаусса. Конечно, вместо ручных вычислений следует написать и использовать компьютерную программу. Используя предыдущий пример в качестве отправной точки, уравнение. (1. 68) повторяется ниже.

[K] {u2v2u3u4v4} = 108 [100-50006.6700-6.67-506.44-1.441.9200-1.44400-6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {F2HF2VF3HF4HF4V} = {0002003600). все, кроме первой записи в первом столбце, равны 0. Мы заметили, что третья строка в этом столбце содержит единственное ненулевое значение. Чтобы манипулировать третьей строкой, чтобы сделать ведущее число 0, мы должны умножить существующее число (-5) на такое значение, чтобы добавление результата к первой записи в строке один (10) давало 0. Используя правило два, мы умножаем каждая запись в третьей строке по 2:

108 [100-50006.6700−6.67−10012.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}.

Затем мы добавляем строку 1 к строке 3, но мы не затрагиваем строку 1:

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000 }.

Теперь, когда все значения в первом столбце, кроме первого, равны 0, мы применяем аналогичный процесс ко второму столбцу. Мы хотим, чтобы все значения во втором столбце, кроме второго, равнялись 0, а это означает, что мы должны адресовать −6,67 в последней строке. Его можно изменить на 0, просто добавив значения из строки 2.

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.4440001.9204] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}

Две операции, правила два и три, необходимы для преобразования записи в четвертой строке столбца три на 0. Сначала умножаем четвертую строку на 7,881,44 (обратите внимание, что эта операция также применима к вектору силы):

108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400-7,8821,8,9204] {u2v2u3u4v4} = { 0001.094 × 105−50000},

, а затем добавьте значения из третьей строки к этим результатам, чтобы сформировать новую четвертую строку:

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.84001.9204] {u2v2u3u4v4} = {0001.094 × 105−50000}.

Аналогичным образом мы умножаем пятую строку на -7,881,92, а затем складываем значения из третьей строки, чтобы сформировать новую пятую строку:

108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400019,013,84000-2,88-12,58 ] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1052,052 × 106}.

К настоящему времени должна быть очевидна закономерность: умножение на значение в другой строке и последующее деление на значение в текущей строке дает результат, который можно вычесть из этой другой строки и получить 0.Чтобы еще раз увидеть этот процесс, мы умножаем пятую строку на 19.012.88, затем складываем значения из четвертой строки, чтобы получить новую пятую строку:

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.840000−79.20] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1051,464 × 106}.

Теперь матрица имеет форму верхней треугольной матрицы, что означает, что все значения ниже и слева от правой диагональной линии являются нулями. На этом этапе мы применяем метод обратной замены для определения узловых смещений.

Начнем с последней строки, которая содержит 108 [0000−79.20], и мы умножаем последовательные значения в этой строке на последовательные значения в векторе узлового смещения:

108 ((0) (u2) + (0) (v2) + (0) (u3) + (0) ( u4) + (- 79.20) (v4)) = 1. 464 × 106

Мы можем сделать это проще, признав, что только последнее значение в строке ненулевое, и поэтому v ₄ — это просто последнее значение в вектор силы, деленный на последний элемент в верхней треугольной матрице [ K ]:

v4 = (1,464 × 106) (- 79,2 × 108) = — 1,849 × 10−4

Мы можем использовать v ₄ , чтобы найти u ₄ и т. Д.Ниже приведены расчеты значений узловых смещений в м :

u4 = 1,094 × 105−108 × 3,84 × v419,01 × 108 = 1,804 × 10519,01 × 108 = 0,949 × 10−4,

u3 = 108 × (2,88) × u4−108 × 3,84 × v4108 × 7,88 = 9,837 × 10−47,88 = 1,248 × 10−4,

v2 = 108 × 6,67 × v4108 × 6,67 = −1,849 × 10−4 и

u2 = 108 × 5 × u3108 × 10 = 0,624 × 10−4.

Узловые смещения, рассчитанные с использованием метода MSA или прямого метода жесткости, в точности совпадают с точными решениями проблем, связанных с фермами.Для типов элементов, отличных от фермы или пружины, узловые решения вряд ли будут иметь те же значения, что и точные решения. Простое практическое правило состоит в том, что чем больше элементов используется для представления интересующей структуры, тем точнее результаты будут приближаться к точным решениям. Дополнительные описания для других типов элементов приведены в главе 2.

Исключение Гаусса — обзор

Исключение Гаусса

Наш пример, систему линейных уравнений 3 × 3, можно легко выполнить другими способами, но это используется здесь для понимания процедуры исключения Гаусса.Мы хотим решить

(2.19) 3x + 2y + z = 112x + 3y + z = 13x + y + 4z = 12.

Метод Гаусса заключается в использовании первого уравнения для исключения первого неизвестного, x , из остальных уравнений. Затем (новое) второе уравнение используется для исключения y из последнего уравнения. В общем, мы прорабатываем набор уравнений, а затем, определив одно неизвестное, мы возвращаемся назад, чтобы последовательно решить для каждого из остальных неизвестных.

Удобно начать с деления каждой строки на ее начальный коэффициент, преобразовав уравнение. (2.19) на

(2.20) x + 23 y + 13 z = 113x + 32 y + 12 z = 132x + y + 4z = 12.

(2.21) x + 23 y + 13 z = 11356 y + 16 z = 17613 y +113 г = 253.

(2,22) x + 23 y + 13 z = 113y + 15 z = 175y + 11z = 25.

Повторяя эту технику, мы используем новое второе уравнение, чтобы исключить y из третьего уравнения, которое затем может быть решено относительно z :

(2.23) x + 23 y + 13 z = 113y + 15 z = 175545 z = 1085 → z = 2.

y + 15 × 2 = 175 → y = 3,

x + 23 × 3 + 13 × 2 = 113 → х = 1.

Если бы мы не сохранили правые части системы уравнений, процесс исключения Гаусса просто привел бы исходный определитель в треугольную форму (но обратите внимание, что наши процессы для приведения в единицу главных коэффициентов вызывают соответствующие изменения в значении определитель). В данной задаче исходный определитель

D = | 321231114 |

(2.24) D = (3) (2) (56) (13) | 12313011500545 | = 53 545 = 18.

Определение матричного метода | Chegg.com

Инженерное дело в Alberta Courses »Правило Крамера

Прямые методы: Правило Крамера

Метод

Правило Крамера — один из первых методов решения систем линейных уравнений.Он датируется восемнадцатым веком! Метод работает очень хорошо; однако это неэффективно, когда количество уравнений очень велико. Тем не менее, при нынешних вычислительных возможностях этот метод все еще может быть довольно быстрым. Метод работает с использованием следующих шагов. Сначала вычисляется определитель матрицы. Каждый компонент неизвестных может быть вычислен как:

где — матрица, образованная заменой столбца вектором.

Пример 1

Рассмотрим линейную систему уравнений, определенную как:

.Мы сформируем следующие две матрицы, заменив первый столбец на, а затем второй столбец на:

Определители этих матриц:

Следовательно:

Ниже приведен код, который можно использовать для правила Крамера для двумерной системы уравнений.

 A = {{a11, a12}, {a21, a22}};
AT = транспонировать [A]
b = {b1, b2};
s1 = Отбросить [AT, {1}]
s2 = Отбросить [AT, {2}]
D1T = Вставить [s1, b, 1]
D2T = Вставить [s2, b, 2]
D1 = транспонировать [D1T]
D2 = транспонировать [D2T]
x1 = Det [D1] / Det [A]
x2 = Det [D2] / Det [A]
 

 импорт sympy as sp
a11, a12, a21, a22 = пр.символы ("a11 a12 a21 a22")
A = sp.Matrix ([[a11, a12], [a21, a22]])
print ("A:", A)
AT = A.T
print ("Транспонирование:", AT)
s1 = sp. матрица (AT)
s1.row_del (0)
print ("s1:", s1)
s2 = sp. матрица (AT)
s2.row_del (1)
print ("s2:", s2)
b1, b2 = sp.symbols ("b1 b2")
b = sp.Matrix ([[b1, b2]])
D1T = пространственная матрица (s1)
D1T = D1T.row_insert (0, б)
print ("D1T:", D1T)
D2T = пространственная матрица (s2)
D2T = D2T.row_insert (1, б)
print ("D2T:", D2T)
D1 = D1T.T
print ("D1T Transpose:", D1)
D2 = D2T.T
print ("D2T Transpose:", D2)
x1 = D1.det () / A.det ()
print ("x1:", x1)
х2 = D2.det () / A.det ()
print ("x2:", x2)
 

Пример 2

Рассмотрим линейную систему уравнений, определенную как:

. Мы сформируем следующие три матрицы, заменив соответствующие столбцы на:

Определители этих матриц:

Следовательно:

Следующая процедура применяет правило Крамера к общей системе. Протестируйте процедуру, чтобы увидеть, насколько быстро она выполняется для более высоких измерений.

 Крамер [A_, b_]: = (n = Длина [A];
  Di = Таблица [A, {i, 1, n}];
  Сделайте [Di [[i]] [[All, i]] = b, {i, 1, n}];
  x = Таблица [Det [Di [[i]]] / Det [A], {i, 1, n}])

А = {{1, 2, 3, 5}, {2, 0, 1, 4}, {1, 2, 2, 5}, {4, 3, 2, 2}};
b = {-4, 8, 0, 10};
Крамер [A, b]
 

 импортировать numpy как np
def Крамер (A, b):
  п = len (А)
  Di = [np.array (A) для i в диапазоне (n)]
  для i в диапазоне (n):
    Di [i] [:, i] = b
  return [np.linalg.det (Di [i]) / np.linalg.det (A) для i в диапазоне (n)]
A = [[1, 2, 3, 5], [2, 0, 1, 4], [1, 2, 2, 5], [4, 3, 2, 2]]
b = [-4, 8, 0, 10]
Крамер (А, б)
 

Следующая ссылка предоставляет код MATLAB для реализации правила Крамера.

7.8 Решение систем с помощью правила Крамера — алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Оцените детерминанты 2 × 2.
• Используйте правило Крамера для решения системы уравнений с двумя переменными.
• Оцените детерминанты 3 × 3.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, используя несколько методов: подстановку, сложение, исключение Гаусса, использование обратной матрицы и построение графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку оно имеет множество приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 22 × 2, учитывая

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая det (A) det (A) и замену скобок в матрице прямыми линиями | A |. | A |.

Пример 1

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

Решение

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году в «Введении к анализу альгебриков Курб».Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных, при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует. Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой. Скажите, что мы хотим найти x.x. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный yy в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент yy в уравнении (2), и мы складываем два уравнения, переменная yy будет устранено.

Теперь, решить для xx

Аналогичным образом, чтобы найти y, y, мы исключим x.Икс.

Решение для уу дает

Обратите внимание, что знаменатель для xx и yy является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для определения xx и y, y, но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• D: D: определитель матрицы коэффициентов
• Dx: Dx: определитель числителя в решении xx
• Dy: Dy: определитель числителя в решении yy

Ключ к правилу Крамера заключается в замене интересующего столбца переменных на столбец констант и вычислении детерминантов. Затем мы можем выразить xx и yy как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера — это метод, который использует детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение, использующее правило Крамера, дается как

Если мы решаем для x, x, столбец xx заменяется столбцом констант. Если мы решаем y, y, столбец yy заменяется столбцом констант.

Пример 2

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему 2 × 22 × 2, используя правило Крамера.

Решение

Решить относительно x.x.

Решить относительно y.у.

Решение: (2, −3). (2, −3).

Попробуй # 1

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Нахождение определителя матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5.Затем мы вычисляем сумму произведений записей на по каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведение записей на по каждой из трех диагоналей (от нижнего левого угла к верхнему правому). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

1. Дополните AA первыми двумя столбцами. det (A) = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 | a1a2a3b1b2b3 | det (A) = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 | a1a2a3b1b2b3 |
2. С верхнего левого угла в нижний правый: умножение значений по первой диагонали.Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. От левого нижнего угла до правого верхнего: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

Пример 3

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по заданному

A = [0213-11401] A = [0213-11401]

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

| A | = | 0213−11401 | 0342−10 | = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 ( 1) (0) −1 (3) (2) = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 = 6 | A | = | 0213−11401 | 0342−10 | = 0 (−1) (1) + 2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) = 0 + 8 + 0 + 4−0 −6 = 6

Попробуй # 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det (A) = | 1−371111−23 | det (A) = | 1−371111−23 |

Вопросы и ответы

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 22 × 2 и 3 × 33 × 3.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

x = DxD, y = DyD, z = DzD, D ≠ 0x = DxD, y = DyD, z = DzD, D ≠ 0

где

Если мы записываем определитель Dx, Dx, мы заменяем столбец xx столбцом констант. Если мы пишем определитель Dy, Dy, мы заменяем столбец yy постоянным столбцом.Если мы пишем определитель Dz, Dz, мы заменяем столбец zz постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4

Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

x + y − z = 63x − 2y + z = −5x + 3y − 2z = 14x + y − z = 63x − 2y + z = −5x + 3y − 2z = 14

Решение

Используйте правило Крамера.

D = | 11−13−2113−2 |, Dx = | 61−1−5−21143−2 |, Dy = | 16−13−51114−2 |, Dz = | 1163−2−51314 | D = | 11−13−2113−2 |, Dx = | 61−1−5−21143−2 |, Dy = | 16−13−51114−2 |, Dz = | 1163−2−51314 |

Затем,

x = DxD = −3−3 = 1y = DyD = −9−3 = 3z = DzD = 6−3 = −2x = DxD = −3−3 = 1y = DyD = −9−3 = 3z = DzD = 6 −3 = −2

Решение — (1,3, −2).(1,3, −2).

Попробуй # 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x − 3y + 7z = 13x + y + z = 1x − 2y + 3z = 4x − 3y + 7z = 13x + y + z = 1x − 2y + 3z = 4

Пример 5

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

3x − 2y = 4 (1) 6x − 4y = 0 (2) 3x − 2y = 4 (1) 6x − 4y = 0 (2)

Решение

Начнем с нахождения определителей D, Dx и Dy.D, Dx и Dy.

D = | 3−26−4 | = 3 (−4) −6 (−2) = 0 D = | 3−26−4 | = 3 (−4) −6 (−2) = 0

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений.Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножим уравнение (1) на −2. − 2.
2. Добавьте результат к уравнению (2). (2).

−6x + 4y = −86x − 4y = 0 _______________ 0 = −8−6x + 4y = −86x − 4y = 0 _______________ 0 = −8

Мы получаем уравнение 0 = −8,0 = −8, что неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. Рисунок 1.

Рисунок 1

Пример 6

Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

x − 2y + 3z = 0 (1) 3x + y − 2z = 0 (2) 2x − 4y + 6z = 0 (3) x − 2y + 3z = 0 (1) 3x + y − 2z = 0 (2) 2x − 4y + 6z = 0 (3)

Решение

Давайте сначала найдем определитель. Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

| 1−2331−22−46 | 1−2312−4 || 1−2331−22−46 | 1−2312−4 |

Затем,

1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) — (- 4) (- 2) (1) −6 (3) (- 2) = 01 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) — (- 4) ( −2) (1) −6 (3) (- 2) = 0

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (1) на −2-2 и прибавьте результат к уравнению (3): −2x + 4y − 6z = 02x − 4y + 6z = 00 = 0−2x + 4y − 6z = 02x − 4y + 6z = 00 = 0
2. Получение ответа 0 = 0,0 = 0, утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой. См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей.Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства детерминантов

1. Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
4. Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
5. Определитель обратной матрицы A − 1A − 1 является обратной величиной определителю матрицы A.A.
6. Если любая строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример 7

Иллюстрация свойств детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

A = [12302100−1] A = [12302100−1]

Дополните AA первыми двумя столбцами.

A = [12302100−1 | 100220] A = [12302100−1 | 100220]

Затем

det (A) = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) −0 (2) (3) −0 (1) (1) +1 (0) (2) = — 2det (A) = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) −0 (2) (3) −0 (1) (1) +1 (0) (2) = — 2

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

A = [- 154−3], det (A) = (- 1) (- 3) — (4) (5) = 3−20 = −17B = [4−3−15], det (B) = (4) (5) — (- 1) (- 3) = 20−3 = 17A = [- 154−3], det (A) = (- 1) (- 3) — (4) (5) = 3−20 = −17B = [4−3−15], det (B) = (4) (5) — (- 1) (- 3) = 20−3 = 17

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

A = [122222−122 | 12−1 222] det (A) = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) −2 (2) (1) −2 (2) (2) = 4−4 + 8 + 4−4−8 = 0A = [122222−122 | 12−1 222] det (A) = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) −2 (2) (1) −2 (2) (2) = 4−4 + 8 + 4−4−8 = 0

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

A = [1200], det (A) = 1 (0) −2 (0) = 0 A = [1200], det (A) = 1 (0) −2 (0) = 0

Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы A − 1A − 1 является обратной величиной определителю A.A. Таким образом,

A = [1234], det (A) = 1 (4) −3 (2) = — 2A − 1 = [- 2132−12], det (A − 1) = — 2 (−12) — (32) (1) = — 12A = [1234], det (A) = 1 (4) −3 (2) = — 2A − 1 = [- 2132−12], det (A − 1) = — 2 (−12) — (32) (1) = — 12

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.Таким образом,

A = [1234], det (A) = 1 (4) −2 (3) = — 2B = [2 (1) 2 (2) 34], det (B) = 2 (4) −3 (4) = −4A = [1234], det (A) = 1 (4) −2 (3) = — 2B = [2 (1) 2 (2) 34], det (B) = 2 (4) −3 ( 4) = — 4

Пример 8

Использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

2x + 4y + 4z = 2 (1) 3x + 7y + 7z = −5 (2) x + 2y + 2z = 4 (3) 2x + 4y + 4z = 2 (1) 3x + 7y + 7z = −5 (2) х + 2у + 2z = 4 (3)

Решение

Используя правило Крамера, получаем

D = | 244377122 | D = | 244377122 |

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны.Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и прибавьте результат к уравнению (1). −2x − 4y − 4x = −8 2x + 4y + 4z = 20 = −6−2x − 4y − 4x = −8 2x + 4y + 4z = 20 = −6

Получение противоречивого утверждения означает, что у системы нет решения.

7.8 Упражнения по разделам

Устные

1.

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

2.

Исследуя правило Крамера, объясните, почему не существует единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу 2 × 22 × 2.

3.

Объясните, что в терминах обратного значения для матрицы означает наличие определителя 0.

4.

Определитель матрицы AA 2 × 22 × 2 равен 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

Алгебраический

Найдите определитель для следующих упражнений.

13.

| −2-33,14,000 || −2-33,14,000 |

14.

| −1.10.67.2−0.5 || −1.10.67.2−0.5 |

15.

| −10001000−3 || −10001000−3 |

16.

| −14002300−3 || −14002300−3 |

18.

| 2−313−41−561 || 2−313−41−561 |

19.

| −214−42−82−8−3 || −214−42−82−8−3 |

20.

| 6−12−4−3519−1 || 6−12−4−3519−1 |

21.

| 51−12313−6−3 || 51−12313−6−3 |

22.

| 1,12−1−4004,1−0,42,5 || 1,12−1−4004,1−0,42,5 |

23.

| 2−1.63.11.13−8−9.302 || 2−1.63.11.13−8−9.302 |

24.

| −12131415−16170018 || −12131415−16170018 |

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

25.

2x − 3y = −14x + 5y = 92x − 3y = −14x + 5y = 9

26.

5x − 4y = 2−4x + 7y = 65x − 4y = 2−4x + 7y = 6

27.

6x − 3y = 2−8x + 9y = −16x − 3y = 2−8x + 9y = −1

28.

2x + 6y = 125x − 2y = 132x + 6y = 125x − 2y = 13

29.

4x + 3y = 232x − y = −14x + 3y = 232x − y = −1

30.

10x − 6y = 2−5x + 8y = −110x − 6y = 2−5x + 8y = −1

31.

4x − 3y = −32x + 6y = −44x − 3y = −32x + 6y = −4

32.

4x − 5y = 7−3x + 9y = 04x − 5y = 7−3x + 9y = 0

33.

4x + 10y = 180−3x − 5y = −1054x + 10y = 180−3x − 5y = −105

34.

8x − 2y = −3−4x + 6y = 48x − 2y = −3−4x + 6y = 4

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

35.

x + 2y − 4z = −17x + 3y + 5z = 26−2x − 6y + 7z = −6x + 2y − 4z = −17x + 3y + 5z = 26−2x − 6y + 7z = −6

36.

−5x + 2y − 4z = −474x − 3y − z = −943x − 3y + 2z = 94−5x + 2y − 4z = −474x − 3y − z = −943x − 3y + 2z = 94

37.

4x + 5y − z = −7−2x − 9y + 2z = 85y + 7z = 214x + 5y − z = −7−2x − 9y + 2z = 85y + 7z = 21

38.

4x − 3y + 4z = 105x − 2z = −23x + 2y − 5z = −94x − 3y + 4z = 105x − 2z = −23x + 2y − 5z = −9

39.

4x − 2y + 3z = 6−6x + y = −22x + 7y + 8z = 244x − 2y + 3z = 6−6x + y = −22x + 7y + 8z = 24

40.

5x + 2y − z = 1−7x − 8y + 3z = 1,56x − 12y + z = 75x + 2y − z = 1−7x − 8y + 3z = 1,56x − 12y + z = 7

41.

13x − 17y + 16z = 73−11x + 15y + 17z = 6146x + 10y − 30z = −1813x − 17y + 16z = 73−11x + 15y + 17z = 6146x + 10y − 30z = −18

42.

−4x − 3y − 8z = −72x − 9y + 5z = 0,55x − 6y − 5z = −2−4x − 3y − 8z = −72x − 9y + 5z = 0.55x − 6y − 5z = −2

43.

4x − 6y + 8z = 10−2x + 3y − 4z = −5x + y + z = 14x − 6y + 8z = 10−2x + 3y − 4z = −5x + y + z = 1

44.

4x − 6y + 8z = 10−2x + 3y − 4z = −512x + 18y − 24z = −304x − 6y + 8z = 10−2x + 3y − 4z = −512x + 18y − 24z = −30

Технологии

Для следующих упражнений используйте детерминантную функцию в графической утилите.

45.

| 108

10300243 || 108

10300243 |

46. ​​

| 10210−

−2−1011−2 || 10210−

−2−1011−2 |

47.

| 1217401210050022,0000002 || 1217401210050022,0000002 |

48.

| 1000230045607890 || 1000230045607890 |

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислите определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, найдите уникальное решение.

49.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

50.

Два числа в сумме дают 104. Если вы сложите два раза первое число плюс два раза второе число, ваша сумма составит 208

. 51.

Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго. Третье число на 4 больше, чем первое.

52.

Три числа добавляют к 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше, чем первые два числа вместе взятые.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

53.

Вы вкладываете 10 000 долларов в два счета, которые получают 8% годовых и 5% годовых.В конце года на ваших комбинированных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждую учетную запись?

54.

Вы вкладываете 80 000 долларов в два счета, 22 000 долларов в один счет и 58 000 долларов в другой. В конце года, если исходить из простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Какие процентные ставки по вашим счетам?

55.

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов.Если детские билеты стоят 5,95 долларов, взрослые — 11,15 долларов, а общая сумма дохода составила 12 756 долларов, сколько билетов для детей и взрослых было продано?

56.

В концертном зале продаются одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов и был продан 321 билет, сколько разовых билетов и сколько билетов для пар было продано?

57.

Вы решили покрасить свою кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски.Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета было добавлено в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

58.

Вы продали на фермерском рынке шарфы двух типов и хотите знать, какой из них наиболее популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый платок стоил 10 долларов, а фиолетовый — 11 долларов.Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых и фиолетовых шарфов было продано?

59.

В вашем саду выращивали два вида помидоров: зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый — 4 унции. У вас 30 помидоров, а общий вес составляет 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

60.

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, у которой на 5% больше продаж, чем у лука.Какую долю занимает каждый овощ на рынке?

61.

На этом же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества проданных фруктов. Клубника продается вдвое больше, чем апельсины, а киви продаются на один процентный пункт больше, чем апельсины. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

62.

Три ансамбля выступили на концертной площадке. Первый диапазон взимал 15 долларов за билет, второй диапазон — 45 долларов за билет, а последний диапазон — 22 доллара за билет.Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 человек больше аудитории, чем у второй, сколько билетов было продано каждой группе?

63.

В кинотеатре продаются билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Всего было продано 642 билета, общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

64.

В прошлом году мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет составляли 78% заключенных. В этом году эти же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до 3434 от их предыдущего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 2% больше заключенных, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процентную долю заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

65.

В женской тюрьме по дороге общее количество заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5 525 человек.В этом году возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30–39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40–49 лет увеличилась вдвое. Сейчас в тюрьме 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет их было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает сделать смесь из миндаля, сушеной клюквы и кешью в шоколаде. Информация о питательной ценности этих продуктов представлена ​​в таблице 1.

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0,02	0	8
кешью (10)	7	3,5	5.5

Таблица 1

66.

Для специальной «низкоуглеводной» смеси для трейлов имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов — 425 г, а общее количество жиров — 570,2 г. Если кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько каждого из них входит в состав смеси?

67.

Для «походной» смеси в смеси 1000 штук, содержащих 390,8 г жира и 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько и кешью, сколько каждого из них входит в состав смеси?

68.

Для смеси «усилитель энергии» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью, вместе взятых, эквивалентно количеству клюквы, сколько каждого элемента находится в следовой смеси?

.