Матрицы равные: Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

Мы можем решать простые уравнения, используя концепцию эквивалентных матриц. Проверьте матрицы $ 2 $ ниже:

$ M = \ begin {pmatrix} 5 & {- 2} \\ x & 3 \ end {pmatrix} $

$ N = \ begin {pmatrix} 5 & y \\ 6 & 3 \ end {pmatrix} $

Если $ M = N $, можете ли вы найти значения для $ x $ и $ y $?

Поскольку матрица M равна (эквивалентна) матрице N, все соответствующие элементы одинаковы.

Чтобы найти $ x $, мы можем отметить, что:

$ M_ {2 1} = N_ {2 1} $

Таким образом, $ x = 6 $.

Чтобы решить для $ y $, мы можем отметить, что:

$ N_ {1 2} = M_ {1 2} $

Таким образом, $ y = {- 2} $.

Это показало, как мы можем приравнять соответствующие элементы для решения для отдельных переменных, когда две матрицы заданы как равные. Мы можем расширить эту идею и для решения сложных линейных уравнений.

Резюме

Подведем итог тому, что мы узнали:

• Эквивалентные матрицы — это матрицы, размер (или порядок) которых одинаков и соответствующие элементы внутри матриц равны.
• Условия $ 3 $ должны быть выполнены, чтобы две матрицы были эквивалентны друг другу.
  • Количество строк в каждой матрице должно быть одинаковым
  • Количество столбцов каждой матрицы должно быть одинаковым
  • Соответствующие элементы каждой матрицы должны быть равны
• Когда нам даны 2 матрицы с неизвестными, мы может приравнять соответствующие элементы в обеих матрицах, чтобы найти единственную переменную, или сформировать уравнение, а затем решить неизвестное.

Ниже мы покажем несколько примеров для пояснения концепции эквивалентных матриц и решения простых и сложных линейных уравнений с использованием эквивалентных матриц.

Учитывая приведенные ниже матрицы $ 7 $, ответьте на истинных / ложных вопросов:

$ A = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 6 & {- 3 } \ end {pmatrix} $

$ B = \ begin {pmatrix} 5 & {- 6} & 0 \\ {- 2} & {6} & 9 \ end {pmatrix} $

$ C = \ begin {pmatrix} 11 & {- 5} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & 3 \ end {pmatrix} $

$ D = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \\ g & h \ end {pmatrix} $

$ E = \ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 6 & {- 3} \ end {pmatrix} $

$ F = \ begin {pmatrix} 11 & 12 & 0 \\ {- 5} & {- 3} & {- 9} \\ 1 & 1 & 3 \ end {pmatrix} $

$ G = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & c \\ g & h \ end {pmatrix} $

1. Верно / Ложно Матрица $ A $ = Матрица $ G $
2. Верно / Неверно Матрица $ B $ = Матрица $ F $
3. Верно / Неверно Матрица $ D $ = Матрица $ G $
4. Верно / Ложно Матрица $ A $ = Матрица $ E $
5. Верно / Ложно Матрица $ C $ = Матрица $ F $

Решение

Для двух матриц, равных (или эквивалентных) , должны быть выполнены следующие условия $ 3 $:

• Количество строк в каждой матрице должно быть одинаковым
• Количество столбцов каждой матрицы должно быть одинаковым
• Соответствующие элементы каждой матрицы должны быть равны

1. Просто взглянув на это, мы можем сказать, что матрицы не равны.Столбец {rd} $ отличается.
   $ D_ {3 3} = f $
   $ G_ {3 3} = c $
   Итак, матрицы не равны.
   Ложь.
2. Эти две матрицы, $ A $ и $ E $, фактически эквивалентны. Условия $ 3 $ выполнены. Оба имеют 2 строки и 2 столбца. Все соответствующие элементы в каждой матрице равны.
   Верно.
3. Каждая матрица состоит из 3 $ строк и 3 $ столбцов. Элементы такие же. НО строк и столбцов обмениваются ! Все 9 элементов одинаковы, но соответствующих элементов — нет! Таким образом, нельзя сказать, что Matrix $ C $ и Matrix $ F $ эквивалентны.
   Ложь.

Для данной матрицы $ T $ = Matrix $ S $ вычислите значения $ x $ и $ y $.
$ T = \ begin {bmatrix} 11 & {2 + x} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & 3 \ end {bmatrix} $

$ S = \ begin {bmatrix} 11 & {- 5} & 1 \\ 12 & {- 3} & 1 \\ {0} & {- 9} & {2y — 3} \ end {bmatrix} $

Решение

Как Matrix $ T $, так и Matrix $ S $ являются матрицами размером $ 3 \ times 3 $.

Мы знаем, что в эквивалентных матрицах соответствующие записи равны.

В матрице $ T $, $ T_ {12} = 2 + x $.
В матрице $ S $, $ S_ {12} = -5 $.

Мы можем приравнять обе записи и узнать значение $ x $. Показано ниже:

$ 2 + x = -5 $
$ x = -5-2 $
$ x = -7 $

Сейчас,

В матрице $ S $, $ T_ {33} = 2y — 3 $.
В матрице $ T $, $ S_ {33} = 3 $.

Мы можем приравнять обе записи и узнать значение $ y $. Показано ниже:

$ 2y — 3 = 3 $ 90 247 $ 2y = 6 $ 90 247 $ y = 3 $

1. Для матриц от $ A $ до $ E $ укажите, какая пара матриц эквивалентны друг другу.
   $ A = \ begin {bmatrix} -2 & 6 \\ 12 & 5 \\ -3 & 7 \ end {bmatrix} $
   $ B = \ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -8 \ end {bmatrix} $
   $ C = \ begin {bmatrix} -2 & 4 \\ 13 & 5 \\ -3 & 5 \ end {bmatrix} $
   $ D = \ begin {bmatrix} -2 & 6 \\ 12 & 5 \\ -3 & 7 \ end {bmatrix} $
   $ E = \ begin {bmatrix} 0 & 6 \\ 5 & -8 \ end {bmatrix} $
2. Заданная матрица $ J $ = Матрица $ K $ , вычислите значения $ a $ и $ b $.
   $ J = \ begin {bmatrix} 11 & 3 & {4a-b} \\ 1 & {- 1} & 1 \\ {0} & {- 3} & -7 \ end {bmatrix} $

   $ K = \ begin {bmatrix} 11 & 3 & 7 \\ 1 & {- 1} & 1 \\ {0} & {-3} & {-a + 2b} \ end {bmatrix} $

1. Внимательно глядя на 5 матриц, мы можем сделать следующие наблюдения:
   • Обе матрицы $ A $ и $ D $ эквивалентны друг другу.Обе они представляют собой матрицы размером $ 3 \ times 2 $, в которых каждая соответствующая запись равна друг другу.
   • Матрицы $ B $ и $ E $ являются матрицами размером $ 2 \ times 2 $. Некоторые из соответствующих им записей равны, но не все. Хотя они выглядят одинаково, это не так!
   • Матрица $ C $ выглядит как матрица $ A $, но при внимательном наблюдении мы можем сделать вывод, что они не равны.
2. Как Matrix $ J $, так и Matrix $ K $ являются матрицами размером $ 3 \ times 3 $.

   Мы знаем, что в эквивалентных матрицах соответствующие элементы равны.

   В матрице $ J $, $ J_ {13} = 4a-b $.
   В матрице $ K $, $ K_ {13} = 7 $.

   Приравнивая, мы можем написать:

   $ 4a — b = 7 $

   Также

   В матрице $ J $, $ T_ {33} = -7 $.
   В матрице $ K $, $ S_ {13} = -a + 2b $.

   Приравнивая, мы можем написать:

   $ -a + 2b = -7 $

   Эти 2 уравнения могут быть решены одновременно, чтобы получить значения $ a $ и $ b $.
   После решения получаем:

   $ a = 1 $ и $ b = -3 $.

Операции с матрицами

Что касается линейной алгебры, две наиболее важные операции с векторами — это сложение векторов [сложение двух (или более) векторов] и скалярное умножение (умножение вектора на скаляр).Аналогичные операции определены для матриц.

Матрица сложения . Если A и B являются матрицами одного размера , то их можно складывать. (Это похоже на ограничение на добавление векторов, а именно, можно добавить только векторы из того же пространства R ⁿ ; вы не можете добавить, например, 2-вектор к 3-вектору.) Если A = [ a _ij ] и B = [ b _ij ] — это обе матрицы размером m x n , тогда их сумма, C = A + B , также является матрицей m x n , и ее элементы задаются формулой

Таким образом, чтобы найти записи A + B , просто добавьте соответствующие записи A и B .

Пример 1 : Рассмотрим следующие матрицы:

Какие два можно добавить? Какова их сумма?

Поскольку можно складывать только матрицы одного размера, определяется только сумма F + H ( G не может быть добавлен ни к F , ни к H ). Сумма F и H составляет

Так как сложение действительных чисел коммутативно, отсюда следует, что сложение матриц (если оно определено) также коммутативно; то есть для любых матриц A и B одинакового размера, A + B всегда будет равняться B + A .

Пример 2 : Если какая-либо матрица A добавлена ​​к нулевой матрице того же размера, результат явно будет равен A :

Это матричный аналог утверждения a + 0 = 0 + a = a , который выражает тот факт, что число 0 является аддитивным тождеством в наборе действительных чисел.

Пример 3 : Найдите матрицу B такую, что A + B = C , где

Если

, то матричное уравнение A + B = C становится

Поскольку две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, из этого последнего уравнения следует

Следовательно,

Этот пример мотивирует определение вычитания матрицы : Если A и B являются матрицами одинакового размера, то элементы A — B находятся путем простого вычитания элементов B из соответствующие записи A .Поскольку уравнение A + B = C эквивалентно B = C — A , использование вычитания матрицы выше даст тот же результат:

Скалярное умножение . Матрицу можно умножить на скаляр следующим образом. Если A = [ a _ij ] — матрица, а k — скаляр, то

То есть матрица kA получается путем умножения каждой записи A на k .

Пример 4 : Если

, то скалярное кратное 2 A получается путем умножения каждой записи A на 2:

Пример 5 : Если A и B — матрицы одного размера, то A — B = A + (- B ), где — B — скалярное кратное (-1) В . Если

, затем

Это определение вычитания матрицы согласуется с определением, проиллюстрированным в Примере 8.

Пример 6 : Если

, затем

Умножение матриц . Безусловно, наиболее важной операцией, связанной с матрицами, является умножение матрицы на , процесс умножения одной матрицы на другую. Первый шаг в определении умножения матриц — вспомнить определение скалярного произведения двух векторов. Пусть r и c будут двумя векторами n ‐. Записывая r как матрицу-строку 1 x n и c как матрицу столбца n x 1, скалярное произведение r и c равно

Обратите внимание, что для определения скалярного произведения r и c оба должны содержать одинаковое количество записей.Кроме того, здесь важен порядок, в котором эти матрицы записаны в этом продукте: вектор-строка идет первым, вектор-столбец — вторым.

Теперь последний шаг: как умножаются две общие матрицы? Во-первых, чтобы сформировать продукт AB, количество столбцов A должно соответствовать количеству строк B ; если это условие не выполняется, то продукт AB не определен. Этот критерий следует из указанного выше ограничения на умножение матрицы строк r на матрицу столбцов c , а именно, что количество записей в r должно соответствовать количеству записей в c .Если A составляет м x n и B составляет n x p , то продукт AB определен, и размер матрицы продукта AB будет m x с. . Следующая диаграмма помогает определить, определен ли матричный продукт, и если да, то размеры продукта:

Думая о m x n матрице A как составленной из векторов строк r ₁ , r ₂ ,…, r _m от R ⁿ и матрица n x p B , составленная из векторов-столбцов c ₁ , c ₂ ,…, c _p от R ⁿ ,

и

правило вычисления элементов матричного произведения AB : r _i · c _j = ( AB ) _ij , то есть

Пример 7 : Учитывая две матрицы

определяет, какой матричный продукт, AB или BA , определен, и оценивает его.

Поскольку A составляет 2 x 3, а B — 3 x 4, продукт AB в этом порядке определяется, и размер матрицы продукта AB будет 2 x 4. Продукт BA — это , а не , поскольку первый фактор ( B ) имеет 4 столбца, а второй фактор ( A ) имеет только 2 строки. Количество столбцов первой матрицы должно соответствовать количеству строк второй матрицы, чтобы их произведение было определено.

Взяв скалярное произведение строки 1 в A и столбца 1 в B дает запись (1, 1) в AB . С

запись (1, 1) в AB — 1:

Скалярное произведение строки 1 в A и столбца 2 в B дает запись (1, 2) в AB ,

и скалярное произведение строки 1 в A и столбце 3 в B дает запись (1, 3) в AB :

Первая строка произведения завершается скалярным произведением строки 1 в A и столбца 4 в B , что дает запись (1, 4) в AB :

Теперь для второй строки AB : скалярное произведение строки 2 в A и столбца 1 в B дает запись (2, 1) в AB ,

и скалярное произведение строки 2 в A и столбце 2 в B дает запись (2, 2) в AB :

Наконец, взяв скалярное произведение строки 2 в A со столбцами 3 и 4 в B дает (соответственно) записи (2, 3) и (2, 4) в AB :

Следовательно,

Пример 8 : Если

и

вычислить (3, 5) запись продукта CD .

Во-первых, обратите внимание, что, поскольку C составляет 4 x 5, а D составляет 5 x 6, продукт CD действительно определен, и его размер равен 4 x 6. Однако нет необходимости вычислять все двадцать‐ четыре записи CD , если требуется только одна конкретная запись. Запись (3, 5) CD является скалярным произведением строки 3 в C и столбца 5 в D :

Пример 9 : Если

убедитесь, что

но

В частности, обратите внимание, что хотя оба продукта AB и BA определены, AB не равно BA ; действительно, они даже не одного размера!

Предыдущий пример иллюстрирует, возможно, самое важное различие между умножением скаляров и умножением матриц.Для действительных чисел a и b всегда выполняется уравнение ab = ba , то есть умножение действительных чисел коммутативно; порядок, в котором написаны коэффициенты, не имеет значения. Однако категорически неверно, что умножение матриц коммутативно. Для матриц A и B , приведенных в Примере 9, были определены оба продукта AB и BA , но они определенно не были идентичными. Фактически, матрица AB была 2 x 2, а матрица BA была 3 x 3.Вот еще одна иллюстрация некоммутативности умножения матриц: Рассмотрим матрицы

Поскольку C — 3 x 2, а D — 2 x 2, продукт CD определен, его размер 3 x 2 и

Продукт DC , однако, не определен, поскольку количество столбцов D (то есть 2) не равно количеству строк C (которое равно 3). Следовательно, CD ≠ DC , поскольку DC даже не существует.

Из-за чувствительности к порядку записи коэффициентов обычно не говорят просто: «Умножьте матрицы A и B ». Обычно важно указать, какая матрица идет первой, а какая — второй в продукте. По этой причине выражение «Умножить A справа на B » означает образовать произведение AB , а «Умножить A слева на B » означает образовать произведение BA .

Пример 10 : Если

и x — это вектор (−2, 3), покажите, как A можно умножить справа на x , и вычислите произведение.

Поскольку A равно 2 x 2, чтобы умножить A справа на матрицу, эта матрица должна иметь 2 строки. Следовательно, если x записано как 2 x 1 столбец , матрица

, то можно вычислить произведение A x , и в результате получится еще одна матрица столбца 2 x 1:

Пример 11 : Рассмотрим матрицы

Если A умножить справа на B , получится

, но если A умножить слева на B , то получится

Обратите внимание, что оба продукта определены и имеют одинаковый размер, но не равны.

Пример 12 : Если A и B представляют собой квадратные матрицы, такие, что AB = BA , то A и B говорят, что коммутируют . Покажите, что любые две квадратные диагональные матрицы порядка 2 коммутируют.

Пусть

— две произвольные диагональные матрицы 2 x 2. Тогда

и

Начиная с a ₁₁ b ₁₁ = b ₁₁ a ₁₁ и a ₂₂ b ₂₂ = b ₂₂ a ₂₂ , AB действительно равно BA , как и нужно.

Хотя матричное умножение обычно не коммутативно, оно иногда коммутативно; например, если

, затем

Несмотря на подобные примеры, необходимо указать, что в целом умножение матриц не является коммутативным .

Есть еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц. Если a и b — действительные числа, тогда уравнение ab = 0 означает, что a = 0 или b = 0.То есть, единственный способ, при котором произведение действительных чисел может быть равным 0, — это если хотя бы один из множителей сам равен 0. Аналогичное утверждение для матриц, однако, неверно. Например, если

, затем

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что ни G , ни H не являются нулевой матрицей, произведение GH является.

Еще одним отличием умножения скаляров от умножения матриц является отсутствие общего закона сокращения для умножения матриц.Если a, b и c — действительные числа с a ≠ 0, то, отбрасывая множитель a , уравнение ab = ac подразумевает b = c . Для умножения матриц такого закона не существует; то есть утверждение AB = AC не означает , а не , подразумевает B = C , даже если A не равно нулю. Например, если

, затем оба

и

Таким образом, даже если AB = AC и A не является нулевой матрицей, B не равно C .

Пример 13 : Хотя умножение матриц не всегда коммутативно, всегда ассоциативно . То есть, если A, B и C являются любыми тремя матрицами, такими, что продукт (AB) C определен, то продукт A (BC) также определен, и

То есть, пока порядок факторов не меняется, то, как они сгруппированы не имеет значения.

Проверить ассоциативный закон для матриц

Первый, с

продукт (AB) C

Сейчас, с

продукт A (BC) это

Следовательно, (AB) C = A (BC) , как и ожидалось.Обратите внимание, что ассоциативный закон подразумевает, что произведение A, B и C (в таком порядке) может быть записано просто как ABC ; круглые скобки не нужны, чтобы разрешить двусмысленность, потому что нет двусмысленности.

Пример 14 : Для матриц

проверьте уравнение ( AB ) ^T = B ^T A ^T .

Первая,

означает

Сейчас, с

B ^T A ^T действительно равно ( AB ) ^T .Фактически, уравнение

справедливо для любых двух матриц , для которых определено произведение AB . Это говорит о том, что если продукт AB определен, то транспонирование продукта равно произведению перемещений в обратном порядке .

Матрицы идентичности . Нулевая матрица 0 _{m x n} играет роль аддитивной идентичности в наборе матриц m x n точно так же, как число 0 в наборе действительных чисел (вспомните пример 7).То есть, если A является матрицей m x n и 0 = 0 _{m x n} , то

Это матричный аналог утверждения, что для любого действительного числа a ,

Имея в руках аддитивную идентичность, вы можете спросить: «А как насчет мультипликативной идентичности ?» В наборе действительных чисел мультипликативным тождеством является число 1, так как

Есть ли матрица, которая играет эту роль ? Рассмотрим матрицы

и убедитесь, что

и

Таким образом, AI = IA = A .Фактически, легко показать, что для этой матрицы I оба продукта AI и IA будут равны A для любой 2 x 2 матрицы A . Следовательно,

— мультипликативная единица в наборе матриц 2 x 2. Аналогично матрица

— мультипликативная единица в наборе матриц 3 x 3 и так далее. (Обратите внимание, что I ₃ — это матрица [δ _ij ] _{3 x 3} .) В общем случае матрица I _n — диагональная матрица nxn с каждым диагональным элементом, равным 1 — называется единичной матрицей порядка n и служит мультипликативной единицей в наборе всех Матрицы nxn .

Есть ли мультипликативное тождество в наборе всех матриц m x n , если m ≠ n ? Для любой матрицы A в M _mxn ( R ) матрица I _m является левым тождеством ( I _m A = A ) и I _n — это правый идентификатор ( AI _n = A ).Таким образом, в отличие от набора матриц n x n , набор неквадратных матриц m x n не обладает двухсторонней идентичностью qunique , потому что I _m ≠ I _n , если m ≠ n .

Пример 15 : Если A представляет собой квадратную матрицу, то A ² обозначает продукт AA, A ³ обозначает продукт AAA и т. Д. Если A — это матрица

показывают, что A ³ = — A .

Расчет

показывает, что A ² = — I . Умножение обеих частей этого уравнения на A дает A ³ = — A , как и нужно. [Техническое примечание: можно показать, что в определенном точном смысле набор матриц вида

, где a и b — действительные числа, структурно идентичен набору из комплексных чисел a + bi .Поскольку матрица A в этом примере имеет такой вид (с a = 0 и b = 1), A соответствует комплексному числу 0 + 1 i = i , а аналог матричное уравнение A ² = — I , полученное выше, равно i ² = -1, уравнение, которое определяет мнимую единицу, i .]

Пример 16 : Найдите недиагональную матрицу, которая коммутирует с

Проблема заключается в запросе недиагональной матрицы B такой, что AB = BA .Как и A , матрица B должна быть 2 x 2. Один из способов создать такую ​​матрицу B — это сформировать A ² , поскольку, если B = A ² , ассоциативность подразумевает

(Это уравнение доказывает, что A ² будет коммутировать с A для с любой квадратной матрицей A ; кроме того, оно предлагает, как можно доказать, что на каждую интегральную степень квадратной матрицы A будет добираться на работу с A .)

В данном случае

, который недиагонален. Эта матрица B действительно коммутирует с A , что подтверждается расчетами

 Введите порядок матрицы A
2 2
Введите порядок матрицы B
2 2
Введите элементы матрицы A
23 56
45 80
Введите элементы матрицы B
50 26
39 78
МАТРИЦА А - это
 23 56
 45 80
МАТРИЦА B - это
 50 26
 39 78
Матрицы можно сравнивать
Но две матрицы не равны

$ a.out
Введите порядок матрицы A
2 2
Введите порядок матрицы B
2 2
Введите элементы матрицы A
10 50
15 30
Введите элементы матрицы B
10 50
15 30
МАТРИЦА А - это
 10 50
 15 30
МАТРИЦА B - это
 10 50
 15 30
Матрицы можно сравнивать
Две матрицы равны