Матрицы и определители математика: Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

Содержание

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы

A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц.

Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  3. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице

C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij

) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. — нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е.

A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т. е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  2. .
  3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение. .

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a14 есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a32 стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается AT. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

  • Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
  • В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
  • Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
  • Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу aik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента aik. Обозначают алгебраическое дополнение Aik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

 

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

  1. Найти определитель матрицы.
  2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
  3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
  4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

 

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right), B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)$

Решение. Так как $A=A_{3 \times 2}$ , а $B=B_{2 \times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_{3 \times 2}$ , а это матрица вида $C=\left( \begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $C=A B=\left( \begin{array}{rl}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$=\left( \begin{array}{rrr}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$

Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2}$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Определители второго и третьего порядка в математике, Матрицы второго порядка

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, равное а11а22—а21а12 и обозначаемое символом Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя матрицы второго порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой а с двумя индексами; первый (1) обозначает номер строки, второй (2) — номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент а21 принадлежит второй строке и первому столбцу определителя). (i+k)*Mik.

Определители матриц второго порядка и третьего порядка чаще называют определителями второго и третьего порядка.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 в.

Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2ґ5 – 3ґ1 (т.е. 10 – 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a1b2 – a2b1, где a и b – числа или функции.

Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij – элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|.

Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по «минорам». Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

«Алгебраическим дополнением» элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.

Значение определителя.

Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.

Свойства определителя.

Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие.

(i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т. е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку – в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на –2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения.

Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе – на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.

Определители в аналитической геометрии.

Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход – против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

Связь определителей с матрицами.

Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С – квадратные матрицы и , то |A|Ч|B| = |C|. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Якобиан.

Если x = f (u, v), y = g (u, v) – преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J № 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.

Факультативный курс «Матрицы и определители»

Предлагаемый курс преследует цель познакомить учащихся с матричной символикой и основными понятиями алгебры матриц, а также научить их уверенно оперировать с матрицами и определителями как объектами более общего характера по сравнению с числами и функциями. Курс расширяет представления о возможностях математики и легко усваивается данной возрастной группой.

Изучение данного курса способствует формированию абстрактных представлений, развитию логического мышления, осуществлению межпредметных связей.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логики и наглядности, увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, учащиеся овладевают приёмами аналитической деятельности при решении задач.

Организация учебно-воспитательного процесса

Изучения курса “Матрицы и определители” в 8-ых классах общеобразовательных учреждений рекомендуется проводить во внеурочное время, 1 раз в неделю в течение учебного года.

Учителю предоставляется право самостоятельно выбирать методические пути и приёмы преподавания данного курса.

При планировании учебных занятий следует ориентироваться не только на теоретическую подготовку учащихся, но и на организацию решения практических задач с учётом дифференциации группы и индивидуальных особенностей детей.

Следует способствовать удовлетворению потребностей школьников, проявляющих склонности и интерес к математики.

Учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, применять иллюстративные и эвристические методы, рационально сочетать устные и письменные виды работы.

Структура программы

Программа курса “Матрицы и определители” состоит из трёх разделов: “Содержание программы”, “Содержание знаний и умений”, “Список литературы”, “Основные понятия курса”.

Содержание программы

Раздел 1. Основные понятия (4 часа)

  1. Введение в предмет
  2. Типы и формы матриц
  3. Матричная символика

Раздел 2. Операции с матрицами (8 часов)

  1. Транспонирование матриц
  2. Сложение матриц
  3. Умножение матрицы на скаляр
  4. Умножение матрицы на матрицу

Раздел 3. Определители (10 часов)

  1. Понятие определителя
  2. Свойства определителей
  3. Миноры и алгебраические дополнения
  4. Разложение определителя по Лапласу

Раздел 4. Вычисление определителей (12 часов)

  1. Метод элементарных преобразований
  2. Метод единственного деления
  3. Метод опорного элемента

Содержание знаний и умений

В результате изучения курса “Матрицы и определители” учащиеся узнают:

  • Основные формы и типы матриц.
  • Матричную символику.
  • Особенности матричных операций.
  • Свойства определителей.
  • Понятия миноров и алгебраических дополнений.
  • Основные методы вычисления определителей.

Умеют:

  • Складывать, перемножать, транспонировать и обращать матрицы с вещественными элементами.
  • Разлагать определители.
  • Вычислять определители и применять их к решению задач.

Основные понятия курса

Произвольная система чисел из некоторого множества, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей.

Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов у них соответственно равны.

Если число строк матрицы равно числу её столбцов, то такая матрица называется квадратной, а это число порядком матрицы.

В = - матрица третьего порядка

Пусть даны матрицы

А = и В =

Произведением А на число с называется матрица

С =

Пример

Суммой матриц А и В называется матрица:

С = А + В =

Пример

А = В = А + В =

Для матриц выполняются все свойства действий с рациональными числами.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица

С = , где

Пример:

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные 0 называется единичной.

Е = .

Матрицы, имеющие вид называют диагональными.

Матрица, которая получается из данной матрицы заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к данной.

Определителем n порядка матрицы А называется алгебраическая сумма n! Слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n множителей, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.

А = определитель.

Некоторые способы вычислений определителей:

1) Определитель 2-ого порядка

Пример:

2) Определитель 3-его порядка

Данный способ называется правило элементарных преобразований или правило Саррюса. Оно действует и для определителей более высоких порядков, но является очень громоздким.

Пример:

3) Определители n-ого порядка.

Минором элемента определителя называется определитель, который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, проходящих через данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-ого порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Пример. Пусть .

Найдём

Правило 1. Если в определите n-ого порядка все элементы I-ой строки (j-ого столбца), кроме равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример.

Вычислить определитель

Преобразуем определитель так, чтобы все элементы четвёртого столбца, кроме первого равнялись нулю. Для этого умножим все элементы первой строчки на –1 и сложим со второй и третьей, затем умножим первую строчку на – 3 и сложим с четвёртой. В результате получим

.

Затем, применяя правило, получим:

.

Прибавляя к третьей строчки вторую, получим

Правило 2. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.

Разложение определителя

Пример. Вычислить

Вычислим определитель, разложив его сначала по элементам третьей строки, затем по элементам второго столбца.

Литература

  1. Энциклопедия “Аванта +”, “Математика”, 2003 год.
  2. Блох Э. Л. “Основы линейной алгебры” – М., 1979.
  3. Хедли Л. “Линейная алгебра” — М., 1992.

Конспект урока по математике «Матрицы и определители»

Урок по теме «Матрицы и определители»

Предмет: математика

Группа: 2 курс колледжа

Цели урока:

  1. Выявить качество усвоения учащимися знаний и способов действий по теме “Матрицы и определители”.

  2. Создать условия для развития способности учащихся к оценочным действиям.

  3. Содействовать развитию вычислительных навыков учащихся, логического мышления, способности к самоконтролю, самооценке, рефлексии.

Оснащение урока:

Раздаточный материал, мультимедийная установка, ноутбук.

Ход урока

1. Организационный момент.

У каждого учащегося на столе находится лист самоконтроля и оценки. По мере выполнения заданий вы будете оценивать себя и вносить результаты в личную карточку.

Личная карточка учащегося______________________________

Понятия

2. Этап актуализации опорных знаний учащихся.

Учащимся необходимо за 2 минуты записать в тетради как можно больше понятий и определений по изученной нами теме “Матрицы и определители”.

(По результатам работы спросить 2-3 учащихся). Учащиеся должны дать развернутый ответ по каждому понятию и определению.

Оцените свою работу:

3 балла за 10 и более понятий

2 балл от 5 до 10 понятий

1 баллов – менее 5 понятий.

3. Этап контроля и самоконтроля.

А) На экран выводятся понятия, правильный ответ учащимися оценивается 1 баллом.

Вопросы по всем изученным темам раздела:

  1. Что называется прямоугольной матрицей?

  2. Какая матрица называется квадратной?

  3. Какую диагональ квадратной матрицы называют главной?

  4. Какая матрица называется единичной?

  5. Какие матрицы называются равными?

  6. Что называется суммой двух матриц?

  7. Какие две матрицы можно перемножить?

  8. Какая матрица называется транспонированной?

  9. Что такое ранг матрицы?

  10. Какие элементарные преобразования можно выполнять над строками матрицы?

  11. Перечислите основные свойства определителей.

  12. Что такое обратная матрица?

  13. Что называется алгебраическим дополнением элемента матрицы?

В) Тест содержит 4 задания с вариантами ответов. Учащимся необходимо в тетрадях выполнить задания и обвести кружочком букву правильного ответа. Проверка выполненного тестового задания: учащиеся меняются работами и оценивают работу друг друга.

1. Даны матрицы А и В.

Найти С=3А-2В

а) б) в) г)

2. Вычислить произведения матриц:

а) б) в) г)

3. Найти алгебраическое дополнение элемента а23.

а) 4 б) 0 в) -4 г) 10

4. Вычислить определитель матрицы:

а) -6 б) 6 в) -4 г) 4

С) Практикум по решению упражнений.

Учащиеся получают карточки с упражнениями, где каждое упражнение оценивается соответствующим баллом, на выполнение задания отводится 10 минут, кто больше решит упражнений, тот заработает больше баллов.

1 балл

Идет подсчет баллов, учащиеся заполняют свою личную карточку участника соревнования и передают ее секретарю. Секретарь вносит результаты каждого учащегося по каждому заданию в электронный банк данных и создает рейтинговую систему оценки знаний каждого учащегося группы.

В это время учащимся предлагается посмотреть презентацию или видеоролик о практическом применении матриц.

4. Подведение итогов.

Выявление самого знающего учащегося по теме.

5. Этап рефлексии.

Учащимся предлагается выбрать бумажные смайлики, которые наиболее точно отражают настроение.

Использованные источники и литература:

1. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. – М. :Наука, 1970.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч.Ч. 2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова и др. – М. : Высш. шк.,1980.

3. Фаддеев, Д. К. Сборник задач по высшей алгебре / Д. К. Фаддеев,И. С. Соминский. – М. : Наука, 1977.

4. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. – М. : Наука, 1984.

5. Зимина, О. В. Высшая математика. Решебник / О. В. Зимина,А. И. Кириллов, Т. А. Сальникова. – М. : Физматлит, 2003.

6. http://free-math.ru/publ/linejnaja_algebra/linejnaja_algebra_tema_1_matricy/13-1-0-5

Ключевые понятия: конспект, матрица, определители, тест, урок

Вопросы

Тест

Практикум

Итог

 

 

 

 

2 балла

3 балла

4 баллов

Даны 2 матрицы А и В. Найти С=А+В

Вычислить определитель матрицы А.

Вычислить А2.

Найти ранг матрицы В.

Матрицы и определители

Автор M Bourne

Зачем изучать Матрицу …?

Матрица — это просто набор чисел, расположенных в прямоугольной таблице.

`((2,4, -1,0), (1,3,7,2))`

Справа — пример матрицы 2 × 4. В нем 2 строки и 4 столбца. Обычно мы пишем матрицы в круглых скобках () или скобках [].

Мы можем складывать, вычитать и умножать матрицы вместе при определенных условиях.

Мы используем матрицы для решения одновременных уравнений, с которыми мы встречались ранее.Матрицы используются для решения задач в:

  • электроника
  • статика
  • робототехника
  • линейное программирование
  • оптимизация
  • пересечения самолетов
  • генетика

В этой главе мы видим некоторые из этих приложений, особенно в Матрицах и линейных уравнениях.

Для больших систем уравнений мы используем компьютер, чтобы найти решение. В этой главе сначала показаны основы матричной арифметики, а затем мы покажем несколько компьютерных примеров (с использованием Scientific Notebook или аналогичных), чтобы вы поняли, что компьютер делает за вас.

Вы можете пропустить следующую часть, если хотите сразу перейти к матрицам.

Детерминанты

Определитель матрицы представляет собой одно число. Мы получаем это значение путем умножения и сложения его элементов особым образом. Мы можем использовать определитель матрицы для решения системы одновременных уравнений.

Например, если у нас есть (квадратная) матрица 2 × 2:

`((5,7), (2, -3))`

, то определитель этой матрицы записывается в вертикальных линиях следующим образом:

`| (5,7), (2, -3) |`

В следующем разделе мы увидим, как оценивать этот детерминант.(Имеет значение -29).

В этой главе

1. Определитель — полученный из квадратной матрицы, определитель необходимо умножить, чтобы получить единственное число.

2. Большие детерминанты — этот раздел поможет вам понять меньшие детерминанты.

3. Матрицы — определение, особенности, единичная матрица и примеры

4. Умножение матриц — как умножать матрицы разного размера. Включает интерактив, где вы можете изучить концепцию.

5. Нахождение обратной матрицы — которую мы используем для решения систем уравнений.

6. Матрицы и линейные уравнения — как решать системы уравнений с матрицами


Мы начинаем главу с введения в детерминанты »

Определители (алгебра 2, матрицы) — Mathplanet

Определитель det (A) или | A | квадратной матрицы A — это число, кодирующее определенные свойства матрицы. Детерминанты названы по размеру матриц.В следующем примере мы покажем, как определить детерминанты второго порядка.

Пример

$$ A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} $$

Определитель A (определитель второго порядка) равен

$$ det (A) = \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} = ad-bc $$

Определители матриц 3 × 3 называются определителями третьего порядка. Один из методов оценки детерминант третьего порядка называется разложением по минорам.Младший элемент — это определитель, формируемый при удалении строки и столбца, содержащих этот элемент.

$$ \ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix} = a \ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end { vmatrix} -b \ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix} + c \ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix} $$

Определители могут использоваться для определения площади треугольника, если известны координаты вершин. Если вершинами треугольников являются (a, b), (c, d) и (e, f), площадь равна

.

$$ A = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} a & b & 1 \\ c & d & 1 \ e & f & 1 \ end {vmatrix} $$

Если A оказывается отрицательным, мы должны использовать абсолютное значение для A, чтобы иметь неотрицательное значение для нашей области.

Пример

Найдите площадь треугольника с вершинами, расположенными в точках (-2,2), (1,3) и (3,0) (этот пример также показан в нашем видео-уроке).

Мы подставляем наши координаты вершин в формулу площади

$$ A = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \ end {vmatrix} $$

и продолжается с

$$ = \ frac {1} {2} (- 2 \ begin {vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} -2 \ begin {vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \ end {vmatrix} +1 \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 0 \ end {vmatrix}) = \\ \\ = \ frac {1} {2} (- 2 (3 \ cdot1-1 \ cdot 0 ) -2 (1 \ cdot 1-1 \ cdot 3) +1 (1 \ cdot 0-3 \ cdot 3)) = \\ \\ = \ frac {1} {2} (- 6 + 4-9) = \ frac {-11} {2} = — 5.5 $$

Мы получили отрицательное значение для A, и площадь не может быть отрицательной, поэтому мы должны взять абсолютное значение для A:

$$ \ mid A \ mid = \ mid -5.5 \ mid = 5.5 \; $$

Итак, площадь треугольников составляет 5,5 квадратных единиц.

Видеоурок

Найдите область из приведенного выше примера.

12: Матрицы и определители — математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
Без заголовков
  • 12.1: Матричная арифметика
    Теперь вы решили системы уравнений, записав их в терминах расширенной матрицы, а затем выполнив операции со строками над этой расширенной матрицей. Оказывается, матрицы важны не только для систем уравнений, но и для многих приложений.
  • 12.2: Умножение матриц
    Следующая важная операция с матрицами, которую мы рассмотрим, — это умножение матриц. Операция матричного умножения — одна из самых важных и полезных из матричных операций.
  • 12.3: ij-я запись продукта
    В предыдущих разделах мы использовали элементы матрицы для описания действия сложения матриц и скалярного умножения. Мы также можем изучить умножение матриц, используя элементы матриц.
  • 12.4: Свойства умножения матриц
    Как указано выше, иногда возможно умножать матрицы в одном порядке, но не в другом. Однако, даже если определены как AB, так и BA, они могут не быть равными.−1 \).
  • 12.8: Основные методы определения детерминантов
    Пусть A будет матрицей размера n × n. То есть пусть A будет квадратной матрицей. Определитель A, обозначаемый det (A), является очень важным числом, которое мы будем исследовать в этом разделе.
  • 12. 9: Свойства детерминант
    Есть много важных свойств детерминант. Поскольку многие из этих свойств включают операции со строками, которые обсуждались в главе 1, мы напомним это определение.Теперь мы рассмотрим влияние операций со строками на определитель матрицы. В следующих разделах мы увидим, что использование следующих свойств может значительно помочь в поиске определителей. В этом разделе теоремы будут использоваться в качестве мотивации для предоставления различных примеров полезности свойств.
  • 12.10: Поиск определителей с помощью операций со строками
    В этом разделе мы рассмотрим два примера, в которых операции со строками используются для нахождения определителя большой матрицы.
  • 12.E: Упражнения

Миниатюра: (через Википедию)

Детерминанты и правило Крамера | Безграничная алгебра

Определители квадратных матриц 2 на 2

Определитель квадратной матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс] — это математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

Цели обучения

Попрактикуйтесь в нахождении определителя матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс]

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Определитель [latex] 2 \ times 2 [/ latex] матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [ /латекс].
  • Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.
  • Любая матрица имеет уникальную обратную, если ее определитель не равен нулю.
Ключевые термины
  • определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной по умножению матриц, полилинейной по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ latex]».

Что такое определитель?

Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений. Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правило замены переменных для интегралов от функций нескольких переменных. Определители также используются для определения характеристического полинома матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре.В аналитической геометрии детерминанты выражают подписанные [латекс] n [/ латекс] -мерные объемы [латекс] n [/ латекс] -мерных параллелепипедов. Иногда детерминанты используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы неудобно записывать.

Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную матрицу, если ее определитель отличен от нуля. Также могут быть доказаны различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действительный.

Определитель матрицы [латекс] [A] [/ латекс] обозначается [латекс] \ det (A) [/ latex], [латекс] \ det \ A [/ latex] или [латекс] \ left | А \ правый | [/ латекс]. В случае, когда элементы матрицы выписаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

Например, определитель матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ d & e \ end {bmatrix} [/ latex] записывается [latex] \ begin {vmatrix} a & b \\ d & e \ end {vmatrix} [/ латекс].

Определитель матрицы 2 на 2

В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

Для матрицы [latex] 2 \ times 2 [/ latex], [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex],

определитель [латекс] \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [/ latex].

Пример 1. Найдите определитель следующей матрицы:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {bmatrix} [/ latex]

Определитель [латекс] \ begin {vmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {vmatrix} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} (4 \ cdot 5) — (-2 \ cdot 7) & = 20 — (-14) \\ & = 34 \ end {align} [/ latex]

Кофакторы, второстепенные и другие детерминанты

Кофактор записи [latex] (i, j) [/ latex] матрицы [latex] A [/ latex] является минорным знаком этой матрицы.

Цели обучения

Объясните, как использовать вспомогательные матрицы и матрицы сомножителей для вычисления определителей

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0
Ключевые термины
  • кофактор : минор со знаком записи матрицы.
  • второстепенный : определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

Кофактор и младший: определения

Кофактор

В линейной алгебре сомножитель (иногда называемый дополнительным) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.{i + j} M_ {ij} [/ латекс]

Незначительный

Чтобы узнать, что такое минор со знаком, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре младший матрицы [latex] A [/ latex] является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления сомножителей матрицы .

Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0

Вычислить определитель

Определитель любой матрицы можно найти с помощью миноров со знаком. Определитель — это сумма минорных значений со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабируемая элементами в этой строке или столбце.

Вычисление несовершеннолетних

Для нахождения определителя заданного минора матрицы A используются следующие шаги:

  1. Выберите запись [латекс] a_ {ij} [/ latex] из матрицы.
  2. Вычеркните записи в соответствующей строке [latex] i [/ latex] и столбце [latex] j [/ latex].
  3. Перепишите матрицу без отмеченных записей.
  4. Получите определитель этой новой матрицы.

[латекс] M_ {ij} [/ latex] называется второстепенным для входа [latex] a_ {ij} [/ latex].

Примечание. Если [latex] i + j [/ latex] — четное число, кофактор совпадает со своим младшим числом: [latex] C_ {ij} = M_ {ij} [/ latex]. В противном случае он равен аддитивной инверсии своего минорного значения: [latex] C_ {ij} = — M_ {ij} [/ latex]

Вычисление определителя

Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, крайнего правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \ end {bmatrix} [/ latex]

В качестве примера мы вычислим определитель второстепенного [латекса] M_ {23} [/ latex], который является определителем матрицы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], образованной удалением [латекса] 2 [/ latex] -й ряд и [latex] 3 [/ latex] -й столбец. Черная точка представляет собой удаляемый элемент.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ begin {vmatrix} 1 & 4 & \ bullet \\ \ bullet & \ bullet & \ bullet \\ -1 & 9 & \ bullet \ end {vmatrix} & = \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \ end {vmatrix} \\ & = (9 — (- 4)) \\ & = 13 \ end {align} [/ latex]

Поскольку [latex] i + j = 5 [/ latex] является нечетным числом, кофактор является аддитивным, обратным его второстепенному значению: [latex] — (13) = — 13 [/ latex]

Умножаем это число на [latex] a_ {23} = 5 [/ latex], получая [latex] -65 [/ latex].

Тот же самый процесс выполняется для нахождения детерминантов [латекса] C_ {13} [/ latex] и [latex] C_ {33} [/ latex], которые затем умножаются на [latex] a_ {13} [/ латекс] и [латекс] а_ {33} [/ латекс] соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всего этого:

[латекс] \ begin {align} \ det {A} & = a_ {13} \ det {C_ {13}} + a_ {23} \ det {C_ {23}} + a_ {33} \ det {C_ {33}} \\ & = 7 \ cdot27-5 \ cdot13 + 11 \ cdot-12 \\ & = — 8 \ end {align} [/ latex]

Правило Крамера

Правило Крамера использует определители для решения уравнения [латекс] Ax = b [/ latex], когда [latex] A [/ latex] представляет собой квадратную матрицу.

Цели обучения

Используйте правило Крамера, чтобы найти единственную переменную в системе линейных уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и уникальное решение.
  • Рассмотрим линейную систему [латекс] \ left \ {\ begin {matrix} ax + by & = {\ color {Red} e} \\ cx + dy & = {\ color {Red} f} \ end {matrix} \ right. [/ latex], который в формате матрицы имеет вид [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex].Предположим, что определитель не равен нулю. Затем [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера: [latex] x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex] и [latex] y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ латекс ].
  • Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых детерминантов может быть утомительным.
Ключевые термины
  • определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной по матричному умножению, полилинейной по строкам и столбцам и принимает значение [latex] 1 [/ latex] для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ latex]».
  • квадратная матрица : матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

«Правило Крамера» — это еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами.Он использует формулу для вычисления решения системы с использованием определения определителей.

Правило Крамера: определение

Правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, т. Е. Квадратная матрица, действительная во всех случаях, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

Правило Крамера: формула

Правила для [латекса] 2 \ times 2 [/ latex] Матрицы

Рассмотрим линейную систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex]

Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ latex]

Правила для [латекса] 3 \ times 3 [/ latex] Матрицы

Дано:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color { Красный} j} \\ {\ color {Red} k} \\ {\ color {Red} l} \ end {bmatrix} [/ latex]

Тогда значения [латекс] x [/ латекс], [латекс] y [/ латекс] и [латекс] z [/ латекс] могут быть найдены следующим образом:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} j} & b & c \\ {\ color {Red} k} & e & f \\ {\ color {Red} l} & h & i \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad z = \ frac { \ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \ \ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} [/ латекс]

Использование правила Крамера

Пример 1. Решите систему, используя правило Крамера:

[латекс] \ displaystyle \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y & = 10 \\ -6x + 4y & = 4 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

В матричном формате:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 10 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ 4 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {10 \ cdot 4-2 \ cdot 4} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {32} {24} = \ frac {4 } {3} \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} 3 & 10 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \ \ & = \ frac {(3 \ cdot 4) — [10 \ cdot (-6)]} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {72} {24} = 3 \ end {align} [/ latex]

Решение системы — [latex] (\ frac {4} {3}, 3) [/ latex].

Вычислить определитель матрицы Пошаговое решение математических задач


Мы знаем, что не каждая система линейных уравнений имеет единственное решение. Иногда система из n уравнений от n переменных не имеет решения или бесконечное множество решений. В этом разделе мы вводим определитель матрица. В следующем разделе мы увидим, что определитель можно использовать чтобы определить, имеет ли система уравнений единственное решение.

Каждой квадратной матрице A соответствует действительное число, называемое определителем A, написано | A |.

Определитель матрицы 2 x 2 A,


определяется как

ПРИМЕЧАНИЕ Обратите внимание, что матрицы заключены в квадратные скобки, а определители обозначаются вертикальными полосами. Кроме того, матрица представляет собой массив чисел, но ее определитель — это одно число.

ОЦЕНКА A 2 X 2 ДЕТЕРМИНАНТ

Если

, затем

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ А МАТРИЦА 3 X 3

Определитель матрицы 3 x 3 A,


определяется как

Простой метод вычисления определителей 3 X 3 находится путем перестановки и факторизуя приведенные выше условия, получаем


Каждая из величин в скобках представляет определитель 2 X 2 матрица, которая является частью матрицы 3 x 3, остающейся, когда строка и столбец множитель исключается, как показано ниже.

Эти определители матриц 2 X 2 называются минорами элемента в матрица 3 x 3. Обозначение M ij представляет определитель матрица, которая получается при удалении строки i и столбца j. Следующий список дает некоторые из миноров из приведенной выше матрицы.

В матрице 4 x 4 миноры являются определителями матриц 3 x 3, а n x Матрица n имеет миноры, которые являются определителями (n — 1) X (n — 1) матрицы.
Чтобы найти определитель матрицы 3 X 3 или больше, сначала выберите любую строку или столбец. Затем необходимо умножить минор каждого элемента в этой строке или столбце. на + l или — 1, в зависимости от того, сумма номеров строк и столбцов числа четные или нечетные. Произведение младшего и числа +1 или — l равно называется кофактором .

КОФАКТОР Пусть M ij будет второстепенным для элемента au в матрице n x n . Кофактор ij , написано A ij , это:



Наконец, определитель матрицы n x n находится следующим образом.

ПОИСК ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТРИЦЫ
Умножьте каждый элемент в любой строке или столбце матрицы на его кофактор. В сумма этих продуктов дает значение определителя. эта сумма продуктов называется расширением по данной строке или столбцу.

НАЙТИ КОФАКТОР ЭЛЕМЕНТА
Для матрицы

найдите кофактор каждого из следующих элементов.

(a) 6
Поскольку 6 находится в первой строке и первом столбце матрицы, i = 1 и j = 1.

Кофактор: (-1) 1 + 1 * (-6) = 1 * (-6) = -6.

(b) 3
Здесь i = 2 и j = 3.

Кофактор (-1) 2 + 3 * 10 = (-1) * 10 = -10.

(c) 8
Имеем i = 2 и j = l.


Кофактор: (-1) 2 + 1 * (-8) = (-1) * (-8) = 8.

ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНАНТА 3 X 3
Оценить

во втором столбце.


Чтобы найти этот определитель, сначала получите миноры каждого элемента во втором столбец.


Теперь найдите кофактор каждого из этих несовершеннолетних.

Определитель находится путем умножения каждого сомножителя на его соответствующий элемент матрицы и нахождение суммы этих произведений.

ВНИМАНИЕ: Будьте очень осторожны, чтобы отслеживать все отрицательные знаки, когда оценивая детерминанты. Работайте осторожно, записывая каждый шаг, как в Примеры.Пропуск шагов часто приводит к ошибкам в этих вычислениях.

Точно такой же ответ можно найти, используя любую строку или столбец матрицы. Одна из причин использования столбца 2 в примере 3 заключается в том, что он содержит элемент 0, так что рассчитывать M 32 и A 32 толком не пришлось выше. Быстро понять, что нули могут быть очень полезны при работе с детерминанты.
Вместо вычисления (-1) i + j для данного элемента следующие можно использовать доски для проверки знаков:


Знаки чередуются для каждой строки и столбца, начиная с + в первом строка, позиция первого столбца.Таким образом, эти массивы знаков можно воспроизвести как нужный. Если мы расширим матрицу 3 X 3 около строки 3, например, первый второстепенный будет иметь знак +, связанный с ним, второй второстепенный знак — и третий минор а + знак. Эти массивы знаков могут быть расширены таким образом для определителей матриц 5 × 5, 6 × 6 и более крупных.

ОЦЕНКА ДЕТЕРМИНАНТА 4 X 4
Оценить

Расширение на младшие около четвертой строки дает

Каждый из четырех определяющих факторов в примере 4 должен быть оценен путем раскрытия три несовершеннолетних, требующих большой работы, чтобы получить окончательную стоимость.Всегда ищите строка или столбец с наибольшим количеством нулей для упрощения работы. В следующем разделе мы ввести несколько свойств, упрощающих вычисление определителей. К счастью, детерминанты больших матриц можно оценить быстро и легко с помощью компьютера или некоторых калькуляторов.

Определители 2 на 2

Детерминанты: 22 Детерминанты (стр. 1 из 2)

Разделы: 22 определителя, 33 детерминанты

Детерминанты подобны матрицам, но заключены в столбцы абсолютных значений вместо квадратных скобок.Там есть многое, что вы можете сделать с детерминантами (и поучиться на них), но вам понадобится дождаться продвинутого курса, чтобы узнать о них. На этом уроке я просто покажу вам, как вычислить 22 и 33 детерминанты. (Это возможно для вычисления более крупных детерминант, но процесс намного сложнее.)

Если у вас квадратная матрица, его определитель записывается, взяв ту же самую сетку чисел и положив их внутри столбцов абсолютных значений вместо квадратных скобок:

    Если это «матрица A » (или « A »)…

    … тогда это «определитель
    из     A » (или « дет. A «).





Как абсолютные значения можно оценить и упростить, чтобы получить одно число, как и определители.Процесс оценки детерминант довольно запутан, поэтому давайте начнем простой, с корпусом 22.

Для матрицы 22 определитель находится путем вычитания произведений его диагоналей, что является причудливым способ выразить словами то, что следующее говорит в картинках:

г. матрица A

г. определитель A («дет. A «)

г. матрица A

г. определитель A («дет. A «)

В другими словами, чтобы взять определитель матрицы 22, вы умножаете диагональ сверху-слева-снизу-справа, и из нее вы вычитаете произведение диагонали снизу-слева-вверх-вправо.

«Но подождите!» я слышу, как ты плачешь; «Разве абсолютные ценности не всегда должны быть положительными? Вы показываете, что вторая матрица выше имеет отрицательный определитель. Что такое с этим? «Вы правильно подметили. Детерминанты похожи на абсолютные значения и используют те же обозначения, но они не идентичны, и одно из различий состоит в том, что детерминанты действительно могут быть отрицательными.

  • Оцените следующее определитель:

    Умножаю диагонали, и вычесть: Авторское право Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены

  • Найти определитель следующей матрицы:

    конвертирую из матрицы до определителя, умножить по диагоналям, вычесть и упростить:

Верх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Детерминанты: детерминанты 2×2». Пурпурная математика . Имеется в наличии из
https://www.purplemath.com/modules/determs.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Свойства определителей матриц

Свойства определителей матриц

Определитель матрицы — это скалярное свойство этой матрицы. Определитель — это специальное число, которое определено только для квадратных матриц (множественное число для матрицы).Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов.

Определитель используется, чтобы узнать, можно ли инвертировать матрицу или нет, он полезен при анализе и решении одновременных линейных уравнений (правило Крамера), используется в исчислении, используется для определения площади треугольников (если указаны координаты) и т. Д. . Определитель матрицы A обозначается | A | или det (A) .

Свойства детерминантов матриц:

  1. Определитель, оцененный по любой строке или столбцу, одинаков.
  2. Если все элементы строки (или столбца) равны нулю, то значение определителя равно нулю.
  3. Определитель матрицы идентичности () равен 1 .
  4. Если строки и столбцы меняются местами, то значение определителя остается прежним (значение не меняется). Следовательно, det (A) = det () , здесь транспонируется матрица A.
  5. Если любые две строки (или два столбца) определителя меняются местами, значение определителя умножается на -1 .
  6. Если все элементы строки (или столбца) определителя умножить на некоторое скалярное число k, значение нового определителя будет в k раз больше данного определителя. Следовательно, если A — квадратная матрица с n строками, а K — любой скаляр. Тогда | KA | = | A | .
  7. Если две строки (или столбцы) определителя идентичны, значение определителя равно нулю.
РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *