Матрица противоположная: определение, свойства и примеры решения задач

Содержание

Обратная матрица в Excel | Как создать обратную матрицу в Excel?

Обратная матрица Excel (оглавление)

  • Введение в обратную матрицу в Excel
  • Примеры обратной матрицы в Excel

Введение в обратную матрицу в Excel

Матрица, для которой вы хотите вычислить обратное значение, должна быть квадратной матрицей. Это означает, что матрица должна иметь одинаковое количество строк и столбцов. Определитель для матрицы не должен быть нулевым. Если оно равно нулю, вы можете найти обратную матрицу. Теоретическая формула для вычисления обратной матрицы A выглядит следующим образом:

Где,

| | = Определитель матрицы А.

(прил. A) = присоединенный к матрице A.

Если мы поместим оба эти значения в приведенную выше формулу, мы сможем получить инверсию любой матрицы A. Иногда становится очень утомительно вычислять обратную матрицу. Математики будут рады узнать, есть ли какая-либо функция, которая может работать для них, и вычислить обратную матрицу для них.

Функция MINVERSE для вычисления обратной матрицы

Функция Excel MINVERSE позволяет пользователю вычислять инверсию любой квадратной матрицы, которая имеет ненулевой определитель. Обращенная матрица имеет размер, равный размеру исходной матрицы. Рассчитанная обратная матрица имеет такой же размер, как и исходная матрица.

Синтаксис:

= МОБРЫ (массив)

Аргумент:

массив — это массив значений, представляющих матрицу.

В этой статье мы увидим, как вычислить обратную квадратную матрицу.

Примеры обратной матрицы в Excel

Давайте разберемся, как создать обратную матрицу в Excel, на нескольких примерах.

Вы можете скачать этот шаблон обратной матрицы Excel здесь — шаблон обратной матрицы Excel
Пример # 1 — Вычислить инверсию матрицы 2X2

Матрица 2X2 имеет две строки и два столбца. Предположим, у нас есть квадратная матрица 2X2, как показано на рисунке ниже.

Шаг 1: Определите диапазон из 4 ячеек (поскольку у нас есть матрица 2X2) в том же листе Excel, который будет содержать обратную матрицу A. Здесь я выбрал ячейки A1: C5 в качестве диапазона для обратной матрицы A.

Это диапазоны, в которых будет вычисляться обратная матрица А.

Шаг 2: В ячейке B4 начните вводить формулу для обратной матрицы = MINV . Вы увидите диапазон формул, связанных с ключевым словом. Дважды щелкните мышью, чтобы выбрать МИНВЕРС из них, чтобы можно было вычислить инверсию матрицы А. Обязательно выбрать все ячейки, в которых будет вычисляться ваша инверсия.

Шаг 3: Укажите аргумент массива для функции MINVERSE как B1: C2 и закройте скобки, чтобы завершить формулу. Обратите внимание, что массив, который мы предоставляем в качестве аргумента функции MINVERSE, состоит из ячеек, которые имеют значения для исходной матрицы A.

Шаг 4: Чтобы увидеть результат формулы каждый раз, когда нам нужно нажать клавишу Enter. Но в этом случае вам нужно нажать клавиши Ctrl + Shift + Enter, чтобы формула была преобразована в формулу массива, которая выглядит следующим образом (= MINVERSE (B1: C2)) и работает вместе со всеми ячейками, связанными с инверсией A.

Вы можете видеть по ячейкам B1: C2 матрица, обратная к исходной матрице A.

Мы также можем проверить, правильно ли перехвачено обратное, полученное через функцию MINVERSE, или нет. Способ проверить это — умножить матрицы A и A -1 . Умножение должно привести к единичной матрице.

Мы можем добиться умножения матриц с помощью функции MMULT в Excel. Это умножает матрицы. Смотрите вывод в массиве ячеек B1: C5.

Пример № 2 — Вычислить инверсию матрицы 4X4

Шаг 1: Введите матрицу 4X4 в ячейки A1: E4, как показано на скриншоте ниже. Это матрица, для которой нам нужно вычислить обратную матрицу.

Шаг 2: Выберите ячейки от A6 до E9. Это ячейки, в которых мы будем вычислять обратную матрицу 4X4 с именем A.

Шаг 3: Сохраняя все выбранные ячейки, в ячейке B6 начните вводить формулу для обратной матрицы как = MINV . В списке формул, связанных с ключевым словом, дважды щелкните мышью, чтобы выбрать MINVERSE.

Шаг 4: Используйте ссылку на массив B1: E4 в качестве аргумента массива для этой функции и закройте скобки, чтобы завершить формулу.

Шаг 5: Вместо того чтобы нажимать клавишу Enter, как обычно, одновременно нажмите клавиши Ctrl + Shift + Enter, чтобы вычислить обратные значения для всех ячеек в B1: E4. Если вы этого не сделаете, формула не будет преобразована в формулу массива и будет применена только к текущей ячейке, и если вы попытаетесь перетащить ее для других ячеек, это приведет к ошибке.

Вот как мы можем вычислить обратную матрицу в Excel, используя функцию MINVERSE. Мы также можем проверить с помощью функции MMLUT, правильно ли вычислено обратное или нет.

Выберите диапазоны от B1 до E9, где мы можем проверить, является ли умножение этих двух матриц одинаковой или нет.

Это идет как идентичная матрица. Поэтому мы можем сказать, что обратное, которое мы захватили, правильно захвачено. Это из этой статьи. Давайте завернем вещи с некоторыми пунктами, которые будут помнить.

То, что нужно запомнить

  • Если в данной матрице есть пустая ячейка или нечисловое значение, MINVERSE выдаст вам #VALUE! ошибка.
  • В полученной матрице, если вы выберете несколько дополнительных ячеек, вы получите # N / A error.
  • Если данная матрица является особой матрицей (для которой не существует обратной), вы получите #NUM! ошибка.
  • Рекомендуется использовать MINVERSE в качестве формулы массива. В противном случае вы можете получить странные результаты по всем клеткам. Например, получение ошибок значений при перетаскивании формулы по строкам.
  • Если вы не хотите, чтобы она использовалась в качестве формулы массива, вам нужно ввести одну и ту же формулу во все ячейки, чтобы получить результат.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по обратной матрице в Excel. Здесь мы обсуждаем Как создать Обратную Матрицу в Excel вместе с практическими примерами и загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете просмотреть наши другие предлагаемые статьи —

  1. Как использовать Excel IF и функцию?
  2. Примеры контрольного списка в Excel
  3. Вставка символа Delta в Excel
  4. Введение в модель данных в Excel

Функция МОБР

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве.

Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.

Синтаксис

МОБР(массив)

Аргументы функции МОБР описаны ниже.

Замечания

  • Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива.

  • Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!».

  • МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов.

  • Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0.

  • В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2.

Столбец A

Столбец B

Строка 1

d/(a*d-b*c)

b/(b*c-a*d)

Строка 2

c/(b*c-a*d)

a/(a*d-b*c)

  • Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления.

  • Некоторые квадратные матрицы невозможно инвертировать и возвращают #NUM! в функции МОБР. Определител непревратимой матрицы 0.

Примеры

Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Обратная матрица — определение и нахождение с примерами решения

Содержание:

Теоремы существования и единственности обратной матрицы:

Рассмотрим квадратную матрицу:

Определение 4. 1.1. Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице Е, называется обратной А и обозначается

.

Отметим, что если А и В квадратные матрицы одного порядка, то определитель произведения матриц равен произведению

определителей множителей

Теорема 4.1.1. (теорема существования). Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица существует. Докажем, что .

Так как обратная матрица существует, то и .Поскольку правая часть не равна нулю, то ни один из множителей левой части не может быть равен нулю. Следовательно , что означает, что матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть , докажем, что обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента в определителе D(A). Из полученных алгебраических дополнений построим матрицу:

Матрица С называется союзной, или присоединенной, по отношению к матрице А, причем в i-й строке союзной матрицы С стоят алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы А.

Составим произведение матриц С и А, тогда элемент произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен

. На основании теоремы разложения сумма произведений элементов определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя. А сумма парных произведений какого-нибудь ряда определителя на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю (см. теорему аннулирования). Значит, все недиагональные элементы матрицы АС равны нулю, а диагональные равны D(A), следовательно:

(4.1.1)

Так как , то равенство (4.1.1) можно умножить на скаляр . Получим:

Тогда матрица будет обратной для матрицы А. Теорема доказана.

Сформулируем алгоритм нахождения обратной матрицы:.

  1. Вычислите определитель исходной квадратной матрицы
  2. Если определитель равен нулю, то исходная матрица не имеет обратной; если определитель не равен нулю, то переходите ко второму шагу.
  3. Вычислите алгебраические дополнения элементов определителя исходной матрицы.
  4. Составьте присоединенную матрицу С, записав алгебраические дополнения элементов строк в столбцы.
  5. Умножьте элементы присоединенной матрицы на обратную величину определителя исходной матрицы, тем самым постройте обратную матрицу .
  6. Выполните проверку, т. е. рассмотрите произведение или . Должны получить единичную матрицу.

Этот алгоритм можно представить в виде следующей схемы:

Теорема 4.1.2. (теорема единственности). Для каждой неособенной матрицы А существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Допустим, что наряду с обратной матрицей существует другая обратная матрица . Тогда по определению . Умножая обе части этого равенства слева на , получим .

Поскольку , то, а это значит, что . Теорема доказана.

Вычислив определители левой и правой частей равенства , получим , следовательно то есть определители матриц взаимно обратные.

Замечание. Формула позволяет найти явные выражения для элементов обратной матрицы через элементы матрицы А (см. алгоритм 1). Однако построение союзной матрицы очень трудоемкая операция при больших размерностях матриц. Поэтому доказанная формула, в большей мере, важна в теоретическом отношении.

Свойства обратной матрицы. Подобная матрица

Укажем некоторые свойства обратной матрицы:

  1. Обратная матрица является невырожденной, т.е. .
  2. Обратной матрице будет матрица .
  3. Обратная к транспонированной матрице равна транспонированной обратной матрице: .
  4. Если матрица А симметрическая, то такой же будет обратная матрица: .
  5. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют: .
  6. Если А такова, что обратная к ней матрица равна транспонированной матрице А, то говорят, что А — ортогональная матрица и .
  7. Обратная для блочной квазидиагональной матрицы равна квазидиагональной матрице, состоящей из обратных матриц диагональных клеток:

Понятие обратной матрицы позволяет ввести следующее определение:

Определение 4.

2.1. Квадратная матрица А называется подобной матрице В, если существует невырожденная матрица Т, для

которой выполняется равенство .

Говорят, что матрица А трансформируется в матрицу В при помощи матрицы Т.

Отношение подобия обладает тремя основными свойствами:

  • а) рефлексивности: А подобна А;
  • б) симметричности: если А подобна В, то и В подобна А;
  • в) транзитивности: если А подобна В и В подобна С, то и А подобна С.

Приложения обратной матрицы в экономических исследованиях

Применение обратных матриц в экономических исследованиях столь многочисленно и разнообразно, что мы приведём отдельные примеры использования обратной матрицы в экономических исследованиях.

Пример:

Предположим, что затраты времени оборудования при выпуске изделий пропорциональны количеству готовых изделий и пусть известна квадратная матрица Т норм затрат времени оборудования на различные изделия на различных типах оборудования. Если задана матрица-столбец А затрат времени на различных типах оборудования, необходимое для выполнения производственной профаммы, то определение возможного выпуска готовых изделий X осуществляется с использованием обратной матрицы :

Валовой выпуск продукции X также можно определить, зная матрицу Z норм затрат рабочего времени рабочих различных категорий и фонд рабочего времени F по категориям рабочих, вычислив произведение обратной матрицы на F, т.е. .

Пример:

Рассмотрим четырёхсскторнос описание экономики, в котором выделены две отрасли: сельское хозяйство и промышленность, один первичный фактор производства — труд и государственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. Государственный сектор ничего не производит для экономики и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в этих секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое количество продукции другой, отрасли, а также труд; рабочая сила нуждается в продукции обеих отраслей и, наряду с этим, в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно импортированы и экспортированы, таким образом, никогда не может быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в течение всего периода. Наблюдая за потоками продукции между четырьмя секторами экономики составим таблицу «затраты-выпуск», табл.4.3.1.

Таблица 4.3.1

Сумма показателей в строках даёт общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Суммы показателей по столбцам показывают затраты данного сектора, необходимые для производства всего объёма продукции. Следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Так, например, первый столбец характеризует основной производственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 520 т продукции сельского хозяйства требуется 120 т сельскохозяйственной продукции, 200 машин и 160 работников. Определим валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом: .

Решение:

Пусть — валовой выпуск продукции i,i=1,2,3; а -конечный спрос на продукцию /. Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию:

где- количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. В матричном обозначении получим:

X = AX + Y, (4.3.1)

где X, Y- матрицы столбцы, а А- матрица коэффициентов прямых затрат. Все её элементы неотрицательны.

Воспользовавшись алгебраическими операциями над матрицами, перепишем уравнение (4.3.1) в виде: EX — АХ = Y, (E-A)X = Y. Умножив последнее матричное уравнение слева на обратную матрицу получаем матричное уравнение для определения матрицы-столбца валового выпуска продукции:

. (4.3.2)

Следовательно, для определения валового выпуска продукции X в новом периоде нам нужно последовательно определить элементы матрицы А, Е-А и обратной матрицы . Элементы матрицы А определим воспользовавшись предположением о пропорциональной зависимости между затратами и объёмами производства, т.е. линейными однородными функциями производственных затрат: . Тогда элементы матрицы А определим из разноств: Выполнив вычисления (разделив элементы первого столбца таблицы 4.3.1 на 520, второго — на 640, третьего — на 490), получаем матрицу А:

Далее вычисляем элементы матрицы Е-А:

вычисляем определитель

и алгебраические дополнения элементов матрицы (Е-А):

Составляем из алгебраических дополнений присоединённую матрицу С:

и вычисляем элементы обратной матрицы :

Тогда в силу (4.3) находим валовой выпуск продукции:

Таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести приблизительно 1042 т продукции сельского хозяйства, 1280 машин и нанять 1119 работников.

Особенности матриц в ценностном и натуральном выражении

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А, рассмотренная нами в примере предыдущего пункта, относится к классу неотрицательных матриц, так как матрица-столбец должна быть неотрицательна.

Определение 4.4.1. Если решение системы (4.3.1) сществует для любой неотрицательной матрицы Y конечного спроса, то матрица А называется продуктивной.

Поэтому элементы матрицы А не могут принимать произвольные положительные значения. Все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы. В противном случае производство лишается всякого смысла (если , то ). Произведение коэффициентов, симметричных относительно главной диагонали, должно быть также меньше единицы: . Указанные ограничения на значения элементов матрицы А не зависят от единиц измерения. Однако в общем случае выбор единиц измерения существенно влияет на анализ свойств матриц межотраслевого баланса. Для матриц межотраслевого баланса в ценностном выражении обычно выполняются условия • Если же для некоторой k-и отрасли , то экономически это означает, что данная отрасль настолько убыточна, что её убытки перекрывают расходы на амортизацию и оплату труда.

Так как норму матрицы А можно определить по формуле

, то при условии что норма матрицы А меньше единицы, т. е. .

Если норма матрицы А меньше единицы, то

Отметим, что в матрицах межотраслевого баланса в натуральном выражении условия , практически никогда не выполняются. Более того, многие элементы этих матриц больше единицы. Однако можно подобрать такие новые измерители (матрицу T), что для подобной матрицы будет выполняться и следствия из него.

Подобные матрицы имеют равные по величине собственные значения и главные миноры;

  • Е-А и также подобны, так как .

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из приведенных ниже условий:

  1. Все главные миноры матрицы (Е — А) положительны и меньше единицы.
  2. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.
  3. Матрица полуположительна.

Условие является достаточным для продуктивностн матрицы А.

Матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат, а её элементы- коэффициентами полных затрат. Они показывают, какой должен быть валовой выпуск i-Й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат не меньше коэффициентов прямых затрат: так как они характеризуют совокупность прямых и косвенных затрат.

Вернёмся к примеру 1.12 и проанализируем матрицы коэффициентов прямых затрат А и полных затрат :

Элементы матрицы А удовлетворяют условиям:

4) норма матрицы

Значит матрица А является продуктивной и для неё существует обратная матрица , называемая матрицей полных затрат.

Из вида матрицы В следует, что все коэффициенты полных затрат . Например, элементы первого столбца матрицы В показывают, что для того чтобы произвести единицу конечной продукции сельского хозяйства нужно произвести 2,222 единиц сельского хозяйства, 1,766 единиц промышленности и занять 1,845 работников.

Определение обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

Обозначим

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение — единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через так что

Обратная матрица вычисляется по формуле где — алгебраические дополнения элементов

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример:

Для матрицы найти обратную.

Решение:

Находим сначала детерминант матрицы А:

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: — алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. откуда

Пример:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы:

Решение:

Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка:

С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:

К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму — первый, умноженный на -2:

Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего — умноженный на 6 второй;

Прибавим третий столбец к первому и второму:

Умножим последний столбец на -1:

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

Что такое обратная матрица и как её решать

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. Обозначение: Е.

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица называется обратной к А, если выполнены равенства

где Е — единичная матрица порядка n.

Внимание! Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема:

Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица

где — алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Пример:

Найти матрицу X из матричного уравнения АХ=В, где

Решение:

Умножим уравнение АХ=В на слева:

Найдем Обратная матрица к А существует, т. к. матрица А невырожденная:

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

Произведение матриц существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно 3. Найдем его:

Обратная матрица с помощью элементарных преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Дописываем справа единичную матрицу
  3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
  4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
  5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.

Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a33.

Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

Обратная матрица 3*3. Калькулятор

Как найти обратную матрицу подробно описано в предыдущих уроках. Напомню лишь последовательность вычислений:

  • находим определитель главной матрицы;
  • дальше вычисляем алгебраические дополнения к матрице;
  • последним шагом нужно транспонировать матрицу алгебраических дополнений и разделить на определитель.

Результатом вычислений и будет обратная матрица.

Ниже приведены примеры пошагового вычисления матрицы 3х3.

Пример 1. Найти обратную матрицу

Решение: Вычисляем определитель матрицы 3 * 3 по правилу треугольников

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица А не вырожденная и существует обратная к ней.
Алгебраические дополнения равны минорам умноженным на (-1) в степени суммы номера строки и столбца элемента матрицы.
Для простоты можно использовать приведенную ниже схему знаков миноров

Миноры равны определителю на единицу меньшего порядка чем матрица и образуются вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент.
Более понятно станет с вычислений алгебраических дополнений









Из найденных значений выписываем матрицу алгебраических дополнений

Транспонирует ее чтобы получить присоединенную (союзное) матрицу

На этом этапе будьте внимательны — можно выполнить правильно приведенные выше вычисления и из-за неумения транспонировать получить неверный результат.
Делим на определитель и получаем обратную матрицу

Найти обратную матрицу Вам поможет калькулятор обратной матрицы YukhymCalc. Для этого заходите в меню калькулятора и выбираете вычисления обратных матриц


Далее задаете размер матрицы

и вводить элементы матрицы.

После вычислений Вы получите элементы матрицы дополнений

союзной матрицы, и обратной, а также определитель.


Все действия расписаны подробно в отдельном окне

и результаты вычислений можно сохранить в текстовый файл

Используйте калькулятор для нахождения обратной матрицы и проверки правильности вычислений.

Пример 2. Найти обратную матрицу

Решение: Вычисляем определитель матрицы разложив его по первой строке. Это довольно удобно так как имеем два элемента которые равны нулю

Алгебраические дополнения находим воспользовавшись приведенной выше схемой знаков миноров




Если в определителе строка или столбец содержит элементы = 0 то он равен 0.





Записываем матрицу алгебраических дополнений

Присоединенную матрицу находим транспонированием найденной

Находим обратную матрицу по известной формуле

Калькулятор обратной матрицы дает следующий результат

Сравнением убеждаемся что обратную матрицу найдено правильно. Используйте приведенную методику в обучении и с опытом у Вас не будет проблем с обратной матрицей.

Обратная матрица онлайн

Для любой невырожденной квадратной матрицы (т.е. такой определитель которой отличен от нуля), существует обратная матрица, такая, что её произведение на исходную матрицу равно единичной:

A∙A−1 = A−1∙A = E

Наш калькулятор поддерживает два различных способа вычисления обратной матрицы: по методу Гаусса-Жордана и при помощи построения алгебраических дополнений к исходной матрице.

Для нахождения обратной матрицы по методу Гаусса-Жордана, к исходной матрице справа дописывают единичную матрицу:

( A | E )

Затем, с помощью элементарных преобразований приводят исходную матрицу к единичной, выполняя теже самые операции и над единичной матрицей, записанной справа. В результате таких действий исходная матрица приводится к единичной, а единичная к обратной:

( A | E) → ( E | A−1)

Метод довольно простой, удобный и не очень трудоемкий.

Для нахождения обратной матрицы при помощи метода алгебраических дополнений используют следующую формулу:

где | A | — определитель матрицы A,
Ai j — алгебраическое дополнение элемента ai j матрицы A.

По определению:

Ai j = (-1) i+j Mi j

где Mi j — минор элемента ai j матрицы A.

По определению — минор элемента ai j матрицы A — это определитель, полученный путем вычеркивания i строки, j столбца матрицы A.

Таким образом, метод алгебраических дополнений для вычисления обратной матрицы порядка n является достаточно трудоемким, поскольку помимо определителя исходной матрицы, нужно вычислить n2 определителей n-1 порядка.

Матрицы. Действия над матрицами.

Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Линейная алгебра. Вектора, матрицы, определители, миноры, детерминанты…  / / Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Поделиться:   

Матрицы, виды матриц, типы матриц. Действия и операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

  • Матрицы (и соответственно математический раздел — матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин «матрица» появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
  • Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.
    • Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
    • Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,…, ann .
  • Виды матриц
  • 1. Прямоугольные: m и n — произвольные положительные целые числа
  • 2. Квадратные: m=n
  • 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) — во многих практических задачах такая матрица называется вектором
  • 4. Матрица столбец: n=1. Например
  • 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например
  • 6. Единичная матрица: m=n и
  • 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,…,m / j=1,2,…,n
  • 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
    • Пример.
  • 9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=A
    • Например,
  • 10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)
    • Пример.
    • Ясно, A’=-A
  • 11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji— комплексно — сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно — сопряженное Ã=3-2i)
    • Пример
  • Равенство матриц.
    • A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,. ..,m; j=1,2,…,n)
  • Пример

  • Свойства операций над матрицами
    • A+B=B+A
    • (A+B)+C=A+(B+C)
    • λ(A+B)=λA+λB
    • A(B+C)=AB+AC
    • (A+B)C=AC+BC
    • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
    • A(BC)=(AB)C
    • (A’)’=A
    • (λA)’=λ(A)’
    • (A+B)’=A’+B’
    • (AB)’=B’A’
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Обратная матрица — определение, формула, примеры, часто задаваемые вопросы

Обратная матрица для матрицы A обозначается A -1 . Обратную матрицу 2 × 2 можно вычислить по простой формуле. Кроме того, чтобы найти обратную матрицу 3 × 3, нам нужно знать определитель и сопряженную матрицу. Обратной матрицей является другая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную идентичность.

Обратная матрица используется для нахождения решения линейных уравнений методом обращения матриц.Здесь давайте узнаем о формуле, методах и терминах, связанных с обратной матрицей.

Что такое обратная матрица?

, обратная матрице , является другой матрицей, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную идентичность. Для матрицы A ее обратной является A -1 , и A.A -1 = A -1 · A = I, где I — единичная матрица. Матрица, определитель которой отличен от нуля и для которой можно вычислить обратную матрицу, называется обратимой матрицей.Например, инверсия A = \(\left[\begin{array}{rr}
1&-1\\
0 и 2
\end{массив}\right]\) равно \(\left[\begin{array}{cc}
1&1/2\\
0 и 1/2
\end{массив}\right]\) как

  • AA -1 = \(\left[\begin{array}{rr}
    1&-1\\
    0 и 2
    \end{массив}\right]\) \(\left[\begin{массив}{cc}
    1&1/2\\
    0 и 1/2
    \end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{массив}{cc}
    1 & 0 \\\
    0 и 1
    \конец{массив}\справа]\) = I
  • A -1 · A = \(\left[\begin{array}{cc}
    1&1/2\\
    0 и 1/2
    \end{массив}\right]\) \(\left[\begin{массив}{rr}
    1&-1\\
    0 и 2
    \end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{массив}{cc}
    1 & 0 \\\
    0 и 1
    \конец{массив}\справа]\) = I

Но как найти обратную матрицу? Давайте посмотрим в следующих разделах.

Формула обратной матрицы

В случае действительных чисел обратным любому вещественному числу a было число a -1 , такое, что a умножить на a -1 равно 1. Мы знали, что для действительного числа Число, обратное числу, было обратным числом, если число не равно нулю. Обратной квадратной матрицей A, обозначаемой A -1 , является матрица, так что произведение A и A -1 является единичной матрицей.Полученная единичная матрица будет того же размера, что и матрица A.

Поскольку |А| находится в знаменателе формулы, обратная матрица существует только в том случае, если определитель матрицы имеет ненулевое значение. т. е. |А| ≠ 0,

Формула обратной матрицы в математике

Формула обратной матрицы для матрицы A задается как

  • А -1 = прил(А)/|А|; |А| ≠ 0

, где A — квадратная матрица.

Примечание. Для существования обратной матрицы:

  • Данная матрица должна быть квадратной.
  • Определитель матрицы не должен быть равен нулю.

Термины, относящиеся к обратной матрице

Приведенные ниже термины помогают лучше понять и упростить расчет обратной матрицы.

Минор: Минор определяется для каждого элемента матрицы. Минором конкретного элемента называется определитель, полученный после исключения строки и столбца, содержащих этот элемент.Для матрицы A = \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\end{pmatrix}\), минор элемента \(a_{11}\) равен:

Минор от \(a_{11}\) = \(\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|\)

Кофактор: Кофактор элемента вычисляется путем умножения минора с -1 на показатель степени суммы элементов строки и столбца в порядке представления этого элемента.

Кофактор \(a_{ij}\) = (-1) i + j × минор \(a_{ij}\).

Определитель: Определитель матрицы — это представление единственного уникального значения матрицы. Определитель матрицы можно вычислить относительно любой строки или столбца данной матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведения элементов и его сомножителей определенной строки или столбца матрицы.

Сингулярная матрица: Матрица, детерминант которой равен нулю, называется сингулярной матрицей.Для сингулярной матрицы A |A| = 0. Обратная сингулярная матрица не существует.

Несингулярная матрица: Матрица, значение определителя которой не равно нулю, называется невырожденной матрицей. Для невырожденной матрицы |A| ≠ 0. Несингулярная матрица называется обратимой матрицей, поскольку ее обратную можно вычислить.

Сопряженная матрица: Сопряженная матрица является транспонированием матрицы элементов кофактора данной матрицы.

Правила для операций со строками и столбцами определителя: Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами над определителями.

  • Значение определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.
  • Знак определителя меняется, если поменять местами любые две строки или (два столбца).
  • Если любые две строки или столбца матрицы равны, то значение определителя равно нулю.
  • Если каждый элемент определенной строки или столбца умножается на константу, то значение определителя также умножается на константу.
  • Если элементы строки или столбца выражены в виде суммы элементов, то определитель может быть выражен в виде суммы определителей.
  • Если элементы строки или столбца сложить или вычесть с соответствующими кратными элементами другой строки или столбца, то значение определителя остается неизменным.

Методы поиска обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти двумя способами. Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных операций и с помощью сопряженной матрицы. Элементарные операции над матрицей можно выполнять с помощью преобразований строк или столбцов. Кроме того, обратную матрицу можно вычислить, применяя формулу обратной матрицы с использованием определителя и сопряженной матрицы. Для выполнения обратной матрицы с помощью элементарных операций со столбцами мы используем матрицу X и вторую матрицу B в правой части уравнения.

  • Элементарные операции со строками или столбцами
  • Обратная матричная формула (с использованием сопряженного и определителя матрицы)

Проверим каждый из способов, описанных ниже.

Элементарные операции с строками

Чтобы вычислить обратную матрицу A с помощью элементарных преобразований строк, мы сначала берем расширенную матрицу [A | I], где I — единичная матрица, порядок которой такой же, как у A. Затем мы применяем операции ropw для преобразования левой части A в I. Затем матрица преобразуется в [I | А -1 ]. Для получения более подробной информации о процессе нажмите здесь.

Элементарные операции со столбцами

Мы также можем применить операции со столбцами так же, как процесс был объяснен для операций со строками, чтобы найти обратную матрицу. {1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\ )

Adj A = Транспонирование матрицы кофакторов

= транспонировать \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33 }\конец{pmatrix}\)

=\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\ конец {pmatrix}\)

А -1 = \(\dfrac{1}{|A|}.\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix} \)

В этом разделе мы изучили различные методы вычисления обратной матрицы. Давайте лучше поймем это, используя несколько примеров для разных порядков матриц в разделе «Примеры» ниже.

Обратная матрица 2 × 2

Обратную матрицу 2 × 2 легче вычислить по сравнению с матрицами более высокого порядка. Мы можем вычислить обратную матрицу 2 × 2, используя общие шаги для вычисления обратной матрицы.Найдем обратную матрицу 2 × 2, приведенную ниже:
A = \(\begin{bmatrix} a & b \\ \\ c & d \end{bmatrix}\)
A -1 = (1/|A|) × Adj A
= [1/(ad — bc)] × \(\begin{bmatrix} d & -b \\ \\ -c & a \end{bmatrix}\)
Следовательно, чтобы вычислить обратную матрицу 2 × 2, нам нужно сначала поменять местами члены a и d и поставить отрицательные знаки для членов b и c, а затем разделить на определитель матрицы.

Обратная матрица 3 × 3

Мы знаем, что для каждой неособой квадратной матрицы A существует обратная матрица A -1 такая, что A × A -1 = I.Возьмем любую квадратную матрицу 3 × 3, заданную как

.

A = \(\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\)

Обратную матрицу 3×3 можно рассчитать по формуле обратной матрицы: A -1 = (1/|A|) × Adj A

Сначала проверим, является ли данная матрица обратимой, т. е. |A| ≠ 0. Если существует обратная матрица, мы можем найти сопряженную данную матрицу и разделить ее на определитель матрицы.

Аналогичным методом можно найти обратную любую матрицу размера n × n. Давайте посмотрим, можно ли использовать аналогичные шаги для вычисления обратной матрицы m × n.

Обратная матрица 2 × 3

Мы знаем, что первое условие существования обратной матрицы состоит в том, что данная матрица должна быть квадратной. Кроме того, определитель этой квадратной матрицы не должен быть равен нулю. Это означает, что обратной матрицы порядка m × n не будет, где m ≠ n. Следовательно, мы не можем вычислить обратную матрицу 2 × 3.

Обратная матрица 2 × 1

Подобно обратной матрице 2 × 3, обратной матрице 2 × 1 также не будет существовать, поскольку данная матрица не является квадратной матрицей.

Определитель обратной матрицы

Определитель обратной обратимой матрицы является обратным определителем исходной матрицы. т. е. det(A -1 ) = 1/det(A). Проверим доказательство предыдущего утверждения.

Мы знаем, что det(A • B) = det (A) × det(B)

Кроме того, A × A -1 = I

det(A • A -1 ) = det(I)

или det(A) × det(A -1 ) = det(I)

Так как det(I) = 1

det(A) × det(A -1 ) = 1

или det(A -1 ) = 1 / det(A)

Значит, доказано.

Темы, относящиеся к обратной матрице:

Следующие связанные ссылки помогут лучше понять обратную матрицу.

Важные моменты по обратной матрице:

Следующие пункты помогут лучше понять идею обратной матрицы.

  • Обратная квадратная матрица, если она существует, уникальна.
  • Если A и B две обратимые матрицы одного порядка, то (AB) -1 = B -1 A -1 .
  • Обратная квадратная матрица A существует, только если ее определитель не равен нулю, |A| ≠ 0,
  • Элементы строки или столбца, если их умножить на элементы сомножителя любой другой строки или столбца, то их сумма равна нулю.
  • Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей двух отдельных матриц. |АВ| = |А|.|В|

Давайте посмотрим, как использовать формулу обратной матрицы в следующем разделе решенных примеров.

Часто задаваемые вопросы об обратной матрице

Что такое обратная матрица?

, обратная матрице , является другой матрицей, которая при умножении на данную матрицу дает мультипликативную идентичность. Для матрицы A обратная ей равна A -1 , а A.A -1 = I. Общая формула обратной матрицы равна присоединенной матрице, деленной на определитель матрицы.

А -1 = \(\dfrac{1}{|A|}\).Прил А

Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если определитель матрицы имеет ненулевое значение.

Как найти обратную матрицу?

Обратная квадратная матрица находится в два простых шага. Сначала вычисляются определитель и сопряженный к данной квадратной матрице. Далее сопряженная матрица делится на определитель, чтобы найти обратную квадратную матрицу. Обратная матрица A равна \(\dfrac{1}{|A|}\).Adj A.

Как найти обратную матрицу 2 × 2?

Обратная матрица 2 × 2 равна сопряженной матрице, деленной на определитель матрицы.Для матрицы A = \(\left(\begin{matrix}a&b\\ \\c&d\end{matrix}\right)\) ее сопряженный равен перестановке элементов первой диагонали и смене знака элементов второй диагонали. Формула обратной матрицы выглядит следующим образом.

A -1 = \(\dfrac{1}{ad — bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\\\-c&a\end{matrix}\right)\)

Как использовать обратную матрицу?

Обратная матрица полезна при решении уравнений методом обращения матриц.Метод обращения матриц с использованием формулы X = A -1 B, где X — переменная матрица, A — матрица коэффициентов, а B — постоянная матрица.

Можно ли вычислить обратную матрицу для обратимой матрицы?

Да, для обратимой матрицы можно вычислить обратную матрицу. Матрица, определитель которой не равен нулю, является невырожденной матрицей. А для невырожденной матрицы мы можем найти определитель и обратную матрицу.

Когда в некоторых случаях обратная матрица не существует?

Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если значение ее определителя не равно нулю и данная матрица является квадратной матрицей.Поскольку сопряженная матрица делится на определитель матрицы, чтобы получить обратную матрицу. Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной матрицей. Обратное не определено для прямоугольных матриц.

Какая формула обратной матрицы?

Формула обратной матрицы используется для определения обратной матрицы для любой заданной матрицы. Обратная квадратная матрица A равна A -1 только тогда, когда: A × A -1 = A -1 × A = I .Формула обратной матрицы может быть представлена ​​как A -1 = adj(A)/|A|; |А| ≠ 0, где A — квадратная матрица.

Учитывая матрицу 2 × 2, какова формула для нахождения обратной матрицы?

Для данной матрицы 2 × 2 A = \(\left(\begin{matrix}a&b\\ \\c&d\end{matrix}\right)\) , обратная дается A -1 = \(\ dfrac{1}{ad — bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\\\-c&a\end{matrix}\right)\). Здесь A -1 является обратным A.

Как использовать формулу обратной матрицы?

Формулу обратной матрицы можно использовать, выполнив указанные шаги:

  • Шаг 1: Найдите матрицу миноров для данной матрицы. {-1} \mathbf{b}\]

    Следующие примеры иллюстрируют основные свойства обратной матрицы.{-1} = а / а = 1\).

    NB: Иногда вы можете получить очень маленькие недиагональные значения (например, 1.341e-13 ). Функция zapsmall() округлит их до 0,

      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1 0 0
    ## [2,] 0 1 0
    ## [3,] 0 0 1  

    3. Обратное является

    рефлексивным : инв(инв(А)) = А

    Двойное выполнение обратного действия вернет вас к тому, с чего вы начали.

      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 5 1 0
    ## [2,] 3 -1 2
    ## [3,] 4 0 -1  

    4.

    inv(A) является симметричным тогда и только тогда, когда A симметричен
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 0,0625 0,6875 0,25
    ## [2,] 0,0625 -0,3125 0,25
    ## [3,] 0,1250 -0,6250 -0,50  
      ## [1] ЛОЖЬ  
      is_symmetric_matrix(инв(t(A)) )  
      ## [1] ЛОЖЬ  

    Вот симметричный корпус:

      B <- матрица( c(4, 2, 2,
                      2, 3, 1,
                      2, 1, 3), nrow=3, byrow=ИСТИНА)
       инв(Б)  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 0. 50 -0,25 -0,25
    ## [2,] -0,25 0,50 0,00
    ## [3,] -0,25 0,00 0,50  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 0,50 -0,25 -0,25
    ## [2,] -0,25 0,50 0,00
    ## [3,] -0,25 0,00 0,50  
      ## [1] ИСТИНА  
      is_symmetric_matrix(инв(t(B)) )  
      ## [1] ИСТИНА  
      все.равно(инв(В), инв(т(В)) )  
      ## [1] ИСТИНА  

    Дополнительные свойства обратной матрицы

    1.обратная диагональная матрица = diag(1/диагональ)

    В этих простых примерах часто бывает полезно показать результаты матричных вычислений в виде дробей, используя MASS::fractions() .

      D <- диаг(с(1, 2, 4))
       инв(Д)  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1 0,0 0,00
    ## [2,] 0 0,5 0,00
    ## [3,] 0 0,0 0,25  
      MASS::fractions( diag(1 / c(1, 2, 4)) )  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1 0 0
    ## [2,] 0 1/2 0
    ## [3,] 0 0 1/4  

    2.

    Инверсия инверсии: инв(инв(А)) = А
      A <- matrix(c(1, 2, 3, 2, 3, 0, 0, 1, 2), nrow=3, byrow=TRUE)
       AI <- инв(А)
       инв (ИИ)  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1 2 3
    ## [2,] 2 3 0
    ## [3,] 0 1 2  

    3. инверсия транспонирования

    : inv(t(A)) = t(inv(A))
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1,50 -1,0 0,50
    ## [2,] -0.25 0,5 -0,25
    ## [3,] -2,25 1,5 -0,25  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1,50 -1,0 0,50
    ## [2,] -0,25 0,5 -0,25
    ## [3,] -2,25 1,5 -0,25  

    4. обратная скалярная * матрица:

    inv(k*A) = (1/k) * inv(A)
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 0,3 -0,05 -0,45
    ## [2,] -0,2 0,10 0,30
    ## [3,] 0,1 -0,05 -0,05  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 0,3 -0,05 -0.45
    ## [2,] -0,2 0,10 0,30
    ## [3,] 0,1 -0,05 -0,05  

    5. инверсия матричного произведения:

    инв(А * В) = инв(В) %*% инв(А)
      B <- матрица(c(1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 4, 1), nrow=3, byrow=TRUE)
       С <- С[, 3:1]
       А %*% В  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 9 20 10
    ## [2,] 5 13 12
    ## [3,] 5 11 4  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 4,0 -1. 50 -5,50
    ## [2,] -2,0 0,70 2,90
    ## [3,] 0,5 -0,05 -0,85  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 4,0 -1,50 -5,50
    ## [2,] -2,0 0,70 2,90
    ## [3,] 0,5 -0,05 -0,85  

    Это распространяется на любое количество терминов: инверсия произведения есть произведение инверсий в обратном порядке.

      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 77 118 49
    ## [2,] 53 97 42
    ## [3,] 41 59 24  
      ## [,1] [,2] [,3]
    ## [1,] 1.{-1}\) 
     

    Определитель обратного является обратным (обратным) определителю

      ## [1] 0,25  
      ## [1] 0,25  

    Геометрические интерпретации

    Некоторые из этих свойств обратной матрицы легче понять из геометрических диаграмм. Здесь мы берем \(2 \times 2\) невырожденную матрицу \(A\),

      A <- матрица(с(2, 1,
                  1, 2), nrow=2, byrow=ИСТИНА)
    А  
      ## [,1] [,2]
    ## [1,] 2 1
    ## [2,] 1 2  
      ## [1] 3  

    Чем больше определитель \(A\), тем меньше определитель \(A^{-1}\).

      AI <- инв(А)
    МАССА :: дроби (AI)  
      ## [,1] [,2]
    ## [1,] 2/3 -1/3
    ## [2,] -1/3 2/3  
      ## [1] 0,3333  

    Теперь начертите строки \(A\) как векторы \(a_1, a_2\) из начала координат в двумерном пространстве. Как показано в виньетке ("det-ex1") , площадь параллелограмма, определяемая этими векторами, является определителем.

      пар(mar=c(3,3,1,1)+.1)
    xlim <- c(-1,3)
    илим <- с(-1,3)
    график (xlim, ylim, тип = "n", xlab = "X1", ylab = "X2", asp = 1)
    сумма <- А[1,] + А[2,]
    # нарисуйте параллелограмм, определяемый строками A
    polygon( rbind(c(0,0), A[1,], sum, A[2,]), col=rgb(1,0,0,.{-1} = I\). 

Может возникнуть вопрос, зависят ли эти свойства от симметрии \(A\), поэтому вот еще один пример для матрицы A <- matrix(c(2, 1, 1, 1), nrow=2) , где \(\det(A)=1\).

  (A <- матрица (c(2, 1, 1, 1), nrow=2))  
  ## [,1] [,2]
## [1,] 2 1
## [2,] 1 1  
  ## [,1] [,2]
## [1,] 1 -1
## [2,] -1 2  

Площади двух параллелограммов одинаковы, потому что \(\det(A) = \det(A^{-1}) = 1\).

Нахождение обратной матрицы

Матрица Инверсия:
  Нахождение обратной матрицы
(стр. 1 из 2)


Для матриц есть нет такого понятия, как деление. Можете добавить, вычитать и умножать матрицы, но разделить их нельзя.Однако существует родственное понятие, который называется «инверсия». Сначала я расскажу, почему инверсия полезно, а потом я покажу вам, как сделать это.


Вспомните, когда вы впервые узнал, как решить линейные уравнения. Если вам дали что-то вроде "3 x = 6", вы бы решить, разделив обе части на 3. Так как умножить на 1/3 то же, что деление на 3, вы также можете умножить обе части на 1/3 чтобы получить тот же ответ: х = 2. Если вам нужно было решить что-то вроде "(3/2) х = 6", вы можете по-прежнему делим обе части на 3/2, но, вероятно, было проще умножить обе части на 2/3. Обратная дробь 2/3 это инверсия 3/2 потому что если умножить две дроби, вы получите 1, что в этом контексте называется «(мультипликативной) идентичностью»: 1 называется тождеством, потому что умножение чего-либо на 1 не меняет своего значения.

Эта терминология и эти факты очень важны для матриц. Если вам дано матричное уравнение как AX = C , где вы даны А и С и просят вычислить X , вы хотите "отделить" матрицу A . Но вы не можете делать деление с матрицами.С другой стороны, что, если вы можно найти обратное A , что-то похожее на нахождение обратной дроби выше? Обратное А , записывается как " А 1 " и произносится " А инверсия", позволит вам отменить A из матричного уравнения, а затем решить для X .

Как появился " A 1 AX " в левой части уравнения превратиться в " X "? Вспомните природу инверсий для правильных чисел.Если у вас есть число (например, 3/2) и обратное ему (в данном случае 2/3) и вы умножаете их, вы получите 1. И 1 это тождество, так называемое потому что 1 x = x для любого числа х . Аналогично работает и с матрицами. Если вы умножаете матрицу (например, А ) и обратное ему (в данном случае
A 1 ), вы получаете личность матрица I .А смысл матрицы идентичности в том, что IX = X для любой матрицы х (разумеется, конечно, «любая матрица правильного размера»).

Следует отметить, что порядок в умножении выше, важно и вовсе не произвольно. Напомним, что для матриц умножение не коммутативно. То есть АБ почти никогда не равен BA .Таким образом, умножая матричное уравнение «слева» (чтобы получить A 1 AX ) совсем не то же самое, что умножать «справа» (на получить AXA 1 ). И нельзя сказать, что товар AXA 1  равно А 1 ТОПОР , потому что вы не можете изменить порядок умножения. Вместо, надо умножить А 1 слева, поставив его рядом с A в исходном матричном уравнении.И так как вы должны сделать то же самое к обеим частям уравнения, когда вы решаете, вы должны умножить "слева" и в правой части уравнения, в результате получается A 1 C . Вы не можете быть случайным с размещением матриц; Ты должен быть точным, правильным и последовательным. Это единственный способ успешно отменить A и решить матричное уравнение.


Как вы видели выше, обратные матрицы могут быть очень полезны для решения матрицы уравнения. Но, учитывая матрицу, как ее инвертировать? Как вы находите обратный? Техника обращения матриц довольно хитрая. За заданная матрица A и обратный A 1 , мы знаем, что у нас есть A 1 A = I . Собирались использовать идентификационную матрицу I  в процесс обращения матрицы.

  • Найдите обратную следующую матрицу.

    Сначала я записываю элементы матрицы A , но я их пишу в матрице двойной ширины:

    В другой половине двойной ширины, я пишу единичную матрицу:

    Сейчас сделаю матрицу операции со строками чтобы преобразовать левую часть двойной ширины в тождество. (Как всегда с операциями со строками, не существует единственно "правильного" способа сделать это. Ниже приведены лишь шаги, которые произошли с меня. Ваши расчеты могут легко выглядеть иначе.)

    Теперь, когда левый сторона двойной ширины содержит идентификатор, правая сторона содержит обратный. То есть обратная матрица такая:

Обратите внимание, что мы можем подтвердить что эта матрица обратна A умножая две матрицы и подтверждая, что мы получаем тождество: Авторские права Элизабет Stapel 2003-2011 Все права защищены

Имейте в виду, что в "реальных жизни», обратная сторона редко представляет собой матрицу, заполненную красивыми, аккуратными целыми номера такие.Однако, если повезет, особенно если вы делаете инверсии вручную, вам дадут хорошие, подобные этому, чтобы сделать.

Топ |  1 | 2   | Возвращение к индексу  Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Матричная инверсия: поиск обратной матрицы. Пурпурная математика . Доступен по номеру
     https://www.purplemath.com/modules/mtrxinvr.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Обратная квадратная матрица

6.3 - Обратная квадратная матрица

Реальные числа

При работе с действительными числами уравнение ax=b может быть решено относительно x путем деления обоих стороны уравнения на a, чтобы получить x = b / a, если a не равно нулю. Поэтому казалось бы логичным что при работе с матрицами можно взять матричное уравнение AX=B и разделить оба стороны на A, чтобы получить X=B/A.

Однако это не сработает, потому что...

Разделения матрицы НЕТ!

Хорошо, скажете вы. Вычитание определялось сложением, а деление определялось с помощью умножение. Так что вместо деления я просто умножу на обратное. Вот как это должно быть сделано.

Обратная матрица

Итак, что такое обратная матрица?

Что ж, в действительных числах обратное любому вещественному числу a было число a -1 , такое, что a умножить на a -1 равнялся 1.Мы знали, что для действительного числа обратным числом является обратное число. число, если число не равно нулю.

Обратной квадратной матрицей A, обозначаемой A -1 , является матрица так что произведение А и A -1 — матрица идентичности. Матрица идентичности, которая получается будет того же размера, что и матрица A. Ничего себе, есть а много общего там между действительными числами и матрицами. Это хорошо, правильно - ты не хочу это должно быть что-то совершенно другое.

А(А -1 ) = I или А -1 (А) = I

Однако есть несколько исключений. Во-первых, A -1 делает не означает 1/А. Помните: «Матричного деления не существует!» Во-вторых, A -1 делает не значит взять обратное значение каждого элемента в матрице А.

Требования для инверсии

  1. Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов).
  2. Определитель матрицы не должен быть равен нулю (определители описаны в разделе 6.4). Это вместо того, чтобы действительное число не было нулем, чтобы иметь обратное, определитель не должен быть нулем, чтобы иметь обратную.

Квадратная матрица, имеющая обратную, называется обратимой или невырожденной . Матрица, которой нет есть инверсия называется единственного числа .

Матрица не обязательно должна иметь обратную, но если она есть, то обратная матрица уникальна.

Трудный путь поиска обратного

Обратная матрица A будет удовлетворять уравнению A(A -1 ) = I.

  1. Присоедините единичную матрицу справа от исходной матрицы так, чтобы у вас есть A на левой стороне и единичная матрица на правой стороне. Это будет выглядеть так [ A | я].
  2. Row-reduce (я предлагаю использовать поворот) матрицы пока левая сторона не станет матрицей идентичности. Когда левая сторона - это Личность матрица, правая сторона будет обратным [ I | А -1 ]. Если вы не можете чтобы получить единичную матрицу в левой части, то матрица вырождена и не имеет обратного.
  3. Возьмите расширенную матрицу с правой стороны и назовите ее обратной.

Быстрый способ поиска обратной матрицы 2×2

Обратная матрица 2×2 может быть найдена с помощью ...

  1. Переключатель элементов на главной диагонали
  2. Возьмем противоположные два других элемента
  3. Разделите все значения на определитель матрицы (поскольку мы не говорил об определителе, для системы 2×2 это произведение элементов главной диагонали минус произведение двух других элементов).

Пример ярлыка

Возьмем оригинальную матрицу

Шаг 1, переключение элементов на главной диагонали будет включать в себя переключение 5 и 7.

Шаг 2, возьмите противоположные два других элемента, но оставьте их там, где они есть.

Шаг 3, найдите определитель и разделите на него каждый элемент. Определитель это произведение элементов главной диагонали минус произведение элементы вне главной диагонали.Это означает, что определитель этой матрицы равен 7(5) - (-3)(2) = 35 + 6 = 41. Делим каждый элемент на 41.

Матрица, обратная исходной, равна ...

  5/41 2/41  
  -3/41 7/41  

Теперь, вы говорите, подождите минутку - вы сказали, что деления матриц не было. Разделения по матрице нет. Вы можете умножать или делить матрицу на скаляр (действительное число) и определитель является скаляром.

Использование калькулятора

Теперь, когда вы знаете, как найти матрицу идентичности вручную, давайте поговорим о практичности. Калькулятор сделает это за вас.

Вход в матрицу

  1. Нажмите клавишу Matrix (прямо под клавишей X). На TI-83+ вам понадобится чтобы поразить 2 Матрицу.
  2. Стрелка в подменю Правка.
  3. Выберите матрицу для работы. У вас есть пять на выбор с TI-82 и десять на выбор. выбрать из с TI-83.Как правило, вы будете использовать [A]. Старайтесь не использовать [E] для неуказанные причины, которые будут указаны, если вы возьмете конечную математику.
  4. Введите количество строк, нажмите клавишу ввода, затем введите количество столбцов, а затем входить.
  5. Теперь вы вводите каждый элемент в матрицу, читая слева направо и сверху вниз. Нажмите вводите после каждого числа. Вы можете использовать клавиши со стрелками для перемещения, если вы допустили ошибку.
  6. Выйти (режим 2 и ), когда вы закончите ввод всех цифр.

Использование матриц

Всякий раз, когда вам нужно получить доступ к созданной вами матрице, просто нажмите клавишу Matrix и выберите соответствующую матрицу. Я бы посоветовал вам начать использовать Матрицу 1, Матрицу 2 и т. д. вместо Матрица, стрелка вниз, ввод. Это пойдет быстрее, и вы будете много делать с этими матрицами.

Нахождение обратной матрицы на калькуляторе

Введите выражение [A] -1 , перейдя в Matrix 1 и нажав клавишу x -1 .(-1).

Возможно, вам придется использовать клавиши со стрелками вправо или влево, чтобы прокрутить всю матрицу, чтобы записать ее. вниз. По возможности давайте точные ответы.

Один из способов дать точные ответы — заставить калькулятор преобразовать десятичные дроби в дроби. ты. В конце концов, дроби действительно ваши друзья (и я серьезно говорю об этом здесь). Вы можете иметь Калькулятор преобразует десятичную дробь в дробь, нажав Math, Enter, Enter.

Кроме того, если вы получите ответ типа 1. 2E-12, скорее всего действительно хорошо, что число равно нулю, и это из-за неточностей в калькуляторе что вы получаете этот ответ. Преобразовать число до нуля.

Зачем нужна была инверсия?

Я так рад, что вы спросили об этом.

Одним из основных применений инверсий является решение системы линейных уравнений. Вы можете записать систему в матричной форме как AX = B.

Теперь предварительно умножьте обе части на обратную А. Убедитесь, что вы соответствуете этим два условия.

  1. Вы должны поместить обратную матрицу рядом с матрицей. Это потому что инверсии должны быть рядом друг с другом (очень свободно математически, но вернемся к функциям), чтобы отменить друг друга.
  2. Если вы умножаете, помещая что-то перед левой стороной (предварительно умножая), он должен идти впереди правой стороны. Если вы положите что-то позади (после умножения) левая сторона, она должна идти за правой стороной.

Умножение матриц НЕ является коммутативным!

А -1 (АХ) = А -1 (В) . .. предварительно умножить с обеих сторон по A -1

(A -1 A) X = A -1 B ... использовать ассоциативный свойство перегруппировать факторы

I X = A -1 B ... при умножении инверсий вместе они становятся идентификационной матрицей

X = A -1 B ... единичная матрица похожа на умножение на 1.

Если AX = B, то X = A -1 B

Итак, вы со своим обычным цинизмом спрашиваете: «Вы только что решили другое уравнение, что это как-то связано?"

Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

 3x + 2y - 5z = 12
 х - 3у + 2г = -13
5х - у + 4г = 10 

Запишите коэффициенты в матрицу A.

  х г с  
  3 2 -5  
  1 -3 2  
  5 -1 4  

Запишите переменные в матрицу X.

Запишите константы в матрицу B.

  12  
  -13  
  10  

Убедитесь, что AX = B

Этот шаг на самом деле не нужен, но я хотел показать вам, что эта штука действительно работает.

AX будет (3×3) × (3×1) = 3×1 матрица. Матрица B также является матрицей 3 × 1, поэтому по крайней мере размеры правильно заниматься.

Вот A раз X.

  3 2 -5       х       3x + 2y - 5z  
  1 -3 2       и   =   1х - 3г + 2г  
  5 -1 4       по       5х - 1г + 4з  

Обратите внимание, что это левая часть системы уравнений. То B — правая часть, поэтому мы добились равенства. Ууууу! Ты можешь написать система линейных уравнений в виде AX = B.

Итак, если вы можете записать систему линейных уравнений в виде AX=B, где A — коэффициент матрица, X — переменная матрица, а B — правая часть, можно найти решение системы через Х = А -1 Б.

Поместите матрицу коэффициентов в [A] на калькуляторе, а правая рука стороной в [B].

Если вы попросили калькулятор найти обратный коэффициент матрица, это даст вам это для A -1

  5/44 3/88 1/8  
  -3/44 -37/88 1/8  
  -7/44 -13/88 1/8  

Вы могли бы сделать это, а затем умножить это на B, но было бы проще просто ввести целое выражение в калькулятор и сразу получить ответ. Даже то, что показано ниже, требует больше работы, чем необходимо.

Х = А -1 В = ...

  х       5/44 3/88 1/8       12       191/88  
  и   =   -3/44 -37/88 1/8       -13   =   519/88  
  по       -7/44 -13/88 1/8       10       111/88  

Итак, x = 191/88, y = 519/88 и z = 111/88. Это было бы настоящим боль решить вручную.

Это просто, почему бы нам всегда так не делать?

Основная причина в том, что это не всегда работает.

  1. Инверсии существуют только для квадратных матриц. Это означает, что если вы не то же самое количество уравнений в качестве переменных, то вы не можете использовать этот метод.
  2. Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если матрица коэффициентов A сингулярный (не имеет обратного), то решения может не быть или может быть много решений, но мы не можем сказать, что это такое.
  3. Инверсию очень сложно найти вручную. Если у вас есть калькулятор, это не так плохо, но помните, что калькуляторы не всегда дают вам ответ, который вы находясь в поиске.

Что такое обратная матрица?

Обратная матрица A — это матрица, которая при умножении на A дает тождество. Обозначение этой обратной матрицы: A –1 .

реклама

Вы уже знакомы с этой концепцией, даже если не осознаете этого! При работе с такими числами, как 3 или –5, существует число, называемое мультипликативным обратным, на которое вы можете умножить каждое из них, чтобы получить тождество 1. В случае 3 эта обратная сторона равна 1/3, а в случае –5 это –1/5.

Каждая ли матрица имеет обратную?

Думая о числе 0, нет никакого числа, на которое можно было бы умножить его, чтобы получить 1. Таким образом, у числа 0 нет мультипликативного обратного.

Точно так же не каждая матрица имеет обратную. Чтобы это было возможно, матрица должна быть сначала квадратной (то же количество строк, что и столбцов). Даже в этом случае может не быть обратного. Говоря о матрице с обратной или без обратной, используется следующая терминология:

  • Матрица называется обратимой или, реже, невырожденной , если она имеет обратную.
  • Матрица называется единственной или необратимой , если она не имеет обратной.

Часто вы не можете просто посмотреть на матрицу и сказать, обратима она или нет. Рассмотрим следующую матрицу.

Вы можете проверить, что эта матрица необратима, используя свой калькулятор. Или, если вы много изучали линейную алгебру, вы можете сказать это, внимательно изучив столбцы (подсказка: это связано с линейной зависимостью).

Как определить, обратима ли матрица?

Это одна из самых больших областей изучения в курсе линейной алгебры, поскольку оказывается, что обратимые матрицы связаны с системами уравнений и другими понятиями, такими как линейная независимость или зависимость. Эта идея будет рассмотрена в следующих статьях.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), сообщающие вам о новинках!

Родственные

Обратные матрицы

Цели
  1. Поймите, что означает обратимость квадратной матрицы.
  2. Узнайте об обратимых преобразованиях и поймите взаимосвязь между обратимыми матрицами и обратимыми преобразованиями.
  3. Рецепты: вычислить обратную матрицу, решить линейную систему, взяв обратные.
  4. Изображение: обратное преобразование.
  5. Словарные слова: обратная матрица , обратное преобразование .

В разделе 3.1 мы научились перемножать матрицы. В этом разделе мы научимся «делить» по матрице. Это позволяет нам элегантно решить матричное уравнение Ax=b:

Ах=b⇐⇒x=A−1b.

Однако при «делении на матрицы» следует соблюдать осторожность, поскольку не каждая матрица имеет обратную, а порядок умножения матриц важен.

, обратное , или , обратное ненулевого числа a, есть число b, которое характеризуется тем свойством, что ab=1. Например, обратное число 7 равно 1/7. Мы используем эту формулировку для определения обратной матрицы.

Определение

Пусть A — матрица размера n × n (квадратная). Мы говорим, что A является обратимым , если существует n × n матрица B такая, что

AB=In и BA=In.

В этом случае матрица B называется обратной матрицы A, и мы пишем B=A−1.

Мы должны потребовать AB=In и BA=In, потому что в общем случае умножение матриц не является коммутативным. Однако в этом следствии в разделе 3.6 мы покажем, что если A и B являются матрицами размера n × n, такими что AB = In, то автоматически BA = In.

Факты об обратимых матрицах

Пусть A и B — обратимые матрицы размера n × n.

  1. A−1 обратим, и его обращение равно (A−1)−1=A.
  2. AB обратим, и его инверсия равна (AB)−1=B−1A−1 (обратите внимание на порядок).
Доказательство
  1. Уравнения AA-1=In и A-1A=In одновременно отображают A-1 как инверсию A и A как инверсию A-1.
  2. Мы вычисляем

    (B-1A-1)AB=B-1(A-1A)B=B-1InB=B-1B=In.

    Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что InB=B. Это показывает, что B−1A−1 является инверсией AB.

Почему инверсия AB не равна A−1B−1? Если бы это было так, то у нас было бы

In=(AB)(A-1B-1)=ABA-1B-1.

Но нет никаких оснований для того, чтобы ABA-1B-1 равнялась единичной матрице: нельзя поменять местами A-1 и B, поэтому в этом выражении нечего отменять. На самом деле, если In=(AB)(A−1B−1), то мы можем умножить обе части справа на BA, чтобы сделать вывод, что AB=BA. Другими словами, (AB)-1=A-1B-1 тогда и только тогда, когда AB=BA.

В более общем смысле, обратным произведением нескольких обратимых матриц является произведение обратных в обратном порядке; доказательство такое же. Например,

(АВС)-1=С-1В-1А-1.

До сих пор мы определяли обратную матрицу, не давая никакой стратегии ее вычисления. Мы делаем это сейчас, начиная со специального случая матриц 2×2. Затем мы дадим рецепт для случая n×n.

Определение

Определитель матрицы 2×2 есть число

detFabcdG=ad-bc.

Предложение

Пусть A=FabcdG.

  1. Если det(A)A=0, то A обратим и A-1=1det(A)Fd-b-caG.
  2. Если det(A)=0, то A необратима.
  1. Предположим, что det(A)A=0. Определите B=1det(A)Fd-b-caG. потом AB=FabcdG1det(A)Fd-b-caG=1ad-bcFad-bc00ad-bcG=I2. Читатель может проверить, что BA=I2, поэтому A обратимо и B=A−1.
  2. Предположим, что det(A)=ad−bc=0. Пусть T:R2→R2 — матричное преобразование T(x)=Ax. потом

    TF-baG=FabcdGF-baG=F-ab+ab-bc+adG=F0det(A)G=0TFd-cG=FabcdGFd-cG=Fad-bccd-cdG=Fdet(A)0G=0.

    Если А — нулевая матрица, то она, очевидно, необратима. В противном случае один из векторов v=A-baB и v=Ad-cB будет ненулевым вектором в нулевом пространстве вектора A.Предположим, что существует матрица B такая, что BA=I2. потом

    v=I2v=BAv=B0=0,

    что невозможно, так как vA=0. Следовательно, A необратима.

Существует аналогичная формула для обратной матрицы размера n×n, но она не так проста и требует больших вычислительных ресурсов. Заинтересованный читатель может найти его в этом подразделе Раздела 4.2.

Следующая теорема дает общую процедуру вычисления A−1.

Теорема

Пусть A — матрица размера n × n, и пусть (A|In) — матрица, полученная путем увеличения A единичной матрицей.Если редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет форму (In|B), то A обратима и B=A−1. В противном случае A необратима.

Доказательство

Сначала предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) не имеет формы (In|B). Это означает, что в первых n столбцах (нерасширенная часть) содержится менее n опорных точек, поэтому у A меньше n опорных точек. Отсюда следует, что Nul(A)A={0} (уравнение Ax=0 имеет свободную переменную), поэтому в Nul(A) существует ненулевой вектор v. Предположим, что существует матрица B такая, что BA=In.Затем

v=Inv=BAv=B0=0,

, что невозможно, так как vA=0. Следовательно, A необратима.

Теперь предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет вид (In|B). В этом случае все опорные точки содержатся в нерасширенной части матрицы, поэтому расширенная часть не играет роли в сокращении строк: элементы расширенной части не влияют на выбор используемых операций над строками. Следовательно, сокращение строк (A|In) эквивалентно решению n систем линейных уравнений Ax1=e1,Ax2=e2,...,Axn=en, где e1,e2,...,en стандартные векторы координат:

Ax1=e1:C1041000120100-3-4001DAx2=e2:C1041000120100-3-4001DAx3=e3:C1041000120100-3-4001D.

Столбцы x1,x2,...,xn матрицы B в приведенной по строкам форме являются решениями следующих уравнений:

AC100D=e1:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-6-23/2D=e2:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-2-11/2D=e3:C1001- 6-20100-2-100103/21/2Д.

В соответствии с этим фактом в разделе 3.3 произведение Bei является просто i-м столбцом xi матрицы B, поэтому

ei=Axi=ABei

для всех i.По тому же факту i-й столбец матрицы AB равен ei, а это означает, что матрица AB единична. Таким образом, B является инверсией A.

В этом подразделе мы научимся решать Ax=b путем «деления на A».

Теорема

Пусть A — обратимая матрица размера n × n, а b — вектор в Rn. Тогда матричное уравнение Ax=b имеет ровно одно решение:

х=А-1б.

Пруф

Считаем:

Ax=b=⇒A−1(Ax)=A−1b=⇒(A−1A)x=A−1b=⇒Inx=A−1b=⇒x=A−1b.

Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что Inx=x для любого вектора b.

Преимущество решения линейной системы с использованием обратных величин заключается в том, что решение матричного уравнения Ax=b для других или даже неизвестных значений b становится намного быстрее. Например, в приведенном выше примере решение системы уравнений

E2x1+3x2+2x3=b1x1+3x3=b22x1+2x2+3x3=b3,

, где b1,b2,b3 неизвестны, равно

Cx1x2x3D=C232103223D-1Cb1b2b3D=C-6-5932-422-3DCb1b2b3D=C-6b1-5b2+9b33b1+2b2-4b32b1+2b2-3b3D.

Как и в случае умножения матриц, обращение матриц полезно понимать как операцию над линейными преобразованиями.Напомним, что тождественное преобразование на Rn обозначается IdRn.

Определение

Преобразование T:Rn→Rn является обратимым , если существует преобразование U:Rn→Rn такое, что T◦U=IdRn и U◦T=IdRn. В этом случае преобразование U называется обратным преобразования T, и мы пишем U=T−1.

Инверсия U к T «отменяет» все, что сделал T. У нас есть

T◦U(x)=xandU◦T(x)=x

для всех векторов x. Это означает, что если вы примените T к x, затем примените U, вы получите вектор x обратно, и то же самое в другом порядке.

Предложение
  1. Преобразование T:Rn→Rn обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и на.
  2. Если уже известно, что Т обратимо, то U:Rn→Rn является инверсией T при условии, что либо T◦U=IdRn, либо U◦T=IdRn: необходимо проверить только одно.

Сказать, что T является взаимно-однозначным, означает, что T(x)=b имеет ровно одно решение для каждого b в Rn.

Предположим, что T обратим. Тогда T(x)=b всегда имеет единственное решение x=T−1(b): действительно, применение T−1 к обеим частям T(x)=b дает

х=Т-1(Т(х))=Т-1(б),

и применение T к обеим сторонам x=T−1(b) дает

Т(х)=Т(Т-1(б))=б.

Наоборот, предположим, что T взаимно однозначно и на. Пусть b — вектор в Rn, а x=U(b) — единственное решение T(x)=b. Тогда U определяет преобразование из Rn в Rn. Для любого x в Rn имеем U(T(x))=x, поскольку x является единственным решением уравнения T(x)=b при b=T(x). Для любого b в Rn имеем T(U(b))=b, потому что x=U(b) — единственное решение T(x)=b. Следовательно, U является обратным T, а T обратим.

Предположим теперь, что T — обратимое преобразование, а U — другое преобразование, такое что T◦U=IdRn.Мы должны показать, что U=T−1, т. е. что U◦T=IdRn. Сложим обе части равенства T◦U=IdRn слева на T−1 и справа на T, чтобы получить

T−1◦T◦U◦T=T−1◦IdRn◦T.

Имеем T−1◦T=IdRn и IdRn◦U=U, поэтому левая часть приведенного выше уравнения равна U◦T. Аналогично, IdRn◦T=T и T−1◦T=IdRn, так что наше равенство упрощается до U◦T=IdRn, что и требовалось.

Если вместо этого мы предположили только, что U◦T=IdRn, то доказательство того, что T◦U=IdRn, проводится аналогично.

Как и следовало ожидать, матрица, обратная линейному преобразованию, является обратной матрицей преобразования, как утверждает следующая теорема.

Теорема

Пусть T:Rn→Rn — линейное преобразование со стандартной матрицей A. Тогда T обратимо тогда и только тогда, когда обратимо A, и в этом случае T−1 линейно со стандартной матрицей A−1.

Доказательство

Предположим, что T обратим. Пусть U:Rn→Rn — обратное к T. Мы утверждаем, что U линейно. Нам нужно проверить определяющие свойства в Разделе 3.3. Пусть u,v — векторы в Rn. Затем

u+v=T(U(u))+T(U(v))=T(U(u)+U(v))

по линейности Т.Применение U к обеим сторонам дает

U(u+v)=UAT(U(u)+U(v))B=U(u)+U(v).

Пусть c — скаляр. Затем

cu=cT(U(u))=T(cU(u))

по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает

U(cu)=UAT(cU(u))B=cU(u).

Поскольку U удовлетворяет определяющим свойствам в разделе 3.3, это линейное преобразование.

Теперь, когда мы знаем, что U является линейным, мы знаем, что у него есть стандартная матрица B. По совместимости матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U равна AB. Но T◦U — это тождественное преобразование IdRn, а стандартной матрицей для IdRn является In, поэтому AB=In. Аналогичным образом показано, что BA=In. Следовательно, A обратим и B=A−1.

Обратно, предположим, что A обратим. Пусть B=A−1, и определим U:Rn→Rn как U(x)=Bx. По совместимости матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U есть AB=In, а матрица для U◦T есть BA=In. Следовательно,

T◦U(x)=ABx=Inx=xandU◦T(x)=BAx=Inx=x,

, который показывает, что T обратим с обратным преобразованием U.

обратных матриц. На самом деле нет понятия… | Соломон Се | Основы линейной алгебры. Но аналогичным образом мы можем позволить

умножить обратное для достижения той же цели.

Обратитесь к 3Blue1Brown: обратные матрицы, пространство столбцов и нулевое пространство
Обратитесь к математике весело: обратная матрица.

ВНИМАНИЕ, СПОЙЛЕР: ДАЖЕ 3x3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА УЖЕ СЛИШКОМ ТЯЖЕЛАЯ ДЛЯ РАСЧЕТА, ПОЭТОМУ ЛУЧШЕ ПРОСТО ЗАПОМНИТЬ 2x2 И ПОЗВОЛИТЬ КОМПЬЮТЕРУ ВЫПОЛНИТЬ ВСЕ ВЫСШИЕ ИЗМЕРЕНИЯ.

Видео 3Blue1Brown идеально объяснило интуицию этого, почти все, что вам нужно знать. Ссылка: Обратные матрицы, пространство столбцов и пустое пространство

Потому что Матрица A всегда является «Коэффициентом» для вектора или правилом преобразования для вектора, поэтому она всегда находится слева от вектора (или графика).

Это простое, но важное обозначение для деления матрицы.

Identity Matrix - матрица равна числу 1 :

Это очень гораздо интуитивно понятно, чтобы думать 1 Identity Matrix AS один единицу вектора .

    • 1-измерение:
      1 x = 1
    • 2-х измерения: v = (1, 1)
    • 3-х измерения:
    • 3-х измерения: 1 v = (1, 1, 1)
    • Это квадрат (матрица m×m)
    • Он может быть большим или маленьким (2×2, 3×3, 100×100, … любым)
    • Он имеет 1 с по диагонали и 0 s везде
    • Его символ — заглавная буква 𝗜

    Что еще более важно, ОН МОЖЕТ ПЕРЕКЛЮЧАТЬСЯ НА СТОРОНУ ПРИ УМНОЖЕНИИ ДРУГОЙ МАТИРКС!
    Это очень особенное, и ТОЛЬКО матрица может ИГНОРИРОВАТЬ порядок при умножении другой матрицы.

    Два условия делают матрицу НЕобратимой:

    • Матрица не является Квадратной матрицей (матрица m×m).
    • Определитель равен НОЛЬ . Такая матрица также называется сингулярная матрица

    Это также называется 1 , присоединенное к 1 , присоединенное к матрицу , или 3, или Классическое присоединение .

    Обратитесь к математике весело: обратная матрица с использованием миноров, кофакторов и Adjugate.

    «Вычислить это для 2x2 довольно просто, 3x3 становится немного сложно, 4x4 займет у вас весь день, 5x5 вы почти наверняка совершите ошибку по невнимательности, если будете делать обратную матрицу». — Сал Хан

    С матрицей 2x2 вам действительно не нужно много думать и тратить время на полные шаги, просто следуйте этой формуле 1/Определитель × Адьюгат лекции Хана.

    Мы можем вычислить обратную матрицу с помощью:

    • Шаг 1: вычислить матрицу миноров,
    • Шаг 2: затем преобразовать ее в матрицу кофакторов,
    • Шаг 3: затем адьюгат и
    • Шаг 4: умножьте это на 1/Определитель.

    Я склонен не приводить здесь полное содержание, потому что оно бесполезно в обычной математической жизни. Потому что слишком сложно считать даже с матрицей 3x3.