Матрица противоположная: Обратная матрица онлайн

Содержание

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 ,…, a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т. е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A^T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

A^T=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A⁰=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A^T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

a_ij=a_ji ; i=1,2,…n, j=1,2,…n

Что такое обратная матрица и как её найти — Журнал «Код»

10.03.2021

Сложная тема из линейной алгебры.

Недавно мы начали говорить о линейной алгебре и матрицах. Сначала всё было хорошо и легко:

Но начав заниматься линейной алгеброй, бывает трудно остановиться. Сегодня мы познакомимся с обратной матрицей и научимся её вычислять. Это навык, который в будущем нам пригодится для решения матричных уравнений.

С точки зрения арифметики материал не сложный. Но он требует вдумчивого чтения для понимания правил. В итоге статья довольно большая, мозги кипят и танки наши быстры.

Читать ли эту статью?

❌ Если вам нужны простые быстрые решения для жизни — нет, можно объявить, что у вас сегодня выходной.

✅ Если вашему мозгу не хватает вызова и новых горизонтов — велком ту зе матрикс.

Обратное — это как?

В математике есть взаимно обратные числа. Они получаются так: вы берёте какое-то число, добавляете отрицательную степень и получаете обратное число:

Обратные числа при умножении друг на друга всегда дают единицу:

Обратная матрица

В линейной алгебре есть обратные матрицы. По свойствам они напоминают обратные числа: если обычную матрицу умножить на обратную к ней, получится единичная матрица.

Единичная матрица работает как единица с числами: если умножить любое число на единицу, получится исходное число; если умножить любую матрицу на единичную матрицу — получится исходная матрица:

Единичная матрица состоит из единиц и нулей: на диагонали находятся единицы; остальные элементы — нули. Единичные матрицы не используются при расчёте обратных матриц, но без них не получится решать матричные уравнения.

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5. Единичная матрица может быть любого размера — состоять из любого количества строк и столбцов

Как рассчитать обратную матрицу

Для расчёта обратной матрицы нужно выполнить три действия. Пока что не обращайте внимание на термины:

Разделить единицу на матричный определитель.
Найти транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
Перемножить полученные значения.

Далее мы по порядку во всём разберёмся.

Формула расчёта обратной матрицы: |A| — матричный определитель; Aᵀᵢⱼ — матрица алгебраических дополнений

Определитель — это особое число, которое «определяет» свойства матрицы.

Порядок вычисления определителя зависит от размера матрицы, которому он соответствует — чем больше матрица, тем сложнее считать определитель. Мы только знакомимся с матрицами, поэтому остановимся на определителях второго и третьего порядка — они подходят для квадратных матриц размером 2×2 и 3×3.

Чтобы найти определитель второго порядка, нам достаточно умножить элементы главной диагонали и вычесть из значения произведение чисел второй диагонали.

Формула для расчёта определителя второго порядка

Пример расчёта определителя второго порядка

Определитель третьего порядка находится путём умножения диагоналей на треугольники. Здесь много операций, поэтому формулу соберём по частям.

Сначала работаем по главной диагонали: идём от верхнего левого элемента и движемся к правому нижнему элементу. Перемножаем элементы между собой.

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ

Прибавляем к произведению элементов первой диагонали произведение первого треугольника. Основание первого треугольника находится параллельно главной диагонали и состоит из элементов А₂₁ и А₃₂. Вершина — элементА₁₃.

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник

Прибавляем к полученному результату произведение второго треугольника, в котором основание состоит из элементов А₁₂ и А₂₃, а вершина — А₃₁.

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник

Вычитаем из полученного значения произведение элементов второй диагонали. Вторая диагональ начинается в левом нижнем углу и идёт в правый верхний угол.

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ

Вычитаем произведение элементов третьего треугольника, в котором основание — элементы А₁₂ и А₂₁, а вершина — А₃₃.

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник

Последний шаг: вычитаем произведение четвёртого треугольника, с основанием из элементов А₂₃ и А₃₂ и вершиной А₁₁.

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник

Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка

Пример расчёта определителя третьего порядка

Транспонированная матрица алгебраических дополнений вычисляется в три шага:

Мы из исходной матрицы находим матрицу миноров.
Меняем в матрице миноров знак некоторых элементов и получаем матрицу алгебраических дополнений.
Находим транспонированную матрицу из матрицы алгебраических дополнений.

Алгоритм вычислений матрицы миноров и матрицы алгебраических дополнений зависит от размера исходной матрицы — чем она больше, тем сложнее формула расчёта. Поэтому мы рассматриваем только матрицы второго и третьего порядка.

Чтобы найти матрицу миноров второго порядка, нам нужно последовательно зачеркнуть три элемента исходной матрицы:

Вычёркиваем первую строку и первый столбец исходной матрицы — получаем первый элемент первой строки матрицы миноров.
Вычёркиваем первую строку и второй столбец — получаем второй элемент первой строки матрицы миноров.
Вычёркиваем вторую строку и первый столбец — получаем первый элемент второй строки матрицы миноров.
Вычёркиваем вторую строку и второй столбец — получаем второй элемент второй строки матрицы миноров.

Когда матрица миноров составлена — меняем знаки элементов второй диагонали и получаем матрицу алгебраических дополнений. Теперь берём эту матрицу и проводим транспонирование — меняем расположение строк и столбцов. Готово.

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка

Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка

Матрица миноров третьего порядка рассчитывается по следующему принципу:

Последовательно вычёркиваем строки и столбцы.
Получаем четыре элемента и считаем определитель.
Записываем результат в матрицу миноров третьего порядка.

Чтобы не запоминать порядок вычёркивания элементов — попробуйте схему:

Определите элемент, который вы ищете для матрицы. Пусть это будет A₁₁.
Найдите этот же элемент в исходной матрице и отметьте его точкой.
Проведите от этой точки две линии: вдоль строки и вдоль столбца.

После вычёркивания останется квадратная двухразмерная матрица, определитель которой равен разности произведений двух диагоналей.

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы

Матрицу миноров третьего порядка удобно находить на бумаге с помощью ручки, карандаша и ластика — записываете исходную матрицу, карандашом вычёркиваете линии, считаете определитель, вытираете линии и повторяете процедуру. Рекомендуем попробовать и сверить результат с нашими расчётами.

1-я строка 1-й элемент:

Δ = 5×1 — 8×6 = -43

1-я строка 2-й элемент:

Δ = 4×1 — 7×6 = -38

1-я строка 3-й элемент:

Δ = 4×8 — 7×5 = -3

2-я строка 1-й элемент:

Δ = 2×1 — 8×3 = -22

2-я строка 2-й элемент:

Δ = 1×1 — 7×3 = -20

2-я строка 3-й элемент:

Δ = 1×8 — 7×2 = -6

3-я строка 1-й элемент:

Δ = 2×6 — 5×3 = -3

3-я строка 2-й элемент:

Δ = 1×6 — 4×3 = -6

3-я строка 3-й элемент:

Δ = 1×5 — 4×2 = -3

Считаем матрицу алгебраических дополнений: берём матрицу миноров и меняем на противоположный знак в четырёх элементах — изменяем А₁₂, А₂₁, А₂₃ и А₃₂. Транспонируем полученную матрицу и можем переходить к последнему действию.

Получаем из матрицы третьего порядка матрицу миноров

Меняем знаки в матрице миноров и получаем матрицу алгебраических дополнений (Aᵢⱼ)

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров третьего порядка

Мы нашли все компоненты для вычисления обратной матрицы. Осталось их подставить в формулу, перемножить и записать ответ:

Пример вычисления обратной матрицы второго порядка: мы внесли дробь в матрицу, но могли этого не делать — просто так захотелось

Пример вычисления обратной матрицы третьего порядка: мы оставили дробь за пределами матрицы и вынесли из матрицы минус. Матрица — это таблица с числами, поэтому не обращайте внимание, если числа получаются большими или неудобными

Господи, зачем всё это?

Мы понимаем, что это всё кажется совершенно оторванным от жизни. Какие-то миноры, детерминанты, о чём вообще речь?

Смотрите:

Вам не нужно уметь решать все эти уравнения самостоятельно. Для этого давно есть мощные алгоритмы.
Достаточно понимать, из чего всё это складывается. Вот матрица. Вот некий алгоритм, который делает из этой матрицы какую-то другую матрицу. Это всё просто арифметика, числа туда, числа сюда.
В конце этого пути мы покажем, как из этих кубиков собрано машинное обучение. И вы увидите, что машинное обучение — это просто много алгебры. Просто арифметика, числа туда, числа сюда.
И вы понимаете, что никакого искусственного интеллекта не существует. Это всё, от начала и до конца, работа с числами и расчёты по формулам. Просто когда это делается в больших масштабах, создаётся иллюзия осмысленной деятельности. Ключевое слово — иллюзия.

«Программисты, которые умеют писать алгоритмы, — нишевая профессия»

Спокойствие, всё будет хорошо.

Текст:

Александр Бабаскин

Редактура:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Мария Дронова

Соцсети:

Олег Вешкурцев

Получите ИТ-профессию

В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.

Начать карьеру в ИТ

обратная матрица

Сначала прочтите наше введение в матрицы.

Что такое обратная матрица?

Точно так же, как число , число имеет обратную…

Обратное число (примечание: 1 8 также может быть записано как 8 ^-1 )

… матрица имеет обратную :

Обратная матрица

Мы пишем A ^-1 вместо 1 A потому что мы не делим на матрицу!

Есть и другие сходства:

, когда мы умножим номер на его взаимный , мы получаем 1 :

8 × 1

8 = 1

, когда мы умножьте матрицу на его

Идентификационная матрица (что похоже на «1» для матриц):

A × A ^-1 = I

То же самое, когда сначала идет инверсия:

1 8 × 8 = 1

А ^-1 × А = I

Матрица идентичности

Мы только что упомянули «Матрицу личности». Это матричный эквивалент числа «1»:

.
I =
100 010 001
Идентификационная матрица 3×3
Это «квадрат» (имеет такое же количество строк, как и столбцов),

У него 1 с по диагонали и 0 с везде.
Его символ — заглавная буква I .
Матрица идентичности может быть размером 2×2 или 3×3, 4×4 и т. д.
Определение
Вот определение:
Обратное к A равно A ^-1 только тогда, когда:
AA ^-1 = A ^-1 A = I
Иногда обратного нет вообще.
(Примечание: запись AA ^-1 означает A умножить на A ^-1 )
Матрица 2×2
Хорошо, а как вычислить обратное?
Ну, для матрицы 2×2 обратное:
−1 = 1 ad−bc
d−b −ок
Другими словами: поменять
местами a и d, поставить отрицательных чисел перед b и c, и разделить все на ad-bc .
Примечание: ad-bc называется определителем.
Давайте попробуем пример:
−1 = 1 4×6−7×2
6−7 −24

= 1 10
6−7 −24

=
0,6−0,7 −0,20,4
Откуда мы знаем, что это правильный ответ?
Помните, должно быть верно, что: AA ^-1 = I
Итак, давайте проверим, что произойдет, если мы умножим матрицу на обратную:

0,6−0,7 −0,20,4
=
4×0,6+7×−0,24×−0,7+7×0,4 2×0,6+6×−0,22×−0,7+6×0,4

=
2,4−1,4−2,8+2,8 1,2−1,2−1,4+2,4

И, эй!, мы получаем Матрицу Личности!
Так и должно быть.
Должно быть верно и , что: A ^-1 A = I
Почему бы тебе не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также матрицу идентичности:
0,6−0,7 −0,20,4
=
Зачем нужна инверсия?
Потому что с матрицами мы не делить ! Серьезно, нет понятия деления на матрицу.

Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.
Представьте, что мы не можем делить на числа…
… и кто-то спрашивает: «Как мне разделить 10 яблок с двумя людьми?»
Но мы можем взять обратное от 2 (что равно 0,5), поэтому мы ответим:
10 × 0,5 = 5
Каждый из них получил по 5 яблок.
То же самое можно сделать с матрицами:
Допустим, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:
XA = B
Было бы неплохо разделить обе части на A (чтобы получить X=B/A), но помните, что мы можем’ t разделить .

Но что, если мы умножим обе части на A ^-1?
XAA ^-1 = BA ^-1

И мы знаем, что AA ^-1 = I, поэтому:
XI = BA ^-1
Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить I можно удалить «1» из 1x = ab для чисел):
X = BA ^-1
И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A ^-1 )
В этом примере мы очень внимательно следили за правильным умножением, потому что в случае с матрицами важен порядок умножения. AB почти никогда не равен BA.
Пример из жизни: автобус и поезд
Группа совершила поездку на автобусе по цене 3 доллара США за ребенка и 3,20 доллара США за взрослого на общую сумму 118,40 долларов США.

Они взяли поезд обратно по 3,50 доллара за ребенка и 3,60 доллара за взрослого, всего 135,20 доллара.
Сколько детей и сколько взрослых?
Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте внимательны, чтобы строки и столбцы были правильными!):
Это точно так же, как в примере выше:
ХА = В
Итак, чтобы решить это, нам нужно обратное «А»:
33,5 3.23.6
−1 = 1 3×3,6−3,5×3,2
3,6−3,5 −3,23

=
−98,75 8−7,5

Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить, используя:
Х = БА ^-1
=

118,4 135,2
−98,75 8−7,5

=
118,4×−9 + 135,2×8118,4×8,75 + 135,2×−7,5

Было 16 детей и 22 взрослых!
Ответ появляется почти как по волшебству. Но он основан на хорошей математике.
Подобные расчеты (но с использованием гораздо более крупных матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации для придания трехмерности и во многих других местах.
Это также способ решения систем линейных уравнений.
Расчеты выполняются компьютером, но люди должны понимать формулы.

Заказ важен
Скажем, что мы пытаемся найти «X» в этом случае:
AX = B
Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.
С матрицами порядок умножения обычно меняет ответ. Не думайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.

Итак, как решить эту задачу? Используя тот же метод, но поместив A ^-1 впереди:
A ^-1 AX = A ^-1 B
И мы знаем, что A ^-1 A= I, поэтому:
IX = A ^-1 B
Мы можем удалить I:
X = A ^-1 B
И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A
-1 )
Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.
Это можно сделать и так, но мы должны быть осторожны при настройке.
Вот как это выглядит, когда AX = B:
33,2 3.53.6
=
118,4 135,2
Выглядит так аккуратно! Я думаю, что предпочитаю это так.
Также обратите внимание, как строки и столбцы меняются местами в
(«Транспонированные») по сравнению с предыдущим примером.
Чтобы решить это, нам нужно обратное «А»:

33,2 3.53.6
−1 = 1 3×3,6−3,2×3,5
3,6−3,2 −3,53

=
−98 8,75−7,5
Это похоже на инверсию, которую мы получили раньше, но
Transposed (строки и столбцы меняются местами).
Теперь мы можем решить, используя:
Х = А ^-1 В
=
−98 8,75−7,5
118,4 135,2

=
−9×118,4 + 8×135,2 8,75×118,4 − 7,5×135,2

Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.
Итак, матрицы — мощная штука, но их нужно правильно настроить!

Обратное может не существовать
Прежде всего, чтобы получить обратную матрицу, она должна быть «квадратной» (одинаковое количество строк и столбцов).
Но также и определитель не может быть равен нулю (иначе мы закончим делением на ноль). Как насчет этого:
−1 = 1 3×8−4×6
8−4 −63

= 1 24−24
8−4 −63
24−24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Дальше идти нельзя! Эта матрица не имеет обратной.
Такая матрица называется «Singular»,
что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл… посмотрите на числа: вторая строка просто удваивает первую строку, и не добавляет никакой новой информации .
И определитель 24−24 позволяет нам узнать об этом факте.
(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены в поезде были ровно на 50% выше, чем в автобусе: так что теперь мы не можем понять никаких различий между взрослыми и детьми. Должно быть что-то, что отличало бы их друг от друга. )
Большие матрицы
Инверсия 2×2 равна просто … по сравнению с более крупными матрицами (например, 3×3, 4×4 и т. д.).
Для таких больших матриц есть три основных метода вычисления обратной величины:
Обратная матрица с использованием элементарных операций над строками (Гаусса-Жордана)
Обратная матрица с использованием миноров, кофакторов и адьюгата
Используйте компьютер (например, Matrix Calculator)

Заключение
Инверсия A равна A ^-1 только тогда, когда AA ^-1 = A ^-1 A = I
Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменять местами a и d, поставить отрицательных чисел перед b и c и разделить все на определитель (ad-bc).
Иногда вообще нет обратного

Обратная матрица с использованием миноров, кофакторов и адьюгата
Примечание: также ознакомьтесь с инверсией матрицы с помощью операций со строками и матричным калькулятором

Мы можем вычислить обратную матрицу:
Шаг 1: расчет матрицы миноров,
Шаг 2: затем превратите это в матрицу кофакторов,
Шаг 3: затем Адъюгат и
Шаг 4: умножьте это на 1/Определитель.
Но лучше всего это объяснить на примере!
Пример: найти обратное число A:
А =
302 20-2 011
Требуется 4 шага. Это все простая арифметика, но ее много, так что постарайтесь не ошибиться!
Шаг 1: Матрица миноров
Первым шагом является создание «Матрицы несовершеннолетних». На этом шаге больше всего вычислений.
Для каждого элемента матрицы:
игнорировать значения в текущей строке и столбце
вычислить определитель остальных значений
Поместите эти детерминанты в матрицу («Матрица миноров»)
Определитель
Для матрицы 2×2 (2 строки и 2 столбца) определитель прост: ad-bc
Подумай о кресте:
Синий означает положительный (+реклама),
Красный означает отрицательный (-bc)

(Сложнее для матрицы 3×3 и т. д.)
Расчеты
Вот два первых и два последних вычисления « Матрицы несовершеннолетних » (обратите внимание, как я игнорирую значения в текущей строке и столбцах и вычисляю определитель, используя оставшиеся значения):
А вот и расчет для всей матрицы:
Шаг 2: Матрица кофакторов
Это просто! Просто примените «шахматную доску» минусов к «Матрице миноров». Другими словами, нам нужно изменить знак чередующихся ячеек, например:
.
Шаг 3: Сопряжение (также называемое сопряженным)
Теперь «транспонируем» все элементы предыдущей матрицы… другими словами, меняем их местами по диагонали (диагональ остается прежней):
Шаг 4: Умножение на 1/Определитель
Теперь найдите определитель исходной матрицы. Это не так уж сложно, потому что мы уже вычислили определители меньших частей, когда делали «Матрицу миноров».
Использование:
Элементы верхнего ряда: 3, 0, 2
Миноры верхнего ряда: 2, 2, 2
Получаем такой расчет:
Определитель = 3×2 − 0×2 + 2×2 = 10
Ваш ход: попробуйте это для любой другой строки или столбца , вы также должны получить 10.