Логарифмы и их свойства формулы: Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?
Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график и с его помощью решим уравнения:
x = 1 | x = 2 |
Отлично! А теперь решим уравнение .
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Демо урок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит, .
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как . Пример десятичного логарифма: .
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .
Свойства и формулы логарифмов
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример: .
Пример: .
Пример: .
Логарифм степени находится по формуле: .
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример: .
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .
Пример: .
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: .
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим . Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения , если .
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле: .
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
.
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
.
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
.
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите: .
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?
.
И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручены многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также раковины некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
Что такое логарифм?
Какие ограничения есть у логарифма?
Какие логарифмические свойства вы знаете?
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.
Формулы и свойства логарифмов
Формулы и свойства логарифмовОпределение
Логарифм числа b по основанию a (loga b) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a (основание логарифма
logab = x означает, что ax = b
Калькулятор логарифмов
log -2График логарифмов
y = log2 x
Виды логарифмов
loga b — логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).
Формулы и свойства логарифмов
Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.
alogab = b — основное логарифмическое тождество
loga 1 = 0 — логарифм единицы
loga a = 1 — логарифм числа, равного основанию
loga(x · y) = logax + logay — логарифм произведения двух положительных чисел
loga xy = logax — logay — логарифм частного
loga 1x = -logax
loga xn = n logax — логарифм степени числа
logan√x = 1n logax — логарифм корня числа
logan x = 1n loga x, при n ≠ 0
logax = logac xc
loga x = logb xlogb a — формула перехода к новому основанию
loga x = 1logx a
(loga x)′ = 1x ln a — производная логарифма
Скачать Формулы и свойства логарифмов
Логарифмы
Логарифм числа, основное логарифмическое тождество
Формулы и свойства логарифмов
Логарифм произведения. Сумма логарифмов
Логарифм частного. Разность логарифмов
Логарифм степени
Логарифм корня
Логарифмирование
Потенцирование
Десятичный логарифм
Натуральный логарифм
Число е
Логарифмическая функция
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Формулы сокращенного умножения (a ± b)2 Формулы и свойства степеней an Формулы и свойства корней n√a Формулы и свойства логарифмов loga b Формулы и свойства арифметической прогрессии an Формулы и свойства геометрической прогрессии bn Тригонометрические формулы sin x cos x Обратные тригонометрические формулы arcsin x Таблица производных ddx Таблица интегралов ∫x dx
Всі таблиці та формули
Логарифмические свойства
Логарифмические свойства Вернуться к оглавлениюЧисла и их применение — Урок 17
Обзор урока
- Определение логарифма
- Четыре основных свойства журналов
- Логарифмическая линейка
- Применение логарифмов
- Домашнее задание
Логарифм является показателем степени.![]() |
Обратите внимание, вышеприведенное не определение, а просто содержательное описание.
Так как вычитание является обратной операцией сложения, а извлечение квадратного корня — это операция, обратная возведению в квадрат, возведение в степень и логарифмирование являются обратными операциями. Поиск антилога — это обратная операция поиска лога, так это другое название возведения в степень. Однако исторически это делалось как поиск по таблице. Некоторая история была дана ранее и формальное определение повторяется ниже, на этот раз с ограничениями.
y = log b x тогда и только тогда, когда b y = x , где х > 0, б > 0 и б 1. |
Как отмечалось выше, основанием может быть любое положительное число (кроме 1).
Однако чаще всего используются два варианта: 10 и е = 2,718281828. …
Журналы по основанию 10 часто называют общими логами , тогда как
логи в базу e часто называют натуральными бревнами .
Логи к базам 10 и и теперь оба довольно стандартны для большинства калькуляторов.
Часто при взятии лога база произвольная и не нужна
уточнять. Однако в другое время необходимо и должно
быть принятым или заданным.
Только на уровне средней школы,
log x постоянно означает log 10 x . В колледже, особенно по математике и физике, журнал x последовательно означает log e x . Популярное обозначение (которое презирают): ln x означает log e x . |
Для расчета логов на другие базы,
следует использовать изменение базового правила, приведенное ниже (#4).
Это всего лишь умножение на константу (1/log a b ).
|
Все эти четыре основных свойства вытекают непосредственно из того факта, что журналы являются показателями степени.
На словах первые три можно запомнить как:
Лог произведения равен сумме логов факторов.
Лог частного равен разнице между логами
числителя и демонинатора. Журнал мощности равен произведению мощности на логарифм основания.
Перечислены дополнительные свойства, некоторые очевидные, некоторые не столь очевидные ниже для справки. Число 6 называется взаимным свойством .
|

n | бревно 10 n | бревно e n |
---|---|---|
1 | 0,000 | 0,000 |
2 | 0,301 | 0,693 |
3 | 0,477 | 1,099 |
4 | 0,602 | 1,386 |
5 | 0,699 | 1,609 |
6 | 0,778 | 1,792 |
7 | 0,845 | 1,946 |
8 | 0,903 | 2,079 |
9 | 0,954 | 2,197 |
10 | 1.000 | 2.303 |
Отсюда легко проверить такие свойства, как: log 10 = log 2 + log 5
и log 4 = 2 log 2. Это верно для любого основания.
На самом деле полезный результат 10 3 = 1000 1024 = 2 10 легко увидеть как
10 журнал 10 2 3.
Логарифмическая линейка ниже представлена в разобранном состоянии для облегчения резки. (Кроме того, поместив его ниже, он будет внизу страницы 3 и будет пустым бумага за ним.) Верхняя часть скользит по центру нижней части и должна распечатать, а затем вырезать для демонстрационных целей следующим образом.
- Совместите левую 1 на шкале D с 2 на шкале C. Соблюдайте число выше 4 по шкале D по шкале C. Так как эти числа разложены в логарифмическом масштабе, вы показали, что log 2 + log 4 = log (2×4) = log 8. Обведите цифру 8.
- Совместите правую 1 на шкале D с 4 на шкале C. Соблюдайте число ниже левой 1 по шкале C. Вы только что показали, что log 10 — log 4 = log 2,5. Обведите 2,5.
- Совместите шкалу D и шкалу A. Шкала A выложена аналогично, за исключением
присутствуют два цикла.
Обратите внимание на число чуть выше 9 по шкале D. Вы только что показали, что 2 log 9 = log 9 2 = log 81. Обведите 81.
- Посмотрите, как шкалу К можно использовать для куба вещей.
- Обратите внимание, что шкалу CI также можно использовать для деления.
Ниже приводится интересная задача, которая связывает квадратичную формулу:
логарифмы и экспоненты вместе очень аккуратно.
лог(( 2x 2 + 2x )/12) = 0
После деления на 2 возведите обе части в степень (основание b произвольно, так как это не было указано выше)!
( x 2 + x )/6 = 1
x 2 + x = 6
x 2 + x -6 = 0
6 2 + x -6 = 0
6 2 + x -6 = 0 2 + x -6 = 0 2 + x -6. ( х + 3)( х — 2) = 0 x {-3, 2}
Пустое место, поэтому при печати с помощью Mozilla (упс, без полей) оно находится позади логарифмической линейки.
Однако х -3
поскольку домен журнала — это только положительные реалы. ( b x никогда не может
быть отрицательным числом с b > 0).
В следующем примере (6.11#51) логарифмы сочетаются с одновременными уравнениями. Это также очень удобно ввести понятие подстановки, столь полезное в исчислении.
логарифм x 9 + логарифм 8 у = 8/3.
Пусть u = log 9 x и v = log 8 y . По взаимному свойству выше, 1/u =log x 9 и 1/v =log y 8.
Теперь мы можем переписать наши уравнения как:
1/ u + v = 8/3
3(1 + 2 v — 1) = 8(2 — 1/ v )
6 v 2 = 16 v — 8.

6 v 2 — 16 v + 8 = 0.
3 v 2 — 8 v + 4 = 0.
= (8 ± 4)/6 или 2, 2/3.
Таким образом ( x , y ) = {(27, 64), (3, 4)}
ЗАДНЯЯ ЧАСТЬ | ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ | ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ | ПРОДОЛЖИТЬ |
---|
- электронная почта: [email protected]
- голос/почта: 269 471-6629; BCM&S Smith Hall 105; Университет Эндрюса;
- факс/аудитория: 269 471-6646; Смит Холл 100; Берриен Спрингс, Мичиган, 49104-0140
- домашний: 269 473-2572; 610 Н. Главная улица; Берриен Спрингс, Мичиган 49103-1013
- URL-адрес:
http://www.
andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb17.htm
- Copyright © 19992005, Кит Г. Калкинс. Пересмотрено 8 ноября 2005 г. или позднее.
Свойства журнала — Что такое логарифмические свойства?
Свойства журнала используются для преобразования одного логарифма в несколько логарифмов (или) сжатия нескольких логарифмов в один логарифм. Логарифм — это просто еще один способ записи показателей степени. Таким образом, свойства логарифмов выводятся из свойств показателей.
Давайте изучим свойства log вместе с их доказательствами и решим несколько примеров, также используя эти свойства.
1. | Что такое свойства журнала? |
2. | Свойства натурального бревна |
3. | Свойство продукта журнала |
4. | Частное свойство журнала |
5.![]() | Свойство степени логарифмов |
6. | Изменение базового свойства журнала |
7. | Часто задаваемые вопросы о свойствах журнала |
Что такое свойства журнала?
свойств журнала не что иное, как правила логарифмирования, и они получены из правил экспоненты. Эти свойства логарифмов используются для решения логарифмических уравнений и упрощения логарифмических выражений. Есть 4 важных логарифмических свойства, которые перечислены ниже:
- logₐ mn = logₐ m + logₐ n (свойство продукта)
- logₐ m/n = logₐ m — logₐ n (частное свойство)
- logₐ м n = n logₐ м (свойство мощности)
- log b a = (log꜀ a) / (log꜀ b) (изменение базового свойства)
Помимо этого, у нас есть несколько других свойств логарифмов, которые непосредственно выводятся из правил экспоненты и определения логарифма (которое представляет собой x = m ⇔ logₐ m = x). 9{m}=\frac{m}{n} \log _{b} a\)
(следует из изменения базового правила и мощностного свойства)
Ниже перечислены все свойства журнала.
Мы подробно изучим каждое свойство одно за другим вместе с их производными в следующих разделах.
Свойства натурального бревна
Натуральный логарифм не что иное, как логарифм с основанием «е». т. е. logₑ = ln. Все вышеперечисленные свойства упоминаются в терминах «бревно» и применимы к любой основе, а, следовательно, все вышеперечисленные свойства применимы и к натуральному бревну. Вот натуральные логарифмические свойства.
- пер. 1 = 0
- лн е = 1
- пер (мн) = пер м + пер н
- лн (м/н) = лн м — пер н
- п. м n = n пер. м
- е ln х = х
Свойство продукта журнала
Свойство произведения логарифмов используется для выражения логарифма произведения в виде суммы логарифмов. Выведем свойство произведения: logₐ mn = logₐ m + logₐ n.
Вывод:
Пусть logₐ m = x и logₐ n = y. Преобразовывая каждую из них в экспоненциальную форму, мы получаем
logₐ m = x ⇒ m = a x … (1)
logₐ n = y ⇒ n = a y … (2)
Умножая уравнения (1) и (2),
mn = a x · a y
Используя правило умножения показателей степени,
mn = a x + y
7
в логарифмическую форму,logₐ mn = x + y
Подставляя сюда значения x и y,
logₐ mn = logₐ m + logₐ n
Следовательно, получается свойство произведения log. Вот несколько примеров применения этого свойства.
- журнал (2x) = журнал 2 + журнал x
- журнал 6 = журнал (2×3) = журнал 2 + журнал 3
- log₂ (xy) = log₂ x + log₂ y
Обратите внимание, что свойство продукта log не дает никакой информации для нахождения log (m + n). На самом деле другого свойства для нахождения log (m + n) нет.
Частное свойство журнала
Частное свойство логарифмов используется для выражения логарифма частного как разницы логарифмов. Выведем факторное свойство: logₐ m/n = logₐ m — logₐ n.
Вывод:
Пусть logₐ m = x и logₐ n = y. Преобразуем их в экспоненциальные формы.
- logₐ m = x ⇒ m = a x … (1)
- logₐ n = y ⇒ n = a y … (2)
Разделив уравнения (1) и (2),
m/n = a x / a y
Используя правило деления показателей,
m/n = a x — y
Преобразование обратно в логарифмическую форму,
logₐ m/n = x — y
Подстановка значений x и y сюда,
logₐ m/n = logₐ m — logₐ n
Следовательно, свойство продукта лога выводится. Вот несколько примеров применения этого свойства.
- лог (2/х) = лог 2 — лог х
- лог. 10 = лог. (20/2) = лог. 20 — лог. 2
- log₅ (x/y) = log₅ x — log₅ y
Обратите внимание, что частное свойство log НЕ применимо для нахождения log (m — n) (поскольку оно применяется, когда оно имеет форму log m/n (или) log m — log n).
Степенное свойство логарифмов
Свойство степени логарифма говорит logₐ m n = n logₐ m. Это означает, что показатель степени аргумента может быть вынесен перед журналом.
Вывод:
Пусть logₐ m = x. Преобразуя это в экспоненциальную форму,
a x = m
Увеличим обе стороны на n. Затем
(A x ) N = M N
Свойства показателей Power,
A NX = M N
CUNTRINGTING THE TO TO LOGARITHMIC, 444444444444444444444444. n = nx
Подставив здесь x = logₐ m,
logₐ м n = n logₐ м
Отсюда выводится свойство степени log. Вот несколько примеров этого свойства.
- журнал 2 x = x журнал 2
- log x 3 = 3 log x
- log₅ x y = y log₅ x
Изменение базового свойства журнала
Изменение базового свойства говорит log b a = (log꜀ a) / (log꜀ b). Это означает, что лог b а можно записать как частное двух логарифмов (логарифм а)/(логарифм b), где оба логарифма должны быть одного основания (скажем, с). Мы знаем, что у нас есть две кнопки на калькуляторе для вычисления логарифмов. Один — log (с основанием 10), а другой — ln (с основанием «e»). Но что, если нам нужно вычислить логарифм с другим основанием, скажем, log₅ 2? Это свойство очень полезно при вычислении таких логарифмов. Если мы применим изменение базового свойства к log₅ 2, мы получим
log₅ 2 = (log 2) / (log 5)
≈ (0,3010) / (0,6990)
≈ 0,4306
Теперь выведем правило изменения базы.
Вывод:
Пусть log b a = x, log꜀ a = y и log꜀ b = z. Приведем эти уравнения к логарифмической форме.
- журнал б а = х ⇒ а = б х … (1)
- log꜀ а = у ⇒ а = с у … (2)
- log꜀ b = z ⇒ b = c z … (3)
Из (1) и (2),
b x = c y
Substituting b = c z (from (3)),
(c z ) x = c y
c zx = c y
zx = y (или) x = y/z
Подставляя сюда значения x, y и z:
log b a = (log꜀ a) / (log꜀ b)
, происходит изменение базового свойства бревна. Умножая его с обеих сторон на log꜀ b, мы получаем другую форму изменения базового правила.
log b a · log꜀ b = log꜀ a
Вот примеры обеих форм свойства:
- log₄ 3 = (log 3)/(log 4)
- log₄ 2 · log₅ 4 = log₅ 2
Важные примечания относительно логарифмических свойств
- Логарифмические свойства применимы к бревнам с любым основанием. т. е. они применимы для log, ln, (или) для logₐ.
- Три важных свойства логарифмов:
журнал mn = журнал m + журнал n
лог (м/п) = лог м — лог п
лог м n = n лог м - log 1 = 0 независимо от базы.
- Логарифмические свойства используются для расширения или сжатия логарифмов.
☛ Связанные темы:
- Калькулятор журнала
- Калькулятор натурального бревна
- Таблица журнала
- Стол Антилога
Часто задаваемые вопросы о свойствах журнала
Что такое 4 логарифмических свойства?
Логарифмические свойства используются для сжатия/расширения логарифмов. Есть 4 важных логарифмических свойства:
- log xy = log x + log y
- лог х/у = лог х — лог у
- log a м = m log a
- log b a = (log a)/(log b)
Каковы применения свойств журнала?
Мы можем использовать свойства журнала в упрощении логарифмических функций и расширении/сжатии логарифмов. Например, используя свойство log (mn) = log m + log n, мы можем записать
- либо log 6 как log 2 + log 3 .
- или журнал 2 + журнал 3 как журнал 6
Что такое число, поднятое для регистрации собственности?
Результат возведения числа в логарифм по тому же основанию равен аргументу логарифма, т.е. logₐ x = x.
Что такое свойство отрицательного журнала?
Мы можем использовать свойство степени логарифмов, чтобы преобразовать отрицательный журнал в положительный журнал. Например:
-log b a = log b a -1 = log b (1/a)
Мы можем применить изменение базового правила и свойства мощности вместе для преобразования отрицательного log в положительный журнал.
-log b a = — (log a)/(log b) = (log a) / (-log b) = (log a) / (log b -1 ) = log 1/b а.
Таким образом, -log б а = лог б (1/а) (или) лог 1/б а.
Каковы все свойства логарифмов?
Есть 7 важных свойств логарифмов:
- log 1 = 0
- logₐ а = 1
- журнал аб = журнал а + журнал б
- журнал а/б = журнал а — журнал б
- log a м = m log a
- log b a = (log a)/(log b)
- a logₐ x = x.
Какое свойство логарифма используется для изменения основания?
Правило изменения основания используется для изменения основания логарифма. Используя это правило, log b a = (log a)/(log b), где основание каждого бревна правой стороны всегда должно быть одним и тем же числом.
Что такое натуральные логарифмические свойства?
Все свойства бревна применимы и к натуральному бревну.