Логарифмы и их свойства формулы: Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?

График логарифмов

y = log₂ x

Виды логарифмов

• log_a b — логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

• lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

• ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Формулы и свойства логарифмов

Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.

1. a^log_ab = b — основное логарифмическое тождество

2. log_a 1 = 0 — логарифм единицы

3. log_a a = 1 — логарифм числа, равного основанию

4. log_a(x · y) = log_ax + log_ay — логарифм произведения двух положительных чисел

5. log_a xy = log_ax — log_ay — логарифм частного

6. log_a 1x = -log_ax

7. log_a xⁿ = n log_ax — логарифм степени числа

8. log_aⁿ√x = 1n log_ax — логарифм корня числа

9. log_aⁿ x = 1n log_a x,    при n ≠ 0

10. log_ax = log_a^c x^c

11. log_a x = log_b xlog_b a — формула перехода к новому основанию

12. log_a x = 1log_x a

13. (log_a x)′ = 1x ln a     — производная логарифма

Скачать Формулы и свойства логарифмов

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Формулы сокращенного умножения (a ± b)² Формулы и свойства степеней aⁿ Формулы и свойства корней ⁿ√a Формулы и свойства логарифмов log_a b Формулы и свойства арифметической прогрессии a_n Формулы и свойства геометрической прогрессии b_n Тригонометрические формулы sin x cos x Обратные тригонометрические формулы arcsin x Таблица производных ddx Таблица интегралов ∫x dx

Всі таблиці та формули

Логарифмические свойства

Числа и их применение — Урок 17

Обзор урока

• Определение логарифма
• Четыре основных свойства журналов
• Логарифмическая линейка
• Применение логарифмов
• Домашнее задание

Логарифм является показателем степени.

Обратите внимание, вышеприведенное не определение, а просто содержательное описание.

Так как вычитание является обратной операцией сложения, а извлечение квадратного корня — это операция, обратная возведению в квадрат, возведение в степень и логарифмирование являются обратными операциями. Поиск антилога — это обратная операция поиска лога, так это другое название возведения в степень. Однако исторически это делалось как поиск по таблице. Некоторая история была дана ранее и формальное определение повторяется ниже, на этот раз с ограничениями.

Как отмечалось выше, основанием может быть любое положительное число (кроме 1). Однако чаще всего используются два варианта: 10 и е = 2,718281828. … Журналы по основанию 10 часто называют общими логами , тогда как логи в базу e часто называют натуральными бревнами . Логи к базам 10 и и теперь оба довольно стандартны для большинства калькуляторов. Часто при взятии лога база произвольная и не нужна уточнять. Однако в другое время необходимо и должно быть принятым или заданным.

Для расчета логов на другие базы, следует использовать изменение базового правила, приведенное ниже (#4). Это всего лишь умножение на константу (1/log _a b ).

Все эти четыре основных свойства вытекают непосредственно из того факта, что журналы являются показателями степени. На словах первые три можно запомнить как: Лог произведения равен сумме логов факторов. Лог частного равен разнице между логами числителя и демонинатора. Журнал мощности равен произведению мощности на логарифм основания.

Перечислены дополнительные свойства, некоторые очевидные, некоторые не столь очевидные ниже для справки. Число 6 называется взаимным свойством .

Отсюда легко проверить такие свойства, как: log 10 = log 2 + log 5 и log 4 = 2 log 2. Это верно для любого основания. На самом деле полезный результат 10 ³ = 1000 1024 = 2 ¹⁰ легко увидеть как 10 журнал ₁₀  2 3.

Логарифмическая линейка ниже представлена ​​в разобранном состоянии для облегчения резки. (Кроме того, поместив его ниже, он будет внизу страницы 3 и будет пустым бумага за ним.) Верхняя часть скользит по центру нижней части и должна распечатать, а затем вырезать для демонстрационных целей следующим образом.

1. Совместите левую 1 на шкале D с 2 на шкале C. Соблюдайте число выше 4 по шкале D по шкале C. Так как эти числа разложены в логарифмическом масштабе, вы показали, что log 2 + log 4 = log (2×4) = log 8. Обведите цифру 8.
2. Совместите правую 1 на шкале D с 4 на шкале C. Соблюдайте число ниже левой 1 по шкале C. Вы только что показали, что log 10 — log 4 = log 2,5. Обведите 2,5.
3. Совместите шкалу D и шкалу A. Шкала A выложена аналогично, за исключением присутствуют два цикла. Обратите внимание на число чуть выше 9 по шкале D. Вы только что показали, что 2 log 9 = log 9 ² = log 81. Обведите 81.
4. Посмотрите, как шкалу К можно использовать для куба вещей.
5. Обратите внимание, что шкалу CI также можно использовать для деления.

Ниже приводится интересная задача, которая связывает квадратичную формулу: логарифмы и экспоненты вместе очень аккуратно.

Пустое место, поэтому при печати с помощью Mozilla (упс, без полей) оно находится позади логарифмической линейки.

Однако х -3 поскольку домен журнала — это только положительные реалы. ( b ^x никогда не может быть отрицательным числом с b > 0).

В следующем примере (6.11#51) логарифмы сочетаются с одновременными уравнениями. Это также очень удобно ввести понятие подстановки, столь полезное в исчислении.

Пусть u = log ₉ x и v = log ₈ y . По взаимному свойству выше, 1/u =log _x 9 и 1/v =log _y 8.

Теперь мы можем переписать наши уравнения как:

1/(2 — 1/ v ) + v = 8/3.
3(1 + 2 v — 1) = 8(2 — 1/ v )
6 v ² = 16 v — 8.
6 v ² — 16 v + 8 = 0.
3 v ² — 8 v + 4 = 0.

• электронная почта: [email protected]
• голос/почта: 269 471-6629; BCM&S Smith Hall 105; Университет Эндрюса;
• факс/аудитория: 269 471-6646; Смит Холл 100; Берриен Спрингс, Мичиган, 49104-0140
• домашний: 269 473-2572; 610 Н. Главная улица; Берриен Спрингс, Мичиган 49103-1013
• URL-адрес: http://www. andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb17.htm
• Copyright © 19992005, Кит Г. Калкинс. Пересмотрено 8 ноября 2005 г. или позднее.

Свойства журнала — Что такое логарифмические свойства?

Свойства журнала используются для преобразования одного логарифма в несколько логарифмов (или) сжатия нескольких логарифмов в один логарифм. Логарифм — это просто еще один способ записи показателей степени. Таким образом, свойства логарифмов выводятся из свойств показателей.

Давайте изучим свойства log вместе с их доказательствами и решим несколько примеров, также используя эти свойства.

1.	Что такое свойства журнала?
2.	Свойства натурального бревна
3.	Свойство продукта журнала
4.	Частное свойство журнала
5.	Свойство степени логарифмов
6.	Изменение базового свойства журнала
7.	Часто задаваемые вопросы о свойствах журнала

Что такое свойства журнала?

свойств журнала не что иное, как правила логарифмирования, и они получены из правил экспоненты. Эти свойства логарифмов используются для решения логарифмических уравнений и упрощения логарифмических выражений. Есть 4 важных логарифмических свойства, которые перечислены ниже:

• logₐ mn = logₐ m + logₐ n (свойство продукта)
• logₐ m/n = logₐ m — logₐ n (частное свойство)
• logₐ м ⁿ = n logₐ м (свойство мощности)
• log _b a = (log꜀ a) / (log꜀ b) (изменение базового свойства)

Помимо этого, у нас есть несколько других свойств логарифмов, которые непосредственно выводятся из правил экспоненты и определения логарифма (которое представляет собой ^x = m ⇔ logₐ m = x). 9{m}=\frac{m}{n} \log _{b} a\)
(следует из изменения базового правила и мощностного свойства)

Ниже перечислены все свойства журнала.

Мы подробно изучим каждое свойство одно за другим вместе с их производными в следующих разделах.

Свойства натурального бревна

Натуральный логарифм не что иное, как логарифм с основанием «е». т. е. logₑ = ln. Все вышеперечисленные свойства упоминаются в терминах «бревно» и применимы к любой основе, а, следовательно, все вышеперечисленные свойства применимы и к натуральному бревну. Вот натуральные логарифмические свойства.

• пер. 1 = 0
• лн е = 1
• пер (мн) = пер м + пер н
• лн (м/н) = лн м — пер н
• п. м ⁿ = n пер. м
• е ^{ln х} = х

Свойство продукта журнала

Свойство произведения логарифмов используется для выражения логарифма произведения в виде суммы логарифмов. Выведем свойство произведения: logₐ mn = logₐ m + logₐ n.

Вывод:

Пусть logₐ m = x и logₐ n = y. Преобразовывая каждую из них в экспоненциальную форму, мы получаем

logₐ m = x ⇒ m = a ^x … (1)

logₐ n = y ⇒ n = a ^y … (2)

Умножая уравнения (1) и (2),

mn = a ^x · a ^y

Используя правило умножения показателей степени,

mn = a ^{x + y}

7

logₐ mn = x + y

Подставляя сюда значения x и y,

logₐ mn = logₐ m + logₐ n

Следовательно, получается свойство произведения log. Вот несколько примеров применения этого свойства.

• журнал (2x) = журнал 2 + журнал x
• журнал 6 = журнал (2×3) = журнал 2 + журнал 3
• log₂ (xy) = log₂ x + log₂ y

Обратите внимание, что свойство продукта log не дает никакой информации для нахождения log (m + n). На самом деле другого свойства для нахождения log (m + n) нет.

Частное свойство журнала

Частное свойство логарифмов используется для выражения логарифма частного как разницы логарифмов. Выведем факторное свойство: logₐ m/n = logₐ m — logₐ n.

Вывод:

Пусть logₐ m = x и logₐ n = y. Преобразуем их в экспоненциальные формы.

• logₐ m = x ⇒ m = a ^x … (1)
• logₐ n = y ⇒ n = a ^y … (2)

Разделив уравнения (1) и (2),

m/n = a ^x / a ^y

Используя правило деления показателей,

m/n = a ^{x — y}

Преобразование обратно в логарифмическую форму,

logₐ m/n = x — y

Подстановка значений x и y сюда,

logₐ m/n = logₐ m — logₐ n

Следовательно, свойство продукта лога выводится. Вот несколько примеров применения этого свойства.

• лог (2/х) = лог 2 — лог х
• лог. 10 = лог. (20/2) = лог. 20 — лог. 2
• log₅ (x/y) = log₅ x — log₅ y

Обратите внимание, что частное свойство log НЕ применимо для нахождения log (m — n) (поскольку оно применяется, когда оно имеет форму log m/n (или) log m — log n).

Степенное свойство логарифмов

Свойство степени логарифма говорит logₐ m ⁿ = n logₐ m. Это означает, что показатель степени аргумента может быть вынесен перед журналом.

Вывод:

Пусть logₐ m = x. Преобразуя это в экспоненциальную форму,

a ^x = m

Увеличим обе стороны на n. Затем

(A ^x ) ^N = M ^N

Свойства показателей Power,

A ^NX = M ^N

CUNTRINGTING THE TO TO LOGARITHMIC, 444444444444444444444444. n = nx

Подставив здесь x = logₐ m,

logₐ м ⁿ = n logₐ м

Отсюда выводится свойство степени log. Вот несколько примеров этого свойства.

• журнал 2 ^x = x журнал 2
• log x ³ = 3 log x
• log₅ x ^y = y log₅ x

Изменение базового свойства журнала

Изменение базового свойства говорит log _b a = (log꜀ a) / (log꜀ b). Это означает, что лог _b а можно записать как частное двух логарифмов (логарифм а)/(логарифм b), где оба логарифма должны быть одного основания (скажем, с). Мы знаем, что у нас есть две кнопки на калькуляторе для вычисления логарифмов. Один — log (с основанием 10), а другой — ln (с основанием «e»). Но что, если нам нужно вычислить логарифм с другим основанием, скажем, log₅ 2? Это свойство очень полезно при вычислении таких логарифмов. Если мы применим изменение базового свойства к log₅ 2, мы получим

log₅ 2 = (log 2) / (log 5)
≈ (0,3010) / (0,6990)
≈ 0,4306

Теперь выведем правило изменения базы.

Вывод:

Пусть log _b a = x, log꜀ a = y и log꜀ b = z. Приведем эти уравнения к логарифмической форме.

• журнал _б а = х ⇒ а = б ^х … (1)
• log꜀ а = у ⇒ а = с ^у … (2)
• log꜀ b = z ⇒ b = c ^z … (3)

Из (1) и (2),

b ^x = c ^y

Substituting b = c ^z (from (3)),

(c ^z ) ^x = c ^y

c ^zx = c ^y

zx = y (или) x = y/z

Подставляя сюда значения x, y и z:

log _b a = (log꜀ a) / (log꜀ b)

, происходит изменение базового свойства бревна. Умножая его с обеих сторон на log꜀ b, мы получаем другую форму изменения базового правила.

log _b a · log꜀ b = log꜀ a

Вот примеры обеих форм свойства:

• log₄ 3 = (log 3)/(log 4)
• log₄ 2 · log₅ 4 = log₅ 2

Важные примечания относительно логарифмических свойств

• Логарифмические свойства применимы к бревнам с любым основанием. т. е. они применимы для log, ln, (или) для logₐ.
• Три важных свойства логарифмов:
  журнал mn = журнал m + журнал n
  лог (м/п) = лог м — лог п
  лог м ⁿ = n лог м
• log 1 = 0 независимо от базы.
• Логарифмические свойства используются для расширения или сжатия логарифмов.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор журнала
• Калькулятор натурального бревна
• Таблица журнала
• Стол Антилога

Часто задаваемые вопросы о свойствах журнала

Что такое 4 логарифмических свойства?

Логарифмические свойства используются для сжатия/расширения логарифмов. Есть 4 важных логарифмических свойства:

• log xy = log x + log y
• лог х/у = лог х — лог у
• log a ^м = m log a
• log _b a = (log a)/(log b)

Каковы применения свойств журнала?

Мы можем использовать свойства журнала в упрощении логарифмических функций и расширении/сжатии логарифмов. Например, используя свойство log (mn) = log m + log n, мы можем записать

• либо log 6 как log 2 + log 3
.
• или журнал 2 + журнал 3 как журнал 6

Что такое число, поднятое для регистрации собственности?

Результат возведения числа в логарифм по тому же основанию равен аргументу логарифма, т.е. ^{logₐ x} = x.

Что такое свойство отрицательного журнала?

Мы можем использовать свойство степени логарифмов, чтобы преобразовать отрицательный журнал в положительный журнал. Например:

-log _b a = log _b a ^-1 = log _b (1/a)

Мы можем применить изменение базового правила и свойства мощности вместе для преобразования отрицательного log в положительный журнал.

-log _b a = — (log a)/(log b) = (log a) / (-log b) = (log a) / (log b ^-1 ) = log _1/b а.

Таким образом, -log _б а = лог _б (1/а) (или) лог _1/б а.

Каковы все свойства логарифмов?

Есть 7 важных свойств логарифмов:

• log 1 = 0
• logₐ а = 1
• журнал аб = журнал а + журнал б
• журнал а/б = журнал а — журнал б
• log a ^м = m log a
• log _b a = (log a)/(log b)
• a ^{logₐ x} = x.

Какое свойство логарифма используется для изменения основания?

Правило изменения основания используется для изменения основания логарифма. Используя это правило, log _b a = (log a)/(log b), где основание каждого бревна правой стороны всегда должно быть одним и тем же числом.

Что такое натуральные логарифмические свойства?

Все свойства бревна применимы и к натуральному бревну.