Логарифм это показатель степени в которую нужно возвести – Логарифм — Википедия

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log_ab = x, что равносильно a^x = b, поэтому log_aa^x = x.

Логарифмы, примеры:

log₂8 = 3, т.к. 2³ = 8

log₇49 = 2, т.к. 7² = 49

log₅1/5 = -1, т.к. 5^-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log₁₀100 = 2, т.к. 10² = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

• Основное логарифмическое тождество
  a ^log_ab = b

  Пример.

  8^2log₈3 = (8^2log₈3)² = 3² = 9

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов
  log_a (bc) = log_ab + log_ac

  Пример.

  log₃8,1 + log₃10 = log₃ (8,1*10) = log₃81 = 4

• Логарифм частного равен разности логарифмов
  log_a (b/c) = log_ab — log_ac

  Пример.

  9 ^log₅50/9 ^log₅2 = 9 ^{log₅50- log₅2} = 9 ^log₅25 = 9 ² = 81

• Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

  Показатель степени логарифмируемого числа log_ab ^m = mlog_ab

  Показатель степени основания логарифма log_aⁿb =1/n*log_ab

  log_aⁿb ^m = m/n*log_ab,

  если m = n, получим log_aⁿb ⁿ = log_ab

  Пример.

  log₄9 = log_2²3 ²

  = log₂3

• Переход к новому основанию
  log_ab = log_cb/log_ca,

  если c = b, получим log_bb = 1

  тогда log_ab = 1/log_ba

  Пример.

  log_0,83*log₃1,25 = log_0,83*log_0,81,25/log_0,83 = log_0,81,25 = log_4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Логарифмы и их свойства | umath.ru

Логарифмом числа , где , по основанию , где (обозначается ), называется показатель степени, в которую нужно возвести число , чтобы получить число , т.е.

   

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа по основанию 10 называют десятичным и обозначают , а логарифм числа по основанию называют натуральным и обозначают .

Свойства логарифмов

Если , то

   

   

   

Формула перехода к новому основанию.

Если , то

Эта формула называется формулой перехода от логарифма по основанию к логарифму по основанию . Частные случаи формулы перехода:

umath.ru

Логарифм степени

Логарифм степени основания

Определение 1

Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:

$\log_{a}⁡a^s=s$

при $a > 0$, $a \ne 1$,

$s$ – любом числе.

Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.

Пример 1

$\log_{11}⁡{11^8}=8$;

$\lg⁡10^{-17}=-17$;

$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.

Логарифм степени числа

Определение 2

Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:

$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}⁡|x|$

при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.

Пример 2

Найти значение выражения $\log_{5}⁡\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121$.

Решение.

Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:

$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}⁡5+2\log_{11}⁡11=$

воспользуемся равенством $\log_{a}⁡a=1$:

$=-3+2=-1$.

Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=-1$.

При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:

Определение 3

Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$s \log_{a}⁡x=\log_{a}x^s$

при $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 3

Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.

Решение.

Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:

$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=12 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=5 \log_{13}⁡x=$

внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:

$=\log_{13}x^5$.

Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.

Логарифм корня

Определение 4

Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:

$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}⁡x$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 4

$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}⁡2$.

Пример 5

Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lg⁡x=\frac{5}{7}$.

Решение.

Используем свойство логарифма корня:

$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$

воспользуемся свойством логарифма произведения:

$\frac{1}{3} (\lg⁡10+\lg⁡x )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.

Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.

Также можно применять и обратное свойство:

Определение 5

Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 6

Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6$.

Решение.

Применим свойство логарифма корня:

$\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}⁡6=\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡6=$

используем свойство суммы логарифмов:

$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}⁡12=1$.

Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=1$.

При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:

$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.

Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.

Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.

Пример 7

Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.

Решение.

Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:

$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$

теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:

$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.

Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.

Пример 8

Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$.

Решение.

Применим свойство логарифма дроби:

$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}⁡16=$

к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:

$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}⁡x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$

подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:

$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.

spravochnick.ru

Логарифм

Логарифм является числом, применение которого значительно упрощает довольно много сложных операций, которые существуют в арифметике. Если использовать в вычислениях логарифмы вместо чисел, то вполне возможно заменить, например, умножение более просто операцией, такой, как сложение. Также можно использовать вычитание вместо деления, умножение – вместо возведения в степень, а также деление – вместо извлечения корня.

Что же такое логарифм с математической точки зрения? Логарифм – это показатель степени, в которую необходимо возвести другое число, которое называется основанием логарифма, для того, чтобы получить данное число. К примеру, логарифм числа 100 с основанием 10 будет равен 2. Говоря другими словами, число 10 необходимо возвести в квадрат, чтобы получить 100. Как видите, все довольно просто. Допустим, что n – заданное число, а – основание логарифма, а l – сам логарифм. Исходя из этого, формула будет выглядеть так: а^l=n. Число n также называют антилогарифмом числа l по основанию а.

Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако отметим тот факт, что, если а и n – рациональные числа, то l будет являться рациональным числом в очень редких случаях. Но ведь всегда можно определить иррациональное число l, а потом максимально точно приблизить его рациональными числами. Делается это с помощью специальных таблиц логарифмов (если рассматривать пример, что мы указали выше, то в этом случае, это будет четырехзначная таблица десятичных логарифмов).

Принцип, который лежит в основе абсолютно любой системы логарифмов, был известен еще в стародавние времена (например, вавилонская математика). Свойства логарифмов также изучал Архимед, который использовал степени числа 10, чтобы найти верхний передел числа песчинок, которые необходимы, чтобы заполнить Вселенную.

Например: Log[2,64]-6

Логарифмы

Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

log   a b = c ;      a c   = b

Свойства логарифма

Логарифм произведения

log   c (ab) = log   c a + log   c b

Логарифм частного

log   c ( a b ) = log   c a — log   c b

Логарифм степени

Логарифм корня

log   c n   a = 1 n log   c a

Переход к новому основанию

Формулы, следущие из свойств логарифмов

log   a b =   1   log   b a

log   n b = log   m b = log   c b log   n c log   m c

log   n b * log   m c = log   m b * log   n c

a log   n b   =   b log   n a

mateshka.ru