Log как решать примеры: Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.

Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Пример

Задание. Представить $\log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.

Решение. $\log _{5} 6=\log _{5}(2 \cdot 3)=\log _{5} 2+\log _{5} 3$

Слишком сложно?

Примеры решения задач с логарифмами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Упростить $\log _{5} 4+\log _{5} 3$

Решение. $\log _{5} 4+\log _{5} 3=\log _{5}(4 \cdot 3)=\log _{5} 12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного. {-1}$   или   $x-1<2 \Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.

Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Пример

Задание. Представить $\log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.

Решение. $\log _{5} 6=\log _{5}(2 \cdot 3)=\log _{5} 2+\log _{5} 3$

Слишком сложно?

Примеры решения задач с логарифмами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Упростить $\log _{5} 4+\log _{5} 3$

Решение. $\log _{5} 4+\log _{5} 3=\log _{5}(4 \cdot 3)=\log _{5} 12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного. {-1}$   или   $x-1<2 \Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.

Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Пример

Задание. Представить $\log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.

Решение.

Слишком сложно?

Примеры решения задач с логарифмами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Упростить $\log _{5} 4+\log _{5} 3$

Решение. $\log _{5} 4+\log _{5} 3=\log _{5}(4 \cdot 3)=\log _{5} 12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного. {2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \( \displaystyle -2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \( \displaystyle x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( \displaystyle x=2\).

Ответ: \( \displaystyle x=2\).

Логарифм. Примеры

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4 ) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента ( обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. 2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из 

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если основание логарифма — число и оно больше 1 — знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание — число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. 2-24≥-x\) невозможен.

Заметим, однако, что неравенства 3 и 4 можно легко решить, если воспользоваться свойствами логарифмов.

Пример. Решить неравенство: \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Решение:

Смотрите также:
Показательные неравенства

Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры

Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа сокращается как « log ».

Прежде чем мы перейдем к решению логарифмических уравнений, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов:

Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов.Первый закон представлен как;

⟹ log _b (x) + log _b (y) = log _b (xy)

Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.

⟹ журнал _b (x) — журнал _b (y) = журнал (x / y)

⟹ журнал _b (x) ⁿ = n журнал _b (x)

⟹ log _b x = (log _a x) / (log _a b)

Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1.
b ¹ = b ⟹ log _b (b) = 1.

Пример:

• Логарифм от числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
  b ⁰ = 1 ⟹ журнал _b 1 = 0.

Как решать логарифмические уравнения?

Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.

Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.

В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно:

1. Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.
2. Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.

Как решить уравнения с односторонним логарифмом?

Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм _b M = n ⇒ M = b ⁿ .

Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия:

• Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
• Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
• Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
• Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.

Пример 1

Логарифм решения ₂ (5x + 7) = 5

Решение

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме

log ₂ (5x + 7) = 5 ⇒ 2 ⁵ = 5x + 7

⇒ 32 = 5x + 7

⇒ 5x = 32-7

5x = 25

Разделите обе стороны на 5, чтобы получить

x = 5

Пример 2

Решите относительно x в логарифме (5x -11) = 2

Решение

Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.

Теперь измените логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 10 ² = 5x — 11

⇒ 100 = 5x -11

111 = 5x

111/5 = x

Следовательно, x = 111/5 — это ответ.

Пример 3

Логарифм решения ₁₀ (2x + 1) = 3

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

log ₁₀ (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 ³

⇒ 2x + 1 = 1000

2x = 999

. Разделив обе стороны на 2, получим;

х = 499.5

Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;

⇒ log ₁₀ (2 x 499,5 + 1) = log ₁₀ (1000) = 3, поскольку 10 ³ = 1000

Пример 4

Оценить ln (4x -1) = 3

Решение

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;

ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e ³

Но, как известно, e = 2,718281828

4x — 3 = (2.718281828) ³ = 20. 085537

x = 5.271384

Пример 5

Решите логарифмическое уравнение log ₂ (x +1) — log ₂ (x — 4) = 3

Решение

Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.

журнал ₂ (x +1) — журнал ₂ (x — 4) = 3 ⇒ log ₂ [(x + 1) / (x — 4)] = 3

Теперь перепишите уравнение в экспоненциальной форме

⇒2 ³ = [(x + 1) / (x — 4)]

⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]

Перемножьте уравнение крест-накрест

⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]

⇒ x + 1 = 8x -32

7x = 33 …… (Сбор одинаковых терминов)

x = 33/7

Пример 6

Решите относительно x, если log ₄ (x) + log ₄ (x -12) = 3

Решение

Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;

журнал ₄ (x) + журнал ₄ (x -12) = 3 ⇒ журнал ₄ [(x) (x — 12)] = 3

⇒ журнал ₄ (x ² — 12x) = 3

Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.

⇒ 4 ^{3 =} x ² — 12x

⇒ 64 = x ² — 12x

Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его факторизацией.

x ² -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0

x = -4 или 16

Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ что мнимое. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.

Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения?

Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.

Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.

• Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
• Упростите, собирая одинаковые термины и решая переменную в уравнении.
• Проверьте свой ответ, вернув его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.

Пример 7

Логарифм решения ₆ (2x — 4) + log _{6 (} 4) = log ₆ (40)

Решение

Во-первых, упростите логарифмы.

журнал ₆ (2x — 4) + журнал ₆ (4) = журнал ₆ (40) ⇒ журнал ₆ [4 (2x — 4)] = журнал ₆ (40)

Теперь опустите логарифмы

⇒ [4 (2x — 4)] = (40)

⇒ 8x — 16 = 40

⇒ 8x = 40 + 16

8x = 56

x = 7

Пример. 8

Решите логарифмическое уравнение: log ₇ (x — 2) + log ₇ (x + 3) = log ₇ 14

Решение

Упростите уравнение, применив правило произведения .

Логарифм ₇ [(x — 2) (x + 3)] = log ₇ 14

Отбросьте логарифмы.

⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14

Распределите ФОЛЬГУ, чтобы получить;

⇒ x ² — x — 6 = 14

⇒ x ² — x — 20 = 0

⇒ (x + 4) (x — 5) = 0

x = -4 или x = 5

когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.

Пример 9

Логарифм решения ₃ x + log ₃ (x + 3) = log ₃ (2x + 6)

Решение

Учитывая уравнение; log ₃ (x ² + 3x) = log ₃ (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить;
⇒ x ² + 3x = 2x + 6
⇒ x ² + 3x — 2x — 6 = 0
x ² + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение)
Фактор множителя квадратное уравнение получить;

(x — 2) (x + 3) = 0
x = 2 и x = -3

Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.

Пример 10

Журнал решения ₅ (30x — 10) — 2 = log ₅ (x + 6)

Решение

log ₅ (30x — 10) — 2 = log ₅ (x + 6)

Это уравнение можно переписать как;

⇒ log ₅ (30x — 10) — log ₅ (x + 6) = 2

Упростим логарифмы

log ₅ [(30x — 10) / (x + 6)] = 2

Записать логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 5 ² = [(30x — 10) / (x + 6)]

⇒ 25 = [(30x — 10) / (x + 6)]

При перекрестном умножении получаем;

⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6)

⇒ 30x — 10 = 25x + 150

⇒ 30x — 25x = 150 + 10

⇒ 5x = 160

x = 32

Решение логарифмических функций — объяснение и примеры

В этой статье мы узнаем, как вычислять и решать логарифмические функции с неизвестными переменными.

Логарифмы и экспоненты — две тесно связанные друг с другом темы в математике. Поэтому полезно сделать краткий обзор показателей.

Показатель степени — это форма записи многократного умножения числа на само себя. Экспоненциальная функция имеет вид f (x) = b ^y , где b> 0

Например, , 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ² .

Показательная функция 2 ² читается как « два в степени пяти, », или « два в степени пять, », или « два в пятой степени». ”

С другой стороны, логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень. Рассмотрим снова экспоненциальную функцию f (x) = b ^y , где b> 0

y = log _b x

Тогда логарифмический функция задается;

f (x) = log _b x = y, где b — основание, y — показатель степени, а x — аргумент.

Функция f (x) = log _b x читается как «log base b of x». Логарифмы полезны в математике, потому что они позволяют нам выполнять вычисления с очень большими числами.

Как решать логарифмические функции?

Для решения логарифмических функций важно использовать экспоненциальные функции в данном выражении. Натуральный логарифм или ln является обратной величиной e . Это означает, что один может отменить другой, т.е.

ln (e ^x ) = x

e ^{ln x} = x

Чтобы решить уравнение с логарифмом (ами), важно знать их свойства.

Свойства логарифмических функций

Свойства логарифмических функций — это просто правила для упрощения логарифмов, когда входные данные имеют форму деления, умножения или экспоненты логарифмических значений.

Некоторые из объектов недвижимости перечислены ниже.

Правило произведения логарифма гласит, что логарифм произведения двух чисел, имеющих общее основание, равен сумме отдельных логарифмов.

⟹ log _a (p q) = log _a p + log _a q.

Правило частного логарифмов гласит, что логарифм отношения двух чисел с одинаковыми основаниями равен разности каждого логарифма.

⟹ log _a (p / q) = log _a p — log _a q

Правило логарифма степени утверждает, что логарифм числа с рациональной степенью равен произведению экспоненты и его логарифм.

⟹ log _a (p ^q ) = q log _a p

⟹ log _a p = log _x p ⋅ log _a x

⟹ log _q p = log _x п / лог _x q

⟹ лог _p 1 = 0.

Другие свойства логарифмических функций включают:

• Основания экспоненциальной функции и ее эквивалентной логарифмической функции равны.
• Логарифмы положительного числа по основанию того же числа равны 1.

log _a a = 1

• Логарифмы от 1 до любого основания равны 0.

log _a 1 = 0

• Журнал _a 0 не определен
• Логарифмы отрицательных чисел не определены.
• Основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1.
• Логарифмическая функция с основанием 10 называется десятичным логарифмом. Всегда принимайте основание 10 при решении с помощью логарифмических функций без маленького индекса для основания.

Сравнение экспоненциальной функции и логарифмической функции

Всякий раз, когда вы видите логарифмы в уравнении, вы всегда думаете о том, как отменить логарифм, чтобы решить уравнение. Для этого вы используете экспоненциальную функцию .Обе эти функции взаимозаменяемы.

В следующей таблице описан способ записи и перестановки экспоненциальных функций и логарифмических функций . В третьем столбце рассказывается о том, как читать обе логарифмические функции.

Давайте воспользуемся этими свойствами для решения пары задач, связанных с логарифмическими функциями.

Пример 1

Перепишите экспоненциальную функцию 7 ² = 49 в ее эквивалентную логарифмическую функцию.

Решение

Дано 7 ² = 64.

Здесь основание = 7, показатель степени = 2 и аргумент = 49. Следовательно, 7 ² = 64 в логарифмической функции;

⟹ log ₇ 49 = 2

Пример 2

Запишите логарифмический эквивалент 5 ³ = 125.

Решение

База = 5;

показатель степени = 3;

и аргумент = 125

5 ³ = 125 ⟹ log ₅ 125 = 3

Пример 3

Решить для x в журнале ₃ x = 2

Решение

log ₃ x = 2
3 ² = x
⟹ x = 9

Пример 4

Если 2 log x = 4 log 3, найдите значение ‘x’.

Решение

2 log x = 4 log 3

Разделите каждую сторону на 2.

log x = (4 log 3) / 2

log x = 2 log 3

log x = log 3 ²

log x = log 9

x = 9

Пример 5

Найдите логарифм 1024 по основанию 2.

Решение

1024 = 2 ¹⁰

log ₂ 1024 = 10

Пример 6

Найдите значение x в журнале ₂ ( x ) = 4

Решение

Перепишите логарифмический журнал функций ₂ ( x ) = 4 в экспоненциальной форме.

2 ⁴ = x

16 = x

Пример 7

Решите относительно x в следующем логарифмическом журнале функций ₂ (x — 1) = 5.

Решение
Запишите логарифм в экспоненциальной форме как;

log ₂ (x — 1) = 5 ⟹ x — 1 = 2 ⁵

Теперь решите относительно x в алгебраическом уравнении.
⟹ x — 1 = 32
x = 33

Пример 8

Найдите значение x в логарифме x 900 = 2.

Решение

Запишите логарифм в экспоненциальной форме как;

x ² = 900

Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить;

x = -30 и 30

Но поскольку основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1, правильный ответ равен 30.

Пример 9

Решите относительно данного x, log x = log 2 + log 5

Решение

Используя правило продукта Log _b (mn) = log _b m + log _b n получаем;

⟹ журнал 2 + журнал 5 = журнал (2 * 5) = журнал (10).

Следовательно, x = 10.

Пример 10

Логарифм решения _x (4x — 3) = 2

Решение

Перепишите логарифм в экспоненциальной форме, чтобы получить;

x ² = 4x — 3

Теперь решите квадратное уравнение.
x ² = 4x — 3
x ² — 4x + 3 = 0
(x -1) (x — 3) = 0

x = 1 или 3

Поскольку основание логарифма никогда не может быть 1, тогда единственное решение — 3.

1. Выразите следующие логарифмы в экспоненциальной форме.

а. 1ог ₂ 6

б. журнал ₉ 3

c. журнал ₄ 1

г. журнал ₆ 6

e. журнал ₈ 25

ф. log ₃ (-9)

2. Найдите x в каждом из следующих логарифмов

a. журнал ₃ (x + 1) = 2

b. журнал ₅ (3x — 8) = 2

c.журнал (x + 2) + журнал (x — 1) = 1

d. log x ⁴ — log 3 = log (3x ² )

3. Найдите значение y в каждом из следующих логарифмов.

а. журнал ₂ 8 = y

б. журнал ₅ 1 = y

c. журнал ₄ 1/8 = y

d. log y = 100000

4. Решите относительно xif log _x (9/25) = 2.

5. Решите log ₂ 3 — log ₂ 24

6. Найдите значение x в следующий логарифм log ₅ (125x) = 4

7.Учитывая, что Log ₁₀ 2 = 0,30103, Log ₁₀ 3 = 0,47712 и Log ₁₀ 7 = 0,84510, решите следующие логарифмы:

a. журнал 6

б. журнал 21

c. журнал 14

Решение логарифмических уравнений — ChiliMath

Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к рассмотрению приведенных ниже рабочих примеров.

Типы логарифмических уравнений

• Первый тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на каждой стороне уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы, равные друг другу, и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \ color {blue} M и \ color {red} N.

• Второй тип выглядит так.

Если у вас есть один логарифм на на одной стороне уравнения, вы можете выразить его как экспоненциальное уравнение и решить.

Давайте научимся решать логарифмические уравнения на нескольких примерах.

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример 1: Решите логарифмическое уравнение.

Поскольку мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило на всякий случай, если вы забыли.

• Распределить: \ left ({x + 2} \ right) \ left (3 \ right) = 3x + 6

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу.

• Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что у тебя есть эта часть!

Просто большое предостережение. ВСЕГДА проверяйте решенные значения с помощью исходного логарифмического уравнения.

Запомнить :

• Хорошо, может иметь значения x, такие как положительные, 0 и отрицательные числа.
• Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при замене или вычислении в исходное уравнение логарифма.

⚠︎ ВНИМАНИЕ! Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены.

{\ log _b} \ left ({{\ rm {negative \, \, number}}} \ right) = {\ rm {undefined}}

{\ log _b} \ left (0 \ right) = {\ rm {undefined}}

Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

Да! Поскольку x = 7 проверяет, у нас есть решение в \ color {blue} x = 7.2} — 2x

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу

• Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Но вам нужно сдвинуть все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.

• Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

x — 5 = 0 означает, что x = 5

x + 2 = 0 означает, что x = — 2

Итак, возможные решения: x = 5 и x = — 2.Не забывайте всегда подставлять возможные решения обратно в исходное логарифмическое уравнение.

Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут действительными решениями. Подставьте его обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, верно ли оно.

После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x = -2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри скобок (логарифм нуля и отрицательные числа не определены), что заставляет нас исключить x = -2 как часть нашего решения.

Следовательно, окончательное решение будет просто \ color {blue} x = 5. Мы не принимаем во внимание x = -2, потому что это постороннее решение.

Пример 3: Решите логарифмическое уравнение.

Это интересная проблема. Здесь мы имеем различие логарифмических выражений по обе стороны уравнения. Упростите или уплотните журналы с обеих сторон, используя правило Quotient Rule, которое выглядит следующим образом.

• Разница в журналах говорит нам использовать правило частного.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри скобок. Сделайте это с обеими сторонами уравнений.

• Я думаю, мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему до одного логарифмического выражения для каждой стороны уравнения.

• Отбросьте журналы, установите аргументы (внутри скобок) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение. Один из способов решить эту проблему — получить Cross Product .

• Это выглядит так после получения перекрестного продукта.

• Упростите обе стороны распределительным свойством. На этом этапе мы понимаем, что это всего лишь квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Сдвиньте все в одну сторону, и это заставит одну сторону уравнения равняться нулю.

• Это легко фактурируемо. Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Итак, это наши возможные ответы.

Я предоставлю вам проверить наши возможные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \ color {blue} x = 8 — единственное решение, а x = -3 — нет, поскольку он генерирует сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Нехорошо!

Пример 4: Решите логарифмическое уравнение.

Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что он имеет основание 10. Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм .

Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим различие журналов, что означает, что мы применяем правило Quotient Rule, в то время как с правой стороны требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов.

Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание на левую сторону. Вы видите этот коэффициент \ Large {1 \ over 2} \ ,?

Что ж, мы должны представить это как экспоненту, используя правило мощности в обратном порядке.

• Поднимите этот коэффициент \ large {1 \ over 2} как показатель степени (см. Крайний левый член)

• Упростите показатель степени (все еще относится к крайнему левому члену)

• Затем сожмите бревна с обеих сторон уравнения.Используйте правило частного слева и правило продукта справа.

• Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одна и та же база (если не указано явно, предполагается, что это база 10), можно установить их равными друг другу.

• Удаление журналов и просто приравнивание аргументов внутри скобок.

• На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну сторону уравнения, затем вычтите их.

• Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

Пора проверить свои потенциальные ответы. Когда вы проверите x = 0 обратно в исходное логарифмическое уравнение, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, что означает — нехорошо! Итак, мы должны игнорировать или отбросить \ color {red} x = 0 как решение.

Проверка \ Large {x = {3 \ over 4}} подтверждает, что действительно \ Large {\ color {blue} {x = {3 \ over 4}}} является единственным решением.

Пример 5: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема связана с использованием символа \ ln вместо \ log для обозначения логарифма.

Думайте о \ ln как о особом логарифме с основанием e, где e \ приблизительно 2,71828.

• Используйте правило продукта с правой стороны

• Сначала запишите переменную, а затем константу, чтобы быть готовым к использованию метода FOIL.

• Упростите два бинома, умножив их вместе.

• На этом этапе я просто закодировал выражение в круглых скобках цветом, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.

• Ага! Здесь мы говорим, что содержимое в левой скобке равно содержимому в правой скобке.

Не забудьте символ \ pm.

• Далее, упрощая, мы должны получить следующие возможные ответы.

Проверьте, являются ли найденные выше потенциальные ответы возможными, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения.

Вы должны убедиться, что ЕДИНСТВЕННЫМ допустимым решением является \ large {\ color {blue} x = {1 \ over 2}}, что делает \ large {\ color {red} x = — {1 \ over 2}} лишним. отвечать.

Пример 6: Решите логарифмическое уравнение.

В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас

Мы преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.

• Я закодировал части логарифмического уравнения цветом, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.

Вы должны убедиться, что значение \ color {blue} x = 12 действительно является решением логарифмического уравнения.

Пример 7: Решите логарифмическое уравнение.

Соберите все логарифмические выражения на одной стороне уравнения (оставьте его слева) и переместите константу в правую часть. Используйте правило частного, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в скобках логарифма.

• Переместите все логарифмические выражения в левую часть уравнения, а константу — вправо.{\ color {красный} 1} = 5.

• Это рациональное уравнение из-за наличия переменных в числителе и знаменателе.

Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но сначала я должен выразить правую часть уравнения с явным знаменателем, равным 1. То есть 5 = ​​{\ large {{5 \ over 1}}}

• Выполните перекрестное умножение, а затем решите полученное линейное уравнение.

Когда вы проверяете x = 1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \ large {\ color {blue} x = 1} является решением логарифмического уравнения.

Пример 8: Решите логарифмическое уравнение.

Эта проблема очень похожа на №7. Давайте соберем все логарифмические выражения слева, оставив константу справа. Поскольку у нас есть разница журналов, мы будем использовать правило Quotient Rule.

• Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.

• Примените правило частного, поскольку они представляют собой разность журналов.

• Я использовал здесь разные цвета, чтобы показать, куда они уходят после перезаписи в экспоненциальной форме.

• Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем месте, а \ color {red} 5 становится показателем степени основания.

• Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.

• Упростим правую часть с помощью свойства распределения. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.

• Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону равной нулю.

Выносим трехчлен за скобки.Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите относительно x.

• Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как потенциальные решения.

Убедитесь, что вы проверили возможные ответы из исходного логарифмического уравнения.

Согласитесь, что \ color {blue} x = -32 — единственное решение. Это делает \ color {red} x = 4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.

Пример 9: Решите логарифмическое уравнение

Я надеюсь, что теперь вы получили основное представление о том, как подходить к этому типу проблемы.Здесь мы видим три логических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.

• Давайте оставим лог-выражения слева, а константу — справа.

• Начните с сжатия выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.

• Затем дополнительно уплотните выражения журнала, используя правило частного, чтобы учесть разницу в журналах.

• На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме.

• Сохраните выражение внутри символа группировки ( синий ) в том же месте, сделав константу \ color {red} 1 с правой стороны как показатель степени основания 7.

• Решите это рациональное уравнение, используя перекрестное произведение. Выразите 7 как \ large {7 \ over 1}.

• Переместите все члены в левую часть уравнения. Выносим за скобки трехчлен. Затем установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x.

• Это ваши потенциальные ответы.Всегда проверяйте свои ценности.

Очевидно, что когда мы подставляем x = -8 обратно в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Следовательно, вы исключаете \ color {red} x = -8 как часть вашего решения.

Таким образом, единственное решение — \ color {blue} x = 11.

Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.

• Сохраните логарифмическое выражение слева и переместите все константы в правую сторону.

• Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение.3} = 27. Перед нами простое радикальное уравнение.

Отметьте этот отдельный урок, если вам нужно напомнить, как решать различные типы радикальных уравнений.

• Чтобы избавиться от радикального символа в левой части, возведите обе части уравнения в квадрат.

• После возведения в квадрат обеих сторон, похоже, у нас есть линейное уравнение. Просто решите это как обычно.

Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение.

После этого вы должны убедиться, что действительно \ color {blue} x = -104 — верное решение.

Возможно, вас заинтересует:

Уплотняющие логарифмы

Расширяющиеся логарифмы

Объяснение логарифма

Правила логарифмирования

Алгебра — решение логарифмических уравнений

Решите каждое из следующих уравнений.

Для их решения нам нужно привести уравнение в точную форму, в которой находится это.2} = 25 \]

Обратите внимание, что это уравнение, которое мы можем легко решить.

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова вставить это в исходное уравнение и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

Только положительные числа в логарифме, поэтому \ (x = \ frac {{21}} {2} \) на самом деле является решением. 2} — 6 \ left (2 \ right)} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({1 — 2} \ right) \\ {\ log _2} \ left ({4 — 12} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({- 1} \ right) \ end {align *} \]

В этом случае, несмотря на то, что потенциальное решение положительно, мы получаем отрицательные числа в логарифмах, и поэтому оно не может быть решением.

Следовательно, мы получаем единственное решение этого уравнения, \ (x = — 4 \).

примеров: решение логарифмических уравнений | Конечная математика

Решение экспоненциальных уравнений

1. По возможности изолируйте экспоненциальные выражения
2. Возьмите логарифм обеих сторон
3. Используйте свойство экспоненты для логарифмов, чтобы извлечь переменную из экспоненты
4. Используйте алгебру, чтобы найти переменную.

Пример 1

Решите 2
^x = 10 для x .{{x}})}}} = {ln {{({10})}}} [/ латекс] Использование свойства экспоненты для журналов, [латекс] \ displaystyle {x} {ln {{({2})}}} = {ln {{({10})}}} [/ latex] Теперь делим на ln (2), [латекс] \ displaystyle {x} = \ frac {{{ln {{({10})}}}}} {{{ln {{({2})}}}}} примерно {2,861} [/ латекс]

Обратите внимание, что этот результат совпадает с результатом, который мы получили с помощью изменения базовой формулы.

Пример 2

В первом разделе мы предсказали численность населения (в миллиардах) Индии
t лет после 2008 года с помощью функции f ( t ) 1.{{t}})}}} [/ латекс] Примените свойство экспоненты к правой стороне [латекс] \ displaystyle {ln {{(\ frac {{2}} {{1.14})}}} = {t} {ln {{({1.0134})}}} [/ латекс] Разделите обе стороны на ln (1,0134) [латекс] \ displaystyle {t} = \ frac {{{ln {{(\ frac {{2}} {{1.14}})}}}}} {{{ln {{({1.0134}) }}}}} приблизительно {42.23} {mathtt {{y}}} {mathtt {{e}}} {mathtt {{a}}} {mathtt {{r}}} {mathtt {{s}}} [ / латекс]

Если этот рост продолжится, модель предсказывает, что население Индии достигнет 2 миллиардов примерно через 42 года после 2008 года или примерно в 2050 году.

Попробовать 1

Решить 5 (0,93)
^x = 10.

Помимо решения экспоненциальных уравнений, логарифмические выражения распространены во многих физических ситуациях.

Пример 3

В химии pH — это мера кислотности или основности жидкости. PH связан с концентрацией ионов водорода, [
H ⁺ ], измеренной в молях на литр, уравнением p H = –log ([ H ⁺ ]).

Если концентрация жидкости составляет 0,0001 моль на литр, определите pH.

Определение концентрации ионов водорода в жидкости с pH 7.

Чтобы ответить на первый вопрос, мы вычисляем выражение –log (0,0001). Хотя мы могли бы использовать для этого наши калькуляторы, они нам здесь не нужны, поскольку мы можем использовать обратное свойство журналов:

–log (0,0001) = –log (10
^–4 ) = — (- 4) = 4

Чтобы ответить на второй вопрос, нам нужно решить уравнение 7 = –log ([
H ⁺ ]).Начните с выделения логарифма на одной стороне уравнения, умножив обе части на –1: –7 = log ([ H ⁺ ])

Переписывание в экспоненциальную форму дает ответ [
H ⁺ ] = 10 ^–7 = 0,0000001 моль на литр.

Логарифмы также предоставляют нам механизм для поиска моделей непрерывного роста для экспоненциального роста с учетом двух точек данных.

Пример 4

Население вырастает со 100 до 130 за 2 недели.{{{r} {2}}})}}} [/ латекс] [латекс] \ displaystyle {ln {{({1.3})}}} = {2} {r} [/ latex] [латекс] \ displaystyle {r} = \ frac {{{ln {{({1.3})}}}} {{2}} приблизительно {0,1312} [/ latex]

Это население растет с постоянной скоростью 13,12% в неделю.

В общем, мы можем связать стандартную форму экспоненты с формой непрерывного роста, отметив (используя
k для представления скорости непрерывного роста, чтобы избежать путаницы при использовании r двумя разными способами в одной и той же формуле) :

a (1 + r ) ^x = ae ^kx

(1 +
r ) ^x = e ^kx

1 +
r = e ^k

Используя это, мы видим, что всегда можно преобразовать из формы непрерывного роста экспоненты в стандартную форму и наоборот.Помните, что скорость непрерывного роста
k представляет собой номинальную скорость роста без учета эффектов непрерывного начисления процентов, в то время как r представляет собой фактическое увеличение в процентах за одну единицу времени (одна неделя, один год и т. Д.).

Пример 5

Продажи компании можно смоделировать с помощью функции
S ( т ) = 5000 e ^{0,12 т} , где т измеряется в годах. Найдите годовой темп роста.

Принимая во внимание, что 1 +
r = e ^k , тогда r = e ^0,12 — 1 = 0,1275, поэтому годовой темп роста составляет 12,75%. Функцию продаж также можно записать в виде S ( t ) = 5000 (1 + 0,1275) ^t .

• Решение экспоненциальных уравнений

Попробовать сейчас Ответы

[латекс] \ displaystyle \ frac {{{ln {{({2})}}}}} {{ln {{({0.93})}}}} примерно — {9.5513} [/ латекс]

Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Research of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции», под лицензией CC BY-SA 3.0.

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и решите относительно переменной.

Пример 1: Решите относительно x в уравнении Ln ( x ) = 8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе стороны являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x ) = 8 можно переписать.

Шаг 2: К настоящему моменту вы должны знать, что когда основание экспоненты и основание логарифма одинаковы, в левой части можно записать x. Теперь уравнение можно записать .

Шаг 3: Точный ответ:

и приблизительный ответ

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами.Вы можете построить график функции Ln ( x ) -8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересекать ось x в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальное уравнение и определите, равна ли левая часть правой. Для Например, если Ln (2,980.95798704) = 8, вы правы. Это так, и вы правы.

Пример 2: Решите относительно x в уравнении 7 Log (3 x ) = 15.

Решение:

Шаг 1: Выделите логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразуйте логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени равен .Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

это точный ответ и приблизительный ответ.

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построив график функции

или подставив значение x в исходное уравнение. Если вы выберете построение графика, точка пересечения по оси x должна быть такой же, как и ответ, который вы полученный ( ).
Если вы выберете замену, значение левой части оригинала уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы вычислили значение каждой стороны на основе вашего ответа на x.

Пример 3: Решите относительно x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x > 3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x > 2; и термин Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x > -12.Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом больше 3, все три члена будут действительными. Если все три члена верны, то уравнение действительно.

Шаг 2: Упростим левую часть приведенного выше уравнения: по свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь уравнение можно записать

Шаг 4: Пусть каждая сторона приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), тогда a должно быть равно b.В случае этой проблемы, тогда

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтем 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Разложите на множители левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, по крайней мере один из множителей должен быть равен нулю.Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 — единственное решение? Мы определили наш домен как все действительные числа больше 3.

Чек: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определение того, равен ли отрезок оси x также 9. Если это так, вы правильно сработали проблему.
Вы также можете проверить свой ответ, заменив 9 слева x и правые части исходного уравнения. Если после подстановки левый сторона уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно решили проблему.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример».

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите «Ответить».

Задача 1: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 2: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 3: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 4: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 5: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 6: Решите относительно x в уравнении

Ответ