Квадратные корни примеры с решениями: Ваш браузер не поддерживается

2$. Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то значит и сами числа равны, что и требовалось доказать.

Из нашего свойства следует, что, например, $\sqrt{5}*\sqrt{3}=\sqrt{15}$.

Замечание 1. Свойство справедливо и для случая, когда под корнем более двух неотрицательных множителей.
Свойство 2. Если $а≥0$ и $b>0$, то справедливо следующее равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

То есть корень из частного равен частному корней.
Доказательство.
Воспользуемся таблицей и кратко докажем наше свойство.

Содержание

Примеры использования свойств квадратных корней


Пример 1.
Вычислить: $\sqrt{81*25*121}$.

Решение.
Конечно, мы можем взять калькулятор, перемножить все числа под корнем и выполнить операцию извлечения корня квадратного. А если под рукой нет калькулятора, как быть тогда?
$\sqrt{81*25*121}=\sqrt{81}*\sqrt{25}*\sqrt{121}=9*5*11=495$.
Ответ: 495.

Пример 2. Вычислить: $\sqrt{11\frac{14}{25}}$.

2}$.
4. Вычислить:
а) $\sqrt{128*\sqrt{8}}$;
б) $\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{8}}$.

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.

Чтобы вопросы отпали, и все встало на свои места, нужно разобраться, в чем разница между квадратным уравнением и арифметическим квадратным корнем. В детской школе Skysmart ученики вникают в тонкости математической вселенной вместе с красочными героями комиксов и в интерактивном формате.

Приходите вместе с ребенком на бесплатный вводный урок: познакомимся и покажем, как решать задачки весело и эффективно.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

  • x2 = 16 не равно  x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

  • x2 = 16 — это квадратное уравнение.
  • x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x2 = 16 следует, что:

  • |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

 
  1. Пример решен неверно

  2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения: 

 
  1. x2 = 36

  2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение. 

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень. 

√36 = 6
x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит. 

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x2.
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.


Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.

x2 = 2.
x = √2
x = -√2. 

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов


Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

  • 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

  • 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх —  5.

Ответ: √3025 = 55.

  • 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

  • 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

  • 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

  • Корень произведения равен произведению корней
  • Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
  • Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

 

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

 

  1. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Добрая напоминалочка

Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

 


Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

 
  1. Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49





Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:



Эти две формулы нужно запомнить:


Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять. 

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня. 

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a)2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же. 

7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Запоминаем:

Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

 


Вынесение множителя из-под знака корня 

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей. 


В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:


Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

 
  1. √28

    Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

    Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.



  2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

    Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

  3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24

    Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.


  4. Упростите выражение:

    Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

    Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

    Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
    Выносим общий множитель за скобки:

    Далее вычисляем все, что в скобках:

 

Давайте тренироваться вместе: в современном формате и под присмотром внимательных учителей. Учиться в удовольствие — это реально.

Запишите ребенка на бесплатный урок математики в Skysmart: покажем, как все устроено на платформе и поможем ребенку поверить в себя.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

  • √a < √b, то a < b
  • √a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70  <  8√2.

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

 
  1. Сравните два выражения: √50 и 9√5

    Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

    9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

    50 < 405

    Это значит, что √50 < 9√5.


  2. Сравните два выражения: 6√5 и √18

    Ответ: преобразовываем выражение 6√5.

    6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

    180 > 18

    Это значит, что 6√5 > √18.


  3. Сравните два выражения: 7√12 и √20

    Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

    7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

    588 >20

    Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет. 

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее. 

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.


Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

 
  1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.

  2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.

  3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500 

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.


Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат. 

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители: 

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664

4

2916

4

729

3

243

3

81

81

Запишем выражение в следующем виде:


Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
 

В 8 классе примеров с корнями очень много. Это значит, что ничего не остается, как выучить все формулы и натренироваться так, чтобы самый оголтелый квадратный корень выпустил белый флаг и запросил пощады.

На уроках математики в онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится извлекать самые неподатливые и громоздкие корни. Записывайтесь на бесплатный вводный урок и учите алгебру с удовольствием.

Арифметический квадратный корень. Мини-курс. Уроки 17 — 24. — Math

Преобразование выражений с корнем. Приведение дробей с квадратным корнем к общему знаменателю. Иррациональные дроби. Арифметический квадратный корень. Упростить выражение с квадратным корнем. Деление дробей с корнем. Сокращение дробей с корнем. Умножение выражений с квадратным корнем. Разложение на множители выражений с корнем. Разложение на множители выражений с иррациональностью. Алгебра 8 класс. Примеры с решением. Задания с объяснением. Иррациональные выражения. Выражения с иррациональностью. Математика. Образование.

 

 

Урок 18. Найти значение выражения. Арифметический квадратный корень.

Найти значение выражения. Арифметический квадратный корень. Выделение полного квадрата в выражениях с корнем. Алгебра 8 класс. Иррациональные выражения. Выражения с корнем. Примеры с решением. Преобразовать выражение с корнем. Дробь с корнем. Примеры с корнем. Найти значение выражения с корнем. Привести выражение с корнем к общему знаменателю. Радикал. Примеры с радикалами. Значение радикала. Преобразование выыражений с радикалами. Математика. Образование.

 

 

 Урок 19.

Упростить выражение и найти его значение. Квадратный корень.

Вычисление значений арифметического квадратного корня. Когда ставить модуль при извлечении квадратного корня? Как правильно раскрыть модуль. Свойства арифметического квадратного корня. Определение модуля. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Математика. Образование.

  • Пример 1: Найти значение выражения.
  • Пример 2: Упростить выражение и найти его значение.

 

 

 Урок 20. Вычисление значений квадратного корня при помощи формул сокращенного умножения.

Вычисление значений арифметического квадратного корня при помощи формул сокращенного умножения. Как выделить полный квадрат в подкоренном умножении? Как выделить полный квадрат в выражении с корнем. Формулы сокращенного умножения для вычисления значений квадратного корня. Примеры с решением. Алгебра 8 класс.  Математика. Образование.

  • Пример 1: Найти значение выражения, разложив подкоренное выражение на множители.
  • Пример 2: Упростить выражение с арифметическим квадратным корнем, выделив полный квадрат в подкоренном выражении.

 

 

 Урок 21. Упростить выражение, выделив полный квадрат под корнем.

Как выделить полный квадрат в подкоренном умножении? Как выделить полный квадрат в выражении с корнем. Формулы сокращенного умножения для вычисления значений квадратного корня. Корень в корне. Корень под корнем. Как вычислить корень под корнем. Как раскрыть модуль при вычислении арифметического квадратного корня? Свойства корня. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Математика. Образование.

  • Пример 1: Найти значение выражения, выделив полный квадрат в подкоренном выражении.
  • Пример 2: Упростить выражение с арифметическим квадратным корнем, выделив полный квадрат в подкоренном выражении.

 

 

 Урок 22. Упростить выражение с корнем. Найти значение корня. Задания с *.  

Как выделить полный квадрат в подкоренном умножении? Как выделить полный квадрат в выражении с корнем. Формулы сокращенного умножения для вычисления значений квадратного корня. Как раскрыть модуль в выражении с корнем. Корень в корне. Корень под корнем. Как вычислить корень под корнем. Как раскрыть модуль при вычислении арифметического квадратного корня? Свойства корня. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Математика. Образование.

  • Пример 1: Найти значение выражения, преобразовав подкоренное выражение и раскрыв модуль.
  • Пример 2: Упростить выражение с арифметическим квадратным корнем, выделив полный квадрат в подкоренном выражении и раскрыв затем модуль.
  • Пример 3: Известна сумма корней. Найти их произведение.

 

Урок 24. Ветвь параболы. Построение графика. Нахождение значений.

График функции «у» равно корень из «x». Ветвь параболы. Построение графика корня. Нахождение значений по графику. Алгебра 8 класс. Примеры с решением:

Пример 1: Дана функция. Найдите:

  • 1) значение функции, если значение аргумента равно 4; 5;
  • 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 2; 2,5.

Пример 2: Не выполняя построения графика функции, укажите, через какие из данных точек проходит этот график.

Пример 3: Постройте в одной системе координат графики функций и укажите координаты точки их пересечения.

Пример 4: Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции у = V* и прямой.

Пример 5: Постройте график функции. Пользуясь графиком, найдите:

  • 1) значение функции, если значение аргумента равно 9; 7;
  • 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 2; 2,5.

 

Начало курса. Арифметический квадратный корень. Уроки 1 — 5.

Мини-курс. Рациональные дроби. Алгебра 7-8 класс.

 Арифметический квадратный корень. Ответы к заданиям из видео уроков.

Арифметический квадратный корень. Мини-курс. Уроки 1-5. — Math

Арифметический квадратный корень. Мини-курс. Уроки 1-5.

Урок 1. Арифметический квадратный корень. Определение арифметического квадратного корня. Основные понятия. Базовые свойства. Как извлечь арифметический квадратный корень. Свойства корня. Математика. Алгебра 8 класс. Образование. Примеры с решением.

  • Пример 1: Найдите значение арифметического квадратного корня.
  • Пример 2: Имеет ли смысл выражение.
  • Пример 3-4: Найдите значение выражения.
  • Пример 5: Найдите значение корня. 

 

Урок 2. Уравнения, содержащие знак корня. Простейшие иррациональные уравнения.

Уравнения со знаком корня. Иррациональные уравнения. Методы и способы решения уравнений, содержащие знак корня. Алгебра 8 класс. Математика. Образование. Примеры с решением. Задания с объяснением. Пример 1: Решить уравнение. Математика. Задания с объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

 

Урок 3. Неполные квадратные уравнения. х2=а. Алгебра 8 класс. Математика. Образование.

Простейшее неполное квадратное уравнение. Уравнение х2 = а и способы его решения. Алгебра 8 класс. Математика. Образование. Примеры с решением. Задания с объяснением. Пример 1: Решить неполное квадратное уравнение. Математика. Задания с объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.

Уроки 6 — 10

 

 
Урок 4. Свойства арифметического квадратного корня. Корень из а в квадрате. Алгебра 8 класс.

Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня. Преобразование выражений с квадратным корнем. Свойство «Корень из а в квадрате». Алгебра 8 класс. Математика. Образование. Как правильно извлечь квадратный корень и открыть модуль. Разница между свойством «корень из а в квадрате» и Корень из а и все это в квадрате». Что обязательно надо учесть при извлечении квадратного корня. Сокращение корня и степени. Как извлечь корень из выражения в степени. Примеры с решением. Задания с объяснением. Пример 1: Найдите значение выражения. Пример 2: Упростить выражение.

 

Урок 5. Решение уравнений и построение графиков с квадратным корнем. Алгебра 8 класс. 

Преобразования арифметического квадратного корня. Свойство «Корень из а в квадрате». Решение уравнений. Построение графиков. Алгебра 8 класс. Математика. Образование. Как правильно извлечь квадратный корень и открыть модуль. Разница между свойством «корень из а в квадрате» и Корень из а и все это в квадрате». Что обязательно надо учесть при извлечении квадратного корня. Сокращение корня и степени. Примеры с решением. Задания с объяснением.

  • Пример 1: Решить уравнение. Найдите корни уравнения, выполнив преобразование квадратного корня.
  • Пример 2: Построить график функции.

 Арифметический квадратный корень. Ответы к заданиям из видео уроков.

Арифметический квадратный корень. Мини-курс. Уроки 6 — 10.

Арифметический квадратный корень. Мини-курс. Уроки 11 — 16.

Свойства арифметического квадратного корня

0.

{2n+1}} \right) \\ \end{align}\]

Мы будем использовать эти свойства на всю катушку в третьей части урока. А пока начнём с более простых вещей.

1. Корни из точных степеней

При работе с корнями многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Они пытаются подменить чёткие правила алгебры интуитивными размышлениями. И на первый взгляд всё выглядит хорошо. Взгляните на примеры:

Во всех трёх случаях мы видим, что под корнем стоят точные квадраты. Их можно переписать так:

Может показаться, что для упрощения выражения достаточно убрать степень и знак корня. На практике это не так:

Из третьей строки видно, что просто убрать степень и корень с отрицательного основания нельзя, ведь корень не может быть отрицательным! Вторая строка объясняет нам, что именно происходит: квадрат делает число под корнем положительным, а дальше мы извлекаем этот самый корень и вновь получаем положительное число. В итоге строки 1 и 2 ведут к извлечению корня из одного и того же числа — 64.

Вывод?

1.1. Корень из точного квадрата

А вывод такой: корень из квадрата не меняет положительные числа, а отрицательные меняет на противоположные. Это в точности совпадает с определением модуля:

Для удобства дальнейших размышлений предлагаю взять на вооружение вот такое определение модуля:

Это определение чрезвычайно полезно для решения сложных задач с параметрами. Об этом как-нибудь в следующий раз. А пока давайте потренируемся:

Опыт моих учеников: поначалу довольно непривычно выписывать эти множители (1, 0 и −1), но затем человек привыкает и пишет всё на автомате. А затем и вовсе перестаёт писать — всё происходит в его голове, но навык добавления множителей остаётся (и очень пригодится, когда мы считаем коэффициенты многочленов).

Потренируйтесь самостоятельно:

Задание. Найдите значение выражения:

[Показать ответы]

Отдельное внимания заслуживают двойные корни, вложенные друг в друга:

Для них замена корня модулем тоже работает, но возникает вопрос: как корректно раскрыть модуль? Придётся сравнивать корни:

Откуда такое смелое утверждение во второй строке? Существует два способа доказать неравенство в красных скобках:

  • 1. Использовать свойства корней;
  • 2.Составить цепочку неравенств.

Я приведу оба:

Сравнение корней — отдельная серьёзная тема. Ей посвящён целый урок. Поэтому давайте просто решим второе задание:

Задание. Вычислите значение выражения:

[показать ответ]

1.2. Корень из чётной степени

Идём дальше. Вновь запишем нашу волшебную формулу:

Капитан очевидность как бы намекает: эта формула верна не только для квадратов, но и для всех чётных степеней:

Другими словами, корень из любой чётной степени понижает эту степень ровно в два раза, но взамен навешивает на неё модуль! Рассмотрим примеры:

Обратите внимание на последнюю строку: изначально под корнем стоит довольно громоздкое число. Вычислять его напролом — возводить в квадрат, а затем извлекать корень — безумие. Но формула понижения степени редуцирует задачу до устной — отличная экономия времени на экзамене.:)

Попробуйте сами:

Задание 2. Найдите значение выражения:

[Показать ответы]

Вывод: если видите корень из степени, то смело понижайте степень вдвое, убирайте корень, но взамен ставьте модуль. Всегда. Обязательно. Ок? Переходим ко второй части урока.

2. Корни из произведения и частного

Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:

Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:

Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.

А теперь разберём ещё два свойства корней.

2.1. Умножение и деление корней

Корни можно умножать и делить. Правила просты:

Примеры:

Попробуйте сами:

Задание 3. Найдите значение выражения:

[показать ответы]

Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.

Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:

Попробуйте повторить этот трюк:

Задание 4. Найдите значение выражения:

[показать ответы]

2.

2. Проблемы с областью определения

Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:

Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.

С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:

В чём конкретно состоит различие?

В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.

Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:

Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.

Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:

И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!

Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?

Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:

Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:

Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:

Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:

Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).

Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.

Задание 5. Найдите значение выражения:

[показать ответы]

Переходим к самому весёлому.:)

3. Работа с переменными

Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:

Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:

До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?

Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)

3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней

Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:

Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:

В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.

Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:

Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

Из приведённых примеров видно:

  • В строках (2) и (4) мы можем раскрыть модуль, ничего не зная о переменной;
  • В строках (1) и (3) раскрыть модуль не удалось.

Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».

Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.

Попробуйте сами:

Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

[показать ответ]

Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:

Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.

3.2. Учёт дополнительных ограничений

Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:

Упростите выражение:

Работаем по тем правилам, которые изучали выше:

Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.

Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:

В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:

Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:

Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.

Попробуйте самостоятельно:

Задание. Упростите выражение:

[показать ответ]

Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.

3.3. Упрощение выражений

Последний и самый интересный раздел этого урока.

Откуда берутся дополнительные ограничения на переменные? Существует ровно два источника таких ограничений:

  • 1.Условие задачи. Например, если переменная — это длина отрезка на чертеже, то можно без ущерба для здоровья полагать, что она неотрицательна (а если всё-таки отрицательна, то у вас неправильный чертёж).
  • 2.Неявные следствия из исходного выражения / уравнения / неравенства. Тут всё намного интереснее: анализ следствий из исходного условия — увлекательный процесс, доступный лишь хорошо подготовленным ученикам.

Начнём с первого пункта — ограничений, явно указанных в условии задачи. Примеры:

Упростите выражение:

С первым выражением всё просто:

Со вторым уже интереснее. Заметим, что в первом числителе стоит формула сокращённого умножения, а дробь под корнем гарантированно имеет неотрицательный числитель и знаменатель:

Вспомним исходные ограничения:

И раскроем модули:

Как видите, нам удалось избавиться не только от модулей, но и от дробей.:)

Обратите внимание

Материал, представленный дальше, относится скорее к следующему уроку — «Внесение и вынесение множителей из-под знака корня». Его изучение прямо сейчас не является обязательным, но может оказаться весьма полезным для сильных учеников.

Наконец, разберёмся с неявными ограничениями. Ещё раз запишем самую первую формулу:

Пусть известно, что подмодульное выражение неотрицательно. Тогда модуль можно убрать:

С отрицательными величинами тоже можно провернуть такой трюк:

Но любое равенство работает как слева-направо, так и справа-налево. Следовательно, если нам известен знак переменной, мы можем внести её под знак корня:

Это замечание позволит упрощать выражения, которые неподготовленному ученику покажутся неприступными.

Остаётся лишь один вопрос: где взять знак переменной? Ответ: ограничения на переменную часто скрыты в области определения. Например:

Упростите выражения:

Решение:

В первой строке мы видим корень, поэтому выпишем область определения. Это даст нам ограничения на переменную и поможет внести её под знак корня:

То же самое со вторым выражением:

В итоге мы получили выражение, тождественно равное нулю. Однако помните: это равенство сохраняется только для отрицательных значений переменной! Для положительных значений исходное выражение вообще не определено.

Операция, которую мы только что провернули, как раз и называется внесением переменной под знак радикала.

В заключение хотел бы рассмотреть типичную ситуацию для сложных алгебраических задач, когда под корнем стоят, на первый взгляд, противоположные числа.

Упростите выражение:

Заметим, что самый первый корень накладывает жёсткие ограничения на переменную:

Под остальными корнями стоят неотрицательные выражения, поэтому дальше всё просто:

Наличие неявного ограничения позволило нам раскрыть модуль даже у нечётной степени. Обратите внимание на этот переход:

Как мы помним из краткой вводной, минусы можно выносить (и вносить) из основания нечётной степени. Это можно сделать как после раскрытия модуля, так и в самом начале — прямо под корнем:

Красным я отметил одинаковые выражения, стоящие под корнем и в основании степени. Именно такая форма записи (а не игра с минусами) является предпочтительной, например, в логарифмических уравнениях и неравенствах.

Но это тема совсем другого урока. А на сегодня хватит.:)

Смотрите также:

  1. Умножение корней n-й степени
  2. Корень степени N
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
  4. Задача B3 — работа с графиками
  5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. 2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

    Квадратный корень из произведения

    √(a*b) =√a*√b

    Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

    Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т.д. неотрицательных множителей.

    Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √(a*b) =√a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку(кому какую удобнее запомнить).

    Квадратный корень из дроби

    Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

    √(a/b) =√a/√b.

    Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

    У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания. 
    Квадратный корень частного равен частному от корней.

    Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

    Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

    √(a+b) =√a+√b;

    √(a-b) =√a-√b;

    Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют, и поэтому так делать при вычислениях нельзя.

    Нужна помощь в учебе?



    Предыдущая тема: Функция y=√x: график и свойства
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратный корень из степени: правила и примеры

    Квадратные уравнения.

    2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

    Геометрический смысл квадратного уравнения

    Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
    1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

    2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

    3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

    Отсюда находим

    Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

    Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

    Теорема Виета

    Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0.

    Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

    С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
    Корни уравнения равны

     

    Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

    Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
    х(18-х)=77;
    или
    х2-18х+77=0.
    Найдем дискриминант уравнения

    Вычисляем корни уравнения

    Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

     

    Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

    Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

    Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

    Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

    Раскрыв скобки получим тождество.

    Квадратное уравнение с параметром

    Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

    Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

    упростим его и приравняем к нулю

    Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

    Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
    Вычислим дискриминант

    и найдем значения а при котором оно положительно

    С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


    Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
    В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

    Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

    Упрощение квадратного корня — методы и примеры

    Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат числа . Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x 1/2 . Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y 2 = x.

    Например, квадратный корень из 25 представлен как √25 = 5. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √25 = 5, число 25 — подкоренное выражение.

    Иногда вы получаете сложные выражения с несколькими радикалами, и вас просят упростить их.

    Для этого существует множество методов, в зависимости от количества радикалов и значений под каждым радикалом. Мы увидим их одного за другим.

    Как упростить квадратный корень?

    Чтобы упростить выражение, содержащее квадратный корень, мы находим множители числа и группируем их в пары.

    Например, число 16 имеет 4 копии множителей, поэтому мы берем число два из каждой пары и помещаем его перед радикалом, окончательно опущенным, т. е.е., √16 = √ (2 x 2 x 2 x 2) = 4.

    Упрощение квадратного корня из числа влечет за собой несколько методов. В этой статье описаны некоторые из этих методов.

    Упрощение, когда радикалы одинаковы

    Вы можете складывать или вычитать сами квадратные корни, только если значения под знаком радикала равны. Затем сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число знака корня.

    Пример 1

    Выполните следующие операции

    1. 2√3 + 3√3 = (2 +3) √3

    = 5√3

    1. 4√6 — 2√6 = (4 — 2) √6

    = 2√6

    • 5√2 + √2 = (5+ 1) √2

    = 6√2

    Упрощение под одним радикальным знаком

    Можно упростить извлечение квадратного корня, когда целые числа находятся под одним знаком, путем сложения, вычитания и умножения целых чисел под знаком.

    Пример 2

    Упростите следующие выражения:

    = √100

    = 10

    = √36

    = 6

    = √25

    = 5

    = √11 9 Упрощение когда радикальные значения различаются

    Если радикалы не совпадают, упростите квадрат числа путем сложения или вычитания различных квадратных корней.

    Пример 3

    Выполните следующие операции:

    = √ (25 x 2) + 3√2

    = 5√2 + 3√2

    = 8√2

    = √ (100 x 3) + √ (4 x 3)

    = 10√3 + 2√3

    = 12√3

    Упрощение путем умножения неотрицательных корней

    Пример 4

    Умножение:

    = 4

    = √x 8 = x 4

    Пример 5

    Найдите значение числа n, если квадратный корень из суммы числа с 12 равен 5 .

    Решение

    Напишите выражение этой задачи, квадратный корень из суммы n и 12 равен 5
    √ (n + 12) = квадратный корень из суммы.

    √ (n + 12) = 5
    Наше уравнение, которое теперь нужно решить:
    √ (n + 12) = 5
    Каждая сторона уравнения возводится в квадрат:
    [√ (n + 12)] ² = 5²
    [√ (n + 12)] x [√ (n + 12)] = 25
    √ [(n + 12) x √ (n + 12)] = 25
    √ (n + 12) ² = 25
    n + 12 = 25
    Вычтем 12 из обеих частей выражения
    n + 12-12 = 25-12
    n + 0 = 25-12
    n = 13

    Пример 6

    Упростить

    1. √4,500
    2. √72

    Решение

    Аргумент 4500 имеет множители 5, 9 и 100. Теперь можно вычислить квадратный корень. Вычислите квадратный корень из полных квадратных чисел

    √4500 = √ (5 x 9 x 100)

    = 30√5

    2.

    Число 72 равно 2 x 36, а поскольку 36 — полный квадрат, вычислить его квадратный корень.

    √ (2 x 36)

    = 6√2

    Практические вопросы

    1. Упростите следующие выражения:

    a) √5x 2

    b) √18a

    c) √12x 2 y

    d) √5y 3

    e) √ x 7 y 2

    1. Вычислите радикальное выражение ниже.

    a) 2 + 9 –√15-2

    b) 3 x 4 + √169

    c) √25 x √16 + √36

    d) √81 x 12 + 12

    e) √36 + √47 — √16

    f) 6 + √36 + 25−2

    g) 4 (5) + √9-2

    h) 15 + √16 + 5

    i) 3 (2 ) + √25 + 10

    j) 4 (7) + √49 — 12

    k) 2 (4) + √9 — 8

    l) 3 (7) + √25 + 21

    m) 8 (3) — √27

    1. Вычислите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 100 см и шириной 6 см.
    1. Ахмед и Том встретились для встречи. Ровно в 16:00 они разошлись: Том едет на юг со скоростью 60 миль в час, а Ахмед едет на восток со скоростью 30 миль в час. Как далеко был Том от Ахмеда в 16.30?
    1. Вычислите длину куба с площадью грани x см 2 .
    1. Рассчитайте диаметр круга с площадью A = 300 см².
    1. Квадратный школьный сад имеет длину 11 м.Допустим, каждая сторона сада увеличена на 5 м. Как увеличить площадь сада?
    1. Прямоугольный мат имеет длину 4 метра и ширину √ (x + 2) метра. Вычислите значение x, если периметр равен 24 метрам.
    1. Каждая сторона куба составляет 5 метров. Паук соединяется от вершины угла куба к противоположному нижнему углу. Рассчитайте общую длину паутины.
    1. Квадратный сад площадью 144 м 2 .Какова длина каждой стороны сада?
    1. В городе будет построена большая детская площадка квадратной формы. Предположим, что игровая площадка имеет размер 400 и должна быть разделена на четыре равные зоны для различных занятий спортом. Сколько зон можно разместить в одном ряду детской площадки, не выходя за него?
    2. Воздушный змей закреплен на земле веревкой. Ветер дует так, что тетива натянута, и кайт помещается прямо на 30-футовый флагшток.Найдите высоту флагштока, если длина веревки составляет 110 футов.
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Квадратные корни — объяснение и примеры

    В математике квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощение записывается как y 2 = x.

    Например, 5 и — 5 являются квадратными корнями из 25, потому что:

    5 x 5 = 25 и -5 x -5 = 25.

    Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x 1/2 .Например, квадратный корень из 16 представлен как: √16 = 4. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √16 = 4, число 16 — подкоренное выражение.

    Что такое квадратный корень?

    Квадратный корень — это операция, обратная возведению числа в квадрат. Другими словами, извлечение квадратного корня — это операция, которая отменяет показатель степени 2.

    Свойства

    • Полное квадратное число имеет точный квадратный корень.
    • Четное совершенное число имеет четный квадратный корень.
    • Нечетное совершенное число имеет нечетный квадратный корень.
    • Квадратный корень отрицательного числа не определен.
    • Только числа, оканчивающиеся четным числом нулей, имеют квадратные корни.

    Как найти квадратный корень из чисел?

    Есть несколько способов найти квадрат чисел. Мы увидим некоторые из них здесь.

    Повторное вычитание

    Этот метод включает в себя успешное и многократное вычитание нечетных чисел, таких как 1, 3, 5 и 7, из числа до тех пор, пока не будет достигнут ноль.Квадрат числа равен числу или частоте вычитания числа

    Предположим, нам нужно вычислить квадрат совершенного числа, такого как 25, операция выполняется как:

    25 — 1 = 24
    24-3 = 21
    21-5 = 16
    16-7 = 9
    9-9 =

    Вы можете заметить, что частота вычитания равна 5, поэтому квадратный корень из 25 равен 5.

    Простое разложение на множители

    В этом методе точное квадратное число факторизуется путем последовательного деления. Простые множители группируются в пары, и вычисляется произведение каждого числа. Следовательно, произведение представляет собой квадратный корень из числа. Чтобы найти квадрат совершенного числа, такого как: 144, выполняется как:

    • 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
    • Соедините простые множители.
    • Выбор одного числа из каждой пары.
    • 2 × 2 × 3 = 12.
    • Таким образом, √144 = 12.

    Метод деления

    Метод деления — это подходящий метод вычисления квадрата большого числа. Ниже приведены необходимые шаги:

    • Полоса помещается над каждой парой цифр, начиная с правой стороны.
    • Разделите левое конечное число на число, квадрат которого меньше или эквивалентен числам под левым концом.
    • Возьмите это число в качестве делителя и частного. Точно так же возьмите крайнее левое число в качестве делимого.
    • Разделите, чтобы получить результат
    • Потяните вниз следующее число с полосой справа от остатка.
    • Умножьте делитель на 2.
    • Справа от нового делителя найдите подходящий дивиденд. Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим в качестве остатка ноль. Следовательно, квадрат числа равен частному.

    Квадратный корень из 225 вычисляется как

    • Начинайте деление с крайней левой стороны.
    • В этом случае 1 — это наше число, квадрат которого меньше 2.
    • Если присвоить 1 как делитель и частное и умножить его на 2, получим:
    • Выполните шаги, чтобы получить 15 как частное.

    Практические вопросы

    1. Оценить √144 + √196
    2. Упростить √25 x √25
    3. Найдите квадратный корень из 1000000.
    4. В школьной аудитории 3136 мест, если количество мест в ряду равно количеству мест в столбцах. Подсчитайте количество мест в ряду.
    5. Вычислить √5625.
    6. Квадратный сад имеет площадь 16 квадратных метров. Рассчитайте периметр сада.
    7. Какое наименьшее число нужно добавить к 570, чтобы получился идеальный квадрат.
    8. Оценить √0,9 + √2,5.
    9. Найдите квадратный корень из первого совершенного четырехзначного числа.
    10. Что такое √0,0025?

    Ответы на практические вопросы

    1. √144 + √196

    = 12 + 13

    = 25

    2. √25 x √25

    = 5 x 5

    = 25

    3. √1000000

    1000000 имеет четное число нулей, поэтому выбирайте каждый ноль из пары.

    = 1000

    4. Равное количество строк и столбцов

    Количество мест в ряду и столбце = √ 3136

    56 мест

    5. √5625

    = 75

    6. √16 = 4

    Периметр = 4 x 4

    = 16 метров

    7. 570 + 6 = 576

    √576 = 24

    8. √0.9 + √2.5

    = 0.3 + 0. 5

    = 0.8

    9 Первое совершенное четырехзначное число — 1024

    10. √0.0025

    = 0. 05

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    6.{2} = 9 \).

    Член с квадратным множителем изолирован, поэтому мы начинаем с применения свойства квадратного корня. {2} + b x + c = 0 \)

    как уравнение вида

    Этот процесс называется , завершение квадрата 4 .{2} = \ color {Cerulean} {1} \)

    Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (1 \) к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.

    На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

    Ответ :

    Решения: \ (- 8 \) и \ (6 \).

    Примечание

    В предыдущем примере решения — целые числа. Если это так, то исходное уравнение будет учитываться.

    Если уравнение множится, мы можем решить его путем факторизации.{2} — 10 х + 26 = 0 \).

    Решение

    Начните с вычитания \ (26 \) из обеих частей уравнения.

    Здесь \ (b = -10 \), и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:

    Чтобы получить квадрат, добавьте \ (25 \) к обеим сторонам уравнения. {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до сотых долей секунды.)

  6. Какова высота лестницы длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.
  7. Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.
Ответ

1. \ (\ pm 9 \)

3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

13. \ (\ pm i \)

15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

19.\ (\ pm 2 i \)

21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

29. \ (- 9, -5 \)

31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

  • \ ((3 т + 2) (т-4) — (т-8) = 1-10 т \)
  • Ответ

    1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

    3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

    7. \ (- 15,5 \)

    9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

    11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)

    15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)

    17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)

    19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)

    25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)

    27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)

    29. 1 \ (\ pm 2 i \)

    31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)

    35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)

    37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)

    Ответ

    1. \ (0.19,1.31 \)

    3. \ (- 0,45,1,12 \)

    5. \ (0,33,0,67 \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    1. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им вместе с решением на доске обсуждений.
    2. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.{2} = q \).

      Решение радикальных уравнений

      Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. Д.

      Радикальные уравнения

      Решение радикальных уравнений

      Мы можем избавиться от квадратного корня возведением в квадрат. (Или кубические корни кубиками и т. Д.)

      Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение. Итак, нам нужно проверить!

      Выполните следующие действия:

      • Выделите квадратный корень с одной стороны уравнения
      • возвести в квадрат обе части уравнения

      Тогда продолжайте наше решение!

      Пример: решить √ (2x + 9) — 5 = 0

      вычлените квадратный корень: √ (2x + 9) = 5

      квадрат с обеих сторон: 2x + 9 = 25

      Теперь решать должно быть проще!

      Переместите 9 вправо: 2x = 25 — 9 = 16

      Разделить на 2: x = 16/2 = 8

      Ответ: x = 8

      Проверка: √ (2 · 8 + 9) — 5 = √ (25) — 5 = 5 — 5 = 0

      Тот работал отлично.

      Более одного квадратного корня

      Что делать, если есть два или более квадратных корня? Легкий! Просто повторите процесс для каждого.

      Это займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего особенного.

      Пример: решить √ (2x − 5) — √ (x − 1) = 1

      выделите один из квадратных корней: √ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)

      квадрат с обеих сторон: 2x − 5 = (1 + √ (x − 1)) 2

      Мы удалили один квадратный корень.

      развернуть правую часть: 2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)

      упростить: 2x − 5 = 2√ (x − 1) + x

      вычтем x из обеих частей: x − 5 = 2√ (x − 1)

      Теперь снова вычислим квадратный корень:

      выделите квадратный корень: √ (x − 1) = (x − 5) / 2

      квадрат с обеих сторон: x − 1 = ((x − 5) / 2) 2

      Мы успешно удалили оба квадратных корня.

      Продолжим решение.

      Разверните правую часть: x − 1 = (x 2 — 10x + 25) / 4

      Это квадратное уравнение! Так что давайте представим это в стандартной форме.

      Умножьте на 4, чтобы удалить деление: 4x − 4 = x 2 — 10x + 25

      Переместите все налево: 4x — 4 — x 2 + 10x — 25 = 0

      Объедините похожие термины: −x 2 + 14x — 29 = 0

      Поменять местами все знаки: x 2 — 14x + 29 = 0

      Использование квадратичной формулы (a = 1, b = −14, c = 29) дает решения:

      2.53 и 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

      Проверим решения:

      2,53: √ (2 × 2,53−5) — √ (2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.

      11,47: √ (2 × 11,47−5) — √ (11,47−1) ≈ 1 Да, это работает.

      Есть реально только одно решение :

      Ответ: 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

      Видите? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!

      Корень, который казался работоспособным, но был неправильным, когда мы его проверили, называется «Посторонний корень»

      Итак: Проверка важна.

      квадратов и квадратных корней в алгебре

      Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.

      Квадраты

      Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …

      Пример: Что такое 3 в квадрате?

      3 Квадрат = = 3 × 3 = 9

      «В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:


      Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
      (маленькая 2 означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)

      Квадратный корень

      квадратный корень идет в другом направлении:

      3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

      Это как спросить:

      Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

      Определение

      Вот определение:

      Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

      r 2 = x
      r квадратный корень из x

      Символ квадратного корня


      Это специальный символ, обозначающий «квадратный корень», это как галочка,
      и фактически началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх.

      Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

      Мы можем использовать это так:


      мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

      Пример: Что такое √36?

      Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

      Отрицательные числа

      Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

      Пример: Что такое

      минус 5 в квадрате ?

      Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?

      • квадрат 5, тогда минус?
      • или квадрат (−5)?

      Непонятно! И получаем разные ответы:

      • возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
      • квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25

      Итак, давайте проясним это с помощью «()».

      Это было интересно!

      Если возвести в квадрат отрицательное число , мы получим положительный результат .

      Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

      Теперь помните наше определение квадратного корня?

      Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

      r 2 = x
      r квадратный корень из x

      И мы только что обнаружили, что:

      (+5) 2 = 25
      (−5) 2 = 25

      Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25

      .

      Два квадратных корня

      Может быть положительных и отрицательных квадратный корень!

      Это важно помнить.

      Пример: Решить w

      2 = a

      Ответ:

      w = √a и w = −√a

      Главный квадратный корень

      Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?

      Потому что означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!

      — это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .

      Пример:

      Квадратные корни из 36 равны 6 и −6

      .

      Но √36 = 6 (не −6)

      Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).

      Знак плюс-минус

      ± — специальный символ, означающий «плюс или минус»,
      поэтому вместо записи: w = √a и w = −√a
      можно написать: Вт = ± √a

      В двух словах

      Когда имеем: r 2 = x

      , тогда: r = ± √x

      Почему это важно?

      Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!

      Пример: Решить x

      2 — 9 = 0

      Начать с: x 2 — 9 = 0

      Переместите 9 вправо: x 2 = 9

      Квадратный корень: x = ± √9

      Ответ: x = ± 3

      Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».

      Пример: найти x в (x — 3)

      2 = 16

      Начать с: (x — 3) 2 = 16

      Квадратный корень: x — 3 = ± √16

      Вычислить √16: x — 3 = ± 4

      Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

      Ответ: x = 7 или −1

      Чек: (7−3) 2 = 4 2 = 16
      Чек: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16

      Квадратный корень xy

      Когда два числа умножаются на квадратный корень, мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:

      √xy = √x√y

      , но только если x и y оба больше или равны 0

      Пример: Что такое

      √ (100 × 4) ?

      √ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)

      = 10 × 2

      = 20

      И √x√y = √xy :

      Пример: Что такое

      √8√2 ?

      √8√2 = √ (8 × 2)

      = √16

      = 4

      Пример: Что такое

      √ (−8 × −2) ?

      √ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)

      = ???

      Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!

      Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4

      Да, верно…

      Правило работает, только если x и y оба больше или равны 0

      Итак, мы не можем использовать это правило здесь.

      Вместо этого просто сделайте это так:

      √ (−8 × −2) = √16 = +4

      Почему √xy = √x√y?

      Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат снова возвращает нам исходное значение:

      (√a) 2 = a

      Предположим, что , а не отрицательное!

      Мы можем сделать это для xy: (√xy) 2 = xy

      А также к x и y по отдельности: (√xy) 2 = (√x) 2 (√y) 2

      Используйте 2 b 2 = (ab) 2 : (√xy) 2 = (√x√y) 2

      Убрать квадрат с обеих сторон : √xy = √x√y

      Показатель половины

      Квадратный корень можно также записать в виде дробной степени от половины:


      , но только для x больше или равно 0

      Как насчет квадратного корня негативов?

      Результат — мнимое число… прочтите эту страницу, чтобы узнать больше.

      Решение квадратных уравнений с извлечением квадратного корня

      Purplemath

      Давайте еще раз посмотрим на последнюю проблему на предыдущей странице:

      На предыдущей странице я решил это квадратное уравнение, разложив на множители разность квадратов в левой части уравнения, а затем установив каждый коэффициент равным нулю и т. Д. И т. Д.Решение было « x = ± 2». Однако —

      Я также могу попытаться выделить член квадратной переменной в левой части уравнения (то есть я могу попытаться получить член x 2 отдельно от одной стороны знака «равно»), переместив числовую часть (то есть 4) в правую часть, например:

      MathHelp.com

      Когда я решаю уравнение, я знаю, что могу делать все, что захочу, с этим уравнением , если я проделываю одно и то же с обеими сторонами этого уравнения . В левой части этого конкретного уравнения у меня есть x 2 , и мне нужен старый добрый x .Чтобы превратить x 2 в x , я могу извлечь квадратный корень из каждой стороны уравнения, например:

      x = ± 2

      Тогда решение будет x = ± 2, точно так же, как это было, когда я решил путем факторизации разности квадратов.

      Зачем мне понадобился знак «±» (то есть «плюс-минус») на 2, когда я извлек квадратный корень из 4? Потому что я пытаюсь найти всех значений переменной, которые делают исходное утверждение истинным, и это могло быть либо положительное 2, либо отрицательное 2, возведенное в квадрат, чтобы получить 4 в исходном уравнении.

      Эта двойственность похожа на то, как у меня было два фактора, один «плюс» и один «минус», когда я использовал формулу разности квадратов для решения того же уравнения на предыдущей странице.


      «Нахождение решения уравнения» — это процесс, очень отличающийся от «вычисления квадратного корня из числа». При нахождении «квадратного корня» числа мы имеем дело исключительно с положительным значением. Почему? Потому что именно так определяется квадратный корень из числа.Значение квадратного корня из числа может быть только положительным, потому что так определяется «квадратный корень из числа».

      С другой стороны, решение уравнения, то есть нахождение всех возможных значений переменной, которые может работать с в уравнении, отличается от простой оценки выражения, которое уже определило как имеющее только одно значение.

      Держите этих двоих прямо! Число с квадратным корнем имеет только одно значение, а уравнение с квадратным корнем имеет два из-за переменной.


      В математике мы должны иметь возможность получить один и тот же ответ, независимо от того, какой действительный метод мы использовали, чтобы прийти к этому ответу. Итак, сравнение ответа, полученного мной выше, с ответом, полученным мною на предыдущей странице, подтверждает, что мы должны использовать «±» при извлечении квадратного корня для решения.

      (Вы можете сомневаться в моей работе выше на этапе, когда я извлекал квадратный корень из любой стороны, потому что я поставил знак «±» только на одной стороне уравнения.Разве я не должен добавить этот символ к обеим сторонам уравнения ? Вроде да. Но если бы я поместил это в обе стороны уравнения, изменилось бы что-нибудь на самом деле? Нет. Попробуйте все варианты, если вы не уверены.)


      Преимущество этого процесса извлечения квадратного корня состоит в том, что он позволяет нам решать некоторые квадратичные уравнения, которые мы не могли решить раньше, используя только факторинг. Например:

      Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части.Я начну с добавления числового члена к другой стороне уравнения (чтобы квадрат был сам по себе), а затем извлечу квадратный корень из обеих сторон. Мне нужно не забыть упростить квадратный корень:

      x 2 -50 = 0

      x 2 = 50

      Тогда мое решение:

      В то время как мы могли бы получить предыдущее целочисленное решение путем факторизации, мы никогда не смогли бы получить это радикальное решение путем факторизации.Факторинг явно полезен для решения некоторых квадратных уравнений, но дополнительные виды техники позволяют нам находить решения дополнительных видов уравнений.


      • Решить (
        x — 5) 2 — 100 = 0.

      Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части. Я начну с добавления строго числового члена в правую часть уравнения, чтобы квадрат биномиального выражения, содержащего переменную, находился в левой части.Затем я извлечу квадратный корень из обеих частей, запомнив «±» в числовой части, а затем я упрощу:

      ( x — 5) 2 — 100 = 0

      ( x — 5) 2 = 100

      x — 5 = ± 10

      x = 5 ± 10

      x = 5-10 или x = 5 + 10

      x = –5 или x = 15

      Это уравнение после извлечения квадратного корня из обеих сторон не содержит радиальных чисел.Благодаря этому я смог упростить свои результаты вплоть до простых значений. Мой ответ:

      Предыдущее уравнение является примером уравнения, в котором неосторожный ученик опускает «±» при решении и не понимает, как книга получила ответ « x = –5, 15».

      У этих учеников есть дурная привычка не утруждать себя записью знака «±», пока они не проверит свои ответы на обратной стороне книги и внезапно «не вспомнят», что они «имели в виду» поставить там знак «±», когда они ‘ d извлекает квадратный корень из любой стороны уравнения.

      Но эта «магия» работает только тогда, когда у вас есть ответ (чтобы напомнить вам) и когда раствор содержит радикалы (что не всегда происходит). В остальных случаях «напоминания» не будет. Ошибка в пропуске «±» может быть смертельной, особенно при тестировании. Не будь этим учеником. Всегда не забывайте вставлять «±».

      Между прочим, поскольку решение предыдущего уравнения состояло из целых чисел, эту квадратичную можно также решить путем умножения квадрата, факторизации и т. Д .:

      ( x — 5) 2 — 100 = 0

      x 2 — 10 x + 25 — 100 = 0

      x 2 — 10 x — 75 = 0

      ( x — 15) ( x + 5) = 0

      x — 15 = 0, x + 5 = 0

      x = 15, –5


      • Решить (
        x -2) 2 -12 = 0

      Эта квадратичная часть имеет квадратную и числовую части.Я добавлю числовую часть с другой стороны, так что квадратная часть с переменной будет сама по себе. Затем я извлекаю квадратный корень из обеих сторон, не забывая добавлять «±» к числовой стороне, а затем упрощаю:

      ( x — 2) 2 — 12 = 0

      ( x — 2) 2 = 12

      Я не могу больше это упрощать. В моем ответе будут радикалы.Мое решение:

      Это квадратное уравнение, в отличие от предыдущего, также не могло быть решено с помощью факторизации. Но как бы я решил это, если бы у них было , а не , давая мне квадратичную, уже переведенную в форму «(часть в квадрате) минус (часть числа)»? Эта проблема приводит к следующей теме: решение путем завершения квадрата.


      URL: https: // www.purplemath.com/modules/solvquad2.htm

      9.1 Приведение квадратного корня — промежуточная алгебра

      Квадратные корни — самый распространенный тип корня. Квадрат возьмет какое-то число и умножит его на себя. Квадратный корень из числа дает число, которое при умножении само на себя дает число, указанное под корнем. Например, поскольку 5 2 = 25, квадратный корень из 25 равен 5.

      Квадратный корень из 25 записывается как √25 или 25 ½ .

      Найдите следующие квадратные корни:

      Последний пример, √ − 81, классифицируется как неопределенный в действительной системе счисления, поскольку отрицательные числа не имеют квадратного корня. Это потому, что если вы возведете в квадрат положительное или отрицательное значение, ответ будет положительным. Это означает, что при использовании действительной системы счисления берите только квадратные корни из положительных чисел. Существуют решения для отрицательных квадратных корней, но они требуют создания новой системы счисления, которая называется мнимой системой счисления.А пока просто скажите, что они не определены в действительной системе счисления или что у них нет реального решения

      Не все числа имеют хороший четный квадратный корень. Например, если вы посмотрите √8 на своем калькуляторе, ответ будет 2,8284271247461

      603377448419…, где это число является округленным приближением квадратного корня. Стандарт для радикалов, имеющих большие округленные решения, заключается в том, что калькулятор не используется для нахождения десятичных приближений квадратных корней. Вместо этого выражайте корни в простейшей радикальной форме.

      Есть ряд свойств, которые можно использовать при работе с радикалами. Один из них известен как правило продукта:

      .

      Используйте правило произведения, чтобы упростить выражение, находя точные квадраты, которые делятся на подкоренное выражение (число под корнем). Обычно используемые полные квадраты:

      Задача сокращения радикалов часто упрощается до нахождения идеального квадрата для деления на подкоренное выражение.

      Объединение стратегий, использованных в двух вышеупомянутых примерах, делает простейшую стратегию уменьшения радикалов.

      Уменьшить √75.

      Если перед радикалом стоит коэффициент, проблема просто превращается в большую проблему умножения.

      Уменьшить 5√63.

      Переменные также часто являются частью подкоренного выражения. При извлечении квадратного корня из переменных разделите показатель степени на 2.

      Например, √x 8 = x 4 , потому что вы делите показатель 8 на 2.Это следует из степенного правила степеней, (x 4 ) 2 = x 8 . При возведении в квадрат умножьте показатель степени на два, поэтому при извлечении квадратного корня делите показатель степени на 2. Это показано в следующем примере.

      Уменьшить.

      Иногда нельзя равномерно разделить показатель переменной на 2. Иногда бывает остаток. Если есть остаток, это означает, что остаток остается внутри радикала, а целая числовая часть выходит за пределы радикала.Это показано в следующем примере.

      Уменьшить.

      Уменьшить.

      Упростите следующие радикалы.

      Клавиша ответа 9.