Квадратное уравнение примеры с решением: Квадратные уравнения. Примеры решения

2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Содержание

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

Пример 4. Решить квадратное уравнение x2 + 12x + 36 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

Так как b = 12 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (b/2)2 — ac = 62 — 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x2 + 12x + 36 = 0 (x+6)2 = 0 x = -6.

Ответ: -6.

Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D

1 = (b/2)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 (2x-7)2 = 0 2x = 7 x = 7/2.

Ответ: 7/2.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Умножив обе части уравнения на -4, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

x2 + 3x = 0 x(x+3) = 0

x = 0, x = 0,
x — 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Получим 6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 5/6, 2.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)

2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

Пример 10. Решить уравнение x4 — 17x2 + 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 — 17x2 + 16 = 0 => t2 — 17t + 16 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b2 — 4ac = (-17)

2 — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 11. Решить уравнение 9x4 + 32x2 — 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x4 + 32x2 — 16 = 0 => 9t2 + 32t — 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена.

У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = 162 — 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

Ответ: ±2/3.

Пример 12. Решить уравнение x4 + 3x2 — 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x

2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 + 3x2 — 10 = 0 => t2 + 3t — 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b2 — 4ac = 32 — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. 2-4·3·2=1-24=-23\)

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\)
\(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка. 2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений


Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)

Квадратное уравнение | Алгебра

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

   

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

   

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

   

3) Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

   

Общий множитель x выносим за скобки

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

откуда

   

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

   

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

   

   

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

Отсюда

   

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

   

и получаем то же уравнение

   

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

   

   

   

   

или

   

   

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

   

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

   

   

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Loading…

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

  • Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax2+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминантаD=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x1=3; x2=-2

№2  x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x2-8x=0, 5x2+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax2+bx=0  x(ax+b)=0  x1=0 x2=-b/a

№1  3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0      3x+6=0   3x=-6     x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

№2  x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4
x1=2

x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

  1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)     

6)    

11)   

16)    

2)     

7)    

12)   

17)    

3)     

8)    

13)     

18)    

4)  

9)    

14)     

19)     

5)  

10)    

15)   

20)     

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

  1. Решите квадратное уравнение:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 скачать файл

Дата публикации — 03. 12.2017

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется квадратным уравнением.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

   

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

   

ПРИМЕР 2
Задание Найти корни квадратного уравнения .
Решение Вычислим дискриминант:

   

Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень

   

Ответ .

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

   

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение .
Решение Дискриминант уравнения

   

Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:

   

Ответ .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному.

Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.
1. Биквадратное уравнение

Сложность: лёгкое

1
2. Дробное уравнение

Сложность: лёгкое

1
3. Дробное рациональное уравнение

Сложность: лёгкое

1
4. Дробное уравнение, основное свойство пропорции

Сложность: среднее

3
5. Дробное уравнение, приведение к общему знаменателю

Сложность: среднее

3
6. Дробное рациональное уравнение, область определения

Сложность: среднее

3
7. Введение новой переменной

Сложность: сложное

3
8. Решение уравнения

Сложность: сложное

3
9. Произведение корней уравнения

Сложность: сложное

3

Решатель квадратных уравнений

Мы можем помочь вам решить уравнение вида « ax 2 + bx + c = 0 »
Просто введите значения a, b и c ниже
:

алгебра / изображений / quadratic-solver.js

Это квадратичный?

Только если он может быть записан в форме ax 2 + bx + c = 0 , и a равно , а не нулю .

Название происходит от «quad», что означает квадрат, поскольку переменная возведена в квадрат (другими словами x 2 ).

Это все замаскированные квадратные уравнения:

Скрытый В стандартной форме а, б и в
x 2 = 3x -1 x 2 — 3x + 1 = 0 а = 1, б = -3, с = 1
2 (x 2 — 2x) = 5 2x 2 — 4x — 5 = 0 а = 2, б = -4, с = -5
x (x-1) = 3 x 2 — x — 3 = 0 a = 1, b = -1, c = -3
5 + 1 / x — 1 / x 2 = 0 5x 2 + x — 1 = 0 а = 5, б = 1, с = -1

Как это работает?

Решение квадратного уравнения может быть вычислено с помощью квадратной формулы :

«±» означает, что нам нужно сделать плюс И минус, так что обычно есть ДВА решения!

Синяя часть ( b 2 — 4ac ) называется «дискриминантом», потому что она может «различать» возможные типы ответов:

  • когда он положительный, мы получаем два реальных решения,
  • , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО решение,
  • при отрицательном значении получаем сложных решений.

Подробнее см. Квадратные уравнения

Примечание: вы все еще можете получить доступ к старой версии здесь.

Графические квадратные уравнения


Квадратное уравнение в стандартной форме
( a , b и c может иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

Вот пример:

Графики

Вы можете построить квадратное уравнение с помощью Function Grapher, но чтобы действительно понять , что происходит, вы можете построить график самостоятельно.Читать дальше!

Простейший квадратичный

Самое простое квадратное уравнение:

f (x) = x 2

И график у него тоже простой:

Это кривая f (x) = x 2
Это парабола.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, когда мы введем значение «a»:

f (x) = ах 2

  • Большие значения сгибают кривую внутрь
  • Меньшие значения a расширяют его наружу
  • И отрицательные значения a переворачивают вверх дном

«Генерал» квадратичный

Перед построением графика мы переставляем уравнение, из этого:

f (x) = ах 2 + bx + c

Кому:

f (x) = a (x-h) 2 + k

Где:

Другими словами, вычислите h (= −b / 2a), затем найдите k , вычислив все уравнение для x = h

Но почему?

В этой новой форме замечательно то, что h и k показывают нам самую низкую (или очень высокую) точку, называемую вершиной :

А также кривая симметрична (зеркальное отображение) относительно оси , которая проходит через x = h , что упрощает построение графика

Итак.

..
  • h показывает, насколько далеко влево (или вправо) кривая сместилась от x = 0
  • k показывает, насколько далеко вверх (или вниз) кривая сместилась от y = 0

Давайте посмотрим, как это сделать:

Пример: График f (x) = 2x

2 — 12x + 16

Сначала отметим:

  • а = 2,
  • b = −12, и
  • с = 16

Итак, что мы знаем?

  • a положительный, значит, это «восходящий» график (U-образный)
  • a равно 2, поэтому он немного «раздавлен» по сравнению с графиком x 2

Далее посчитаем h:

h = −b / 2a = — (- 12) / (2×2) = 3

Затем мы можем вычислить k (используя h = 3):

k = f ( 3 ) = 2 (3) 2 — 12 · 3 + 16 = 18−36 + 16 = −2

Итак, теперь мы можем построить график (с настоящим пониманием!):

Мы также знаем: вершина равна (3, −2), а ось равна x = 3

От графика к уравнению

Что делать, если у нас есть график и мы хотим найти уравнение?

Пример: вы только что построили некоторые интересные данные, и они выглядят квадратично:

Просто зная эти два момента, мы можем придумать уравнение.

Во-первых, мы знаем h и k (в вершине):

(ч, к) = (1, 1)

Итак, давайте представим это в следующей форме уравнения:

f (x) = a (x-h) 2 + k

f (x) = a (x − 1) 2 + 1

Затем вычисляем «а»:

Мы знаем точку (0, 1.5) , поэтому: f (0) = 1.5

И a (x − 1) 2 + 1 при x = 0 равно: f (0) = a (0−1) 2 + 1

Они оба равны f (0) , поэтому сделайте их равными: a (0−1) 2 + 1 = 1.5

Упростить: a + 1 = 1,5

а = 0,5

Итак, вот результирующее квадратное уравнение:

f (x) = 0,5 (x − 1) 2 + 1

Примечание. Это может быть не правильное уравнение для данных, но это хорошая модель и лучшее, что мы можем придумать.

Факторинговая квадратичная система

«Факторинг» (или «Факторинг» в Великобритании) квадратичный:

найти, что умножить, чтобы получить квадратичный

Это называется «факторинг», потому что мы находим коэффициенты (коэффициент — это то, на что мы умножаем).

Пример:

Умножение (x + 4) и (x − 1) вместе (так называемое Расширение) дает x 2 + 3x — 4 :

Таким образом, (x + 4) и (x − 1) являются множителями x 2 + 3x — 4

На всякий случай проверим:

(x + 4) (x − 1) = x (x − 1) + 4 (x − 1)

= х 2 — х + 4х — 4

= х 2 + 3х — 4

Да, (x + 4) и (x − 1) определенно являются множителями x 2 + 3x — 4

Вы видели, что расширение и факторинг — противоположности?

Расширение обычно легко, но факторинг часто бывает сложным .


Это все равно, что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это сложно понять!

Итак, давайте попробуем пример, где мы еще не знаем факторов:

Общий коэффициент

Сначала проверьте, есть ли общие факторы.

Пример: каковы множители 6x

2 — 2x = 0?

6 и 2 имеют общий множитель 2 :

2 (3x 2 — x) = 0

И x 2 и x имеют общий множитель x :

2x (3x — 1) = 0

И мы это сделали! Коэффициенты: 2x и 3x — 1 ,

.

Теперь мы также можем найти корня (где он равен нулю):

  • 2x равно 0, когда x = 0
  • 3x — 1 равно нулю, когда x = 1 3

А это график (посмотрите, как он равен нулю при x = 0 и x = 1 3 ):

Но это не всегда так просто…

Угадай и проверь

Может быть, ответ угадать?

Пример: каковы множители 2x

2 + 7x + 3?

Нет общих факторов.

Давайте попробуем угадать ответ, а затем проверим, правы ли мы … нам может повезти!

Мы могли угадать (2x + 3) (x + 1):

(2x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 2x + 3x + 3
= 2x 2 + 5x + 3 (НЕПРАВИЛЬНО)

Как насчет (2x + 7) (x − 1):

(2x + 7) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 7x — 7
= 2x 2 + 5x — 7 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)

Хорошо, как насчет (2x + 9) (x − 1):

(2x + 9) (x − 1) = 2x 2 — 2x + 9x — 9
= 2x 2 + 7x — 9 (СНОВА НЕПРАВИЛЬНО)

О нет! Мы могли долго гадать, прежде чем нам повезет.

Это не очень хороший метод. Так что давайте попробуем что-нибудь еще.

Метод для простых случаев

К счастью, есть метод, который работает в простых случаях.

С квадратным уравнением в такой форме:

Шаг 1 : Найдите два числа, которые умножаются, чтобы получить ac (другими словами, умножить на c), и сложить, чтобы получить b.

Пример: 2x 2 + 7x + 3

ac равно 2 × 3 = 6 , а b равно 7

Итак, мы хотим, чтобы два числа, которые умножались вместе, давали 6 и в сумме давали 7

На самом деле это делают 6 и 1 (6 × 1 = 6 и 6 + 1 = 7)

Как найти 6 и 1?

Это помогает перечислить множители ac = 6 , а затем попытаться добавить некоторые, чтобы получить b = 7 .

Факторы 6 включают 1, 2, 3 и 6.

Ага! 1 и 6 складываются с 7 и 6 × 1 = 6.

Шаг 2 : Перепишите середину с этими числами:

Перепишите 7x с 6 x и 1 x:

2x 2 + 6x + x + 3

Шаг 3 : Разделите на множители первые два и последние два термина отдельно:

Первые два члена 2x 2 + 6x разложить на 2x (x + 3)

Последние два члена x + 3 в данном случае фактически не меняются

Получаем:

2x (x + 3) + (x + 3)

Шаг 4 : Если мы сделали это правильно, два наших новых члена должны иметь четко видимый общий множитель.

В этом случае мы видим, что (x + 3) является общим для обоих терминов, поэтому мы можем пойти:

Начать с: 2x (x + 3) + (x + 3)

Это: 2x (x + 3) + 1 (x + 3)

А так: (2x + 1) (x + 3)

Готово!

Проверить: (2x + 1) (x + 3) = 2x 2 + 6x + x + 3 = 2x 2 + 7x + 3 (Да)

Намного лучше, чем гадать!

Давайте снова посмотрим шаги с 1 по 4 за один раз :

2x 2 + 7x + 3
2x 2 + 6x + x + 3
2x (x + 3) + (x + 3)
2x (x + 3) + 1 (x + 3)
(2x + 1) (x + 3)

Хорошо, давайте попробуем другой пример:

Пример: 6x

2 + 5x — 6

Шаг 1 : ac равно 6 × (−6) = −36 , а b равно 5

Перечислите положительные множители ac = −36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Одно из чисел должно быть отрицательным, чтобы получилось −36, поэтому, поиграв с несколькими разными числами, я обнаружил, что −4 и 9 работают хорошо:

−4 × 9 = −36 и −4 + ​​9 = 5

Шаг 2 : перепишите 5x с −4x и 9x:

6x 2 — 4x + 9x — 6

Шаг 3 : Разложите на множители первые два и последние два:

2x (3x — 2) + 3 (3x — 2)

Шаг 4 : Общий множитель (3x — 2):

(2x + 3) (3x — 2)

Проверить: (2x + 3) (3x — 2) = 6x 2 — 4x + 9x — 6 = 6x 2 + 5x — 6 (Да)

В поисках чисел

Самая сложная часть — найти два числа, которые умножаются, чтобы получить ac, и складывать, чтобы получить b.

Это отчасти предположение, и помогает перечислить все факторы .

Вот еще один пример, который может вам помочь:

Пример: ac = −120 и b = 7

Какие два числа умножают на -120 и добавляют к 7 ?

Множитель 120 составляет (плюс и минус):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120

Мы можем попробовать пары множителей (начнем с середины!) И посмотреть, прибавят ли они к 7:

  • −10 x 12 = −120 и −10 + 12 = 2 (нет)
  • −8 x 15 = −120 и −8 + 15 = 7 (ДА!)

Попрактикуйтесь

Почему фактор?

Ну, одно из больших преимуществ факторизации состоит в том, что мы можем найти корня квадратного уравнения (где уравнение равно нулю).

Все, что нам нужно сделать (после факторизации), это найти, где каждый из двух множителей обращается в ноль

Пример: каковы корни (нули) числа 6x

2 + 5x — 6?

Мы уже знаем (сверху) множители

(2x + 3) (3x — 2)

И мы можем выяснить, что

(2x + 3) равно нулю, когда x = −3/2

и

(3x — 2) равно нулю, когда x = 2/3

Итак, корни 6x 2 + 5x — 6 равны:

−3/2 и 2/3

Вот график 6x 2 + 5x — 6, вы видите, где он равен нулю?

И мы также можем проверить это с помощью небольшой арифметики:

При x = -3/2: 6 (-3/2) 2 + 5 (-3/2) — 6 = 6 × (9/4) — 15/2 — 6 = 54/4 — 15 / 2-6 = 6-6 = 0

При x = 2/3: 6 (2/3) 2 + 5 (2/3) — 6 = 6 × (4/9) + 10/3 — 6 = 24/9 + 10/3 — 6 = 6-6 = 0

Графики

Мы также можем попробовать построить квадратное уравнение. Увидев, где оно равно нулю, мы можем понять.

Пример: (продолжение)

Начиная с 6x 2 + 5x — 6 и только этот график:

Корни равны около x = −1,5 и x = +0,67, поэтому мы можем предположить, что корни равны:

−3/2 и 2/3

Что может помочь нам вычислить коэффициенты 2x + 3 и 3x — 2

Всегда проверяйте! На графике значение +0.67 может и не быть 2/3

Общее решение

Существует также общее решение (полезно, когда вышеуказанный метод не работает), в котором используется формула корней квадратного уравнения:

Используйте эту формулу, чтобы получить два ответа x + и x (один для случая «+», а другой для случая «-» в «±»), и мы получим это факторинг :

а (х — х + ) (х — х )

Давайте воспользуемся предыдущим примером, чтобы увидеть, как это работает:

Пример: каковы корни у 6x

2 + 5x — 6?

Подставляем a = 6, b = 5 и c = −6 в формулу:

x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

= −5 ± √ (5 2 — 4 × 6 × (−6)) 2 × 6

= −5 ± √ (25 + 144) 12

= −5 ± √169 12

= −5 ± 13 12

Итак, два корня:

х + = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,

x = (−5-13) / 12 = −18/12 = −3/2

(Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ, что и при факторинге ранее. )

Теперь поместите эти значения в (x — x + ) (x — x ):

6 (х — 2/3) (х + 3/2)

Мы можем немного изменить это, чтобы упростить:

3 (x — 2/3) × 2 (x + 3/2) = (3x — 2) (2x + 3)

И мы получаем те же факторы, что и раньше.

362, 1203, 2262, 363, 1204, 2263, 2100, 2101, 2102, 2103, 2264, 2265

(Спасибо «mathsyperson» за части этой статьи)

Квадратичная формула — пояснения и примеры

К настоящему времени вы знаете, как решать квадратные уравнения с помощью таких методов, как завершение квадрата, разность квадрата и формула трехчлена полного квадрата.

В этой статье мы узнаем, как решить квадратные уравнения, используя два метода: , а именно квадратную формулу и графический метод . Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте вспомним, что такое квадратное уравнение.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в математике определяется как многочлен второй степени, стандартная форма которого — ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты, а a ≠ 0.

Термин вторая степень означает, что по крайней мере один член в уравнении возведен в степень двойки. В квадратном уравнении переменная x является неизвестным значением, для которого нам нужно найти решение.

Примеры квадратных уравнений: 6x² + 11x — 35 = 0, 2x² — 4x — 2 = 0, 2x² — 64 = 0, x² — 16 = 0, x² — 7x = 0, 2x² + 8x = 0 и т. Д. В этих примерах вы можете заметить, что в некоторых квадратных уравнениях отсутствуют члены «c» и «bx».

Как пользоваться формулой корней квадратного уравнения?

Предположим, что ax 2 + bx + c = 0 — наше стандартное квадратное уравнение.Мы можем вывести формулу корней квадратного уравнения, заполнив квадрат, как показано ниже.

Выделите член c в правой части уравнения

ax 2 + bx = -c

Разделите каждый член на a.

x 2 + bx / a = -c / a

Выразить в виде полного квадрата
x 2 + b x / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2

(x + b / 2a) 2 = (-4ac + b 2 ) / 4a 2

(x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b 2 ) / 2a

x = — b / 2a ± √ (b 2 — 4ac) / 2a

x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a …… ….(Это квадратная формула)

Наличие плюса (+) и минуса (-) в квадратной формуле означает, что существует два решения, например:

x 1 = (-b + √b2 — 4ac) / 2a

AND,

x 2 = (-b — √b2 — 4ac) / 2a

Указанные выше два значения x известны как корни квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения зависят от природы дискриминанта. Дискриминант является частью формулы корней квадратного уравнения в виде b 2 — 4 ac. Квадратное уравнение имеет два разных действительных корня дискриминанта.

Когда значение дискриминанта равно нулю, тогда уравнение будет иметь только один корень или решение. А если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительного корня.

Как решить квадратные уравнения?

Давайте решим несколько примеров задач, используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример 1

Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни x 2 -5x + 6 = 0.

Решение

Сравнение уравнения с общей формой ax 2 + bx + c = 0 дает

a = 1, b = -5 и c = 6

b 2 — 4ac = ( -5) 2-4 × 1 × 6 = 1

Подставляем значения в формулу корней квадратного уравнения

x 1 = (-b + √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 + 1) / 2

= 3

x 2 = (-b — √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 — 1) / 2

= 2

Пример 2

Решите квадратное уравнение ниже используя квадратную формулу:

3x 2 + 6x + 2 = 0

Решение

Сравнение задачи с общей формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дает

a = 3 , b = 6 и c = 2

x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a

⇒ [- 6 ± √ (6 2 — 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

⇒ [- 6 ± √ (36-24)] / 6

⇒ [- 6 ± √ (1 2)] / 6

x 1 = (-6 + 2√3) / 6

⇒ — (2/3) √3

x 2 = (-6– 2√3) / 6

⇒ — (4/3) √3

Пример 3

Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Решение

Сравнивая с квадратным уравнением, получаем

a = 5, b = 6, c = 1

Теперь примените квадратную формулу:

x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

Подставьте значения a, b и c

⇒ x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

⇒ x = −6 ± √ (36-20) 10

⇒ x = −6 ± √ (16) 10

⇒ x = −6 ± 410

⇒ x = — 0. 2, −1

Пример 4

Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Решение

Коэффициенты:

a = 5, b = 2, c = 1

В этом случае дискриминант отрицательный:

b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1

= −16

Теперь примените формулу корней квадратного уравнения;

x = (−2 ± √ −16) / 10

⇒√ (−16) = 4

, где i — мнимое число √ − 1

⇒x = (−2 ± 4i) / 10

Следовательно, x = −0.2 ± 0,4i

Пример 5

Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Решение

Согласно стандартной форме квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, мы можем это наблюдать;

a = 1, b = −4, c = 6,25

Определите дискриминанты.

b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6,25

= −9 ………………. (отрицательный дискриминант)

⇒ x = — (- 4) ± √ (−9) / 2

⇒ √ (−9) = 3i; где i — мнимое число √ − 1

⇒ x = (4 ± 3i) / 2

Следовательно, x = 2 ± 1. 5i

Как построить квадратное уравнение?

Чтобы построить квадратное уравнение, выполните следующие действия:

  • Для квадратного уравнения перепишите уравнение, приравняв его к y или f (x)
  • Выберите произвольные значения x и y для построения кривой
  • Теперь изобразите функцию.
  • Считайте корни там, где кривая пересекает или касается оси x.

Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков

Построение графиков — это еще один метод решения квадратных уравнений.Решение уравнения получается путем считывания отрезков x на графике.

При решении квадратных уравнений графическим методом есть три возможности:

  • Уравнение имеет один корень или решение, если точка пересечения по оси x на графике равна 1.
  • Уравнение с двумя корнями имеет 2 точки пересечения по оси x
  • Если нет x-точек пересечения, то уравнение не имеет реальных решений.

Давайте изобразим несколько примеров квадратных уравнений. В этих примерах мы нарисовали наши графики с помощью графического программного обеспечения, но чтобы вы хорошо поняли этот урок, нарисуйте свои графики вручную.

Пример 1

Решите уравнение x 2 + x — 3 = 0 графическим методом

Решение

Наши произвольные значения показаны в таблице ниже:

x- точки пересечения равны x = 1,3 и x = –2,3. Следовательно, корни квадратного уравнения x = 1.3 и x = –2,3

Пример 2

Решите уравнение 6x — 9 — x 2 = 0.

Решение

Выберите произвольные значения x.

Кривая касается оси x в точке x = 3. Следовательно, 6 x — 9 — x 2 = 0 имеет одно решение (x = 3).

Пример 3

Решите уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 графическим методом.

Решение

Выберите произвольные значения x.

В этом примере кривая не касается оси x и не пересекает ее. Следовательно, квадратное уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 не имеет действительных корней.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратичное уравнение — это уравнение, которое можно записать как

ax 2 + bx + c = 0

, когда а 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: факторизация, использование формулы квадратиков и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение факторингом,

  1. Поместите все члены с одной стороны от знака равенства, оставив ноль с другой стороны.

  2. Коэффициент

    .

  3. Установите каждый коэффициент равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, подставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x 2 — 6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 — 6 x = 16 становится x 2 — 6 x — 16 = 0

Коэффициент

.

( x — 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого коэффициента на ноль,

Потом проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = — 6 y — 5.

Устанавливая все члены равными нулю,

y 2 + 6 y + 5 = 0

Коэффициент

.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Для проверки, y 2 = –6 y — 5

Квадратичный с отсутствующим членом называется неполным квадратичным (если член ax 2 не пропущен).

Пример 3

Решить x 2 — 16 = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 — 16 = 0

Пример 4

Решить x 2 + 6 x = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 + 6 x = 0

Пример 5

Решить 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины в одну сторону и комбинируя одинаковые термины.

А теперь фактор.

Для проверки, 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены факторизацией. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений включает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общем виде

ax 2 + bx + c = 0

, где a — это число перед x 2 , b — это число перед x , а c — это число без переменной рядом с ним (a . к.а., «постоянная»).

При использовании формулы корней квадратного уравнения вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком корня, b 2 — 4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее:

  1. Два разных действительных корня, если дискриминант b 2 — 4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 — 4 ac равен 0.

  3. Нет действительного корня, если дискриминант b 2 -4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решите относительно x : x 2 — 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

x 2 — 5 x + 6 = 0

Затем замените 1 (который, как предполагается, стоит перед x 2 ), –5 и 6 вместо a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Поскольку дискриминант b 2 -4 ac положительный, вы получаете два разных действительных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере , квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого нерациональны.

Пример 7

Решить относительно y : y 2 = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

y 2 + 2 y — 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 на a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить относительно x : x 2 + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 -4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может использоваться для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Найдите x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы такими.

Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Запишите уравнение в виде ax 2 + bx = — c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a 1, умножьте уравнение на, прежде чем продолжить).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, добавьте к обеим сторонам уравнения, чтобы получить полный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить относительно x : x 2 — 6 x + 5 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x — 3 = ± 2

Решить.

Пример 11

Решить относительно y : y 2 + 2 y — 4 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решите относительно x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку — это ≠ 1, умножаем уравнение на.

Добавьте или с обеих сторон.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Возможно, вам будет интересно узнать, что завершение квадратного процесса для решения квадратных уравнений использовалось для уравнения ax 2 + bx + c = 0 для вывода формулы квадратов.

Алгебра — Квадратные уравнения — Часть I (Практические задания)

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. 2} + 3 = 0 \) Решение

Решение квадратных уравнений — квадратная формула, как решить квадратное уравнение?

Прежде чем приступить к изучению решения квадратных уравнений, давайте вспомним несколько фактов о квадратных уравнениях. Слово «квадратичный» происходит от слова «четырехугольник» и имеет значение «квадрат». Это означает, что в квадратном уравнении переменная повышена до 2 как член наибольшей степени. Стандартная форма квадратного уравнения задается уравнением ax 2 + bx + c = 0, где a 0.Мы знаем, что любое значение (а) x, которое удовлетворяет уравнению, известно как решение (или) корень уравнения, и процесс нахождения значений x, который удовлетворяет уравнению ax 2 + bx + c = 0, является известное как решение квадратных уравнений.

Существуют различные методы решения квадратных уравнений. Но наиболее популярным методом является решение квадратных уравнений на множители. Давайте изучим все методы здесь подробно вместе с несколькими решенными примерами.

Как решать квадратные уравнения?

Решение квадратных уравнений означает нахождение значения (или) значений переменной, которые удовлетворяют уравнению.Значения, которые удовлетворяют квадратному уравнению, известны как его корни (или) решения (или) нули. Поскольку степень квадратного уравнения равна 2, оно может иметь максимум 2 корня. Например, легко увидеть, что x = 1 и x = 2 удовлетворяют квадратному уравнению x 2 — 3x + 2 = 0 (вы можете подставить каждое из значений в это уравнение и проверить). Таким образом, x = 1 и x = 2 являются корнями x 2 — 3x + 2 = 0. Но как их найти, если они не заданы? Есть разные способы решения квадратных уравнений.

  • Решение квадратных уравнений путем факторизации
  • Решение квадратных уравнений до квадрата
  • Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков
  • Решение квадратных уравнений по квадратной формуле

Помимо этих методов, существуют некоторые другие методы, которые используются только в особых случаях (когда квадратное уравнение имеет пропущенные члены), как описано ниже.

Решение отсутствующих квадратных уравнений b

В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0, если член с b отсутствует, уравнение принимает вид ax 2 + c = 0.Это можно решить, извлекая квадратный корень с обеих сторон. Процесс поясняется примерами ниже.

  • x 2 — 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± √4 ⇒ x = ± 2
    Таким образом, корни уравнения равны 2 и -2.
  • x 2 + 36 = 0 ⇒ x 2 = -36 ⇒ x = ± √ (-36) ⇒ x = ± 6i
    Таким образом, корни уравнения — 6i и -6i.
    (обратите внимание, что это мнимые (или) комплексные числа).

Решение отсутствующих квадратных уравнений c

В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0, если член с c отсутствует, уравнение принимает вид ax 2 + bx = 0.Чтобы решить этот тип уравнения, мы просто вычленяем x из левой части, устанавливаем каждый из факторов равным нулю и решаем. Процесс поясняется примерами ниже.

  • x 2 — 5x = 0 ⇒ x (x — 5) = 0 ⇒ x = 0; х — 5 = 0 ⇒ х = 0; х = 5
    Таким образом, корни уравнения равны 0 и 5.
  • x 2 + 11x = 0 ⇒ x (x + 11) = 0 ⇒ x = 0; х + 11 = 0 ⇒ х = 0; х = -11
    Таким образом, корни уравнения равны 0 и -11.

Теперь мы изучим методы решения квадратных уравнений в каждом из вышеупомянутых методов.

Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Решение квадратных уравнений путем разложения на множители — один из известных методов, используемых для решения квадратных уравнений. Пошаговый процесс решения квадратных уравнений путем факторизации объясняется вместе с примером, в котором мы решаем уравнение x 2 — 3x + 2 = 0.

  • Шаг — 1: Приведите уравнение в стандартную форму. т.е. переведите все члены в одну сторону (обычно в левую) уравнения так, чтобы другая сторона была равна 0.
    Уравнение x 2 — 3x + 2 = 0 уже находится в стандартной форме.
  • Шаг — 2: Разложите квадратное выражение на множители. Если вы хотите узнать, как разложить квадратное выражение на множители, щелкните здесь.
    Тогда получаем (x — 1) (x — 2) = 0.
  • Шаг — 3: По нулевому свойству продукта установите каждый из коэффициентов равным нулю.
    x — 1 = 0 (или) x — 2 = 0
  • Шаг — 4: Решите каждое из приведенных выше уравнений.
    х = 1 (или) х = 2

Таким образом, решения квадратного уравнения x 2 — 3x + 2 = 0 равны 1 и 2.Этот метод применим только тогда, когда квадратное выражение факторизуемо. Если это НЕВОЗМОЖНО, то мы можем использовать один из других методов, как описано ниже.

Решение квадратных уравнений путем завершения квадрата

Завершение квадрата означает запись квадратного выражения ax 2 + bx + c в форме a (x — h) 2 + k (которая также известна как форма вершины), где h = -b / 2a и ‘ k ‘можно получить, подставив x = h в ax 2 + bx + c. Пошаговый процесс решения квадратных уравнений путем заполнения квадрата объясняется вместе с примером, в котором мы собираемся найти решения уравнения 2x 2 + 8x = -3.

  • Шаг — 1: Приведите уравнение в стандартную форму.
    Складывая 3 с обеих сторон, получаем 2x 2 + 8x + 3 = 0.
  • Шаг — 2: Завершите квадрат с левой стороны.
    Тогда получаем 2 (x + 2) 2 -5 = 0.Если вы хотите узнать, как заполнить квадрат, щелкните здесь.
  • Шаг — 3: Решите его относительно x (нам придется извлекать квадратный корень с обеих сторон по пути).
    Добавляем 5 с обеих сторон,
    2 (х + 2) 2 = 5
    Делим обе стороны на 2,
    (x + 2) 2 = 5/2
    Извлечение квадратного корня с обеих сторон,
    x + 2 = √ (5/2) = √5 / √2 · √2 / √2 = √10 / 2
    Вычитая 2 с обеих сторон,
    х = -2 ± (√10 / 2) = (-4 ± √10) / 2

Таким образом, корни квадратного уравнения 2x 2 + 8x = -3 равны (-4 + √10) / 2 и (-4 — √10) / 2.

Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков

Для решения квадратных уравнений путем построения графика мы сначала должны построить график квадратичного выражения (когда уравнение имеет стандартную форму) либо вручную, либо с помощью графического калькулятора. Тогда отрезок (точки) x графика (точка (точки), где график пересекает ось x) являются не чем иным, как корнями квадратного уравнения. Вот шаги для решения квадратных уравнений с помощью построения графиков, которые объясняются вместе с примером, в котором мы собираемся решить уравнение 3x 2 + 5 = 11x.

  • Шаг — 1: Привести стандартную форму.
    Вычитая 11x с обеих сторон, получаем 3x 2 — 11x + 5 = 0.
  • Шаг — 2: Постройте квадратичное выражение (слева).
    Изобразите квадратичную функцию y = 3x 2 — 11x + 5 вручную или с помощью графического калькулятора (GDC).
    Вы можете увидеть график на шаге ниже.
  • Шаг — 3: Определите точки пересечения по оси x.
  • Шаг — 4: Координаты x точек пересечения по оси x являются не чем иным, как корнями квадратного уравнения.
    Таким образом, решения квадратного уравнения 3x 2 + 5 = 11x равны 0,532 и 3,135.

Посмотрев приведенный выше пример, мы можем увидеть, что метод построения графиков решения квадратных уравнений может не давать точных решений (т.е. он дает только десятичные приближения корней, если они иррациональны). т.е. если мы решим то же уравнение, завершив квадрат, мы получим x = (11 + √61) / 6 и x = (11 — √61) / 6.Но мы не можем получить эти точные корни графическим методом.

Что делать, если график вообще не пересекает ось абсцисс? Это означает, что квадратное уравнение имеет два комплексных корня. то есть метод построения графика НЕ ​​помогает найти корни, если они являются комплексными числами. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения (которая объясняется в следующем разделе), чтобы найти корни любого типа.

Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле

Как мы уже видели, предыдущие методы решения квадратных уравнений имеют некоторые ограничения, например, метод факторизации полезен только тогда, когда квадратное выражение факторизуемо, метод построения графиков полезен только тогда, когда квадратное уравнение имеет действительные корни и т. Д.Но , решающий квадратные уравнения по квадратной формуле , преодолевает все эти ограничения и полезен для решения любого типа квадратного уравнения. Вот пошаговое объяснение решения квадратных уравнений по квадратной формуле вместе с примером, в котором мы будем находить решения квадратного уравнения 2x 2 = 3x — 5.

  • Шаг — 1: Привести стандартную форму.
    Тогда приведенное выше уравнение принимает вид 2x 2 — 3x + 5 = 0.
  • Шаг — 2: Сравните уравнение с ax 2 + bx + c = 0 и найдите значения a, b и c.
    Тогда получаем a = 2, b = -3. и c = 5.
  • Шаг — 3: Подставьте значения в формулу корней квадратного уравнения, которая говорит, что x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / (2a). Тогда получаем
    x = [- (- 3) ± √ ((- 3) ² — 4 (2) (5))] / (2 (2))
  • Шаг — 4: Упростить.
    x = [3 ± √ (9–40)] / 4
    = [3 ± √ (-31)] / 4
    = [3 ± i√ (31)] / 4

Таким образом, корни квадратного уравнения 2x 2 = 3x — 5 равны [3 + i√ (31)] / 4 и [3 — i√ (31)] / 4.В четвертой формуле выражение b² — 4ac называется дискриминантом (обозначается D). т.е. D = b² — 4ac. Это используется для определения природы корней квадратного уравнения.

Природа корней с использованием дискриминанта

  • Если D> 0, то уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два действительных и различных корня.
  • Если D = 0, то уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет только один действительный корень.
  • Если D <0, то уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Таким образом, используя дискриминант, мы можем найти количество решений квадратных уравнений, фактически не решая их.

Важные примечания по решению квадратных уравнений:

  • Метод факторизации не может применяться, если квадратное выражение НЕ факторизуемо.
  • Метод построения графиков не может дать ни комплексных корней, ни точных корней, если квадратное уравнение имеет иррациональные корни.
  • Заполнение метода квадратов и метода квадратных формул можно применять для решения любого типа квадратного уравнения.
  • Корни квадратного уравнения также известны как «решения» или «нули».
  • Для любого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0,
    сумма корней = -b / a
    произведение корней = c / a.

☛Связанные темы квадратных уравнений:

Часто задаваемые вопросы по решению квадратных уравнений

Что означает решение квадратных уравнений?

Решение квадратных уравнений означает нахождение его решений или корней.т.е. это процесс нахождения значений переменной, удовлетворяющих уравнению.

Как решать квадратные уравнения?

Есть разные способы решения квадратных уравнений. Но наиболее популярными способами являются «решение квадратных уравнений путем факторизации» и «решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы».

Какие 4 способа решить квадратное уравнение?

Есть 4 способа решения квадратных уравнений.

  • на факторинг
  • , заполнив квадрат
  • в виде графика
  • по квадратичной формуле

Как решить квадратные уравнения с помощью квадратной формулы?

Решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 даются квадратной формулой x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / (2a). Итак, чтобы решить квадратное уравнение с использованием квадратной формулы, просто приведите уравнение в стандартную форму ax 2 + bx + c = 0 и примените квадратную формулу.

Как проще всего решить квадратные уравнения?

Самый простой способ решения квадратных уравнений — это метод факторизации. Но не всегда квадратные выражения факторизуемы. В этом случае мы можем использовать формулу квадратов или метод завершающих квадратов.

Каковы шаги в решении квадратных уравнений путем завершения квадрата?

Чтобы решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат, преобразуйте ax 2 + bx + c в форму a (x — h) 2 + k, где h = -b / 2a а k получается заменой x = h в ax 2 + bx + c.Тогда мы можем легко решить a (x — h) 2 + k = 0, изолировав x. В этом процессе нам нужно будет извлечь квадратный корень с обеих сторон.

Как узнать, какой метод использовать при решении квадратных уравнений?

Мы можем решить квадратные уравнения любого типа, заполнив квадрат или квадратную формулу. Но если квадратичное выражение факторизуемо, то проще всего применить метод факторизации. Мы также можем решить эту проблему с помощью графического метода, но он дает только приближенные действительные корни (т.е., сложные корни в этом методе не найти).

Как решить квадратные уравнения факторингом?

Для решения квадратных уравнений путем факторизации сначала преобразуйте его в стандартную форму (ax 2 + bx + c = 0). Затем разложите левую часть на множители, используя методы факторизации квадратичных выражений, установите каждый из множителей равным нулю, что приводит к двум линейным уравнениям, и, наконец, решите линейные уравнения.

Чем полезна факторизованная форма при решении квадратных уравнений?

Если квадратное выражение в стандартной форме квадратного выражения в нем факторизуемо, то мы можем просто установить каждый коэффициент равным нулю и решить их.Решения — не что иное, как корни квадратного уравнения.

Как найти корни квадратных уравнений?

Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно найти, используя формулу корней квадратного уравнения, которая говорит, что x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / (2a). Кроме того, мы можем решить их, выполнив метод квадрата (или) факторизации (только если они факторизуемы).

Каковы этапы решения квадратных уравнений с помощью построения графиков?

Чтобы решить квадратные уравнения с помощью построения графиков, сначала примите стандартную форму ax 2 + bx + c = 0.Затем изобразите квадратичное выражение ax 2 + bx + c. Найдите, где график пересекает ось x. Координата x точки пересечения с координатами x — это не что иное, как решения квадратного уравнения.

Какой метод лучше всего подходит для решения квадратных уравнений?

Факторинг — лучший метод решения квадратных уравнений. Но когда факторизация невозможна, мы решаем их, используя формулу корней квадратного уравнения x = [-b ± √ (b² — 4ac)] / (2a). Если у вас есть графический калькулятор, то метод построения графиков будет самым простым способом найти десятичное приближение корней (однако мы не можем найти точные корни).

.