Квадрат cos: Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)

Содержание

Тригонометрические тождества и преобразования


Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).


Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.


Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).

Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.


Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.


Угол α + 90
α + π/2
α + 180
α + π 		α + 270
α + 3π/2 		90 — α
π/2- α
180 — α
π- α 		270 — α
3π/2- α 		360 — α
2π- α
sin cos α -sin α -cos α cos α sin α -cos α -sin α
cos -sin α -cos α sin α sin α -cos α -sin α cos α
tg -ctg α tg α -ctg α ctg α -tg α ctg α -tg α
ctg -tg α ctg α -tg α tg α -ctg α tg α -ctg α
Содержание главы:
 Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120) | Описание курса | Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств 

   

Основные формулы тригонометрии.

— Тригонометрия.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами  и углом , противолежащим стороне ,

или:

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа  выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,  — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса. 3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2.*(theta)

он возвращает мне эту ошибку;

Ошибка с использованием греха. Недостаточно входных аргументов.

Я в замешательстве, что мне нужно изменить?

matlab trigonometry
Поделиться Источник Nikolaj     28 марта 2013 в 09:27

2 ответа

  • MATLAB sin() против sind()

    Я заметил, что MATLAB имеет функции sin() и sind() . Я узнал, что sin() принимает угол в радианах, а sind() принимает угол в градусах. Единственная разница, которую я знаю, это то, что sind(180) дает 0, а sin(pi) -нет: >> sin(pi) ans = 1.2246e-016 >> sind(180) ans = 0 Что меня…

  • создание изображения в matlab из 9 маленьких белых кругов в большом черном квадрате

    Я хочу создать изображение в Matlab большого черного прямоугольника с 9 маленькими кругами, расположенными в виде массива 3×3, выровненного по центру прямоугольника, то есть центральный круг будет иметь свою среднюю точку в центре квадрата. 2 sin(k*pi*x)$ Я…


    Быстрая аппроксимация для sin/cos в MATLAB

    Я пытаюсь создать быстрое приближение sin и cos в MATLAB, которое является текущим узким местом в моей программе. Существует ли более быстрый метод, чем встроенная процедура? Узкое место: на каждой…


    Построение графика sin (x)/(x) в Matlab

    У меня возникли проблемы с правильным построением графика sin(x)/(x). В частности, когда x = 0, возвращает NaN в Matlab. Однако при применении правила L’hôpital фактическое значение равно y = 1. мой…

    Правила ввода математических выражений

    Ввод чисел:

    Целые числа вводятся обычным способом, например: 4; 18; 56
    Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус: -19; -45; -90
    Рациональные числа вводятся с использованием символа /, например: 3/4;-5/3;5/(-19)
    Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей: 4. 5;-0.4

    Ввод переменных и констант:

    Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например: x; y; z; a; b.
    Константы π и e вводятся как pi и e — соответственно.
    Символ бесконечности ∞ вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом inf.
    Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.

    Сумма и разность:

    Сумма и разность задаются при помощи знаков + и — соответственно, например: 3+a; x+y; 5-4+t; a-b+4; ВНИМАНИЕ! Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод: x + a — неправильный, правильно вводить так: x+a — без пробелов. (1/n) — log(x) или ln(x) натуральный логарифм log(x) или ln(x) — log10(x) или lg(x) десятичный логарифм lg(x) — loga(b) произвольный логарифм lg(b)/lg(a) — ex экспонента exp(x) — sin(x) синус sin(x) — cos(x) косинус cos(x) — tan(x) или tg(x) тангенс tan(x) или tg(x) — cot(x) или ctg(x) котангенс cot(x) или ctg(x) — sec(x) секанс sec(x) sec(x)=1/cos(x) csc(x) или cosec(x) косеканс csc(x) или cosec(x) csc(x)=1/sin(x) sin−1(x) или arcsin(x) арксинус arcsin(x) или asin(x) — cos−1(x) или arccos(x) арккосинус arccos(x) или acos(x) — tan−1(x) или arctan(x) арктангенс arctg(x) или atan(x) — cot−1(x) или arcctg(x) арккотангенс arcctg(x) или acot(x) — sec−1(x) или arcsec(x) арксеканс arcsec(x) или asec(x) arcsec(x)=arccos(1/x) csc−1(x) или arccosec(x) арккосеканс arccosec(x) или acsc(x) arcsec(x)=arcsin(1/x) sinh(x) гиперболический синус sinh(x) sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2 cosh(x) гиперболический косинус cosh(x) cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 tanh(x) гиперболический тангенс tanh(x) tanh(x)=sinh(x)/cosh(x) coth(x) гиперболический котангенс coth(x) coth(x)=cosh(x)/sinh(x) sech(x) гиперболический секанс sech(x) sech(x)=1/cosh(x) csch(x) гиперболический косеканс cosech(x) или csch(x) csch(x)=1/sinh(x) sinh−1(x) или arcsinh(x) гиперболический арксинус arcsinh(x) или asinh(x) — cosh−1(x) или arccosh(x) гиперболический арккосинус arccosh(x) или acosh(x) — tanh−1(x) или arctanh(x) гиперболический арктангенс arctanh(x) или atanh(x) — coth−1(x) или arccoth(x) гиперболический арккотангенс arccoth(x) или acoth(x) — sech−1(x) или arcsech(x) гиперболический арксеканс arcsech(x) или asech(x) arcsech(x)=arccosh(1/x) csch−1(x) или arccsch(x) гиперболический арккосеканс arccsch(x) или acsch(x) arccsch(x)=arcsinh(1/x)

    Примеры ввода выражений:
    Что ввели Что получится
    x^4 x4
    (5-2*x)^(1/3) 52×13
    (5/2+x)^4/2 52×42
    sin(3*x+4)^5 sin53x4
    1/sqrt(3*x^2+2) 13×22
    (sqrt(x)-2*(x^3)+6)/x x2x36x
    e^(3*x)*cos(x)^2 e3xcos2x
    ((ln(x-7))^5)/(x-7) ln5x7x7
    1/(arcsin(x)^2*sqrt(1-x^2)) 1arcsin2x1x2
    2*x*arccos(3*x^2) 2xarccos3x2
    (5+(x/3)^3)/(8*(x+y)^(1/2)) 5x338xy

    Теорема Косинусов и Синусов треугольника.

    Формулы и примеры

    Формулировка и доказательство теоремы косинусов

    Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

    Формула Теоремы Пифагора:

    a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, с — гипотенуза.


    Из формулы следует: a2 = c2 — b2

    К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:



    Но так как b = c * cos α, то


    Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

    Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    Формула теоремы косинусов:

    a2 = b2 + c2 — 2bc cos α


    В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

    BC2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2


    В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
    Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

    BC2 = a2 = (b cos α — c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α — 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2

    cos2α + sin2α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

    b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2 = b2 + c2 — 2bc cos α

    Что и требовалось доказать.

    Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:


     

    • Когда b2 + c2 — a2 > 0, угол α будет острым.
    • Когда b2 + c2 — a2 = 0, угол α будет прямым.
    • Когда b2 + c2 — a2 < 0, угол α будет тупым.

    Запоминаем

    Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

    Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

    Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

    • AD = b * cos α,
    • DB = c – b * cos α.

    Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

    • h2 = b2 — (b * cos α)2
    • h2 = a2 — (c – b * cos α)2

    Приравниваем правые части уравнений:

    • b2 — (b * cos α)2 = a2 — (c — b * cos α)2

    либо

    • a2 = b2 + c2 — 2bc * cos α

    Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

    Определим стороны b и c:

    • b2 = a2 + c2 — 2ac * cos β;
    • c2 = a2 + b2 — 2ab * cos γ.

    Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

    Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

    a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

    b2 = c2 + a2 — 2ca cos β

    c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ


    Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

    Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

    Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:


    Аналогично:


    Определение угла с помощью косинуса

    А теперь обратим внимание на углы.

    Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

    Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.


    Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

    Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

    Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

    Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.


    • Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
    • Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
    • Если cos α = 0, то α = 90°

    Примеры решения задач

    При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

    Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

    ∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.


    Как решаем:

     
    1. Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
      Из треугольника АВС найдем cos B:


    2. Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

    Ответ: СМ = √33.

    Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2  + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.


    Как доказываем:

     
    1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C: 

    2. Так как a2  + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.

    Что и требовалось доказать.

    Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

    • Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
    • Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.

    Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

    Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Приходите на бесплатный вводный урок математики вместе с ребенком и попробуйте сами!

    Функция косинус-квадрат — исчисление

    Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена ​​в статье.
    Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики
    Для функций, включающих углы (тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. Д.), Мы следуем соглашению, согласно которому все углы измеряются в радианах.Так, например, угол измеряется как.

    Определение

    Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции косинуса. Явно это карта:

    Для краткости запишем как.

    Ключевые данные

    Арт. Значение
    Домен по умолчанию все действительные числа, т. Е. Все из.
    диапазон, г.е.,.
    период, т.е.
    локальные максимальные значения и точки достижения Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при целых кратных.
    локальные минимальные значения и точки достижения Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при нечетных целых кратных.
    точек перегиба (обе координаты) нечетных кратных, со значением в каждой точке
    производная я. е., отрицательная функция синусоиды двойного угла.
    вторая производная
    Высшие производные раз выражение, которое равно или, в зависимости от остатка от mod 4.
    первообразное
    среднее значение за период
    выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
    важные симметрии even function
    В общем, имеет зеркальную симметрию относительно всех вертикальных линий, целое число.
    Также имеет симметрию на пол-оборота относительно всех точек формы, то есть всех точек перегиба.
    описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз Для каждого целого числа интервал от до делится на четыре части:
    : убывающая и вогнутая вниз
    : убывающая и вогнутая вверх
    : увеличивающаяся и вогнутая вверх
    : увеличивающаяся и вогнутая вниз.

    Тригонометрические тождества. Темы по тригонометрии.

    Темы | Дом

    20

    Взаимные идентичности

    Тангенс и котангенс

    Пифагорейские тождества

    Формулы сумм и разностей

    Формулы двойного угла

    Формулы полууглов

    Произведений суммой

    Суммы по продуктам

    ИДЕНТИЧНОСТЬ — ЭТО РАВЕНСТВО, которое истинно для любого значения переменной.(Уравнение — это равенство, которое верно только для определенных значений переменной.)

    В алгебре, например, у нас есть это тождество:

    ( x + 5) ( x — 5) = x 2 — 25.

    Значение идентичности состоит в том, что при вычислении мы можем заменить любой член другим. Мы используем идентичность, чтобы придать выражению более удобную форму. В исчислении и во всех его приложениях центральное значение имеют тригонометрические тождества.

    На этой странице мы представим основные идентичности. У студента не будет лучшего способа практиковать алгебру, чем доказывать их. Ссылки на доказательства приведены ниже.

    Взаимные идентичности

    sin θ = 1
    csc θ    		 csc θ = 1
    sin θ
    cos θ = 1
    сек θ    		 сек θ = 1
    cos θ
    tan θ = 1
    детская кроватка θ    		 детская кроватка θ = 1
    тангенс угла θ

    Проба

    Опять же, при вычислении мы можем заменить любой член идентичности другим.Итак, если мы видим «sin θ», то можем, если захотим, заменить

    »
    это с « 1
    csc θ    		 «; и симметрично, если мы увидим» 1
    csc θ    		 «,

    , тогда мы можем заменить его на «sin θ».

    Проблема 1. Что означает утверждение, что csc θ является обратной величиной
    sin θ?

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

    Это означает, что их продукт 1.

    sin θ csc θ = 1.

    Урок 5 алгебры.

    Проблема 2. Оценить

    tan 30 ° csc 30 ° cot 30 °.

    желто-коричневый 30 ° csc 30 ° cot 30 ° = tan 30 ° cot 30 ° csc 30 °
    = 1 · csc 30 °
    = 2.

    Тема 4.

    Тангенс и котангенс

    тангенс угла θ = sin θ
    cos θ    		 детская кроватка θ = cos θ
    sin θ

    Проба

    Пример 1. Покажите: tan θ cos θ = sin θ.

    Решение: Проблема означает, что мы должны написать левую часть, а затем показать с помощью подстановок и алгебры, что мы можем преобразовать ее, чтобы она выглядела как правая часть.

    Начинаем:

    Мы подошли к правой стороне.

    Пифагорейские тождества

    а) sin 2 θ + cos 2 θ = 1.
    б) 1 + загар 2 θ = сек 2 θ
    в) 1 + детская кроватка 2 θ = csc 2 θ
    a ‘) sin 2 θ = 1 — cos 2 θ.
    cos 2 θ = 1 — грех 2 θ.

    Они называются тождествами Пифагора, потому что, как мы увидим в их доказательстве, они являются тригонометрической версией теоремы Пифагора.

    Два идентификатора, помеченные как ‘) — «а-простое число» — просто разные версии а).Первый показывает, как мы можем выразить sin θ через cos θ; второй показывает, как мы можем выразить cos θ через sin θ.

    Примечание: sin 2 θ — «синус-квадрат тета» — означает (sin θ) 2 .

    Задача 3. Треугольник 3-4-5 прямоугольный.

    а) Почему?

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

    Он удовлетворяет теореме Пифагора.

    б) Оцените следующее:

    sin 2 θ = 16
    25    		 cos 2 θ = 9
    25    		 sin 2 θ + cos 2 θ = 1.

    Пример 2. Показать:

    Это то, что мы хотели показать.

    Формулы сумм и разностей

    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
    sin (α — β) = sin α cos β — cos α sin β
    cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β
    cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β

    Примечание: В формулах синуса + или — слева также + или — справа.Но в формулах косинуса + слева становится — справа; и наоборот.

    Поскольку эти тождества доказываются непосредственно из геометрии, от студента обычно не требуется усваивать доказательство. Однако все последующие тождества основаны на этих формулах суммы и разности. Студент обязательно должен их знать.

    Вот доказательство формул суммы.

    Пример 3. Оценить sin 15 °.

    Решение. sin 15 °
    Формулы
    Темы 4 и 5

    Пример 4.Доказательство:

    Это то, что мы хотели доказать.

    Формулы двойного угла

    Проба

    Существует три версии cos 2α. Первый — с точки зрения обоих cos α и sin α. Второй — только по cos α. Третий — только с точки зрения sin α

    Пример 5. Показать: sin 2α

    Это то, что мы хотели доказать.

    Пример 6. Показать:
    Решение. грех x

    — согласно предыдущему тождеству с α =.

    Формулы полууглов

    Следующие ниже формулы половинного угла являются инверсией формул двойного угла, потому что α составляет половину от 2α.

    Знак плюс или минус зависит от квадранта. Под корнем косинус имеет знак +; синус, знак -.

    Проба

    .
    Пример 7. Вычислить cos π
    8    		.
    .
    Пример 8. Вывести идентификатор для tan α
    2    		.

    при делении числителя и знаменателя на cos α.

    Произведений суммой

    а) sin α cos β = ½ [грех (α + β) + грех (α — β)]
    б) cos α sin β = ½ [sin (α + β) — sin (α — β)]
    в) cos α cos β = ½ [cos (α + β) + cos (α — β)]
    г) sin α sin β = −½ [cos (α + β) — cos (α — β)]

    Проба

    Суммы по продуктам

    д) sin A + sin B = 2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )
    е) sin A — sin B = 2 sin ½ ( A — B ) cos ½ ( A + B )
    г) cos A + cos B = 2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )
    ч) cos A — cos B = −2 sin ½ ( A + B ) sin ½ ( A — B )

    В доказательствах ученик увидит, что тождества с e) по h) являются инверсиями соответственно от a) до d), которые доказываются в первую очередь. Тождество f) используется для доказательства одной из основных теорем исчисления, а именно о производной sin x .

    Учащийся не должен пытаться запомнить эти личности. Достаточно попрактиковаться в их доказательствах — и увидеть, что они исходят из формул суммы и разности.

    Темы | Дом

    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Электронная почта: themathpage @ яндекс.2 (y) $? — Обмен математическим стеком

    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    2. 0
    3. +0
    6. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 3к раз

    $ \ begingroup $

    Для 4. 2 (x)) = \? $