Квадрат a квадрат b квадрат: § Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов. Квадрат суммы. Куб суммы. Разность кубов и другие формулы

Указанная информация не является публичной офертой

Сервис от ВсеИнструменты.ру

Мы предлагаем уникальный сервис по обмену, возврату и ремонту товара!

Вернем вам деньги, если данный товар вышел из строя в течение 6 месяцев с момента покупки.

Гарантия производителя

Гарантийный ремонт

Здесь вы найдете адреса расположенных в вашем городе лицензированных сервисных центров.

Квадрат и его свойства, диагонали квадрата, площадь квадрат, теорема

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Мы знаем, что . Тогда .

2. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Ответ: .

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Ответ: .

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Ответ: .

5. Найдите радиус  окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник  — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Ответ: .

Python, корреляция и регрессия: часть 2 / Хабр

Предыдущий пост см. здесь.

Регрессия

Хотя, возможно, и полезно знать, что две переменные коррелируют, мы не можем использовать лишь одну эту информацию для предсказания веса олимпийских пловцов при наличии данных об их росте или наоборот. При установлении корреляции мы измерили силу и знак связи, но не наклон, т.е. угловой коэффициент. Для генерирования предсказания необходимо знать ожидаемый темп изменения одной переменной при заданном единичном изменении в другой.

Мы хотели бы вывести уравнение, связывающее конкретную величину одной переменной, так называемой независимой переменной, с ожидаемым значением другой, зависимой переменной. Например, если наше линейное уравнение предсказывает вес при заданном росте, то рост является нашей независимой переменной, а вес — зависимой.

^{Описываемые этими уравнениями линии называются линиями регрессии. Этот Термин был введен британским эрудитом 19-ого века сэром Фрэнсисом Гэлтоном. Он и его студент Карл Пирсон, который вывел коэффициент корреляции, в 19-ом веке разработали большое количество методов, применяемых для изучения линейных связей, которые коллективно стали известны как методы регрессионного анализа.}

Вспомним, что из корреляции не следует причинная обусловленность, причем термины «зависимый» и «независимый» не означают никакой неявной причинной обусловленности. Они представляют собой всего лишь имена для входных и выходных математических значений. Классическим примером является крайне положительная корреляция между числом отправленных на тушение пожара пожарных машин и нанесенным пожаром ущербом. Безусловно, отправка пожарных машин на тушение пожара сама по себе не наносит ущерб. Никто не будет советовать сократить число машин, отправляемых на тушение пожара, как способ уменьшения ущерба. В подобных ситуациях мы должны искать дополнительную переменную, которая была бы связана с другими переменными причинной связью и объясняла корреляцию между ними. В данном примере это может быть размер пожара. Такие скрытые причины называются спутывающими переменными, потому что они искажают нашу возможность определять связь между зависимыми переменными.

Линейные уравнения

Две переменные, которые мы можем обозначить как x и y, могут быть связаны друг с другом строго или нестрого. Самая простая связь между независимой переменной x и зависимой переменной y является прямолинейной, которая выражается следующей формулой:

Здесь значения параметров a и b определяют соответственно точную высоту и крутизну прямой. Параметр a называется пересечением с вертикальной осью или константой, а b — градиентом, наклоном линии или угловым коэффициентом. Например, в соотнесенности между температурными шкалами по Цельсию и по Фаренгейту a = 32 и b = 1.8. Подставив в наше уравнение значения a и b, получим:

Для вычисления 10°С по Фаренгейту мы вместо x подставляем 10:

Таким образом, наше уравнение сообщает, что 10°С равно 50°F, и это действительно так. Используя Python и возможности визуализации pandas, мы можем легко написать функцию, которая переводит градусы из Цельсия в градусы Фаренгейта и выводит результат на график:

'''Функция перевода из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта'''
celsius_to_fahrenheit = lambda x: 32 + (x * 1.8)

def ex_3_11():
    '''График линейной зависимости температурных шкал'''
    df = pd.DataFrame({'C':s, 'F':s.map(celsius_to_fahrenheit)})
    df.plot('C', 'F', legend=False, grid=True)
    plt.xlabel('Градусы Цельсия')
    plt.ylabel('Градусы Фаренгейта')
    plt.show()

Этот пример сгенерирует следующий ниже линейный график:

Обратите внимание, как синяя линия пересекает 0 на шкале Цельсия при величине 32 на шкале Фаренгейта. Пересечение a — это значение y, при котором значение x равно 0.

Наклон линии с неким угловым коэффициентом определяется параметром b; в этом уравнении его значение близко к 2. Как видно, диапазон шкалы Фаренгейта почти вдвое шире диапазона шкалы Цельсия. Другими словами, прямая устремляется вверх по вертикали почти вдвое быстрее, чем по горизонтали.

Остатки

К сожалению, немногие связи столь же чистые, как перевод между градусами Цельсия и Фаренгейта. Прямолинейное уравнение редко позволяет нам определять y строго в терминах x. Как правило, будет иметься ошибка, и, таким образом, уравнение примет следующий вид:

Здесь, ε  — это ошибка или остаточный член, обозначающий расхождение между значением, вычисленным параметрами a и b для данного значения x и фактическим значением y. Если предсказанное значение y — это ŷ, то ошибка — это разность между обоими:

Такая ошибка называется остатком. Остаток может возникать из-за случайных факторов, таких как погрешность измерения, либо неслучайных факторов, которые неизвестны. Например, если мы пытаемся предсказать вес как функцию роста, то неизвестные факторы могут состоять из диеты, уровня физической подготовки и типа телосложения (либо просто эффекта округления до самого близкого килограмма).

Если для a и b мы выберем неидеальные параметры, то остаток для каждого x будет больше, чем нужно. Из этого следует, что параметры, которые мы бы хотели найти, должны минимизировать остатки во всех значениях x и y.

Обычные наименьшие квадраты

Для того, чтобы оптимизировать параметры линейной модели, мы бы хотели создать функцию стоимости, так называемую функцией потери, которая количественно выражает то, насколько близко наши предсказания укладывается в данные. Мы не можем просто взять и просуммировать положительные и отрицательные остатки, потому что даже самые большие остатки обнулят друг друга, если их знаки противоположны.

Прежде, чем вычислить сумму, мы можем возвести значения в квадрат, чтобы положительные и отрицательные остатки учитывались в стоимости. Возведение в квадрат также создает эффект наложения большего штрафа на большие ошибки, чем на меньшие ошибки, но не настолько много, чтобы самый большой остаток всегда доминировал.

Выражаясь в терминах задачи оптимизации, мы стремимся выявить коэффициенты, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Этот метод называется обычными наименьшими квадратами, от англ. Ordinary Least Squares (OLS), и формула для вычисления наклона линии регрессии по указанному методу выглядит так:

Хотя она выглядит сложнее предыдущих уравнений, на самом деле, эта формула представляет собой всего лишь сумму квадратов остатков, деленную на сумму квадратов отклонений от среднего значения. В данном уравнении используется несколько членов из других уравнений, которые уже рассматривались, и мы можем его упростить, приведя к следующему виду:

Пересечение (a) — это член, позволяющий прямой с заданным наклоном проходить через среднее значение X и Y:

Значения a и b — это коэффициенты, получаемые в результате оценки методом обычных наименьших квадратов.

Наклон и пересечение

Мы уже рассматривали функции covariance, variance и mean, которые нужны для вычисления наклона прямой и точки пересечения для данных роста и веса пловцов. Поэтому вычисление наклона и пересечения имеют тривиальный вид:

def slope(xs, ys):
    '''Вычисление наклона линии (углового коэффициента)'''
    return xs.cov(ys) / xs.var()

def intercept(xs, ys): 
     '''Вычисление точки пересечения (с осью Y)'''
   return ys.mean() - (xs.mean() * slope(xs, ys))

def ex_3_12():
    '''Вычисление пересечения и наклона (углового коэффициента) 
       на примере данных роста и веса'''
    df = swimmer_data()
    X  = df['Рост, см']
    y  = df['Вес'].apply(np.log)
    a  = intercept(X, y)
    b  = slope(X, y) 
    print('Пересечение: %f, наклон: %f' % (a,b))

Пересечение: 1.691033, наклон: 0.014296

В результате будет получен наклон приблизительно 0.0143 и пересечение приблизительно 1.6910.

Интерпретация

Величина пересечения — это значение зависимой переменной (логарифмический вес), когда независимая переменная (рост) равна нулю. Для получения этого значения в килограммах мы можем воспользоваться функцией np.exp, обратной для функции np.log. Наша модель дает основания предполагать, что вероятнее всего вес олимпийского пловца с нулевым ростом будет 5.42 кг. Разумеется, такое предположение лишено всякого смысла, к тому же экстраполяция за пределы границ тренировочных данных является не самым разумным решением.

Величина наклона показывает, насколько y изменяется для каждой единицы изменения в x. Модель исходит из того, что каждый дополнительный сантиметр роста прибавляет в среднем 1.014 кг. веса олимпийских пловцов. Поскольку наша модель основывается на данных о всех олимпийских пловцах, она представляет собой усредненный эффект от увеличения в росте на единицу без учета любого другого фактора, такого как возраст, пол или тип телосложения.

Визуализация

Результат линейного уравнения можно визуализировать при помощи имплементированной ранее функции regression_line и простой функции от x, которая вычисляет ŷ на основе коэффициентов a и b.

'''Функция линии регрессии'''
regression_line = lambda a, b: lambda x: a + (b * x)  # вызовы fn(a,b)(x)

def ex_3_13():
    '''Визуализация линейного уравнения
       на примере данных роста и веса'''
    df = swimmer_data()
    X  = df['Рост, см'].apply( jitter(0.5) )
    y  = df['Вес'].apply(np.log)
    a, b = intercept(X, y), slope(X, y) 
    ax = pd.DataFrame(np.array([X, y]).T).plot.scatter(0, 1, s=7)
    s  = pd.Series(range(150,210))
    df = pd.DataFrame( {0:s, 1:s.map(regression_line(a, b))} )  
    df.plot(0, 1, legend=False, grid=True, ax=ax)
    plt.xlabel('Рост, см.')
    plt.ylabel('Логарифмический вес')
    plt.show()

Функция regression_line возвращает функцию от x, которая вычисляет a + bx.

Указанная функция может также использоваться для вычисления каждого остатка, показывая степень, с которой наша оценка ŷ отклоняется от каждого измеренного значения y.

def residuals(a, b, xs, ys):
    '''Вычисление остатков'''
    estimate = regression_line(a, b)     # частичное применение
    return pd.Series( map(lambda x, y: y - estimate(x), xs, ys) )

constantly = lambda x: 0

def ex_3_14():
    '''Построение графика остатков на примере данных роста и веса'''
    df = swimmer_data()
    X  = df['Рост, см'].apply( jitter(0.5) )
    y  = df['Вес'].apply(np.log)
    a, b = intercept(X, y), slope(X, y) 
    y  = residuals(a, b, X, y)
    ax = pd.DataFrame(np.array([X, y]).T).plot.scatter(0, 1, s=12)
    s  = pd.Series(range(150,210))
    df = pd.DataFrame( {0:s, 1:s.map(constantly)} )      
    df.plot(0, 1, legend=False, grid=True, ax=ax)
    plt.xlabel('Рост, см.')
    plt.ylabel('Остатки')
    plt.show()

График остатков — это график, который показывает остатки на оси Y и независимую переменную на оси X. Если точки на графике остатков разбросаны произвольно по обе стороны от горизонтальной оси, то линейная модель хорошо подогнана к нашим данным:

За исключением нескольких выбросов на левой стороне графика, график остатков, по-видимому, показывает, что линейная модель хорошо подогнана к данным. Построение графика остатков имеет важное значение для получения подтверждения, что линейная модель применима. В линейной модели используются некоторые допущения относительно данных, которые при их нарушении делают не валидными модели, которые вы строите.

Допущения

Первостепенное допущение линейной регрессии состоит в том, что, безусловно, существует линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Кроме того, остатки не должны коррелировать друг с другом либо с независимой переменной. Другими словами, мы ожидаем, что ошибки будут иметь нулевое среднее и постоянную дисперсию по отношению к зависимой и независимой переменной. График остатков позволяет быстро устанавливать, является ли это действительно так.

Левая сторона нашего графика имеет более крупные значения остатков, чем правая сторона. Это соответствует большей дисперсии веса среди более низкорослых спортсменов. Когда дисперсия одной переменной изменяется относительно другой, говорят, что переменные гетероскедастичны, т.е. их дисперсия неоднородна. Этот факт представляет в регрессионном анализе проблему, потому что делает не валидным допущение в том, что модельные ошибки не коррелируют и нормально распределены, и что их дисперсии не варьируются вместе с моделируемыми эффектами.

Гетероскедастичность остатков здесь довольно мала и особо не должна повлиять на качество нашей модели. Если дисперсия на левой стороне графика была бы более выраженной, то она привела бы к неправильной оценке дисперсии методом наименьших квадратов, что в свою очередь повлияло бы на выводы, которые мы делаем, основываясь на стандартной ошибке.

Качество подгонки и R-квадрат

Хотя из графика остатков видно, что линейная модель хорошо вписывается в данные, т.е. хорошо к ним подогнана, было бы желательно количественно измерить качество этой подгонки. Коэффициент детерминации R², или R-квадрат, варьируется в интервале между 0 и 1 и обозначает объяснительную мощность линейной регрессионной модели. Он вычисляет объясненную долю изменчивости в зависимой переменной.

Обычно, чем ближе R² к 1, тем лучше линия регрессии подогнана к точкам данных и больше изменчивости в Y объясняется независимой переменной X. R² можно вычислить с помощью следующей ниже формулы:

Здесь var(ε) — это дисперсия остатков и var(Y) — дисперсия в Y. В целях понимания смысла этой формулы допустим, что вы пытаетесь угадать чей-то вес. Если вам больше ничего неизвестно об испытуемых, то наилучшей стратегией будет угадывать среднее значение весовых данных внутри популяции в целом. Таким путем средневзвешенная квадратичная ошибка вашей догадки в сравнении с истинным весом будет var(Y), т.е. дисперсией данных веса в популяции.

Но если бы я сообщил вам их рост, то в соответствии с регрессионной моделью вы бы предположили, что a + bx. В этом случае вашей средневзвешенной квадратичной ошибкой было бы  или дисперсия остатков модели.

Компонент формулы var(ε)/var(Y) — это соотношение средневзвешенной квадратичной ошибки с объяснительной переменной и без нее, т. е. доля изменчивости, оставленная моделью без объяснения. Дополнение R² до единицы — это доля изменчивости, объясненная моделью.

^{Как и в случае с r, низкий R2 не означает, что две переменные не коррелированы. Просто может оказаться, что их связь не является линейной.}

Значение R² описывает качество подгонки линии регрессии к данным. Оптимально подогнанная линия — это линия, которая минимизирует значение R². По мере удаления либо приближения от своих оптимальных значений R² всегда будет расти.

Левый график показывает дисперсию модели, которая всегда угадывает среднее значение для , правый же показывает меньшие по размеру квадраты, связанные с остатками, которые остались необъясненными моделью f. С чисто геометрической точки зрения можно увидеть, как модель объяснила большинство дисперсии в y. Приведенный ниже пример вычисляет R² путем деления дисперсии остатков на дисперсию значений y:

def r_squared(a, b, xs, ys):
    '''Рассчитать коэффициент детерминации (R-квадрат)'''
    r_var = residuals(a, b, xs, ys).var() 
    y_var = ys.var()
    return 1 - (r_var / y_var)

def ex_3_15():
    '''Рассчитать коэффициент R-квадрат 
       на примере данных роста и веса'''
    df = swimmer_data()
    X  = df['Рост, см'].apply( jitter(0.5) )
    y  = df['Вес'].apply(np.log)
    a, b = intercept(X, y), slope(X, y)
    return r_squared(a, b, X, y)

0.75268223613272323

В результате получим значение 0.753. Другими словами, более 75% дисперсии веса пловцов, выступавших на Олимпийских играх 2012 г., можно объяснить ростом.

В случае простой регрессионной модели (с одной независимой переменной), связь между коэффициентом детерминации R² и коэффициентом корреляции r является прямолинейной:

Коэффициент корреляции r может означать, что половина изменчивости в переменной Y объясняется переменной X, но фактически R² составит 0.5², т.е. 0.25.

Множественная линейная регрессия

Пока что в этой серии постов мы видели, как строится линия регрессии с одной независимой переменной. Однако, нередко желательно построить модель с несколькими независимыми переменными. Такая модель называется множественной линейной регрессией.

Каждой независимой переменной потребуется свой собственный коэффициент. Вместо того, чтобы для каждой из них пытаться подобрать букву в алфавите, зададим новую переменную β (бета), которая будет содержать все наши коэффициенты:

Такая модель эквивалентна двухфакторной линейно-регрессионной модели, где β₁ = a и β₂ = b при условии, что x₁ всегда гарантированно равен 1, вследствие чего β₁ — это всегда константная составляющая, которая представляет наше пересечение, при этом x₁ называется (постоянным) смещением уравнения регрессии, или членом смещения.

Обобщив линейное уравнение в терминах β, его легко расширить на столько коэффициентов, насколько нам нужно:

Каждое значение от x₁ до x_n соответствует независимой переменной, которая могла бы объяснить значение y. Каждое значение от β₁ до β_n соответствует коэффициенту, который устанавливает относительный вклад независимой переменной.

Простая линейная регрессия преследовала цель объяснить вес исключительно с точки зрения роста, однако объяснить вес людей помогает много других факторов: их возраст, пол, питание, тип телосложения. Мы располагаем сведениями о возрасте олимпийских пловцов, поэтому мы смогли бы построить модель, которая учитывает и эти дополнительные данные.

До настоящего момента мы предоставляли независимую переменную в виде одной последовательности значений, однако при наличии двух и более параметров нам нужно предоставлять несколько значений для каждого x. Мы можем воспользоваться функциональностью библиотеки pandas, чтобы выбрать два и более столбцов и управлять каждым  как списком, но есть способ получше: матрицы.

Примеры исходного кода для этого поста находятся в моем репо на Github. Все исходные данные взяты в репозитории автора книги.

Темой следующего поста, поста №3, будут матричные операции, нормальное уравнение и коллинеарность.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора была названа в честь известного греческого математика Пифагора. Это важная формула, которая утверждает следующее: a ² + b ² = c ²

Рисунок выше помогает нам понять, почему формула работает. Вы сделали следующее важное наблюдение? Рисунок ниже может помочь!

Обратите внимание, что в красном квадрате есть 2 треугольника, а в синем квадрате также есть 2 треугольника. В черном квадрате есть 4 одинаковых треугольника.

Следовательно, площадь красного квадрата + площадь синего квадрата = площадь черного квадрата

Пусть a = длина стороны красного квадрата

Пусть b = длина стороны синего квадрата

Пусть c = длина стороны черного квадрата

Следовательно, a ² + b ² = c ²

Таким образом, учитывая две стороны, третью сторону можно найти с помощью формулы.

Мы проиллюстрируем это примерами, но прежде чем продолжить, вы должны знать, как найти квадратный корень из числа и как решить уравнения с помощью вычитания

Упражнение № 1

Пусть a = 3 и b = 4.Найдите c или самую длинную сторону

c ² = a ² + b ²

c ² = 3 ² + 4 ²

c ² = 9 + 16

c ² = 25

c = √25

Знак (√) означает квадратный корень

c = 5

Упражнение № 2

Пусть c = 10 и a = 8. Найдите b, или другая нога.

c ² = a ² + b ²

10 ² = 8 ² + b ²

100 = 64 + b ²

100 — 64 = 64 — 64 + b ² (минус 64 с обеих сторон для изоляции b ² )

36 = 0 + b ²

36 = b ²

b = √36 = 6

Упражнение № 3

Пусть c = 13 и b = 5.Найдите

c ² = a ² + b ²

13 ² = a ² + 5 ²

169 = a ² + 25

169-25 = a ² + 25-25

144 = a ² + 0

144 = a ²

a = √144 = 12

Пройдите тест по теореме Пифагора ниже, чтобы увидеть, насколько хорошо вы усвоили этот урок.

1. Формы гистограмм

   19 мая, 21 05:48

   Узнайте о различных формах гистограмм. Три наиболее распространенных из этих форм: наклонная, симметричная и однородная.

   Подробнее

Квадрат двучлена.Трехчлены полного квадрата

18

Квадратные числа

Квадрат двучлена

Геометрическая алгебра

2-й уровень

( a + b ) ³

Квадрат трехчлена

Завершение квадрата

ДАВАЙТЕ НАЧНЕМ, изучая квадратные числа.Это числа

1 · 1 2 · 2 3 · 3

и так далее. Ниже приведены первые десять квадратных чисел и их корни.

1 — квадрат единицы.4 — это квадрат 2. 9 — это квадрат 3. И так далее.

Квадратный корень из 1 равен 1. Квадратный корень из 4 равен 2. Квадратный корень из 9 равен 3. И так далее.

В таблице умножения квадратные числа лежат по диагонали.

Квадрат двучлена

( a + b ) ²

Квадрат бинома встречается так часто, что ученик должен сразу же написать окончательный результат.Получится очень специфический трехчлен. Чтобы убедиться в этом, возведем в квадрат ( a + b ):

( a + b ) ² = ( a + b ) ( a + b ) = a ² + 2 ab + b

.

Для внешних и внутренних будет

ab + ba = 2 ab .

Порядок факторов не имеет значения.

Квадрат любого бинома дает следующий трехчлен:

1. Квадрат первого члена двучлена: a ²

2. Двойное произведение двух членов: 2 ab

3. Квадрат второго члена: b ²

Квадрат каждого бинома имеет такую ​​форму: a ² + 2 ab + b ² .

Признать это — значит знать существенное произведение в «таблице умножения» алгебры.

(См. Урок 8 по арифметике: как мысленно возвести в квадрат число, особенно квадрат 24, который является «биномом» 20 + 4.)

Пример 1. Возвести двучлен в квадрат ( x + 6).

Решение . ( x + 6) ² = x ² + 12 x + 36

x ² — квадрат x .

12 x вдвое больше произведения x на 6. ( x · 6 = 6 x . В два раза больше, чем 12 x .)

36 — это квадрат 6.

x ² + 12 x + 36 называется трехчленом полного квадрата, который является квадратом бинома.

Пример 2. Возвести двучлен в квадрат (3 x — 4).

Решение .(3 x -4) ² = 9 x ² -24 x + 16

9 x ² — это квадрат 3 x .

−24 x — удвоенное произведение 3 x · −4. (3 x · −4 = −12 x . В два раза больше −24 x .)

16 — это квадрат −4.

Примечание: Если двучлен имеет знак минус, то знак минус появляется только в среднем члене трехчлена.Следовательно, используя двойной знак ± («плюс или минус»), мы можем сформулировать правило следующим образом:

( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ²

Это означает: если двучлен a + b , то средний член будет +2 ab ; но если двучлен a — b , то средний член будет −2 ab

Квадрат + b или — b , конечно, всегда положительный.Это всегда + b ² .

Пример 3. (5 x ³ -1) ² = 25 x ⁶ -10 x ³ + 1

25 x ⁶ — квадрат 5 x ³ . (Урок 13: Показатели.)

−10 x ³ — это удвоенное произведение 5 x ³ и −1. (5 x ³ умножить на −1 = −5 x ³ .Дважды, что равно −10 x ³ .)

1 — квадрат −1.

Учащийся должен четко понимать, что ( a + b ) ² равно , а не a ² + b ² , не более чем ( a + b ) ³ равно a ³ + b ³ .

Показатель не может быть «распределен» по сумме.

(См. Тему 25 книги Precalculus: The binomial теорема.)

Пример 4. Является ли это трехчленом полного квадрата: x ² + 14 x + 49?

Ответ . Да. Это квадрат ( x + 7).

x ² — квадрат x . 49 — это квадрат 7. А 14 x — удвоенное произведение x · 7.

Другими словами, x ² + 14 x + 49 может быть разложено на как

x ² + 14 x + 49 = ( x + 7) ²

Примечание: Если бы коэффициент x был любым числом, кроме 14, это не было бы трехчленом в виде полного квадрата.

Пример 5 Это трехчлен полного квадрата: x ² + 50 x + 100?

Ответ .Нет это не так. Хотя x ² — это квадрат x , а 100 — квадрат 10, 50 x не является двойным произведением x · ; 10. (Их произведение дважды равно 20 x .)

Пример 6 Является ли это трехчленом полного квадрата: x ⁸ -16 x ⁴ + 64?

Ответ . Да. Это идеальный квадрат x ⁴ -8.

Задача 1. Какие числа являются квадратными числами?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.

Это числа 1 ² , 2 ² , 3 ² и так далее.

Проблема 2.

а) Сформулируйте на словах правило возведения бинома в квадрат.

Квадрат первого члена.
Двойное произведение двух членов.
Квадрат второго члена.

б) Запишите только трехчленное произведение: ( x + 8) ² = x ² + 16 x + 64

c) Запишите только трехчленное произведение: ( r + s ) ² = r ² + 2 rs + s ²

Проблема 3.Напишите только трехчленное произведение.

Проблема 4.Напишите только трехчленное произведение.

Проблема 5.Фактор: p ² + 2 pq + q ² .

p ² + 2 pq + q ² = ( p + q ) ²
Левая часть представляет собой трехчлен полного квадрата.

Задача 6. Если возможно, разложите на множители полный квадрат трехчлена.

Проблема 7.Если возможно, множите на множители полный квадрат трехчлена.

а) 25 x ² + 30 x + 9 = (5 x + 3) ²

б) 4 x ² — 28 x + 49 = (2 x -7) ²

c) 25 x ² -10 x + 4 Невозможно.

г) 25 x ² -20 x + 4 = (5 x -2) ²

e) 1 — 16 лет + 64 года ² = (1 — 8 y ) ²

f) 16 m ² -40 mn + 25 n ² = (4 m -5 n ) ²

г) x ⁴ + 2 x ² y ² + y ⁴ = ( x ² + y ² ) ²

h) 4 x ⁶ -10 x ³ y ⁴ + 25 y ⁸ Невозможно.

i) x ¹² + 8 x ⁶ + 16 = ( x ⁶ + 4) ²

j) x ^{2 n} + 8 x ⁿ + 16 = ( x ⁿ + 4) ²

Геометрическая алгебра

Вот квадрат со стороной a + b .

Состоит из

квадрат со стороной a ,

квадрат со стороной b ,

и два прямоугольника ab .

То есть

( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ² .

2-й уровень

Следующий урок: Разница двух квадратов

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Тригонометрия

Теорема Пифагора

Тригонометрия — это анализ уникальных геометрических свойства прямоугольного треугольника с использованием пифагорова Теорема.Он был известен еще в древности вавилонянами и был описан в теории древнегреческого математика Пифагора. Тригонометрический функции и тригонометрические законы основаны о доказательстве теоремы Пифагора. Теорема утверждает, что если у прямоугольного треугольника две стороны равны и b, и гипотенуза, равная c, затем квадрат плюс b в квадрате равно c в квадрате. Гипотенуза прямоугольного треугольника сторона, противоположная прямому углу.Есть шесть тригонометрических функций синус, косинус, касательная, косеканс, секанс и котангенс, которые исследуйте отношения двух сторон прямоугольного треугольника. Последние три являются взаимными из первых трех. Чтобы определить, что это верно для любого прямоугольного треугольника означает математическое доказательство теоремы Пифагора используя базовую геометрию. Это математическое соотношение относительно геометрии прямоугольных треугольников дает метод решения треугольник.

Теорема Пифагора:
В любом прямоугольном треугольнике со сторонами a а b и гипотенуза c,
, тогда a + b = c
или c равно квадрату корень из величины a в квадрате плюс b в квадрате.

Пример теоремы Пифагора:
Если прямоугольный треугольник имеет стороны a = 3 и b = 4 и гипотенуза c = 5,
, затем 3 + 4 = 5 и 9 + 16 = 25.

Интерактивная говорящая глава книги по математике

B Square Pizza разносит пироги в стиле Детройта в Чикаго

Представляем B Square Pizza, пиццерию в стиле Детройта в северных пригородах Чикаго, предлагающую бесконтактную доставку и самовывоз с нашей кухни прямо на ваш диван. Благодаря успеху B Square в Уилинге, ресторан теперь работает только с доставкой в ​​центре Чикаго!

Разместите заказ с доставкой в ​​B Square Pizza в Северном пригороде.

Чтобы разместить заказ на вынос пиццы B Square в северных пригородах, позвоните по телефону 224-676-0312.

Разместите заказ с доставкой в ​​B Square Pizza — Чикаго.

Идея появилась, когда шеф-повар из Мичигана Майкл Браунелл (Saranello’s) и шеф-повар / партнер Микаэль Боннер (Saranello’s, Di Pescara, The Ivy Room и Petterino’s) создали идеальную корочку, легкую и воздушную. в комплекте с хрустящими подрумяненными краями.Поверьте, это та пицца в стиле Детройта, которую так ждал Чикаго!

Посмотреть меню из B Square Pizza.

Пиццы квадратной формы выпекаются на сковороде, их можно заказать в размерах 12 и 16 дюймов. Фирменные пироги:

Специальное блюдо Майка Би с колбасой, пепперони, грибами, красным луком, оливками и маринованным перцем

Mama B Square с говяжьими фрикадельками, перцем пепперони

Томат классический с итальянскими помидорами, свежей моцареллой, базиликом, оливковым маслом первого холодного отжима

Гриб с бритыми грибами кремини, сыром робиола, трюфельным маслом и белым соусом

Зеленый со свежим чесноком, шпинатом, капустой, рукколой и красным соусом

В дополнение к детройтским пирогам предлагаются пиццы на тонком тесте и без глютена.

Это не просто пицца… это еще не все! В дополнение к более чем десяти фирменным пирогам, B Square Pizza предлагает свежие салаты, хрустящие куриные крылышки из экологически чистого цыпленка, сырно-чесночный хлеб, выпечку и домашнее негабаритное печенье с шоколадной стружкой и Michigan Cherry Hand Pies на десерт.

Пицца B Square Pizza — Nothern Suburbs находится по адресу 601 N. Milwaukee Ave., Wheeling, IL.Часы работы: понедельник — четверг с 15:00 до 20:00, пятница с 15:00 до 21:00, суббота с 11:00 до 21:00, воскресенье с 11:00 до 8:00: 00 вечера. Чтобы получить дополнительную информацию и сделать заказ онлайн, посетите bsquarepizzadelivery.com или подпишитесь на Facebook, Instagram и Twitter. Чтобы разместить заказ на вынос, позвоните по телефону 224-676-0312.

B Square Pizza — Чикаго доставка только семь дней в неделю с 16:00 до 21:00, доставка на 5 миль от 620 N. State Street в центре Чикаго. Для получения дополнительной информации и просмотра меню посетите bsquarepizzadelivery.com или подпишитесь на Facebook, Instagram и Twitter. Чтобы разместить заказ на доставку, нажмите здесь. Чтобы подтвердить радиус доставки B Square, напишите по адресу [email protected].

Завершение площади

Заполнение Квадрата — это метод, используемый для решения квадратное уровненеие изменив форму уравнения так, чтобы левая часть идеальный квадрат трехчлен .

Решать а Икс 2 + б Икс + c знак равно 0 заполнив квадрат:

1.Преобразуйте уравнение так, чтобы постоянный член, c , один на правой стороне.
2. Если а , старший коэффициент (коэффициент Икс 2 срок), не равно 1 , разделите обе стороны на а .

3. Добавьте квадрат половины коэффициента Икс -срок, ( б 2 а ) 2 к обеим сторонам уравнения.

4. Разложите левую часть на множители квадрата двучлена.

5. Возьмите квадратный корень с обеих сторон. (Помнить: ( Икс + q ) 2 знак равно р эквивалентно Икс + q знак равно ± р .)

6. Решите для Икс .

Пример 1:

Решать Икс 2 — 6 Икс — 3 знак равно 0 заполнив квадратик.

Икс 2 — 6 Икс знак равно 3 Икс 2 — 6 Икс + ( — 3 ) 2 знак равно 3 + 9 ( Икс — 3 ) 2 знак равно 12 Икс — 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

Пример 2:

Решать: 7 Икс 2 — 8 Икс + 3 знак равно 0

7 Икс 2 — 8 Икс знак равно — 3 Икс 2 — 8 7 Икс знак равно — 3 7 Икс 2 — 8 7 Икс + ( — 4 7 ) 2 знак равно — 3 7 + 16 49 ( Икс — 4 7 ) 2 знак равно — 5 49 Икс — 4 7 знак равно ± 5 7 я Икс знак равно 4 7 ± 5 7 я ( Икс — 3 ) 2 знак равно 12 Икс — 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

Купить крепления, аксессуары и инструменты для стрельбы B-Square

B-SQUARE — это длинный список новинок в отрасли, многие из которых до сих пор не имеют себе равных. B Square Технологии обработки, знания в области машиностроения и инженерные разработки дают компании огромное преимущество перед конкурентами. Большинство монтажных систем BSQUARE представляют собой неразрушающие, не требующие изготовления оружия крепления, которые не требуют ни опыта оружейника, ни сверления и нарезания резьбы на огнестрельном оружии. Эта уникальная концепция дизайна позволяет любому, кто использует систему крепления B-SQUARE и аксессуары для прицелов B-SQUARE, в любой момент вернуть свое огнестрельное оружие в исходное состояние.Эти потрясающие крепления для прицелов позволяют правильно установить прицел!

Компания B-Square уже более 50 лет производит полную линейку высококачественных креплений для оптических прицелов, принадлежностей для оптических прицелов и инструментов для серьезных стрелков. Известная во всем мире своим разнообразным выбором и уникальным дизайном, традиция B-Square продолжается, ежегодно представляя новые продукты. Удовлетворение потребностей гарантировано, и любому стрелку обещана идеальная подгонка оружия, независимо от выбора огнестрельного оружия.Любите ли вы пинк, охоту или серьезно относитесь к аксессуарам для правоохранительных органов, B-Square устанавливает стандарт точности, когда дело доходит до идеального крепления для ваших нужд.

Целью BSQUARE всегда было разработать лучшие аксессуары для огнестрельного оружия для промышленности и предложить крепления для оптических прицелов и аксессуары для оптических прицелов по разумной цене. B-SQUARE стремится стать вашим поставщиком монтажных систем. Самое главное, B-SQUARE будет стоять за любым продуктом, созданным или разработанным нами, и отвечать вашим потребностям с высочайшим приоритетом.Обслуживание клиентов — это фундамент, на котором была построена компания.

B-SQUARE в настоящее время предлагает системы крепления BSquare и аксессуары для оптических прицелов B-Square для более чем 300 видов огнестрельного и пневматического оружия, производимых по всему миру.

B-квадрат Lab

B-square Lab разрабатывает и использует блокчейн для удовлетворения индивидуальных потребностей клиентов.
Использование Square-BaaS значительно сокращает затраты и время на разработку блокчейна.

Обеспечение целостности и отслеживаемости «сертифицированных халяль» продуктов посредством цифровой сертификации. Блокчейн записывает транзакцию для каждого этапа халяльной комплексной проверки и результата заводской комплексной проверки, а клиенты используют QR-код для сканирования и проверки информации.

Служба сертификации и депонирования оригинальных документов: с помощью решения блокчейн исходный документ, авторские права, договор и связанные записи хранятся в сети блокчейн.Уникальные хеш-значения и юридическая аутентичность сохраненных записей генерируются в режиме онлайн. Записи и документы запрашиваются в режиме онлайн для проверки и предотвращения подделки доказательств. Эта услуга «как услуга» особенно полезна для МСП (малых и средних предприятий) по разумной цене.

Служба сертификации медицинских данных: эта служба позволяет безопасно создавать резервные копии и управлять исходными медицинскими данными пациентов, а также хранить присущие им цифровые отпечатки пальцев в блокчейне для сертификации.Square-BaaS специализируется на сборе нетронутых медицинских данных и особенно полезен для компаний, занимающихся цифровым здравоохранением и оборудованием.

Служба защиты авторских прав: придерживаясь концепции «блокчейн +», компания B-square Lab активно работала в области авторского права и запустила комплексное решение для блокчейн в областях защиты авторских прав, интеграции средств массовой информации и интеллектуальной собственности. и другие направления деятельности.

Служба цифровых баллов лояльности: интегрированная платформа, построенная в нижней части лицензированной цепочки B-square Lab, управляет баллами с помощью технологии шифрования блокчейн, позволяя пользователям генерировать отдачу от своего поведения в цифровой жизни в отношении общения, развлечений, покупок, путешествий. , так далее.позволяя серьезно относиться к ценности, создаваемой этими действиями, и капитализировать цифровое поведение пользователя.

Служба дробного владения: служба использует блокчейн для разделения, торговли и проверки дорогостоящей собственности, такой как искусство и недвижимость.

Служба финансирования цепочки поставок: эта служба объединяет финансовую систему цепочки поставок и блокчейн, создает надежную информационную сетевую экосистему между многими предприятиями и финансовыми учреждениями в цепочке поставок, делится различными типами информации, сокращая время сбора данных, проверки и т. Д. оценка и т. д., переходит в доверительное управление и решает проблему высоких финансовых затрат для малого и среднего бизнеса.

: основанная на системах блокчейна, децентрализованный идентификатор (DID) имеет такие функции, как независимый контроль, распределенное доверие и защита конфиденциальности.