Куб разности чисел: Куб разности, формулы и вычисления онлайн

Чему равен куб разности: формула, доказательство, пример

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула куба разности

Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b.

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Формула работает в обратную сторону:

a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b).

Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:
(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a

2 – 2ab + b²) = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(a – b)² = a² – 2ab + b².

Пример

Разложите выражение (4x – 6y)³ на множители.

Решение:
Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:
(4x – 6y)³ = (4x)³ – 3 ⋅ (4x)² ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y)² – (6y)³ = 64x³ – 288x²y + 432xy² + 216y

3

Проверка:
Давайте перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y)³ = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y)² = (4x – 6y)(16x² – 48xy + 36y²) = 64x³ – 192x²y + 144xy² – 96x²y + 288xy² + 216y³ = 64x³ – 288x²y + 432xy² + 216y³

куб разности чисел 9и8, квадрат суммы чисел 8и7, сумма квадратов чисел 8и7

Знайдіть значення виразів, застосовуючи розподільну властивість(розписати): а)27,3 :4 + 72,7 : 4 = б)364,5 * 8,7 + 264,5 *1,3= в)9,24 *0,67 — 9,23 *0, … 67 = г)17,5 : 0,5 — 12,5 : 0,5 =

Даны точки 2;5 -2;4 3;-2постройте график прямой пропорции

Пользуясь графиком движения муравья по дереву, определите: 1) высоту подъёма муравья за первые 9 минут, 2) продолжительность его остановки, 3) длину п … ути, проделанного муравьём после остановки до вершины дерева, 4) высоту дерева, 5) общее время подъёма муравья на вершину дерева, 6) за сколько времени муравей спустился с дерева, 7) на сколько минут быстрее муравей спустился с дерева, чем на него поднялся, 8) скорость движения муравья на обратном пути, 9) время нахождения муравья в пути

ПОМОГИТЕ ПЖ ПЖ ПЖ ПЖ ПЖ МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ1) 5,5+х-23,5=8,752) 6,2-у-1,8=4,39​

В какое время минутная и часовая стрелки прямой развернутый тупой и острый углы

ЛЮДИ! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! ДАМ 20 БАЛЛОВ Во время соревнований по легкой атлетике первый спортсмен пробежал на 40 м больше второго. Найти, сколько пр … обежал первый спортсмен, если вместе они пробежали 2 км. Ответ укажите в метрах

Пожалуйста помогите!!! При каком значении переменной значение выражения 5x-0,4*(7x- 9) равно 2,94

помогите пожалуйста дам 18баловпонедельник музей посетило 118 человек. Во вторник — на 4 человека больше, В среду число посетителей было наименьшим за … неделю — их было на 5 человек меньше, чем во вторник. В четверг посетителей на 3 человека больше, чем в среду, В пятницу билеты в музей продаются со скидкой, поэтому число посетителей оказалось на 10% больше, чем в четверг. В субботу пришло на 3 посетителя больше, чем в пятницу А в воскресенье — на 2 человека больше, чем в субботу, при этом числопосетителей достигло максимума за неделю.По описанию постройте график зависимости числа посетителей музея от дня недели. Соседние точки соедините отрезками. Точка, показывающая число посетителей в понедельник, уже отмечена на рисунке.​

6 — 3 ( х + 1 ) = 7 — х

из вершины прямого угла CDM проведен луч DO так, что угол CDO составляет 1/6 часть угла CDM. найдите величину угла ODM. a) 150* b) 30* c) 75* d) 105* … e) 115*

Урок 31. куб суммы. куб разности — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 31

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Куб суммы. Куб разности.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a

2 + ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Куб суммы.

Рассмотрим произведение:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b ³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Куб разности.

Аналогично докажем формулу «куб разности».

Рассмотрим произведение:

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) =(a² – 2ab + b²)(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a³ – 2a²b + b²a ^{– a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3}

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите куб двучлена:

(a + 3)³ = a³ + 3a² · 3 + 3a · 3² + 3³ = a³ + 9a² + 27a + 27.

(10 – a)³ =10³ – 3 · 10² a + 3 · 10 · a² – a³ = 1000 – 300a + 30a² – a³.

Задача 2.

Упростите: x³ + 3x(x + 4) – (x + 2)³

x³ + 3x² + 12x – (x³ + 6x² + 12x + 8) =

x³ + 3x

2 + 12x – x³ – 6x² – 12x – 8 =

= -3x² – 8.

Ответ: -3x² – 8.

Задача 3.

Решите уравнение:

x³ + 9x² – (x + 3)³ = 0

x³ + 9x² – (x³ + 9x² + 27x + 27) = 0

x³ + 9x² – x³ – 9x² – 27x – 27 = 0

-27x = 27

Ответ: х = -1.

Формулы сокращённого умножения

1. Главная
2. Алгебра
3. Одночлены, многочлены, формулы сокращённого умножения.
4. Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы двух чисел

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

( x + y )² = x² + 2 × x × y + y²
1004² = 1000000 + 8000 + 16 = 1008016

Квадрат разности двух чисел

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

( x — y )² = x² — 2 × x × y + y²
997² = 1000000 — 6000 + 9 = 994009

Куб суммы двух чисел

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа ПЛЮС утроенное произведение квадрата первого на второе, ПЛЮС утроенное произведение первого на квадрат второго ПЛЮС куб второго числа.

( x + y )³ = x³ + 3 × x² × y + 3 × x × y² + y³

Куб разности двух чисел

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа МИНУС утроенное произведение квадрата первого на второе ПЛЮС утроенное произведение первого на квадрат второго МИНУС куб второго числа.

( x — y )³ = x³ — 3 × x² × y + 3 × x × y² — y³

Разность квадратов двух чисел

Разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы на разность.

x² — y² = ( x + y ) × ( x — y )
1003 × 997 = 1000000 — 9 = 999991

Сумма кубов двух чисел

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности.

x³ + y³ = ( x + y ) × ( x² — x × y + y² )

Разность кубов двух чисел

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.2}=3x-1\)

Возведение многочленов в куб | Математика

Станем опять сначала на точку зрения арифметики и рассмотрим возведение в куб суммы и разности двух чисел. Получим:

Словами эти равенства читаются так:

1) Куб суммы двух чисел равняется кубу первого числа, плюс произведение тройки на квадрат первого числа и на второе число, плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго числа, плюс куб второго числа.

2) Куб разности двух числе равен кубу первого числа, минус произведение тройки на квадрат первого числа и на второе, плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго, минус куб второго числа.

Теперь мы можем сразу написать, что, например,

Здесь сначала написан куб первого числа, т. е. (2a³b)³, а это = 8a⁹b³, затем «минус произведение 2 на квадрат первого числа и на второе», т. е. –3 ∙ (2a³b)² ∙ (3a)= –3 ∙ 4a⁶b² ∙ 3a = – 36a⁷b², затем «плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго», т. е. +3 ∙ (2a³b) ∙ (3a)² = +3 ∙ 2a₃b ∙ 9a² = 54a⁵b, наконец, «минус куб второго числа», т. е. –(3a)³ = –27a³.

Мы можем наши равенства переписать в виде:

1) (a + b)³ = (+a)³ + (+3) (+a)² (+b) + (+3) (+a) (+b)² + (+b)³

2) (a – b)³ = (+a)³ + (+3) (+a)² (–b) + (+3) (+a) (–b)² + (–b)³

и читаем их так:

Куб двучлена равен кубу первого члена, плюс произведение числа (+3) на квадрат первого члена и на второй, плюс произведение числа (+3) на первый член и на квадрат второго, плюс куб второго члена.

Например: (–3a⁴ – ab)³ = (–3a⁴)³ + (+3) (–3a⁴)² (–ab) + (–3a⁴) (–ab)² + (–ab)³ = –27a¹² – 27a⁹b – 3a⁵b² – a³b³ и т. п.

Если потребуется возвести в куб трехчлен, то можно или сводить дело к умножению

[Например: (x² – 2x – 1)³ = (x² – 2x – 1)(x² – 2x – 1)(x² – 2x – 1) = …]

или, приняв временно два члена (лучше первые два) за одно число, свести дело к возведению в куб двучлена:

ГДЗ 5 класс. Математика. Никольский, Потапов. Учебник. Упражнение 272

Ответы к упражнению 272

содержание

Другие решебники 5 класс:

Запишите и вычислите:
а) сумму чисел: 1) 49 и 51; 2) 56 и 72
1) 49 + 51 = 100
2) 56 и 72 = 128

б) разность чисел: 1) 59 и 34; 2) 66 и 42
1) 59 – 34 = 25
2) 66 – 42 = 24

в) сумму квадратов чисел: 1) 7 и 2; 2) 9 и 7
1) 7² + 2² = 49 + 4 = 53
2) 9² и 7² = 81 + 49 = 130

г) квадрат суммы чисел: 1) 9 и 11; 2) 6 и 7
1) (9 + 11)² = 20² = 400
2) (6 + 7)² = 13² = 169

д) разность квадратов чисел: 1) 5 и 4; 2) 6 и 2
1) 5² – 4² = 25 — 16 = 9
2) 6² – 2² = 36 — 4 = 32

е) квадрат разности чисел: 1) 5 и 3; 2) 6 и 4
1) (5 – 3)² = 2² = 4
2) (6 – 4)² = 2² = 4

ж) сумму кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 2
1) 4³ + 3³ = 64 + 27 = 91
2) 5³ + 2³ = 125 + 8 = 133

з) куб суммы чисел: 1) 13 и 7; 2) 5 и 6
1) (13 + 7)³ = 20³ = 8000
2) (5 + 6)³ = 11³ = 1331

и) разность кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 1
1) 4³ – 3³ = 64 — 27 = 37
2) 5³ – 1³ = 125 — 1 = 124

к) куб разности чисел: 1) 49 и 46; 2) 56 и 52
1) (49 – 46)³ = 3³ = 27
2) (56 – 52)³ = 4³ = 64

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Разница двух кубиков

Существует особый случай при умножении многочленов, который дает следующее: a ³ — b ³

Полиномы

Полином выглядит так:

Пример полинома

Разница двух кубиков

Разница двух кубов — это частный случай умножения многочленов:

(a − b) (a ² + ab + b ² ) = a ³ — b ³

Это иногда возникает при решении задач, поэтому о нем стоит помнить.

А потому и получается так просто (нажмите play):

Пример из геометрии:

Возьмите два куба длины x и y:

Больший куб «x» можно разделить на четыре меньших прямоугольника (кубоидов), причем прямоугольник A представляет собой куб размером «y» :

Объемы этих ящиков:

• A = y ³
• B = x ² (x — y)
• C = ху (х — у)
• D = y ² (x — y)

Но вместе A, B, C и D составляют больший куб, имеющий объем x ³ :

x 3	=	y 3 + x 2 (x — y) + xy (x — y) + y 2 (x — y)
x 3 — y 3	=	x 2 (x — y) + xy (x — y) + y 2 (x — y)
x 3 — y 3	=	(x — y) (x 2 + xy + y 2 )

Привет! В итоге мы получили ту же формулу! Слава Богу.

Сумма двух кубиков

Есть еще «Сумма двух кубов»

Меняя знак b, в каждом случае получаем:

(a + b) (a ² −ab + b ² ) = a ³ + b ³

(также обратите внимание на минус перед «ab»)

Фактор разницы кубов

Фактор разницы кубов Вот шаги, необходимые для факторинга разности кубов:

Шаг 1 :	Решите, есть ли у этих двух терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим фактором или GCF.Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.
Шаг 2 :	Перепишите исходную задачу как разность двух идеальных кубов.
Шаг 3 :	Используйте следующие высказывания, чтобы написать ответ.
	а)	«Напиши то, что видишь»
	б)	«Квадрат-Умножение-Квадрат»
	в)	«То же самое, другое, конец положительному»
Шаг 4 :	Используйте эти три части, чтобы написать окончательный ответ.

Пример 1 — Коэффициент:

Шаг 1 : Решите, есть ли у этих двух терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
Шаг 2 : Перепишите исходную задачу как разность двух идеальных кубов.
Шаг 3a : «Напишите, что вы видите». Если вы не обращаете внимания на скобки и кубики на шаге 2, вы должны увидеть:
Шаг 3b : «Квадрат-Умножение-Квадрат» Если возвести в квадрат первый член, x, вы получите x 2 . Если вы умножите два члена, x и 2, вы получите 2x. Наконец, если возвести в квадрат второй член, 2, получится 4.
Шаг 3c : «То же, но разные.Положительный конец ». Это определит признаки проблемы. Первый знак должен совпадать с исходным вопросом, следующий знак должен отличаться от первого, а последний знак всегда должен быть положительным.
Шаг 4 : Напишите окончательный ответ.

Пример 2 — Коэффициент:

Шаг 1 : Решите, есть ли у этих двух терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF.Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
Шаг 2 : Перепишите исходную задачу как разность двух идеальных кубов.
Шаг 3a : «Напишите, что вы видите». Если вы не обращаете внимания на круглые скобки, кубики и 2 на шаге 2, вы должны увидеть:
Шаг 3b : «Квадрат-Умножение-Квадрат» Если возвести в квадрат первое слагаемое, 3x, вы получите 9x 2 .Если вы умножите два члена, 3x и 5, вы получите 15x. Наконец, если возвести в квадрат второй член, 5, получится 25.
Шаг 3c : «То же, но разные. Положительный конец ». Это определит признаки проблемы. Первый знак должен совпадать с исходным вопросом, следующий знак должен отличаться от первого, а последний знак всегда должен быть положительным.
Шаг 4 : Напишите окончательный ответ.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Пример 3 — Решить:

Шаг 1 : Решите, есть ли у этих двух терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
Шаг 2 : Перепишите исходную задачу как разность двух идеальных кубов.
Шаг 3a : «Напишите, что вы видите». Если вы не обращаете внимания на круглые скобки, кубики и 2 на шаге 2, вы должны увидеть:
Шаг 3b : «Квадрат-Умножение-Квадрат» Если возвести первое слагаемое в квадрат, 4x, вы получите 16x 2 . Если вы умножите два члена, 4x и 7y, вы получите 28xy. Наконец, если возвести в квадрат второй член 7y, получится 49y 2 .
Шаг 3c : «То же, но разные.Положительный конец ». Это определит признаки проблемы. Первый знак должен совпадать с исходным вопросом, следующий знак должен отличаться от первого, а последний знак всегда должен быть положительным.
Шаг 4 : Напишите окончательный ответ.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Пример 4 — Решить:

Шаг 1 : Решите, есть ли у этих двух терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF.Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть общее число 2, в результате чего получается:
Шаг 2 : Перепишите исходную задачу как разность двух идеальных кубов.
Шаг 3a : «Напишите, что вы видите». Если вы не обращаете внимания на круглые скобки, кубики и 2 на шаге 2, вы должны увидеть:
Шаг 3b : «Квадрат-Умножение-Квадрат» Если возвести первое слагаемое в квадрат, 4x, вы получите 16x 2 .Если вы умножите два члена, 4x и 7y, вы получите 28xy. Наконец, если возвести в квадрат второй член 7y, получится 49y 2 .
Шаг 3c : «То же, но разные. Положительный конец ». Это определит признаки проблемы. Первый знак должен совпадать с исходным вопросом, следующий знак должен отличаться от первого, а последний знак всегда должен быть положительным.
Шаг 4 : Напишите окончательный ответ, не забудьте 2, которые были исключены на первом шаге.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Факторинговая сумма и разница двух кубов

На уроке алгебры учитель всегда обсуждал сумму двух кубов и разность двух кубов бок о бок. Причина в том, что они похожи по структуре. Ключ в том, чтобы «запомнить» или запомнить шаблоны, используемые в формулах. 3} называется суммой двух кубов , потому что два кубических члена складываются вместе.3} называется разностью двух кубов, потому что вычитаются два кубических члена.

Итак, вот формулы, которые резюмируют, как разложить на множители сумму и разность двух кубов. Внимательно изучите их.

---

Случай 1: Сумма двух кубов

Наблюдения:

• Для случая «суммы» биномиальный множитель в правой части уравнения имеет средний знак, который равен положительным .

• В дополнение к случаю «сумма» средний знак трехчленного множителя всегда будет находиться напротив среднего знака данной задачи.Следовательно, это отрицательное значение .

---

Случай 2: Различие двух кубов

Наблюдения:

• Для случая «разницы» биномиальный коэффициент в правой части уравнения имеет средний знак, который равен отрицательным .

• Помимо случая «разницы», средний знак трехчленного множителя всегда будет противоположен среднему знаку данной задачи. Следовательно, положительный .4} г.

  Иногда может показаться, что проблема не решается суммой или разностью двух кубов. Если вы видите что-то подобное, попробуйте убрать общие факторы. Для чисел наибольший общий делитель равен 3, а для переменных наибольший общий множитель — «xy». Следовательно, общим общим фактором будет их произведение, которое равно \ left (3 \ right) \ left ({xy} \ right) = 3xy.

  После разложения вы увидите, что у нас есть простая задача о разнице двух кубов.

  ---

  Возможно, вас заинтересует:

  Факторинговая разность двух квадратов
  Факторинговая разность двух квадратов Практические задачи
  Факторинговая сумма и разность двух кубов Практические задачи

  diffcube

  diffcube

  Факторинг

  Разница кубиков

  ---

  Вернуться к факторингу

  ---

  Бином факторизуем, только если это одна из трех вещей: разность квадратов, разность кубов или сумма кубов.Бином — это разница кубов, если оба члена являются идеальными кубами. Напомним, нам, возможно, сначала придется выделить общий фактор.

  Если мы определим, что двучлен — это разность кубов, мы разложим его на двучлен и трехчлен. Бином является кубическим корнем из первого члена минус кубический корень из второго члена. Трехчлен происходит от двучлена. Возводим в квадрат первый член бинома, меняем знак на сложение, умножаем два члена вместе и возводим в квадрат второй член бинома, как в следующей формуле:
  

  A 3 — B 3 = (A — B) (A 2 + AB + B 2 )

  ---

  Разложите на множители по каждому из следующих факторов.

  1. x ³ — 27: решение

  2. 8x ⁶ — 125: решение

  3. 250x ⁴ — 128x: решение
  

  К началу

  ---

  Решение № 1

  1. x ³ — 27

  Сначала мы проверяем, что у нас есть разница в кубах
  , так как x ³ и 27 являются идеальными кубами, мы делаем
  , кубический корень x равен x, а кубический корень 27 равен 3
  , поэтому наш бином равен (x-3)
  , чтобы получить первый член трехчлена, возводим в квадрат x, получая x ²
  , чтобы получить второй член трехчлена, мы меняем знак на + и умножаем x на 3, получая + 3x
  , чтобы получить третий член трехчлена, мы возводим в квадрат 3, получая 9
  , поэтому наш трехчлен равен (x ² + 3x + 9)
  , и ответ будет (x-3) (x ² + 3x + 9 )

  
  

  Назад к проблемам

  ---

  Решение № 2

  2.8x ⁶ — 125

  Сначала проверяем, что у нас есть сумма кубиков.
  , поскольку 8x ⁶ и 125 — оба идеальные кубы, у нас есть сумма кубов.
  кубический корень из 8x ⁶ равен 2x ² , а кубический корень из 15 равен 5
  , поэтому наш бином равен (2x ² -5)
  , теперь мы используем бином для создания трехчлена
  , возводим в квадрат первый член 2x ² , чтобы получить 4x ⁴ в качестве первого члена
  , мы меняем знак с — на + и умножаем 2x ² и 5, чтобы получить + 10x ² в качестве среднего члена
  , мы возводим в квадрат второй член 5, чтобы получить 25 в качестве третьего члена
  , поэтому трехчлен будет (4x ⁴ + 10x ² + 25)
  , таким образом наш ответ будет (2x — 5) (4x ² + 10x ² + 25)

  Вернуться к проблемам

  ---

  # 3 решение

  3.250x ⁴ — 128x

  При проверке того, есть ли у нас сумма кубов, мы не видим, что ни 250x ⁴ , ни 128x не являются идеальными кубами
  Но у нас есть общий множитель, который мы должны сначала вычесть, 2x
  , это дает нам 2x ( 125x ³ — 64)
  Теперь и 125x ³ , и 64 являются идеальными кубами
  кубический корень из 125x ³ равен 5x, а кубический корень из 64 равен 4
  , поэтому наш бином равен (5x — 4)
  Теперь, чтобы получить трехчлен, мы возводим 5x в квадрат, чтобы получить 25x ² в качестве первого члена
  , мы меняем знак на + и умножаем 5x и 4, чтобы получить + 20x в качестве среднего члена
  , возводим 4 в квадрат, чтобы получить 16 в качестве третьего члена
  поэтому трехчлен будет (25x ² + 20x + 16)
  , а ответ будет 2x (5x — 4) (25x ² + 20x + 16)

  Назад к задачам

  ---

  Разница кубиков — Math Central

  Привет, Билл.

  Разница в кубах — это, конечно, идеальный куб минус идеальный куб.

  Я полагаю, у вашего ученика уже есть формула

  a ³ — b ³ = (a — b) (a ² + ab + b ² )

  Мы можем доказать это, используя полиномиальное деление.

  Сначала мы смотрим на корни a ³ — b ³ и сразу видим, что если a = b, то a ³ — b ³ = 0, поэтому (a-b) является множителем.

  Затем перепишите его: a ³ — b ³ = a ³ + 0a ² b + 0ab ² — b ³ и используйте синтетическое (или длинное) деление, чтобы найти другой множитель. Я буду использовать длинное деление:

  Вы можете сделать что-то очень похожее для суммы кубиков.

  Однако есть и геометрический способ увидеть это тоже, по крайней мере, когда a и b положительны и a> b:

  Например, скажем, a = 4 и b = 2.Вот 4 ³ -2 ³ :

  а здесь 3 ³ -2 ³ :

  Давайте сначала разберем 3 ³ — 2 ³ . Красный объект разбит на другие цвета:

  Итак, красный объект состоит из оранжевой части, которая равна 3 ² , плюс желтой части, которая имеет размер 3×2, и золотой части, которая равна 2 ² . Таким образом, исходный 3 ³ — 1 ³ равен компонентам 3 ² + 3×2 + 2 ² .Теперь, поскольку (3-2) = 1, мы можем умножить на это и ничего не менять, поэтому мы показали

  3 ³ — 2 ³ = (3-2) (3 ² + 3×2 + 2 ² )

  А как насчет того, чтобы попробовать что-то посложнее, например 5 ³ — 2 ³ ?

  У нас такая же разбивка, но всего 3 копии! Это имеет смысл, потому что (5-2) = 3.

  Итак, мы показали, что

  5 ³ — 2 ³ = (5-2) (5 ² + 5×2 + 2 ² )

  , как и предсказывала формула, и наше деление в столбик доказано алгебраически.

  Если вы внимательно посмотрите на последнюю диаграмму, вы можете рассматривать ее как ³ — b ³ и показать, что количество копий всегда (a-b), тем самым доказывая общий случай.

  Я бы посоветовал вашей ученице исследовать таким образом сумму кубов и посмотреть, сможет ли она придумать аналогичное алгебраическое и геометрическое решение.

  Cheers,
  Stephen La Rocque.

  В чем разница между кубом и кубиком?

  Куб — см. Также кубический .
  Кубический является родственным термином для куба .
  

  В контексте | geometry | lang = en термины разница между кубом и кубом

  состоит в том, что куб (геометрия) правильный многогранник с шестью идентичными квадратными гранями, а кубический — (геометрия), используемый в названиях единиц объема, образованного двойным умножением единицы длины на себя.

  Как существительные, разница между

  кубом и кубиком состоит в том, что куб (геометрия) является правильным многогранником с шестью идентичными квадратными гранями или кубом может быть шкаф, особенно один из тех, что можно найти в офисах, в то время как кубический — это (алгебраическая геометрия) кубическая кривая.

  Как глагол

  куб (арифметика) возвести в третью степень; для определения результата умножения на себя дважды.

  Как прилагательное

  кубический — это (геометрия), используемое в названиях единиц объема, образованных путем умножения единицы длины на себя дважды.

  Другие сравнения: в чем разница?

  Этимология 1 От ( этил ). Существительное ( ru имя существительное ) (геометрия) Правильный многогранник с шестью одинаковыми квадратными гранями. Любой объект более-менее в форме куба. кубик сахара запас куб (математика) Третья степень числа, значения, члена или выражения. куб из 2 — это 8 (вычисление) Структура данных, состоящая из трехмерного массива; куб данных Синонимы * правильный шестигранник ( редкий ) * ( объект в виде куба ) блок, кирпич, плашка, квадратный блок * (Число в третьей степени ) третья степень Гиперонимы * шестигранник, кубоид Глагол ( куб. ) (арифметика) Возвести в третью степень; для определения результата умножения на себя дважды. Три в кубе можно записать как 3 3 , что равно двадцати семи. Придать форму куба. Нарезать кубиками. Кубик ветчина сразу после добавления карри в рис. (Великобритания) для использования кубика Рубика. Ему нравится куб то и дело. Синонимы * ( нарезать кубиками ) кубики Связанные термины * кубический * кубический * кубовид * кубизм * кубист Производные условия * ванна-куб * бульонный кубик * свеча-куб * куб из * кубический корень * кубический стейк * кубический фургон * кубовидный * гиперкуб * кубик льда * Кубик Рубика * курносый куб * стоковый куб * кубик сахара См. Также * отрезок * квадратный * тессеракт Этимология 2 Обрезанная форма ( шкаф ) (с намеренной ссылкой на их общую форму), которая из ( этал ). Существительное ( ru имя существительное ) Кабинка, особенно в офисах. Мой коллега раздражает меня, бросая вещи через стены моего куба . Анаграммы * —-

  Английский Альтернативные формы * cubick ( устаревшее ) Прилагательное (–) (геометрия) Используется в названиях единиц объема, образованных двойным умножением единицы длины на себя.2 + к.х + д (кристаллография) Имеет три равные оси и все углы 90 °. кубическая спайность Синонимы * ( кристаллография ) изометрия, монометрия Производные условия * кубатура * кубический сантиметр, кубический сантиметр * кубическая кривая * кубическое уравнение * кубический фут * кубический дюйм * метр кубический, метр кубический * кубическая миля * кубический ярд Существительное ( ru имя существительное ) (алгебраическая геометрия) Кубическая кривая. Синонимы * кубическая кривая См. Также * куб * линейный * квадратичный * квартика * квинтик * квадратный

  sql — В чем разница между операторами cube, rollup и groupBy?

  Они не предназначены для работы таким же образом. groupBy — это просто эквивалент предложения GROUP BY в стандартном SQL. Другими словами

    table.groupBy ($ "foo", $ "bar")
    

  эквивалентно:

    ВЫБРАТЬ foo, bar, [agg-выражений] FROM table GROUP BY foo, bar
    

  cube эквивалентно расширению CUBE до GROUP BY .Он берет список столбцов и применяет агрегированные выражения к всем возможным комбинациям столбцов группировки. Допустим, у вас есть такие данные:

    val df = Seq (("foo", 1L), ("foo", 2L), ("bar", 2L), ("bar", 2L)). ToDF ("x", "y")
    

    df.show
  
  // + --- + --- +
  // | х | y |
  // + --- + --- +
  // | foo | 1 |
  // | foo | 2 |
  // | бар | 2 |
  // | бар | 2 |
  // + --- + --- +
    

  , и вы вычисляете куб (x, y) с подсчетом в качестве агрегирования:

    df.cube ($ "x", $ "y"). count.show
  
  // + ---- + ---- + ----- +
  // | х | y | count |
  // + ---- + ---- + ----- +
  // | null | 1 | 1 | <- количество записей, где y = 1
  // | null | 2 | 3 | <- количество записей, где y = 2
  // | foo | null | 2 | <- количество записей, где x = foo
  // | бар | 2 | 2 | <- количество записей, где x = bar AND y = 2
  // | foo | 1 | 1 | <- количество записей, где x = foo AND y = 1
  // | foo | 2 | 1 | <- количество записей, где x = foo AND y = 2
  // | null | null | 4 | <- общее количество записей
  // | бар | ноль | 2 | <- количество записей, где x = bar
  // + ---- + ---- + ----- +
    

  Аналогичная функция для куба - это свертка , которая вычисляет иерархические промежуточные итоги слева направо:

    df.rollup ($ "x", $ "y"). count.show
  // + ---- + ---- + ----- +
  // | х | y | count |
  // + ---- + ---- + ----- +
  // | foo | null | 2 | <- count, где x фиксируется на foo
  // | бар | 2 | 2 | <- count, где x фиксируется на баре, а y фиксируется на 2
  // | foo | 1 | 1 | ...
  // | foo | 2 | 1 | ...
  // | null | null | 4 | <- счетчик, где нет фиксированного столбца
  // | бар | ноль | 2 | <- count, где x фиксируется на баре
  // + ---- + ---- + ----- +
    

  Для сравнения давайте посмотрим на результат простой группы По :

    df.groupBy ($ "x", $ "y"). count.show
  
  // + --- + --- + ----- +
  // | х | y | count |
  // + --- + --- + ----- +
  // | foo | 1 | 1 | <- это идентично x = foo AND y = 1 в CUBE или ROLLUP
  // | foo | 2 | 1 | <- это идентично x = foo AND y = 2 в CUBE или ROLLUP
  // | бар | 2 | 2 | <- это идентично x = bar AND y = 2 в CUBE или ROLLUP
  // + --- + --- + ----- +
    

  Суммируем:

  • При использовании обычного GROUP BY каждая строка включается в соответствующую сводку только один раз.

  • С GROUP BY CUBE (..) каждая строка включается в сводку каждой комбинации уровней, которую она представляет, включая подстановочные знаки. Логически, показанное выше эквивалентно примерно этому (при условии, что мы могли бы использовать заполнители NULL ):

      ВЫБРАТЬ NULL, NULL, COUNT (*) ИЗ таблицы
    СОЮЗ ВСЕ
    ВЫБРАТЬ x, NULL, COUNT (*) ИЗ таблицы GROUP BY x
    СОЮЗ ВСЕ
    ВЫБРАТЬ NULL, y, COUNT (*) ИЗ таблицы GROUP BY y
    СОЮЗ ВСЕ
    ВЫБРАТЬ x, y, COUNT (*) ИЗ таблицы GROUP BY x, y
      

  • с GROUP BY ROLLUP (...) похож на CUBE , но работает иерархически, заполняя столбцы слева направо.

      ВЫБРАТЬ NULL, NULL, COUNT (*) ИЗ таблицы
    СОЮЗ ВСЕ
    ВЫБРАТЬ x, NULL, COUNT (*) ИЗ таблицы GROUP BY x
    СОЮЗ ВСЕ
    ВЫБРАТЬ x, y, COUNT (*) ИЗ таблицы GROUP BY x, y
      

  ROLLUP и CUBE исходят из расширений хранилищ данных, поэтому, если вы хотите лучше понять, как это работает, вы также можете проверить документацию на свою любимую RDMBS.