Круг тригонометрический тангенс: Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

 

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом? Об этом и поговорим сегодня.

 

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов  (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается  вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному  рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

 

Изучаем картинку:

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если  не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Решение:

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как .  Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит, 

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Решение:

Поэтому от точки  (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что 

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что 

Ответ:  

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это окружность с единичным радиусом и центром в начале осей координат, каждая точка которой образует треугольник с точками:

• точка в начале осей координат (точка 0;0)
  
• точка на окружности (выбрана нами)
• точка на оси X, которая является проекцией выбранной нами точки на эту ось (перпендикуляр к оси X)

Как видно, такой треугольник является прямоугольным, так как из выбранной нами точки на ось абсцисс всегда опускается перпендикуляр. То есть сторона, соединяющая начало координат и выбранную нами точку на тригонометрическом круге ( на приведенном рисунке обозначенную как B, B1. B2, B3) всегда является гипотенузой прямоугольного треугольника, проекция выбранной точки — это катет, а сторона от точки пересечения с осью X образует второй катет.

Угол, который образуется между осью абсцисс (осью X) и гипотенузой треугольника — является углом, для которого и вычисляются значения тригонометрических функций. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси X) как ноль, далее против часовой стрелки. Таким образом,

полный круг составляет 360 градусов или 2π радиан.

Чтобы вычислить значение тригонометрической функции для выбранного угла тригонометрического круга достаточно воспользоваться координатами точки, принадлежащей окружности тригонометрического круга. На приведенном выше рисунке, показано вычисление значения синуса для всех углов.

Например, sin α для треугольника OBC (где координаты точки B равны (x,y) ) ,будет равен: y / √ ( x²

+ y²) 

Свойства тригонометрического круга

Если последовательно вычислять значения тригонометрических функций для тригонометрического круга, то становится видно, что результат таких вычислений меняет свой знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга выбрана точка. При этом знак тригонометрической функции в пределах одной и той же четверти сохраняется. 

Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях в тригонометрическом круге

Преобразование углов больше 360 градусов или 2π радиан

Как видно из картинок, после того, как значение угла превысит 360 градусов (или 2π радиан), то результат вычисления значения будет тем же самым. То есть, для того, чтобы привести значение к «нормальному» — нужно вычесть из имеющегося значения 360 градусов или 2π радиан и повторять операцию столько раз, пока результат не станет меньше 360 или 2π.

 Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике | Описание курса | Радианы и градусы. Радiани i градуси 

   

Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами | Клуб любителей математики

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
• Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман

тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций

для первой четверти круга (0° – 90°)

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0				1	cos	1				0	tg	0		1	√3	–	ctg	–	√3	1		0

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом

тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет · π = π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Онлайн тренажер для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов

Простые тригонометрические тождества

Используя вышеописанные формулы:

тангенс угла выражается через отношение синуса к косинусу:

Соответственно котангенс выражается аналогично:

Также можно заметить, что произведение тангенса на котангес равно единице:

tg(a) · ctg(a) = · =

• sin(a) · cos(a)
• cos(a) · sin(a)

= 1

Иными словами, тангенс угла обратно пропорционален котангенсу угла и наоборот:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) = ; сtg(a) =

Используя теорему Пифагора в треугольнике, что сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы

r² = s² + c² = (sin(a) · r)² + (cos(a) · r)²;
r² · (sin(a)² + cos(a)²) = r²

Сократим обе части на r², получим:

sin²a + cos²a = 1

Разделив обе части на квадрат синуса или квадрат косинуса, получим еще два основных тригонометрических тождества:

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат — одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая — вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы — cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы — sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы — на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат — там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг — здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах — равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах — на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов — равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность — я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности — вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок — есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию — почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» — картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения …» Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов — именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи — в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону — синус — это вверх, в сторону — это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

Единичная окружность в тригонометрии

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

• Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
• Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
• В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
• В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

• 2π радиан = 360°
• 1 радиан = (360/2π) градусов
• 1 радиан = (180/π) градусов
• 360° = 2π радиан
• 1° = (2π/360) радиан
• 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. 2 = 1

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Для чего использовать единичную окружность

• определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла
• найти значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента
• вывести основные формулы тригонометрии
• вывести формулы приведения
• найти области определения и области значений тригонометрических функций
• определить периодичность тригонометрических функций
• определить четность и нечетность тригонометрических функций
• определить промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций
• определить промежутки знакопостоянства тригонометрических функций
• применить радианное измерение углов
• найти значения обратных тригонометрических функций
• решить простейшие тригонометрические уравнения
• решить простейшие неравенства.

синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5 ).

Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве приближенного значения косинуса малого угла α можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла α, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо?

Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде.

Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абсцисс в начале координат (рис. 6.4 ). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со скоростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо).

а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M, касающаяся в первый момент оси абсцисс.

б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения.

Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометрически, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометрический смысл.

Для этого проведем через точку с координатами (1; 0) (начало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси

Рис. 6.5. Ось тангенсов.

ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5 ). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордината точки пересечения равна tg t.

В самом деле, треугольники NOS и MP S на рис. 6.5 , очевид-

	но, подобны. Отсюда
	что и утверждалось.									или (0; −1), то пря-
	Если точка M имеет координаты (0; 1)

мая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен.

6.2. Знаки тригонометрических функций

Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс положительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на

Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.

Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис. 1):

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y , a = x , c = R, то:

y x
sin t = — , cos t = —.
R R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

tg t = y /x ,

ctg = x /y .

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

y
sin t = — = y ,
1

x
cos t = — = x .
1

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

Уравнения числовой окружности.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

	1-я четверть	2-я четверть	3-я четверть	4-я четверть

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

1 √2 √3
0; -; —; —; 1.
2 2 2

Сделайте для себя это «открытие» — и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х ), разумеется, косинусы равны модулю 1 , а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у ) синусы равны модулю 1 , а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать :

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» — впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; —; —; -; 0; – -; – —; – —; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.

Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус — получаем тангенс. Делим косинус на синус — получаем котангенс. Результаты этого деления — на рисунке.

ПРИМЕЧАНИЕ : В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.

Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.

Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.

На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.

Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у ) тангенс не существует.

Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х ) котангенс не существует.

В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:

1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.

2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.

3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.

Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.

Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см. числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.

Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.

Представим, что определенная точка М имеет значение t.

Свойство 1 :

sin (– t) = – sin t

cos (– t) = cos t

tg (– t) = – tg t

ctg (– t) = – ctg t

Пояснение . Пусть t = –60º и t = –210º.

cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º и 60º равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

cos (– t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (– t) = – sin t.

Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Свойство 2: Так как t = t + 2πk , то:

sin (t + 2π k ) = sin t

cos (t + 2π k ) = cos t

Пояснение : t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

sin (t + π ) = – sin t

cos (t + π ) = – cos t

tg (t + π ) = tg t

ctg (t + π ) = ctg t

Пояснение : Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).

Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:

–sin t
tg (t + π) = —- = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = —- = ctg t
–sin t

Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

π sin (t + — ) = cos t 2

π cos (t + -) = –sin t 2

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида	Косинусоида
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная	cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функция является возрастающей.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = ctg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функция является убывающей.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Тригонометрия: определение тригонометрических функций

В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .

Впервые с определением  синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=a/b; sin C=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего  катета к гипотенузе:

 cos A=c/b; cos C= a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A=a/c; tg C=c/a.

Эти определения тригонометрических функций  удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.

Часто  во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы  понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.

Итак.

Косинусом  угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).

 Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:

−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.

Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

sin² α+ cos² α = 1

Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).

 

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

Касательные и наклоны

Касательные и наклоны

Определение касательной

Синус и косинус — не единственные тригонометрические функции, используемые в тригонометрии. Многие другие использовались на протяжении веков, такие как гаверсины и спреды. Наиболее полезным из них является тангенс. С точки зрения диаграммы единичного круга, касательная — это длина вертикальной линии ED , касательной к окружности от точки касания E до точки D , где эта касательная пересекает луч AD , образуя угол.

Если ваш браузер поддерживает Java, вы можете перетаскивать точку B , чтобы увидеть, как синус, косинус и тангенс изменяются при изменении угла. (Дополнительную информацию об управлении фигурой см. в разделе Об апплете.)

Тангенс относительно синуса и косинуса

Поскольку два треугольника ADE и ABC подобны, имеем ED/AE = CB/AC.

Но ED = tan A, AE = 1, CB = sin A, и AC  = cos AB. Следовательно, мы получили фундаментальное тождество

Касательные и прямоугольные треугольники

Точно так же, как синус и косинус можно найти как отношение сторон прямоугольного треугольника, можно найти и тангенс.

Мы будем использовать три отношения, которые у нас уже есть. Во-первых, tan A = sin A / cos A. Секунда, sin А  =  а/с. В-третьих, cos  A  =  b/c. Разделив a/c на b/c и убрав появляющиеся c , мы заключаем, что tan A  =  a/b. Это означает, что касательная – это противолежащая сторона, деленная на прилежащую сторону:

Уклоны линий

Одна из причин, по которой касательные так важны, заключается в том, что они дают наклоны прямых линий. Рассмотрим прямую линию, проведенную в координатной плоскости x-y .

Точка B находится там, где линия пересекает ось y . Мы можем принять координаты B равными (0, b ), так что b, , называемая точкой пересечения y , указывает, насколько выше оси x лежит B . (Эти обозначения противоречат обозначению сторон треугольника a, b, и c, , поэтому не будем сейчас обозначать стороны. )

Вы можете видеть, что точка на 1 единицу правее начала координат помечена 1, и ее координаты, конечно же, (1,0).Пусть C будет точкой, где эта вертикальная линия пересекает горизонтальную линию через B. Тогда C имеет координаты (1, b ).

Точка A находится там, где вертикальная линия выше 1 пересекает исходную линию. Пусть м обозначает расстояние, на котором А выше С. Тогда А имеет координаты (1, b + м ). Это значение м называется уклоном линии.Если вы переместитесь вправо на одну единицу в любом месте по линии, то вы переместитесь вверх на м единиц.

Теперь рассмотрим угол СВА. Назовем это углом наклона . Тангенс CA/BC = м / 1 = м. Таким образом, наклон представляет собой тангенс угла наклона.

Углы возвышения и депрессии

Термин «угол места» относится к углу над горизонталью от зрителя. Если вы находитесь в точке A, и AH это горизонтальная линия, то угол возвышения точки B над горизонтом равен углу BAH. Аналогично, «угол депрессии» к точке C ниже горизонта составляет угол CAH.

Касательные часто используются для решения задач, связанных с углами возвышения и депрессии.

Опять общие углы

Мы можем расширить нашу таблицу синусов и косинусов общих углов до тангенсов.Вам не нужно запоминать всю эту информацию, если вы можете просто запомнить отношения сторон треугольника 45°-45°-90° и треугольника 30°-60°-90°. Отношения являются значениями триггерных функций.

Обратите внимание, что тангенс прямого угла указан как бесконечность. Это потому, что по мере того, как угол увеличивается до 90°, его тангенс неограниченно растет. Может быть, лучше сказать, что касательная 90 ° не определена, поскольку, используя определение окружности, луч, исходящий из начала координат под углом 90 °, никогда не пересекается с касательной.

Угол градусов градусов Cosines Sine Cosine π /2 0 1 Infinity 60 ° π /35 Π /3 1/2 √3 / 2 √3 45 ° π /4 √2 / 2 √2 / 2 1 30 ° π /6 √3 / 2 1/2 1 / √31 0 ° 0 1 0 0

Упражнения

29. В прямоугольном треугольнике a  = 30 ярдов и тангенс A  = 2. Найдите b и c.

49. cos t  = 2 tan t. Найти значение sin t.

Примечание: В следующих задачах расстояние означает расстояние по горизонтали, если не указано иное; под высотой объекта понимается его высота над горизонтальной плоскостью через точку наблюдения. Высота глаза наблюдателя не должна приниматься во внимание, если это специально не оговорено.В задачах, связанных с тенью объекта, предполагается, что тень падает на горизонтальную плоскость через основание объекта, если не указано иное.

151. Угол возвышения дерева на расстоянии 250 футов составляет 16° 13′. Найдите высоту.

152. Найти высоту колокольни на расстоянии 321 фут, угол возвышения 35° 16′.

153. С корабля угол возвышения верхней части маяка на высоте 200 футов над водой составляет 2° 20′.Найдите расстояние.

154. С вершины маяка на высоте 165 футов над водой угол депрессии корабля составляет 3° 50′. Найдите расстояние.

159. Найдите высоту башни на расстоянии 186 футов, угол возвышения 40° 44′.

160. С одной стороны ручья шест высотой 50 футов имеет с противоположной точки угол возвышения 5° 33′. Найдите ширину потока.

164. От одного холма вершина другого на 128 футов выше имеет угол возвышения 2° 40′. Найдите расстояние.

165. От одного холма до вершины другого на расстоянии 6290 футов имеет угол возвышения 4° 9′. Найдите, на сколько высота второго холма больше высоты первого.

189. Фронтон крыши имеет ширину 40 футов у основания и 26 футов от основания до конька. Под каким углом наклон стропил?

Советы

Общий совет для всех этих упражнений: сначала нарисуйте фигуру.

29. Поскольку вы знаете a и загар A, вы можете найти b. Затем можно определить c по теореме Пифагора, или с помощью синусов, или с помощью косинусов.

49. Вам понадобятся две личности. Во-первых, tan t = sin t /cos t. Во-вторых, тождество Пифагора, sin ²   t  + cos ²   t  = 1. Тогда вам нужно решить квадратное уравнение.

151. Помните, что тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащей стороне, деленной на прилежащую сторону. Вы знаете соседнюю сторону (расстояние до дерева) и угол (угол возвышения), поэтому можете использовать касательные для нахождения высоты дерева.

152. Вы знаете угол (опять же, угол возвышения) и прилежащую сторону (расстояние до шпиля), поэтому используйте касательные, чтобы найти противоположную сторону.

153. Используя угол и противоположную сторону, используйте тангенс, чтобы найти соседнюю сторону.

154. Та же подсказка, что и в 153.

159. Та же подсказка, что и в 152.

160. Та же подсказка, что и в 153.

164. Та же подсказка, что и в 153.

165. Та же подсказка, что и в 152.

189. Фронтон крыши представляет собой равнобедренный треугольник.Если провести перпендикулярную линию от хребта, то получится два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Вы знаете две стороны треугольников, поэтому можете определить угол наклона стропил с помощью арктангенса.

Ответы

29. b = a /tan A = 30/2 = 15 ярдов. c = 33,5 ярда.

49. С момента Cos T = 2 Tan T, , следовательно, COS T = 2 SIN T / COS T, SO COS ² T = 2 SIN T, и, по тождеству Пифагора вы получаете 1 – sin ²   t  = 2 sin t. Это дает вам квадратное уравнение sin ²   t  + 2 sin t  – 1 = 0. Решения: sin t  = –1 ± √2. Из этих двух решений единственно возможным является sin t  = √2 – 1.

151. Высота = 250 tan 16°13′ = 72,7′ = 72’9″.

152. Высота = 321 тангенс 35°16′ = 227 футов.

153. Расстояние = 200/тангенс 2°20′ = 4908 футов, почти миля.

154. Расстояние = 165/тангенс 3°50′ = 2462 фута, почти полмили.

159. Высота = 186 tan 40°44′ = 160 футов.

160. Расстояние = 50/тангенс 5°33′ = 515 футов.

164. Расстояние = 128/тангенс 2°40′, около 2750 футов, чуть больше полумили.

165. Высота = 6290 tan 4°9′ = 456,4 фута.

189. тангенс А = 26/20, поэтому А = 52°.

Тангенциальная функция

Касательная функция представляет собой периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

Самый простой способ понять функцию касательной — использовать единичную окружность. Для заданной угловой меры θ нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной как положительной Икс -ось. То Икс -координата точки пересечения другой стороны угла с окружностью потому что ( θ ) и у -координата грех ( θ ) .

Есть несколько значений синуса и косинуса, которые следует запомнить, основываясь на 30 ° − 60 ° − 90 ° треугольники и 45 ° − 45 ° − 90 ° треугольники. Основываясь на них, вы можете определить соответствующие значения тангенса.

грех ( θ )	потому что ( θ )	загар ( θ )
грех ( 0 ° ) знак равно 0	потому что ( 0 ° ) знак равно 1	загар ( 0 ° ) знак равно 0 1 знак равно 0
грех ( 30 ° ) знак равно 1 2	потому что ( 30 ° ) знак равно 3 2	загар ( 30 ° ) знак равно 1 2 ⋅ 2 3 знак равно 3 3
грех ( 45 ° ) знак равно 2 2	потому что ( 45 ° ) знак равно 2 2	загар ( 45 ° ) знак равно 2 2 ⋅ 2 2 знак равно 1
грех ( 60 ° ) знак равно 3 2	потому что ( 60 ° ) знак равно 1 2	загар ( 60 ° ) знак равно 3 2 ⋅ 2 1 знак равно 3
грех ( 90 ° ) знак равно 1	потому что ( 90 ° ) знак равно 0	загар ( 90 ° ) знак равно 1 0 знак равно недеф .

Обратите внимание, что:

• для углов с конечным плечом в квадранте II, поскольку синус положительный, а косинус отрицательный, тангенс отрицательный.
• для углов с конечным плечом в квадранте III, поскольку синус отрицательный, а косинус отрицательный, тангенс положительный.
• для углов с конечным плечом в квадранте IV, поскольку синус отрицательный, а косинус положительный, тангенс отрицательный.

Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции, часть между 0 и 2 π .

Для значений θ меньше, чем 0 или больше, чем 2 π можно найти значение θ с помощью опорный угол .

График функции на более широком интервале показан ниже.

Обратите внимание, что областью определения функции является вся действительная линия, а диапазон − ∞ ≤ у ≤ ∞ .

Единичный круг

 

«Единичный круг» — это круг с радиусом 1.

Будучи таким простым, это отличный способ узнать и обсудить длины и углы.

Центр находится на графике, где оси x и y пересекаются, поэтому здесь мы получаем это аккуратное расположение.

 

Синус, косинус и тангенс

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Что происходит, когда угол θ равен 0°?

cos 0° = 1, sin 0° = 0 и tan 0° = 0

Что происходит, когда θ равно 90°?

cos 90° = 0, sin 90° = 1 и тангенс 90° не определен

Попробуйте сами!

Попробуйте! Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как различные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс

../алгебра/изображения/круг-треугольник.js

«Стороны» могут быть положительными или отрицательными в соответствии с правилами декартовых координат. Это также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.

 

Также попробуйте Interactive Unit Circle.

 

Пифагор

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника квадрат длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон:

x ² + у ² = 1 ²

Но 1 ² — это всего лишь 1, поэтому:

х ² + у ² = 1
уравнение единичной окружности

Также, поскольку x=cos и y=sin, мы получаем:

(cos(θ)) ² + (sin(θ)) ² = 1
полезное «тождество»

Важные углы: 30

° , 45 ° и 60 °

Вы должны попытаться запомнить sin, cos и tan для углов 30 ° , 45 ° и 60 ° .

Да, да, запоминать что-то неприятно, но это облегчит жизнь, если вы будете знать это не только на экзаменах, но и в других случаях, когда вам нужно делать быстрые оценки и т. д.

Вот значения, которые вы должны запомнить!

Уголок	Грех	Кос	Tan=Sin/Cos
30 °	1 2	√3 2	1 √3 знак равно √3 3
45 °	√2 2	√2 2	1
60 °	√3 2	1 2	√3

Как запомнить?

Чтобы помочь вам вспомнить, грех уходит «1,2,3» :

 sin(30 ° )  =   √ 1 2   =   1 2   (поскольку √1 = 21) 900

 sin(45 ° )  =   √ 2 2

 sin(60 ° )  =   √ 3 2

 

И коснется «3,2,1»

 cos(30 ° )  =   √ 3 2

 cos(45 ° )  =   √ 2 2

 cos(60 ° )  =   √ 1 2   =   1 2

 

Всего 3 цифры

На самом деле достаточно знать 3 числа: 1 2 , √2 2 и √3 2

Потому что они работают как для cos , так и для sin :

     

Что насчет загара?

Итак, tan = sin/cos , поэтому мы можем вычислить это так:

Tan (30 °) = Грех (30 °) COS (30 ° 3 = 1/2 √3 / 2 = 1 √3 = √3 3 *

tan(45°) = sin(45°) cos(45°)  =  √2/2 √2/2 = 1 

tan(60°) = sin(60°) cos(60°) = √3/2 1/2 = √3

* Примечание: запись 1 √3 может стоить вам баллов (см. Рациональные знаменатели), поэтому вместо этого используйте √3 3

Быстрый набросок

Еще один способ запомнить значения 30° и 60° — сделать быстрый набросок:

Начертите треугольник со стороной 2
Разрезать пополам.Пифагор говорит, что новая сторона равна √3 . 1 2 + (√3) 2 = 2 2 1 + 3 = 4
Затем используйте sohcahtoa для sin, cos или tan

Пример: sin(30°)

Синус: soh cahtoa

синус противоположно деленному на гипотенузу

sin(30°) = напротив гипотенуза знак равно 1 2

 

Весь круг

Для всего круга нам нужны значения в каждом квадранте с правильным знаком плюс или минус в декартовых координатах:

 

Обратите внимание, что , потому что — первое, а sin — второе, поэтому получается (cos, sin) :

.

Сохранить как PDF

Пример: что такое cos(330°) ?

 

Сделайте такой набросок, и мы увидим, что это «длинное» значение:   √3 2

А это тот же единичный круг в радиан .

Пример: Что такое sin(7π/6) ?

 

Подумай «7π/6 = π + π/6», затем нарисуй.

Затем мы можем увидеть, что это отрицательное и является «коротким» значением: −½

 

7708, 7709, 7710, 7711, 8903, 8904, 8906, 8907, 8905, 8908

 

Сноска: откуда берутся значения?

Мы можем использовать уравнение x ² + y ² = 1, чтобы найти длины x и y (которые равны cos и sin , когда радиус равен 1 9

45 градусов

Для 45 градусов x и y равны, поэтому y=x :

х ² + х ² = 1

2x ² = 1

х ² = ½

х = у = √(½)

60 градусов

Возьмем равносторонний треугольник (все стороны равны и все углы равны 60°) и разделим его посередине.

Сторона «x» теперь равна ½ ,

И сторона «у»:

(½) ² + у ² = 1

¼ + у ² = 1

г ² = 1-¼ = ¾

г = √(¾)

30 градусов

30 ° равно 60 ° с перестановкой x и y, поэтому x = √(¾) и y = ½

А:

√1/2 = √2/4 = √2 √4 = √2 2

Также:

√3/4 = √3 √4 = √3 2

И вот результат (такой же, как и раньше):

Уголок	Грех	Кос	Tan=Sin/Cos
30 °	1 2	√3 2	1 √3 знак равно √3 3
45 °	√2 2	√2 2	1
60 °	√3 2	1 2	√3

 

Понимание единичного круга | StudyPug

Что такое единичный круг?

В мире исчисления, предварительного исчисления и тригонометрии вы часто будете встречать упоминания и проблемы, связанные с «единичным кругом». » Но, как ни странно, нас редко учат, что это такое!

Проще говоря, единичный круг — это математический инструмент, облегчающий использование углов и тригонометрических функций. Понимая и запоминая «единичный круг», мы можем легко справиться с трудными вычислениями и сделать нашу жизнь намного проще.

Единичный круг в своей простейшей форме на самом деле именно то, на что он похож: круг на декартовой плоскости с радиусом ровно 1unit1 unit1unit.Как этот пустой круг единиц ниже:

Пустой единичный круг с радиусом 1

Далее, заполнив этот единичный круг часто используемыми углами и вычислив эти углы с помощью синуса и косинуса, мы получим нечто немного более сложное:

Синус и косинус оценили углы единичной окружности

Испугался? Не будь. Этот образ может показаться пугающим, но когда мы разбиваем его на более связные части, начинают проявляться закономерности.

Unit Circle со всеми 6 триггерными функциями Таблица:

Вместо того, чтобы ссылаться на это пугающее изображение выше, давайте упростим единичный круг с помощью sin⁡cos⁡tan⁡sec⁡csc⁡\sin \cos \tan \sec \cscsincostanseccsc и cot⁡\cotcot на красивой маленькой диаграмме:

Диаграмма упрощенного единичного круга с sin cos tan sec csc и кроваткой

В приведенной выше таблице единичных окружностей приведены все значения единичных окружностей для всех 4 квадрантов единичных окружностей. Как видите, в списке указаны градусы единичной окружности и радианы единичной окружности. Вы должны знать и то, и другое, но, скорее всего, вы будете решать задачи в радианах. Теперь следующий естественный вопрос: как я могу запомнить единичный круг?

Как запомнить единичный круг:

Запомнить единичный круг на самом деле намного проще, чем вы думаете, благодаря паре маленьких хитростей:

Трюк 1:

Из-за следующих 4 уравнений нам нужно запомнить только значения единичной окружности для синуса и косинуса.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\ cos \ theta}, \ cot \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}, \ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}, \ csc \ theta = \ frac { 1}{\sin \theta}tanθ=cosθsinθ​, cotθ=sinθcosθ​, secθ=cosθ1​, cscθ=sinθ1​

С этими 4 уравнениями нам даже не нужно запоминать единичную окружность с касательной!

Трюк 2:

Зная, в каких квадрантах x и y положительны, нам нужно только запомнить значения единичного круга для синуса и косинуса в первом квадранте, так как значения меняют только свой знак. Чтобы использовать этот трюк, нам нужно сначала понять несколько вещей:

i) Прежде всего важно отметить, какие значения дают нам синус и косинус на единичной окружности. Из-за SOHCATOA мы знаем это:

sin⁡θ\sin\thetasinθ дает нам координату Y, а cos⁡θ\cos \thetacosθ дает нам координату X

ii) Теперь рассмотрим каждый квадрант:

Квадрант 1 : X положительный, Y положительный

Квадрант 2 : X отрицательный, Y положительный

Квадрант 3 : X — отрицательный, Y — отрицательный

Квадрант 4 : X положительный, Y отрицательный

iii) Далее, глядя на расположение каждого квадранта:

Квадрант 1 : 0 – π2\frac{\pi}{2}2π

Квадрант 2 : π2−π\frac{\pi}{2} — \pi2π−π

Квадрант 3 : π\piπ – 3π2\frac{3\pi}{2}23π​

Квадрант 4 : 3π2−2π\frac{3\pi}{2} — 2\pi23π​−2π

iv) Значение синуса и косинуса всегда будет «одинаковым» для одного и того же знаменателя:

sin⁡π3=32andsin⁡4π3=−32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} и \sin\frac{4\pi}{3} = -\ frac{\sqrt{3}}{2}sin3π=23иsin34π=-23​​

Зная эти уловки, процесс запоминания единичного круга становится намного проще!

Как использовать единичный круг:

Лучший способ привыкнуть к единичному кругу — попрактиковаться в единичном круге.

Пример 1:

Найти sin⁡4π3\sin \frac{4\pi}{3}sin34π​

Шаг 1. Определение квадранта

Поскольку мы имеем дело с синусоидой, которую мы в конечном итоге заучим, все, что нам нужно сделать, это выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы мы знали, будет ли наш ответ положительным или отрицательным.

Так как:

3π2>4π3>π\frac{3\pi}{2} > \frac{4\pi}{3} > \pi23π​>34π​>π

Таким образом, мы находимся в третьем квадранте.Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся в третьем квадранте, наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решите

Следующий шаг прост – используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.

sin⁡4π3\sin\frac{4\pi}{3}sin34π = -32\frac{\sqrt{3}}{2}23​​

Пример 2:

Найти tan⁡π\tan\pitanπ

Шаг 1. Определение квадранта

Поскольку мы имеем дело с единичным кругом с тангенсом, нам нужно будет использовать значения, которые мы запомнили из синуса и косинуса, а затем решить. Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будут ли наши ответы для синуса и косинуса положительными или отрицательными.

Так как:

3π2>π>π2\frac{3\pi}{2} > \pi > \frac{\pi}{2}23π​>π>2π​

Таким образом, мы находимся между вторым и третьим квадрантом по оси X. Поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся на оси x, наш ответ фактически будет равен нулю! Кроме того, поскольку косинус дает нам координату x, и мы находимся между вторым и третьим квадрантом (где косинус отрицателен для обоих), наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решите

Следующий шаг прост – используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но в этом случае нам нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для тангенса, обсуждавшееся ранее в трюке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения тангенса на единичной окружности.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=0−1=0\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0}{-1} = 0tanθ=cosθsinθ= −10​=0

Пример 3:

Найти csc⁡π6\csc \frac{\pi}{6}csc6π

Шаг 1. Определение квадранта

Поскольку мы имеем дело с косекансом, важно понимать, что нам нужно будет использовать значения синуса для решения уравнения для косеканса, которое обсуждалось ранее в трюк 1 .Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ для синуса положительным или отрицательным.

Поскольку:

π2>π6>0\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{6} > 02π​>6π​>0

Таким образом, мы находимся в первом квадранте. Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в первом квадранте, наш ответ будет положительным!

Шаг 2: Решите

Следующий шаг прост – используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но и в этом случае нам снова нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для косеканса, обсуждавшееся ранее в трюк 1 , предполагая, что мы не запомнили значения косеканса на единичном круге.

csc ⁡ π6 = 1sin ⁡ π6 = 10,5 = 2 \ csc \ frac {\ pi} {6} = \ frac {1} {\ sin \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {1} {0,5} = 2csc6π​=sin6π​1​=0,51​=2

Теперь, когда мы попрактиковались, сделайте еще немного самостоятельно! В кратчайшие сроки вы будете готовы к любой предстоящей викторине по кругу юнитов.

Построение касательной от единичной окружности — видео и расшифровка урока

Дополнительная практика — построение графика касательной функции

В следующих примерах учащиеся будут применять полученные знания о построении графика функции тангенса с использованием единичного круга для построения графика измененной функции тангенса.Учащиеся начертят отраженную функцию касательной, функцию касания с вертикальным сдвигом и функцию касания с вертикальным растяжением, используя единичную окружность.

Практические задачи

1. Используйте единичный круг для построения графика y = -tan( x ).

2. Используйте единичный круг для построения графика y = tan( x ) + 1

3. Используйте единичный круг для построения графика y = 2*tan( x )

Решения

Во всех задачах мы будем использовать единичный круг и таблицу значений касательной, использованную в уроке.

1. Так, например, у нас будет для x = 45 градусов результат y = -1, а для x = 135 градусов у нас будет результат y = 1. Любые исходные результаты 0 остаются 0 при умножении на -1, а любые исходные неопределенные выходы остаются неопределенными.Построив эти новые точки и соединив их, следуя асимптотам, мы получим

2. Полученные значения для графика y = tan( x ) + 1, мы можем использовать диаграмму, созданную с помощью единичный круг и добавить 1 к выходу. Так, например, у нас будет для x = 45 градусов выход y = 2, а для x = 135 градусов мы получим результат y = 0. Любые исходные выходы 0 станет 1, и любые исходные неопределенные выходы останутся неопределенными.Нанеся эти новые точки и соединив их, следуя асимптотам, мы получим

единичный круг и умножить результат на 2. Так, например, для x = 45 градусов выход y = 2, а для x = 135 градусов выход г = -2. Любые исходные выходы 0 останутся 0, а любые исходные неопределенные выходы останутся неопределенными.Построив эти новые точки и соединив их, следуя асимптотам, мы получим

Функция касательной

На этой странице мы рассмотрим последнюю из трех основных тригонометрических функций ( синус , косинус и тангенс ). История функции тангенса несколько отличается от функций синуса и косинуса. В то время как синус и косинус возникли из-за необходимости производить астрономические расчеты, тангенс возник больше из таких вещей, как необходимость расчета высоты зданий.Считается, что в шестом веке до нашей эры греческий философ Фалес посетил Египет, где узнал о египетских методах расчета высоты и расстояния путем измерения длины теней. Говорят, что он измерил высоту пирамиды, например, измерив длину тени пирамиды (измеряемой от центра пирамиды) в то же время дня, когда длина его собственной тени была равна его росту. .

Идея использования длины теней как для измерения высоты физических объектов, так и для обозначения времени использовалась на протяжении тысячелетий египетской и вавилонской цивилизациями.Инструмент, использовавшийся для выполнения таких измерений, назывался теневой стержень или гномон , одну из форм которого до сих пор можно рассматривать как вертикальный компонент солнечных часов. Фалес понял, что по мере того, как солнце движется по небу, соотношение между длиной тени объекта и его высотой будет одинаковым для всех объектов. Однако взаимосвязь между высотой объекта, длиной тени объекта и углом возвышения солнца в небе, по-видимому, не была выражена в терминах тригонометрической функции гораздо позже.

К середине девятого века нашей эры арабские ученые усвоили большую часть астрономических и математических знаний древнего мира. Они были знакомы со всеми шестью современными тригонометрическими функциями и составили точные тригонометрические таблицы, включая таблицы тангенсов и котангенсов, которые они назвали таблицами теней . Действительно, термин «тангенс» не появлялся до конца шестнадцатого века н. э., когда его использовал датский математик и физик Томас Финке в своей книге Geometriae Rotundi .До этого тангенс и котангенс были известны под своими латинскими названиями umbra recta и umbra versa , что означает прямая тень (горизонтальная тень, отбрасываемая вертикальным гномоном) и повернутая тень (вертикальная тень, отбрасываемая гномоном, прикрепленным к стене) соответственно.

Касательная функция связана с касательной . Касательная – это прямая линия, которая касается кривой в одной точке.В точке, где касательная касается кривой, мы можем сказать, что касательная «идет в том же направлении», что и кривая в этой точке. Точнее говоря, касательная имеет тот же наклон , что и кривая в точке контакта. На приведенном ниже снимке экрана показана касательная для единичного круга в точке, где отрезок OP пересекает окружность круга. Отрезок OP является радиусом окружности, а также гипотенузой прямоугольного треугольника OPE.Отрезки EP и EO являются противоположными и смежными сторонами прямоугольного треугольника относительно угла θ . Поскольку диаметр единичной окружности равен одной единице , длины отрезков EP и EO также равны по значению синусу и косинусу соответственно.

Касательная касается единичной окружности в точке P.

Обратите внимание, что касательная перпендикулярна гипотенузе прямоугольного треугольника.Функция тангенса, как и функции синуса и косинуса, представляет собой отношение двух сторон прямоугольного треугольника. Он также представлен отрезком линии, связанным с единичным кругом. Однако, в отличие от синуса и косинуса, длина рассматриваемого отрезка не ограничивается значениями от нуля до единицы. Как видно из приведенного выше рисунка, касательная представлена ​​отрезком, соединяющим точку P (точка на окружности, чьи координаты x и y представляют значения косинуса и синуса соответственно) и точки F (точка пересечения касательной с осью x ).

Щелкните здесь , чтобы увидеть интерактивную демонстрацию, в которой используется единичный круг, чтобы показать, как синус, косинус и тангенс связаны друг с другом (примечание: ваш браузер должен поддерживать Java, чтобы интерактивная страница работала). Из демонстрации вы увидите, если вы еще не сделали вывод, что по мере того, как значение угла θ приближается к девяноста градусам (90°), длина отрезка PF будет стремиться к бесконечности.Вы также увидите, что то же самое происходит, когда значение угла θ приближается к двумстам семидесяти градусам (270°). Вскоре мы вернемся к последствиям этого факта. Между тем, рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный ниже.

В треугольнике ABC тангенс ( θ  ) = a / b

В треугольнике ABC нас интересует угол θ .Мы использовали соглашение о маркировке каждой вершины символом верхнего регистра, а сторону, противоположную каждой вершине, — соответствующим символом нижнего регистра. Противоположная по отношению к углу θ сторона a . Прилегающая сторона — это сторона b , а гипотенуза — сторона c . Тангенс угла прямоугольного треугольника определяется как частное длин , противоположных , и , примыкающих к . Таким образом, в треугольнике ABC тангенс угла θ задается как:

Если вы читали страницы, озаглавленные «Функция синуса» и «Функция косинуса» (или, может быть, даже если не читали), вы знаете, что стороны прямоугольного треугольника можно пометить в соответствии с тем, как в которые они относятся к интересующему нас острому углу, и хитрость состоит в том, чтобы запомнить , какие сторон использовать для вычисления значения любой тригонометрической функции, которую мы хотим найти. Вот еще раз (относительно) легко запоминающаяся мнемоника SOH-CAH-TOA , которая должна напомнить вам, что:

S S INE = O PPSOTE H YPOTENUSE C Osine = C Osine = A Djacent более H YPOTENUSE

T Angent = o pposite на A Djacent

Глядя на приведенные выше определения и помня, что гипотенуза всегда является самой длинной стороной в любом прямоугольном треугольнике, должно быть самоочевидно, что значения синуса и косинуса для прямоугольного треугольника, определенного с использованием декартовых координат, всегда будут находиться в пределах диапазон минус один от до один (от -1 до 1).Фактически, значения синуса и косинуса могут быть определены в терминах координат y и x соответственно точки P на окружности единичного круга. С другой стороны, тангенс определяется как частное этих значений:

Поскольку координаты y и x представляют синус и косинус соответственно, мы также можем заключить, что:

Tan ( θ ) =	SIN ( θ )
	COS ( θ )

Опять же, с точки зрения единичной окружности, гипотенуза прямоугольного треугольника — это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой P.Если мы рассмотрим отрезки линии, представляющие функции косинуса и синуса, как пробега и подъема соответственно для сегмента линии, соединяющего центр окружности и точку P, то значение, возвращаемое функцией тангенса для угла θ представляет наклон сегмента линии (т.е. наклон гипотенузы). Для тех, кто интересуется такими вещами, мы использовали Microsoft Excel для создания собственной таблицы значений тангенса для углов в диапазоне от ноль градусов (0°) до триста шестьдесят градусов (360°) с приращением одна десятая градуса. Чтобы увидеть таблицу, нажмите здесь .

Если вы изучите таблицу, то увидите, что существует значительный диапазон углов от нуля до девяноста градусов, для которых значение, возвращаемое функцией тангенса (т. е. наклон гипотенузы), изменяется относительно медленно. Когда размер угла θ приближается к нулю градусов (0°), значение, возвращаемое функцией тангенса, стремится к нулю. Действительно, когда угол θ достигает нуля градусов, и наклон гипотенузы, и значение тангенса ( θ  ) будут равны нулю.Однако, когда значение угла θ приближается к девяноста градусам (90°), значение, возвращаемое функцией тангенса, быстро стремится к бесконечности. Этого и следовало ожидать, так как значение cos ( θ  ) будет стремиться к нулю. На самом деле значение, возвращаемое функцией тангенса для угла в девяносто градусов, считается равным undefined , поскольку уравнение tan ( θ  ) = ^{sin ( θ  )} / _{cos ( θ   )} будет включать деление на ноль. То же верно и для угла двести семьдесят градусов (270°). На самом деле, это будет применяться к любому углу, для которого значение косинуса равно нулю. Точно так же всякий раз, когда значение sin ( θ  ) равно нулю, значение tan( θ  ) также будет равно нулю. Приведем здесь график функции тангенса для углов от нуля до семьсот двадцать градусов (720°):

График функции тангенса для углов в диапазоне от 0° до 720°

Вертикальные красные линии на графике — это асимптот .Асимптота кривой — это такая линия, что при приближении расстояния между кривой и прямой к нулю значение кривой стремится к бесконечности. В этом случае асимптотами можно считать «пробелы» на графике, где значение тангенса ( θ  ) не определено. Обратите также внимание на то, что по мере того, как график пересекает асимптоту, значение тангенса загара ( θ  ) изменяется от максимального () положительного значения () до максимального () отрицательного значения (). Вы также можете увидеть, как различаются значения по обе стороны от асимптоты, изучив таблицу значений тангенса.Последнее, что следует здесь отметить, это то, что, как и функции синуса и косинуса, функция тангенса также является периодической. Однако, в отличие от функций синуса и косинуса, период функции тангенса составляет сто восемьдесят градусов (180°), а не триста шестьдесят градусов (360°).

К счастью, больше нет необходимости использовать таблицы или логарифмическую линейку для нахождения тангенса угла (или угла, соответствующего заданному значению тангенса), так как любой современный научный калькулятор может сделать это за нас.Найти тангенс угла с помощью встроенного калькулятора, предусмотренного в Microsoft Windows , относительно просто. Предположим, мы хотим найти тангенс угла 90 712 на тридцать пять градусов 90 713 (35°). Вы можете найти встроенный калькулятор Microsoft Windows, нажав кнопку «Пуск» в Windows 7 и выбрав «Все программы»> «Стандартные»> «Калькулятор» (в других версиях Windows может потребоваться другая последовательность нажатий клавиш). Научную версию калькулятора можно выбрать в меню приложения View .Чтобы найти тангенс 35 градусов с помощью калькулятора Windows, введите следующие нажатия клавиш (если у вас нет калькулятора Windows, используйте любой доступный калькулятор, который может выполнять триггерные функции):

Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти тангенс угла 35°.

Кстати, убедитесь, что калькулятор настроен на режим градусов (если только вы не планируете вводить значение угла в радианах или градах).Если вы правильно ввели нажатия клавиш, вы должны увидеть следующий экран:

Калькулятор отображает значение тангенса (35° )

Предположим, что вы хотите найти размер острого угла в прямоугольном треугольнике, сначала найдя частное противоположного и прилежащего (т. е. тангенс угла). Если у вас есть значения длин сторон треугольника, вы можете достаточно легко найти значение тангенса угла.Нахождение угла — это просто случай применения к результату функции арктангенса (которая является обратной функции тангенса). Найдем значение угла θ для прямоугольного треугольника, показанного ниже.

Мы хотим найти величину угла θ

Для угла θ стороны a и b являются противоположными и смежными соответственно.На самом деле мы можем найти размер угла за одну операцию на калькуляторе Windows. Мы делаем это, используя скобки во введенной последовательности клавиш, чтобы заставить калькулятор сначала найти частное противоположного и прилежащего (т.е. тангенс угла). Затем мы применяем функцию арктангенса к результату. Вот последовательность клавиш для использования:

Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти размер угла θ

Если вы правильно ввели комбинации клавиш, вы должны увидеть следующий экран:

Калькулятор отображает значение угла θ

Три основные тригонометрические функции ( синус , косинус и тангенс ) обычно изучаются в порядке, указанном здесь. Если вы прочитали страницы этого раздела по порядку, надеюсь, теперь вы достаточно знакомы со всеми тремя. Поэтому в этот момент, вероятно, стоит посмотреть, как знак значений, возвращаемых каждой из этих тригонометрических функций, изменяется по отношению к квадрантам единичного круга . Иллюстрация ниже должна помочь прояснить ситуацию.

Квадранты единичного круга

Помня, что значения, возвращаемые функциями косинуса и синуса, будут равны координатам x и y соответственно точки на окружности, и что значение, возвращаемое функцией тангенса, будет частным синуса и косинуса, то в квадранте I все три тригонометрические функции вернут положительные значения, потому что x и y будут положительными.В квадранте II , y все еще положительны, но x будут отрицательными, поэтому только функция синуса вернет положительное значение. В квадранте III и x , и y отрицательны, поэтому функции синуса и косинуса будут возвращать отрицательные значения. Только функция тангенса (как частное двух отрицательных значений) вернет положительное значение. В Quadrant IV , x является положительным, но y по-прежнему отрицательным, поэтому функции синуса и тангенса вернут отрицательные значения, и только функция косинуса вернет положительное значение.

Для полноты остается лишь упомянуть тот факт, что функция тангенса, подобно функциям синуса и косинуса, может быть представлена ​​в виде бесконечного ряда . Значение, возвращаемое тригонометрической функцией для заданного угла, не может быть вычислено с помощью простой алгебраической формулы. Для большинства углов точное значение можно получить только как сумму бесконечного числа слагаемых, чего, очевидно, достичь невозможно. Достаточно точное приближение значения находится с использованием суммы ограниченного числа членов из бесконечного ряда функции. Чем больше число включенных терминов, тем выше точность результата. Количество используемых терминов будет зависеть от точности, необходимой для данного приложения, и от доступных вычислительных ресурсов. Бесконечный ряд, часто приводимый в учебниках по тригонометрии для функции тангенса, для значений x (в радианах) менее ^π / ₂ (девяносто градусов), выглядит следующим образом:

Tan ( x ) =	1		3 3 +	2	x 5 +	17	x 7 +	62	92	x 9 + · · · ·
	3		15			315		2835

Устройство круга | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Когда вы работаете с углами во всех четырех квадрантах, тригонометрические отношения для этих углов вычисляются с точки зрения значений x , y и r , где r — это радиус круга, который соответствует к гипотенузе прямоугольного треугольника для вашего угла. На рисунке ниже угол заканчивается во втором квадранте, как показано диагональной линией:

.

MathHelp.com

Любые два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при основании θ («тета», произносится ТАЙ-тух) будут подобны в техническом смысле, поскольку их стороны пропорциональны.Это сходство более очевидно, когда треугольники вложены друг в друга:

Сходство (и, следовательно, пропорциональность) означает, что коэффициенты триггеров для двух вложенных треугольников, показанных выше, будут одинаковыми, как вы можете видеть из приведенных ниже вычислений для каждого из двух приведенных выше треугольников:

 

Отношения триггеров для одного и того же размера угла θ одинаковы (как вы можете видеть выше), даже несмотря на то, что конкретные числа из наборов сторон двух треугольников различны. Это подчеркивает, что для тригонометрических соотношений важен угол θ, а не конкретный треугольник, из которого вы получили этот угол.

Чтобы упростить вычисления, математики любят вписывать треугольник угла в окружность с радиусом r = 1. Поскольку число 1 в математике называется «единицей», окружность с радиусом длины 1 называется «единичной окружностью». «. Раз гипотенуза имеет фиксированную длину r = 1, то значения триггерных отношений будут зависеть только от х и y , так как умножение или деление на r = 1 ничего не изменит.Имеют значение только значения x и y .

---

Единичный круг

Смысл единичного круга в том, что он делает другие части математики проще и аккуратнее. Например, в единичном круге для любого угла θ тригонометрические значения для синуса и косинуса явно не более чем sin (θ) = y и cos (θ) = x . Исходя из этого, вы можете принять тот факт, что тангенс определяется как тангенс (θ) = y / x , а затем заменить x и y , чтобы легко доказать, что значение tan (θ) также должен быть равен отношению sin (θ)/ cos (θ).

Еще одна вещь, которую вы можете увидеть из единичного круга, это то, что значения синуса и косинуса никогда не будут больше 1 или меньше –1, поскольку x и y никогда не принимают значений за пределами этого интервала.Кроме того, поскольку тангенс включает в себя деление на x и поскольку x = 0, когда вы проходите одну четвертую и три четверти пути по окружности (то есть, когда вы находитесь на 90° и на 270° ), тангенс не будет определен для этих мер угла.

Определенные углы имеют «хорошие» триггерные значения. Эти углы в первом квадранте (являющиеся «опорными» углами) составляют 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. (Строго говоря, 0° и 90° не находятся «в» каком-либо квадранте, но мы будем работать с ними, как если бы они находились в первом квадранте.Так проще.) Так что вы, вероятно, должны были запомнить значения триггерной функции для этих углов. Вероятно, теперь у вас также будет круг с отмеченными углами. В первом квадранте имеем следующее:

(Возможно, вы заметили радикалы перед единицами в приведенном выше тексте. Да, они упрощаются до 1, так что вы тоже можете писать так, и вы, безусловно, должны сделать упрощение в своем окончательном ответе.Но обратите внимание, что все знаменатели равны двойкам, а числители увеличиваются или уменьшаются, 1, 2, 3. Это может быть полезно для запоминания значений триггера.)

Вам может быть дан полный единичный круг со значениями углов в трех других квадрантах. Но вам нужно только знать значения в первом квадранте. Как только вы их узнаете и поскольку значения повторяются (кроме знака) в других квадрантах, вы знаете все, что вам нужно знать о единичном круге.

---

• Подтвердите, что точка (15/113, –112/113) является точкой на единичной окружности. Найдите синус и котангенс угла А, имеющего эту точку на концевой стороне.

Любая точка единичной окружности будет находиться на расстоянии одной единицы от центра; это определение единичного круга. Чтобы «подтвердить», что точка, которую они мне дали, является точкой на единичной окружности, я могу применить теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса прямоугольного треугольника, образованного падением перпендикуляра от оси x вниз. к точке.Мой перпендикуляр — это ярко-синяя пунктирная линия:

.

Если теорема Пифагора дает мне значение радиуса 1, то я «подтверждаю», что точка находится на единичной окружности.

Тогда длина третьей стороны прямоугольного треугольника, которая также является длиной радиуса окружности, равна 1. Таким образом, эта точка действительно находится на единичной окружности.

Теперь они хотят, чтобы я нашел синус и котангенс основного угла.Синус — это значение y . (Мне не нужно беспокоиться о гипотенузе, потому что она всегда равна 1 в единичной окружности.) Таким образом, синус основного угла:

Котангенс является обратной величиной тангенса. Тангенс — это «противоположное относительно соседнего» или, в данном контексте, « y на x ». Тогда котангенс является обратной величиной:

раскладушка(А) = 15/(–112) = –15/112

В первой части этого упражнения я ответил, что радиус равен 1.Остальная часть моего ответа:

sin(A) = –112

раскладушка(А) = –15/112

---

URL: https://www.