Косинус равен 2: Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Содержание

Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Версия для печати.

cos(0°)=cos(360°)=1; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.

Углы
1° — 90°

Углы
91 ° — 180°

Углы
181° — 270°

Углы
271 ° — 360°

Угол	Cos
1°	cos= 0. 9998
2°	cos= 0.9994
3°	cos= 0.9986
4°	cos= 0.9976
5°	cos= 0.9962
6°	cos= 0.9945
7°	cos= 0.9925
8°	cos= 0.9903
9°	cos= 0.9877
10°	cos= 0.9848
11°	cos= 0.9816
12°	cos= 0. 9781
13°	cos= 0.9744
14°	cos= 0.9703
15°	cos= 0.9659
16°	cos= 0.9613
17°	cos= 0.9563
18°	cos= 0.9511
19°	cos= 0.9455
20°	cos= 0.9397
21°	cos= 0.9336
22°	cos= 0.9272
23°	cos= 0. 9205
24°	cos= 0.9135
25°	cos= 0.9063
26°	cos= 0.8988
27°	cos= 0.891
28°	cos= 0.8829
29°	cos= 0.8746
30°	cos= 0.866
31°	cos= 0.8572
32°	cos= 0.848
33°	cos= 0.8387
34°	cos= 0. 829
35°	cos= 0.8192
36°	cos= 0.809
37°	cos= 0.7986
38°	cos= 0.788
39°	cos= 0.7771
40°	cos= 0.766
41°	cos= 0.7547
42°	cos= 0.7431
43°	cos= 0.7314
44°	cos= 0.7193
45°	cos= 0. 7071
46°	cos= 0.6947
47°	cos= 0.682
48°	cos= 0.6691
49°	cos= 0.6561
50°	cos= 0.6428
51°	cos= 0.6293
52°	cos= 0.6157
53°	cos= 0.6018
54°	cos= 0.5878
55°	cos= 0.5736
56°	cos= 0. 5592
57°	cos= 0.5446
58°	cos= 0.5299
59°	cos= 0.515
60°	cos= 0.5
61°	cos= 0.4848
62°	cos= 0.4695
63°	cos= 0.454
64°	cos= 0.4384
65°	cos= 0.4226
66°	cos= 0.4067
67°	cos= 0. 3907
68°	cos= 0.3746
69°	cos= 0.3584
70°	cos= 0.342
71°	cos= 0.3256
72°	cos= 0.309
73°	cos= 0.2924
74°	cos= 0.2756
75°	cos= 0.2588
76°	cos= 0.2419
77°	cos= 0.225
78°	cos= 0. 2079
79°	cos= 0.1908
80°	cos= 0.1736
81°	cos= 0.1564
82°	cos= 0.1392
83°	cos= 0.1219
84°	cos= 0.1045
85°	cos= 0.0872
86°	cos= 0.0698
87°	cos= 0.0523
88°	cos= 0.0349
89°	cos= 0. 0175
90°	cos= 0

Угол	Cos
91°	cos= -0.0175
92°	cos= -0.0349
93°	cos= -0.0523
94°	cos= -0.0698
95°	cos= -0.0872
96°	cos= -0.1045
97°	cos= -0. 1219
98°	cos= -0.1392
99°	cos= -0.1564
100°	cos= -0.1736
101°	cos= -0.1908
102°	cos= -0.2079
103°	cos= -0.225
104°	cos= -0.2419
105°	cos= -0.2588
106°	cos= -0.2756
107°	cos= -0. 2924
108°	cos= -0.309
109°	cos= -0.3256
110°	cos= -0.342
111°	cos= -0.3584
112°	cos= -0.3746
113°	cos= -0.3907
114°	cos= -0.4067
115°	cos= -0.4226
116°	cos= -0.4384
117°	cos= -0. 454
118°	cos= -0.4695
119°	cos= -0.4848
120°	cos= -0.5
121°	cos= -0.515
122°	cos= -0.5299
123°	cos= -0.5446
124°	cos= -0.5592
125°	cos= -0.5736
126°	cos= -0.5878
127°	cos= -0. 6018
128°	cos= -0.6157
129°	cos= -0.6293
130°	cos= -0.6428
131°	cos= -0.6561
132°	cos= -0.6691
133°	cos= -0.682
134°	cos= -0.6947
135°	cos= -0.7071
136°	cos= -0.7193
137°	cos= -0. 7314
138°	cos= -0.7431
139°	cos= -0.7547
140°	cos= -0.766
141°	cos= -0.7771
142°	cos= -0.788
143°	cos= -0.7986
144°	cos= -0.809
145°	cos= -0.8192
146°	cos= -0.829
147°	cos= -0. 8387
148°	cos= -0.848
149°	cos= -0.8572
150°	cos= -0.866
151°	cos= -0.8746
152°	cos= -0.8829
153°	cos= -0.891
154°	cos= -0.8988
155°	cos= -0.9063
156°	cos= -0.9135
157°	cos= -0. 9205
158°	cos= -0.9272
159°	cos= -0.9336
160°	cos= -0.9397
161°	cos= -0.9455
162°	cos= -0.9511
163°	cos= -0.9563
164°	cos= -0.9613
165°	cos= -0.9659
166°	cos= -0.9703
167°	cos= -0. 9744
168°	cos= -0.9781
169°	cos= -0.9816
170°	cos= -0.9848
171°	cos= -0.9877
172°	cos= -0.9903
173°	cos= -0.9925
174°	cos= -0.9945
175°	cos= -0.9962
176°	cos= -0.9976
177°	cos= -0. 9986
178°	cos= -0.9994
179°	cos= -0.9998
180°	cos= -1

Угол	Cos
181°	cos=-0.9998
182°	cos=-0.9994
183°	cos=-0.9986
184°	cos=-0.9976
185°	cos=-0. 9962
186°	cos=-0.9945
187°	cos=-0.9925
188°	cos=-0.9903
189°	cos=-0.9877
190°	cos=-0.9848
191°	cos=-0.9816
192°	cos=-0.9781
193°	cos=-0.9744
194°	cos=-0.9703
195°	cos=-0.9659
196°	cos=-0.9613
197°	cos=-0.9563
198°	cos=-0.9511
199°	cos=-0.9455
200°	cos=-0.9397
201°	cos=-0.9336
202°	cos=-0.9272
203°	cos=-0.9205
204°	cos=-0.9135
205°	cos=-0.9063
206°	cos=-0.8988
207°	cos=-0.891
208°	cos=-0.8829
209°	cos=-0.8746
210°	cos=-0.866
211°	cos=-0.8572
212°	cos=-0.848
213°	cos=-0.8387
214°	cos=-0.829
215°	cos=-0.8192
216°	cos=-0.809
217°	cos=-0.7986
218°	cos=-0.788
219°	cos=-0.7771
220°	cos=-0.766
221°	cos=-0.7547
222°	cos=-0.7431
223°	cos=-0.7314
224°	cos=-0.7193
225°	cos=-0.7071
226°	cos=-0.6947
227°	cos=-0.682
228°	cos=-0.6691
229°	cos=-0.6561
230°	cos=-0.6428
231°	cos=-0.6293
232°	cos=-0.6157
233°	cos=-0.6018
234°	cos=-0.5878
235°	cos=-0.5736
236°	cos=-0.5592
237°	cos=-0.5446
238°	cos=-0.5299
239°	cos=-0.515
240°	cos=-0.5
241°	cos=-0.4848
242°	cos=-0.4695
243°	cos=-0.454
244°	cos=-0.4384
245°	cos=-0.4226
246°	cos=-0.4067
247°	cos=-0.3907
248°	cos=-0.3746
249°	cos=-0.3584
250°	cos=-0.342
251°	cos=-0.3256
252°	cos=-0.309
253°	cos=-0.2924
254°	cos=-0.2756
255°	cos=-0.2588
256°	cos=-0.2419
257°	cos=-0.225
258°	cos=-0.2079
259°	cos=-0.1908
260°	cos=-0.1736
261°	cos=-0.1564
262°	cos=-0.1392
263°	cos=-0.1219
264°	cos=-0.1045
265°	cos=-0.0872
266°	cos=-0.0698
267°	cos=-0.0523
268°	cos=-0.0349
269°	cos=-0.0175
270°	cos=0

Угол	Cos
271°	cos=0.0175
272°	cos=0.0349
273°	cos=0.0523
274°	cos=0.0698
275°	cos=0.0872
276°	cos=0.1045
277°	cos=0.1219
278°	cos=0.1392
279°	cos=0.1564
280°	cos=0.1736
281°	cos=0.1908
282°	cos=0.2079
283°	cos=0.225
284°	cos=0.2419
285°	cos=0.2588
286°	cos=0.2756
287°	cos=0.2924
288°	cos=0.309
289°	cos=0.3256
290°	cos=0.342
291°	cos=0.3584
292°	cos=0.3746
293°	cos=0.3907
294°	cos=0.4067
295°	cos=0.4226
296°	cos=0.4384
297°	cos=0.454
298°	cos=0.4695
299°	cos=0.4848
300°	cos=0.5
301°	cos=0.515
302°	cos=0.5299
303°	cos=0.5446
304°	cos=0.5592
305°	cos=0.5736
306°	cos=0.5878
307°	cos=0.6018
308°	cos=0.6157
309°	cos=0.6293
310°	cos=0.6428
311°	cos=0.6561
312°	cos=0.6691
313°	cos=0.682
314°	cos=0.6947
315°	cos=0.7071
316°	cos=0.7193
317°	cos=0.7314
318°	cos=0.7431
319°	cos=0.7547
320°	cos=0.766
321°	cos=0.7771
322°	cos=0.788
323°	cos=0.7986
324°	cos=0.809
325°	cos=0.8192
326°	cos=0.829
327°	cos=0.8387
328°	cos=0.848
329°	cos=0.8572
330°	cos=0.866
331°	cos=0.8746
332°	cos=0.8829
333°	cos=0.891
334°	cos=0.8988
335°	cos=0.9063
336°	cos=0.9135
337°	cos=0.9205
338°	cos=0.9272
339°	cos=0.9336
340°	cos=0.9397
341°	cos=0.9455
342°	cos=0.9511
343°	cos=0.9563
344°	cos=0.9613
345°	cos=0.9659
346°	cos=0.9703
347°	cos=0.9744
348°	cos=0.9781
349°	cos=0.9816
350°	cos=0.9848
351°	cos=0.9877
352°	cos=0.9903
353°	cos=0.9925
354°	cos=0.9945
355°	cos=0.9962
356°	cos=0.9976
357°	cos=0.9986
358°	cos=0.9994
359°	cos=0.9998
360°	cos=1

таблица косинусов, косинусы углов в угловых градусах ,cos α, cosinus, сколько составляет косинус?, узнать косинус, косинус градусов

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций

Доп. Инфо:

Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов.
Таблица синусов, она-же косинусов точная.
Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg
Таблица тангенсов, она же котангенсов точная.
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ). 0-360 градусов, 0-2π радиан.

Mathway | Популярные задачи

1	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x
2	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
3	Trovare la Derivata — d/dx	e^x
4	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) относительно x
5	Trovare la Derivata — d/dx	1/x
6	Trovare la Derivata — d/dx	x^2
7	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
8	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x)^2
9	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)
10	Вычислим интеграл	интеграл e^x относительно x
11	Вычислим интеграл	интеграл x^2 относительно x
12	Вычислим интеграл	интеграл квадратного корня x по x
13	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x)^2
14	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x
15	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 относительно x
16	Trovare la Derivata — d/dx	x^3
17	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)^2
18	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 относительно x
19	Вычислим интеграл	интеграл sec(x)^2 относительно x
20	Trovare la Derivata — d/dx	e^(x^2)
21	Вычислим интеграл	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22	Trovare la Derivata — d/dx	sin(2x)
23	Trovare la Derivata — d/dx	tan(x)^2
24	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) относительно x
25	Trovare la Derivata — d/dx	2^x
26	График	натуральный логарифм a
27	Trovare la Derivata — d/dx	cos(2x)
28	Trovare la Derivata — d/dx	xe^x
29	Вычислим интеграл	интеграл 2x относительно x
30	Trovare la Derivata — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
31	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
32	Trovare la Derivata — d/dx	3x^2
33	Вычислим интеграл	интеграл xe^(2x) относительно x
34	Trovare la Derivata — d/dx	2e^x
35	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 2x
36	Trovare la Derivata — d/dx	-sin(x)
37	Trovare la Derivata — d/dx	4x^2-x+5
38	Trovare la Derivata — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39	Trovare la Derivata — d/dx	2x^2
40	Вычислим интеграл	интеграл e^(3x) относительно x
41	Вычислим интеграл	интеграл cos(2x) относительно x
42	Trovare la Derivata — d/dx	1/( квадратный корень x)
43	Вычислим интеграл	интеграл e^(x^2) относительно x
44	Вычислить	e^infinity
45	Trovare la Derivata — d/dx	x/2
46	Trovare la Derivata — d/dx	-cos(x)
47	Trovare la Derivata — d/dx	sin(3x)
48	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^3)
49	Вычислим интеграл	интеграл tan(x)^2 относительно x
50	Вычислим интеграл	интеграл 1 относительно x
51	Trovare la Derivata — d/dx	x^x
52	Trovare la Derivata — d/dx	x натуральный логарифм x
53	Trovare la Derivata — d/dx	x^4
54	Оценить предел	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55	Вычислим интеграл	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56	Trovare la Derivata — d/dx	f(x) = square root of x
57	Trovare la Derivata — d/dx	x^2sin(x)
58	Вычислим интеграл	интеграл sin(2x) относительно x
59	Trovare la Derivata — d/dx	3e^x
60	Вычислим интеграл	интеграл xe^x относительно x
61	Trovare la Derivata — d/dx	y=x^2
62	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень x^2+1
63	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x^2)
64	Вычислим интеграл	интеграл e^(-2x) относительно x
65	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66	Trovare la Derivata — d/dx	e^2
67	Trovare la Derivata — d/dx	x^2+1
68	Вычислим интеграл	интеграл sin(x) относительно x
69	Trovare la Derivata — d/dx	arcsin(x)
70	Оценить предел	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) относительно x
72	Trovare la Derivata — d/dx	x^5
73	Trovare la Derivata — d/dx	2/x
74	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 3x
75	Trovare la Derivata — d/dx	x^(1/2)
76	Trovare la Derivata — d/d@VAR	f(x) = square root of x
77	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x^2)
78	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^5)
79	Trovare la Derivata — d/dx	кубический корень x^2
80	Вычислим интеграл	интеграл cos(x) относительно x
81	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x^2) относительно x
82	Trovare la Derivata — d/d@VAR	f(x)=x^3
83	Вычислим интеграл	интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84	Вычислим интеграл	интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85	Trovare la Derivata — d/dx	логарифм x
86	Trovare la Derivata — d/dx	arctan(x)
87	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 5x
88	Trovare la Derivata — d/dx	5e^x
89	Trovare la Derivata — d/dx	cos(3x)
90	Вычислим интеграл	интеграл x^3 относительно x
91	Вычислим интеграл	интеграл x^2e^x относительно x
92	Trovare la Derivata — d/dx	16 корень четвертой степени 4x^4+4
93	Trovare la Derivata — d/dx	x/(e^x)
94	Оценить предел	предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95	Вычислим интеграл	интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96	Trovare la Derivata — d/dx	3^x
97	Вычислим интеграл	интеграл xe^(x^2) относительно x
98	Trovare la Derivata — d/dx	2sin(x)
99	Вычислить	sec(0)^2
100	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x^2

ACOS (функция ACOS) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

ACOS(число)

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=ACOS(-0,5)	Арккосинус числа -0,5 в радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)	2,094395102
=ACOS(-0,5)*180/ПИ()	Арккосинус -0,5 в градусах	120
=ГРАДУСЫ(ACOS(-0,5))	Арккосинус -0,5 в градусах	120

Таблица косинусов, полная таблица косинусов для студентов

Содержание:

Таблица косинусов — наровне с таблицей синусов изучается в самом начале тригонометрии (И вместе с таблицей синусов является основным материалом тригонометрии). Без понимания данного материала и без знания хотя бы части таблицы косинусов будет очень сложно изучать тригонометрию и применять тригонометричекие формулы. Даже в университетском курсе часто используется тригонометрия, при решении интегралов и производных. Пользуйте таблицей косинусов на здоровье.

Таблица косинусов 0° — 180°

Cos(1°)	0.9998
Cos(2°)	0.9994
Cos(3°)	0.9986
Cos(4°)	0.9976
Cos(5°)	0.9962
Cos(6°)	0.9945
Cos(7°)	0.9925
Cos(8°)	0.9903
Cos(9°)	0.9877
Cos(10°)	0.9848
Cos(11°)	0.9816
Cos(12°)	0.9781
Cos(13°)	0.9744
Cos(14°)	0.9703
Cos(15°)	0.9659
Cos(16°)	0.9613
Cos(17°)	0.9563
Cos(18°)	0.9511
Cos(19°)	0.9455
Cos(20°)	0.9397
Cos(21°)	0.9336
Cos(22°)	0.9272
Cos(23°)	0.9205
Cos(24°)	0.9135
Cos(25°)	0.9063
Cos(26°)	0.8988
Cos(27°)	0.891
Cos(28°)	0.8829
Cos(29°)	0.8746
Cos(30°)	0.866
Cos(31°)	0.8572
Cos(32°)	0.848
Cos(33°)	0.8387
Cos(34°)	0.829
Cos(35°)	0.8192
Cos(36°)	0.809
Cos(37°)	0.7986
Cos(38°)	0.788
Cos(39°)	0.7771
Cos(40°)	0.766
Cos(41°)	0.7547
Cos(42°)	0.7431
Cos(43°)	0.7314
Cos(44°)	0.7193
Cos(45°)	0.7071
Cos(46°)	0.6947
Cos(47°)	0.682
Cos(48°)	0.6691
Cos(49°)	0.6561
Cos(50°)	0.6428
Cos(51°)	0.6293
Cos(52°)	0.6157
Cos(53°)	0.6018
Cos(54°)	0.5878
Cos(55°)	0.5736
Cos(56°)	0.5592
Cos(57°)	0.5446
Cos(58°)	0.5299
Cos(59°)	0.515
Cos(60°)	0.5

Cos(61°)	0.4848
Cos(62°)	0.4695
Cos(63°)	0.454
Cos(64°)	0.4384
Cos(65°)	0.4226
Cos(66°)	0.4067
Cos(67°)	0.3907
Cos(68°)	0.3746
Cos(69°)	0.3584
Cos(70°)	0.342
Cos(71°)	0.3256
Cos(72°)	0.309
Cos(73°)	0.2924
Cos(74°)	0.2756
Cos(75°)	0.2588
Cos(76°)	0.2419
Cos(77°)	0.225
Cos(78°)	0.2079
Cos(79°)	0.1908
Cos(80°)	0.1736
Cos(81°)	0.1564
Cos(82°)	0.1392
Cos(83°)	0.1219
Cos(84°)	0.1045
Cos(85°)	0.0872
Cos(86°)	0.0698
Cos(87°)	0.0523
Cos(88°)	0.0349
Cos(89°)	0.0175
Cos(90°)	0
Cos(91°)	-0.0175
Cos(92°)	-0.0349
Cos(93°)	-0.0523
Cos(94°)	-0.0698
Cos(95°)	-0.0872
Cos(96°)	-0.1045
Cos(97°)	-0.1219
Cos(98°)	-0.1392
Cos(99°)	-0.1564
Cos(100°)	-0.1736
Cos(101°)	-0.1908
Cos(102°)	-0.2079
Cos(103°)	-0.225
Cos(104°)	-0.2419
Cos(105°)	-0.2588
Cos(106°)	-0.2756
Cos(107°)	-0.2924
Cos(108°)	-0.309
Cos(109°)	-0.3256
Cos(110°)	-0.342
Cos(111°)	-0.3584
Cos(112°)	-0.3746
Cos(113°)	-0.3907
Cos(114°)	-0.4067
Cos(115°)	-0.4226
Cos(116°)	-0.4384
Cos(117°)	-0.454
Cos(118°)	-0.4695
Cos(119°)	-0.4848
Cos(120°)	-0.5

Cos(121°)	-0.515
Cos(122°)	-0.5299
Cos(123°)	-0.5446
Cos(124°)	-0.5592
Cos(125°)	-0.5736
Cos(126°)	-0.5878
Cos(127°)	-0.6018
Cos(128°)	-0.6157
Cos(129°)	-0.6293
Cos(130°)	-0.6428
Cos(131°)	-0.6561
Cos(132°)	-0.6691
Cos(133°)	-0.682
Cos(134°)	-0.6947
Cos(135°)	-0.7071
Cos(136°)	-0.7193
Cos(137°)	-0.7314
Cos(138°)	-0.7431
Cos(139°)	-0.7547
Cos(140°)	-0.766
Cos(141°)	-0.7771
Cos(142°)	-0.788
Cos(143°)	-0.7986
Cos(144°)	-0.809
Cos(145°)	-0.8192
Cos(146°)	-0.829
Cos(147°)	-0.8387
Cos(148°)	-0.848
Cos(149°)	-0.8572
Cos(150°)	-0.866
Cos(151°)	-0.8746
Cos(152°)	-0.8829
Cos(153°)	-0.891
Cos(154°)	-0.8988
Cos(155°)	-0.9063
Cos(156°)	-0.9135
Cos(157°)	-0.9205
Cos(158°)	-0.9272
Cos(159°)	-0.9336
Cos(160°)	-0.9397
Cos(161°)	-0.9455
Cos(162°)	-0.9511
Cos(163°)	-0.9563
Cos(164°)	-0.9613
Cos(165°)	-0.9659
Cos(166°)	-0.9703
Cos(167°)	-0.9744
Cos(168°)	-0.9781
Cos(169°)	-0.9816
Cos(170°)	-0.9848
Cos(171°)	-0.9877
Cos(172°)	-0.9903
Cos(173°)	-0.9925
Cos(174°)	-0.9945
Cos(175°)	-0.9962
Cos(176°)	-0.9976
Cos(177°)	-0.9986
Cos(178°)	-0.9994
Cos(179°)	-0.9998
Cos(180°)	-1

Таблица косинусов 180° — 360°

Cos(181°)	-0.9998
Cos(182°)	-0.9994
Cos(183°)	-0.9986
Cos(184°)	-0.9976
Cos(185°)	-0.9962
Cos(186°)	-0.9945
Cos(187°)	-0.9925
Cos(188°)	-0.9903
Cos(189°)	-0.9877
Cos(190°)	-0.9848
Cos(191°)	-0.9816
Cos(192°)	-0.9781
Cos(193°)	-0.9744
Cos(194°)	-0.9703
Cos(195°)	-0.9659
Cos(196°)	-0.9613
Cos(197°)	-0.9563
Cos(198°)	-0.9511
Cos(199°)	-0.9455
Cos(200°)	-0.9397
Cos(201°)	-0.9336
Cos(202°)	-0.9272
Cos(203°)	-0.9205
Cos(204°)	-0.9135
Cos(205°)	-0.9063
Cos(206°)	-0.8988
Cos(207°)	-0.891
Cos(208°)	-0.8829
Cos(209°)	-0.8746
Cos(210°)	-0.866
Cos(211°)	-0.8572
Cos(212°)	-0.848
Cos(213°)	-0.8387
Cos(214°)	-0.829
Cos(215°)	-0.8192
Cos(216°)	-0.809
Cos(217°)	-0.7986
Cos(218°)	-0.788
Cos(219°)	-0.7771
Cos(220°)	-0.766
Cos(221°)	-0.7547
Cos(222°)	-0.7431
Cos(223°)	-0.7314
Cos(224°)	-0.7193
Cos(225°)	-0.7071
Cos(226°)	-0.6947
Cos(227°)	-0.682
Cos(228°)	-0.6691
Cos(229°)	-0.6561
Cos(230°)	-0.6428
Cos(231°)	-0.6293
Cos(232°)	-0.6157
Cos(233°)	-0.6018
Cos(234°)	-0.5878
Cos(235°)	-0.5736
Cos(236°)	-0.5592
Cos(237°)	-0.5446
Cos(238°)	-0.5299
Cos(239°)	-0.515
Cos(240°)	-0.5

Cos(241°)	-0.4848
Cos(242°)	-0.4695
Cos(243°)	-0.454
Cos(244°)	-0.4384
Cos(245°)	-0.4226
Cos(246°)	-0.4067
Cos(247°)	-0.3907
Cos(248°)	-0.3746
Cos(249°)	-0.3584
Cos(250°)	-0.342
Cos(251°)	-0.3256
Cos(252°)	-0.309
Cos(253°)	-0.2924
Cos(254°)	-0.2756
Cos(255°)	-0.2588
Cos(256°)	-0.2419
Cos(257°)	-0.225
Cos(258°)	-0.2079
Cos(259°)	-0.1908
Cos(260°)	-0.1736
Cos(261°)	-0.1564
Cos(262°)	-0.1392
Cos(263°)	-0.1219
Cos(264°)	-0.1045
Cos(265°)	-0.0872
Cos(266°)	-0.0698
Cos(267°)	-0.0523
Cos(268°)	-0.0349
Cos(269°)	-0.0175
Cos(270°)	-0
Cos(271°)	0.0175
Cos(272°)	0.0349
Cos(273°)	0.0523
Cos(274°)	0.0698
Cos(275°)	0.0872
Cos(276°)	0.1045
Cos(277°)	0.1219
Cos(278°)	0.1392
Cos(279°)	0.1564
Cos(280°)	0.1736
Cos(281°)	0.1908
Cos(282°)	0.2079
Cos(283°)	0.225
Cos(284°)	0.2419
Cos(285°)	0.2588
Cos(286°)	0.2756
Cos(287°)	0.2924
Cos(288°)	0.309
Cos(289°)	0.3256
Cos(290°)	0.342
Cos(291°)	0.3584
Cos(292°)	0.3746
Cos(293°)	0.3907
Cos(294°)	0.4067
Cos(295°)	0.4226
Cos(296°)	0.4384
Cos(297°)	0.454
Cos(298°)	0.4695
Cos(299°)	0.4848
Cos(300°)	0.5

Cos(301°)	0.515
Cos(302°)	0.5299
Cos(303°)	0.5446
Cos(304°)	0.5592
Cos(305°)	0.5736
Cos(306°)	0.5878
Cos(307°)	0.6018
Cos(308°)	0.6157
Cos(309°)	0.6293
Cos(310°)	0.6428
Cos(311°)	0.6561
Cos(312°)	0.6691
Cos(313°)	0.682
Cos(314°)	0.6947
Cos(315°)	0.7071
Cos(316°)	0.7193
Cos(317°)	0.7314
Cos(318°)	0.7431
Cos(319°)	0.7547
Cos(320°)	0.766
Cos(321°)	0.7771
Cos(322°)	0.788
Cos(323°)	0.7986
Cos(324°)	0.809
Cos(325°)	0.8192
Cos(326°)	0.829
Cos(327°)	0.8387
Cos(328°)	0.848
Cos(329°)	0.8572
Cos(330°)	0.866
Cos(331°)	0.8746
Cos(332°)	0.8829
Cos(333°)	0.891
Cos(334°)	0.8988
Cos(335°)	0.9063
Cos(336°)	0.9135
Cos(337°)	0.9205
Cos(338°)	0.9272
Cos(339°)	0.9336
Cos(340°)	0.9397
Cos(341°)	0.9455
Cos(342°)	0.9511
Cos(343°)	0.9563
Cos(344°)	0.9613
Cos(345°)	0.9659
Cos(346°)	0.9703
Cos(347°)	0.9744
Cos(348°)	0.9781
Cos(349°)	0.9816
Cos(350°)	0.9848
Cos(351°)	0.9877
Cos(352°)	0.9903
Cos(353°)	0.9925
Cos(354°)	0.9945
Cos(355°)	0.9962
Cos(356°)	0.9976
Cos(357°)	0.9986
Cos(358°)	0.9994
Cos(359°)	0.9998
Cos(360°)	1

На нашем сайте в основном автоматические находятся программы для решения задач по математике, но также мы собрали много теоретического материала по математике и в частности по тригонометрии. Здесь Вы можете найти таблицы тригонометрических функций: таблицу косинусов, таблицу синусов, таблицу котангенсов и таблицу тангенсов. Также для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили тригонометрические формулы, чтобы вызывало меньше затруднений решение тригонометрических задач по математике. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей косинусов на здоровье.

Слишком сложно?

Таблица косинусов, таблица значений косинусов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Таблица косинусов — 2mb.ru

Таблица косинусов является одной из основных таблиц, которые используются в геометрии.

В ней представлены косинусы углов от 0 до 360 градусов. Таблица позволяет решать математические задачи, в которых необходимо использовать тригонометрические данные без применения расчетов и калькулятора.

Таблица косинусов 0° – 180°.

cos(1°)	0.9998
cos(2°)	0.9994
cos(3°)	0.9986
cos(4°)	0.9976
cos(5°)	0.9962
cos(6°)	0.9945
cos(7°)	0.9925
cos(8°)	0.9903
cos(9°)	0.9877
cos(10°)	0.9848
cos(11°)	0.9816
cos(12°)	0.9781
cos(13°)	0.9744
cos(14°)	0.9703
cos(15°)	0.9659
cos(16°)	0.9613
cos(17°)	0.9563
cos(18°)	0.9511
cos(19°)	0.9455
cos(20°)	0.9397
cos(21°)	0.9336
cos(22°)	0.9272
cos(23°)	0.9205
cos(24°)	0.9135
cos(25°)	0.9063
cos(26°)	0.8988
cos(27°)	0.891
cos(28°)	0.8829
cos(29°)	0.8746
cos(30°)	0.866
cos(31°)	0.8572
cos(32°)	0.848
cos(33°)	0.8387
cos(34°)	0.829
cos(35°)	0.8192
cos(36°)	0.809
cos(37°)	0.7986
cos(38°)	0.788
cos(39°)	0.7771
cos(40°)	0.766
cos(41°)	0.7547
cos(42°)	0.7431
cos(43°)	0.7314
cos(44°)	0.7193
cos(45°)	0.7071
cos(46°)	0.6947
cos(47°)	0.682
cos(48°)	0.6691
cos(49°)	0.6561
cos(50°)	0.6428
cos(51°)	0.6293
cos(52°)	0.6157
cos(53°)	0.6018
cos(54°)	0.5878
cos(55°)	0.5736
cos(56°)	0.5592
cos(57°)	0.5446
cos(58°)	0.5299
cos(59°)	0.515
cos(60°)	0.5

cos(61°)	0.4848
cos(62°)	0.4695
cos(63°)	0.454
cos(64°)	0.4384
cos(65°)	0.4226
cos(66°)	0.4067
cos(67°)	0.3907
cos(68°)	0.3746
cos(69°)	0.3584
cos(70°)	0.342
cos(71°)	0.3256
cos(72°)	0.309
cos(73°)	0.2924
cos(74°)	0.2756
cos(75°)	0.2588
cos(76°)	0.2419
cos(77°)	0.225
cos(78°)	0.2079
cos(79°)	0.1908
cos(80°)	0.1736
cos(81°)	0.1564
cos(82°)	0.1392
cos(83°)	0.1219
cos(84°)	0.1045
cos(85°)	0.0872
cos(86°)	0.0698
cos(87°)	0.0523
cos(88°)	0.0349
cos(89°)	0.0175
cos(90°)	0
cos(91°)	-0.0175
cos(92°)	-0.0349
cos(93°)	-0.0523
cos(94°)	-0.0698
cos(95°)	-0.0872
cos(96°)	-0.1045
cos(97°)	-0.1219
cos(98°)	-0.1392
cos(99°)	-0.1564
cos(100°)	-0.1736
cos(101°)	-0.1908
cos(102°)	-0.2079
cos(103°)	-0.225
cos(104°)	-0.2419
cos(105°)	-0.2588
cos(106°)	-0.2756
cos(107°)	-0.2924
cos(108°)	-0.309
cos(109°)	-0.3256
cos(110°)	-0.342
cos(111°)	-0.3584
cos(112°)	-0.3746
cos(113°)	-0.3907
cos(114°)	-0.4067
cos(115°)	-0.4226
cos(116°)	-0.4384
cos(117°)	-0.454
cos(118°)	-0.4695
cos(119°)	-0.4848
cos(120°)	-0.5

cos(121°)	-0.515
cos(122°)	-0.5299
cos(123°)	-0.5446
cos(124°)	-0.5592
cos(125°)	-0.5736
cos(126°)	-0.5878
cos(127°)	-0.6018
cos(128°)	-0.6157
cos(129°)	-0.6293
cos(130°)	-0.6428
cos(131°)	-0.6561
cos(132°)	-0.6691
cos(133°)	-0.682
cos(134°)	-0.6947
cos(135°)	-0.7071
cos(136°)	-0.7193
cos(137°)	-0.7314
cos(138°)	-0.7431
cos(139°)	-0.7547
cos(140°)	-0.766
cos(141°)	-0.7771
cos(142°)	-0.788
cos(143°)	-0.7986
cos(144°)	-0.809
cos(145°)	-0.8192
cos(146°)	-0.829
cos(147°)	-0.8387
cos(148°)	-0.848
cos(149°)	-0.8572
cos(150°)	-0.866
cos(151°)	-0.8746
cos(152°)	-0.8829
cos(153°)	-0.891
cos(154°)	-0.8988
cos(155°)	-0.9063
cos(156°)	-0.9135
cos(157°)	-0.9205
cos(158°)	-0.9272
cos(159°)	-0.9336
cos(160°)	-0.9397
cos(161°)	-0.9455
cos(162°)	-0.9511
cos(163°)	-0.9563
cos(164°)	-0.9613
cos(165°)	-0.9659
cos(166°)	-0.9703
cos(167°)	-0.9744
cos(168°)	-0.9781
cos(169°)	-0.9816
cos(170°)	-0.9848
cos(171°)	-0.9877
cos(172°)	-0.9903
cos(173°)	-0.9925
cos(174°)	-0.9945
cos(175°)	-0.9962
cos(176°)	-0.9976
cos(177°)	-0.9986
cos(178°)	-0.9994
cos(179°)	-0.9998
cos(180°)	-1

Таблица косинусов 180° – 360°.

cos(181°)	-0.9998
cos(182°)	-0.9994
cos(183°)	-0.9986
cos(184°)	-0.9976
cos(185°)	-0.9962
cos(186°)	-0.9945
cos(187°)	-0.9925
cos(188°)	-0.9903
cos(189°)	-0.9877
cos(190°)	-0.9848
cos(191°)	-0.9816
cos(192°)	-0.9781
cos(193°)	-0.9744
cos(194°)	-0.9703
cos(195°)	-0.9659
cos(196°)	-0.9613
cos(197°)	-0.9563
cos(198°)	-0.9511
cos(199°)	-0.9455
cos(200°)	-0.9397
cos(201°)	-0.9336
cos(202°)	-0.9272
cos(203°)	-0.9205
cos(204°)	-0.9135
cos(205°)	-0.9063
cos(206°)	-0.8988
cos(207°)	-0.891
cos(208°)	-0.8829
cos(209°)	-0.8746
cos(210°)	-0.866
cos(211°)	-0.8572
cos(212°)	-0.848
cos(213°)	-0.8387
cos(214°)	-0.829
cos(215°)	-0.8192
cos(216°)	-0.809
cos(217°)	-0.7986
cos(218°)	-0.788
cos(219°)	-0.7771
cos(220°)	-0.766
cos(221°)	-0.7547
cos(222°)	-0.7431
cos(223°)	-0.7314
cos(224°)	-0.7193
cos(225°)	-0.7071
cos(226°)	-0.6947
cos(227°)	-0.682
cos(228°)	-0.6691
cos(229°)	-0.6561
cos(230°)	-0.6428
cos(231°)	-0.6293
cos(232°)	-0.6157
cos(233°)	-0.6018
cos(234°)	-0.5878
cos(235°)	-0.5736
cos(236°)	-0.5592
cos(237°)	-0.5446
cos(238°)	-0.5299
cos(239°)	-0.515
cos(240°)	-0.5

cos(241°)	-0.4848
cos(242°)	-0.4695
cos(243°)	-0.454
cos(244°)	-0.4384
cos(245°)	-0.4226
cos(246°)	-0.4067
cos(247°)	-0.3907
cos(248°)	-0.3746
cos(249°)	-0.3584
cos(250°)	-0.342
cos(251°)	-0.3256
cos(252°)	-0.309
cos(253°)	-0.2924
cos(254°)	-0.2756
cos(255°)	-0.2588
cos(256°)	-0.2419
cos(257°)	-0.225
cos(258°)	-0.2079
cos(259°)	-0.1908
cos(260°)	-0.1736
cos(261°)	-0.1564
cos(262°)	-0.1392
cos(263°)	-0.1219
cos(264°)	-0.1045
cos(265°)	-0.0872
cos(266°)	-0.0698
cos(267°)	-0.0523
cos(268°)	-0.0349
cos(269°)	-0.0175
cos(270°)	-0
cos(271°)	0.0175
cos(272°)	0.0349
cos(273°)	0.0523
cos(274°)	0.0698
cos(275°)	0.0872
cos(276°)	0.1045
cos(277°)	0.1219
cos(278°)	0.1392
cos(279°)	0.1564
cos(280°)	0.1736
cos(281°)	0.1908
cos(282°)	0.2079
cos(283°)	0.225
cos(284°)	0.2419
cos(285°)	0.2588
cos(286°)	0.2756
cos(287°)	0.2924
cos(288°)	0.309
cos(289°)	0.3256
cos(290°)	0.342
cos(291°)	0.3584
cos(292°)	0.3746
cos(293°)	0.3907
cos(294°)	0.4067
cos(295°)	0.4226
cos(296°)	0.4384
cos(297°)	0.454
cos(298°)	0.4695
cos(299°)	0.4848
cos(300°)	0.5

cos(301°)	0.515
cos(302°)	0.5299
cos(303°)	0.5446
cos(304°)	0.5592
cos(305°)	0.5736
cos(306°)	0.5878
cos(307°)	0.6018
cos(308°)	0.6157
cos(309°)	0.6293
cos(310°)	0.6428
cos(311°)	0.6561
cos(312°)	0.6691
cos(313°)	0.682
cos(314°)	0.6947
cos(315°)	0.7071
cos(316°)	0.7193
cos(317°)	0.7314
cos(318°)	0.7431
cos(319°)	0.7547
cos(320°)	0.766
cos(321°)	0.7771
cos(322°)	0.788
cos(323°)	0.7986
cos(324°)	0.809
cos(325°)	0.8192
cos(326°)	0.829
cos(327°)	0.8387
cos(328°)	0.848
cos(329°)	0.8572
cos(330°)	0.866
cos(331°)	0.8746
cos(332°)	0.8829
cos(333°)	0.891
cos(334°)	0.8988
cos(335°)	0.9063
cos(336°)	0.9135
cos(337°)	0.9205
cos(338°)	0.9272
cos(339°)	0.9336
cos(340°)	0.9397
cos(341°)	0.9455
cos(342°)	0.9511
cos(343°)	0.9563
cos(344°)	0.9613
cos(345°)	0.9659
cos(346°)	0.9703
cos(347°)	0.9744
cos(348°)	0.9781
cos(349°)	0.9816
cos(350°)	0.9848
cos(351°)	0.9877
cos(352°)	0.9903
cos(353°)	0.9925
cos(354°)	0.9945
cos(355°)	0.9962
cos(356°)	0.9976
cos(357°)	0.9986
cos(358°)	0.9994
cos(359°)	0.9998
cos(360°)	1

Таблица косинусов

Главная > к >

Таблица косинусов для основных углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Угол х (в градусах)	0°	90°	180°	270°	360°
Угол х (в радианах)	0
cos x	1	0	-1	0	1

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Угол х (в градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Угол х (в радианах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.

Таблица косинусов — это посчитанные значения косинусов от 0° до 360°.

Если не под рукой калькулятора — таблица косинусов может пригодиться.
Для того, чтобы узнать чему равен косинус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице:

cos 1°	= 0,9998	cos 91°	= -0,0175	cos 181°	= -0,9998	cos 271°	= 0,0175
cos 2°	= 0,9994	cos 92°	= -0,0349	cos 182°	= -0,9994	cos 272°	= 0,0349
cos 3°	= 0,9986	cos 93°	= -0,0523	cos 183°	= -0,9986	cos 273°	= 0,0523
cos 4°	= 0,9976	cos 94°	= -0,0698	cos 184°	= -0,9976	cos 274°	= 0,0698
cos 5°	= 0,9962	cos 95°	= -0,0872	cos 185°	= -0,9962	cos 275°	= 0,0872
cos 6°	= 0,9945	cos 96°	= -0,1045	cos 186°	= -0,9945	cos 276°	= 0,1045
cos 7°	= 0,9925	cos 97°	= -0,1219	cos 187°	= -0,9925	cos 277°	= 0,1219
cos 8°	= 0,9903	cos 98°	= -0,1392	cos 188°	= -0,9903	cos 278°	= 0,1392
cos 9°	= 0,9877	cos 99°	= -0,1564	cos 189°	= -0,9877	cos 279°	= 0,1564
cos 10°	= 0,9848	cos 100°	= -0,1736	cos 190°	= -0,9848	cos 280°	= 0,1736
cos 11°	= 0,9816	cos 101°	= -0,1908	cos 191°	= -0,9816	cos 281°	= 0,1908
cos 12°	= 0,9781	cos 102°	= -0,2079	cos 192°	= -0,9781	cos 282°	= 0,2079
cos 13°	= 0,9744	cos 103°	= -0,225	cos 193°	= -0,9744	cos 283°	= 0,225
cos 14°	= 0,9703	cos 104°	= -0,2419	cos 194°	= -0,9703	cos 284°	= 0,2419
cos 15°	= 0,9659	cos 105°	= -0,2588	cos 195°	= -0,9659	cos 285°	= 0,2588
cos 16°	= 0,9613	cos 106°	= -0,2756	cos 196°	= -0,9613	cos 286°	= 0,2756
cos 17°	= 0,9563	cos 107°	= -0,2924	cos 197°	= -0,9563	cos 287°	= 0,2924
cos 18°	= 0,9511	cos 108°	= -0,309	cos 198°	= -0,9511	cos 288°	= 0,309
cos 19°	= 0,9455	cos 109°	= -0,3256	cos 199°	= -0,9455	cos 289°	= 0,3256
cos 20°	= 0,9397	cos 110°	= -0,342	cos 200°	= -0,9397	cos 290°	= 0,342
cos 21°	= 0,9336	cos 111°	= -0,3584	cos 201°	= -0,9336	cos 291°	= 0,3584
cos 22°	= 0,9272	cos 112°	= -0,3746	cos 202°	= -0,9272	cos 292°	= 0,3746
cos 23°	= 0,9205	cos 113°	= -0,3907	cos 203°	= -0,9205	cos 293°	= 0,3907
cos 24°	= 0,9135	cos 114°	= -0,4067	cos 204°	= -0,9135	cos 294°	= 0,4067
cos 25°	= 0,9063	cos 115°	= -0,4226	cos 205°	= -0,9063	cos 295°	= 0,4226
cos 26°	= 0,8988	cos 116°	= -0,4384	cos 206°	= -0,8988	cos 296°	= 0,4384
cos 27°	= 0,891	cos 117°	= -0,454	cos 207°	= -0,891	cos 297°	= 0,454
cos 28°	= 0,8829	cos 118°	= -0,4695	cos 208°	= -0,8829	cos 298°	= 0,4695
cos 29°	= 0,8746	cos 119°	= -0,4848	cos 209°	= -0,8746	cos 299°	= 0,4848
cos 30°	= 0,866	cos 120°	= -0,5	cos 210°	= -0,866	cos 300°	= 0,5
cos 31°	= 0,8572	cos 121°	= -0,515	cos 211°	= -0,8572	cos 301°	= 0,515
cos 32°	= 0,848	cos 122°	= -0,5299	cos 212°	= -0,848	cos 302°	= 0,5299
cos 33°	= 0,8387	cos 123°	= -0,5446	cos 213°	= -0,8387	cos 303°	= 0,5446
cos 34°	= 0,829	cos 124°	= -0,5592	cos 214°	= -0,829	cos 304°	= 0,5592
cos 35°	= 0,8192	cos 125°	= -0,5736	cos 215°	= -0,8192	cos 305°	= 0,5736
cos 36°	= 0,809	cos 126°	= -0,5878	cos 216°	= -0,809	cos 306°	= 0,5878
cos 37°	= 0,7986	cos 127°	= -0,6018	cos 217°	= -0,7986	cos 307°	= 0,6018
cos 38°	= 0,788	cos 128°	= -0,6157	cos 218°	= -0,788	cos 308°	= 0,6157
cos 39°	= 0,7771	cos 129°	= -0,6293	cos 219°	= -0,7771	cos 309°	= 0,6293
cos 40°	= 0,766	cos 130°	= -0,6428	cos 220°	= -0,766	cos 310°	= 0,6428
cos 41°	= 0,7547	cos 131°	= -0,6561	cos 221°	= -0,7547	cos 311°	= 0,6561
cos 42°	= 0,7431	cos 132°	= -0,6691	cos 222°	= -0,7431	cos 312°	= 0,6691
cos 43°	= 0,7314	cos 133°	= -0,682	cos 223°	= -0,7314	cos 313°	= 0,682
cos 44°	= 0,7193	cos 134°	= -0,6947	cos 224°	= -0,7193	cos 314°	= 0,6947
cos 45°	= 0,7071	cos 135°	= -0,7071	cos 225°	= -0,7071	cos 315°	= 0,7071
cos 46°	= 0,6947	cos 136°	= -0,7193	cos 226°	= -0,6947	cos 316°	= 0,7193
cos 47°	= 0,682	cos 137°	= -0,7314	cos 227°	= -0,682	cos 317°	= 0,7314
cos 48°	= 0,6691	cos 138°	= -0,7431	cos 228°	= -0,6691	cos 318°	= 0,7431
cos 49°	= 0,6561	cos 139°	= -0,7547	cos 229°	= -0,6561	cos 319°	= 0,7547
cos 50°	= 0,6428	cos 140°	= -0,766	cos 230°	= -0,6428	cos 320°	= 0,766
cos 51°	= 0,6293	cos 141°	= -0,7771	cos 231°	= -0,6293	cos 321°	= 0,7771
cos 52°	= 0,6157	cos 142°	= -0,788	cos 232°	= -0,6157	cos 322°	= 0,788
cos 53°	= 0,6018	cos 143°	= -0,7986	cos 233°	= -0,6018	cos 323°	= 0,7986
cos 54°	= 0,5878	cos 144°	= -0,809	cos 234°	= -0,5878	cos 324°	= 0,809
cos 55°	= 0,5736	cos 145°	= -0,8192	cos 235°	= -0,5736	cos 325°	= 0,8192
cos 56°	= 0,5592	cos 146°	= -0,829	cos 236°	= -0,5592	cos 326°	= 0,829
cos 57°	= 0,5446	cos 147°	= -0,8387	cos 237°	= -0,5446	cos 327°	= 0,8387
cos 58°	= 0,5299	cos 148°	= -0,848	cos 238°	= -0,5299	cos 328°	= 0,848
cos 59°	= 0,515	cos 149°	= -0,8572	cos 239°	= -0,515	cos 329°	= 0,8572
cos 60°	= 0,5	cos 150°	= -0,866	cos 240°	= -0,5	cos 330°	= 0,866
cos 61°	= 0,4848	cos 151°	= -0,8746	cos 241°	= -0,4848	cos 331°	= 0,8746
cos 62°	= 0,4695	cos 152°	= -0,8829	cos 242°	= -0,4695	cos 332°	= 0,8829
cos 63°	= 0,454	cos 153°	= -0,891	cos 243°	= -0,454	cos 333°	= 0,891
cos 64°	= 0,4384	cos 154°	= -0,8988	cos 244°	= -0,4384	cos 334°	= 0,8988
cos 65°	= 0,4226	cos 155°	= -0,9063	cos 245°	= -0,4226	cos 335°	= 0,9063
cos 66°	= 0,4067	cos 156°	= -0,9135	cos 246°	= -0,4067	cos 336°	= 0,9135
cos 67°	= 0,3907	cos 157°	= -0,9205	cos 247°	= -0,3907	cos 337°	= 0,9205
cos 68°	= 0,3746	cos 158°	= -0,9272	cos 248°	= -0,3746	cos 338°	= 0,9272
cos 69°	= 0,3584	cos 159°	= -0,9336	cos 249°	= -0,3584	cos 339°	= 0,9336
cos 70°	= 0,342	cos 160°	= -0,9397	cos 250°	= -0,342	cos 340°	= 0,9397
cos 71°	= 0,3256	cos 161°	= -0,9455	cos 251°	= -0,3256	cos 341°	= 0,9455
cos 72°	= 0,309	cos 162°	= -0,9511	cos 252°	= -0,309	cos 342°	= 0,9511
cos 73°	= 0,2924	cos 163°	= -0,9563	cos 253°	= -0,2924	cos 343°	= 0,9563
cos 74°	= 0,2756	cos 164°	= -0,9613	cos 254°	= -0,2756	cos 344°	= 0,9613
cos 75°	= 0,2588	cos 165°	= -0,9659	cos 255°	= -0,2588	cos 345°	= 0,9659
cos 76°	= 0,2419	cos 166°	= -0,9703	cos 256°	= -0,2419	cos 346°	= 0,9703
cos 77°	= 0,225	cos 167°	= -0,9744	cos 257°	= -0,225	cos 347°	= 0,9744
cos 78°	= 0,2079	cos 168°	= -0,9781	cos 258°	= -0,2079	cos 348°	= 0,9781
cos 79°	= 0,1908	cos 169°	= -0,9816	cos 259°	= -0,1908	cos 349°	= 0,9816
cos 80°	= 0,1736	cos 170°	= -0,9848	cos 260°	= -0,1736	cos 350°	= 0,9848
cos 81°	= 0,1564	cos 171°	= -0,9877	cos 261°	= -0,1564	cos 351°	= 0,9877
cos 82°	= 0,1392	cos 172°	= -0,9903	cos 262°	= -0,1392	cos 352°	= 0,9903
cos 83°	= 0,1219	cos 173°	= -0,9925	cos 263°	= -0,1219	cos 353°	= 0,9925
cos 84°	= 0,1045	cos 174°	= -0,9945	cos 264°	= -0,1045	cos 354°	= 0,9945
cos 85°	= 0,0872	cos 175°	= -0,9962	cos 265°	= -0,0872	cos 355°	= 0,9962
cos 86°	= 0,0698	cos 176°	= -0,9976	cos 266°	= -0,0698	cos 356°	= 0,9976
cos 87°	= 0,0523	cos 177°	= -0,9986	cos 267°	= -0,0523	cos 357°	= 0,9986
cos 88°	= 0,0349	cos 178°	= -0,9994	cos 268°	= -0,0349	cos 358°	= 0,9994
cos 89°	= 0,0175	cos 179°	= -0,9998	cos 269°	= -0,0175	cos 359°	= 0,9998
cos 90°	= 0	cos 180°	= -1	cos 270°	= -0	cos 360°	= 1

Теорема косинусов — Тригонометрия

Формулировка теоремы косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов:

Рассмотрим треугольник ABC.
Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.

Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, то величину стороны AD можно найти из соотношения тригонометрических функций :
AD / AC = cos α
AD = AC cos α
AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB — AD
BD = c − b cosα

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
CD² + BD² = BC²
CD² + AD²= AC²
откуда
CD² = BC² — BD²
CD² = AC²— AD²

Поскольку левые части уравнений равны, то приравняем правые части уравнений:
BC² — BD² = AC²— AD²

подставим значения сторон (a,b,c)
a² — ( c − b cos α )² = b²— ( b cos α )² a² = ( c − b cos α )² + b²— ( b cos α )²
a² = b²+ c ² — 2bc cos α + ( b cos α )² — ( b cos α )²
a² = b²+ c ² — 2bc cos α

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

косинусов

Затем рассмотрим углы 30 ° и 60 °. В прямоугольном треугольнике 30 ° -60 ° -90 ° отношения сторон равны 1: √3: 2. Отсюда следует, что sin 30 ° = cos 60 ° = 1/2, и sin 60 ° = cos 30 ° = √3 / 2.

Эти результаты занесены в эту таблицу.

Градус	Радианы	косинус	синус
90 °	π /2	0	1
60 °	π /3	1/2	√3 / 2
45 °	π /4	√2 / 2	√2 / 2
30 °	π /6	√3 / 2	1/2
0 °	0	1	0

Упражнения

Все эти упражнения относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.

30. b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.

33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.

35. b = 6,4, c = 7,8. Найдите A, и a.

36. A = 23 ° 15 ‘, c = 12.15. Найдите a, и b.

Подсказки

30. Косинус A связывает b с гипотенузой c, , так что вы можете сначала вычислить c. Как только вы узнаете b и c, , вы сможете найти a по теореме Пифагора.

33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно a / c. Тем не менее, это дает вам уравнение, с которым можно работать: 1/3 = a / c. Тогда c = 3 a. Из теоремы Пифагора тогда следует, что a ² + 144 = 9 a ². Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.

35. b и c дают A по косинусам и a по теореме Пифагора.

36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.

Ответы

30. c = b / cos A = 2,25 / 0,15 = 15 метров; a = 14,83 метра.

33. 8 a ² = 144, поэтому a ² = 18. Следовательно, a составляет 4,24 ‘или 4’3 дюйма.
c = 3 a , что равно 12.73 ‘или 12’9 «.

35. cos A = b / c = 6,4 / 7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86 ° = 34 ° 52 ‘, или около 35 °.
a ² = 7,8 ² — 6,4 ² = 19,9, поэтому a составляет около 4,5.

36. a = c sin A = 12,15 sin 23 ° 15 ‘= 4,796.
b = c cos A = 12,15 cos 23 ° 15 ‘= 11.17.

Другие формы формулы двойного угла косинуса — Концепция

Формула двойного угла косинуса: cos (2theta) = cos2 (theta) — sin2 (theta). Комбинируя эту формулу с тождеством Пифагора, cos2 (theta) + sin2 (theta) = 1, появляются две другие формы: cos (2theta) = 2cos2 (theta) -1 и cos (2theta) = 1-2sin2 (theta). Их можно использовать для нахождения формул уменьшения мощности, которые уменьшают триггерную функцию второй или более высокой степени до первой степени.Эти формулы очень полезны в математическом анализе.

Я хочу поговорить о других формах тождеств двойного угла косинуса. Во-первых, давайте вспомним пифагорейскую идентичность и две другие ее формы. Косинус в квадрате плюс синус в квадрате, равный 1, также может быть записан как косинус в квадрате, тета равен 1 минус синус в квадрате, тета или синус в квадрате, тета равен 1 минус косинус в квадрате, тета. Теперь исходная формула двойного угла косинуса такова: косинус 2 тэта равен косинусу в квадрате тета минус синус в квадрате тета, но я могу использовать свои пифагоровы тождества, чтобы переписать это, так что другой формой будет косинус ой косинус 2 тета равен альфа косинус тета I ‘ Я заменим его на 1 минус синус в квадрате тета минус синус тета синус в квадрате тета, и это 1 минус 2 синус в квадрате тета, так что это вторая форма, косинус 2 тета равен 1 минус 2 синус в квадрате тета, но мы также можем сделать косинус 2 тета равным и начав отсюда я могу заменить синус в квадрате на 1 минус косинус, поэтому я получаю косинус в квадрате тета минус 1 минус синус в квадрате тета и минус распределяется, я получаю минус 1, извините, это должен быть косинус, поехали, наш минус 1 распределяет мы получаем минус 1 и минус минус плюс косинус в квадрате тета, поэтому косинус в квадрате тета минус 1 плюс косинус в квадрате тета равен 2, косинус в квадрате тета минус 1, они очень похожи.Косинус 2 тета равен 1 минус 2, синус в квадрате тета, косинус 2 тета равен 2 косинусу в квадрате минус 1.
Для того, чтобы запомнить, какой из них является, помните, что исходная формула двойного угла косинуса косинус — это тот, что положительный синус — это тот, который отрицателен, поэтому в других формах синус все еще отрицательный, а косинус все еще положительный.

Закон косинусов

Для любого треугольника:

a , b и c — боковые стороны.

C — угол противоположной стороны c

Закон косинусов (также называемый правилом косинусов ) гласит:

c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Это помогает нам решать несколько треугольников. Посмотрим, как им пользоваться.

Пример: Какова длина стороны «c» …?

Мы знаем угол C = 37º, а стороны a = 8 и b = 11

Закон косинусов говорит: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Введите известные нам значения: c ² = 8 ² + 11 ² — 2 × 8 × 11 × cos (37º)

Сделайте некоторые вычисления: c ² = 64 + 121 — 176 × 0.798…

Дополнительные вычисления: c ² = 44,44 …

Извлеките квадратный корень: c = √44,44 = 6,67 с точностью до 2 знаков после запятой

Ответ: c = 6,67

Как помнить

Как можно запомнить формулу?

Что ж, полезно знать, что это теорема Пифагора с кое-чем дополнительным, чтобы она работала для всех треугольников:

Теорема Пифагора:
(только для прямоугольных треугольников) a ² + b ² = c ²

Закон косинусов:
(для всех треугольников) a ² + b ² — 2ab cos (C) = c ²

Итак, чтобы запомнить:

думаю « abc »: a ² + b ² = c ²,
, затем 2 nd « abc «: 2ab cos ( C ),
и сложите их вместе: a ² + b ² — 2ab cos (C) = c ²

Когда использовать

Закон косинусов полезно найти:

третья сторона треугольника, когда мы знаем две стороны и угол между ними (как в примере выше)
углы треугольника, когда мы знаем все три стороны (как в следующем примере)

Пример: что такое угол «C»…?

Сторона длины «8» противоположна углу C , поэтому это сторона c . Две другие стороны — a и b .

Теперь давайте поместим то, что мы знаем, в Закон косинусов :

Начать с: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Вставьте a, b и c: 8 ² = 9 ² + 5 ² — 2 × 9 × 5 × cos (C)

Вычислить: 64 = 81 + 25 ^{-90 × cos (C)}

Теперь мы используем наши навыки алгебры, чтобы переставить и решить:

Вычтем 25 с обеих сторон: 39 = 81 ^{-90 × cos (C)}

Вычтем 81 из обеих частей: −42 = ^{−90 × cos (C)}

Поменять местами стороны: −90 × cos (C) = −42

Разделим обе части на −90: cos (C) = 42/90

Обратный косинус: C = cos ⁻¹ (42/90)

Калькулятор: C = 62.2 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

В других формах

Более простая версия для углов

Мы только что видели, как найти угол, когда мы знаем три стороны. Потребовалось довольно много шагов, поэтому проще использовать «прямую» формулу (которая представляет собой просто перестановку формулы c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C) формулы). Может быть в любой из этих форм:

cos (Кл) = a ² + b ² — c ² 2ab

cos (А) = б ² + с ² — а ² 2bc

cos (B) = c ² + a ² — b ² 2ca

Пример: найти угол «C» по закону косинусов (угловая версия)

В этом треугольнике мы знаем три стороны:

Используйте Закон косинусов (угловая версия), чтобы найти угол C :

cos C = (a ² + b ² — c ²) / 2ab

= (8 ² + 6 ²-7 ²) / 2 × 8 × 6

= (64 + 36 — 49) / 96

= 51/96

= 0.53125

C = cos ⁻¹ (0,53125)

= 57,9 ° с точностью до одного десятичного знака

Версии для a, b и c

Кроме того, мы можем переписать формулу c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C) в форму ² = и b ² =.

Вот все три:

a ² = b ² + c ² — 2bc cos (A)

b ² = a ² + c ² — 2ac cos (B)

c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

Но проще запомнить форму « c ² =» и при необходимости изменить буквы!

Как в этом примере:

Пример: найти расстояние «z»

Буквы разные! Но это не имеет значения.Мы можем легко заменить x на a, y на b и z на c

Начать с: c ² = a ² + b ² — 2ab cos (C)

x для a, y для b и z для cz ² = x ² + y ² — 2xy cos (Z)

Введите известные нам значения: z ² = 9,4 ² + 6,5 ² — 2 × 9,4 × 6,5 × cos (131º)

Вычислить: z ² = 88,36 + 42,25 — 122,2 × (-0,656 …)

z ² = 130,61 + 80.17 …

z ² = 210,78 …

z = √210,78 … = 14,5 с точностью до 1 десятичного знака.

Ответ: z = 14,5

Вы заметили, что cos (131º) отрицателен, и это меняет последний знак в вычислении на + (плюс)? Косинус тупого угла всегда отрицателен (см. Единичный круг).

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Триггер без слез Часть 2:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Каждая из шести триггерных функций просто одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону . Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция — длина одного отрезка линии. простой способ запомнить все шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса , не как самостоятельные функции.

Два основных: синус и косинус

Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов). раз дольше скачивать).Триггерные функции — это не что иное, как длины различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях . Так как сторон три, то 3 × 2 = 6 разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это почему есть шесть триггерных функций, не больше и не меньше .

Из этих шести функций тройка, косинус и касательно львиная доля работы. (Остальные изучаются, потому что их можно использовать для упростите некоторые выражения.) Ну начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно основные а остальные зависят от них.

Вот один из обычных способов показать прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы а , б , в стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими заглавные буквы A , B , C . В большинстве книг используется это соглашение: строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .

Два основных определения отмечены на схеме. Вы должны сохранить их в памяти .Фактически, они должны стать второй натурой для вы, чтобы вы их узнавали, как бы ни повернулся треугольник вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на диаграмме). Косинус равен равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).

(1) Запомнить:

синус = (противоположная сторона) / гипотенуза

косинус = (смежная сторона) / гипотенуза

Какой синус у B на диаграмме? Помните opp / hyp: противоположное сторона b , а гипотенуза c , поэтому sin B = b / c .А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: прилегающая сторона a , поэтому cos B = a / c .

Вы заметили, что синус одного угла является косинусом другого? Так как A + B + C = 180 для любого треугольник, а C — 90 в этом треугольнике, A + B должны равно 90. Следовательно A = 90 — B и B = 90 — A .Когда два угла складываются 90, каждый угол — это со дополнением другого, а синус каждого угла составляет co, синус другого угла. Это идентификаторы совместных функций :

(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )

cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )

Выражения для длин сторон

Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы позвольте вам записать длины сторон через гипотенуза и углы.Например, когда вы знаете что b / c = cos A , вы можно умножить на c и получаем b = c × cos A . Вы можете написать еще выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса? Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому b / c = sin B . Умножить через c , и у вас есть b = c × sin B .

Вы видите, как записать два выражения для длины стороны а ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что a = c × sin A = c × cos B .

Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52 и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны b ? Подсказка: нарисуйте картинку и обозначьте A , c , и b .

Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но, по крайней мере, сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен, так что вы знаете, что совершили ошибку. В моем маленьком эскизе я установил чтобы сделать угол A чуть больше 45, но на мой взгляд похоже немного меньше. Это нормально.

Вы можете заметить, что я пометил сторону как , хотя мы не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было подумать, с какой стороны было б .Всегда помни правило что сторона с данной буквой противоположна углу с этим письмо. (И, условно, мы всегда ставим C справа угол, так что c гипотенуза.)

Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто. простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.

cos A = b / c

б = c × cos A = 150 × cos 52 = около 92.35 м.

Пример: Оттяжка закреплена в земле. и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей под углом 63, какова длина растяжки?

Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и гипотенуза c неизвестный. Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу? Это должен быть синус. Ты знаешь что

sin A = a / c

Следовательно,

c = a / sin A = 45 / sin 63 = около 50.5 футов

Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников. когда нет прямого угла. Ну что ж, под темой Решение треугольников.

Синус и косинус в единичной окружности

Часто всплывает один важный особый случай. Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a прямоугольный треугольник . Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то a = sin A и b = cos A .Другими словами, в прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а соседняя сторона будет равна косинусу угла.

Треугольник часто рисуют в единичном круге , круге радиус 1, как показано справа. Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне лежит по оси x. Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1. Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы — ноги треугольника x и y : ( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки триггерных тождеств.

Другие четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни; Они просто комбинации первых двух . Вы могли бы сделать все тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете о них к экзаменам.

Мне легче запомнить (извините!) Определение касательной через синус и косинус:

(3) Запомнить:

tan A = (sin A ) / (cos A )

Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного больше чем последние три функции. (Я доберусь до них через минуту.)

Есть альтернативный способ запомнить значение касательной . Помните из схемы что sin A = напротив / гипотенуза и cos A = смежный / гипотенуза.Подставьте их в уравнение 3, определение функция загара, и у вас загар A = (противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или

(4) касательная = (противоположная сторона) / (смежная сторона)

Обратите внимание, что это , а не помечены как запомнить: вам не нужно запомнить, потому что это вытекает непосредственно из определения уравнение 3, и фактически эти два утверждения эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и загар.Однако, если хотите, можете запомнить уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество уравнение 3, когда вам это нужно.

Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы флагштока, если провод встречается с землей в угол 63?

Решение: Это вариант предыдущий пример. Этот время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не гипотенуза.Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и прилегающая сторона b неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону? Это касательная. Вы знаете, что

загар A = a / b

Следовательно,

b = a / tan A = 45 / tan 63 = около 22,9 футов

Итак, я сказал, что вы можете выполнить все триггеры только с синусами и косинусы.Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет

sin A = a / c ⇒ c = a / sin A и

cos A = b / c ⇒ c = b / cos A . Следовательно,

b / cos A = a / sin A

b = a × cos A / sin A = 45 × cos 63 / sin 63 = около 22.9 футов

В конце концов, вы попали в то же место, но путь был дольше. Таким образом, хотя это и не обязательно, касательная может облегчить вашу работу.

Остальные три триггера функции котангенс, секанс и косеканс являются определяется в терминах первых трех . Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.

(5) Запомнить:

Детская кроватка A = 1 / (желтовато-коричневый A )

сек A = 1 / (cos A )

csc A = 1 / (sin A )

Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.

(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете часто. Но уравнение 5 делает последние, что вам придется сесть и запомнить только их собственн.)

К сожалению, определения в уравнении 5 не являются самая легкая вещь в мире для запоминания. Равняется ли секанс на 1? синус или 1 над косинусом? Вот два полезных совета : Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны. уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как синус и косинус, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что детская кроватка A равно 1 / sin A .

За альтернативный подход к запоминанию выше идентификаторов, вам может понравиться:

Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и котангенс. Каждый является совместной функцией другого, как синус и косинус:

(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )

Детская кроватка A = желто-коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )

Если вы хотите это доказать, это легко определения и уравнение 2:

Детская кроватка A = 1 / tan A

Примените определение загара:

Детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )

Упростим дробь:

Детская кроватка A = cos A / sin A

Применить уравнение 2:

детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )

Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению функция загара, уравнение 3:

Детская кроватка A = коричневый (90 — A )

Касательная и co тангенс — это такие же функции, как синус и co синус.Выполняя такую же замену, вы можете показать, что секанс и Секущие co также являются совместными функциями:

(7) с A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )

csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )

Шесть функций в одном изображении

Вы видели ранее, как синус и косинус угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.

единичный круг (радиус = AB = 1)
sin θ = BC; cos θ = AC; загар θ = ED
csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Изображение предоставлено TheMathPage

На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Ты уже знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .

А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы круг, вы можете догадаться, что его длина составляет загар θ , и вы бы верно.Треугольники ABC и AED похожи, поэтому

ED / AD = BC / AC

ED / 1 = sin θ / cos θ

ED = загар θ

Больше информации исходит от той же пары одинаковых треугольников:

AE / AB = AD / AC

AE / 1 = 1 / cos θ

AE = сек θ

Длины для детской кроватки θ и csc θ придут. из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на треугольник AED. (Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией, соответствующие углы, обозначенные как θ в диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы окружности, а значит, углы G и θ равны. )

Используя аналогичные треугольники GAF и AED,

FG / FA = AD / ED

FG / 1 = 1 / tan θ

FG = детская кроватка θ

В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF.Следовательно, FG — котангенс исходного угла θ (или угла GAD).

Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы также можно сказать, что

AG / FA = AE / ED

AG / 1 = сек θ / tan θ

AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )

AG = 1 / sin θ

AG = csc θ

Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре единичный круг:

sin θ = BC; cos θ = переменный ток; tan θ = ED

csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, поработайте над ними. без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 Найдите все шесть функций угла 30. Найдите синус, косинус, и тангенс 60. 2 Найдите sin A , sin B , tan A и tan B .3 A ≈ 53,13. Найдите примерную площадь треугольник. Подсказка: площадь треугольника равна основание × высота /2.

BTW: Зачем называть это синусом?

Очевидно, почему название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус функция? Как он получил свое название?

Посмотрите на изображение еще раз, и обратите внимание, что sin θ = BC — половина хорды круга.Индуистский математик Арьябхата старший (около 475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда. В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе письма джива было написано так же, как арабское слово джайб, означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую. синус, или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.

Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым опубликовать сокращения sin и tan для sin и касательная.

Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический Наслаждения (1998, Princeton University Press), стр. 3536. Я настоятельно рекомендую вам обратиться к книге для более полного отчета.

Что нового

27 сентября 2017 г. : откорректировать 29,2 футов до 22,9 футов, здесь и здесь, спасибо Райану МакПарлану.
29 октября 2016 г. :
(промежуточные изменения подавлены)
19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 3 / Специальные уголки

Косинус

Косинус, записываемый как cos⁡ (θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения косинусов

Существует два основных способа обсуждения тригонометрических функций: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводят определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

Соседний: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
Справа: сторона, противоположная θ.
Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, противоположная прямому углу.

Пример:

Найдите cos (⁡θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию косинуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Самолет пролетает над человеком. Человек регистрирует угол возвышения 25 °, когда расстояние по прямой (гипотенуза треугольника) между человеком и самолетом составляет 14 миль. Какое расстояние по горизонтали между самолетом и человеком?

Учитывая информацию выше, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, в котором x — это расстояние по горизонтали между человеком и плоскостью, расстояние по прямой между человеком и плоскостью — это гипотенуза, а расстояние по вертикали между конечными концами x, а гипотенуза образует прямой угол треугольника.Затем мы можем найти горизонтальное расстояние x, используя функцию косинуса:

x = 14 × cos⁡ (25 °) ≈ 12,69

Горизонтальное расстояние между человеком и самолетом составляет около 12,69 миль.

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах).Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область определения тригонометрических функций на все действительные числа. См. Рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичного круга, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованной вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки.Конечная сторона угла — это гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус единичной окружности. Следовательно, он всегда имеет длину 1. Таким образом, мы можем использовать определение косинуса в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что

означает, что значение x любой точки на окружности единичной окружности равно cos⁡ (θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольных треугольников, если он находится в пределах области cos domain (θ).Область определения функции косинуса — (-∞, ∞), а диапазон функции косинуса — [-1, 1].

Значения функции косинуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения косинуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда косинусов Тейлора. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение косинуса вручную, и вам будет предоставлена таблица, калькулятор или другие справочные материалы.

Калькулятор косинусов

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение косинуса угла или угол по значению косинуса.

Часто используемые уголки

Хотя мы можем найти cos (θ) для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов в радианах и градусах, а также координаты их соответствующих точек на единичной окружности.

Приведенный выше рисунок служит справочным материалом для быстрого определения косинусов (значение x) и синусов (значение y) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, косинус имеет значение 0 при 90 ° и значение 1 при 0 °.Синус следует противоположному шаблону; это потому, что синус и косинус являются совместными функциями (описаны позже). Другие часто используемые углы — 30 ° (), 45 ° (), 60 ° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, поскольку они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения cos (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, cos⁡ (0 °) = 1 =.Последующие значения cos (30 °), cos (45 °), cos (60 °) и cos (90 °) следуют шаблону, так что, используя значение cos (0 °) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже:

С 90 ° до 180 ° вместо этого мы увеличиваем число под корнем на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол. Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому значения будут равными, но отрицательными. .В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для синуса. При необходимости обратитесь к странице синуса.

Знание значений косинуса и синуса для углов в первом квадранте позволяет нам определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах в координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорный угол

Базовый угол — это острый угол (<90 °), который можно использовать для обозначения угла любой меры.Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол от 0 ° до 90 °. Это всегда наименьший угол (относительно оси x), который может быть получен с конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ '.

Поскольку θ ‘является опорным углом θ, cos both (θ) и cos⁡ (θ’) имеют одинаковое значение. Например, 30 ° — это опорный угол 150 °, и если мы обратимся к единичному кругу, мы увидим, что косинусы обоих имеют величину, хотя и имеют разные знаки.Поскольку все углы имеют опорный угол, нам действительно нужно знать только значения cos⁡ (θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения той же величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки, основанные на квадранте, в котором находится конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

	Косинус	Синус	Касательная
Квадрант I	+	+	+
Квадрант II	—	+	—
Квадрант III	—	—	+
Квадрант IV	+	—	—

После определения опорного угла мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применив соответствующий знак их значения для опорного угла.Чтобы найти опорный угол заданного угла θ, можно использовать следующие шаги:

Вычтите 360 ° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть от 0 ° до 360 ° или от 0 до 2π). Если полученный угол составляет от 0 ° до 90 °, это опорный угол.
Определите, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла расположена вдоль положительной оси x)
В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.В квадранте I θ ‘= θ.

Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV

θ ‘= 180 ° — θ	θ ‘= θ — 180 °	θ ‘= 360 ° — θ

Пример:

Найдите cos⁡ (120 °).

θ уже находится между 0 ° и 360 °
120 ° лежит во II квадранте
180 ° — 120 ° = 60 °, поэтому исходный угол составляет 60 °

.120 ° находится в квадранте II, а косинус отрицателен во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найдите cos⁡ (1050 °).

1050 ° — 360 ° = 690 ° — 360 ° = 330 °
330 ° лежит в квадранте IV
360 ° — 330 ° = 30 °, поэтому исходный угол равен 30 °

. 330 ° находится в квадранте IV, а косинус положительный в квадранте IV, поэтому:

Свойства функции косинуса

Ниже приводится ряд свойств функции косинуса, которые может быть полезно знать при работе с тригонометрическими функциями.

Косинус является совместной функцией синуса

Кофункция — это функция, в которой f (A) = g (B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса

cos⁡ (θ) = sin⁡ (90 ° — θ)

sin⁡ (θ) = cos⁡ (90 ° — θ)

Пример:

cos⁡ (30 °) = sin⁡ (90 ° — 30 °) = sin⁡ (60 °)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡ (30 °) и sin⁡ (60 °) и увидеть, что:

Косинус — четная функция

Четная функция — это функция, в которой f (x) = f (-x), что означает, что отражение графика по оси Y даст тот же график.Таким образом,

cos⁡ (θ) = cos⁡ (-θ)

Пример:

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (-60 °)

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (300 °)

Обращаясь к единичной окружности, мы видим, что cos⁡ (60 °) = и cos⁡ (-60 °) эквивалентен cos⁡ (300 °), который также равен. Это только один пример, но это свойство верно для всех θ.

Косинус — периодическая функция

Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

е (х + р) = е (х)

для всех x в области f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся к нашей начальной точке. Если мы посмотрим на функцию косинуса, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период функции косинуса. Мы можем записать это как:

cos⁡ (θ + 2π) = cos⁡ (θ)

Чтобы учесть несколько полных оборотов, это также можно записать как

cos⁡ (θ + 2πn) = cos⁡ (θ)

, где n — целое число.

На рисунке ниже показан пример этой периодичности.

Синим цветом мы это видим. . Если мы прибавим 2π к, мы получим угол, показанный красным,. Как видно из рисунка, несмотря на разную степень вращения в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, что означает, что. Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидеть, что оно имеет то же значение косинуса, что и. Такова природа периодических функций. называются концевыми углами; это углы с одинаковой начальной и конечной сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

График функции косинуса

График косинуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Если бесконечно повторять эту часть y = cos inde (x) слева и справа, то получится полный график косинуса.Ниже приведен график, показывающий четыре периода функции косинуса в интервале [-4π, 4π].

На этом графике мы видим, что y = cos⁡ (x) демонстрирует симметрию оси y; отражение графика косинуса по оси y дает тот же график. Это подтверждает, что косинус является четной функцией, поскольку cos⁡ (x) = cos⁡ (-x).

Уравнение общего косинуса

Общий вид функции косинуса:

y = A · cos (B (x — C)) + D

где A, B, C и D — константы.Чтобы иметь возможность изобразить уравнение косинуса в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = cos⁡ (x), как показано выше. Чтобы применить все, что написано ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = cos⁡ (x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A = 1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон cos (x) .

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, функция y = 2 cos⁡ (x) (красный) имеет амплитуду, которая в два раза больше, чем у исходного графика косинуса.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей совпадающей точки) и может быть найден как. В y = cos⁡ (x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на пики на графике косинусов. При x = 0 y = cos⁡ (x) имеет пик.Первый раз на функции появляется еще один пик при x = & plusmn2π, подтверждая, что период косинуса равен 2π.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, который имеет период 2π, y = cos⁡ (2x) (красный) имеет период . Это означает, что график повторяется каждое π, а не каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево. Если C положительно, функция сдвигается вправо.Остерегайтесь знака; если у нас есть уравнение, то C нет, потому что это уравнение в стандартной форме. Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево.

На рисунке ниже показано y = cos⁡ (x) (фиолетовый) и (красный). Используя один из пиков графика косинуса в качестве ориентира, мы можем увидеть, что пик в точке (0,1) был смещен влево от своего исходного положения и теперь находится в точке (, 1).

D — вертикальный сдвиг функции; если D положительный, график сдвигается вверх на D единиц, а если он отрицательный, график сдвигается вниз.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, с центром на оси x (y = 0), y = cos⁡ (x) +5 (красный) с центром на линии y = 5 (синий).

Объединив все приведенные выше примеры, на рисунке ниже показан график (красный) по сравнению с графиком y = cos⁡ (x) (фиолетовый).

См. Также синус, тангенс, единичную окружность, тригонометрические функции, тригонометрию.

2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения

М.Борн

Для угла θ в прямоугольном треугольнике, как показано, мы назовем стороны как:

гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу)
рядом (сторона «рядом» θ )
напротив (сторона, наиболее удаленная от угла θ )

Мы, , определяем три тригонометрических отношения синус θ , косинус θ и тангенс θ следующим образом (мы обычно записываем их в сокращенной форме sin θ cos θ и tan θ ):

`sin theta = текст (напротив) / текст (гипотенуза)` cos \ theta = text (смежный) / text (гипотенуза) `tan theta = text (напротив) / text (смежный)`

Чтобы запомнить это, многие люди используют SOH CAH TOA, то есть:

S дюйм θ = O pposite / H ypotenuse,
C os θ = A djacent / H ypotenuse и
T и θ = O pposite / A djacent

Взаимные тригонометрические отношения

Часто бывает полезно использовать обратные отношения, в зависимости от проблемы.(На простом английском языке, величина, обратная дроби, находится путем переворачивания дроби.)

«косеканс» \ θ` является обратной величиной «синуса» \ θ`,
«секущая» \ θ` является обратной величиной «косинус» \ θ`, а
«Котангенс» \ θ` является обратной величиной «касательной» \ θ`

Обычно мы записываем их в краткой форме как `csc \ θ`,` sec \ θ` и `cot \ θ` . (В некоторых учебниках « csc » пишется как « cosec ». Это то же самое.)

`csc \ theta = text (гипотенуза) / текст (напротив)` sec \ theta = text (гипотенуза) / текст (рядом) `cot \ theta = text (смежный) / text (напротив)`

Важное примечание: Существует большая разница между csc θ и sin ^-1 θ .

Первый является обратным: `csc \ theta = 1 / (sin \ theta)`.
Второй включает поиск угла , синус которого равен θ .

Итак, на вашем калькуляторе не используйте кнопку sin ^-1, чтобы найти csc θ .

Мы познакомимся с идеей sin ^-1 θ в следующем разделе, Значения тригонометрических функций.

Тригонометрические функции на плоскости

x-y
Для угла в стандартном положении мы определяем тригонометрические отношения в виде x , y и r :
`sin theta = y / r« cos theta = x / r` `tan theta = y / x`
Обратите внимание, что мы все еще определяем
sin θ as «opp» / «hyp» `;
cos θ как «adj» / «hyp» `, и
tan θ as «opp» / «adj» `,
, но мы используем конкретные значения x -, y — и r , определяемые точкой ( x , y ), через которую проходит терминальная сторона.2) `
Неудивительно, что обратные отношения определяются аналогичным образом в терминах значений x -, y — и r — следующим образом:
`csc \ theta = r / y« sec \ theta = r / x` `детская кроватка \ theta = x / y`
Мы увидим несколько примеров нахождения точных значений в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».
Правило косинуса — объяснение и примеры
В прошлой статье мы увидели, как правило синуса помогает нам вычислить недостающий угол или недостающую сторону, когда известны две стороны и один угол или когда известны два угла и одна сторона.
Но что вы будете делать, когда вам даны только три стороны треугольника и вам нужно найти все углы?
В 15 ^{-м веке} эта проблема была решена, когда персидский математик Джамшид аль-Каши представил закон косинусов в форме, пригодной для триангуляции. Во Франции она до сих пор известна как Теорема д’Аль-Каши .
В этой статье вы узнаете о:
Законе косинусов,
как применять закон косинусов для решения задач и
формуле закона косинусов.
Что такое закон косинусов?
Закон косинусов также называется правилом косинусов , — это формула, которая связывает длины трех сторон треугольника с косинусом.
Правило косинуса полезно двумя способами:
Мы можем использовать правило косинуса, чтобы найти три неизвестных угла треугольника, если известны длины трех сторон данного треугольника.
Мы также можем использовать правило косинуса, чтобы найти длину третьей стороны треугольника, если известны две длины сторон и угол между ними.
Формула закона косинусов
Рассмотрим наклонный треугольник ABC, показанный ниже. Наклонный треугольник — это не прямоугольный треугольник. Помните, что длина сторон обозначена строчными буквами, а углы — заглавными.
Также обратите внимание, что для каждого угла длина противоположной стороны обозначается одной и той же буквой.
Закон косинусов гласит, что:
⇒ (a) ² = [b ² + c ² — 2bc] cos ( A )
⇒ (b) ² = [a ² + c ² — 2ac] cos ( B )
⇒ (c) ² = [a ² + b ² — 2bc] cos ( C )
Вы заметили, что уравнение c ² = a ² + b ² — 2bc cos ( C ) похоже на теорему Пифагора, за исключением последних членов, ”- 2bc cos ( C ).По этой причине мы можем сказать, что теорема Пифагора является частным случаем правила синуса.
Доказательство закона косинусов
Правило косинусов можно доказать, рассматривая случай прямоугольного треугольника. В этом случае проведем перпендикулярную линию от точки A до точки O на стороне BC.
Пусть сторона AM будет h.
В прямоугольном треугольнике ABM косинус угла B определяется как:
Cos ( B ) = Соседний / Гипотенуза = BM / BA
Cos ( B ) = BM / c
BM = c cos ( B )
Учитывая, что BC = a, следовательно, MC рассчитывается как:
MC = a — BM
= a — c cos ( B ) ……………………………………………… (i)
В треугольнике ABM , синус угла B определяется выражением;
Синус B = Противоположность / Гипотенуза = h / c
h = c синус B …………………………………………………… (ii)
Применяя теорему Пифагора в прямоугольный треугольник AMC , имеем,
AC ² = AM ² + MC ² ……………………………………………… (iii)
Подставьте уравнение (i) и (ii) в уравнение (iii).
b ² = (c синус B) ² + ( a — c Cos B ) ²
b ² = c ² синус ² B + a ² — 2ac Cos B + c ² Cos ² C
Преобразование приведенного выше уравнения:
b ² = c ² Синус ² B + c ² Cos ² C + a ² — 2ac Cos B
Факторинг.
b ² = c ² (синус ² B + Cos ² C ) + a ² — 2ac Cos B
Но из тригонометрических тождеств мы знаем, что ,
sin ² θ + cos ² θ = 1
Следовательно, b ² = c ² + a ² — 2ac Cos B
Следовательно, косинус закон доказан.
Как использовать правило косинуса?
Если вам нужно найти длины сторон треугольника, мы воспользуемся правилом косинуса в форме;
⇒ (a) ² = [b ² + c ² — 2bc] cos ( A )
⇒ (b) ² = [a ² + c ² — 2ac] cos ( B )
⇒ (c) ² = [a ² + b ² — 2bc] cos ( C )
И если нам нужно найти размер угла , воспользуемся правилом косинуса формы;
⇒ cos A = (b ² + c ² — a ²) / 2bc
⇒ cos B = (a ² + c ² — b ²) / 2ac
⇒ cos C = (a ² + b ² — c ²) / 2ab
Давайте теперь проверим наше понимание правила косинуса, попробовав несколько примеров задач.
Пример 1
Вычислите длину стороны AC треугольника, показанного ниже.
Решение
Поскольку мы хотим вычислить длину, мы будем использовать правило косинуса
в форме;
⇒ (b) ² = [a ² + c ² — 2ac] cos ( B )
Путем подстановки получаем,
b ² = 4 ² + 3 ² — 2 x 3 x 4 cos ( 50 )
b ² = 16 + 9 — 24cos50
= 25 — 24cos 50
b ² = 9.575
Определите квадратный корень из обеих частей, чтобы получить
b = √9,575 = 3,094.
Следовательно, длина АС = 3,094 см.
Пример 2
Вычислите все три угла треугольника, показанного ниже.
Решение
Поскольку все три стороны треугольника заданы, нам нужно найти размеры трех углов A, B и C. Здесь мы будем использовать правило косинуса в форма;
⇒ Cos (A ) = [b ² + c ² — a ²] / 2bc
⇒ Cos (B) = [a ² + c ² — b ²] / 2ac
⇒ Cos ( C) = [a ² + b ² — c ²] / 2ab
Решите для угла A:
Cos A = (7 ² + 5 ²-10 ²) / 2 x 7 x 5
Cos A = (49 + 25-100) / 70
Cos A = -26/70
Cos A = — 0 .3714.
Теперь определите cos, обратный — 0,3714.
A = Cos ^-1 — 0,3714.
A = 111,8 °
Решить для угла B:
Путем подстановки,
cos B = (10 ² + 5 ²-7 ²) / 2 x 10 x 7
Упростить .
Cos B = (100 + 25 — 49) / 140
Cos B = 76/140
Определите cos, обратный 76/140
B = 57,12 °
Решите для угла C:
Путем замены,
cos C = (10 ² + 7 ²-5 ²) / 2 x 10 x 7
Cos C = (100 + 49-25) / 140
Cos C = 124 / 140
Определите cos, обратный 124/140.
C = 27,7 °
Следовательно, три угла треугольника равны; А = 111,8 °, В = 57,12 ° и С = 27,7 °.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок .

РубрикаРазное

Косинус равен 2: Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Версия для печати.

Mathway | Популярные задачи

ACOS (функция ACOS) — Служба поддержки Office

Описание

Синтаксис

Замечания

Пример

Таблица косинусов, полная таблица косинусов для студентов

Таблица косинусов 0° — 180°

Таблица косинусов 180° — 360°

Таблица косинусов — 2mb.ru

Таблица косинусов

Таблица косинусов для основных углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.

Теорема косинусов — Тригонометрия

косинусов

Упражнения

Подсказки

Ответы

Другие формы формулы двойного угла косинуса — Концепция

Закон косинусов

Пример: Какова длина стороны «c» …?

Как помнить

Когда использовать

Пример: что такое угол «C»…?

В других формах

Более простая версия для углов

Пример: найти угол «C» по закону косинусов (угловая версия)

Версии для a, b и c

Пример: найти расстояние «z»

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Два основных: синус и косинус

Выражения для длин сторон

Синус и косинус в единичной окружности

Другие четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Шесть функций в одном изображении

Практические задачи

BTW: Зачем называть это синусом?

Что нового

Косинус

Определения косинусов

Определение прямоугольного треугольника

Определение единичной окружности

Значения функции косинуса

Калькулятор косинусов

Часто используемые уголки

Опорный угол

Свойства функции косинуса

Косинус является совместной функцией синуса

Косинус — четная функция

Косинус — периодическая функция

График функции косинуса

Уравнение общего косинуса

2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения

Взаимные тригонометрические отношения

Тригонометрические функции на плоскости

Правило косинуса — объяснение и примеры

Что такое закон косинусов?

Формула закона косинусов

Доказательство закона косинусов

Как использовать правило косинуса?

Добавить комментарий Отменить ответ