Косинус пи 2: Mathway | Популярные задачи
2 Пи или не 2 Пи — вот в чём вопрос / Хабр
Перевод поста Giorgia Fortuna «2 Pi or Not 2 Pi?».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.
Три месяца назад мир (или по крайней мере мир гиков) праздновал день Пи (03.14.15…). Сегодня (6/28 — 28 июня 2015 г.) другой математический день — день 2π, или
день Тау(2π = 6.28319…).
Некоторые говорят, что день тау действительно является днём для празднования, и что τ (= 2π), а не π, должен быть самой важной константой. Все началось в 2001 году со вступительного слова знаменитого эссе Боба Пале, математика из университета Юты:
“Я знаю, что некоторые сочтут это богохульством, но я считаю, что π — это ошибка”.
Это вызвало в некоторых кругах празднование дня тау — или, как многие говорят, единственного дня, в который можно съесть два пи(рога) (2pies≈2π — игра слов в англ. языке).
Однако правда ли то, что τ — константа получше? В современном мире это довольно просто проверить, а Wolfram Language делает эту задачу ещё проще (действительно, недавний пост в блоге Майкла Тротта о датах в числе пи, вдохновлённый постом Стивена Вольфрама о праздновании векового дня числа пи, весьма активно задействовал Wolfram Language).
Вот облако из некоторых формул, построенное с помощью функции WordCloud, содержащих 2π:
Я обнаружила, что лишь 18% рассматриваемых формул содержат 2π, из чего следует, что перейти на использование
Но почему тогда сторонники использования τ считают, что мы должны перейти к использованию этого нового символа? Одна из причин заключается в том, что использование τ должно сделать тригонометрию проще для изучения и понимания. В конце концов, в тригонометрии мы используем не углы, а радианы, а в окружности содержится 2π радиан. Это означает, что четверти круга соответствует 1/2π радиан, или π/2, а не четверть чего-то! От этой несправедливости можно избавиться введением символа τ, и тогда каждой части окружности будет соответствовать такая же часть от τ.
Лично у меня использование числа π не вызывает каких-то сильных негативных чувств, и честно говоря, я не думаю, что использование τ позволило бы студентам быстрее изучать тригонометрию. Давайте вспомним о двух самых важных тригонометрических функциях — синусе и косинусе. Пожалуй, самые важные в изучении тригонометрии формулы — sin= cos(2π) = 1, и sin() = cos(π) = –1. Я не только всегда предпочитала использовать косинус потому, что его значения легче запомнить (нет никаких дробных значений в π и 2π), но я и также всегда помнила, что синус и косинус отличаются тем, что одна функция принимает ненулевые значения в точках, кратных π, а другая принимает ненулевые значения в дробных частях π. Если использовать
Учитывая вышесказанное, получается, что использование τ или π есть вопрос личного предпочтения.
Это справедливое заключение, однако нам нужен более строгий подход для определения того, какая из констант более полезна.
Даже тот подход, которым я руководствовалась вначале, может привести к неправильным выводам. В Тау манифесте Майкл Хартл приводит некоторые примеры тех мест, где часто можно встретить 2π:
И в самом деле, все эти формулы выглядели бы проще, если бы мы использовали τ. Однако это всего лишь шесть формул из того огромного количества, которые ученые регулярно используют, и как я упоминала ранее, не так уж много математических выражений содержат 2π. Тем не менее, вполне возможно, что формулы, не содержащие 2π, будут более простыми, если будут записаны через τ. Например, выражение 4π² запишется просто как τ².
Поэтому я вернулась к научным статьям, чтобы выяснить, сделает ли использование τ вместо 2π (и τ/2 вместо π) формулы более простыми. Например, вот те, которые станут более простыми с использованием τ:
А вот некоторые из тех, которые не станут:
Позвольте объяснить, что я подразумеваю под более простой формой записи на примере: если я возьму часть, содержащую π в нижней левой формуле таблицы с формулами Тау манифеста (см.
выше):
Я могу заменить π на τ/2 с помощью функции ReplaceAll и получить:
Посмотрев на эти два выражения, можно увидеть, что второе проще. И дело здесь не в интуиции — во втором просто меньше символов. Для большей ясности можно рассмотреть соответствующие им древовидные графы посредством функции TreeForm:
Для получения численного представления их различия мы можем использовать количества ветвей дерева, которые соответствуют числу символов в исходных формулах:
Чтобы определить, упрощается ли формула в результате использования τ, я вычислила сложность каждой формулы (которая определяется количеством ветвей дерева), содержащей π, для формул из статей, в зависимости от того, какая из констант используется — π или τ. Для большей точности я сначала удалила все выражения, которые были равны или эквивалентны π или 2π. Я чувствовала, что будет несправедливо их учитывать, потому что они часто встречаются сами по себе, вне формул.
Затем я сравнила случаи, когда использование
Я заметила вот что: если выражение становится более или менее сложным, то это значит, что количество ветвей у него менее 40. В самом деле, если посмотреть на процент формул, которые становятся проще при использовании π или τ и имеют количество ветвей меньше определённого значения, то вы увидите следующую картину:
Более важное наблюдение заключается в том, что по мере роста сложности формулы ситуация резко меняется. Даже если выбрать формулы со сложностью большей, чем 3, как рассмотренная ранее формула , то тогда лишь 48% формул станут проще с использованием π против 52% для τ.
Приведенные ниже графики показывают, как процентные отношения формул, которые проще с использованием π или τ, изменяются в зависимости от сложности:
Как можно заметить, при числе ветвей более 48 графики начинают вести себя хаотично. Это следствие того, что лишь 0,4% формул выборки имеют сложность более 50. Мы ничего особо конкретного не можем сказать о них, и прошлый опыт говорит нам о том, что это нам очень-то и не нужно.
И из этого графика также следует то, что в повседневной жизни и для каких-то выражений, которые сложнее чего-то наподобие , в целях упрощения выражений нам однозначно следует использовать τ. Но есть еще один момент, которого я не коснулась. Что насчёт различных областей приложений?
Возможно, в физике формулы будут проще выглядеть с τ, а в других областях — нет. Изначально я включила в поиск статьи из различных областей; однако, я не проверяла принадлежность формул, содержащих π, тем или иным областям знаний, а также то, принадлежат ли формулы, которые становятся проще с использованием
В самом деле, если рассмотреть лишь математические статьи, то результат окажется следующим:Получается, что лишь 23% всех формул становятся проще с использованием τ, да и то лишь для довольно сложных выражений. Вот что-то наподобие этого:
можно проще записать через τ, однако большинство подобных выражений встречается весьма редко. Получается, что либо учёные из различных областей должны использовать различные соглашения в зависимости от специфичных для своих областей формул, либо все должны перейти на использование
Тем не менее, вышеуказанная формула содержит ещё кое-что, на чём я бы хотела заострить внимание. Так она выглядит с τ:
Пускай выражение действительно проще записывается через τ, однако подобное улучшение столь незначительно, что становится пренебрежимо малым.
И соответствующие им выражения в τ:
Первая формула проще в τ, но количество ветвей становится лишь на 1/13 меньше по сравнению с первоначальным количеством, в то время как второе выражение проще записывается в π, а после замены его сложность возрастает на 1/6. Другими словами, улучшение в первом случае составило 1/13, а во втором -1/6 (знак минус означает ухудшение). Среднее значение вектора составляет -0.044 — отрицательное число, что означает, что использование τ в этих двух выражениях делает общий вектор на 0,044 хуже.
Подобный векторный подход отличается от ранее использованного подхода, при котором не учитывался размер уравнения. В нём считается количество улучшений, а не количество упрощенных выражений, и это переворачивает с ног на голову предыдущие выводы. Я получила эти векторы для формул, в которых сложность ограничена снизу — всё так же, как и в предыдущем примере.
Получается, что общее улучшение при замене π на τ уменьшается с увеличением сложности:
а наименьшее ухудшение -0,04 достигается при сложности 5. Как можно заметить, общее улучшение всегда отрицательно; это означает, что пусть и большее количество формул имеют более короткую запись через τ (в зависимости от области), но в целом сумма всех «упрощений» формул перевешивается всеми «усложнениями».
В итоге всего этого исследования у меня сформировалась такая позиция: думаю, нам стоит быть довольными нашим старым другом π и не переходить на использование τ.
У меня есть два заключительных замечания. Первое заключается в том, что если бы мы жили в мире, где активнее используется τ, то вывод был бы полностью противоположным. Если бы наши выражения уже записывались бы через τ, и мы исследовали бы вопрос о переходе на использование π и вопросы упрощения, то наш график сумм векторов выглядел бы следующим образом:
Подобное различие объясняется тем, что векторы, которые используются для построения графиков, зависят от исходных сложностей, и потому меняются при изменении оных.
Из этого следует, что для большинства формул, которые имеют сложность больше двух и меньше 18, улучшение от замены τ на π будет отрицательным. К сожалению для сторонников τ, мы живем всё таки в мире π.
Второе замечание, на которое навёл меня Майкл Тротт, заключается в том, что 2/3 из формул, указанных в Тау манифесте (зеленая таблица в начале поста), содержат не просто 2π, а комплексное выражение 2πi. Это говорит о том, что, возможно, сама постановка вопроса, на который я пыталась ответить, является некорректной. Быть может, лучшей будет следующая формулировка: будет ли смысл ввести новый символ τ для комплексного числа 2πi?
Это новое обозначение потребует также замены πi на τ/2, но это не повлияет на сложность πi. В общем, формулы, содержащие πi, либо уменьшат, либо сохранят свою сложность. Вот облако формул, которые станут проще:
Так они станут выглядеть после подстановки 2πi на τ:
Можно было бы возразить, что процент улучшения формул не будет достаточно высоким, и переход от 2πi к τ неоправданным.
Однако факты говорят обратное: из всех формул, содержащих πi, 75% станут проще, а остальные 25% сохранят свой уровень сложности — то есть ни одна формула не станет сложнее. Это весомый аргумент, но я не в том положении, чтобы претворить эту идею; однако, полагаю, что равенство τ = 2πi перспективнее (и менее исторически сложно), чем τ = 2π.
Независимо от вашего мнения касательно τ, надеюсь, что вы прекрасно провели день Тау. Наслаждайтесь сегодняшним днём двух пи(рогов) — мнимых или каких бы то ни было.
SIN (функция SIN)
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает синус заданного угла.
Синтаксис
SIN(число)
Аргументы функции SIN описаны ниже.
Замечание
Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|---|---|---|
|
=SIN(ПИ()) |
Синус пи радиан (0, приблизительно). |
0,0 |
|
=SIN(ПИ()/2) |
Синус пи/2 радиан. |
1,0 |
|
=SIN(30*ПИ()/180) |
Синус угла 30 градусов. |
0,5 |
|
=SIN(РАДИАНЫ(30)) |
Синус 30 градусов. |
0,5 |
Формулы половинного угла или понижения степени
Примеры:
\(\sin^24α=\)\(\frac{1-\cos8α}{2}\)
\(\cos^2 15^°=\)\(\frac{1+\cos30^°}{2}\)\(=\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
\(\cosx=±\)\(\sqrt{\frac{1+\cos2x}{2}}\)
\(2 \sin^2(x+\frac{π}{4})=2\cdot\frac{1-\cos(2x+\frac{π}{2})}{2}=1+\sin2x\)
Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы половинного угла
Пример (ЕГЭ).
2\frac{23π}{12}-\sqrt{27}=\sqrt{108}\)\( \frac{1+\cos\frac{2\cdot 23π}{12}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{108}\)\(\frac{1+\cos\frac{23π}{6}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\)…
\(\frac{23π}{6}=\frac{24π-π}{6}=\frac{24π}{6}-\frac{π}{6}=4π-\frac{π}{6}\).
Попали в самое большое из трех стандартных значений косинуса: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит \(\cos\frac{23π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
…\(=\sqrt{108}\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{27\cdot 4}\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=2\sqrt{27}\cdot\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{27}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})-\sqrt{27}=\)
\(=\sqrt{27}+\frac{\sqrt{27\cdot 3}}{2}-\sqrt{27}=\frac{\sqrt{81}}{2}=\frac{9}{2}=4,5\).
Это решение не самое простое из всех возможных (наиболее легкое приведено в статье «формулы двойного угла»), но до него легче всего догадаться, если знаешь формулу половинного угла.
2\frac{7π}{8}\).
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos\frac{7π}{4}}{2}\)\(=\)
Вычислим косинус с помощью формулы приведения. Для этого сначала преобразуем \(\frac{7π}{4}\):
\(\frac{7π}{4}=\frac{8π-π}{4}=\frac{8π}{4}-\frac{π}{4}=2π-\frac{π}{4}\)
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos(2π-\frac{π}{4})}{2}\)\(=\)
Теперь применим к косинусу формулу приведения:
-
\((2π-\frac{π}{4})\) – это четвертая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак перед косинусом останется прежним.
-
\(2π\) — находится на «горизонтали» — функция остается прежней.
\(\cos(2π-\frac{π}{4})=\cos\frac{π}{4}\).
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos\frac{π}{4}}{2}\)\(=\)
\(\cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)\(=\)
Домножим числитель и знаменатель дроби на \(2\), чтоб избавиться от «трехэтажности».
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)\(=\)
Игнорировать корни больше невозможно. Вынесем из \(\sqrt{128}\) четверку, чтоб она сократилась со знаменателем:
\(\sqrt{128}=\sqrt{16\cdot 8}=4\sqrt{8}\)
\(=\sqrt{32}-4\sqrt{8}\)\(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)\(=\)
Сократим четверки.
\(=\sqrt{32}-\sqrt{8}(2-\sqrt{2})=\)
Раскроем скобки.
\(=\sqrt{32}-2\sqrt{8}+\sqrt{16}=\)
Занесем \(2\) под корень и вычислим \(\sqrt{16}\).
\(=\sqrt{32}-\sqrt{32}+4=4\).
Ответ: \(4\).
Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами
Cos pi / 2 — Найти значение Cos pi / 2
Значение cos pi / 2 равно 0 . Cos pi / 2 радиан в градусах записывается как cos ((π / 2) × 180 ° / π), то есть cos (90 °). В этой статье мы обсудим методы определения значения cos pi / 2 с примерами.
- Cos pi / 2: 0
- Cos (-pi / 2): 0
- Cos pi / 2 в градусах: cos (90 °)
Каково значение Cos pi / 2?
Значение cos pi / 2 равно 0.Cos pi / 2 также можно выразить через эквивалент данного угла (pi / 2) в градусах (90 °).
Мы знаем, используя преобразование радиан в градусы, θ в градусах = θ в радианах × (180 ° / пи)
⇒ пи / 2 радиана = пи / 2 × (180 ° / пи) = 90 ° или 90 градусов
∴ cos pi / 2 = cos π / 2 = cos (90 °) = 0
Пояснение:
Для cos pi / 2 угол pi / 2 лежит на положительной оси y. Таким образом, значение cos pi / 2 = 0
Поскольку функция косинуса является периодической функцией, мы можем представить cos pi / 2 как, cos pi / 2 = cos (pi / 2 + n × 2pi), n ∈ Z.
⇒ cos pi / 2 = cos 5pi / 2 = cos 9pi / 2 и т. Д.
Примечание: Поскольку косинус является четной функцией, значение cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) = 0.
Методы определения значения Cos pi / 2
Значение cos pi / 2 задается равным 0. Мы можем найти значение cos pi / 2 следующим образом:
- Использование тригонометрических функций
- Использование единичной окружности
Cos pi / 2 в терминах тригонометрических функций
Используя формулы тригонометрии, мы можем представить cos pi / 2 как:
- ± √ (1-sin² (pi / 2))
- ± 1 / √ (1 + tan² (pi / 2))
- ± детская кроватка (пи / 2) / √ (1 + детская кроватка² (пи / 2))
- ± √ (косек² (пи / 2) — 1) / косекунд (пи / 2)
- 1 / сек (пи / 2)
Примечание: Поскольку pi / 2 лежит на положительной оси y, окончательное значение cos pi / 2 равно 0.
Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos pi / 2 как,
- -cos (пи — пи / 2) = -cos pi / 2
- -cos (пи + пи / 2) = -cos 3pi / 2
- грех (пи / 2 + пи / 2) = грех пи
- грех (пи / 2 — пи / 2) = грех 0
Cos pi / 2 Использование единичной окружности
Чтобы найти значение cos π / 2, используя единичную окружность:
- Поверните «r» против часовой стрелки, чтобы образовать угол пи / 2 с положительной осью абсцисс.
- Cos pi / 2 равен x-координате (0) точки пересечения (0, 1) единичной окружности и r.
Следовательно, значение cos pi / 2 = x = 0
☛ Также проверьте:
Часто задаваемые вопросы по Cos pi / 2
Что такое Cos pi / 2?
Cos pi / 2 — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного π / 2 радиан. Значение cos pi / 2 равно 0.
Какое значение Cos pi / 2 выражается в Tan pi / 2?
Мы знаем, что, используя триггерные тождества, мы можем записать cos pi / 2 как 1 / √ (1 + tan² (pi / 2)).
Как найти Cos pi / 2 в терминах других тригонометрических функций?
Используя формулу тригонометрии, значение cos pi / 2 может быть выражено в терминах других тригонометрических функций как:
- ± √ (1-sin² (pi / 2))
- ± 1 / √ (1 + tan² (pi / 2))
- ± детская кроватка (пи / 2) / √ (1 + детская кроватка² (пи / 2))
- ± √ (косек² (пи / 2) — 1) / косекунд (пи / 2)
- 1 / сек (пи / 2)
☛ Также проверьте: таблица тригонометрии
Как найти значение Cos pi / 2?
Значение cos pi / 2 можно вычислить, построив угол π / 2 радиан с осью x, а затем найдя координаты соответствующей точки (0, 1) на единичной окружности.
Значение cos pi / 2 равно координате x (0). ∴ cos pi / 2 = 0.
Какое значение Cos pi / 2 выражается в Cosec pi / 2?
Поскольку функцию косинуса можно представить с помощью функции косеканса, мы можем записать cos pi / 2 как [√ (cosec² (pi / 2) — 1) / cosec pi / 2]. Значение cosec pi / 2 равно 1.
.
10. 4: Тригонометрические тождества — математика LibreTexts В разделе \ ref {CircularFunctions} мы увидели полезность пифагоровых тождеств в теореме \ ref {pythids} вместе с частным и взаимным тождествами в теореме \ ref {recipquotid}. Эти тождества не только помогли нам вычислить значения круговых функций для углов, они также были полезны для упрощения выражений, включающих круговые функции. В этом разделе мы представляем несколько наборов идентификаторов, которые используются в этом курсе и за его пределами.Наш первый набор тождеств — это тождества «Четный / Нечетный». \ Footnote {Как упоминалось в конце раздела \ ref {TheUnitCircle}, свойства круговых функций, если их рассматривать как функции углов в радианной мере, сохраняются одинаково хорошо, если мы рассматривайте эти функции как функции действительных чисел. Неудивительно, что свойства четных / нечетных круговых функций названы так, потому что они идентифицируют косинус и секанс как четные функции, в то время как остальные четыре круговые функции являются нечетными. Примечание: четные / нечетные идентификаторы Для всех применимых углов \ (\ theta \):
В свете Факторного и Взаимного тождеств, теоремы \ ref {recipquotid}, достаточно показать \ (\ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta) \) и \ (\ sin (- \ theta) = — \ грех (\ тета) \).Остальные четыре круговые функции могут быть выражены в терминах \ (\ cos (\ theta) \) и \ (\ sin (\ theta) \), поэтому доказательства их четных / нечетных тождеств оставлены в качестве упражнений. Рассмотрим угол \ (\ theta \), нанесенный в стандартном положении. Пусть \ (\ theta_ {o} \) будет углом, совпадающим с \ (\ theta \) с \ (0 \ leq \ theta_ {o} <2 \ pi \). Теперь рассмотрим углы \ (- \ theta \) и \ (- \ theta_ {o} \). Поскольку \ (\ theta \) совпадает с \ (\ theta_ {o} \), существует некоторое целое число \ (k \), так что \ (\ theta = \ theta_ {o} + 2 \ pi \ cdot k \) . Следовательно, \ (- \ theta = — \ theta_ {o} — 2 \ pi \ cdot k = — \ theta_ {o} + 2 \ pi \ cdot (-k) \). Поскольку \ (k \) является целым числом, то же самое и \ ((- k) \), что означает, что \ (- \ theta \) совпадает с \ (- \ theta_ {o} \). Следовательно, \ (\ cos (- \ theta) = \ cos (- \ theta_ {o}) \) и \ (\ sin (- \ theta) = \ sin (- \ theta_ {o}) \). Пусть \ (P \) и \ (Q \) обозначают точки на конечных сторонах \ (\ theta_ {o} \) и \ (- \ theta_ {o} \), соответственно, которые лежат на единичной окружности. Примечание: тождества суммы и разности для косинуса Для всех углов \ (\ alpha \) и \ (\ beta \):
Сначала докажем результат для разностей.Как и в доказательстве четных / нечетных тождеств, мы можем свести доказательство для общих углов \ (\ alpha \) и \ (\ beta \) к углам \ (\ alpha_ {o} \) и \ (\ beta_ {o } \), совпадающий с \ (\ alpha \) и \ (\ beta \), соответственно, каждый из которых имеет размер между \ (0 \) и \ (2 \ pi \) радианами. Поскольку \ (\ alpha \) и \ (\ alpha_ {o} \) являются концевыми, равно как и \ (\ beta \) и \ (\ beta_ {o} \), отсюда следует, что \ (\ alpha — \ beta \ ) совпадает с \ (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o} \). Поскольку углы \ (POQ \) и \ (AOB \) совпадают, расстояние между \ (P \) и \ (Q \) равно расстоянию между \ (A \) и \ (B \). \ footnote {На рисунке, который мы нарисовали, \ underline {tri} углы \ (POQ \) и \ (AOB \) совпадают, что даже лучше. Однако \ (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o} \) может быть \ (0 \) или \ (\ pi \), ни один из которых не образует треугольник. Он также может быть больше, чем \ (\ pi \), что делает треугольник, но не тот, который мы нарисовали. Вам следует подумать об этих трех случаях.2 & = & 2 — 2 \ cos (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o}) \\ \ end {array} \] Собирая все вместе, получаем \ (2 — 2 \ cos (\ alpha_ {o}) \ cos (\ beta_ {o}) — 2 \ sin (\ alpha_ {o}) \ sin (\ beta_ {o} ) = 2 — 2 \ cos (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o}) \), что упрощается до: \ (\ cos (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o}) = \ cos (\ alpha_ {o}) \ cos (\ beta_ {o}) + \ sin (\ alpha_ {o}) \ sin (\ beta_ {o}) \). Поскольку \ (\ alpha \) и \ (\ alpha_ {o} \), \ (\ beta \) и \ (\ beta_ {o} \) и \ (\ alpha — \ beta \) и \ (\ alpha_ { o} — \ beta_ {o} \) все концевые пары углов, мы имеем \ (\ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ грех (\ бета) \). Чтобы получить идентичность суммы для косинуса, мы используем формулу разности вместе с идентичностями четности / нечетности \ [\ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha — (- \ beta)) = \ cos (\ alpha) \ cos (- \ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (- \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \] Мы нашли хорошее применение этим вновь обретенным идентификаторам в следующем примере.{\ circ} \ right) \\ & = & \ left (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \\ & = & \ dfrac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2} } {4} \\ \ end {array} \]
\ [\ begin {array} {rcl} \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — \ theta \ right) & = & \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ справа) \ cos \ left (\ theta \ right) + \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ right) \ sin \ left (\ theta \ right) \\ & = & \ left (0 \ справа) \ влево (\ cos (\ theta) \ right) + \ left (1 \ right) \ left (\ sin (\ theta) \ right) \\ & = & \ sin (\ theta) \\ \ end { массив} \] Идентичность, подтвержденная в Примере \ (\ PageIndex {1} \), а именно: \ (\ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) = \ sin (\ theta) \), является первой из знаменитых идентичностей «совместной работы». \ [\ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — \ theta \ right) = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — \ left [\ dfrac {\ pi} {2 } — \ theta \ right] \ right) = \ cos (\ theta), \] , который на словах говорит, что синус угла является синусом его дополнения. Теперь, когда эти тождества были установлены для косинуса и синуса, остальные круговые функции следуют их примеру.Остальные доказательства оставим в качестве упражнений. Примечание: идентификаторы совместных функций Для всех применимых углов \ (\ theta \):
При наличии идентификаторов совместных функций мы теперь в состоянии вывести формулы суммы и разности для синуса. \ [\ begin {array} {rcl} \ sin (\ alpha + \ beta) & = & \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — (\ alpha + \ beta) \ right) \\ & = & \ cos \ left (\ left [\ dfrac {\ pi} {2} — \ alpha \ right] — \ beta \ right) \\ & = & \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2 } — \ alpha \ right) \ cos (\ beta) + \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — \ alpha \ right) \ sin (\ beta) \\ & = & \ sin (\ alpha ) \ cos (\ beta) + \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) \\ \ end {array} \] Мы можем получить формулу разности для синуса, переписав \ (\ sin (\ alpha — \ beta) \) как \ (\ sin (\ alpha + (- \ beta)) \) и используя формулу суммы и четное / Странные личности.Опять же, подробности оставляем читателю. Тождества суммы и разности для синуса Для всех углов \ (\ alpha \) и \ (\ beta \), \ index {Идентичность различия! for sine} \ index {Сумма идентичности! для синуса}
Пример \ (\ PageIndex {1} \):
Решение
\ [\ begin {array} {rcl} \ sin \ left (\ dfrac {19 \ pi} {12} \ right) & = & \ sin \ left (\ dfrac {4 \ pi} {3} + \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \\ & = & \ sin \ left (\ dfrac {4 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right ) + \ cos \ left (\ dfrac {4 \ pi} {3} \ right) \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) \\ & = & \ left (- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ left (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right) + \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) \ left (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ & = & \ dfrac {- \ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4} \\ \ end {array} \]
\ [\ begin {array} {rcl} \ sin (\ alpha — \ beta) & = & \ sin (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta) \ \ & = & \ left (\ dfrac {5} {13} \ right) \ left (- \ dfrac {\ sqrt {5}} {5} \ right) — \ left (- \ dfrac {12} {13} \ right) \ left (- \ dfrac {2 \ sqrt {5}} {5} \ right) \\ & = & — \ dfrac {29 \ sqrt {5}} {65} \\ \ end {array} \ ] Мы можем начать расширение \ (\ tan (\ alpha + \ beta) \), используя частное тождество и наши формулы суммы \ [\ begin {array} {rcl} \ tan (\ alpha + \ beta) & = & \ dfrac {\ sin (\ alpha + \ beta)} {\ cos (\ alpha + \ beta)} \\ & = & \ dfrac {\ sin (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha ) \ sin (\ beta)} \\ \ end {array} \] Поскольку \ (\ tan (\ alpha) = \ frac {\ sin (\ alpha)} {\ cos (\ alpha)} \) и \ (\ tan (\ beta) = \ frac {\ sin (\ beta) } {\ cos (\ beta)} \), похоже, что если мы разделим числитель и знаменатель на \ (\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \), мы получим то, что хотим \ [\ begin {array} {rcl} \ tan (\ alpha + \ beta) & = & \ dfrac {\ sin (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta )} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} \ cdot \ dfrac {\ dfrac {1} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)}} {\ dfrac {1} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)}} \\ & & \\ & = & \ dfrac {\ dfrac {\ sin (\ alpha) \ cos (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)} + \ dfrac {\ cos (\ alpha) \ sin (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)}} { \ dfrac {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)} — \ dfrac {\ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)}} \\ & & \\ & = & \ dfrac {\ dfrac {\ sin (\ alpha) \ cancel {\ cos (\ beta)}} {\ cos (\ alpha ) \ cancel {\ cos (\ beta)}} + \ dfrac {\ cancel {\ cos (\ alpha)} \ sin (\ beta)} {\ cancel {\ cos (\ alpha)} \ cos (\ beta) }} {\ dfrac {\ cancel {\ cos (\ alpha)} \ cancel {\ cos (\ beta)}} {\ cancel {\ cos (\ alpha)} \ cancel {\ cos (\ beta)}} — \ dfrac {\ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta)}} \\ & & \\ & = & \ dfrac {\ tan (\ alpha) + \ tan (\ beta)} {1 — \ tan (\ alpha) \ tan (\ beta)} \\ \ end {array} \] Естественно, эта формула ограничена теми случаями, когда все касательные определены. Формула, разработанная в упражнении \ ref {sinesumanddiffex} для \ (\ tan (\ alpha + \ beta) \), может использоваться, чтобы найти формулу для \ (\ tan (\ alpha — \ beta) \), переписав разницу в виде суммы \ (\ tan (\ alpha + (- \ beta)) \), и читателю предлагается заполнить детали. Ниже мы суммируем все формулы суммы и разности для косинуса, синуса и тангенса. Примечание Идентичность суммы и разности:} Для всех применимых углов \ (\ alpha \) и \ (\ beta \), \ index {Идентичность разницы! по касательной} \ index {Sum Identity! по касательной} \ index {Отличие! для косинуса} \ index {Sum Identity! для косинуса} \ index {Отличие! for sine} \ index {Сумма идентичности! для синуса}
В формулировке теоремы \ ref {circlesumdifference} мы объединили случаи для суммы `$ + $ ‘и разности углов` \) — $’ в одну формулу. Пример \ (\ PageIndex {1} \):
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(См. Раздел \ ref {GraphsofFunctions}.)}
(Мы можем построить угол \ (\ theta_ {o} \), вращая против часовой стрелки от положительной оси \ (x \) — к конечной стороне \ (\ theta \), как показано ниже.) Поскольку \ (\ theta \) и \ (\ theta_ {o} \) являются концевыми, \ (\ cos (\ theta) = \ cos (\ theta_ {o}) \) и \ (\ sin (\ theta) = \ sin (\ тета_ {о}) \).
По определению, координатами \ (P \) являются \ ((\ cos (\ theta_ {o}), \ sin (\ theta_ {o})) \), а координатами \ (Q \) являются \ (( \ cos (- \ theta_ {o}), \ sin (- \ theta_ {o})) \). Поскольку \ (\ theta_ {o} \) и \ (- \ theta_ {o} \) заметают конгруэнтные центральные сектора единичной окружности, отсюда следует, что точки \ (P \) и \ (Q \) симметричны относительно ось \ (x \). Таким образом, \ (\ cos (- \ theta_ {o}) = \ cos (\ theta_ {o}) \) и \ (\ sin (- \ theta_ {o}) = — \ sin (\ theta_ {o}) \). Поскольку косинусы и синусы \ (\ theta_ {o} \) и \ (- \ theta_ {o} \) такие же, как у \ (\ theta \) и \ (- \ theta \), соответственно, мы получить \ (\ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta) \) и \ (\ sin (- \ theta) = — \ sin (\ theta) \), как требуется.Четные / нечетные идентичности легко демонстрируются с использованием любого из «общих углов», указанных в Разделе \ ref {TheUnitCircle}. Однако их истинная полезность заключается не в вычислениях, а в упрощении выражений, включающих круговые функции.
Фактически, наша следующая партия идентификаторов интенсивно использует четные / нечетные идентификаторы.
Рассмотрим нижеприведенный случай, когда \ (\ alpha_ {o} \ geq \ beta_ {o} \).
Для случая, когда \ (\ alpha_ {o} \ leq \ beta_ {o} \), мы можем применить приведенный выше аргумент к углу \ (\ beta_ {o} — \ alpha_ {o} \), чтобы получить тождество \ (\ cos (\ beta_ {o} — \ alpha_ {o}) = \ cos (\ beta_ {o}) \ cos (\ alpha_ {o}) + \ sin (\ beta_ {o}) \ sin (\ alpha_ {о}) \). Применяя четную идентичность косинуса, мы получаем \ (\ cos (\ beta_ {o} — \ alpha_ {o}) = \ cos (- (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o})) = \ cos (\ alpha_ {o} — \ beta_ {o}) \), и в этом случае мы тоже получаем идентичность.
На эти тождества впервые намекали в упражнении \ ref {cofunctionforeshadowing} в разделе \ ref {TheUnitCircle}. Из \ (\ sin (\ theta) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \) получаем:
{2} (\ beta) = 1 \), но вместо этого мы предпочитаем использовать факторное тождество. Из \ (\ tan (\ beta) = \ frac {\ sin (\ beta)} {\ cos (\ beta)} \) имеем \ (\ sin (\ beta) = \ tan (\ beta) \ cos (\ beta) \), поэтому мы получаем \ (\ sin (\ beta) = (2) \ left (- \ frac {\ sqrt {5}} {5} \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {5 }} {5} \). Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти \ (\ sin (\ alpha — \ beta) \):
\ qed
{2} (\ theta) \ end {array} \ right.{2} (\ theta) = 1 \), а подробности оставляем читателю. Интересно отметить, что для определения значения \ (\ cos (2 \ theta) \) требуется только \ textit {one} часть информации: либо \ (\ cos (\ theta) \), либо \ (\ грех (\ тета) \). Однако, чтобы определить \ (\ sin (2 \ theta) \), мы должны знать как \ (\ sin (\ theta) \), так и \ (\ cos (\ theta) \). В следующем примере мы покажем, как можно найти \ (\ sin (2 \ theta) \), зная только одну часть информации, а именно \ (\ tan (\ theta) \).
{3} (\ theta) — 3 \ cos (\ theta) \\ \ end {array} \]
{\ circ} \ right) = \ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4} \). Читателю предлагается доказать, что эти два выражения равны.
{2} \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \\ \ sin (\ theta) & = & 2 \ tan \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ left ( \ dfrac {1 + \ cos \ left (2 \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ right)} {2} \ right) \\ \ sin (\ theta) & = & \ tan \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ left (1+ \ cos (\ theta) \ right) \\ \ tan \ left (\ dfrac {\ theta} {2} \ right) & = & \ dfrac {\ sin (\ theta)} {1+ \ cos (\ theta)} \\ \ end {array} \]
Их легко проверить с помощью формул произведения для суммирования, и поэтому их доказательства оставлены в качестве упражнений.
Однако в следующих упражнениях вам нужно будет выполнять всю свою работу аналитически, без графиков.
д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
0523
1222 
1920 
2588
3316 
4014 
1170 
0472 
4826
9076 
8378 
Первая буква третьего слова «T» указывает, что касательная и обратный ей котангенс положительны в третьем квадранте.\ circ} \] косинус отношения изменится на синус, тогда 
Интервал (−π2, π2) — правая половина единичной окружности.
Итак, наш ответ 1,25 пи точно соответствует цели.
Один радиан равен 180 / π (~ 57,296) градусам. История / происхождение: Измерение углов по длине дуги использовалось математиками с 1400 года.