Косинус это х: знаки синуса и косинуса

Содержание

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.

cos α = b / c

Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8

График косинуса

Функция косинуса пишется как y = cos (x). График называется косинусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:

Косинусоида – периодическая функция с основным периодом

T = 2π.

Свойства косинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:


Свойство	Формула
Симметричность	cos (-α) = cos α
Симметричность	cos (90°- α) = sin α
Пифагорейская тригонометрическая идентичность	sin² α + cos² α = 1
	cos α = sin α / tg α
	cos α = 1 / sec α
Косинус двойного угла	cos 2α = cos²α — sin²α
Косинус суммы углов	cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β
Косинус разности углов	cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β
Сумма косинусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/summa-kosinusov-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="290" height="564" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/summa-kosinusov-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/summa-kosinusov-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="290" height="564" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/summa-kosinusov-exc.png" />»>
Разность косинусов
Произведение косинусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/umnojenie-cos-cos-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/umnojenie-cos-cos-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="290" height="592" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/umnojenie-cos-cos-exc.png" />»>
Произведение косинуса и синуса
Производная косинуса	cos’ x = -sin x
Интеграл косинуса	∫ cos x dx = sin x + C
Формула Эйлера	cos x = (e^ix + e^—ix) / 2

microexcel. ru

Обратная к косинусу функция

Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.

Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:

arccos x = cos^-1x = y

Например:

arccos 1 = cos^-11 = 0° (0 рад)

Таблица косинусов


x (°)	x (рад)	cos x
180°	π	-1
150°	5π/6	-√3/2
135°	3π/4	-√2/2
120°	2π/3	-1/2
90°	π/2	0
60°	π/3	1/2
45°	π/4	√2/2
30°	π/6	√3/2
0°	0	1

microexcel. ru

§ 14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и их графики

14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК

Т а б л и ц а 21

График функции y = sin x (синусоида)

Свойства функции y = sin x

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:

1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями

координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее

значения функции.

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох

(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордина-

та соответствующей точки единичной окружности

(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для

любой точки единичной окружности (в силу того,

что через любую точку окружности всегда можно

провести единственную прямую, перпендикуляр-

ную оси ординат), то область определения функции

y = sin x — все действительные числа. Это можно за-

писать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения

от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]

Рис. 79

оси ординат (который является диаметром единичной

окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-

нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-

нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].

Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение

достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть

при

Как было показано в § 13, синус — нечетная функция: sin(-x)= — sin x,

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторя-

ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2π, а

потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk, где

k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж

ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-

ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким

образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех

x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-

щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-

му sin x < 0 при x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z.

Промежутки возрастания и убывания

Доказательство теоремы

Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно

исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке

то при увеличении аргумента x (x₂> x₁) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть

sin x₂> sin x₁ ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,

делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков

Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x₂> x ₁) ордината соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть sin x₂< sin x ₁), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая

периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой

функции (с периодом 2π), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, например на

промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината

соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на

промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для

построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат

(рис. 83).

Поскольку мы построили график на

промежутке длиной 2π, то, учитывая

периодичность синуса (с периодом 2π),

повторяем вид графика на каждом про-

межутке длиной 2π (то есть переносим па-

раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,

где k — целое число).

Получаем график, который называется

синусоидой (рис. 84).

З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например,

множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,

описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Такие процессы называют гармоническими

колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль

координатных осей и параллельным переносом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией

времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная

фаза,

14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцис-

са соответствующей точки единичной окружности

(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-

бой точки единичной окружности (в силу того, что

через любую точку окружности, всегда можно про-

вести единственную прямую, перпендикулярную оси

абсцисс), то область определения функции y = cos x —

все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-

ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной

окружности)

всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции y = cos x:

y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это

значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Как было показано в § 13, косинус — четная функция: cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси

Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда

соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только

тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-

тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-

ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,

поэтому cos x < 0 при x ∈

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать

ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например

на промежутке [0; 2π].

Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x ₂> x ₁) абсцисса соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть cos x ₂<cos x ₁), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая

периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.

Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x ₂> x₁ ) аб-

сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то

есть cos x ₂>cos x₁), таким образом, на этом промежутке функция cos x

возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что

она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.

Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x

аналогично тому, как был построен график функ-

ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно

также получить с помощью геометрических преоб-

разований графика функции у = sin х, используя

формулу

Эту формулу можно обосновать, например, так.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan — Power Apps

09/13/2016
Чтение занимает 3 мин

В этой статье

Вычисление тригонометрических значений.

Описание

Основные функции

Функция Cos возвращает косинус аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Cot возвращает котангенс аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Sin возвращает синус аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Tan возвращает тангенс аргумента, при этом угол указан в радианах.

Обратные функции

Функция Acos возвращает арккосинус или обратный косинус аргумента. Арккосинус — это угол, косинус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (нуля) до π.

Функция Acot возвращает основное значение арккотангенса (или обратный котангенс) аргумента. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (нуля) до π.

Функция Asin возвращает арксинус (или обратный синус) аргумента. Арксинус — это угол, синус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π/2 до π/2.

Функция Atan возвращает арктангенс (или обратный тангенс) своего аргумента. Арктангенс — это угол, тангенс которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π/2 до π/2.

Функция Atan2 возвращает арктангенс (или обратный тангенс), в качестве аргументов которого указаны координаты x и y. Арктангенс — это угол между осью x и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (x, y). Угол указывается в радианах между -π и π, исключая -π. Положительный результат соответствует углу, расположенному против часовой стрелки относительно оси x; отрицательный же результат представляет угол, расположенный по часовой стрелке. Atan2( a, b ) равно Atan( b/a ), за исключением случаев, когда a может быть равно 0 (нулю) в функции ** Atan2**.

Вспомогательные функции

Функция Degrees преобразует радианы в градусы. π радиан равно 180 градусам.

Функция Pi возвращает трансцендентное число π, которое начинается с 3,141592…

Функция Radians преобразует градусы в радианы.

Заметки

Если этим функциям передать одно число, возвращается один результат. Если передать таблицу с одним столбцом, содержащим числовые значения, возвращается таблица с одним столбцом, содержащим результаты вычислений — по одному результату для каждой записи в таблице аргументов. Таблицу с несколькими столбцами можно преобразовать в таблицу с одним столбцом, как описано в статье об использовании таблиц.

Если для аргумента не определено значение функции, возвращается пустое значение. Это может произойти, например, при использовании обратных функций с аргументами, которые выходят за пределы диапазона.

Синтаксис

Основные функции

Cos( Radians )
Cot( Radians )
Sin( Radians )
Tan( Radians )

Radians — обязательный аргумент. Угол, для которого нужно выполнить операцию.

Cos( SingleColumnTable )
Cot( SingleColumnTable )
Sin( SingleColumnTable )
Tan( SingleColumnTable )

SingleColumnTable — обязательный аргумент. Таблица с одним столбцом, для углов в котором нужно выполнить операцию.

Обратные функции

Acos( Number )
Acot( Number )
Asin( Number )
Atan( Number )

Number — обязательный аргумент. Число, для которого нужно выполнить операцию.

Acos( SingleColumnTable )
Acot( SingleColumnTable )
Asin( SingleColumnTable )
Atan( SingleColumnTable )

SingleColumnTable — обязательный аргумент. Таблица с одним столбцом, для значений в котором нужно выполнить операцию.

Atan2( X, Y )

X — обязательный аргумент. Координата по оси X.
Y — обязательный аргумент. Координата по оси Y.

Вспомогательные функции

Degrees( Radians )

Radians — обязательный аргумент. Угол в радианах, преобразуемый в градусы.

Pi()

Radians( Degrees )

Degrees — обязательный аргумент. Угол в градусах, преобразуемый в радианы.

Примеры

Одно число

Формула	Описание	Результат
Cos( 1.047197 )	Возвращает косинус 1,047197 радиана или 60 градусов.	0.5
Cot( Pi()/4 )	Возвращает котангенс 0,785398… радиана или 45 градусов.	1
Sin( Pi()/2 )	Возвращает синус 1,570796 радиана или 90 градусов.	1
Tan( Radians(60) )	Возвращает тангенс 1,047197… радиана или 60 градусов.	1.732050…
Acos( 0.5 )	Возвращает арккосинус аргумента 0,5 в радианах.	1.047197…
Acot( 1 )	Возвращает арккотангенс аргумента 1 в радианах.	0.785398…
Asin( 1 )	Возвращает арксинус аргумента 1 в радианах.	1.570796…
Atan( 1.732050 )	Возвращает арктангенс аргумента 1,732050 в радианах.	1.047197…
Atan2( 5, 3 )	Возвращает арктангенс угла (который составляет приблизительно 31 градус) между осью Х и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (5, 3).	0.540419…
Atan2( 4, 4 )	Возвращает арктангенс угла (который составляет ровно π/4 радиана или 45 градусов) между осью Х и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (4, 4).	0.785398…
Degrees( 1.047197 )	Возвращает число в градусах, соответствующее 1,047197 радиана.	60
Pi()	Возвращает трансцендентное число π.	3.141592…
Radians( 15 )	Возвращает число в радианах, соответствующее 15 градусам.	0.261799…

Таблица с одним столбцом

В примерах этого раздела используется источник данных с именем ValueTable, который содержит следующие данные. Последняя запись в таблице — π/2 радиана или 90 градусов.

Синус, косинус, тангенс острого угла [Love Soft]

Тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла х — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin x = a/c$

Косинус угла х — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos x = b/c$

Тангенс угла х — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} x = a/b$

Котангенс угла х — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg} x = b/a$

$$ \text{синус угла } \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac a c \\ \text{косинус угла } \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac b c \\ \text{тангенс угла } \alpha = \frac{\text{синус}}{\text{косинус}} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac a b $$

Основное тригонометрическое тождество

Если мы возьмем гипотенузу, равную 1, то это определение можно упростить до:

Тогда теорему Пифагора можно переформулировать так:

квадрат синуса + квадрат косинуса одного и того же угла = 1

$$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$$

Или другая форма записи без скобок:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Формулы приведения для острого угла

Катет, прилежащий одному углу, одновременно является противолежащим другому углу. \circ — \alpha)$$

Возрастание и убывание

Чем больше угол, тем больше противолежащий катет, поэтому для острых углов синус — возрастающая функция.

Чем больше один из острых углов прямоугольного треугольника, тем меньше другой. Отсюда следует, с учетом ОТТ, для этих углов:

чем больше синус одного угла, тем меньше синус второго;
чем больше синус угла, тем меньше его косинус;
косинус острого угла — убывающая функция.

Мнемоническое правило

Правило для косинуса

Косинус — коснуться — близкий — прилежащий (или косинус — касаться — прилегать).

Синусу не остается ничего другого, кроме «противолежать».

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, или дальнего к ближнему. Тангенс — там — противолежащий.

Второе правило

— Сначала запоминаем, что синус и косинус «дружат» с гипотенузой. То есть в их определение она есть обязательно. — Слово «косинус» длиннее, чем «синус». — Слово «противолежащий» длиннее, чем слово «прилежащий». — Используем ассоциации «коротко — длинно».

«Длинный» косинус в паре с «коротким» прилежащим катетом, «короткий» синус в паре с «длинным» противолежащим катетом.

Тангенс и танго — однокоренные слова

tangere — на позднелатинском означало «касаться»

tangent, tangens — причастие от этого глагола. Если вспомнить русское слово «касательная» и тот известный (некоторым…) факт, что производная — это как раз тангенс угла наклона касательной, связь становится очевидной.

Слово «танго», как полагают специалисты, имеет африканское происхождение и означает «место встречи» или «особое место». Однако существует и другое мнение, в частности, что название происходит от латинского слова «tango» — «касаюсь». История танго в Аргентине насчитывает более 100 лет.

См. также

Правило для ОТТ

В семье Синичкиных (Sin) праздник. 2x = 1$$.

Синус в строительстве

Возьмите 10-метровый столб и поднимите его с земли на 45 градусов. Верхушка столба будет находиться на высоте

10 * sin(45) = 7.07 метров от земли

А 8-метровый столб будет на высоте

8 * sin(45) = 5.65 метров от земли

Подобные манипуляции со столбами очень полезны в строительстве (пирамиды сами себя не рассчитают). К сожалению, спустя тысячи лет у нас твердо закрепилась мысль, что смысл синуса в возможности вычислить высоту треугольника по гипотенузе и углу. Для краткости мыслительного процесса думаем «синус=высота». Это нормально, главное не застревать на этом, а смотреть шире.

Расчеты в Excel

Пусть известно расстояние до дерева. Нужно узнать его высоту:

Указываем угол в градусах. В формуле угол необходимо перевести в радианы — функция RADIANS (в русской версии РАДИАНЫ). Обратная функция DEGREES (ГРАДУСЫ).

Учебники:
Единичная окружность, синус, косинус любого угла — Геометрия Мерзляк 9 класс, параграф 1
Синус, косинус, тангенс острого угла — Геометрия 8 класс

mat/trig/sin-cos-tan.txt · Последние изменения: 2017/03/15 00:32 — kc

Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции являются неотъемлемой частью тригонометрии, поэтому знание этих функций очень важно. Но на чем основываются эти функции? Конечно же, на тригонометрических тождествах.

Давайте разберемся, что же такое тождество вообще? Самое простое определение, это, конечно же, сходство. Если «копнуть» глубже, то мы можем говорить о том, что тождество – отношение между некоторыми предметами (реальными или абстрактными), что позволяет говорить об их неотличимости в каких-то характеристиках. На самом деле такое определение к тригонометрии подходит, ведь в каких-то характеристиках наши функции действительно схожи и неотъемлемы друг от друга.

Давайте подробнее рассмотрим каждое тригонометрическое тождество.

Соотношение синуса и косинуса одного и того же угла – именно это тригонометрическое тождество и является основным в тригонометрии. Выглядит это тождество следующим образом:

Sin²a +cos²a = 1

Попробуем объяснить, почему это тождество выглядит именно так. Изначально у нас есть прямоугольный треугольник с определенным углом а. Гипотенуза нашего треугольника равна 1. Один катет треугольника – это косинус, а другой – синус. Теперь применяем к нашему треугольнику теорему Пифагора и получаем наше тригонометрическое тождество.

Теперь рассмотрим зависимость между тангенсом и котангенсом. Тут все просто. Произведение тангенса и котангенса равно 1.

Зависимость между тангенсом и косинусом угла выводится очень просто. Для начала берем наше основное тригонометрическое тождество и делим его на квадрат косинуса, потом упрощаем левую часть уравнения и получаем наше третье тождество (при это важно помнить, что деление возможно только в том случае. если косинус не равняется нулю).

Тригонометрические тождества

|cosα| =

1 — sin

|sinα| =

1 — cos

tgα * ctgα = 1

tgα =

1
ctgα

1 + ctg	2	α =	1			= cosec	2	α
			sin	2	α

1 + tg	2	α =	1			= sec	2	α
			cos	2	α

Выражения одних тригонометрических функций через другие

Проецирование сил.

Движение по наклонной плоскости

Проецирование сил. Движение по наклонной плоскости

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Неколлинеарные силы.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых… Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y: N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Получаем, что:

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Ответ: 0,25

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T — сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Ответ: 65 Н

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей.

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле, ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Ответ: 4,22 кг

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска?

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM:

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Ответ: 6,36 м/с²

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время.

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с² и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Ответ: 6000 кг

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное — понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 7,5 см

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.

Единичный круг | Purplemath

Purplemath

Когда вы работаете с углами во всех четырех квадрантах, триггерные отношения для этих углов вычисляются в терминах значений x , y и r , где r — радиус круга, который соответствует к гипотенузе прямоугольного треугольника для вашего угла.На рисунке ниже угол заканчивается во втором квадранте, как показано диагональной линией:

MathHelp.com

Любые два прямоугольных треугольника с одинаковым углом в основании θ («тета», произносится как THAY-tuh) будут подобны в техническом смысле, имея пропорциональные стороны. Это сходство более очевидно, когда треугольники вложены друг в друга:

Сходство (и, следовательно, пропорциональность) означает, что триггерные отношения для двух вложенных треугольников, показанных выше, будут одинаковыми, как вы можете видеть из вычислений ниже для каждого из двух треугольников выше:

Триггерные отношения для угла θ одинакового размера одинаковы (как вы можете видеть выше), даже несмотря на то, что конкретные числа из наборов сторон двух треугольников различаются.Это подчеркивает, что для тригонометрических соотношений имеет значение угол θ, а не конкретный треугольник, из которого вы получили этот угол.

Для упрощения вычислений математики любят помещать угловой треугольник в круг с радиусом r = 1. Поскольку число 1 в математике называется «единицей», круг с радиусом длины 1 называется «единичной окружностью». «. Как только гипотенуза имеет фиксированную длину r = 1, тогда значения триггерных отношений будут зависеть только от x и y , поскольку умножение или деление на r = 1 ничего не изменит.Только значения x и y будут иметь значение.

Единичный круг

Смысл единичного круга в том, что он упрощает и упрощает другие части математики. Например, в единичной окружности для любого угла θ триггерные значения для синуса и косинуса явно не более чем sin (θ) = y и cos (θ) = x .Исходя из этого, вы можете принять тот факт, что тангенс определен как тангенс (θ) = y / x , а затем заменить x и y , чтобы легко доказать, что значение tan (θ) также должен быть равен отношению sin (θ) / cos (θ).

Еще одна вещь, которую вы можете увидеть из единичного круга, это то, что значения синуса и косинуса никогда не будут больше 1 или меньше -1, поскольку x и y никогда не принимают значений за пределами этого интервала.Кроме того, поскольку касательная включает деление на x , и поскольку x = 0, когда вы находитесь на одной четверти и трех четвертях пути по окружности (то есть, когда вы находитесь под углом 90 ° и 270 ° ), касательная не будет определяться для этих угловых мер.

Некоторые углы имеют «хорошие» триггерные значения. Эти углы в первом квадранте (являющиеся «опорными» углами) составляют 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °. (Строго говоря, 0deg и 90deg не находятся «в» каком-либо квадранте, но мы будем работать с ними, как если бы они были в первом квадранте.Так проще.) Так что вы, вероятно, должны будете запомнить значения триггерных функций для этих углов. Вероятно, теперь вам также будет предоставлен круг с отмеченными углами. В первом квадранте имеем:

(Вы, возможно, обратили внимание на радикалы у 1 в приведенном выше примере. Да, они упрощаются до 1, так что вы тоже можете писать так же, и вам, безусловно, следует, что сделает упрощение в вашем окончательном ответе.Но обратите внимание, что все знаменатели равны двойкам, а числители идут вверх или вниз: 1, 2, 3. Это может быть полезно для запоминания значений триггера.)

Вам может быть дан полный единичный круг со значениями углов в трех других квадрантах. Но вам нужно только знать значений в первом квадранте. Как только вы их узнаете, и поскольку значения повторяются (кроме знака) в других квадрантах, вы знаете все, что вам нужно знать о единичном круге.

Подтвердите, что точка (15/113, –112/113) является точкой на единичной окружности.
Найдите синус и котангенс угла A, имеющего эту точку на своей конечной стороне.

Любая точка на единичной окружности будет находиться на расстоянии одной единицы от центра; это определение единичного круга. Чтобы «подтвердить», что точка, которую они мне дали, является точкой на единичной окружности, я могу применить теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса прямоугольного треугольника, образованного опусканием перпендикуляра с оси x вниз. к точке.Мой перпендикуляр — ярко-синяя пунктирная линия:

Если теорема Пифагора дает мне значение радиуса 1, то я «подтверждаю», что точка находится на единичной окружности.

Тогда длина третьей стороны прямоугольного треугольника, которая также является длиной радиуса круга, равна 1. Таким образом, эта точка действительно находится на единичной окружности.

Теперь они хотят, чтобы я нашел синус и котангенс основного угла.Синус — это значение и . (Мне не нужно беспокоиться о гипотенузе, потому что она всегда равна 1 в единичной окружности.) Итак, синус нижележащего угла:

Котангенс — это величина, обратная касательной. Касательная — это «противоположный по соседнему» или, в этом контексте, « y на x ». Тогда котангенс обратен этому:

детская кроватка (A) = 15 / (- 112) = –15/112

В первой части этого упражнения я показал, что радиус равен 1.Остальная часть моего ручного ответа:

sin (A) = –112

детская кроватка (A) = –15/112

URL: https://www.purplemath. com/modules/unitcirc.htm

математических единиц — Почему грех = Y, а косинус = X?

Когда вы спросите Почему грех = Y, а косинус = X? Я прочитал ваш вопрос как Почему функция, которая дает мне ось Y, называется «sin» и почему функция, которая дает мне ось X, называется «косинусом»? , поэтому я начну с ответа…

По сути, это соглашение об именах. Если у вас есть единичный круг с общими тригонометрическими функциями …

… вы увидите, что все функции, которые идут по оси Y, являются «со» чем-то (косинус, косеканс, котангенс).

Глядя на ту же единичную окружность, вы обнаружите, что cos (θ) и sin (θ) дадут координаты X и Y соответственно для точки на единичной окружности, которая находится под углом θ от оси X. .

Эти функции исторически определены в терминах кругов, на самом деле они происходят от санскритских джья (синус) и коти-джья (косинус), где названия этих функций использовались индийскими математиками около 500 года нашей эры. Позже они были переведены на латынь, а оттуда на английский. Но вас это не волнует, вы заботитесь о создании игр (или решении математических задач, или о чем-то еще)!

Почему круг представлен как 1,1 и -1, -1?

Это единичный круг , это означает, что это круг с радиусом = 1, и, таким образом, он достигает значений от -1 до 1.Причина, по которой они используют radius = 1, заключается в том, что это упрощает масштабирование функций до другого радиуса.

А почему Y = sin, а X = cos?

Вы можете спросить, почему не наоборот. Что ж, они должны были быть так или иначе, и что бы вы ни спросили … так что ответ: по историческим причинам.

А через это tan = cos / sin?

Нет, это НЕПРАВИЛЬНО . Фактически tan (x) = sin (x) / cos (x) .

Я надеюсь продемонстрировать это интуитивно. Для начала возьмем треугольник 0BC с изображения выше:

Я добавил cos в треугольник для удобства ( сек. было удалено, потому что оно нам не нужно).

Мы видим, что этот треугольник является Правым треугольником, а также что он содержит еще один Правый треугольник меньшего размера. Кроме того, оба треугольника имеют один угол со значением θ , поэтому они являются подобными треугольниками.Это означает, что мы можем сопоставить один треугольник с другим, только масштабируя, вращая и перемещая (перемещая). Это можно увидеть на следующей анимации.

В анимации мы использовали вращение и масштабирование, ни одно из этих преобразований не меняет углы треугольников.

Обратите внимание, какой сегмент на какой сегмент был нанесен во время преобразования. В частности:

Пурпурный сегмент ( загар (θ) ) был отображен поверх черного сегмента ( 1 ).
Оливковый сегмент ( sin (θ) ) был сопоставлен с зеленым сегментом ( cos (θ) )

Теперь посмотрим, что это значит.

Первый tan (θ) перешел на 1 . Это означает, что

  коэффициент_масштабирования * тангенс угла (θ) = 1
=>
масштаб_фактор = 1 / тангенс (θ)

Таким образом, коэффициент масштабирования равен 1 / tan (θ) .

Во-вторых, sin (θ) перешло в cos (θ) . Это означает:

  коэффициент_масштабирования * sin (θ) = cos (θ)

Путем замены масштабного коэффициента получаем:

  1 / tan (θ) * sin (θ) = cos (θ)
=>
sin (θ) / tan (θ) = cos (θ)
=>
sin (θ) = cos (θ) * tan (θ)
=>
sin (θ) / cos (θ) = tan (θ)

И это то, что мы собирались продемонстрировать.

Синус и косинус объяснены визуально

Визуальное объяснение

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус — также известные как sin (θ) и cos (θ) — это функции, показывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — отношение соседней стороны к гипотенузе.Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ). Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ.6} {6!} \ Cdots \ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) как альтернативу, точку (r, θ), где r — длина сегмента от (0,0) до точки, а θ — угол между этим сегментом и осью абсцисс. Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта «Разъяснение визуально».

Или подпишитесь на нашу рассылку.

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. комментарии предоставлены

Функция косинуса

Функция косинуса — это периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

Самый простой способ понять функцию косинуса — использовать единичную окружность. Для данной угловой меры θ , нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной в качестве положительного Икс -ось. В Икс -координата точки, где другая сторона угла пересекает круг, равна потому что ( θ ) , а y -координата грех ( θ ) .

Есть несколько значений косинуса, которые следует запомнить, исходя из 30 ° — 60 ° — 90 ° треугольники а также 45 ° — 45 ° — 90 ° треугольники .

Зная эти значения, вы можете получить много других значений для функции косинуса. Помните, что cos \ theta; положительно в квадрантах я а также я V и отрицательные в квадрантах я я а также я я я .

Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции косинуса, часть между 0 а также 2 π .

Для значений θ меньше, чем 0 или больше чем 2 π вы можете найти ценность потому что ( θ ) с помощью опорный угол .

График функции в более широком интервале показан ниже.

Обратите внимание, что функция — это вся реальная линия, а диапазон — — 1 ≤ y ≤ 1 .

В период из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 2 π . То есть форма кривой повторяется каждые 2 π -единичный интервал на Икс -ось.

В амплитуда из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 1 , то есть высота волны.

Модифицированная функция y знак равно а потому что ( б Икс ) имеет амплитуду а и период 2 π / б .

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начинаем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу. длины [латекс] с [/ латекс].Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности , [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление движения положительного угла. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем обозначить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex].Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс]. В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой на единичной окружности дуги длины дуги [latex] s [/ latex]. Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас есть помеченная единичная окружность, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] соотносятся с длиной дуги и углом .Синусоидальная функция связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, где соответствующий угол пересекает единичную окружность. Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ латекс] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 3 косинус равен [латекс] х [/ латекс].

Рисунок 3

Поскольку понятно, что синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в скобках: [latex] \ sin t [/ latex] то же самое, что [latex] \ sin \ left (t \ right) [ / latex] и [latex] \ cos t [/ latex] такие же, как [latex] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [latex] t [/ latex] является действительным числом и точка [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [latex] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

P [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичной окружности, соответствующей углу [латекс] t [/ latex], найдите синус и косинус.

Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex].
Косинус [latex] t [/ latex] равен x -координате точки [latex] P: \ text {cos} t = x [/ latex].

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка [латекс] P [/ латекс] — это точка на единичной окружности, соответствующая углу [латекс] t [/ латекс], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) \\ [/ latex].

Рисунок 4

Решение

Мы знаем, что [latex] \ cos t [/ latex] — это координата x соответствующей точки на единичном круге, а [latex] \ sin t [/ latex] — это координата y соответствующей точки. точка на единичной окружности. Итак:

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ x = \ cos t = \ frac {1} {2} \ end {array} \ hfill \\ y = \ sin t = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 1

Определенный угол [латекс] t [/ латекс] соответствует точке на единичной окружности в [латекс] \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex], как показано на рисунке 5.Найдите [латекс] \ cos t [/ latex] и [латекс] \ sin t [/ latex].

Рисунок 5

Решение

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для квадрантных углов соответствующая точка единичной окружности попадает на ось x- или y . {2} t = 1 [/ латекс]

Как: по синусу некоторого угла [latex] t [/ latex] и его расположению в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

Подставьте известное значение [латекс] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] в Пифагорову идентичность.
Решите относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [латекс] t [/ латекс].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \ hfill \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицателен. Итак,
[латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \\ [/ latex]

Попробуй 3

Если [латекс] \ cos \ left (t \ right) = \ frac {24} {25} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в четвертом квадранте, найдите [latex] \ text {грех} \ влево (т \ вправо) \\ [/ латекс].Треугольник \ circ [/ latex] — это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта . \ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [латекс] 2y [/ latex], и, поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

[латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r \\ [/ latex]

А так как [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) \ hfill \\ \ текст {} = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Рисунок 13
Угол наклона [латекс] ABD [/ латекс] составляет 30 °. Так, если двойной, угол [латекс] ABC [/ латекс] равен 60 °. [latex] BD [/ latex] — это серединный перпендикуляр к [latex] AC [/ latex], поэтому он разрезает [latex] AC [/ latex] пополам. Это означает, что [latex] AD [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] радиус или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].\ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ [/ latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.
[латекс] \ begin {array} {l} \ left (x, y \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ hfill \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ гидроразрыв {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]
Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.
Угол 0 [латекс] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex], или 30 [латекс] \ frac {\ pi} {4} \\ [/ latex], или 45 ° [латекс] \ frac {\ pi} {3} \\ [/ latex], или 60 ° [латекс] \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], или 90 °
Косинус 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] 0
Синус 0 [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex] 1
На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.
Рисунок 14
Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса
Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Обратите внимание : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы для входного значения. Когда мы вычисляем [латекс] \ cos \ left (30 \ right) [/ latex] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.
Практическое руководство. Если задан угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
Нажмите кнопку COS.
Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
Нажмите ENTER.
Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса
Вычислить [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) \\ [/ latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.\ circ [/ latex], например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:
SIN (20 × π ÷ 180) ВВОД
Попробовать 4
Вычислить [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \\ [/ latex].
Решение

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса
Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс] 2 \ pi [/ latex] все еще могут быть нанесены на единичный круг и имеют реальные значения [latex] x, y [/ latex] и [latex] r [/ latex], не существует нижнего или верхнего предела углов, которые могут входить в функции синуса и косинуса.Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичный круг , как показано на рисунке 15. Границы координаты x — [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex]. Границы координаты y также равны [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

Рисунок 15

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса является координатой y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x .Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с тем же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны.Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ begin {array} {lll} \ sin \ left (t \ right) = \ sin \ left (\ alpha \ right) \ hfill & \ text {and} \ hfill & \ cos \ left (t \ right ) = — \ cos \ left (\ alpha \ right) \ hfill \\ \ sin \ left (t \ right) = — \ sin \ left (\ beta \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = \ cos \ left (\ beta \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]
Рисунок 16
Напомним, что опорный угол угла — это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]
Попробуй 5
Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].
Решение
Использование опорных углов
А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах больше 90 градусов или под отрицательным углом .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.
Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций
Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем, косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синус угла являются такими же, как опорным углом. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.
Общее примечание: Использование опорных углов для определения косинуса и синуса
Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.
Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
Определение значений косинуса и синуса заданного угла.
Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]
[латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} — \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:
[латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {и} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = — \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]
Попробуй 6
а.\ circ \ right) [/ латекс].
г. Используйте опорный угол [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ latex], чтобы найти [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex] и [латекс] \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex].
Использование опорных углов для поиска координат
Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности.Они показаны на рисунке 19. Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.
В дополнение к изучению значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах. вместе с тождествами
[латекс] \ begin {array} {l} x = \ cos t \ hfill \\ y = \ sin t \ hfill \ end {array} [/ latex]
Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу. Тогда мы возьмем синус и косинус значения опорного угла , и дать им знаки, соответствующие у — и х -значения квадранта.
Практическое руководство. Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.
Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
Найти косинус и синус заданного угла.
Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
в данном квадранте.
Пример 6: Использование единичной окружности для поиска координат
Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].
Решение
Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс] находится в третьем квадранте.
Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол для угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].
[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]
Далее мы найдем косинус и синус заданного угла:
[латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right ) = \ frac {1} {2} [/ latex]
Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.
[латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].
Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]
Ключевые понятия
Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен значению x конечной точки.
Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
Когда синус или косинус известны, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
синус и косинус угла имеют одинаковое абсолютное значение как синус и косинус его опорного угла.
Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
Опорный угол угла — это размерный угол [латекс] t [/ латекс],
, образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.
Глоссарий
функция косинуса
значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу
Пифагорейская идентичность
следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 19 · 1062
синусоидальная функция
y -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу
единичная окружность
круг с центром в [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс]
и радиусом
Упражнения по разделам
1. Опишите единичный круг.
2. Что обозначают координаты x- и y- точек на единичной окружности?
3. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.
4. Объясните, как косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.
5. Объясните, как синус угла во втором квадранте отличается от синуса угла его опорного в единичной окружности.
В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая [latex] t [/ latex].
6. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [latex] \ text {cos} \ left (t \ right) <0 [/ latex]
7. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]
8. [латекс] \ sin \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right) <0 [/ latex]
9.[латекс] \ sin \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]
Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.
10. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]
11. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]
12. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]
13. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]
14. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]
15. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]
16.\ circ [/ latex]
28. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]
29. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]
30. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]
31. [латекс] \ frac {-11 \ pi} {3} [/ латекс]
32. [латекс] \ frac {-7 \ pi} {4} [/ латекс]
33. [латекс] \ frac {- \ pi} {8} [/ латекс]
Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков. \ circ [/ latex]
42. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]
43. [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс]
44. [латекс] \ frac {5 \ pi} {3} [/ латекс]
45. [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]
46. [латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]
47. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]
48. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]
49. [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]
Найдите требуемое значение для следующих упражнений.
50. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {1} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в 4 ^{-м квадранте}, найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].
51. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {2} {9} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 1 ^st, найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].
52. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = \ frac {3} {8} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 2 ^nd, найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].
53. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = — \ frac {1} {4} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 3 ^rd найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].\ circ [/ латекс].
56. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 8, соответствующей углу [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex].
57. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 16, соответствующей углу [латекс] \ frac {5 \ pi} {9} [/ latex].
58. Укажите область определения функций синуса и косинуса.
59. Укажите диапазон функций синуса и косинуса.
Для следующих упражнений используйте заданную точку на единичном круге, чтобы найти значение синуса и косинуса [latex] t [/ latex].
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор для оценки.\ circ [/ latex]
90. [латекс] \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {-5 \ pi} {6} \ right) [/ latex]
91. [латекс] \ sin \ left (\ frac {3 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex]
92. [латекс] \ sin \ left (- \ frac {4 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]
93. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-9 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {6} \ right) [/ latex]
94. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) [/ latex]
95.[латекс] \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {-2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]
96. [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]
97. [латекс] \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]
98. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-5 \ pi} {4} \ right) \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) [/ latex]
99. [латекс] \ sin \ left (\ pi \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex]
Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку [latex] \ left (0,1 \ right) [/ latex], то есть на правильном северном положении. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.
100. Какие координаты ребенка через 45 секунд?
101. Какие координаты ребенка через 90 секунд?
102. Какие координаты ребенка через 125 секунд?
103. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (0.707, -0.707 \ right) [/ latex], если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)
104. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (-0,866, -0,5 \ right) [/ latex], если поездка продлится 6 минут?
Единичный круг — Рубрики тригонометрии
Темы | Дом
15
Определения
Знаков в каждом квадранте
Углы квадрантные
Единичный круг
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ является расширением тригонометрии прямоугольного треугольника.Это происходит на плоскости x — y . Поскольку тригонометрия фактически используется в исчислении и физике, она не связана с решением треугольников. Он становится математическим описанием вещей, которые вращаются или вибрируют, таких как свет, звук, пути планет вокруг Солнца или спутников вокруг Земли. Следовательно, необходимо иметь углы любого размера и распространять на них значения тригонометрических функций. Мы делаем это сейчас.
Пусть радиус длиной r охватывает угол θ в стандартном положении, и пусть его конечная точка имеет координаты ( x , y ).Возникает вопрос: как теперь определить шесть тригонометрических функций от θ?
Мы будем брать реплику из первого квадранта. В этом квадранте
радиус r завершится в точке ( x , y ). Эти координаты определяют прямоугольный треугольник. Далее следуют определения шести тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника (тема 2).
грех θ = y
r csc θ = r
r
cos θ = x
r сек θ = r
x
tan θ = y
x детская кроватка θ = x
y
Согласно теореме Пифагора,
Таким образом мы расширяем значение тригонометрических функций на углы, которые заканчиваются в любом квадранте .Он выражается в координатах ( x , y ) конечной точки расстояния r от начала координат.
Но прежде чем мы приведем пример, рассмотрим следующий вопрос:
Будет ли функция θ зависеть от длины r ?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала ответьте на вопрос сами!
Нет, не будет.Функции определяются как отношения сторон, а не их длины.
Скажем, AB, AC — два разных радиуса. Но треугольники ABD, ACE похожи. (Теорема 15) Пропорционально
DB: BA = EC: CA
sin θ — противоположно гипотенузе — не зависит от длины радиуса. То же самое и с остальными функциями. Поэтому мы можем выбрать любой радиус, который нам нравится. Обычно мы берем r = 1.Как мы увидим, это называется единичным кругом.
Фактически, тригонометрические функции зависят только от угла θ — и по этой причине мы говорим, что они являются функциями от θ.
Пример 1. Прямая линия, вставленная в начало координат, заканчивается в точке (3, 2), поскольку она проходит под углом θ в стандартном положении. Оцените все шесть функций θ.
Ответ . x = 3, y = 2. Следовательно, по определениям:
грех θ = y
r = 2
csc θ = r
r =
2
cos θ = x
r = 3
сек θ = r
x =
3
tan θ = y
x = 2
3 детская кроватка θ = x
y = 3
2
Проблема 1.Прямая от начала координат проходит под углом θ и заканчивается в точке (3, −4). Оцените шесть функций θ.
x = 3, y = −4. Следовательно,
грех θ = — 4
5 csc θ = — 5
4
cos θ = 3
5 сек θ = 5
3
tan θ = — 4
3 детская кроватка θ = — 3
4
Проблема 2.Знаки в каждом квадранте.
а) Алгебраический знак греха θ всегда будет знаком
а) координаты? y , потому что sin θ = y / r , а r всегда положителен.
а) Следовательно, в каких квадрантах грех θ — y — будет положительным? I и II.
а) В каких квадрантах sin θ будет отрицательным? III и IV.
b) Алгебраический знак cos θ всегда будет знаком
b) координаты? x , потому что cos θ = x / r , и снова r всегда
положительный.
а) Следовательно, в каких квадрантах cos θ — x — будет положительным? I и IV.
a) В каких квадрантах cos θ будет отрицательным? II и III.
c) В каких квадрантах алгебраический знак tan θ ( y / x ) будет положительным?
I и III. x и y будут иметь одинаковые знаки.
d) В каких квадрантах алгебраический знак tan θ будет отрицательным?
II и IV. x и y будут иметь противоположные знаки.
e) csc θ будет иметь тот же знак, что и другая функция?
sin θ, потому что они обратны.
е) сек θ будет иметь тот же знак, что и другая функция?
cos θ
г) детская кроватка θ будет иметь тот же знак, что и другая функция?
загар θ
Углы квадрантные
Квадрантный угол — это угол, который заканчивается на оси x или y .
Проблема 3.
а) Каковы углы квадранта в градусах?
0 °, 90 °, 180 °, 270 °; и углы, совпадающие с ними.
б) Каковы углы квадранта в радианах?
0, π
2 , π, 3π
2 ; и углы, совпадающие с ними.
c) Когда угол заканчивается на оси x , каково значение
c) y -coördinate? 0. По оси x y = 0,
d) Когда угол заканчивается на оси y , каково значение
c) x -координат? 0. По оси y x = 0,
Итак, это арифметический факт, что не существует числа со знаминателем 0.
Следовательно, везде, где у тригонометрической функции знаменатель — x или y — равен 0, функция не будет существовать под этим квадрантным углом.
Например,
Если x = 0, tan θ не существует. Где x = 0? Когда угол заканчивается на оси y .
tan θ не будет существовать при θ = π
2 и θ = 3π
2 или по — π
2 , что составляет
coterminal.
Эти значения θ будут особенностями tan θ. (Тема 18 Precalculus.)
Задача 4. Для каких квадрантных углов не существуют следующие функции?
а) детская кроватка θ детская кроватка θ = x
y . Следовательно, всякий раз, когда y = 0, то есть на
ось x — кроватка θ не существует.cot θ не будет существовать при θ = 0 и θ = π.
б) сек θ
сек θ = r
x . Следовательно, sec θ не будет существовать, если x = 0,
, который находится на оси y . сек θ не будет существовать при θ = π
2
в) грех θ
грех θ = y
r .Но r никогда не равен 0. Нет угла, для которого
sin θ не существует.
Единичный круг
Тригонометрические функции являются функциями только угла θ. Поэтому мы можем выбрать любой радиус, который нам нравится, и самый простой — это круг радиуса 1, единичный круг.
На единичном круге функции принимают особенно простую форму. Например,
грех θ = y
1 = y .
cos θ = x
1 = х .
Значение sin θ равно координата y конечной точки единичного радиуса. Значение cos θ — координата x
.
Что касается углов квадранта, единичная окружность показывает следующее:
Если функция существует под углом квадранта,
она может иметь только значения 0, 1 или -1.
Рассмотрим sin θ для каждого квадрантного угла. Мы только что видели, что значение sin θ равно , y -coördinate:
.
sin θ = y .
Следовательно, для каждого квадрантного угла значение sin θ — из y — равно 0, 1 или -1.
При θ = 0, грех θ = 0.
При θ = π
2 , грех θ = 1.
При θ = π, грех θ = 0.
При θ = 3π
2 , грех θ = -1.
Чтобы оценить функцию под углом квадранта, ученик должен нарисовать единичный круг.
Проблема 5. Оцените следующее. Нет столов
а) cos 0 °
cos 0 ° = 1.cos θ равен x -coördinate.
б) cos 90 ° = 0 в) cos 180 ° = -1
г) cos 270 ° = 0
д) загар 0 °
tan 0 ° = 0. tan θ равен y / x = 0/1 = 0.
е) загар 90 ° 1/0 не существует.
ж) загар 180 ° = 0
ч) загар 270 ° не существует.
Проблема 6. Оцените следующее — если оно существует. Таблиц нет.
б) грех π
2 = 1 в) грех π = 0 г) cos π = -1
д) детская кроватка 0 = x / y .Не существует. е) детская кроватка π
2 = 0
г) загар π
2 Не существует. ч) сек 0 = 1/ x = 1
i) csc (- π
2 ) = -1 к) грех 2π = 0
л) грех 3π = 0 л) грех 4π = 0
т) грех (−π) = 0 п) cos 2π = 1
о) cos 3π = -1 p) cos 4π = 1
q) cos 5π = -1
Проблема 7.Объясните, почему мы можем написать следующее, где n может быть любым целым числом:
cos n π = (−1) ⁿ
(-1) ⁿ = ± 1, в соответствии с тем, что n четное или нечетное. Если n четно (или 0), то cos n π совпадает с 0 радианами и (−1) ⁿ = 1. А если n нечетно, то cos n π совпадает с π радианами, и (−1) ⁿ = −1.
См. Единичный круг.
Следующая тема: Тригонометрические функции под любым углом
Темы | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]

Cosine — определение математического слова
Cosine — определение математического слова — Math Open Reference В прямоугольный треугольник, косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H).Попробуй это Перетащите любой вершину треугольника и посмотрите, как вычисляются косинусы A и C.
Функция косинуса, наряду с синусом и тангенсом, является одной из трех наиболее распространенных тригонометрические функции. В любом прямоугольном треугольнике косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). В формуле он записывается просто как «cos».
Часто вспоминается как «CAH», что означает Косинус Смежно над Гипотенуза. См. SOH CAH TOA.
В качестве примера предположим, что мы хотим найти косинус угла C на рисунке выше (сначала нажмите «сбросить»). Из приведенной выше формулы мы знаем, что косинус угла — это смежная сторона, деленная на гипотенузу. Соседняя сторона — это BC и имеет длину 26. Гипотенуза — это AC с длиной 30. Таким образом, мы можем написать Это деление на калькуляторе получается 0,866. Таким образом, мы можем сказать: « Косинус 30 ° равен 0,866 » или
Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти косинус 30 °.Как и выше, должно получиться 0,8660.
(Если нет — убедитесь, что калькулятор настроен на работу в градусах, а не радианы).
Пример — использование косинуса для нахождения гипотенузы
Если мы посмотрим на общее определение — мы видим, что есть три переменные: мера угла x и длины двух сторон (смежная и гипотенуза). Итак, если у нас есть какие-то два из них, мы можем найти третий.
На рисунке выше нажмите «Сброс».Представьте, что мы не знаем длины гипотенузы H. Мы знаем, что косинус A (60 °) — это смежная сторона (15), деленная на H. Из нашего калькулятора мы находим, что cos60 равен 0,5, поэтому мы можем написать Транспонирование: что составляет 30, что соответствует цифре выше.
Функция обратного косинуса — arccos
Для каждой тригонометрической функции, такой как cos, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди.Таким образом, cos является обратной величиной arccos и т. Д.
Когда мы видим «arccos A», мы интерпретируем его как «угол, косинус которого равен A».
cos60 = 0,5 Означает: косинус 60 градусов равен 0,5
arccos0.5 = 60 Означает: угол, косинус которого равен 0,5, равен 60 градусам.
Мы используем его, когда знаем, что такое косинус угла, и хотим узнать фактический угол.
Также определение арккосинуса и Обратные функции — тригонометрия
Большие и отрицательные углы
В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника).Но на самом деле мы можем найти косинус любого угла, независимо от его размера, а также косинус отрицательных углов. Подробнее об этом см.

РубрикаРазное

Угол	0	[латекс] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex], или 30	[латекс] \ frac {\ pi} {4} \\ [/ latex], или 45 °	[латекс] \ frac {\ pi} {3} \\ [/ latex], или 60 °	[латекс] \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], или 90 °
Косинус	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	0
Синус	0	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex]	1

грех θ	=	y r	csc θ	=	r r

cos θ	=	x r	сек θ	=	r x

tan θ	=	y x	детская кроватка θ	=	x y

грех θ	= —	4 5	csc θ	= —	5 4

cos θ	=	3 5	сек θ	=	5 3

tan θ	= —	4 3	детская кроватка θ	= —	3 4

При θ = 0,		грех θ = 0.

При θ =	π 2	, грех θ = 1.

При θ = π,		грех θ = 0.

При θ =	3π 2	, грех θ = -1.

cos60 = 0,5	Означает: косинус 60 градусов равен 0,5
arccos0.5 = 60	Означает: угол, косинус которого равен 0,5, равен 60 градусам.

Косинус это х: знаки синуса и косинуса

определения, формулы, примеры, угол поворота

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Угол поворота

Числа

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

График косинуса

Свойства косинуса

Обратная к косинусу функция

Таблица косинусов

§ 14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan — Power Apps

В этой статье

Описание

Основные функции

Обратные функции

Вспомогательные функции

Заметки

Синтаксис

Основные функции

Обратные функции

Вспомогательные функции

Примеры

Одно число

Таблица с одним столбцом

Синус, косинус, тангенс острого угла [Love Soft]

Основное тригонометрическое тождество

Формулы приведения для острого угла

Возрастание и убывание

Мнемоническое правило

Правило для косинуса

Правило для ОТТ

Синус в строительстве

Расчеты в Excel

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества

Проецирование сил.

Проецирование сил. Движение по наклонной плоскости

Единичный круг | Purplemath

Purplemath

MathHelp.com

Подтвердите, что точка (15/113, –112/113) является точкой на единичной окружности.

математических единиц — Почему грех = Y, а косинус = X?

Синус и косинус объяснены визуально

Визуальное объяснение

Функция косинуса

Единичный круг: функции синуса и косинуса

A Общее примечание: Unit Circle

Определение функций синуса и косинуса

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Как сделать: по точке

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Решение

Попробуй 1

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Как: по синусу некоторого угла [latex] t [/ latex] и его расположению в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Попробуй 3

Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

Практическое руководство. Если задан угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

Попробовать 4

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

Попробуй 5

Использование опорных углов

Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций

Общее примечание: Использование опорных углов для определения косинуса и синуса

Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

Попробуй 6

Использование опорных углов для поиска координат

Практическое руководство. Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

Пример 6: Использование единичной окружности для поиска координат

Решение

Ключевые понятия

Глоссарий

Упражнения по разделам