Корни уравнение: Что такое корень уравнения
Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований, для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.
Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ:
2 = -1$ действительных корней не имеет.В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.
Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
п.2. Примеры
Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9
Решение:
x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4
Проверка:
$4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$
Ответ: x = 4
Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56
Решение:
7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5
Проверка:
$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$
Ответ: x = 5
Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14
Решение:
(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8
Проверка:
$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$
Ответ:
Пример 4.
Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$
Решение:
$\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$
$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $
Решений нет.
Ответ: $x \in \varnothing $
Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$
Решение:
$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $
$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$
Ответ:
Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5
Решение:
$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$
Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$
Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3
Решение:
$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right.
}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$
$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$
Проверка:
$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$
Ответ: x = -2
Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?
Решение:
Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:
5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1
a=1
Ответ: a = 1
Три способа отбора корней — урок.
Единый государственный экзамен, Математика 2021.Пример:
а) реши уравнение sinx=cos2x.
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2.
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:
sinx=cos2x;sinx≥0,cos2x≥0.
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
sinx=cos2x;sinx≥0.
Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
sinx=cos2x;sinx−cos2x=0;sinx−(cos2x−sin2x)=0;sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;sinx−(1−2sin2x)=0;2sin2x+sinx−1=0;sinx=−1,sinx=12.
\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
Рис. \(1\). Решения уравнения на единичной окружности
Эти решения можно записать в виде:
x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ.
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 2π;7π2.
1 способ:
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:
Рис. \(2\). Отбор корней с помощью единичной окружности
2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6.
2 способ:
указанный отрезок соответствует неравенству 2π≤x≤7π2. Подставим в него полученные корни:
| 2π≤π6+2πn≤7π2,n∈ℤ:π;2≤16+2n≤72,n∈ℤ−16;2−16≤2n≤72−16,n∈ℤ;116≤2n≤206,n∈ℤ:2;1112≤n≤2012,n∈ℤ;n=1;x=π6+2π⋅1=13π6 | 2π≤5π6+2πm≤7π2,m∈ℤ:π;2≤56+2m≤72,m∈ℤ−56;2−56≤2m≤72−56,m∈ℤ;76≤2m≤166,m∈ℤ:2;712≤m≤1612,m∈ℤ;m=1;x=5π6+2π⋅1=17π6 |
3 способ:
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.
Рис. \(3\). Отбор корней с помощью координатной прямой
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
Ответ: а) x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ; б) 13π6,17π6.
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.
Источники:
Рис. 1. Решения уравнения на единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 2. Отбор корней с помощью единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 3. Отбор корней с помощью координатной прямой. © ЯКласс.
Численное нахождение корней уравнения | Решатели
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, корнем уравнения 2х–4=0 является х=2. В данном случае уравнение имеет единственное решение. Решить уравнение — значит найти его корни.
3-2 at x1=-3 and x2=3 Вычислить n-й корень числа, используя метод секущихusing secant method find root of 7Найти корни уравнения, используя метод бисекций
solve sin(1/x)=0 using the bisection method
using bisection method solve x cos x at a=1 and b=4 with 20 digits precisionВычислить n-й корень числа, используя метод бисекций
find root of 2 with bisection method
кубических, тригонометрических, логарифмических и др. уравнений · Калькулятор Онлайн для чайников 🫖🤓
Введите уравнение с неизвестным, для которого требуется найти корни.
Решим уравнение с неизвестным x
(если данное уравнение калькулятор способен решить).
Левая и правая части уравнения теперь совмещены в одну.
И знак равенства теперь находится в форме.
Примеры решаемых уравнений
Линейные ур-ния
-5*(3*x - 2)/7 + 4 = 7*x - 4 /9*(x - 3)
36/(x + 2) = 20/(x - 2)
(x - 14)/(x - 15) = 14/13
x^2 - x + 9 = (x + 2)^2
Квадратные ур-ния
x^2 - x + 5/3 = 0
10/(x - 4) + 4/(x - 10) = 2
Тригонометрические ур-ния
sin(2*x/5 + pi/3) = -1/2
cos(x) - sin(x) = 1
Ур-ния с модулем
|x + 1| + |x^2 - 7| = 20
Логарифмические ур-ния
log(x^2 - 5) - log(x) = 7
Показательные ур-ния
7^(2*x + 1) + 4*7^(x - 1) = 347
Уравнения с корнями
sqrt(x - 1) = x
(x - 1)^(1/3) = 4*x
Кубические и высших степеней ур-ния
x^3 + 5*x^2 = x - 1
x^4 - x^3 + 5*x^2 = 0
Ур-ния с численным решением
(x - 1)^(1/3) = x^2/tan(x)
x - 1 = sin(x)
Примеры решаемых уравнений (простых)
Система не умеет решать абсолютно все уравнения из ниже перечисленных, но вдруг Вам повезет 🙂
Решение Алгебраических (по алгебре): Квадратных, кубических и других степеней уравнений
Решение Тригонометрих уравнений sin(2*x)=1
Правила ввода уравнений
В поле ‘Уравнение’ можно делать следующие операции:
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- ctg(x)
- Функция — Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция — Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция — Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
- Действительные числа
- вводить в виде 7.
3- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
3Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
14159..Урок 50. уравнения. часть 2 — Математика — 6 класс
Математика
6 класс
Урок №50
Уравнения.Часть 2
Перечень рассматриваемых вопросов:
– уравнения;
– корни уравнений.
Тезаурус
Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.
Решить уравнение – значит найти все его корни.
Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С.
М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.
Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Например, 2х – 5=17.
Решить уравнение – значит найти все его корни.
В нашем случае x=11.
Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.
Подставим в уравнение корень
2 ∙ 11 – 5 = 17,
17 = 17.
Получается, что левая и правая части равны семнадцати.
При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:
– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.
– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.
Решим уравнение:
2х + 7 = – 3х – 8.
Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:
2х + 3х + 7 = – 8.
Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:
2х + 3х = – 8 – 7.
Применим распределительный закон для правой части:
(2 + 3)х = – 8 – 7.
Упростим левую и правую части уравнения:
5х = – 15.
Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:
x = – 15 : 5.
Корень уравнения:
х = – 3.
Ответ: х = – 3.
Проверка:
2х + 7 = – 3х – 8,
х = – 3,
2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,
– 6 + 7 = 9 – 8,
1 = 1.
Значит, корень уравнения найден верно.
Решим уравнение:
1/2 x+3=-8.
Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
Где используются уравнения?
Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.
Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1.
Найдите корни уравнения.
2х – х – 5= – 18
Решение.
Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
2х – х= – 18 + 5.
Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.
x= – 13.
Это и есть корень уравнения.
Ответ: х= – 13.
Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?
x+6= 17 – 2х
Решение.
Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.
Получаем
7+6=17 – 2 • 7
13= 17 – 14
13 ≠ 3
Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) |
|
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) |
|
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | sin(60) | ||
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) |
|
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) |
|
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) |
|
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) |
|
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) |
|
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) |
|
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) |
|
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) |
|
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Корни квадратного уравнения — Формула, Калькулятор, Примеры
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 не что иное, как решения квадратного уравнения. т. е. они являются значениями переменной (x), которая удовлетворяет уравнению.
Корни квадратичной функции — это x-координаты x-перехватов функции. Поскольку степень квадратного уравнения равна 2, оно может иметь максимум 2 корня. Мы можем найти корни квадратных уравнений, используя различные методы.
- Факторинг (по возможности)
- Квадратичная формула
- Завершение квадрата
- График (используется для поиска только действительных корней)
Давайте узнаем больше о корнях квадратного уравнения, а также о дискриминанте, природе корней, сумме корней, произведении корней и многом другом вместе с некоторыми примерами.
Корни квадратного уравнения
корней квадратного уравнения — это значения переменной, которые удовлетворяют уравнению. Они также известны как «решения» или «нули» квадратного уравнения. Например, корнями квадратного уравнения x 2 — 7x + 10 = 0 являются x = 2 и x = 5, поскольку они удовлетворяют уравнению. то есть
- при x = 2, 2 2 — 7(2) + 10 = 4 — 14 + 10 = 0.
- при x = 5, 5 2 — 7(5) + 10 = 25 — 35 + 10 = 0.
Но как найти корни общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0? Попробуем решить его относительно x, заполнив квадрат.
топор 2 + Ьх = — с
Деление обеих сторон на «а»,
х 2 + (б/а) х = — в/а
Здесь коэффициент x равен b/a. Половина его равна b/(2a). Его площадь равна b 2 /4a 2 . Добавление b 2 /4a 2 с обеих сторон,
x 2 + (b/a) x + b 2 /4a 2 = (b 2 /4a 2 ) — (c/a)
[ x + (b/2a) ] 2 = (b 2 — 4ac) / 4a 2 (с использованием формулы (a + b)²)
Извлечение квадратного корня с обеих сторон,
х + (b/2a) = ±√ (b² — 4ac) / 4a²
х + (b/2a) = ±√ (b² — 4ac) / 2a
Вычитание b/2a с обеих сторон,
х = (-b/2a) ±√ (b² — 4ac) / 2a (или)
х = (-b ± √ (b² — 4ac))/2a
Это известно как квадратная формула , и ее можно использовать для нахождения любого типа корней квадратного уравнения.
Как найти корни квадратного уравнения?
Процесс нахождения корней квадратных уравнений известен как «решение квадратных уравнений». В предыдущем разделе мы видели, что корни квадратного уравнения можно найти с помощью квадратной формулы. Наряду с этим методом у нас есть несколько других методов нахождения корней квадратного уравнения. Чтобы узнать об этих методах подробно, нажмите здесь. Давайте обсудим каждый из этих методов здесь, решая пример нахождения корней квадратного уравнения x 2 — 7x + 10 = 0 (о котором упоминалось в предыдущем разделе) в каждом случае.Обратите внимание, что в каждом из этих методов уравнение должно иметь стандартный вид ax 2 + bx + c = 0,
.Нахождение корней квадратного уравнения с помощью факторинга
- Фактор левой части.
(х — 2) (х — 5) = 0 - Установите каждый из этих коэффициентов равным нулю и решите.
х — 2 = 0, х — 5 = 0
х = 2, х = 5.
Нахождение корней квадратного уравнения по квадратичной формуле
- Найдите значения a, b и c, сравнив данное уравнение с ax 2 + bx + c = 0.
Тогда a = 1, b = -7 и c = 10 - Подставьте их в квадратную формулу и упростите.
х = [-(-7) ± √((-7)² — 4(1)(10))] / (2(1))
= [ 7 ± √(49 — 40) ] / 2
= [ 7 ± √(9) ] / 2
= [ 7 ± 3 ] / 2
= (7 + 3) / 2, (7 — 3) / 2
= 10/2, 4/2
= 5, 2
Следовательно, х = 2, х = 5.
Нахождение корней квадратного уравнения путем заполнения квадрата
- Заполните квадрат с левой стороны.
(х — (7/2) ) 2 = 9/4 - Решите, извлекая квадратный корень из обеих сторон.
х — 7/2 = ± 3/2
х — 7/2 = 3/2, х — 7/2 = -3/2
х = 10/2, х = 4/2
х = 5, х = 2
Нахождение корней квадратного уравнения с помощью графика
- Постройте график левой части вручную или с помощью графического калькулятора (GDC).
График показан ниже. - Найдите точки пересечения, которые являются не чем иным, как корнями квадратного уравнения.
Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 2 и x = 5 .
Мы можем заметить, что корни квадратного уравнения x 2 — 7x + 10 = 0 равны x = 2 и x = 5 в каждом из методов. Среди этих методов метод факторинга работает только тогда, когда квадратное уравнение факторизуемо; и мы не можем найти комплексные корни квадратного уравнения с помощью графического метода. Таким образом, лучшие методы, которые всегда работают для нахождения корней, — это квадратичная формула и методы завершения квадрата.
Природа корней квадратного уравнения
Природа корней квадратного уравнения говорит о том, «сколько корней имеет уравнение?» и «какой тип корней имеет уравнение?». Квадратное уравнение может иметь:
- два действительных и разных корня
- два сложных корня
- два действительных и равных корня (это означает только один действительный корень)
Например, в приведенном выше примере корни квадратного уравнения x 2 — 7x + 10 = 0 равны x = 2 и x = 5, где 2 и 5 — два разных действительных числа.
и поэтому мы можем сказать, что уравнение имеет два действительных и различных корня. Но чтобы найти природу корней, нам на самом деле не нужно решать уравнение. Мы можем определить природу корней, используя дискриминант . Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равен D = b 2 — 4ac .
Квадратичная формула x = (-b ± √ (b² — 4ac))/2a. Таким образом, это можно записать как x = (-b ± √ D )/2a. Поскольку дискриминант D находится в квадратном корне, мы можем определить природу корней в зависимости от того, является ли D положительным, отрицательным или нулевым.
Природа корней при D > 0
Тогда приведенная выше формула принимает вид
.
х = (-b ± √ положительное число)/2a
и это дает нам два действительных и разных корня. Таким образом, квадратное уравнение имеет два действительных и различных корня, когда b 2 — 4ac > 0,
Природа корней при D
< 0 Тогда приведенная выше формула принимает вид
.
х = (-b ± √ отрицательное число)/2a
и это дает нам два комплексных корня (которые различны), поскольку квадратный корень из отрицательного числа является комплексным числом.Таким образом, квадратное уравнение имеет два комплексных корня при b 2 — 4ac < 0,
Примечание. Квадратное уравнение не может иметь один комплексный корень. Сложные корни всегда встречаются парами. т. е. если a + bi — корень, то a — bi тоже корень.
Природа корней при D = 0
Тогда приведенная выше формула принимает вид
.
х = (-b ± √ 0)/2a = -b/2a
и, следовательно, уравнение имеет только один действительный корень. Таким образом, квадратное уравнение имеет только один действительный корень (или два равных корня -b/2a и -b/2a), когда b 2 — 4ac = 0.
Сумма и произведение корней квадратного уравнения
Мы видели, что корнями квадратного уравнения x 2 — 7x + 10 = 0 являются x = 2 и x = 5.
Таким образом, сумма его корней = 2 + 5 = 7, а произведение его корней = 2 × 5 = 10. Но сумму и произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно найти без фактического вычисления корней. Давайте посмотрим, как.
Мы знаем, что корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 по квадратной формуле являются (-b + √ (b² — 4ac))/2a и (-b — √ (b² — 4ac))/ 2а.Обозначим их через x₁ и x₂ соответственно.
Сумма корней квадратного уравнения
Сумма корней = x₁ + x₂
= (-b + √ (b² — 4ac))/2a + (-b — √ (b² — 4ac))/2a
= -б/2а — б/2а
= -2б/2а
= -б/а
Следовательно, сумма корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равна -b/a.
Для уравнения x 2 — 7x + 10 = 0, сумма корней = -(-7)/1 = 7 (что было суммой фактических корней 2 и 5).
Произведение корней квадратного уравнения
Произведение корней = x₁ · x₂
= (-b + √ (b² — 4ac))/2a · (-b — √ (b² — 4ac))/2a
= (-b/2a) 2 — (√b² — 4ac / 2a) 2 (по формуле a² — b²)
= б 2 / 4а 2 — (б 2 — 4ас) / 4а 2
= б 2 / 4а 2 — б 2 / 4а 2 + 4ас / 4а 2
= 4ас / 4а 2
= к/к
Следовательно, произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равно c/a.
Для уравнения x 2 — 7x + 10 = 0, произведение корней = 10/1 = 10 (которое было произведением фактических корней 2 и 5).
Важные формулы, относящиеся к корням квадратных уравнений:
Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0,
- Корни вычисляются по формуле x = (-b ± √ (b² — 4ac))/2a.
- Дискриминант, D = b 2 — 4ac.
Если D > 0, то уравнение имеет два действительных и различных корня.
Если D < 0, уравнение имеет два комплексных корня.
Если D = 0, уравнение имеет только один действительный корень. - Сумма корней = -b/a
- Произведение корней = c/a
Темы, относящиеся к корням квадратных уравнений:
Часто задаваемые вопросы о корнях квадратного уравнения
Что такое корни квадратного уравнения?
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 — это значения переменной (x), которые удовлетворяют уравнению.
Например, корни уравнения x 2 + 5x + 6 = 0 равны -2 и -3.
Как найти корни квадратного уравнения?
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно найти с помощью квадратной формулы x = (-b ± √ (b² — 4ac))/2a. В качестве альтернативы, если квадратное выражение можно разложить на множители, мы можем разложить его на множители и установить множители равными нулю, чтобы найти корни.
Какие три типа корней корней квадратного уравнения?
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 может иметь:
- два действительных и различных корня, когда b 2 — 4ac > 0.
- два сложных корня при b 2 — 4ac < 0,
- два действительных и равных корня при b 2 — 4ac = 0.
Как определить природу корней квадратного уравнения?
Характер корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 определяется его дискриминантом D = b 2 — 4ac.
- Если D > 0, уравнение имеет два действительных и различных корня.
- Если D < 0, уравнение имеет два комплексных корня.
- Если D = 0, уравнение имеет два равных действительных корня.
Как найти корни квадратного уравнения, заполнив квадрат?
Чтобы найти корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат, сначала заполните квадрат с левой стороны. Затем найдите x, извлекая квадратный корень из обеих сторон.
Как найти корни квадратного уравнения с помощью квадратной формулы?
Квадратная формула говорит, что корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны x = (-b ± √ (b² — 4ac))/2a.Чтобы решить любое квадратное уравнение, приведите к стандартной форме ax 2 + bx + c = 0, найдите значения a, b и c, подставьте их в квадратную формулу и упростите.
Могут ли оба корня квадратного уравнения быть нулями?
Да, оба корня квадратного уравнения могут быть нулями.
Например, два корня квадратного уравнения x 2 = 0 равны 0 и 0,
Как найти корни квадратного уравнения с помощью факторинга?
Чтобы найти корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, разложите его левую часть на множители, приравняйте каждый из множителей к нулю и решите.
Как найти сумму и произведение корней квадратного уравнения?
Для любого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0,
- сумма корней = -b/a
- произведение корней = c/a
Как использовать квадратичную формулу для поиска корней уравнений — видео и расшифровка урока
Квадратная формула
Квадратная формула — это формула, которую мы можем использовать для нахождения корней квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0,452
Чтобы использовать квадратную формулу для нахождения корней квадратного уравнения, все, что нам нужно сделать, это привести наше квадратное уравнение к форме 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подставьте их в формулу.
Чтобы идентифицировать эти значения, мы просто помним, что a стоит перед x 2, b стоит перед x , а c — это число само по себе.
Например, в нашем уравнении — x 2 + 4 x + 5 = 0, число перед x 2 равно -1, поэтому a = -1. Число перед x равно 4, поэтому b = 4. Наконец, число само по себе равно 5, поэтому c = 5. Мы почти у цели! Все, что нам нужно сделать, это подставить эти значения в нашу квадратичную формулу, и тогда мы сможем найти значения x , которые сделают наше уравнение верным. Тогда мы узнаем, сколько времени потребуется, чтобы мяч коснулся земли.Приступаем к подключению!
Мы видим, что мяч находится на высоте 0, когда х = -1 и когда х = 5. В нашем случае мы можем игнорировать х = -1. Несмотря на то, что x = -1 является корнем уравнения, мы знаем, что x представляет время, и у нас не может быть -1 секунды.
Единственная причина, по которой это выглядит так, заключается в том, что когда мы первоначально бросили мяч в 0 секунд, мы находились на высоте 5 футов над землей.
Так как мы выбросили ответ x = -1, остается x = 5 как решение нашей конкретной проблемы. Это говорит нам о том, что мяч упал на землю через 5 секунд после того, как мы его бросили, поэтому он находился в воздухе 5 секунд. Разве не здорово, что мы смогли вычислить это, используя нашу квадратичную формулу?
Другой пример
Давайте рассмотрим еще один пример. Предположим, мы делаем каркасную поделку. Основываясь на имеющихся у нас материалах, площадь кадра может быть представлена уравнением A = x 2 + 2 x , где A — площадь кадра, а x — площадь кадра. ширина рамы.Мы хотим, чтобы наша область была 24 дюйма 2, поэтому нам просто нужно найти ширину, которая делает это возможным.
Для этого подставим 24 вместо А , чтобы получить
x 2 + 2 x = 24
Вычтем 24 из обеих частей, чтобы получить наше уравнение в правильной форме:
0 2 + 2 x — 24 = 0 Теперь мы хотим идентифицировать a , b и c на основе чисел перед x 2 , x 904 отдельно.
, соответственно.Таким образом, мы имеем a = 1, b = 2 и c = -24. Все, что нам нужно сделать, это подставить их в нашу квадратичную формулу:
| . |
Мы видим, что ширина равна 4 или -6. Поскольку у нас не может быть отрицательной ширины, должно быть так, что ширина должна быть равна 4, чтобы иметь площадь 24 дюйма2.
Краткое содержание урока
Квадратное уравнение — это уравнение, в котором наибольший показатель степени любой переменной равен 2.Решения квадратных уравнений называются корнями . Квадратные уравнения имеют 2 корня. Мы можем найти корни квадратного уравнения, используя квадратную формулу:
Чтобы использовать это, мы поместим уравнение в форму a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подставьте эти значения в формулу.
Квадратные уравнения постоянно используются для моделирования явлений реального мира, поэтому чрезвычайно полезно знать, как решать эти уравнения.Квадратичная формула — обязательный инструмент для добавления в ваш набор математических инструментов!
Решения или корни квадратных уравнений
Решения или корни квадратных уравненийРассмотрим квадратное уравнение
Вещественное число x будет называться решением или корнем, если оно удовлетворяет уравнению, то есть . Легко видеть, что корни — это точно точки пересечения x квадратичной функции , то есть пересечение графика квадратичной функции с осью x.
| а<0 | а>0 |
Пример 1: Найдите корни уравнения
Решение. Это уравнение эквивалентно
Так как 1 имеет два квадратных корня, решения для этого уравнения
Пример 2: Найдите корни уравнения
Решение.
Этот пример несколько сложнее предыдущего, но мы посмотрим, как его реализовать в общем случае. Первое замечание, что у нас есть
Поэтому уравнение эквивалентно
что то же самое, что
Так как 3 имеет два квадратных корня, мы получаем
которые дают решения уравнения
Тогда мы можем задаться вопросом, можно ли любое квадратное уравнение свести к простейшие, описанные в предыдущих примерах.Ответ несколько сложнее, но он был известен очень давно (вавилонянам около 2000 г. до н.э.). Их идея основывалась в основном на том, что число дополняет квадрат , что мы и сделали при решении второго примера.
[Алгебра] [Комплексные переменные] [Геометрия] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematicsВам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор: Мохамед Амин ХамсиCopyright 1999-2022 MathMedics, LLC.
Все права защищены. Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час
Калькулятор квадратичных формул
Использование калькулятора
Этот онлайн-калькулятор решатель квадратного уравнения , который решит полиномиальное уравнение второго порядка, такое как ax 2 + bx + c = 0 для x, где a ≠ 0, используя квадратичная формула .2 — 4ac > 0 \), значит, действительных корней два.
Упростите радикал:
\( х = \dfrac{ 8 \pm 2\sqrt{11}\, }{ 2 } \)
\( x = \dfrac{ 8 }{ 2 } \pm \dfrac{2\sqrt{11}\, }{ 2 } \)
Упростить дроби и/или знаки:
\( х = 4 \pm \sqrt{11}\, \)
, который становится
\( х = 7.
2 — 4ac < 0 \), значит, комплексных корней два.
Упростите радикал:
\( х = \dfrac{-20 \pm 4\sqrt{15}\, i}{10} \)
\( x = \dfrac{ -20 }{ 10 } \pm \dfrac{4\sqrt{15}\, i}{ 10 } \)
Упростить дроби и/или знаки:
\( х = -2 \pm \dfrac{2\sqrt{15}\, i}{5} \)
, который становится
\( х = -2 + 1.54919\, я\)
\( х = -2 — 1,54919 \, я \)
Калькуляторобновлен, чтобы включить полное решение для действительных и комплексных корней
Формула суммы и произведения корней квадратного уравнения
Есть несколько способов решить такую задачу: вы можете создать два бинома (x-4) и (x-2) и умножить их.
Однако, поскольку на этой странице используются наши формулы, давайте воспользуемся ими, чтобы ответить на это уравнение.
Сумма корней = 4 + 2 = 6.
Произведение корней = 4 * 2 = 8.
Мы можем использовать наши формулы, чтобы составить следующие два уравнения.
Сумма корней:$$ \frac{-b}{a} = 6 = \frac{6}{1} $$
Продукт корней:$$ \frac{c}{a} = 8 = \frac{8}{1} $$
Теперь мы знаем значения всех трех коэффициентов:
a = 1
b = -6
c = 8
.
2} в левой части, добавляя обе стороны на + 1.Затем решите значения x, взяв квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.
Таким образом, у меня есть x = 5 и x = — \,5 как окончательных ответов , так как оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это вам, чтобы проверить.
Пример 2 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя метод квадратного корня.
Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2} слагаемых, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x в левой части и объединить все константы в правой части. Затем решите x как обычно, как в примерах 1 и 2.
Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \,3.
Пример 4 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя метод квадратного корня.
Две скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, а это то, что нам нужно.2} термы слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!
Не так уж и плохо, правда?
Пример 5 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя метод квадратного корня.
Поскольку x-термин дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции с квадратным корнем, чтобы найти x.
Первый шаг — получить что-то вроде этого: ( ) 2 = константа .2} = \pm \,6 + 10 на два случая из-за «плюса» или «минуса» в 6.
- Решите первый случай, когда 6 равно положительному .
- Решите второй случай, где 6 равно минус .
Решениями этого квадратного уравнения являются x = 4, x = — 1,4, x = 2 и x = — 1,2.
Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.
Пример 6 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя метод квадратного корня.
Решение :
Пример 7 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя метод квадратного корня.
Решение:
Практика с рабочими листами
Вас также может заинтересовать:
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Корни квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения
Автор: Диана Браун
Он имеет теперь стало довольно стандартным упражнением, с доступной технологией, чтобы построить графики для рассмотрения уравнения
и до наложить несколько графиков
для
различные значения a, b или c, поскольку два других остаются постоянными.
От них
графики я собираюсь исследовать корни
Первый давайте установим a и c равными 1 и пусть b = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. См. график ниже:
Уведомление
на графике выше парабола всегда проходит через одну и ту же точку на
ось y (точка (0, 1) с этим уравнением).При b < -2 парабола будет
пересекают ось x в двух точках с положительными значениями x (т.е.
уравнение будет иметь два действительных корня, оба положительные). Для b = -2 парабола
касательной к оси x, поэтому исходное уравнение имеет одно действительное и положительное
корень в точке касания. При -2 < b < 2 парабола не
пересекают ось x - исходное уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично для
b = 2 парабола касается оси x (один действительный отрицательный корень), а для b
> 2, парабола дважды пересекает ось x, показывая два отрицательных действительных числа.
корни для каждого б.
Запомните корни (иногда также называемые «нулями») квадратное уравнение, f (x) = 0, являются значениями x , для которых уравнение удовлетворен. Выведем формулу для найти решение квадратного уравнения:
Рассмотрим уравнение
корни x можно найти, заполнив квадрат,
Решение для x дает
Обратите внимание, что это квадратичная формула, и эта формула используется
найти корни квадратного уравнения.
Теперь давайте посмотрим на геометрическое место вершин набора парабол, нарисованных сверху:
УРАВНЕНИЕ | ВЕРШИНА |
у = х — 4х + 1 | (2, -3) |
у = х — 3х + 1 | (1.5, -1.25) |
y = x — 2x + 1 | (1, 0) |
y = x — x + 1 | (0.5, 0.75) |
y = x + 1 | (0, 1) |
y = x + x + 1 | (-0. |
у = х + 2х + 1 | (-1, 0) |
у = х + 3х + 1 | (-1,5, -1,25) |
у = х + 4х + 1 | (-2, -3) |
5, 0,75)
См. график геометрического места вершин парабол:
Уведомление
что геометрическое место является параболой.Мы можем видеть
что вершина приведенной выше параболы находится в (0, 1) и что каждая точка
симметричны друг другу относительно прямой x=0.
Также точки пересечения x находятся в точках (1, 0) и (-1, 0). Если мы установим y = корням уравнения, мы
получить:
у= (х 1) (х + 1)
у = х — 1
и, так как парабола раскрывается вниз, следовательно, должно быть отрицательным, так что давайте посмотрим что происходит, когда мы рисуем уравнение y = -x + 1 на графике выше:
Как вы можете видеть выше граф, геометрическое место вершин множества парабол, построенных по y = x + bx+1, в начале разведки парабола:
.
Возврат на домашнюю страницу
.
