Корень в третьей степени в квадрате: Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ в 2021 году

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени! 

Определение

Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

amn=amn.

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0mn=0mn=0.

В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

Например: 325=325, 123-34=123-34.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

amn=amn

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней  -426 и -213 нельзя.  

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения -426.

-426=-12·426=426.

Так как 4>0, можно записать: 

426=426.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

-a2m+1=-a2m+1.

Тогда выражение -23 примет вид:

-23=-23=-213.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании. 

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323.

Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки. 

Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула  Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:
   — на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;
   — на —Amn для  для всех значений переменных, при которых A<0;
• Если  m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

х-323=x-323.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому  Amn=Amn.

Во втором варианте, когда  m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000

Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000. 1 1 1,00000 1 1,0000 3,1623 1,0000 2,1544 4,6416 8 4 0,50000 2 1,4142 4,4721 1,2599 2,7144 5,8480 27 9 0,33333 3 1,7321 5,4772 1,4422 3,1072 6,6943 64 16 0,25000 4 2,0000 6,3246 1,5874 3,4200 7,3681 125 25 0,20000 5 2,2361 7,0711 1,7100 3,6840 7,9370 216 36 0,16667 6 2,4495 7,7460 1,8171 3,9149 8,4343 343 49 0,14286 7 2,6458 8,3666 1,9129 4,1213 8,8790 512 64 0,12500 8 2,8284 8,9443 2,0000 4,3089 9,2832 729 81 0,11111 9 3,0000 9,4868 2,0801 4,4814 9,6549 1000 100 0,10000 10 3,1623 10,0000 2,1544 4,6416 10,0000 1331 121 0,09091 11 3,3166 10,4881 2,2240 4,7914 10,3228 1728 144 0,08333 12 3,4641 10,9545 2,2894 4,9324 10,6266 2197 169 0,07692 13 3,6056 11,4018 2,3513 5,0658 10,9139 2744 196 0,07143 14 3,7417 11,8322 2,4101 5,1925 11,1869 3375 225 0,06667 15 3,8730 12,2474 2,4662 5,3133 11,4471 4096 256 0,06250 16 4,0000 12,6491 2,5198 5,4288 11,6961 4913 289 0,05882 17 4,1231 13,0384 2,5713 5,5397 11,9348 5832 324 0,05556 18 4,2426 13,4164 2,6207 5,6462 12,1644 6859 361 0,05263 19 4,3589 13,7840 2,6684 5,7489 12,3856 8000 400 0,05000 20 4,4721 14,1421 2,7144 5,8480 12,5992 9261 441 0,04762 21 4,5826 14,4914 2,7589 5,9439 12,8058 10648 484 0,04545 22 4,6904 14,8324 2,8020 6,0368 13,0059 12167 529 0,04348 23 4,7958 15,1658 2,8439 6,1269 13,2001 13824 576 0,04167 24 4,8990 15,4919 2,8845 6,2145 13,3887 15625 625 0,04000 25 5,0000 15,8114 2,9240 6,2996 13,5721 17576 676 0,03846 26 5,0990 16,1245 2,9625 6,3825 13,7507 19683 729 0,03704 27 5,1962 16,4317 3,0000 6,4633 13,9248 21952 784 0,03571 28 5,2915 16,7332 3,0366 6,5421 14,0946 24389 841 0,03448 29 5,3852 17,0294 3,0723 6,6191 14,2604 27000 900 0,03333 30 5,4772 17,3205 3,1072 6,6943 14,4225 29791 961 0,03226 31 5,5678 17,6068 3,1414 6,7679 14,5810 32768 1024 0,03125 32 5,6569 17,8885 3,1748 6,8399 14,7361 35937 1089 0,03030 33 5,7446 18,1659 3,2075 6,9104 14,8881 39304 1156 0,02941 34 5,8310 18,4391 3,2396 6,9795 15,0369 42875 1225 0,02857 35 5,9161 18,7083 3,2711 7,0473 15,1829 46656 1296 0,02778 36 6,0000 18,9737 3,3019 7,1138 15,3262 50653 1369 0,02703 37 6,0828 19,2354 3,3322 7,1791 15,4668 54872 1444 0,02632 38 6,1644 19,4936 3,3620 7,2432 15,6049 59319 1521 0,02564 39 6,2450 19,7484 3,3912 7,3061 15,7406 64000 1600 0,02500 40 6,3246 20,0000 3,4200 7,3681 15,8740 68921 1681 0,02439 41 6,4031 20,2485 3,4482 7,4290 16,0052 74088 1764 0,02381 42 6,4807 20,4939 3,4760 7,4889 16,1343 79507 1849 0,02326 43 6,5574 20,7364 3,5034 7,5478 16,2613 85184 1936 0,02273 44 6,6332 20,9762 3,5303 7,6059 16,3864 91125 2025 0,02222 45 6,7082 21,2132 3,5569 7,6631 16,5096 97336 2116 0,02174 46 6,7823 21,4476 3,5830 7,7194 16,6310 103823 2209 0,02128 47 6,8557 21,6795 3,6088 7,7750 16,7507 110592 2304 0,02083 48 6,9282 21,9089 3,6342 7,8297 16,8687 117649 2401 0,02041 49 7,0000 22,1359 3,6593 7,8837 16,9850 125000 2500 0,02000 50 7,0711 22,3607 3,6840 7,9370 17,0998 132651 2601 0,01961 51 7,1414 22,5832 3,7084 7,9896 17,2130 140608 2704 0,01923 52 7,2111 22,8035 3,7325 8,0415 17,3248 148877 2809 0,01887 53 7,2801 23,0217 3,7563 8,0927 17,4351 157464 2916 0,01852 54 7,3485 23,2379 3,7798 8,1433 17,5441 166375 3025 0,01818 55 7,4162 23,4521 3,8030 8,1932 17,6517 175616 3136 0,01786 56 7,4833 23,6643 3,8259 8,2426 17,7581 185193 3249 0,01754 57 7,5498 23,8747 3,8485 8,2913 17,8632 195112 3364 0,01724 58 7,6158 24,0832 3,8709 8,3396 17,9670 205379 3481 0,01695 59 7,6811 24,2899 3,8930 8,3872 18,0697 216000 3600 0,01667 60 7,7460 24,4949 3,9149 8,4343 18,1712 226981 3721 0,01639 61 7,8102 24,6982 3,9365 8,4809 18,2716 238328 3844 0,01613 62 7,8740 24,8998 3,9579 8,5270 18,3709 250047 3969 0,01587 63 7,9373 25,0998 3,9791 8,5726 18,4691 262144 4096 0,01563 64 8,0000 25,2982 4,0000 8,6177 18,5664 274625 4225 0,01538 65 8,0623 25,4951 4,0207 8,6624 18,6626 287496 4356 0,01515 66 8,1240 25,6905 4,0412 8,7066 18,7578 300763 4489 0,01493 67 8,1854 25,8844 4,0615 8,7503 18,8520 314432 4624 0,01471 68 8,2462 26,0768 4,0817 8,7937 18,9454 328509 4761 0,01449 69 8,3066 26,2679 4,1016 8,8366 19,0378 343000 4900 0,01429 70 8,3666 26,4575 4,1213 8,8790 19,1293 357911 5041 0,01408 71 8,4261 26,6458 4,1408 8,9211 19,2200 373248 5184 0,01389 72 8,4853 26,8328 4,1602 8,9628 19,3098 389017 5329 0,01370 73 8,5440 27,0185 4,1793 9,0041 19,3988 405224 5476 0,01351 74 8,6023 27,2029 4,1983 9,0450 19,4870 421875 5625 0,01333 75 8,6603 27,3861 4,2172 9,0856 19,5743 438976 5776 0,01316 76 8,7178 27,5681 4,2358 9,1258 19,6610 456533 5929 0,01299 77 8,7750 27,7489 4,2543 9,1657 19,7468 474552 6084 0,01282 78 8,8318 27,9285 4,2727 9,2052 19,8319 493039 6241 0,01266 79 8,8882 28,1069 4,2908 9,2443 19,9163 512000 6400 0,01250 80 8,9443 28,2843 4,3089 9,2832 20,0000 531441 6561 0,01235 81 9,0000 28,4605 4,3267 9,3217 20,0830 551368 6724 0,01220 82 9,0554 28,6356 4,3445 9,3599 20,1653 571787 6889 0,01205 83 9,1104 28,8097 4,3621 9,3978 20,2469 592704 7056 0,01190 84 9,1652 28,9828 4,3795 9,4354 20,3279 614125 7225 0,01176 85 9,2195 29,1548 4,3968 9,4727 20,4083 636056 7396 0,01163 86 9,2736 29,3258 4,4140 9,5097 20,4880 658503 7569 0,01149 87 9,3274 29,4958 4,4310 9,5464 20,5671 681472 7744 0,01136 88 9,3808 29,6648 4,4480 9,5828 20,6456 704969 7921 0,01124 89 9,4340 29,8329 4,4647 9,6190 20,7235 729000 8100 0,01111 90 9,4868 30,0000 4,4814 9,6549 20,8008 753571 8281 0,01099 91 9,5394 30,1662 4,4979 9,6905 20,8776 778688 8464 0,01087 92 9,5917 30,3315 4,5144 9,7259 20,9538 804357 8649 0,01075 93 9,6437 30,4959 4,5307 9,7610 21,0294 830584 8836 0,01064 94 9,6954 30,6594 4,5468 9,7959 21,1045 857375 9025 0,01053 95 9,7468 30,8221 4,5629 9,8305 21,1791 884736 9216 0,01042 96 9,7980 30,9839 4,5789 9,8648 21,2532 912673 9409 0,01031 97 9,8489 31,1448 4,5947 9,8990 21,3267 941192 9604 0,01020 98 9,8995 31,3050 4,6104 9,9329 21,3997 970299 9801 0,01010 99 9,9499 31,4643 4,6261 9,9666 21,4723 1000000 10000 0,01000 100 10,0000 31,6228 4,6416 10,0000 21,5443

Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени

Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

1. Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
2. В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
3. Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
4. Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.

Вставка функции через вкладку “Формулы

1. Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”. (1/3).

   Нажав Enter, получаем результат вычислений.

   Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.

   Заключение

   Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.

   Корень квадратный из числа

   Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие.

   Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление.

   Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. В краткой форме эти действия можно записать как 32:2:2:2:2:2=1. (Наша задача заключалась в том, чтобы добраться до 1.) Поскольку мы произвели деление 5 раз и добрались до 1, то можно сказать, что 2 — это корень пятой степени из 32.

   Если мы рассмотрим число 81, то увидим, что 81:3:3:3:3=1, таким образом, 3 является корнем четвертой степени из 81. (Почему, собственно, корнем? Откуда взялось это слово? Это можно объяснить таким образом: число 32 растет из основания 2, а 81 — из основания 3 так же, как растение произрастает из корней.)

   Такая математическая операция обозначается как $\sqrt{}$. На разнообразие корней указывает число в верхней левой части корня. Так, корень пятой степени из 32 можно записать как $\sqrt[5]{32}$, корень четвертой степени из 81 можно записать как $\sqrt[4]{81}$. Значок $\sqrt{ }$ называется знаком радикала, а числа, содержащие корни, называются радикалами. Слово «радикал» пришло к нам из латыни, где оно означает просто «корень».

   Мы редко встречаемся с корнями высоких степеней, чаще всего приходится иметь дело с операциями, обратными возведению во вторую степень, то есть в квадрат. Извлечение корня второй степени называется извлечением квадратного корня, а $\sqrt[2]{}$ называется квадратным корнем, причем двойка слева часто опускается. В дальнейшем под значком $\sqrt{}$ без цифры в верхнем левом углу мы всегда будем иметь в виду квадратный корень.

   Что же такое квадратный корень из числа? 25 — это квадрат 5, таким образом, можно сказать, что 5 — это квадратный корень из 25, или $\sqrt{25}=5$. Поэтому следует говорить «пять — это корень второй степени из 25», но обычно употребляют формулировку «квадратный корень». (Точно так же корень третьей степени называют кубическим корнем.)

   Следующая проблема заключается в том, чтобы выяснить, как найти корень такой- то из некоего числа. 5=32$, это означает, что если 32 пять раз разделить на 2, то результатом будет 1. (Если мы возвели число в какую-то степень, нетрудно пойти в обратном порядке.)

   На практике арифметический метод определения корней заключается в серии обратных действий. Попробуем извлечь квадратный корень из 625. Схема вычислений будет следующей:

   Первую цифру ответа, 2, мы получаем подбором. Мы знаем, что 2×2=4, это ближайшее возможное число, меньшее 6, поскольку 3×3=9, что больше 6. Затем проводим вычитание и выносим две цифры вместо одной, как это принято при обычном делении в столбик. (Если бы мы извлекали кубический корень, мы выносили бы три цифры, в случае корня четвертой степени — четыре цифры и так далее.) Чтобы получить следующую цифру, надо разделить 225 на 45. Цифру 45 вы получаете, удваивая первую цифру ответа, что дает вам 4. Вторая цифра должна быть равна второй цифре вашего ответа, таким образом, ее тоже можно найти подбором, так, чтобы получить число, ближайшее к 225. 2$ — это $1\frac{24}{25}$, а нам нужно получить число $1\frac{25}{25}$, то есть 2.

   Но можно получить и более точный ответ. Если помножить дробное число $1\frac{41}{100}$ на себя самое, мы получим $1\frac{9881}{10000}$, что гораздо ближе к 2. Может показаться, что, если делать более точные вычисления, мы рано или поздно найдем точное значение дробного числа, которое является корнем квадратным из 2, хотя, возможно, это будет очень сложное число.

   Материалы по теме:

   Поделиться с друзьями:

   Загрузка…

   Степенные функции, кубический корень, урок по алгебре в 9 классе, презентация

   Дата публикации: 09 апреля 2017.

   Определение степенной функции — кубического корня

   
   Ребята, мы продолжаем изучать степенные функции. Сегодня мы поговорим о функции «Корень кубический из х».
   А что же такое корень кубический?
   Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени), если выполняется равенство $y^3=x$. 3}=\frac{a}{b}$.
   Получили, что число $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

   Ребята, давайте построим график нашей функции.
   1) Область определения множество действительных чисел.
   2) Функция нечетная, так как $\sqrt[3]{(-x)}$=-$\sqrt[3]{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
   3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
   4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
   5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
   Построим график функции по точкам при х≥0.
   
   
   
   Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.
   Свойства функции:
   1) D(y)=(-∞;+∞).
   2) Нечетная функция.
   3) Возрастает на (-∞;+∞).
   4) Неограниченна.
   5) Наименьшего и наибольшего значения нет.
   6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.
   7) Е(у)= (-∞;+∞).
   8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

   Примеры решения степенных функций

   
   Примеры
   1. Решить уравнение $\sqrt[3]{x}=x$.
   Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=x$.
   Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
   Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

   2. Построить график функции. $y=\sqrt[3]{(x-2)}-3$.
   Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt[3]{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.
   3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt[3]{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.
   Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции. 2+1, x≤1 \end{cases}$.

   Корень из 3 онлайн калькулятор. Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень

   Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

   Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

   Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

   Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

   Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

   Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

   Извлечение квадратного корня

   Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

   Пример решения квадратных корней в калькуляторе:
   

   Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

   Квадратный корень из отрицательного числа:
   

   Корень третьей степени

   Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

   Корень 3 степени:
   

   Корень степени n

   Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

   Корень 4 степени:
   

   Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

   Корень 5 степени с приблизительным результатом:
   

   Корень из дроби

   Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

   Квадратный корень из дроби:
   

   Корень из корня

   В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

   Пример, как извлечь корень из корня:
   

   Степень в корне

   Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени. y».

   Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.

   Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.

   Видео по теме

   Обратите внимание

   Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.

   Полезный совет

   Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.

   Источники:

   • корень третий степени
   • Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel

   Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.

   Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

   Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

   *Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

   Мы знаем, что:

   Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

   
   

   Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

   1. Это кубы чисел кратных десяти:

   Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

   2. Это свойство чисел при произведении.

   Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

   Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

   1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

   То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

   При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

   Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

   Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

   Рассмотрим примеры:

   Извлечь кубический корень из 21952.

   Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

   Извлечь кубический корень из 54852.

   Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

   Извлечь кубический корень из 571787.

   Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

   Извлечь кубический корень из 614125.

   Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

   Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

   Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

   После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

   На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

   Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

   С уважением, Александр Крутицких.

   P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

   Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.

   Шаги

   Часть 1

   Извлечение кубического корня на простом примере

   Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.

   • Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
   • Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик.2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.

2. Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).

3. Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.

   • Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.

4. Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.{3}=729} , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.

5. Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.

   • В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
6. • В нашем примере: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. {\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.}

7. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.{3}=614,1} . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.

8. Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.

   • В нашем примере 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 {\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2} . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 {\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07} . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.

9. Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее.{3}=599,93} , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

• Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
• Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
• И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
3. Выполнить вычитание.
4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
6. Приписать к остатку три нуля.
7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
9. Снова приписать нули.
10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

подкоренное число и показатель корня

Корень  n-ой  степени из числа  a  — это число,  n-ая  степень которого равна  a.  Например, корнем второй степени из  36  будет число  6,  так как:

6² = 36.

Для записи корня используется знак  √    (знак корня  или  радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня:

²√36.

Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если

,

то

.

Эта запись читается так: корень  n-ой  степени из числа  a  равен  x.

Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Примеры:

³√125 = 5,   так как   5³ = 125;

²√81 = 9,   так как   9² = 81;

⁵√32 = 2,   так как   2⁵ = 32.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа  a  называется число, квадрат которого равен  a.

Например, квадратными корнями из числа  16  являются числа  4  и  -4:

²√16 = 4   или   ²√16 = -4.

Рассмотрим уравнение

x² = a

при различных значениях   a:

1. a < 0:

   В данном случае уравнение не будет иметь решений, так как квадрат любого числа всегда является положительным числом или нулём. Следовательно,  x²  не может быть равен отрицательному числу.

2. a = 0:

   В этом случае уравнение имеет единственное решение:

   x = 0.

3. a > 0:

   В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным:

   x = ±√a .

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из положительного числа  a  — это положительное число  x,  квадрат которого равен  a:

²√a = x,   следовательно   x² = a.

При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например:

√a  — квадратный корень из  a.

Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический опускается.

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение арифметического квадратного корня и его проверку на примере. Найдём  √36,  для этого надо найти число, при возведении которого во вторую степень получится  36.  Таким числом является  6,  так как

6² = 36.

Значит,  √36 = 6.  Корень  -6  мы не рассматриваем, потому что арифметический корень является положительным числом.

{2} = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) = 9 $$

3 и -3 считаются квадратными корнями из 9.

Все положительные действительные числа имеют два квадратных корня, один положительный квадратный корень и один отрицательный квадратный корень. {2} = a \ cdot a = \ left (-a \ right) \ cdot \ left (-a \ right) $$

Квадратный корень записывается с помощью символа корня √, а число или выражение внутри символа корня, обозначенное ниже a, называется подкоренным выражением.

$$ \ sqrt {a} $$

Чтобы указать, что нам нужен как положительный, так и отрицательный квадратный корень из подкоренной части, мы помещаем символ ± (читается как плюс минус) перед корнем.

$$ \ pm \ sqrt {9} = \ pm 3 $$

У нуля один квадратный корень, равный 0.

$$ \ sqrt {0} = 0 $$

Отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней, поскольку квадрат либо положительный, либо 0.

Если квадратный корень целого числа является другим целым числом, квадрат называется полным квадратом.Например, 25 — это идеальный квадрат, так как

$$ \ pm \ sqrt {25} = \ pm 5 $$

Если подкоренное выражение не является полным квадратом, то есть квадратный корень не является целым числом, тогда вам нужно приблизительно вычислить квадратный корень

$$ \ pm \ sqrt {3} = \ pm 1.73205 … \ приблизительно \ pm 1,7 $$

Квадратные корни из чисел, не являющихся полным квадратом, являются членами иррациональных чисел. Это означает, что они не могут быть записаны как частное двух целых чисел. Десятичная форма иррационального числа не прерывается и не повторяется.Иррациональные числа вместе с рациональными числами составляют действительные числа.

---

Пример

$$ иррационально \: number \ Rightarrow \ sqrt {19} \ приблизительно 4,35889 … $$

$$ рациональное \: число \ Rightarrow 0.5 = \ frac {1} {2} $$

---

Видеоуроки

Решить

---

Определите, являются ли эти числа рациональными или иррациональными

Шлюз

Veuillez réessayer dans quelques instants.Si le problème persiste, veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный en anglais seulement).

Телефон :		780-427-5318
		(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопье:		780-427-1179
Adresse de Courriel:		cshelpdesk @ gov.ab.ca

Калькулятор квадратного корня. Найдите квадратный корень за один простой шаг.

Наш калькулятор квадратного корня вычисляет квадратный корень любого положительного числа, которое вы хотите. Просто введите выбранный номер и ознакомьтесь с результатами. Все рассчитывается быстро и автоматически ! С помощью этого инструмента вы также можете оценить квадрат желаемого числа (просто введите значение во второе поле), что может оказаться большим подспорьем в поиске точных квадратов по формуле квадратного корня.Вы боретесь с основными арифметическими операциями: сложение квадратных корней, вычитание квадратных корней, умножение квадратных корней или деление квадратных корней? Уже нет! В следующем тексте вы найдете подробное объяснение о различных свойствах квадратного корня, например, как упростить квадратный корень, с множеством различных примеров . Из этой статьи вы раз и навсегда узнаете, как находить квадратные корни!

Вы когда-нибудь задумывались, каково происхождение символа квадратного корня √? Уверяем вас, что эта история не так проста, как вы могли подумать сначала.Происхождение символа корня восходит к древним временам, как происхождение знака процента.

Если вам нужен график квадратного корня или свойства функции квадратного корня, перейдите непосредственно в соответствующий раздел (просто нажмите на ссылки выше!). Здесь мы объясняем, что такое производная квадратного корня, используя определение фундаментального квадратного корня; мы также подробно рассмотрим, как вычислять квадратные корни из экспонент или квадратные корни из дробей. Наконец, если вы будете достаточно настойчивы, вы обнаружите, что квадратный корень из отрицательного числа на самом деле возможен.Таким образом, мы вводим комплексных чисел , которые находят широкое применение в физике и математике.

Символ квадратного корня √

Операция извлечения квадратного корня из числа была известна еще в древности. Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением √2 = 1,41421 до 5 знаков после запятой происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. — 1600 г. до н.э.) г. Многие другие документы показывают, что квадратные корни также использовали древние египтяне, индийцы, греки и китайцы. Однако происхождение корневого символа √ все еще остается в значительной степени спекулятивным.

• Многие ученые считают, что квадратные корни происходят от буквы «r» — первой буквы латинского слова Radix, означающего корень,
.
• другая теория утверждает, что символ квадратного корня был взят из арабской буквы ج , которая была помещена в исходной форме ﺟ в слове جذر — корень (арабский язык пишется справа налево).

Первое использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала), √‾.«Бар» на латыни известен как vinculum, что означает облигация . Хотя радикальный символ с винкулумом сейчас используется в повседневной жизни, мы обычно опускаем эту черту во многих текстах, например, в статьях в Интернете. Обозначение высших степеней корня было предложено Альбертом Жираром, который поместил указатель степени в начало знака корня, например, ³√ или ⁴√.

Последний вопрос: почему операция извлечения квадратного корня называется корнем независимо от ее истинного происхождения? Объяснение станет более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a.x называется корнем или радикалом, потому что это скрытое основание a. Таким образом, слово радикальный не означает далеко идущий или крайний , а вместо этого фундаментальный, достигающий первопричины .

Определение квадратного корня

В математике традиционными операциями с числами являются сложение, вычитание, умножение и деление. Тем не менее, мы иногда добавляем в этот список некоторые более сложные операции и манипуляции: квадратные корни , возведение в степень, логарифмические функции и даже тригонометрические функции (например,г., синус и косинус). В этой статье мы сосредоточимся только на определении квадратного корня.

Квадратный корень из заданного числа x — это каждое число y , квадрат которого y² = y * y дает исходное число x . Следовательно, формула квадратного корня может быть выражена как:

√x = y ⟺ x = y² ,

, где ⟺ — математический символ, который означает тогда и только тогда, когда . Каждое положительное действительное число всегда имеет два квадратных корня — первый положительный, а второй отрицательный.(0,5)

В геометрической интерпретации квадратный корень из данной площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии √ есть слово , квадрат . Аналогичная ситуация и с кубическим корнем ∛ . Если вы извлечете кубический корень из объема куба, вы получите длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площадей поверхности, кубические корни полезны для определения величин, относящихся к объему, например плотности.

Как найти квадратный корень?

Может быть, мы не очень скромны, но мы думаем, что лучший ответ на вопрос, как найти квадратный корень, прост: используйте калькулятор квадратного корня! Вы можете использовать его как на компьютере, так и на смартфоне, чтобы быстро вычислить квадратный корень из заданного числа.К сожалению, бывают ситуации, когда можно рассчитывать только на себя, что тогда? Чтобы подготовиться к этому, вы должны запомнить несколько основных идеальных квадратных корней:

• квадратный корень из 1: √1 = 1 , так как 1 * 1 = 1 ;
• квадратный корень из 4: √4 = 2 , так как 2 * 2 = 4 ;
• квадратный корень из 9: √9 = 3 , так как 3 * 3 = 9 ;
• квадратный корень из 16: √16 = 4 , так как 4 * 4 = 16 ;
• квадратный корень из 25: √25 = 5 , так как 5 * 5 = 25 ;
• квадратный корень из 36: √36 = 6 , так как 6 * 6 = 36 ;
• квадратный корень из 49: √49 = 7 , так как 7 * 7 = 49 ;
• квадратный корень из 64: √64 = 8 , так как 8 * 8 = 64 ;
• квадратный корень из 81: √81 = 9 , так как 9 * 9 = 81 ;
• квадратный корень из 100: √100 = 10 , так как 10 * 10 = 100 ;
• квадратный корень из 121: √121 = 11 , так как 11 * 11 = 121 ;
• квадратный корень из 144: √144 = 12 , так как 12 * 12 = 144 ;

Приведенные выше числа являются простейшими квадратными корнями, потому что каждый раз вы получаете целое число.Попробуй их запомнить! Но что делать, если есть число, у которого нет такого красивого квадратного корня? Есть несколько решений. Прежде всего, можно попробовать предсказать результат методом проб и ошибок . Допустим, вы хотите вычислить квадратный корень из 52 :

1. Вы знаете, что √49 = 7 и √64 = 8 , поэтому значение √52 должно быть между 7 и 8 .
2. Число 52 ближе к 49 (фактически ближе к 7 ), поэтому вы можете попробовать угадать, что √52 — это 7.3 .
3. Затем возводите в квадрат 7,3 , получая 7,3² = 53,29 (как говорит формула квадратного корня), что больше, чем 52 . Вы должны попробовать с меньшим числом, скажем, 7,2 .
4. Квадрат 7,2 равен 51,84 . Теперь у вас меньшее число, но оно намного ближе к 52 . Если эта точность вас устраивает, можете закончить оценку здесь. В противном случае вы можете повторить процедуру с выбранным числом от 7.2 и 7,3 , например, 7,22 и так далее и так далее.

Другой подход состоит в том, чтобы сначала упростить квадратный корень, а затем использовать приближения квадратных корней из простых чисел (обычно с округлением до двух знаков после запятой):

• квадратный корень из 2: √2 ≈ 1,41 ,
• квадратный корень из 3: √3 ≈ 1,73 ,
• квадратный корень из 5: √5 ≈ 2,24 ,
• квадратный корень из 7: √7 ≈ 2.65 ,
• квадратный корень из 11: √11 ≈ 3,32 ,
• квадратный корень из 13: √13 ≈ 3,61 ,
• квадратный корень из 17: √17 ≈ 4,12 ,
• квадратный корень из 19: √19 ≈ 4,34 и т. Д.

Давайте попробуем снова найти квадратный корень из 52 . Вы можете упростить его до √52 = 2√13 (вы узнаете, как упростить квадратный корень в следующем разделе), а затем замените √13 ≈ 3,61 . Наконец, произведем умножение √52 ≈ 2 * 3.61 = 7,22 . Результат такой же, как и раньше!

Вы можете проверить, является ли число простым или нет, с помощью нашего калькулятора простых чисел. Простое число — это натуральное число (больше единицы), которое не может быть получено как произведение двух меньших натуральных чисел. Например, 7 — простое число, потому что вы можете получить его, только умножив 1 * 7 или 7 * 1 . С другой стороны, число 8 не является простым, потому что вы можете сформировать его, умножив 2 * 4 или 4 * 2 (помимо произведения 1 и самого 8).

Калькулятор квадратного корня

В некоторых ситуациях вам не нужно знать точный результат вычисления квадратного корня. В этом случае наш калькулятор квадратного корня — лучший вариант для оценки значения каждого квадратного корня , который вы хотите. Например, предположим, вы хотите узнать, больше ли 4√5 , чем 9 . Из калькулятора вы знаете, что √5 ≈ 2,23607 , поэтому 4√5 ≈ 4 * 2,23607 = 8,94428 . Он очень близок к 9 , но не больше! Калькулятор квадратного корня дает окончательное значение с относительно высокой точностью (до пяти цифр в приведенном выше примере).С помощью калькулятора значащих цифр вы можете вычислить этот результат до любого количества значащих цифр.

Помните, что наш калькулятор автоматически пересчитывает числа, введенные в любое из полей. Вы можете найти квадратный корень из определенного числа, заполнив первое окно, или получить квадрат числа, введенного вами во втором окне. Второй вариант удобен в для нахождения идеальных квадратов , которые необходимы во многих аспектах математики и естественных наук.Например, если вы введете 17 во второе поле, вы обнаружите, что 289 — это полный квадрат.

В некоторых приложениях квадратного корня, особенно относящихся к таким наукам, как химия и физика, предпочтение отдается результатам в научной нотации. Короче говоря, ответ в научном представлении должен иметь десятичную точку между первыми двумя ненулевыми числами и будет представлен как десятичная дробь, умноженная на 10, возведенная в степень. Например, число 0.00345 записывается как 3,45 * 10⁻³ в экспоненциальном представлении, тогда как 145,67 записывается как 1,4567 * 10² в экспоненциальном представлении. Результаты, полученные с помощью калькулятора квадратного корня, можно преобразовать в экспоненциальную нотацию с помощью калькулятора.

Как упростить извлечение квадратного корня?

Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, стоящее после символа квадратного корня, и найти его множители.Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.), То вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее. Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полными квадратами . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров:

• можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y ,

  Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать идеальный квадрат среди своих факторов. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например, 45 = 9 * 5 (9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .

  Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, вам не нужно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень эквивалентен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах:

  • Как упростить квадратный корень из 27? √27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3 ;
  • Как упростить квадратный корень из 8? √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2 ;
  • Как упростить квадратный корень из 144? √144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12 .

  В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами .

  Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти по крайней мере один фактор, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192:

  ∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3

  На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам!

  Сложение, вычитание, умножение и деление квадратных корней

  Сложение квадратных корней и вычитание квадратных корней

  К сожалению, сложение или вычитание квадратных корней не так просто, как сложение / вычитание обычных чисел.Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что произойдет, если вы попытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺.

  Сложение квадратного корня очень похоже на это.Результат сложения √2 + √3 по-прежнему равен √2 + √3. Вы не можете упростить это дальше. Однако это другая ситуация, когда оба квадратных корня имеют одинаковое число под символом корня . Затем мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое и с вычитанием квадратных корней. Давайте посмотрим на другие примеры, иллюстрирующие это свойство квадратного корня:

  • Что такое 6√17 + 5√17 ? Ответ: 6√17 + 5√17 = 11√17 ;
  • Что такое 4√7 - 7√7 ? Ответ: 4√7 - 7√7 = -3√7 ;
  • Что такое 2√2 + 3√8 ? Ответ: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2 , потому что мы упростили √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2;
  • Что такое √45 - √20 ? Ответ: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5 , потому что мы упростили √45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5 и √20 = √ (4 * 5) = √4 * √5 = 2√5;
  • Что такое 7√13 + 2√22 ? Ответ: 7√13 + 2√22 , мы не можем упростить это дальше;
  • Что такое √3 - √18 ? Ответ: √3 - √18 = √3 - 3√2 , мы не можем упростить это дальше, чем это, но мы, по крайней мере, упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x * √y = √ (x * y) .

    В отличие от сложения, вы можете умножить каждые на два квадратных корня. Помните, что умножение имеет коммутативные свойства , это означает, что порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения. Несколько примеров должны прояснить этот вопрос:

    • Что такое √3 * √2 ? Ответ: √3 * √2 = √6 ;
    • Что такое 2√5 * 5√3 ? Ответ: 2√5 * 5√3 = 2 * 5 * √5 * √3 = 10√15 , потому что умножение коммутативно;
    • Что такое 2√6 * 3√3 ? Ответ: 2√6 * 3√3 = 2 * 3 * √6 * √3 = 6√18 = 18√3 , мы упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) .

      Все, что вам нужно сделать, это заменить знак умножения на деление. Однако дивизия — это не коммутативный оператор ! Вы должны отдельно вычислять числа перед квадратными корнями и числа под квадратными корнями. (1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) ,

      , где x / y — дробь. Ниже вы можете найти несколько примеров квадратных корней из дроби:

      • квадратный корень из 4/9: √ (4/9) = √4 / √9 = 2/3 ,
      • квадратный корень из 1/100: √ (1/100) = √1 / √100 = 1/10 ,
      • квадратный корень из 1/5: √ (1/5) = √1 / √5 = 1 / √5 = √5 / 5 .

      Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере.Мы просто умножили числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, которое мы умножаем на 1), в данном случае на √5 .

      Функция квадратного корня и график

      Функции играют жизненно важную роль не только в математике, но и во многих других областях, таких как физика, статистика или финансы. Функция f (x) — это не что иное, как формула, которая говорит, как значение f (x) изменяется с аргументом x . Чтобы увидеть некоторые примеры, ознакомьтесь с нашими финансовыми инструментами, созданными финансовыми специалистами, например, калькулятор сложных процентов или калькулятор будущей стоимости.Там вы найдете несколько функций, которые можно применить в реальной жизни. Они очень полезны, если вы хотите знать, как рассчитать сложные проценты или оценить будущую стоимость аннуитета.

      Ниже вы можете найти график квадратного корня, состоящий из половин параболы . Проверьте его и попробуйте проверить, например, является ли функция квадратного корня x = 9 3 и x = 16 4 (как и должно быть).

      Давайте вернемся к функции квадратного корня f (x) = √x и исследуем ее основные свойства .Мы рассматриваем только положительную часть f (x) (как вы можете видеть на графике квадратного корня выше). Итак, функция квадратного корня:

      • — это непрерывный и растущий для всех неотрицательных x ,
      • — это , дифференцируемая для всех положительных значений x (дополнительные сведения см. В разделе о производной квадратного корня),
      • приближается к пределу бесконечности , когда x приближается к бесконечности ( lim √x → ∞ , когда x → ∞ ),
      • — это действительное число для всех неотрицательных x и комплексное число для всех отрицательных x (подробнее об этом мы пишем в разделе квадратного корня из отрицательного числа).

      Вы, наверное, уже заметили, что квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Эта функция используется в одном из наших строительных калькуляторов — калькуляторе квадратных метров. Если вы планируете что-либо отремонтировать в будущем, эти инструменты могут вам очень помочь. Не забывайте их использовать!

      Производная квадратного корня

      Производная функции сообщает нам, насколько быстро эта функция изменяется вместе со своим аргументом. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения).Допустим, функция x (t) описывает, как расстояние движущегося автомобиля от определенной точки изменяется со временем t . Вы знаете, что определяет, насколько быстро меняется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость машины! Таким образом, производная положения x (t) равна скорости v (t) (скорость также может зависеть от времени). Для обозначения производной мы обычно используем апостроф v (t) = x '(t) или символ производной v (t) = dx (t) / dt .(-1/2) = 1 / (2√x) .

      Так как число в отрицательной степени на единицу больше этого числа, оценка вывода будет включать дроби. У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное.

      Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора . Мы не хотим слишком углубляться в детали, поэтому, вкратце, серия Тейлора позволяет вам аппроксимировать различные функции с помощью многочленов, которые намного проще вычислить.Например, разложение Тейлора √ (1 + x) вокруг точки x = 0 дается следующим образом:

      √ (1 + x) = 1 + 1/2 * x - 1/8 * x² + 1/16 * x³ - 5/128 * x⁴ + ... ,

      , что действительно для -1 ≤ x ≤ 1 . Хотя в приведенном выше выражении содержится бесконечное количество членов, чтобы получить приблизительное значение, вы можете использовать всего несколько первых членов. Давай попробуем! С x = 0,5 и первыми пятью членами вы получите:

      √ (1,5) = 1 + 1/2 * 0.5 - 1/8 * 0,25 + 1/16 * 0,125 - 5/128 * 0,0625 ,

      √ (1,5) ≈ 1,2241 ,

      , а действительное значение, предоставленное нашим калькулятором, составляет √ (1,5) ≈ 1,2247 . Достаточно близко!

      Пока что это было много математики и уравнений. Для тех из вас, кто достаточно настойчив, мы подготовили следующий раздел, в котором объясняется, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

      Корень квадратный из отрицательного числа

      В школе вас, вероятно, учили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.Это верно, если рассматривать только действительные числа. Давным-давно для выполнения сложных вычислений математикам пришлось ввести более общий набор чисел — комплексные числа . Их можно выразить в следующей форме:

      х = а + Ь * я ,

      , где x — комплексное число с действительной частью a и мнимой частью b . Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число i .Вот несколько примеров комплексных чисел: 2 + 3i , 5i , 1,5 + 4i , 2 . Вы можете быть удивлены, увидев там 2 , что является реальным числом. Да, но это тоже комплексное число с b = 0 . Комплексные числа являются обобщением действительных чисел.

      Пока что воображаемое число i , наверное, все еще для вас загадка. Что это вообще такое? Что ж, хотя это может показаться странным, это определяется следующим уравнением:

      я = √ (-1) ,

      , и это все, что вам нужно для вычисления квадратного корня из каждого числа, независимо от того, положительное оно или нет.Давайте посмотрим на несколько примеров:

      • квадратный корень из -9: √ (-9) = √ (-1 * 9) = √ (-1) √9 = 3i ,
      • квадратный корень из -13: √ (-13) = √ (-1 * 13) = √ (-1) √13 = i√13 ,
      • квадратный корень из -49: √ (-49) = √ (-1 * 49) = √ (-1) √49 = 7i .

      Разве это не просто? Эта проблема не возникает с кубическим корнем, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего нельзя сделать с двумя отрицательными числами).Например:

      ³√ (-64) = ³√ [(- 4) * (- 4) * (- 4)] = -4 .

      Это, вероятно, все, что вам следует знать о квадратных корнях. Мы ценим, что вы остались с нами до этого момента! В качестве награды испеките себе что-нибудь сладкое 🙂 Воспользуйтесь нашим калькулятором идеальных блинов, чтобы узнать, как приготовить идеальный блин, каким бы он вам ни нравился. Вам может понадобиться наш калькулятор граммов в чашки, чтобы помочь вам в этом. Он работает в обоих направлениях, то есть для преобразования граммов в чашки и преобразования чашек в граммы.А если вы спросите себя: «Сколько калорий мне нужно съедать в день?», Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором калорий!

      FAQ

      Может ли число иметь более одного квадратного корня?

      Да, на самом деле все положительные числа имеют 2 квадратных корня , один положительный, а другой равный первому, но отрицательный. Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным.

      Как найти квадратный корень без калькулятора?

      1. Вычислите квадратного корня.Ближайшее квадратное число приемлемо, если вы в затруднении.
      2. Разделите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на оценку.
      3. Добавьте оценку к результату шага 2.
      4. Разделите результат шага 3 на 2. Это ваша новая оценка .
      5. Повторите шаги 2–4 с новой оценкой. Чем больше раз это повторяется, тем точнее будет результат.

      Как вычислить квадратные корни?

      1. Найдите ближайшее квадратное число выше и ниже числа, о котором вы думаете.
      2. Квадратный корень будет между квадратными корнями этих чисел.
      3. Близость числа к квадратному корню указывает, насколько близок корень. Например, 26 очень близко к 25, поэтому корень будет очень близок к 5.
      4. Попробуйте несколько раз разобраться в этом .

      Является ли квадратный корень из 2 рациональным числом?

      Нет, корень квадратный из 2 не является рациональным . Это связано с тем, что, когда 2 записывается как дробь, ² / ₁ , она никогда не может иметь только четные показатели, и поэтому рациональное число не может быть возведено в квадрат для его создания.

      Как избавиться от квадратного корня?

      В алгебре возведение в квадрат обеих частей уравнения избавит от любых квадратных корней . Результатом этой операции является то, что квадратные корни будут заменены любым числом, из которого они находили квадратный корень.

      Являются ли квадратные корни рациональными?

      Некоторые квадратные корни являются рациональными , а другие — нет. Вы можете определить, является ли квадратный корень рациональным или нет, выяснив, может ли число, которое вы извлекаете квадратным корнем, быть выражено только в терминах четных показателей (например,грамм. 4 = 2 ² /1 ² ). Если может, то его корень рациональный .

      Является ли квадратный корень из 5 рациональным числом?

      Квадратный корень из 5 — это , а не рациональное число . Это связано с тем, что 5 не может быть выражено дробью, если числитель и знаменатель имеют четные показатели. Это означает, что рациональное число нельзя возвести в квадрат, чтобы получить 5.

      Является ли квадратный корень из 7 рациональным числом?

      Результатом квадратного корня 7 является иррациональное число .7 не может быть записано в виде дроби только с четными показателями, что означает, что число, возведенное в квадрат для достижения 7, не может быть выражено как дробь целых чисел, и поэтому не является рациональным.

      Какова производная квадратного корня из x?

      Производная квадратного корня x равна ^{x — 1 / ₂} / ₂ , или ¹ / _{2SQRT (x)} . Это связано с тем, что квадратный корень из x может быть выражен как x ^{1 / ₂} , от которого обычно происходит дифференцирование.

      Как найти квадратный корень из десятичной дроби?

      1. Преобразует десятичную дробь в дробь .
      2. Найдите любой квадратный корень из дроби или оцените его. Сделайте дробью, равной квадратному корню, который вы нашли в квадрате.
      3. Отмените квадратный корень и квадрат, оставив дробь.
      4. Запишите дробь как десятичную в качестве окончательного ответа.

      Как найти квадратный корень из числа и вычислить его вручную

      Иногда, в повседневных ситуациях, мы можем столкнуться с задачей вычислить квадратный корень из числа.Что делать, если под рукой нет калькулятора или смартфона? Можем ли мы использовать старомодную бумагу и карандаш, чтобы сделать это в стиле длинного деления?

      Да, мы можем, и есть несколько разных методов. Некоторые из них сложнее других. Некоторые дают более точные результаты.

      Тот, которым я хочу с вами поделиться, является одним из них. Чтобы сделать эту статью более удобной для читателя, каждый шаг снабжен иллюстрациями.

      ШАГ 1: Разделите цифры на пары

      Для начала организуем рабочее пространство.Разделим пространство на три части. Затем давайте разделим цифры числа на пары, двигаясь справа налево.

      Например, число 7 469,17 становится 74 69. 17 . Или в случае числа с нечетным количеством цифр, например 19 036, мы начнем с 1 90 36 .

      В нашем случае 2,025 превращается в 20 25 .

      ШАГ 2: Найдите наибольшее целое число

      В качестве следующего шага нам нужно найти наибольшее целое число (i), квадрат которого меньше или равен крайнему левому числу.

      В нашем текущем примере крайнее левое число — 20. Поскольку 4² = 16 <= 20 и 5² = 25> 20, рассматриваемое целое число равно 4. Давайте поместим 4 в правый верхний угол и 4² = 16 в правый нижний. один.

      ШАГ 3: Теперь вычтите это целое число

      Теперь нам нужно вычесть квадрат этого целого числа (равного 16) из крайнего левого числа (равного 20). Результат равен 4, и мы запишем его, как показано выше.

      ШАГ 4: Переходим к следующей паре

      Теперь давайте перейдем к следующей паре в нашем номере (25).Мы пишем его рядом с уже имеющимся вычитаемым значением (а это 4).

      Теперь умножьте число в правом верхнем углу (которое также равно 4) на 2. В результате получится 8, и мы запишем его в правом нижнем углу, а затем _ x _ =
      

      ШАГ 5: Найдите нужное Соответствие

      Время, чтобы заполнить каждое пустое пространство одним и тем же целым числом (i). Это должно быть максимально возможное целое число, при котором произведение должно быть меньше или равно числу слева.

      Например, если мы выберем число 6, первое число станет 86 (8 и 6), и мы также должны умножить его на 6.Результат 516 больше 425, поэтому мы спускаемся ниже и пробуем 5. Число 8 и число 5 дают нам 85. 85 умноженное на 5 дает 425, что нам и нужно.

      Напишите 5 рядом с 4 в правом верхнем углу. Это вторая цифра в корне.

      ШАГ 6: Снова вычесть

      Вычтите полученный результат (425) из текущего числа слева (также 425). Результат равен нулю, что означает, что задача выполнена.

      Примечание: Я специально выбрал идеальный квадрат (2025 = 45 x 45).Таким образом, я мог показать правила решения задач извлечения квадратного корня.

      На самом деле числа состоят из многих цифр, в том числе и после десятичной точки. В этом случае мы повторяем шаги 4, 5 и 6, пока не достигнем желаемой точности.

      Следующий пример объясняет, что я имею в виду.

      ПРИМЕР: Копаем глубже …

      На этот раз число состоит из нечетного числа цифр, включая единицы после десятичной точки.

      Как мы видели в этом примере, процесс может повторяться несколько раз для достижения желаемого уровня точности.{2} = 16 [/ latex], квадратный корень из [latex] 16 [/ latex] равен [latex] 4 [/ latex]. Функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат, так же как вычитание является обратным сложению. Чтобы отменить возведение в квадрат, мы извлекаем квадратный корень.

      В общих чертах, если [latex] a [/ latex] является положительным вещественным числом, то квадратный корень из [latex] a [/ latex] — это число, которое при умножении на себя дает [latex] a [/ латекс]. Квадратный корень может быть положительным или отрицательным, потому что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число.Главный квадратный корень — неотрицательное число, которое при умножении само на себя равно [латекс] а [/ латекс]. Квадратный корень, полученный с помощью калькулятора, является главным квадратным корнем.

      Главный квадратный корень из [latex] a [/ latex] записывается как [latex] \ sqrt {a} [/ latex]. Символ называется корнем , термин под символом называется корнем и , а все выражение называется радикальным выражением .

      Общее примечание: основной квадратный корень

      Главный квадратный корень из [латекса] a [/ latex] является неотрицательным числом, которое при умножении само на себя равно [latex] a [/ latex]. {2} = 81 [/ латекс]

    Вопросы и ответы

    Для [latex] \ sqrt {25 + 144} [/ latex], можем ли мы найти квадратные корни перед сложением?

    № [латекс] \ sqrt {25} + \ sqrt {144} = 5 + 12 = 17 [/ латекс]. Это не эквивалентно [латекс] \ sqrt {25 + 144} = 13 [/ латекс]. Порядок операций требует, чтобы мы добавляли члены в подкоренном выражении перед нахождением квадратного корня.

    Попробуй 1

    Оцените каждое выражение.

    а. [латекс] \ sqrt {225} [/ латекс]
    б. [латекс] \ sqrt {\ sqrt {81}} [/ латекс]
    c. [латекс] \ sqrt {25 — 9} [/ латекс]
    d. [латекс] \ sqrt {36} + \ sqrt {121} [/ латекс]

    Решение

    Основы квадратного корня (примеры и ответы)

    Обновлено 8 декабря 2020 г.

    Ли Джонсон

    Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен освоить основы квадратного корня для решения эти вопросы.Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому. Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.

    TL; DR (слишком долго; не читал)

    Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении на само себя дает результат после символа √.Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.

    Вы можете множить квадратные корни на множители, как обычные числа. , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.

    Что такое квадратный корень?

    Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя. Например, три в квадрате равно девяти (3 ² = 9), поэтому квадратный корень из девяти равен трем.2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3

    , где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях можно игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.

    Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}

    Упрощение квадратных корней

    Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете множить квадратные корни на множители так же, как множители обычных чисел. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому

    \ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}

    Упрощение больших корней означает выполнение факторизации шаг за шагом и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать

    \ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}

    Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:

    \ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}

    В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому

    \ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}

    Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила

    \ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a

    Что такое квадратный корень…

    Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.

    Квадратный корень из 8

    Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:

    \ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}

    Квадратный корень из 4

    . простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задачу можно точно решить с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….

    Квадратный корень из 12

    Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:

    \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}

    Опять же, это упрощенное выражение может либо использоваться в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитываться с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что

    \ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….

    Корень квадратный из 20

    Корень квадратный из 20 можно найти таким же образом:

    \ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….

    Квадратный корень из 32

    Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:

    \ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}

    Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:

    \ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….

    Квадратный корень отрицательного числа

    Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное на само по себе, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,

    \ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i

    Эти задачи более сложные, но вы можете научиться решать их, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.

    Примеры вопросов и ответов

    Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:

    \ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}

    Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:

    \ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt {10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27} = \ sqrt { 3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5,196

    Как вручную найти квадратный корень

    Как вручную найти квадратный корень

    Как найти квадратный корень вручную

    Вот почти забытое искусство: с появлением электронных калькуляторы, скорее всего, доживут до XXI века только на бумаге и в воспоминаниях стариков.

    Из какого числа вы хотите найти квадратный корень? Вот один из них, который мы будем использовать:

    46656
     

    Сначала разделите число, которое нужно извлекать из квадратного корня, на пары цифр, начиная с десятичной точки. То есть никакая пара цифр не должна пересекаться десятичная точка. (Например, разделите 1225 на «12 25», а не на «1 22 5»; 6.5536 на «6,55 36», а не на «6,5 53 6».)

    Затем вы можете поместить несколько линий на каждую пару цифр и полосу на слева, что-то вроде длинного деления.

         + --- ---- ----
         | 4 66 56
     

    Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен ведущему пара цифр. В этом случае первая пара цифр — 4; самое большое число квадрат которого меньше или равен 4 равен 2.

    Поместите это число слева, и над первой парой цифр.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
     

    Теперь возведите это число в квадрат и вычтите из первой пары цифр.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
           0
     

    Выдвинуть левую скобу; умножьте последнюю (и единственную) цифру левой число на 2, поместите его слева от разницы, которую вы только что вычислили, и оставьте рядом с ним пустой десятичный знак.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     4_ | 0
     

    Затем опустите следующую пару цифр и поместите ее вправо разницы.

           2
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     4_ | 0 66
     

    Найдите наибольшее число для этого пустого десятичного разряда, чтобы число, умноженное на уже существующее число плюс десятичный разряд, будет меньше чем текущая разница. Например, если 1 * 41 равно ≤ 66, то 2 * 42 ≤ 66 и т. Д. В данном случае это 1. Поместите это число в оставленное вами поле, и в следующем десятичном разряде в строке результатов вверху.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
     

    Теперь вычтите продукт, который вы только что нашли.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
               25
     

    Теперь повторите, как и раньше: возьмите число в левом столбце (здесь 41) и удвойте его последнюю цифру (получается 42). Скопируйте это ниже в левый столбец и оставьте рядом с ним пустое место. (Двойная последняя цифра с переносом: для Например, если у вас было не 41, а 49, что составляет 40 + 9, вы должны скопировать 40 + 18 что равно 58.) Также опустите следующую пару цифр справа.

           2 1
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
    42_ 25 56
     

    Теперь найдите самую большую цифру (назовите ее #) такую, что 42 # * # ≤ 2556. Здесь получается, что 426 * 6 = 2556 точно.

           2 1 6
         + --- ---- ----
      2 | 4 66 56
         | -4
         + ----
     41 | 0 66
         | - 41
         + --------
    426 | 25 56
         | - 25 56
         + -------------
                     0
     

    Когда разница равна нулю, у вас есть точный квадратный корень, и вы Выполнено.