Корень 6 2: найдите значение выражения 6 / ( 2 корень 3 ) ^ 2

Видоизменения корней — урок. Биология, Бактерии. Грибы. Растения (5–6 класс).

Под влиянием условий окружающей среды корни, кроме своих основных функций, могут выполнять и некоторые другие. Это приводит к изменению их внешнего и внутреннего строения и возникновению видоизменений.

1. Накопительные корни.  

Они, кроме основных функций, выполняют и функцию запасания веществ.

Существует \(2\) вида накопительных корней.

2. Корни-прицепки, которые развиваются из придаточных корней и помогают растениям прикрепляться к различным поверхностям — стволам деревьев, фасадам зданий.

3. Дыхательные корни.

В местах со стоячей водой или в местах, которые часто затапливаются, проблематично обеспечение корневой системы кислородом, так как кислород растворяется в воде в ограниченном количестве.

Пример:

у мангровых растений тропических болот на растущих в субстрате основных корнях развиваются дыхательные корни, которые растут вертикально вверх и поднимаются выше субстрата вопреки силе притяжения Земли.

Дыхательные корни образуются у некоторых деревьев, растущих на заболоченной почве.

4. Воздушные корни.

У растений, обитающих на стволах деревьев в тропических лесах (орхидей, бромелий), высоко над землёй образуются воздушные корни, предназначенные для поглощения влаги непосредственно из воздуха. Эти корни могут расти и в почве, выполняя обычные для корней функции.

5. Корни-подпорки.

Досковидные корни-подпорки встречаются как у растущих в тропических лесах деревьев (у хлопкового дерева), так и у деревьев, растущих в умеренных широтах (у вяза обыкновенного).

Источники:

http://all-nature.org/korni-rasteniy/

http://fullbiology.ucoz.ru/index/botanika_organy_cv_rastenij/0-293

10.5. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x+a₀  имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q  несократимая), то р является делителем свободного члена (a₀), а q — делителем коэффициента при стар­шем члене а_n.

     Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

            Умножим обе части равенства (1) на  (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a₀qⁿ = -(а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^n-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀qⁿ может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

a_npⁿ = -(a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^-1 + a₀qⁿ) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то a_n делится на q, следовательно, q — де­литель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х³ – х² + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

2х³ – х² + 12х – 6 = (x – 1/2) (2x² + 12).

Многочлен 2х² + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х⁴ + 3х³ – 2х² – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х² + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х³ + 5х² + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем  Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Квадратный трехчлен 2х² + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х² + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х⁴ + х³ + 3х² + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х⁴+ х³+ 3х² + х + 6 = x⁴+ cx³+ dx²+

                                                      + ax³+ acx²+ adx +

                                                                    + bx²+ bcx + bd.

Получаем систему

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х² – х + 2 и х² + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1) х³ – 5х + 4;

2) 2x³ + x² – 13x + 6;

3) 5х³ + 18х² – 10х – 8;

4) 4х⁴ – 11х² + 9х – 2.

2. Найдите рациональные корни уравнения:

1) х³ – 3х² + 2 = 0;

2) 2х³ – 5х² – х + 1 = 0;

3) 3х⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2 = 0;

4) 3х⁴ – 8х³ – 2х² + 7х – 2 = 0.

3. Разложите многочлен на множители:

1) 2х³ – х² – 5х – 2;

2) х³ + 9х² + 23х +15;

3) х⁴ – 2х³ + 2х – 1;

4) х⁴ – 2х³ – 24х² + 50х – 25.

4. Найдите действительные корни уравнения:

1) х³ + х² – 4х + 2 = 0;

2) х³ – 7х – 6 = 0;

3) 2х⁴ – 5х³ + 5х² – 2 = 0;

4) 2х³ – 5х² + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

1) х⁴ + х³ – 5х² + 13х – 6;

2) х⁴ – 4х³ – 20х² + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х² + bх + с)² – (mх + n)²: :

1) х⁴+ 4х – 1;

2) х⁴ – 4х³ – 1;

3) х⁴ + 4а³х – а⁴.

никакого гадания, только теория чисел / Хабр

В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат. 

Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.  

Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами. 

Введение 

Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.  

После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.

Сумма цифр и цифровой корень 

Цифровой корень натурального числа в заданной системе счисления — это значение, получаемое итеративным расчётом суммы цифр, где на первой итерации происходит расчёт суммы цифр натурального числа, а на каждой следующей — расчёт суммы цифр результата предыдущей итерации. Операция выполняется до тех пор, пока вычисленное значение не становится меньше заданной системы счисления, т.е. до тех пор, пока оно не равняется одной-единственной цифре. 

Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень. 

Пример:   Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 

Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9 

Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.

Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:

def digitalRootRecurrent(number, base):
    digitSum = 0
    while number > 0:
        digitSum += number % base 
        number //= base
    if digitSum >= base:
        digitSum = digitalRootRecurrent(digitSum, base)
    return digitSum

Применение цифровой суммы 

Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению. 

Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы. 

Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня 

При расчёте цифрового корня можно воспользоваться небольшой хитростью: если значение не равно нулю, и не равно основанию системы счисления — 1, можно получить значение цифрового корня просто операцией взятия остатка от деления на основание системы счисления — 1.

Модифицированный код:

def digitalRoot(number, base):
    if number == 0:
        return 0
    dR = number % (base - 1)
    if dR == 0:
        dR = base - 1
    return dR

Свойства цифрового корня 

Операция сложения 

Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел: 

Код для построения таблицы суммы:

firstTermRangeStart = 2
firstTermRangeEnd = 8
secondTermRangeStart = 1
secondTermRangeEnd = 9
base = 10

for j in range(firstTermRangeStart, firstTermRangeEnd + 1):
    print()
    for i in range(secondTermRangeStart, secondTermRangeEnd + 1):
        if i % (secondTermRangeEnd + 1) == 0:
            print()
        print('dr(',j,'+', i, ') =', digitalRoot(j + i, base), ' ', end='')

Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел: 

Операция вычитания 

Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.  

Приведем контрпример:  455 — 123 = 332.

Как можно отметить, выражение 4 — 6 не даёт в результате 8, потому формулу сложения нужно модифицировать, чтобы она работала для операции вычитания:

Операция умножения 

Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:

Код для вывода таблицы умножения:

firstTermRangeStart = 1
firstTermRangeEnd = 8
secondTermRangeStart = 1
secondTermRangeEnd = 9
base = 10

for i in range(secondTermRangeStart, secondTermRangeEnd + 1):
    print()
    for j in range(firstTermRangeStart, firstTermRangeEnd + 1):
        print('dr(',j,'*', i, ') =', digitalRoot(i * j, base), ' ', end='') 

Запишем значения для каждого множителя:

1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] 

2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9] 

3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9] 

4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9] 

5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9] 

6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9] 

7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9] 

8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9] 

9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9] 

Можно увидеть, что последовательности разбиваются на пары 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5. В каждой из пар сохраняется та же самая последовательность, но они представляют собой реверсированные копии друг друга, за исключением последнего элемента, который связан с множителем, равным основанию системы счисления — 1. 

Также отметим, что при умножении на основание системы счисления -1 цифровой корень будет равен основанию системы счисления — 1. При умножении на 1 значение цифрового корня второго множителя сохраняется. 

Визуализация последовательностей:

Последовательности можно рассмотреть как множество всех возможных замкнутых фигур с количеством точек, равным основанию системы счисления — 1, начиная с правильного n-угольника. Исключением является множитель, который не является взаимно простым с основанием системы счисления — 1, в данном случае это 3 и 6.

Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:

Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат. 

Подмножество данного ведического квадрата формирует собой латинский квадрат. Чтобы получить его, нужно вычеркнуть элементы, равные основанию системы счисления — 1. 

В результате мы получим: 

Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем. 

Ниже приведена ещё одна картинка ведических квадратов для систем счисления 100 и 1000. Белым отмечены самые большие значения клеток — соответствующие основанию системы счисления — 1, черным — самые маленькие, соответствующие 1.

Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.  

Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью. 

Операция деления  

Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8. 

Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень. 

base = 10
divisors = [2, 4, 5, 8]

for j in divisors: 
    print()
    for i in range(1, base):
        value = (digitalRoot(int((i / j) * (base ** 3)), base))
        print('dr(',i, '/', j, ') =', value, '  ', end='') 

Тут бросаются в глаза несколько закономерностей.  Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня. 

Запишем в таблицу череду делений: 

2) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 5

4) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 7

5) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 2

8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 8

Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления. 

Операция возведения в степень 

Таблица возведения в степень: 

base = 10
.
for i in range(2, base - 2):
    print()
    for j in range(1, base - 1):
        print('dr(', j ,'^', i, ') =', digitalRoot(i ** j, base), ' ', end='') 

Здесь мы можем наблюдать цикличность.n + 1, где p — это простое число, а n — натуральное.  

Рассмотрим систему счисления 8, череда его значений будет равна [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Именно такие же остатки от деления мы получаем при делении числа в десятичной системе счисления. 

Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня: 

Ещё визуализации

Приведём ниже визуализации для операции возведения в степень для разных систем счисления, все они будут связанны с паттернами, образующимися в рациональных дробях 1/P, где P — это full reptend prime.

Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством: 

Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления

После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:

Теперь мы можем переставить строки на основании череды остатков от деления, таким образом мы получим последовательность циклических чисел. Напомню, остатки от деления были равны [1, 3, 2, 6, 4, 5]. В результате у нас получится следующая картина:

Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.

Выводы 

Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение. 

Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рок\метал группы 🙂

Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!

Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91.n} \)

6) aⁿ > 0

7) aⁿ > 1, если a > 1, n > 0

8) aⁿm, если a > 1, n

9) aⁿ > a^m, если 0

В практике часто используются функции вида y = a^x, где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a^x, где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a^x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a^x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a^x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a^x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a^x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a^x при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a^x = a^b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2^3x • 3^x = 576
Так как 2^3x = (2³)^x = 8^x, 576 = 24², то уравнение можно записать в виде 8^x • 3^x = 24², или в виде 24^x = 24², откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3^{х + 1} — 2 • 3^{x — 2} = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^{х — 2}, получаем 3^{х — 2}(3³ — 2) = 25, 3^{х — 2} • 25 = 25,
откуда 3^{х — 2} = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3^х = 7^х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac{3^x}{7^x} = 1 \), откуда \( \left( \frac{3}{7} \right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9^х — 4 • 3^х — 45 = 0
Заменой 3^х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t² — 4t — 45 = 0.{x-2} = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3^{|х — 1|} = 3^{|х + 3|}
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1)² = (х + 3)², откуда
х² — 2х + 1 = х² + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

квадратный корень из 6 — значение, расчет, упрощение, решенный пример и часто задаваемые вопросы

Квадратный корень из числа a — это такое число b, что b² = a. Квадратный корень любого числа представлен символом и также часто известен как радикал. Число или выражение, указанное под символом квадратного корня, называется подкоренным выражением. Например, в выражении \ [\ sqrt {3x + 5} \] подкоренное выражение равно 3x + 5.

Квадратный корень — это часто используемая функция в математике.Он широко используется в таких предметах, как математика и физика. Иногда бывает утомительно находить квадратный корень из числа, особенно чисел, не являющихся квадратом числа.

В этой статье мы обсудим квадратный корень из 6 и то, как вычислить значение корня из 6, используя упрощающий метод квадратного корня.

(Изображение будет скоро загружено)

Квадратный корень 6 Определение

Квадратный корень из числа 6 — это такое число y, что y² = 6.Квадратный корень из 6 в радикальной форме записывается как \ [\ sqrt {6} \].

Представление квадратного корня из 6 в радикальной форме

Квадратный корень из 6 в радикальной форме выражается как \ [\ sqrt {6} \].

Как рассчитать значение меньше корня 6?

Мы можем вычислить значение под корнем 6, используя различные методы извлечения квадратного корня. Это могут быть методы деления в столбик, метод простой факторизации или упрощенный метод квадратного корня. Давайте обсудим, как вычислить значение 6-го корня с использованием упрощающего метода квадратного корня.

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, делайте число под квадратным корнем как можно меньшим, сохраняя при этом целое число. Математически это может быть выражено как:

\ [\ sqrt {xy} = \ sqrt {x} \ times \ sqrt {y} \]

Чтобы выразить квадратный корень из 6 в простейшей форме, мы сделаем номер 6 как можно меньше, чтобы сохранить его как целое число. Следовательно, квадратный корень из 6 в простейшей форме представлен как:

\ [\ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ times \ sqrt {3} \]

Это можно еще больше упростить, подставив значение \ [\ sqrt {2} \] и \ [\ sqrt {3} \].

\ [\ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ times \ sqrt {3} \]

\ [\ sqrt {6} = 1,414 \ times 1,732 \]

\ [\ sqrt {6} = 2.449 \]

Следовательно, квадратный корень из 6 в простейшей форме равен 2.449. Точно так же мы можем вычислить квадратный корень из любых других целых чисел и их множителей. Следовательно, упрощение метода квадратного корня — это самый простой метод вычисления квадратного корня. Мы также можем рассчитать значение корня 6 с помощью калькулятора, так как это даст нам точное значение.Точное значение квадратного корня всегда будет дано в виде десятичного числа, поскольку невозможно определить положительное целое число в качестве корня для нерациональных чисел.

Упрощение квадратного корня с помощью метода точных квадратов

Ниже приведены шаги по упрощению квадратного корня с помощью метода идеальных квадратов:

1. Найдите идеальный квадрат, который делит число в подкоренном выражении.

2. Выразите числа как множитель полного квадрата.

3. Упростим радикалы.

Пример

Упростить \ [\ sqrt {300} \]

Решение:

\ [\ sqrt {300} = \ sqrt {100 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {300} = \ sqrt {10 \ times 10 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {300} = 10 \ sqrt {3} \]

Следовательно, \ [\ sqrt {300} \] можно упростить как \ [10 \ sqrt {3} \]

Решенный пример

Упростите следующие радикальные выражения:

1. \ [\ sqrt {48} \]

2. \ [\ sqrt {75} \]

Решения:

1.\ [\ sqrt {48} \]

Шаг 1: Полный квадрат 16 разделит число 48.

Шаг 2: Выразите 48 как множитель 16

\ [48 = 16 \ times 3 \]

Шаг 3. Уменьшите квадратный корень из 16, как показано ниже:

\ [\ sqrt {48} = \ sqrt {16 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {48} = \ sqrt {4 \ times 4 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {48} = 4 \ sqrt {3} \]

Следовательно, \ [\ sqrt {48} \] можно упростить как \ [4 \ sqrt {3} \ ]

2. \ [\ sqrt {75} \]

Шаг 1. Идеальный квадрат 25 разделит число 75.

Шаг 2: выразите 75 как множитель 25.

\ [75 = 25 \ times 3 \]

Шаг 3: Упростите радикалы, как показано ниже:

\ [\ sqrt {75} = \ sqrt { 25 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {75} = \ sqrt {5 \ times 5 \ times 3} \]

\ [\ sqrt {75} = 5 \ sqrt {3} \]

Следовательно, \ [\ sqrt {75} \] можно упростить как \ [5 \ sqrt {3} \].

Умножение и деление радикальных выражений

Умножение радикальных выражений

При умножении радикальных выражений на один и тот же индекс мы используем правило произведения для радикалов.Если a и b представляют положительные действительные числа,

Пример 1: Умножение: 2⋅6.

Решение: Эта задача является произведением двух квадратных корней. Примените правило произведения для радикалов, а затем упростите.

Ответ: 23

Пример 2: Умножить: 93⋅63.

Решение: Эта задача является продуктом кубических корней.Примените правило произведения для радикалов, а затем упростите.

Ответ: 3 23

Часто перед радикалами встречаются коэффициенты.

Пример 3: Умножение: 23⋅52.

Решение: Используя правило произведения для радикалов и тот факт, что умножение является коммутативным, мы можем умножить коэффициенты и подкоренные выражения следующим образом.

Обычно первый шаг, связанный с применением коммутативного свойства, не показан.

Ответ: 106

Пример 4: Умножение: −2 5×3⋅3 25×23.

Решение:

Ответ: −30x

Используйте свойство распределения при умножении рациональных выражений более чем на один член.

Пример 5: Умножить: 43 (23-36).

Решение: Примените свойство распределения и умножьте каждый член на 43.

Ответ: 24-362

Пример 6: Умножение: 4×23 (2×3−5 4×23).

Решение: Примените свойство распределения, а затем упростите результат.

Ответ: 2x − 10x⋅2×3

Процесс умножения радикальных выражений на несколько членов — это тот же процесс, который используется при умножении многочленов. Примените свойство распределения, упростите каждый радикал, а затем объедините похожие термины.

Пример 7: Умножение: (5 + 2) (5−4).

Решение: Начните с применения свойства распределения.

Ответ: −3−25

Пример 8: Умножение: (3x − y) 2.

Решение:

Ответ: 9x − 6xy + y

Попробуй! Умножаем: (23 + 52) (3−26).

Ответ: 6-122 + 56-203

Выражения (a + b) и (a − b) называются сопряженными. Множители (a + b) и (a − b) являются сопряженными .. При умножении сопряжений сумма произведений внутреннего и внешнего членов дает 0.

Пример 9: Умножение: (2 + 5) (2−5).

Решение: Примените свойство распределения, а затем объедините похожие термины.

Ответ: −3

Важно отметить, что при умножении сопряженных радикальных выражений мы получаем рациональное выражение.Это верно в целом и часто используется в нашем изучении алгебры.

Следовательно, для неотрицательных действительных чисел a и b мы имеем следующее свойство:

Деление радикальных выражений (рационализация знаменателя)

Чтобы разделить радикальные выражения с одинаковым индексом, мы используем правило частного для радикалов. Если a и b представляют собой неотрицательные числа, где b ≠ 0, то мы имеем

Пример 10: Разделить: 8010.

Решение: В этом случае мы видим, что 10 и 80 имеют общие множители. Если мы применим правило частного для радикалов и запишем его как единый квадратный корень, мы сможем уменьшить дробное подкоренное выражение.

Ответ: 22

Пример 11: Разделить: 16x5y42xy.

Решение:

Ответ: 2x2y2y

Пример 12: Разделить: 54a3b5316a2b23.

Решение:

Ответ: 3b⋅a32

Когда делитель радикального выражения содержит радикал, обычно находят эквивалентное выражение, в котором знаменателем является рациональное число. Нахождение такого эквивалентного выражения называется рационализацией знаменателя Процесс определения эквивалентного радикального выражения с рациональным знаменателем ..

Для этого умножьте дробь на единицу специальной формы, чтобы подкоренное выражение в знаменателе можно было записать со степенью, соответствующей индексу.После этого упростите и удалите радикал в знаменателе. Например,

Помните, чтобы получить эквивалентное выражение, вы должны умножить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель.

Пример 13: Рационализируйте знаменатель: 32.

Решение: Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентное выражение без радикала в знаменателе. В этом примере умножьте на 1 в форме 22.

Ответ: 62

Пример 14: Рационализируйте знаменатель: 123x.

Решение: Подкоренное выражение в знаменателе определяет факторы, которые необходимо использовать для его обоснования. В этом примере умножьте на 1 в форме 3x3x.

Ответ: 3x6x

Обычно мы обнаруживаем необходимость уменьшить или отменить после рационализации знаменателя.

Пример 15: Рационализируйте знаменатель: 525ab.

Решение: В этом примере мы умножим на 1 в форме 5ab5ab.

Обратите внимание, что a и b не отменяют в этом примере. Не отменяйте факторы внутри радикала с теми, которые находятся снаружи.

Ответ: 10abab

Попробуй! Рационализируем знаменатель: 4a3b.

Ответ: 23ab3b

До этого момента мы видели, что умножение числителя и знаменателя на квадратный корень с одним и тем же корнем дает рациональный знаменатель. В общем, это верно только тогда, когда знаменатель содержит квадратный корень. Однако это не относится к кубическому корню. Например,

Обратите внимание, что умножение на тот же коэффициент в знаменателе не дает рационального объяснения. В этом случае, если мы умножим на 1 в форме x23x23, тогда мы можем записать подкоренное выражение в знаменателе как степень 3.Затем упрощение результата дает рационализированный знаменатель. Например,

Следовательно, чтобы рационализировать знаменатель радикальных выражений с одним радикальным членом в знаменателе, начните с факторизации подкоренного выражения знаменателя. Коэффициенты этого подкоренного выражения и индекса определяют, на что мы должны умножать. Умножьте числитель и знаменатель на n корень -й степени из множителей, что даст n -ю степень всех множителей в подкоренном выражении знаменателя.

Пример 16: Рационализируйте знаменатель: 1253.

Ответ: 535

Пример 17: Рационализируйте знаменатель: 27a2b23.

Решение: В этом примере мы умножим на 1 в форме 22b322b3.

Ответ: 34ab32b

Пример 18: Рационализируем знаменатель: 1 4×35.

Решение: В этом примере мы умножим на 1 в форме 23x2523x25.

Ответ: 8x252x

Когда в знаменателе появляются два члена с квадратными корнями, мы можем рационализировать это с помощью очень специальной техники.Этот метод заключается в умножении числителя и знаменателя дроби на сопряжение знаменателя. Вспомните, что умножение радикального выражения на его сопряжение дает рациональное число.

Пример 19: Рационализируйте знаменатель: 13-2.

Решение: В этом примере сопряжение знаменателя равно 3 + 2. Следовательно, умножьте на 1 в виде (3 + 2) (3 + 2).

Ответ: 3 + 2

Обратите внимание, что члены, содержащие квадратный корень в знаменателе, удаляются путем умножения на сопряжение.Мы можем использовать свойство (a + b) (a − b) = a − b, чтобы ускорить процесс умножения выражений в знаменателе.

Пример 20: Рационализируйте знаменатель: 2−62 + 6.

Решение: Умножьте на 1 в форме 2−62−6.

Ответ: −2 + 3

Пример 21: Рационализируйте знаменатель: x + yx − y.

Решение: В этом примере мы умножим на 1 в форме x − yx − y.

Ответ: x − 2xy + yx − y

Попробуй! Рационализируйте знаменатель: 35 + 525−3.

Ответ: 195 + 4511

Основные выводы

• Чтобы умножить два одночленных радикальных выражения, умножьте коэффициенты и умножьте подкоренные выражения. По возможности упростите результат.
• Примените свойство распределения при умножении радикальных выражений на несколько членов.Затем упростите и объедините все похожие радикалы.
• Умножение двухчленного радикального выражения, содержащего квадратные корни, на его сопряжение, приводит к рациональному выражению.
• Принято писать радикальные выражения без радикалов в знаменателе. Процесс поиска такого эквивалентного выражения называется рационализацией знаменателя.
• Если выражение имеет один член в знаменателе, включающий радикал, то рационализируйте его, умножив числитель и знаменатель на корень n -й степени множителей подкоренного выражения, чтобы их степени равнялись индексу.
• Если радикальное выражение имеет в знаменателе два члена, включающих квадратные корни, то рационализируйте его, умножив числитель и знаменатель на его сопряжение.

Тематические упражнения

Часть A: Умножение радикальных выражений

Умножить. ( Предположим, что все переменные неотрицательны. )

1. 3⋅5

2.7⋅3

3. 2⋅6

4. 5⋅15

5. 7⋅7

6. 12⋅12

7. 25⋅710

8. 315⋅26

9. (25) 2

10. (62) 2

11. 2x⋅2x

12. 5лет

13. 3a⋅12

14. 3a⋅2a

15. 42x⋅36x

16. 510–22 года

17.53⋅253

18. 43⋅23

19. 43⋅103

20. 183⋅63

21. (5 93) (2 63)

22. (2 43) (3 43)

23. (2 23) 3

24. (3 43) 3

25. 3a23⋅9a3

26. 7b3⋅49b23

27. 6×23⋅4×23

28. 12y3⋅9y23

29. 20x2y3⋅10x2y23

30.63xy3⋅12x4y23

31,5 (3-5)

32. 2 (3−2)

33,37 (27−3)

34,25 (6−310)

35. 6 (3−2)

36,15 (5 + 3)

37. х (х + ху)

38. у (ху + у)

39. 2ab (14a − 210b)

40. 6ab (52a − 3b)

41. (2−5) (3 + 7)

42. (3 + 2) (5-7)

43.(23−4) (36 + 1)

44. (5−26) (7−23)

45. (5−3) 2

46. (7−2) 2

47. (23 + 2) (23−2)

48. (2 + 37) (2−37)

49. (a − 2b) 2

50. (ab + 1) 2

51. Каковы периметр и площадь прямоугольника длиной 53 сантиметра и шириной 32 сантиметра?

52. Каковы периметр и площадь прямоугольника длиной 26 сантиметров и шириной 3 сантиметра?

53.Если основание треугольника 62 метра, а высота 32 метра, то какова его площадь?

54. Если основание треугольника составляет 63 метра, а высота — 36 метров, то какова площадь?

Часть B: Деление радикальных выражений

Разделить.

55,753

56. 36010

57. 7275

58. 9098

59.90x52x

60. 96y33y

61. 162x7y52xy

62. 363x4y93xy

63. 16a5b232a2b23

64. 192a2b732a2b23

Рационализируйте знаменатель.

65,15

66,16

67,23

68. 37

69. 5210

70. 356

71.3−53

72. 6−22

73. 17x

74. 13лет

75. a5ab

76. 3b223ab

77. 2363

78. 1473

79. 14×3

80. 13y23

81. 9x⋅239xy23

82. 5y2⋅x35x2y3

83. 3a2 3a2b23

84. 25н3 25м2н3

85.327x2y5

86. 216xy25

87. ab9a3b5

88. abcab2c35

89. 310-3

90,26-2

91. 15 + 3

92. 17−2

93. 33 + 6

94. 55 + 15

95,105-35

96. −224-32

97. 3 + 53−5

98. 10−210 + 2

99.23−3243 + 2

100. 65 + 225−2

101. х + ух-у

102. х − yx + y

103. a − ba + b

104. ab + 2ab − 2

105. x5−2x

106. 1x − y

Часть C: Обсуждение

107. Изучите и обсудите некоторые причины, по которым рационализация знаменателя является обычной практикой.

108. Объясните своими словами, как рационализировать знаменатель.

ответов

1: 15

3: 23

5: 7

7: 702

9: 20

11: 2x

13: 6a

15: 24×3

17: 5

19: 2 53

21:30 23

23: 16

25: 3a

27: 2x⋅3×3

29: 2xy⋅25×3

31: 35−5

33: 42-321

35: 32−23

37: х + ху

39: 2a7b − 4b5a

41: 6 + 14−15−35

43: 182 + 23−126−4

45: 8-215

47: 10

49: a − 22ab + 2b

51: периметр: (103 + 62) см; площадь: 156 квадратных сантиметров

53: 18 квадратных метров

55: 5

57: 265

59: 3×25

61: 9x3y2

63: 2a

65: 55

67: 63

69: 104

71: 3−153

73: 7x7x

75: ab5b

77: 633

79: 2x232x

81: 3 6x2y3y

83: 9ab32b

85: 9x3y45xy

87: 27a2b453

89: 310 + 9

91: 5-32

93: −1 + 2

95: −5-352

97: −4−15

99: 15−7623

101: x2 + 2xy + yx2 − y

103: a − 2ab + ba − b

105: 5x + 2×25−4x

Использование свойства квадратного корня

Когда в уравнении нет линейного члена, другой метод решения квадратного уравнения заключается в использовании свойства квадратного корня , в котором мы выделяем член [латекс] {x} ^ {2} [/ латекс] и берем квадратный корень из числа по другую сторону от знака равенства.{2} = 15 [/ латекс].

Решение

Калькулятор квадратного корня

О калькуляторе квадратного корня

Калькулятор квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из введенного числа.

Квадратный корень

В математике квадратный корень из числа x — это такое число r, что r ² = x.

Например:

1. Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5 ² = 25.

3. Квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237.

3. Квадратный корень числа пи (π) приблизительно равен 1,77245385102.

Таблица квадратного корня

Ниже приводится таблица квадратного корня от 1 до 1000 с округлением до 5 цифр:

725 26. 726 26. 727 26. 728 26.

729 27730 27.01851 731 27.03701 732 27.055516 732 27.055516

734 27.09243 735 27.11088 736 27.12932 737 27.14774 738 27.16616 739 27.18455 740 27.20294 741 27.22132 742 27.23968 742 27.23968 744 27,27636 745 27,29469 746 27,313 747 27.3313 748 27.34959 749 27.36786 750 27,38613751 27.40438752 27.4221562 752 752 27.4221562 752 752 27.4221562 752754 27,45906755 27,47726756 27,49545757 27.51363758 27,5318759 27,54995 760 27,5681 761 27,58623 762 27. 764 27,64055 765 27,65863 766 27,67671 767 27.69476 768 27.71281 769 27.73085 770 27.74887 771 27.76689 772 27.78489 27.78489

Связанные

Часто используемые Miniwebtools:

Все минивеб-инструменты (отсортировано по названию):

Вычислить квадратный корень без калькулятора

Большинство людей в современном мире считает, что, поскольку калькуляторы могут находить квадратные корни, детям не нужно учиться находить квадратные корни, используя какой-либо метод карандаша и бумаги.Однако изучение, по крайней мере, метода "угадай и проверь" для нахождения квадратного корня на самом деле поможет студентам ПОНИМАТЬ и запомнить саму концепцию квадратного корня!

Итак, даже если в вашем учебнике по математике тема поиска квадратного корня без калькулятора может полностью отсутствовать, подумайте о том, чтобы позволить студентам выучить и практиковать хотя бы метод «угадай и проверь». Поскольку он на самом деле имеет дело с КОНЦЕПЦИЕЙ квадратного корня, я бы счел его необходимым для обучения ученикам .

В зависимости от ситуации и учащихся, метод «угадай и проверь» можно выполнить либо с помощью простого калькулятора, не имеющего кнопки квадратного корня, либо с помощью вычислений с использованием бумаги и карандаша.

Нахождение квадратных корней методом угадывания и проверки

Чтобы найти десятичное приближение, скажем, к √2, сначала сделайте первоначальное предположение, затем возведите его в квадрат и, в зависимости от того, насколько близко вы подошли, улучшите свое предположение.Поскольку этот метод включает возведение в квадрат предположения (умножение самого числа на само число) , он использует фактическое определение квадратного корня , и поэтому может быть очень полезным при обучении концепции квадратного корня.

Пример: что такое квадратный корень из 20?

Вы можете начать с того, что заметите, что, поскольку √16 = 4 и √25 = 5, то √20 должно быть между 4 и 5.

Тогда сделайте предположение для √20; скажем, например, что это 4.5. Возведите это в квадрат, посмотрите, будет ли результат больше или меньше 20, и улучшите свое предположение на основе этого.Повторяйте этот процесс, пока не получите желаемую точность (количество десятичных знаков). Это так просто и может стать отличным экспериментом для студентов!

Пример: найти √6 до 4 знаков после запятой

Поскольку 2 ² = 4 и 3 ² = 9, мы знаем, что √6 находится между 2 и 3. Давайте предположим (или оценим), что это 2,5. В квадрате получаем 2,5 ² = 6,25. Это слишком много, поэтому мы немного уменьшаем нашу оценку. Давайте попробуем 2.4 дальше. Чтобы найти квадратный корень из 6 до четырех знаков после запятой, нам нужно повторять этот процесс, пока у нас не будет пяти десятичных знаков, а затем мы округлим результат.

Этого достаточно итераций, поскольку теперь мы знаем, что √6 будет округлено до 2,4495 (а не до 2,4494).

Нахождение квадратных корней с помощью алгоритма

Существует также алгоритм вычисления квадратных корней, напоминающий алгоритм деления в столбик, и его изучали в школах за несколько дней до появления калькуляторов. См. Пример ниже, чтобы узнать это. Хотя изучение этого алгоритма может не быть необходимым в современном мире с калькуляторами, разработка некоторых примеров может использоваться в качестве упражнения в основных операциях для учащихся средней школы, а изучение логики, лежащей в основе этого, может быть хорошим упражнением для мышления для учащихся старших классов.

Пример: Найдите √645 с точностью до одного десятичного знака.

Сначала сгруппируйте числа под корнем попарно справа налево, оставляя одна или две цифры слева (в данном случае 6). Для каждой пары чисел вы получите одну цифру квадратного корня.

Затем продолжайте так:

Адриан

В настоящее время я работаю техническим писателем в фирме, которая занимается разработкой программного обеспечения для кредитных союзов. Понимание всех алгоритмов, используемых в финансовом мире, крайне важно для нас, чтобы делать то, что мы делаем. Фактически, один из расчетов, который мы используем для определения амортизации потребительского кредита с комиссией за определенный период времени, поразительно похож на представление квадратного корня. Расчет должен быть написан инженером-программистом для машины, чтобы в конечном итоге он оставался в сознании человека.Если инженер не знает алгоритма, последствия будут нести тысячи потребителей. Я полагаю, что запоминание - это просто еще один инструмент в коробке. Используйте его, когда это уместно.

С уважением,
Майкл Келли
Ньюбери-Парк, Калифорния.

Если идея запоминания квадратов от 1 до 25 кажется сложной, это не так. Несколько недель назад, не зная этого трюка, я знал сразу около 13 человек, а еще несколько разбросаны тут и там.Я составил таблицу в Excel, перечислив числа от 1 до 25 рядом с их квадратами, распечатал ее и повесил на стену своего кабинета. Квадраты, которые я не запомнил в этих первых 25, теперь я могу получить за несколько секунд (например, для квадрата 23 я все еще считаю от 20 квадратов: 400, 441, 484, * 529 *). Даже не зная их всех, я могу найти квадраты от 1 до 75 менее чем за 10 секунд (мыслительный процесс для нахождения 73 в квадрате навскидку: «73 больше 23, чем 50. Что снова возведено в квадрат 23?» 400, 441, 484, 529! 2500 + 2300 + 529 = 5329.Сделанный!")

Дэвид Леви

См. Также

Другой пример использования алгоритма извлечения квадратного корня

Объяснение того, почему работает этот алгоритм извлечения квадратного корня.

Бесплатные рабочие листы для вычисления квадратного корня, включая генератор рабочих листов

Геометрический вид алгоритма извлечения квадратного корня

Квадратный корень методом деления и среднего
Объяснение и пример старинного алгоритма приближения квадратных корней.

Алгоритмы извлечения квадратного корня
Формулы для рекуррентного отношения и итерации Ньютона, которые можно использовать для аппроксимации квадратных корней. Для математически мыслящих.

Кромка
Новый способ получения квадратного корня из специальной группы чисел более простым способом.

Функция SQRT и другие способы

В этом руководстве показано, как вычислить квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень N-й степени для любого значения.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня - очень распространенные операции в математике. Но как получить квадратный корень в Excel? Либо с помощью функции КОРЕНЬ, либо возведением числа в степень 1/2. Следующие примеры показывают полную информацию.

Как извлечь квадратный корень в Excel с помощью функции КОРЕНЬ

Самый простой способ получить квадратный корень в Excel - использовать специально разработанную для этого функцию:

SQRT (номер)

Где число - это номер или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы получить квадратный корень из 225, используйте следующую формулу: = КОРЕНЬ (225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: = КОРЕНЬ (A2)

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на скриншоте выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает # ЧИСЛО! ошибка. Это происходит потому, что квадратного корня из отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел. Почему это? Поскольку нет возможности возвести число в квадрат и получить отрицательный результат.

Если вы хотите извлечь квадратный корень из отрицательного числа , как если бы это было положительное число, оберните исходное число в функцию ABS, которая возвращает абсолютное значение числа, игнорируя знак:

= КОРЕНЬ (АБС (A2))

Как получить квадратный корень в Excel с помощью вычислений

При вычислении вручную квадратный корень записывается с помощью символа корня (√). Хотя в Excel невозможно ввести этот традиционный символ квадратного корня, есть способ найти квадратный корень без какой-либо функции.(1/2), "")

Почему показатель степени 1/2 равен квадратному корню?

Для начала, как мы называем квадратный корень? Это не что иное, как число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5×5 = 25. Это кристально ясно, не так ли?

Ну, умножение 25 ^1/2 на себя также дает 25:

25 ^½ x 25 ^½ = 25 ^{(½ + ½)} = 25 ⁽¹⁾ = 25

Другими словами:

√25 x √25 = 25

А:

25 ^½ x 25 ^½ = 25

Итак, 25 ^½ эквивалентно √25.

Как найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это просто еще один способ выполнить вышеуказанный расчет, то есть возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции Excel POWER следующий:

МОЩНОСТЬ (число, мощность)

Как нетрудно догадаться, чтобы получить квадратный корень, нужно добавить 1/2 к аргументу степени . Например:

= МОЩНОСТЬ (A2, 1/2)

Как показано на скриншоте ниже, все три формулы извлечения квадратного корня дают одинаковый результат, и какую из них использовать, зависит от ваших личных предпочтений:

Как вычислить корень N в Excel

Формула экспоненты, обсуждаемая в нескольких абзацах выше, не ограничивается нахождением только квадратного корня.0,25.

Обратите внимание, что дробных показателей степени всегда следует заключать в круглые скобки , чтобы обеспечить правильный порядок операций в вашей формуле квадратного корня — сначала деление (косая черта (/) — это оператор деления в Excel), а затем повышение до сила.

Таких же результатов можно достичь с помощью функции МОЩНОСТЬ:

• Кубический корень из 64: = МОЩНОСТЬ (64, 1/3)
• 4 ^{-й корень} из 16: = POWER (16, 1/4)
• Корень 5 ^-й числа в ячейке A2: = МОЩНОСТЬ (A2, 1/5)

На реальных листах вы можете вводить корни в отдельные ячейки и ссылаться на эти ячейки в формулах.(1 / B $ 2)

На снимке экрана ниже показаны результаты с округлением до двух знаков после запятой:

Вот как можно вычислить квадратный корень в Excel. Благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Вас также может заинтересовать

Онлайн калькулятор шестого корня — впечатляющий калькулятор шестого корня

Калькулятор шестого корня Онлайн:

воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором шестого корня.

• Корень шестой степени из 2 составляет ± 1,122.
• Корень шестой степени из 64 составляет ± 2.
• Корень шестой степени из 85 составляет ± 2,096.
• Корень шестой степени из 125 составляет ± 2,236.

• Корень шестой из 216 составляет ± 2,449.
• Корень шестой степени 256 составляет ± 2,519.
• Корень шестой степени из 729 равен ± 3.
• Корень шестой степени из 4096 составляет ± 3,999.

Формула калькулятора шестого корня:

a ⁶ = x., ⁶ √x = a

Формула шестого корня

Определение шестого корня:

Определение шестого корня :

В математике шестой корень числа x представляет собой число r , которое при возведении в степень 6 дает x:

r ⁶ = x.

Как вычислить корень шестой степени

Что такое корень шестой числа 64?

Шестой корень из 64 имеет ровно один действительный корень шестой степени и два дополнительных комплексных корня шестой степени.

Корень шестой степени из 64 — это число, которое умножается само на себя 6 раз и дает нам 64.

Разделив 64 на 2, мы получим 32, что равно:

64 = 2 X 32
= 2 X (16 X 2)
= 2 X 2 X (8 X 2)
= 2 X 2 X 2 X (4 X 2)
= 2 X 2 X 2 X 2 X 2 2 х

Корень шестой степени из 64 равен 2.

Что такое корень шестой из 729?

Шестой корень из 729 имеет ровно один действительный корень шестой степени и два дополнительных комплексных корня шестой степени.

Шестой корень из 729 — это число, которое умножается само на себя 6 раз, чтобы получить 729. Сложив цифры 729, мы получаем 7 + 2 + 9 = 18, это среднее значение кратно 9, это говорит нам, что 729 — это кратно 9.

Разделив 729 на 9, мы получим 81, что равно:

729 = 9 X 81 = 9 X 9 X 9, что дает нам:

729 = 3 Х 3 Х 3 Х 3 Х 3 Х 3.

Шестой корень из 729 равен 3.

Что такое корень 6-й степени 4096?

Шестой корень из 4096 имеет ровно один действительный корень шестой степени и два дополнительных комплексных корня шестой степени.

Шестой корень из 4096 — это число, которое умножается само на себя 6 раз и дает 4096.

Разделив 4096 на 4, мы получим 1024, что равно:

4096 = 4 X 1024

= 4 Х (4 Х 256).

= 4 Х 4 Х (4 Х 64).

= 4 X 4 X 4 X (4 X 16).

= 4 X 4 X 4 X 4 X 4 X 4.

Шестой корень из 4096 равен 4, что является полным корнем шестой степени.

Идеальный шестой корень

Таблица шестого корня от 1 до 50:

Таблица шестого корня от 51 до 100:

Подробнее Калькулятор корня

: n -й корень из Википедии