Компоненты уравнений: Правила нахождения компонентов уравнения — Школьные Знания.com

Содержание

Урок 3. решение уравнений с неизвестным уменьшаемым. решение уравнений с неизвестным вычитаемым — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок № 3.Решение уравнений с неизвестным уменьшаемым.

Решение уравнений с неизвестным вычитаемым

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое уравнение?

— Как найти неизвестное уменьшаемое?

— Как найти неизвестное вычитаемое?

Глоссарий по теме:

Уравнение – равенство с неизвестным.

Уменьшаемое – компонент вычитания. Число, из которого производят вычитание.

Вычитаемое – компонент вычитания. Число, с помощью которого вычитают.

Разность – результат вычитания.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

  1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 8-9.
  2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 7.
  3. М. И. Моро, С. И. Волкова. Для тех, кто любит математику 3 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.; Просвещение, 2018. – с. 4-6.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим группы уравнений. Чем они отличаются?

В первой группе записана сумма чисел. Неизвестный компонент в уравнениях – слагаемое.

Вспомним: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. В первом уравнение х = 29; во втором – х = 23.

Во второй группе уравнений записана разность чисел. Компоненты вычитания: уменьшаемое, вычитаемое. Результат вычитания – разность. Неизвестным в уравнениях может быть уменьшаемое или вычитаемое.

Рассмотрим рисунок и составим равенства

8 — 6 = 2 2 + 6 = 8 8 — 2 = 6

Вывод: если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Это правило позволит решать уравнения, в которых неизвестное число – уменьшаемое.

Вывод: если из уменьшаемого вычесть разность, то получим вычитаемое

.

Это правило позволит решать уравнения, в которых неизвестное число – вычитаемое.

При решении любого уравнения обязательно пользуемся алгоритмом решения уравнения.

Алгоритм:

  1. Прочитать уравнение и определить компоненты действий;
  2. Определить неизвестный компонент;
  3. Вспомнить правило для его нахождения;
  4. Применить это правило;
  5. Выполнить вычисления;
  6. Записать ответ;
  7. Выполнить проверку правильности решения.

Применим знания в решении уравнений.

Х – 36 = 40

В уравнение неизвестно уменьшаемое. Вспоминаем правило: чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Применяем правило и вычисляем.

Х = 40 + 36

Х = 76

Необходимо выполнить проверку.

76 – 36 = 40

Производим вычисления в левой части равенства.

40 = 40

Уравнение решено верно.

Решим следующее уравнение.

82 – х = 5

В уравнение неизвестно вычитаемое. Вспоминаем правило для его нахождения: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Применяем правило и производим вычисление.

Х = 82 – 5

Х = 77

Выполняем проверку.

82 – 77 = 5

5 = 5

Выполним тренировочные задания.

1. Выберите значения х, которые получатся при решении уравнения:

Х — 28 = 40

Х = 16;

Х = 68;

Х = 12.

Правильный ответ:

Х = 68.

2. Образуйте пары: компоненты вычитания – их названия. Соедините линиями.

Правильный ответ:

Памятка для обучающегося «Правила нахождения компонентов при решении уравнений», 5 класс

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ

Компоненты при сложении:

I слагаемое, II слагаемое.

Результат сложения: Сумма.

I сл + II сл = Сум

I сл = Сум – II сл

II сл = Сум – I сл

Компоненты при вычитании:

Уменьшаемое, вычитаемое.

Результат вычитания: Разность.

Ум – Выч = Разн

Ум = Разн + Вычит

Вычит = Ум – Разн

Компоненты при сложении:

I слагаемое, II слагаемое.

Результат сложения: Сумма.

I сл + II сл = Сум

I сл = Сум – II сл

II сл = Сум – I сл

Компоненты при вычитании:

Уменьшаемое, вычитаемое.

Результат вычитания: Разность.

Ум – Выч = Разн

Ум = Разн + Вычит

Вычит = Ум – Разн

Сложение показывает сумму всех слагаемых

Вычитание показывает на сколько уменьшаемое больше вычитаемого

Сложение показывает сумму всех слагаемых

Вычитание показывает на сколько уменьшаемое больше вычитаемого

Компоненты при умножении:

I множитель, II множитель.

Результат умножения: Произведение.

I мн · II мн = Произвед

I мн = Произвед : II мн

II мн = Произвед : I мн

Компоненты при делении:

Делимое, делитель

Результат деления: Частное .

Делим : делит = Частное

Делим = Част · делит

делит = Делим : Част

Компоненты при умножении:

I множитель, II множитель.

Результат умножения: Произведение.

I мн · II мн = Произвед

I мн = Произвед : II мн

II мн = Произвед : I мн

Компоненты при делении:

Делимое, делитель

Результат деления: Частное .

Делим : делит = Частное

Делим = Част · делит

делит = Делим : Част

Умножение показывает сумму нескольких одинаковых слагаемых

Деление показывает во сколько раз делимое больше делителя

Умножение показывает сумму нескольких одинаковых слагаемых

Деление показывает во сколько раз делимое больше делителя

Компоненты при сложении:

I слагаемое, II слагаемое.

Результат сложения: Сумма.

I сл + II сл = Сум

I сл = Сум – II сл

II сл = Сум – I сл

Компоненты при вычитании:

Уменьшаемое, вычитаемое.

Результат вычитания: Разность.

Ум – Выч = Разн

Ум = Разн + Вычит

Вычит = Ум – Разн

Компоненты при сложении:

I слагаемое, II слагаемое.

Результат сложения: Сумма.

I сл + II сл = Сум

I сл = Сум – II сл

II сл = Сум – I сл

Компоненты при вычитании:

Уменьшаемое, вычитаемое.

Результат вычитания: Разность.

Ум – Выч = Разн

Ум = Разн + Вычит

Вычит = Ум – Разн

Сложение показывает сумму всех слагаемых

Вычитание показывает на сколько уменьшаемое больше вычитаемого

Сложение показывает сумму всех слагаемых

Вычитание показывает на сколько уменьшаемое больше вычитаемого

Компоненты при умножении:

I множитель, II множитель.

Результат умножения: Произведение.

I мн · II мн = Произвед

I мн = Произвед : II мн

II мн = Произвед : I мн

Компоненты при делении:

Делимое, делитель

Результат деления: Частное .

Делим : делит = Частное

Делим = Част · делит

делит = Делим : Част

Компоненты при умножении:

I множитель, II множитель.

Результат умножения: Произведение.

I мн · II мн = Произвед

I мн = Произвед : II мн

II мн = Произвед : I мн

Компоненты при делении:

Делимое, делитель

Результат деления: Частное .

Делим : делит = Частное

Делим = Част · делит

делит = Делим : Част

Умножение показывает сумму нескольких одинаковых слагаемых

Деление показывает во сколько раз делимое больше делителя

Умножение показывает сумму нескольких одинаковых слагаемых

Деление показывает во сколько раз делимое больше делителя

Решение уравнений в начальной школе

Успешное усвоение правил решения уравнений в начальной школе зависит от того, насколько прочны знания ребенка о компонентах арифметических действий.

Когда мы знакомимся, например, со сложением, обязательно следует объяснить способы нахождения неизвестного компонента (одного из слагаемых).

 

     Развитие умения находить неизвестные           компоненты

Для тренировки этого навыка предлагаются выражения с одним отсутствующим слагаемым, вместо
которого используются любые графические знаки ( кружки, квадратики), многоточие или вопросительный знак.

Например, ? + 4 = 7.        Как найти неизвестное слагаемое?

По правилам, для этого из суммы следует вычесть известное слагаемое.     7 — 4 = 3.         ? = 3

Проверку сложения выполняем вычитанием по этому же правилу::

8 + 2 = 10           Проверка     10 — 8 = 2          10 — 2 = 8

При изучении вычитания нужно обратить внимание на первый компонент выражения — уменьшаемое. Это самое большое число, поэтому, чтобы его найти, следует сложить известные компоненты —
вычитаемое + разность

.

Пример     ? — 6 = 2      Находим уменьшаемое 6 + 2 = 8.      Проверяем правильность нахождения неизвестного компонента. Вместо ?  вставляем  найденное число 8.    8 — 6 = 2.      Уменьшаемое найдено правильно.

Но при нахождении неизвестного второго компонента вычитания (вычитаемого) мы не можем применить сложение известных компонентов. Тогда сумма будет больше уменьшаемого, что недопустимо.

Поэтому, чтобы найти неизвестное вычитаемое, из самого большого числа — уменьшаемого — мы вычитаем разность:

10 — ? = 6          ? = 10 — 6 = 4           ? = 4          Проверяем правильность нахождения вычитаемого 10 — 4 = 6 Вычитаемое найдено верно.

После изучения умножения и деления таким же способом мы учимся находить неизвестные компоненты этих действий.

Компоненты умножения:  множитель х множитель = произведение.   Если неизвестен один из множителей, мы находим его, разделив произведение на известный множитель.

? х 4 = 8     8 : 4 = 2     Неизвестный множитель = 2 . Проверяем 2 х 4 = 8.

2 х ? = 8          8 : 2 = 4        Неизвестный множитель  = 4. Проверяем 2 х 4 = 8. Неизвестные множители найдены верно.

При делении, как и при вычитании, первый компонент ( делимое) — самое большое число. Поэтому, если неизвестен именно он, то делимое находим, перемножив делитель (второй компонент
деления) на частное (результат деления).

? : 3 = 2            3 х 2 = 6

        Уменьшаемое = 6. Проверка:    6 : 3 = 2. Уменьшаемое найдено верно.

Но если неизвестен второй компонент деления ( делитель), то для его нахождения применять умножение нельзя.

Для того, чтобы найти неизвестный делитель, следует первый компонент деления
(делимое) разделить на результат (частное)

6 : ? = 2     Находим делитель 6 : 2 = 3.       Проверяем 6 : 2 = 3.  Делитель найден верно.

       Уравнения и их решение

В математике уравнениями называются выражения, в которых неизвестные компоненты обозначены  латинской буквой:

 x + 5 = 10,     8 — y = 5,         a x 3 = 9,          8 : b = 2

Следовательно, выражения  3 + 5 = 8 ,      10 — 6 < 5   мы не можем назвать уравнениями.

 

Фактически, нахождение неизвестного компонента — это и есть решение уравнения.

Решая уравнения, мы находим числовое значение буквы, говоря математическим языком, находим корень уравнения. То есть, «найти корень уравнения» означает «решить  уравнение».

 

    Правила оформления решения уравнений

Следует познакомить детей и с правилами оформления работы с уравнениями. Обычно решение уравнения записывается следующим образом (с обязательной проверкой):

         х : 6 = 3

         х = 6 х 3

         х = 18

         ——————

         18 : 6 = 3

 

Таким образом, мы убедились в необходимости с первого класса знакомить детей с компонентами арифметических действий и ,если один из них неизвестен,  учить их находить его. Тогда решение уравнений не будет представлять для ребенка никаких трудностей.

Это способ решения уравнений на основе взаимодействия компонентов арифметических действий.

Еще один способ решения уравнений — способ подбора — рассматривается в данном видео

 

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Предварительные навыки

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.


Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2


Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6


Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство  в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3


Пример 4. Рассмотрим равенство 

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3


Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8


Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8


Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2


Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства  позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .


Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве  требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 15


Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 5 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  • Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  • Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  • Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  • Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма


Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность


Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение


Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение 

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение  и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 3. Решить уравнение 3+ 9+ 16= 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2


Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3+ 9+ 16= 56, а затем в уравнение 28= 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28= 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3+ 9+ 16= 56 и 28= 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28= 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.


Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5= 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 2


Пример 2. Решить уравнение 4(+ 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x, а в правой части число 4

 

 

Получили уравнение 4= 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению 4(+ 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

 

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(+ 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4= 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(+ 3) = 16 так же равен 1


Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2= 9 выразим неизвестное слагаемое x

 

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение  мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 4,5


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3= 9x и 3x − 9= −12. В этот раз в уравнении 12 + 3= 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение 

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:


Пример 2. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5. Значит эти уравнения равносильны.


Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 4. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда = 4.

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 5. Решить уравнение 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2. Значит уравнения 15+ 7+ 7 = 35x − 20+ 21 и 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7= 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.


Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение  на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.

или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще

Итак, корень уравнения  равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения  на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5

Значит уравнения  и  равносильны.


Пример 2. Решить уравнение 

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения  на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения  на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.


Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: 


Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7


Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении  мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении  обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет  равна 5

Уравнения вида  мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида  удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.


Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0


Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение  и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:


Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x


Пример 2. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x


Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть


Пример 2. Решить уравнение 

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.


Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения  определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Умнóжим обе части уравнения  на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения  определить время. Для этого нужно выразить переменную t.

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50


Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.


Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(+ 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(+ 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:


Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)


Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2+ 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2= 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2= 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2= 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2= 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax b примет вид 0= 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0= 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение  примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7− 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:

Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:

Задание 3. Решите уравнение:

Задание 4. Решите уравнение:

Задание 5. Решите уравнение:

Задание 6. Решите уравнение:

Задание 7. Решите уравнение:

Задание 8. Решите уравнение:

Задание 9. Решите уравнение:

Задание 10. Решите уравнение:

Задание 11. Решите уравнение:

Задание 12. Решите уравнение:

Задание 13. Решите уравнение:

Задание 14. Решите уравнение:

Задание 15. Решите уравнение:

Задание 16. Решите уравнение:

Задание 17. Решите уравнение:

Задание 18. Решите уравнение:

Задание 19. Решите уравнение:

Задание 20. Решите уравнение:

Задание 21. Решите уравнение:

Задание 22. Решите уравнение:

Задание 23. Решите уравнение:

Задание 24. Решите уравнение:

Задание 25. Решите уравнение:

Задание 26. Решите уравнение:

Задание 27. Решите уравнение:

Задание 28. Решите уравнение:

Задание 29. Решите уравнение:

Задание 30. Решите уравнение:

Задание 31. Решите уравнение:

Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:

Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Уравнение компонента — Справочник химика 21

    В общем случае полюсное уравнение компонента системы с сосредоточенными параметрами имеет следующий вид  [c.137]

    Полюсные уравнения компонентов ХТС для исследования гидродинамических процессов, связанные с измерением последовательной переменной — потока вещества Q (1) и параллельной переменной — давления Р 1), будут  [c.137]

    Полюсные уравнения компонентов ХТС при исследовании тепловых процессов, включающие последовательную переменную — тепло- [c.138]


    Полюсные уравнения компонентов реактора в матричной форме будут  [c.142]

    Сигнальный граф тепловых процессов, построенный непосредственно по топологии структурного графа реактора (см. рис. 1У-22, б), изображен на рис. У-20, а. Сигнальный граф, показанный на рис. У-20, б, строят с учетом полюсных уравнений компонентов (1У,16) и соотношений, полученных из структурного графа Тз ( ) = Т о ( ) — Тм ( ), где Гд (з) — перепад температур. Исходя из топологии сигнального графа (см. рис. У-20, б) и применяя универсаль- [c.248]

    Как видно из приведенного выше уравнения, компоненты, для которых в данных условиях Х>1, преимущественно остаются в газе, а те компоненты, для которых 7Стемпература процесса, тем меньше может быть давление, необходимое для ожижения заданной части исходного газа. Четкость разделения компонентов также улучшается со снижением температуры процесса. Обычно для выделения газового бензина искусственный холод не применяется, и температура охлажденного газа определяется температурой охлаждающей технической воды чаще всего процесс ведут при 25—30 С. Давление выбирается в зависимости от конкретных условий процесса разделения, пределы применяемых давлений довольно широкие. [c.34]

    II балансовые уравнения компонентов раствора [c.293]

    Может показаться, что в правой части уравнения компонент 1 играет особую роль. Однако легко показать, что это не так и что величина ф не зависит от того, мольные доли каких веществ выбраны в качестве независимых переменных [7], т.е. если правую часть уравнения (11.18) обозначить через Ф1,то будем иметь [c.277]

    Техника эксперимента определяется в некоторой степени числом и природой фигурирующих в стехиометрическом уравнении компонентов. [c.195]

    В этих уравнениях компоненты скорости 17 , Ну, и а также напряжение сил давления р являются функциями только координат точек пространства, а от времени не зависят. [c.48]

    Время удерживания и коэффициенты емкости. Переведем вышеизложенное на язык уравнений. Компонент i распределяется между двумя фазами таким образом, что его содержание в подвижной фазе (т) составляет qi,m, а в неподвижной фазе (s)—qi,s. Молекулы растворенного вещества, находящиеся в подвижной фазе, перемещаются вдоль колонки с той же скоростью (и), что и подвижная фаза. Поскольку число таких молекул составляет лишь определенную долю от их общего числа, средняя скорость всех молекул сорбата описывается уравнением [c.10]

    Компонентами называются химически разнородные независимые составные части системы, минимум которых дает возможность выразить состав каждой фазы химическим уравнением. Компонентами в солевых системах принимаются вода И соли, не связанные между собой стехиометрическим уравнением если такое уравнение, устанавливающее связь между составными частями системы, имеется, тогда число компонентов уменьшается на единицу. [c.51]


    В этих уравнениях компоненты напряжений заменены соответствующими значениями градиентов скорости, приведенными в табл. 2-3. [c.228]

    Появление в уравнении компоненты скорости жидкости о обусловлено циркуляцией жидкости. Следовательно [c.257]

    Для каждого компонента получим следующие уравнения Компонент хц [c.243]

    Уравнение энергии для третьего случая и уравнение диффузии при х,- = О записываются аналогично. Входящие в оба уравнения компоненты скорости Уд. и Vy описываются одними и теми же функциями. Если граничные условия для температуры и концентрации подобны, то будут подобными и рещения двух уравнений. Это положение лежит в основе метода аналогии процессов тепло- и массообмена. [c.390]

    В этих уравнениях компоненты теплового поля Нг выражаются в виде [c.127]

    Растворитель может поступать на ступень п либо в состоянии насыщения оборотным рафинатом, либо недонасыщенным. В первом случае точка +1 лежит на кривой равновесия, во втором—между ней и точкой С5. Во втором случае в уравнении (2-133) изменится второе отношение отрезков в правой части, а с ним и количеств возвращаемого рафината поступающего в аппарат с мешалкойо При состоянии насыщения количество возвращаемого рафината-может увеличиться только в случае увеличения расхода растворителя. В Ьтом случае изменению подвергается отрезок из-за передвижения рабочего полюса При росте расхода растворителя и увеличении возврата рафината рабочий полюс передвигается в направлении точки Сз- Координата х у1. из уравнения (2-138) вычисляется по уравнению (2-106) и основанному на нем балансовому уравнению компонента А  [c.161]

    Эти четыре уравнения дают замкнутое описание процессов переноса в растворах электролитов, и поэтому имеет смысл еще раз сказать о физическом содержании каждого из них. Согласно первому уравнению, компоненты в растворе могут двигаться за счет миграции, диффуз11и и конвекции. Второе уравнение просто отражает тот факт, что электрический ток обусловлен движением заряженных компонентов. Третье уравнение дает условие материального баланса, а четвертое — условие электронейтральности. Хотя некоторые детали описания могут изменяться, любая теория растворов электролитов должна рассматривать эти физические явления. [c.247]

    Исключая из данного уравнения компоненты, обусловливающие равновесие реакции автопротолиза, получим равновесие, называемое вторичной реакцией ионной самодиссоциации  [c.62]

    Концентрации всех входящих в данное уравнение компонентов выражены в грамм-молях. Для перевода pH в [Н+] удобно пользоваться данными табл. 38. Величина константы К в зависимости от температуры данной воды (in situ) находится по табл. 39. [c.215]


Использование интерфейса уравнений — 2019

  • Четыре вида уравнений

    Диалоговое окно предлагает четыре вида. Каждый вид отображает различные комбинации и последовательности уравнений, глобальных переменных и размеров, которые призваны облегчить выполнение таких задач, как поиск определенного уравнения, просмотр всех размеров, использованных в детали или размере и изменение порядка, в котором эти уравнения решаются.

  • Включение и выключение уравнений во всех конфигурациях

    Уравнения можно отключить и включить в разделе Вид уравнений, Вид уравнений эскиза или Упорядоченный вид в диалоговом окне Уравнения, глобальные переменные и размеры.

  • Сортировка и фильтрация уравнений

    Возможности фильтрации и сортировки облегчают поиск уравнений и глобальных переменных, а также отображают их взаимосвязи. Сортировка и фильтрация работает во всех видах диалогового окна Уравнения.

  • Выбор нескольких строк

    В диалоговом окне Уравнения можно выбрать несколько строк, чтобы применить ко всем уравнениям одно и то же действие, например для погашения, отмены погашения или удаления нескольких уравнений сразу.

  • Отмена и повтор

    В диалоговом окне Уравнения можно отменять и повторять действия с помощью нажатия на кнопки Отменить и Повторить, расположенные в верхней части окна.

  • Опережающий ввод

    При вводе уравнения в диалоговом окне Уравнения можно ввести один или несколько символов и функция опережающего ввода отобразит выпадающий список со всеми глобальными переменными, математическими функциями и свойствами файла, которые начинаются с этих символов. Можно выбрать требуемый вариант из списка, а не полностью вводить все символы.

  • Инкрементные значения с поворотными стрелками

    Поворотные стрелки рядом с полем числового ввода позволяют быстро увеличивать или уменьшать значения в уравнениях.

  • Перемещение по ячейкам таблиц

    В диалоговом окне Уравнения можно перемещаться по ячейкам, строкам и столбцам с помощью следующих клавиш:

  • Проверка синтаксиса с цветовыми обозначениями

    Диалоговое окно Уравнения включает функцию проверки синтаксиса для предотвращения ошибок и экономии времени, затрачиваемого на их поиск и исправления.

  • Параметр «Автоматический порядок решения»

    Для автоматического определения последовательности решения уравнений можно использовать параметр Автоматический порядок решения, и программа сама его определит с точными результатами.

  • Предупреждения о циклических ссылках

    SOLIDWORKS обнаруживает циклические ссылки, выделяет уравнения красным цветом и выводит предупреждение.

  • Связь с текстовым файлом

    В диалоговом окне Уравнения можно создать ссылку на внешний текстовый файл, в котором содержатся уравнения и глобальные переменные. Эту возможность можно использовать вместо импорта или экспорта функций, если необходимо создать постоянную ссылку. Однако эту возможность нельзя использовать для единовременного импорта или экспорта.

  • Погашение элементов

    Элементы можно гасить в окнах Вид уравнений и Вид размеров, чтобы помочь с решением уравнений.

  • Компоненты с несколькими экземплярами

    В диалоговом окне Уравнения отображаются компоненты, которые задаются уникальными номерами экземпляров. Уравнения можно применять к определенным экземплярам. Это гарантирует отсутствие неопределенности при указании конкретного экземпляра в каждом уравнении.

  • Инструмент «Измерить»

    Можно использовать инструмент Измерить…, чтобы создать управляемый размер или справочный размер, который основан на измерении детали или сборки.

  • Уравнения в сборках — 2015

    Улучшена производительность при создании ссылок на уравнения между компонентами сборки.

    Синтаксис уравнений для ссылок между компонентами сборки упрощен и согласован. Этот синтаксис загружается автоматически при выборе размерностей, функций и глобальных переменных в дереве конструирования FeatureManager, графической области, свойствах файла и в диалоговом окне Уравнения.

    Существующие уравнения, которые не удовлетворяют этому синтаксису, помечены как ошибки, так как создают несогласованные результаты. Для исправления синтаксиса эти уравнения необходимо отредактировать.

    В следующем примере A1 представляет собой узел сборки A2 с деталями P1 и P2:

    GV1 и GV2 — глобальные переменные документа. Используйте следующий синтаксис:

    Измените целевую ссылку на Синтаксис
    A2 A2 «GV1» = «GV2»
    A2 A1 “GV1” = “[email protected]<1>.Assembly
    A2 P1 “GV1” = “[email protected]<1>[email protected]<1>.Assembly
    A1 A2 “GV1” = “[email protected]
    A1 A1 «GV1» = «GV2»
    A1 P1 “GV1” = “[email protected]<1>.Part”
    P1 A2 “GV1” = “[email protected]
    P1 A1 “GV1” = “[email protected]<1>.Assembly
    P1 P1 «GV1» = «GV2»
    P1 P2 “GV1” = “[email protected]<1>[email protected]<1>.Assembly”

    Работа с уравнениями: компоненты уравнения

    Промежуточные переменные

    Мотивация

    В процедурном языке программирования сложные вычисления можно разбить на несколько этапов, каждый из которых выполняется отдельной инструкцией. Это может быть сделано, когда промежуточный результат впоследствии требуется более одного раза, чтобы сохранить его вычисление каждый раз, или просто для того, чтобы сделать программу более читаемой.

    В сравнении, аналогичный результат может быть легко достигнут, имея цепочку переменных, связанных влияниями, где каждая, кроме первой и последней, представляет собой промежуточное значение.Однако это может сделать диаграмму более запутанной, чем нужно.

    В качестве альтернативы вы можете определить и затем использовать промежуточные результаты в уравнении. Им присваивается один знак ‘=’, и присвоение отделяется от остальной части уравнения запятой, например:

    a = f (input1, …), b = g (a, input1 …), результат = h (a, b, input1 …)

    Присваивания локальной переменной можно выполнить перед выражением, отделив его от выражения запятой. Выражение, возвращающее значение элемента, должно стоять в конце.q) * (Tmax-Topt))

    еще

    0

    На это выражение влияют четыре параметра: T , Topt , Tmin и Tmax , через стрелки влияния обычным способом. Присвоение значения q является чисто местным делом.

    Обратите внимание, что для присвоения локальной переменной используется одинарный знак =. Это не следует путать с двойным == теста на равенство.

    В: Содержание >> Работа с уравнениями >> Компоненты уравнения

    Работа с уравнениями: компоненты уравнения

    Выражения могут состоять из одного или нескольких следующих компонентов: числовых констант, символьных имен, математических операторов, функций и условных выражений.-11. См. Также раздел «Массивы и списки» для получения подробной информации о том, как вводить массивы числовых констант.

    Символические названия

    Символьное имя представляет собой значение одной из переменных, отсеков или потоков, которые влияют на рассматриваемый элемент. Каждый раз, когда вычисляется значение выражения, используется текущее значение влияющего элемента.

    Единственными символическими именами для модельных величин, которые можно ввести в выражение, являются те, которые влияют на рассматриваемый элемент.Они перечислены при нажатии кнопки на панели уравнений и в столбце «Параметр» диалогового окна уравнения. Они должны быть введены точно так, как показано, с использованием той же пунктуации (особенно обратите внимание на символы подчеркивания _) и в том же регистре. Самый простой способ сделать это — дважды щелкнуть имя в столбце «Параметр».

    Обратите внимание, что символическое имя, введенное в выражение, является локальным именем. Оно может отличаться от имени, отображаемого на диаграмме модели, чтобы облегчить чтение выражения или избежать использования некоторых недопустимых символов.

    Математические операторы

    Можно использовать следующие математические операторы:

    +

    например 15 + 7 (оценивается до 22)

    например 15-7 (оценивается до 8)

    *

    например 15 * 7 (оценивается до 105)

    /

    e.2 (оценивается в 225)

    Функции

    Simile предоставляет большое количество функций, которые вы можете использовать в уже встроенных выражениях, а также возможность расширения этого списка.

    Условные выражения

    Уравнения могут включать условные выражения. Они позволяют составить сложное выражение из ряда подвыражений, при этом условные элементы используются для выбора между тем или иным выражением. Для построения условных выражений доступны стандартные логические операторы.

    Промежуточные переменные

    Диалоговое окно уравнения можно использовать для ввода одного или нескольких назначений перед выражением, возвращающим значение элемента. Эти промежуточные переменные можно использовать для упрощения сложных выражений.

    In: Contents >> Работа с уравнениями

    Математика — Элементы уравнения

    Уравнение — это математическое выражение со знаком равенства.

    Другие возможные элементы уравнения:

    • номеров
    • переменных
    • бинарные операторы (+, -, * или ÷)
    • унарные операторы (+ или -)
    • кронштейны
    • степеней (x y )
    • функций (sin (), log () и т. Д.)

    Они объясняются ниже:

    Номера

    Существуют разные типы номеров, например:

    • Z — Целые числа — целые числа: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … положительные, нулевые и отрицательные.
    • — Настоящее числа — числа, которые являются непрерывными, например, когда мы представляем точки вдоль линии — на этом сайте я иногда буду использовать термин «скалярный» для обозначения «действительных» чисел, хотя строго этот термин следует использовать при масштабировании вектора — в компьютерных программах действительные числа имеют конечную длину и могут иметь десятичную точку и / или показатель степени. Это позволяет нам аппроксимировать большинство действительных чисел, но это только приближение.
    • Q — Рациональный числа — целые числа и дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами.
    • Радикальные целые числа — целые числа плюс любая комбинация сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.
    • Q alg — Корень полинома Z — Комплексное число состоит не только из радикальных целых чисел, хотя оно закрывается суммой, разностью, произведением, частным и корнем n -го .
    • Числа по модулю n
    • C — Комплексные числа — числа с действительной и мнимой частями.
    • H — Кватернион — Комплексное число, элементы которого являются комплексными числами.
    • O — Октонион — Кватернион, элементами которого являются комплексные числа.
    • Векторы — одномерные массивы чисел.
    • Матрицы — двумерные массивы чисел.

    и эти номера можно закодировать по-разному:

    • двоичный
    • восьмеричное
    • десятичное
    • шестнадцатеричное

    Если не указано иное, мы обычно предполагаем, что числа являются десятичными.

    Переменные

    Иногда уравнение содержит число, но мы еще не знаем его значения, или мы можем применить уравнение к диапазону значений.

    Пример первого — использование x как неизвестного, например

    х + 1 = 3

    Примером второго может быть уравнение прямой:

    у = 2 * х + 3

    Обычно мы используем:

    x, y, z для неизвестных.

    a, b, c для значений, которые еще не указаны.

    Бинарные операторы

    Операторы:

    • + доб
    • — вычесть
    • * умножить (было x, но для компьютеров необходимо изменить, чтобы отличать его от 24-й буквы алфавита)
    • ÷ или / делить

    возьмите два числа по бокам и замените их одним числом.

    Дополнение

    На следующем графике высота дана как a + b, это дает плоскую плоскость под 45 ° как к a, так и к b:

    как был создан этот график

    Конечно, плоскость бесконечна во всех направлениях, но здесь мы показали только часть плоскости.

    Умножение

    На следующем графике высота задается как a * b, это дает поверхность, состоящую из прямых линий в направлениях a или b (билинейные). Если мы возьмем направление под 45 ° как к a, так и к b, то мы получим параболу.

    как был создан этот график

    Унарные операторы

    Операторы:

    относятся к номеру справа. ‘-‘ инвертирует число (вычитает из 0) ‘+’ говорит, что число справа положительное (по умолчанию).

    Кронштейны

    Когда мы смешиваем + и *, то ответ, который мы получаем, зависит от порядка, в котором мы их применяем.

    Например

    2 + 1 * 3

    Чтобы прояснить это, мы можем заключить в скобки операцию, которая будет применяться первой:

    (2 + 1) * 3 = 9

    2 + (1 * 3) = 5

    Если мы не укажем, что имеет приоритет, используя скобки, то по умолчанию * и ÷ имеют приоритет над + и -. Итак,

    2 + 1 * 3 = 5

    Функции

    Функция берет одно число и использует его для генерации другого числа.Например, функция sin () принимает угол в качестве входных данных и возвращает соотношение противоположности и гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

    Алгебра — Определения

    Это может помочь вам сначала прочитать Введение в алгебру

    Что такое уравнение

    Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

    .

    Это уравнение говорит: то, что слева (x + 2), равно тому, что справа (6)

    Таким образом, уравнение похоже на оператор «, это равно , что »

    Части уравнения

    Так люди могут говорить об уравнениях, существует наименований для разных частей (лучше, чем сказать «вот эта штука»!)

    Здесь мы есть уравнение, в котором 4x — 7 равно 5, и все его части:

    A Переменная — это символ числа, которое мы еще не знаем.Обычно это буква типа x или y.

    Число называется константой .

    Коэффициент — это число, используемое для умножения переменной ( 4x означает 4 умноженное на x , поэтому 4 — коэффициент)

    Переменные сами по себе (без номера рядом с ними) фактически имеют коэффициент 1 ( x на самом деле 1x )

    Иногда коэффициент представляет собой букву типа a или b вместо числа:

    Пример: ax

    2 + bx + c
    • x — переменная
    • a и b — коэффициенты
    • c — постоянная

    Оператор — это символ (например, +, × и т. Д.), Который показывает операцию (т. Е. Мы хотим что-то сделать со значениями).

    A Член — это либо одно число, либо переменная, либо числа и переменные, умноженные вместе.

    Выражение — это группа терминов (термины разделены знаками + или -)

    Итак, теперь мы можем сказать такие вещи, как «это выражение имеет только два члена», или «второй член является константой», или даже «вы уверены, что коэффициент действительно равен 4?»

    Экспоненты

    Показатель степени (например, 2 в x 2 ) говорит , сколько раз использовать значение при умножении.

    Примеры:

    8 2 = 8 × 8 = 64

    y 3 = y × y × y

    y 2 z = y × y × z

    Показатели упрощают запись и использование множества умножений

    Пример: y 4 z 2 проще, чем y × y × y × y × z × z

    Полином

    Пример полинома: 3x 2 + x — 2

    Многочлен может иметь констант , переменных и показателей 0,1,2,3 ,…

    Но в нем никогда не бывает деления на переменную.

    Моном, бином, трехчлен

    Существуют специальные названия многочленов с 1, 2 или 3 членами:

    Понятия «Нравится»

    похожих терминов — это терминов , переменные которых (и их показатели, такие как 2 в x 2 ) одинаковы.

    Другими словами, термины, которые «похожи» друг на друга. (Примечание: коэффициенты могут быть разными)

    Пример:

    Все ли похожи на термины , потому что все переменные xy 2

    Введение в компоненты формулы

    Определение

    Формулы — это способ показать информацию, которая не извлекается существующими объектами в юниверсе.Формула — это определение того, как получить эту дополнительную информацию. Формулы выглядят и действуют как уравнения, хотя по своей природе они не обязательно являются математическими.

    Формулы могут иметь очень разнообразное содержание в зависимости от потребности. Тем не менее, формулы состоят только из нескольких разных типов вещей.

    Фомулы всегда начинаются со знака =. После этого знака равенства формулы могут содержать любое сочетание следующего:

    • Текст
    • Операторы
    • Объектов
    • Функции

    Вам необходимо понимать эти компоненты, чтобы создавать в InfoView нечто большее, чем простейшие переменные.

    Видео

    Компоненты формулы

    Ведущий =

    Формулы всегда начинаются со знака равенства. Если вы попытаетесь сохранить формулу без нее, система либо автоматически применит ее, либо выдаст вам сообщение об ошибке.

    Текст

    Формулы могут содержать простой текст. Весь простой текст должен быть заключен в двойные кавычки.

    Пример:

    = «Это моя первая переменная» покажет:

    Это моя первая переменная

    Операторы

    Операторы — это команды и знаки препинания, объединяющие все остальное содержимое.Они переходят между текстом, объектами и функциями, чтобы указать формуле, что делать, когда присутствует более одного объекта.

    Пример: оператор «+»

    Знак плюс можно использовать для склеивания двух предметов.

    = «Это» + «моя вторая переменная» покажет:

    Это моя вторая переменная

    Обратите внимание, как мы соединили два отдельных фрагмента текста вместе со знаком плюс. Мы не добавили лишний пробел после «is» или перед «my», что привело к слиянию двух слов.Знак плюс становится особенно сильным в сочетании с объектами и функциями.

    Объекты

    Объекты — это поля, которые есть в вашем отчете. Это тот же список, что и на палитре данных «Доступные объекты». Все объекты появятся в вашей формуле с именем объекта между двумя угловыми скобками [].

    Объекты можно добавить в отчет с помощью списка объектов в окне редактора формул. Если вы дважды щелкните объект, он появится в вашей формуле, где ваш курсор уже включает [].

    Пример: объекты плюс другие объекты

    При наложении между двумя объектами знак «плюс» склеивает содержимое двух полей в одно поле для всех значений.

    = [Код отдела D] + «» + [Название отдела D] покажет:

    например Американские исследования AMST

    Примечание. Две кавычки в середине переменной заключают один пробел для разделения содержимого двух полей.

    Функции

    Функции выполняют задачу с введенными в них данными, обычно производя какие-либо данные или выходные данные.Они придают формулам максимальную сложность и гибкость. Каждая функция будет иметь различный эффект в зависимости от того, на что она была запрограммирована. Функции можно комбинировать с любым количеством объектов, текста и операторов, в зависимости от необходимости.

    Пример: Count ()

    Функция Count () является примером функции, для которой требуется объект. В сочетании с объектом функция Count () будет подсчитывать количество строк в этом поле.

    = Счетчик ([Название подразделения DV]) покажет:

    7

    Части выражения

    Алгебраические выражения — это комбинации переменные , числа и хотя бы одну арифметическую операцию.

    Например, 2 Икс + 4 у — 9 является алгебраическим выражением.

    Срок: Каждое выражение состоит из терминов. Термин может быть числом со знаком, переменной или константой, умноженной на переменную или переменные.

    Фактор: То, что умножается на другое.Фактор может быть числом, переменной, термином или более длинным выражением. Например, выражение 7 Икс ( у + 3 ) имеет три фактора: 7 , Икс , а также ( у + 3 ) .

    Коэффициент: Числовой коэффициент выражения умножения, содержащего переменную. Рассмотрим выражение на рисунке выше, 2 Икс + 4 у — 9 .В первом семестре 2 Икс , коэффициент равен 2 : во втором семестре, 4 у , коэффициент равен 4 .

    Постоянный: Число, значение которого не может измениться. В выражении 2 Икс + 4 у — 9 , термин 9 является константой.

    Как условия: Термины, содержащие такие же переменные, как 2 м , 6 м или же 3 Икс у а также 7 Икс у .Если в выражении есть несколько постоянных членов, они также похожи на термины.

    Выражение

    Словесные фразы

    п + 5

    Сумма числа и 5

    м — 7

    Разница количества и 7

    6 Икс

    Продукт 6 и ряд

    у ÷ 9

    Частное числа и 9

    Пример:

    Определите термины, такие как термины, коэффициенты и константы в выражении.

    9 м — 5 п + 2 + м — 7

    Во-первых, мы можем переписать вычитания как добавления.

    9 м — 5 п + 2 + м — 7 знак равно 9 м + ( — 5 п ) + 2 + м + ( — 7 )

    Итак термины находятся 9 м , ( — 5 п ) , м , 2 , а также ( — 7 ) .

    Как условия — это термины, содержащие одинаковые переменные.

    9 м а также 9 м пара как условия . Постоянные условия 2 а также — 7 также похожи на термины.

    Коэффициенты — числовые части термина, содержащего переменную.

    Итак, вот коэффициенты находятся 9 , ( — 5 ) , а также 1 . ( 1 коэффициент при члене м .)

    В постоянный термины — это термины без переменных, в данном случае 2 а также — 7 .

    Алгебраические выражения должны быть написаны и интерпретированы осторожно.Алгебраическое выражение 5 ( Икс + 9 ) является нет эквивалентно алгебраическому выражению, 5 Икс + 9 .

    Посмотрите разницу между двумя выражениями в таблице ниже.

    Словесные фразы Алгебраическое выражение
    В пять раз больше числа и девяти

    5 ( Икс + 9 )

    Девять больше, чем в пять раз больше

    5 Икс + 9

    При написании выражений для неизвестных величин мы часто используем стандартные формулы.Например, алгебраическое выражение «расстояние, если скорость 50 миль в час, а время Т часов «это D знак равно 50 Т (по формуле D знак равно р Т ).

    Выражение вроде Икс п называется властью. Здесь Икс это база, а п — показатель степени. Показатель степени — это количество раз, когда основание используется в качестве фактора.Словосочетание для этого выражения: » Икс к п th мощность.»

    Вот несколько примеров использования экспонент.

    Словесные фразы Алгебраическое выражение
    Семь раз м в четвертой степени

    7 м 4

    Сумма Икс в квадрате и 12 времена у

    Икс 2 + 12 у

    Икс раз в кубе у в шестой степени

    Икс 3 ⋅ у 6

    компонентных уравнений — MATLAB и Simulink

    Определение уравнений компонентов

    Цель раздела уравнений — установить математические отношения между переменными, параметрами, входами, выходами, временем и производными по времени каждого из этих элементов компонента.

    Простая алгебраическая система

    В этом примере показана реализация простой алгебраической системы.

    Использовать время моделирования в уравнениях

    В этом примере показано, как получить доступ к глобальному времени моделирования из уравнения раздел.

    Использование условных выражений в уравнениях

    Вы можете указать условные уравнения с помощью операторов if .

    Использование промежуточных членов в уравнениях

    Учебники часто определяют определенные члены уравнения в отдельных уравнениях, а затем заменяют эти промежуточные уравнения в основное.

    Использование таблиц поиска в уравнениях

    Вы можете использовать функцию tablelookup в уравнениях раздел файла Simscape ™ для интерполяции входных значений на основе набора точек данных в одномерной, двухмерной или трехмерной таблице.