Когда не существует производная: Производная / math4school.ru

Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

Функция \(f\) возрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) < f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем больше значение \(f\)).

Функция \(f\) убывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) > f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем меньше значение \(f\)).

Функция \(f\) неубывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \leq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не уменьшается).

Функция \(f\) невозрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \geq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не увеличивается).

 

Замечание

Если функция возрастает на \(M\), то про неё также верно, что она неубывает на \(M\).

Если функция убывает на \(M\), то про неё также верно, что она невозрастает на \(M\).

Стоит также отметить, что фразы “функция неубывает на \(M\)”\(\ \) и “функция не является убывающей на \(M\)”\(\ \)в общем случае значат совсем не одно и тоже.

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция неубывает на нём, то её производная не отрицательна на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), то эта функция неубывает на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция возрастает на \(I\).

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция невозрастает на нём, то её производная не положительна на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), то эта функция невозрастает на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция убывает на \(I\).  

Определение

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) > f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) < f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \geq f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \leq f(a)\). Точка \(x_0\) называется точкой локального экстремума функции \(f(x)\), если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

 

Замечание

Всякая точка строгого локального максимума функции \(f\) является также и точкой её локального максимума.

Всякая точка строгого локального минимума функции \(f\) является также и точкой её локального минимума.

 

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке \(x_0\), то её производная в этой точке либо равна \(0\), либо не существует.

 

Определение

Точка \(x_0\), в которой \(f'(x_0)\) равно нулю или не существует, называется критической точкой функции \(f(x)\).

 

Таким образом, все точки экстремума функции \(f(x)\) являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.

Исследование функций

	Главная > Учебные материалы > Математика:   Исследование функций
	1. Возрастание и убывание функции. 2.Экстремум функции. 3.Выпуклость графика функции. 4.Точки перегиба. 5.Асимптоты графика функции.
	10 11 12 13 14 15 16 17 18
	1. Возрастание и убывание функции
	Пусть задана функция f(x). Возьмем две точки на промежутке [a,b] х1 и х2 при условии, что х2 > x1. Тогда функция называется возрастающей на промежутке [a,b], если f(x2) > f(x1). Функция называется убывающей на промежутке [a,b], если f(x2) < f(x1).
	Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.    Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х2 > x1 и f ‘(c) > 0, то функция возрастает.    т.е. если левая часть равенства положительна, где х1 <c< x2 и f ‘(c)>0, то f(x2)>f(x1)		Возрастающая функция.
	При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.    Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.    Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х1 <c< x2 и f ‘(c) < 0, то функция убывает.		Убывающая функция.
	2.Экстремум функции.
	Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума.    Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.    Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю f ‘(A) = 0 f ‘(B) = 0.    Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.    Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x 3 имеет критическую точку при х=0 (т.к. f ‘(0)=0), но экстремума в этой точке нет.		Экстремум функции.
	3.Выпуклость графика функции.
	Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3].    Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<x<x2, значение функции меньше значения касательной в точке х, т.е. fф(x) ≤ fк(x), то функция выпукла вверх.    Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<x<x3, значение функции больше значения касательной в точке х, т.е. fф(x) ≥ fк(x), то функция выпукла вниз.    Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f »(x) < 0.    Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f »(x) > 0.		Выпуклость графика функции.
	4. Точки перегиба.
	Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.    В точке перегиба вторая производная функции f»(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.		Точка перегиба.
	5. Асимптоты графика функции.
	Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) — f(x) → 0 или fпр(x) → f(x)    Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой.		Вертикальная асимптота.
	Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.    Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞       справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.		Горизонтальная асимптота.
	Если существуют конечные пределы такие, что то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.    Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.		Наклонная асимптота.
	Пример.
	Получим:    точка х = -2,791 минимум,    точка х = 0 максимум,    в точке х = 1 функция не определена,    точка х = 1,791 минимум.
	6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
	10 11 12 13 14 15 16 17 18

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма : если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если  и  , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если  , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если   , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , ,  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции  ;
2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке:  

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба  графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Правильными будут следующие утверждения.

• Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
• Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
• Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции  нужно решить неравенства  или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции 

Решение:

 

Уравнение  имеет корни  Это — критические точки. Область определения данной функции — множество  — они разбивают на три промежутка:  (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, данная функция на промежутках  возрастает, а на  убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция  в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках   на  — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции 

Решение:

 

Критические точки:  Они всю область определения функции разбивают на интервалы:  (рис. 73). Производная  на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, функция убывает на промежутках  Поскольку в точках  данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: 

Пример:

Найдите критические точки функции  

Решение:

 Найдем произвольную функции: 
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует:  — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда  и  Точка  не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: 

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция  возрастает на 

Решение:

  При любом значении  выражение  имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве 

Пример:

Установите, на каком промежутке функция  возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1.  Найдём производную функции:

Найдём критические точки функции:

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Следовательно, функция  возрастает на промежутке  а убывает на 

Способ 2. Решим неравенство  и 

Ответ. Возрастает, если  убывает если 

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция  является дифференцируемой,  её производная  — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную  Это производная второго порядка, или вторая производная функции 

Например, найти производную 2-го порядка функции означает найти производную этой функции  и полученную функцию продифференцировать: 

Кривая  называется выпуклой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая  называется вогнутой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции  отрицательна  на интервале  то кривая выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции положительная  то кривая вогнутая на 

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой  могут быть только точки, в которых вторая производная  равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть  — критическая точка второго рода функции  Если при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка является точкой перегиба кривой 

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. найти критические точки второго рода;
3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если  то кривая выпуклая; если  — кривая вогнутая;
4. если производная  меняет знак при переходе через точку  то точка  является точкой перегиба кривой 

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой 

Решение:

1) Область определения функции: 

2) Найдём вторую производную:  Критические точки второго рода:  Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы  и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если  поэтому кривая вогнутая.

Если  поэтому кривая выпуклая.

Если  — кривая вогнутая.

Следовательно, точки  — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Напомним, что прямая  будет вертикальной асимптотой кривой  если при  (справа или слева) значение функции  стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: 

Уравнение наклонной асимптоты: 

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен  то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если  поэтому  — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом  следует понимать и  При этом указанные пределы могут быть разными при

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Решение:

а)  Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:  Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: 

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: 

 Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты 

Значит прямая  — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: 

 Будем искать наклонные асимптоты:

Следовательно,  — наклонная асимптота, если 

2) если  (проверьте самостоятельно), отсюда  — наклонная асимптота, если 

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты:

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция возрастает.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция убывает.

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции положительна, т. е. Так как то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график «поднимается «, т. е. функция возрастает. Если тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график «спускается», т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

На интервалах и угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков и функция возрастает.

На интервале угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке функция убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Функция на промежутке удовлетворяющем неравенству т. е. возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Значит, при и Точки разбивают область определения функции на три интервала: и В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Из таблицы и непрерывности функции видно, что данная функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке Из графика так же видно, что задания решение верно.

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

График производной при и расположен выше оси значит, При график производной расположен ниже оси значит Так как функция в точках и непрерывна, то на промежутках и она возрастает, а на промежутке убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при при

b) при или при

Решение:

а) при знак производной положительный: значит,

функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 5.

b) При и знак производной положительный: значит, функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 0.

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума( и ) производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1. слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
2. слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
3. с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Пример №5

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

При имеем максимум

При имеем минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как то критические точки можно найти из уравнения и Критическая точка не принадлежит данному отрезку и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Пример №7

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная функции:

2. Критические точки:

и

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

и

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Пример №8

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем

Для возьмем

Пример №9

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Соответствующий график представлен на рисунке.

Построение графиков функции с помощью производной

Функция — многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
• Найдите максимумы и минимумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Точки пересечения с осями координат :

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю):

значит, точки и расположены на графике.

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

• Найдите область определения.
• Найдите асимптоты (если они есть).
• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Область определения функции:

2) Асимптоты:

Прямая вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее:

условии имеем т. е. график функции бесконечно приближается к прямой В этом случае прямая является наклонной асимптотой функции Вообще, если степень многочлена на 1 единицу больше степени многочлена то рациональная функция имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат:

4) Критические точки:

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке функция не определена, точки и являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Обратите внимание! В области, близкой к точке график функции ведет себя как парабола

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума — наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Тогда выразим подставим в формулу Зависимость объема коробки от переменной можно выразить следующим образом:

Теперь найдем область определения функции согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е.

или Значит,

Найдем максимальное значение функции на интервале

Для этого используем производную первого порядка:

При и имеем, что

Однако. Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является

При имеем при имеем функция

в точке принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами

Построив при помощи графкалькулятора график функции также можно увидеть, что при объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

зависимость функции от переменной будет

Производная функции

Найдем критические точки функции

Сравнивая значения функции в точках (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр и выразите искомую величину функцией Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Эти данные дают нам возможность найти зависимость между и

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении где функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции

Критическая точка функции: При имеем при

Значит,

Подставим значение в формулу для высоты получим

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами и

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Процесс вычисления производной называется. Что такое производная?Определение и смысл производной функции

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

там не существует. Поэтому формула

не применима в точке,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция.

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке , используя определение производной.

– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как ?

Составить отношение и вычислить предел.

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

То, осуществив замену, получаем:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию

вместо «икса» следует подставить. Теперь берём

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

Ответ :по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому

замечательному пределу:

Ответ :по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке?

Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:

, то функциядифференцируема в точкеи

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f » (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf » (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y » =f » (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции — точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO — это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k — угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f «(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k — угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f «(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3.

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) — мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x»(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x»(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x»(t) — скорость,

a(f) = »(t) — ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) — изменение угла от времени,

ω = φ»(t) — угловая скорость,

ε = φ»(t) — угловое ускорение, или ε = φ»(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) — масса,

x  , l — длина стержня,

р = m»(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х»(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у» + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота,

φ 0 — начальная фаза.

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Рекомендуем также

2.4 Производная функция

Мы видели, как создать или вывести новую функцию $f'(x)$ из функция $f(x)$, резюмированная в абзаце, содержащем уравнение 2.1.1. Теперь, когда у нас есть концепция пределов, мы можем сделать это более точным.

Определение 2.4.1 Производная функции $f$, обозначаемой $f’$, есть $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}.$$ $\квадрат$

Мы знаем, что $f’$ несет важную информацию об исходном функция $f$.В одном примере мы видели, что $f'(x)$ говорит нам, насколько крутой график $f(x)$ есть; в другом мы видели, что $f'(x)$ сообщает нам скорость объекта, если $f(x)$ сообщает нам положение объекта в время $х$. Как мы уже говорили ранее, эта же математическая идея полезна всякий раз, когда $f(x)$ представляет некоторую изменяющуюся величину, и мы хотим знать что-то о том, как оно меняется, или, грубо говоря, о «скорости», с которой оно изменения. Большинство функций, встречающихся на практике, строятся из небольшой набор «примитивных» функций несколькими простыми способами, для например, добавляя или перемножая функции вместе, чтобы получить новые, более сложные функции.2} — 24\над\Дельта х}. $$ Знаменатель здесь измеряет расстояние в направлении $x$, иногда называемый «бегом», а числитель измеряет расстояние в направление $y$, иногда называемое «подъем» и «подъем над run» — это наклон линии. Напомним, что иногда такой числитель сокращенно $\Delta y$, заменив краткость более подробным выражение. Таким образом, в общем случае производная определяется выражением $$ y’=\lim_{\Delta x\to0} {\Delta y\over \Delta x}. $$ Чтобы напомнить форму предела, мы иногда говорим вместо этого, что $$ {dy\over dx}=\lim_{\Delta x\to0} {\Delta y\over \Delta x}.$$ Другими словами, $dy/dx$ — это другое обозначение производной, и это напоминает нам, что это связано с фактическим уклоном между двумя точки. Это обозначение называется Нотация Лейбница , после Готфрида Лейбница, разработавшего основы исчисления независимо, примерно в то же время, когда Исаак Ньютон сделал. 2}\cr } $$

$\квадрат$

Примечание. Если вы знаете некоторые «производные формулы» из более ранний курс, на данный момент вы должны делать вид, что вы делаете не знать их. В примерах, подобных приведенным выше и приведенным ниже упражнениям, от вас требуется знать, как найти производную формулу, исходя из основных принципов. Позже мы разработаем некоторые формулы, чтобы нам не всегда нужно было делать такие вычисления, но нам по-прежнему нужно знать, как делать более сложные вычисления.

Иногда встречается точка в области определения функции $y=f(x)$, где нет производной , потому что нет касательной.Чтобы чтобы понятие касательной в точке имело смысл, кривая должна быть «гладкой» в этой точке. Это означает, что если вы представляете себе частицу движущейся с некоторой постоянной скоростью вдоль кривой, то частица не испытать резкое изменение направления. Есть два типа ситуации, о которых вы должны знать — углы и выступы — где есть внезапная смена направления и, следовательно, отсутствие производной.

Пример 2.4.4 Обсудите производную функции абсолютного значения $y=f(x)=|x|$.

Если $x$ положительна, то это функция $y=x$, производная которой равна константа 1. (Напомним, что когда $y=f(x)=mx+b$, производная есть наклон $m$.) Если $x$ отрицательно, то мы имеем дело с функцией $y=-x$, производная которой есть константа $-1$. Если $x=0$, то функция имеет угол, т. е. касательной нет. Касательная линия должны указывать в направлении кривой, но есть двух направлений кривой, которые сходятся в начале координат.3$. (отвечать)

Пример 2.4.6 Показан график функции $f(x)$. Нарисуйте график $f'(x)$ оценивая производную в ряде точек интервала: оценивайте производную через равные промежутки времени с одного конца интервале от другого, а также в «особых» точках, например, когда производная равна нулю. Убедитесь, что вы указали все места, где производной не существует.

Пример 2.4.7 Показан график функции $f(x)$. Нарисуйте график $f'(x)$ оценивая производную в ряде точек интервала: оценивайте производную через равные промежутки времени с одного конца интервале от другого, а также в «особых» точках, например, когда производная равна нулю. 2+ax-3$ имеет горизонтальную касательную в точке $x=4$. (отвечать)

3.2 Производная как функция – Исчисление Том 1

Цели обучения

• Определить производную заданной функции.
• Постройте производную функцию по графику заданной функции.
• Укажите связь между производными и непрерывностью.
• Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
• Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным.В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение

Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как , является функцией, область определения которой состоит из тех значений, что существует следующий предел:

.

Говорят, что функция дифференцируема в , если
существует. В более общем смысле говорят, что функция дифференцируема на , если она дифференцируема в каждой точке открытого множества, а дифференцируемая функция — это функция, которая существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем (Рисунок) для нахождения производной функции.

Нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную от .

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

Нахождение производной квадратичной функции

Найдите производную функции .

Решение

Выполните ту же процедуру здесь, но без умножения на сопряженное.

Найдите производную от .

Решение

Мы используем различные обозначения для выражения производной функции. На (рис.) показано, что если , то . Если бы мы представили эту функцию в виде , мы могли бы выразить производную как или .Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от :

.

Вместо мы также можем использовать Использование обозначения (так называемого обозначения Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде где — разность значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((рисунок)). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения по отношению к , выражается как

. Рис. 1. Производная выражается как .

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы могли бы построить график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к ).

На (Рисунок) мы обнаружили, что для . Если мы изобразим эти функции на тех же осях, что и на (рис.), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклоны его касательных линий во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в своей области определения. Более того, по мере увеличения наклоны касательных к уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение .Мы также замечаем, что это не определено и что , что соответствует вертикальной касательной к точке 0,

. Рис. 2. Производная везде положительна, так как функция возрастает.

На (Рисунок) мы обнаружили, что для . Графики этих функций представлены на (рис.). Обратите внимание, что уменьшается для . Для этих же значений . При значениях возрастает и . Кроме того, имеет горизонтальную касательную в и .

Рисование производной с помощью функции

Используйте следующий график для построения графика .

Нарисуйте график . На каком интервале находится график над осью -?

Решение

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Доказательство

Если дифференцируем при , то существует и

.

Мы хотим показать, что at является непрерывным, показав, что . Таким образом,

Таким образом, поскольку определено и , мы заключаем, что непрерывно в .

Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, рассмотрим функцию . Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для ,

.

Это ограничение не существует, так как

.

См. (рисунок).

Рис. 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой.Рассмотрим функцию:

.

Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((Рисунок)).

Рис. 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке . Она непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Функция также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в 0. Мы видим, что

.

Этот предел не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

Рис. 6. Функция не дифференцируема в 0.

Итого:

1. Заметим, что если функция не непрерывна, она не может быть дифференцируемой, так как каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой.
2. Мы видели, что это не может быть дифференцируемо в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке 0.Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
3. Как мы видели на примере , функция не может быть дифференцируема в точке, где есть вертикальная касательная.
4. Как мы видели, функция может не быть дифференцируемой в какой-то точке и более сложными способами.

Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной.Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее. В совокупности они называются производными высшего порядка . Обозначение производных более высокого порядка может быть выражено в любой из следующих форм:

.

Интересно отметить, что нотация для может рассматриваться как попытка выразиться более компактно. Аналогично, .

Нахождение второй производной

Для , найти .

Обнаружение ускорения

Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

• Производная функция
  

В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти .

1.

2.

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8. 

Решение

9. 

10. 

Решение

В следующих упражнениях используйте график для построения графика его производной .

11.  12.  

Решение

13.  14. 

Решение

Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции при . Найти и .

15. 

16. 

Решение

17. 

18. 

Решение

19.

20. 

Решение

Для следующих функций,

1. эскиз графика и
2. используют определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в .

21. 

23. 

Для следующих графиков

1. определить, для каких значений существует, но не является непрерывным в , и
2. определить, при каких значениях функция непрерывна, но не дифференцируема при .

25. 

Для следующих функций используйте для поиска .

28. 

29. 

30. 

Решение

В следующих упражнениях используйте калькулятор для построения графика. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

31. [Т]

33. [Т]

35. [Т]

В следующих упражнениях опишите, что представляют два выражения в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.

37.  обозначает население города в определенное время в годах.

38.  обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную посетителями на уступки в парке развлечений.

Решение

а. Средняя ставка, по которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного клиента.
б. Коэффициент (в тысячах на клиента), по которому клиенты потратили деньги на уступки, в тысячах на клиента.

39.  обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

40.  обозначает оценку (в процентах), полученную за тест с учетом часов обучения.

Решение

а. Средняя оценка, полученная за тест при среднем времени обучения между двумя суммами.
б. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка за тест повысилась или понизилась за заданное среднее время обучения в часах.

41. обозначает стоимость (в долларах) учебника по социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

Решение

а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
б. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается в футах.

Решение

а.Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается на данной высоте.
б. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0,1 градуса на фут.

Решение

а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
б. Скорость резко возрастает до третьей недели, после чего замедляется, а затем становится постоянной.

Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

«>

Время (секунды)	Высота (метры)
0	0
1	2
2	4
3	13
4	25
5	32

47.  Каков физический смысл ? Что такое единицы?

48.[T] Построить таблицу значений и построить график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените как левый предел, так и правый предел и усредните их.)

Решение

Under the second column are the values 2, 2, 5.5, 10.5, 9.5, and 7.»>

Время (секунды)	(м/с)
0	2
1	2
2	5,5
3	10,5
4	9.5
5	7

Недифференцируемая функция — Математическая энциклопедия

Функция, не имеющая дифференциал. В случае функций одной переменной это функция, не имеющая конечной производной. Например, функция $f(x) = |x|$ не дифференцируема при $x=0$, хотя и дифференцируема в этой точке слева и справа (т.е. имеет конечные левые и правые производные в этой точке). точка).Непрерывная функция $f(x) = x \sin(1/x)$, если $x \ne 0$ и $f(0) = 0$, не только недифференцируема при $x=0$, она не имеет ни левые или правые (и ни конечные, ни бесконечные) производные в этой точке. 2 > 0, \ \ 0 & \text{если } x = y = 0, \end{cases}$$ непрерывна во всех точках плоскости и имеет всюду частные производные, но не дифференцируема в $(0, 0)$.

С. Банах доказал, что «большинство» непрерывных функций нигде не дифференцируемы. В частности, он показал, что если через $C$ обозначить пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на единичном интервале $[0, 1]$, снабженное равномерной метрикой (супнормой), то множество элементов $C$ которые имеют конечную правую производную в некоторой точке $[0, 1)$, относятся к первой категории Бэра (ср. классы Бэра) в полном метрическом пространстве $C$. Доказательство этого факта и нигде не дифференцируемости приведенного выше примера Вейерштрасса можно найти в [а1].Доказательство того, что пример ван дер Вардена обладает указанными свойствами, можно найти в [а2].

Каталожные номера

..

[а1]	Э. Хьюитт, К.Р. Стромберг, «Реальный и абстрактный анализ», Springer (1965)
[а2]	К.Р. Стромберг, «Введение в классический реальный анализ», Уодсворт (1981)

Как процитировать эту запись:
Недифференцируемая функция. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Non- Differentiable_function&oldid=43401

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи Л.Д. Кудрявцева (создатель), которая появилась в Математической энциклопедии — ISBN 1402006098. См. оригинальную статью

Дифференцируемая

Дифференцируемость означает, что производная существует …

Пример: дифференцируемо ли x

² + 6x?

Производные правила говорят нам, что производная x ² равна 2x, а производная x равна 1, поэтому:

Его производная 2x + 6

Так что да! x ² + 6x дифференцируемо.

… и он должен существовать для каждого значения в домене функции.

Домен В своей простейшей форме домен представляет собой все значения, которые входят в функцию

Пример (продолжение)

Если не указано иное, мы предполагаем, что это домен Real Numbers.

Для x ² + 6x его производная от 2x + 6 существует для всех действительных чисел.

Итак, мы все еще в безопасности: x ² + 6x дифференцируемо.

А как насчет этого:

Пример: Функция f(x) = |x| (абсолютное значение):

|х| выглядит так:

При x=0 очень резкое изменение!

Существует ли производная при x=0?

Тестирование

Мы можем проверить любое значение «a», найдя, существует ли предел:

лим ч→0 е(а+ч) — е(а) ч

Пример (продолжение)

Рассчитаем предел для |x| при значении 0:

 

Начать с:лим ч→0 е(а+ч) — е(а) ч

f(x) = |x|:lim ч→0 |а+ч| − |а| ч

а=0:лим ч→0 |ч| − |0| ч

Упростить:лим ч→0 |ч| ч

На самом деле этого предела не существует! Чтобы понять, почему, давайте сравним левый и правый пределы:

С левой стороны:lim ч→0 ⁻ |ч| ч = -1

С правой стороны:лим ч→0 ⁺ |ч| ч = +1

Пределы различны с обеих сторон, поэтому предел не существует при x=0

 

 f(x) = |x| не дифференцируем при x=0

Хороший способ представить себе это — подумать:

При увеличении масштаба функция становится прямой линией?

Функция абсолютного значения остается направленной на x=0 даже при увеличении.

Другие причины

Вот еще несколько примеров:

Функции пола и потолка не дифференцируемы при целых значениях, так как при каждом скачке есть разрыв. Но они дифференцируемы в другом месте.

Функция кубического корня x (1/3) Его производная равна (1/3)x -(2/3) (по степенному правилу) При x=0 производная не определена, поэтому x (1/3) не дифференцируемо, если мы не исключим x=0.

При x=0 функция не определена, поэтому нет смысла спрашивать, дифференцируемы ли они там. Чтобы быть дифференцируемой в определенной точке, функция должна быть прежде всего определена там!

По мере того, как мы приближаемся к x = 0, функция движется вверх и вниз все быстрее и быстрее, поэтому мы не можем найти значение, к которому она «направляется». Так что там не дифференцируется.

 

Другой домен

Но мы можем изменить домен!

Пример: Функция g(x) = |x| с доменом (0, +∞)

Домен начинается с , но не включает 0 и далее (все положительные значения).

Который дифференцируем.

И я «абсолютно уверен» в этом 🙂

Таким образом, функция g(x) = |x| с областью определения (0, +∞) дифференцируема.

Мы также можем ограничить домен другими способами, чтобы избежать x=0 (например, все отрицательные действительные числа, все ненулевые действительные числа и т. д.).

 

Зачем беспокоиться?

Потому что, когда функция дифференцируема, мы можем использовать всю мощь исчисления при работе с ней.

Непрерывный

Когда функция дифференцируема, она также непрерывна.

Дифференцируемый ⇒ Непрерывный

Но функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой . Например, функция абсолютного значения фактически непрерывна (хотя и не дифференцируема) при x=0.

 

8925, 8926, 8930, 8931, 8927, 8928, 8929, 8932, 8933, 8934

Производная не существует в точке: 7 примеров

Производные >

Производная не существует в точке

Производная в точке существует, когда существует предел в этой точке:

Следовательно, если предела не существует, то и производная не существует. Это может произойти в двух случаях:

1. Когда у кривой нет касательной из-за разрыва или острого угла.
2. Когда касательная имеет бесконечный наклон (т. е. имеется вертикальная точка перегиба).

7 примеров, когда производная не существует в точке

Существует несколько конкретных ситуаций , которые приводят к тому, что кривая не имеет касательной линии или бесконечного наклона:

1. Разрыв скачка : разрыв в графике означает, что функция не является непрерывной и, следовательно, недифференцируемой.

   Этот график переходит в начало координат. Производная в этой точке не существует (x = 0).

2. Отверстие в графике : Отверстия (формально называемые устранимыми разрывами) — это крошечные пробелы в графике. Одним из примеров возникновения дыры является случай, когда рациональная функция имеет значение x, которое при подстановке в функцию приводит к тому, что и числитель, и знаменатель равны 0.
   

   Эта функция имеет дыру в точке x = 4.

3. Неограниченное поведение или бесконечный разрыв.Значения x становятся все больше и больше по мере того, как вы пытаетесь двигаться к рассматриваемой точке.

   По мере продвижения к точке x = 0 справа значения y стремятся к бесконечности.

   
   
4. Острые точки или точки возврата делают функцию недифференцируемой в этой точке.

   Острый угол, в данном случае при x = 0, означает, что в этой точке производная не существует.

   
   
5. Функция не может быть определена . Например, функция извлечения квадратного корня не определена для значений меньше нуля, поэтому производная не существует ни в одной точке меньше нуля.
6. Функция может быть определена, но производная равна бесконечности в рассматриваемой точке (или ее вообще нет). Производные, равные бесконечности, довольно часто встречаются с рациональными функциями, а это означает, что в этой точке есть вертикальная касательная
7. Колебательное поведение. Некоторые функции ведут себя плохо и имеют осциллирующие разрывы вблизи определенных точек.

   Функция sin(1/x) имеет осциллирующий разрыв при x = 0.

Ссылки

Изображение отверстия, созданное с помощью Desmos. ком.

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Исчисление I. Интерпретация производной

На первый взгляд это кажется почти невыполнимой задачей. Однако, если у вас есть базовые знания об интерпретации производной, вы можете получить набросок производной.По большей части это не будет идеальным эскизом, но вы сможете получить большинство основных функций производной в эскизе.

Начнем со следующего наброска функции с парой дополнений.

Обратите внимание, что в точках \(x = — 3\), \(x = — 1\), \(x = 2\) и \(x = 4\) касательная к функции горизонтальна. Это означает, что наклон касательной должен быть равен нулю. Теперь мы знаем, что наклон касательной в определенной точке также является значением производной функции в этой точке.Таким образом, мы теперь знаем, что

\[f’\left( { — 3} \right) = 0\hspace{0.5in}f’\left( {- 1} \right) = 0\hspace{0.5in}f’\left( 2 \ вправо) = 0\hspace{0,5 дюйма}f’\влево( 4 \вправо) = 0\]

Это хорошая отправная точка для нас. Это дает нам несколько точек на графике производной. Он также разбивает область определения функции на области, в которых функция возрастает и убывает. Из наших обсуждений выше мы знаем, что если функция возрастает в точке, то производная должна быть положительной в этой точке.Точно так же мы знаем, что если функция убывает в какой-то точке, то производная в этой точке должна быть отрицательной.

Теперь мы можем дать следующую информацию о производной.

\[\begin{align*} x & < - 3 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ - 3 < x & < - 1 & \hspace{0. 5in} f’\left( x \right) & > 0\\ — 1 < x & < 2 & \hspace{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ 2 < x & < 4 & \ hпробел{0.5in}f'\left( x \right) & < 0\\ x & > 4 & \hspace{0.5in}f’\left( x \right) & > 0\end{align*}\]

Помните, что здесь мы приводим знаки производных, и они зависят исключительно от возрастания или убывания функции. Знак самой функции здесь совершенно безразличен и никак не повлияет на знак производной.

Может показаться, что у нас недостаточно информации для получения эскиза, но мы можем получить немного больше информации о производной из графика функции.Мы знаем, что в диапазоне \(x < - 3\) производная должна быть отрицательной, однако мы также видим, что в этом диапазоне производная должна возрастать. Здесь она отрицательна, пока мы не достигнем \(x = - 3\), и в этой точке производная должна быть равна нулю. Единственный способ, чтобы производная была отрицательной слева от \(x = - 3\) и равна нулю в точке \(x = - 3\) означает, что производная будет возрастать по мере увеличения \(x\) до \(x = -3\).

Теперь в диапазоне \( — 3 < x < - 1 \) мы знаем, что производная должна быть равна нулю на концах и положительна между двумя концами.Непосредственно справа от \(x = - 3\) производная также должна возрастать (поскольку она начинается с нуля, а затем становится положительной, следовательно, она должна возрастать). Таким образом, производная в этом диапазоне должна начинаться с возрастания и в конечном итоге должна вернуться к нулю при \(x = - 1\). Таким образом, в какой-то момент этого интервала производная должна начать уменьшаться, прежде чем она достигнет \(x = - 1\). Теперь мы должны быть осторожны здесь, потому что это просто общее поведение здесь, на двух конечных точках. Мы не будем знать, где производная переходит от увеличения к убыванию, и она вполне может меняться между увеличением и уменьшением несколько раз, прежде чем мы достигнем \(x = - 1\).Все, что мы можем на самом деле сказать, это то, что непосредственно справа от \(x = - 3\) производная будет возрастать, а непосредственно слева от \(x = - 1\) производная будет уменьшаться.

Далее, для диапазонов \(-1 < x < 2\) и \(2 < x < 4\) мы знаем, что производная будет равна нулю в конечных точках и отрицательной между ними. Кроме того, следуя приведенному выше типу рассуждений, мы можем видеть в каждом из этих диапазонов, что производная будет уменьшаться справа от левой конечной точки и возрастать слева от правой конечной точки.

Наконец, в последней области \(x > 4\) мы знаем, что производная равна нулю в точке \(x = 4\) и положительна справа от \(x = 4\). Опять же, следуя приведенным выше рассуждениям, производная также должна возрастать в этом диапазоне.

Соединяя весь этот материал вместе (и всегда используя самые простые варианты увеличения и/или уменьшения информации), мы получаем следующий набросок для производной.

Обратите внимание, что это было сделано с фактической производной, поэтому на самом деле это точно. Любой набросок, который вы сделаете, вероятно, не будет выглядеть точно так же. «Горбы» в каждой из областей могут быть, например, в разных местах и/или на разных высотах. Также обратите внимание, что мы отказались от вертикальной шкалы, потому что, учитывая информацию, которую мы получили на данный момент, не было реального способа узнать эту информацию.

Однако это не означает, что мы не можем получить некоторое представление о конкретных точках производной, кроме тех, где мы знаем, что производная равна нулю. Чтобы убедиться в этом, давайте посмотрим на следующий график функции (не производной, а функции).

В точках \(x = — 2\) и \(x = 3\) мы нарисовали пару касательных линий. Мы можем использовать базовую концепцию подъема/наклона для оценки значения производной в этих точках.

Начнем с \(x = 3\). У нас есть две точки на линии здесь. Мы можем видеть, что каждый из них находится примерно на четверть пути от линии сетки. Итак, принимая во внимание это и тот факт, что мы проходим через одну полную сетку, мы можем видеть, что наклон касательной и, следовательно, производной приблизительно равен -1.5.

При \(x = — 2\) похоже (с некоторой грубой оценкой), что вторая точка находится примерно на 6,5 сетки выше первой точки, и поэтому наклон касательной здесь и, следовательно, производная, составляет приблизительно 6,5.

Вот набросок производной с включенным вертикальным масштабом, из которого видно, что на самом деле наши оценки довольно близки к реальности.

Обратите внимание, что эта идея оценки значений производных может быть сложным процессом и требует достаточного количества (возможно, плохих) приближений, поэтому, хотя ее можно использовать, вы должны быть осторожны с ней.

Производная константы (числа)

Производная любой константы (это просто способ обозначить любое число) равна нулю.

Это достаточно легко запомнить, но если вы студент, который в настоящее время занимается математическим анализом, вам нужно помнить о множестве различных форм, которые может принимать константа. Сначала рассмотрим более очевидные случаи.

реклама

Пример

Найдите производную каждой функции.{\ простое число} = 0 \)

Константы в «маскировке»

Вы узнаете о нескольких различных типах констант в математике. Пара, которая сразу приходит на ум:

\(е \приблизительно 2,718\)

\(\пи \приблизительно 3,142\)

Они известны, но есть и другие, с которыми вы наверняка работали. Рассмотрим \(\sqrt{2}\) или \(\ln\left(5\right)\). Оба они являются константами (если вы не уверены, введите их в свой калькулятор — вы получите десятичный эквивалент), поэтому их производные также равны нулю.2\) (график ниже), наклон может меняться от точки к точке, потому что график искривлен.

Но как выглядит функция, если это постоянная функция? Ниже приведен график \(f(x) = 2,5\).

Этот график представляет собой линию, поэтому наклон одинаков во всех точках. Далее, это горизонтальная линия. Наклон любой горизонтальной линии равен нулю. Поскольку график любой постоянной функции представляет собой такую ​​горизонтальную линию, производная всегда равна нулю.

реклама

Резюме

Вероятно, у вас никогда не возникнет проблем с нахождением производной константы, если она является частью многочлена или другой функции.Но будьте осторожны, обращая внимание на различные формы, которые может принимать константа, поскольку профессора и преподаватели любят проверять, замечаете ли вы такие вещи. Кроме того, вы можете использовать эту простую идею, чтобы запомнить концепцию производной как наклона в точке — то, с чем вы будете работать, даже когда производные намного сложнее.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем дополнительные учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.