Коэффициенты в квадратном уравнении: Квадратные уравнения

Содержание

Урок по алгебре в 8-м классе “Свойства коэффициентов квадратного уравнения”

Цели урока:

Образовательная (учебная).

Сформировать умения и навыки метода устного решения квадратных уравнений.

Воспитательные.

— Формирование мировоззрения:

Показать учащимся, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи.

— Формирование общественных навыков:

  1. Вычислительных;
  2. Эстетических навыков при оформлении записей;
  3. Приобретение навыков исследовательской работы.

— Формирование качеств личности.

  1. Трудолюбия;
  2. Самостоятельности;
  3. Ответственности за принятое решение.

Развивающие задачи:

  1. Развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать;
  2. Развитие творческой деятельности: интуиции, смекалки.

Актуализация знаний.

На доске записано: ах2 + bх + с, где а 0

— Что написано на доске? (Квадратный трехчлен)
— А теперь что написано на доске? ах2 + bх + с = 0, где а 0 (Квадратное уравнение)
— Всегда ли имеют ли корни квадратный трехчлен и квадратное уравнение? (Нет, не всегда)
— От чего зависит количество корней?

(От дискриминанта)
— Как найти дискриминант квадратного трехчлена или квадратного уравнения? (Д = в2 – 4ас)
— Сколько корней в зависимости от дискриминанта может иметь квадратный трехчлен или квадратное уравнение? (Два различных корня, два одинаковых корня или нет корней).
— Как найти корни квадратного трехчлена или квадратного уравнения?1,2 = )
— По какой формуле можно квадратный трехчлен разложить на линейные множители? (ах2 + bх + с =а(х – х
1
)(х – х2))

1. Найдите корни квадратного трехчлена: 5х2 + 8х + 3;
(Ответ: )

2. Решите квадратное уравнение: х2 + 6х + 8 = 0;
(Ответ: -4 и -2)

3. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен: 3х2 – 10х + 8;
(Ответ: 3(х — 2)(х — ))

Введение знаний.

— Решая математические задачи, часто приходится встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но в школьных учебниках многие уравнения решаются таким способом.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть ах2 + bх + с = 0, где а 0

  1. Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = ;
  2. Если а + с = b, то х1 = -1, х2 = -.

Пример 1. Решить уравнение: 341х2 + 290х – 51 = 0

Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.

341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b. Следовательно, х1 = -1, х2 = .

Пример 2. Решить уравнение: 67х2 – 75х + 8 = 0.

Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, х1 = = 1, х2 = .

Пример 3. Решить уравнение: 19х2 + 15х – 34 = 0.

Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда, х1 = = 1, х2 = -.

Задания для закрепления.

  1. 2 – 5х + 2 = 0;
  2. 2 + 3х + 1 = 0;
  3. 2 + 9х –14 = 0;
  4. 2 + х – 6 = 0;
  5. 2 + 4х — 9 = 0;
  6. х2 + 29х – 30 = 0;
  7. х2 — 2000х – 2001 = 0;
  8. 72х2 + 69х – 3 = 0;
  9. 83х2 – 97х + 14 = 0.

Квадратное уравнение с коэффициентом 1 при х2( т.е.а = 1) называют приведенным квадратным уравнением.

— Посмотрите на таблицу. Все ли уравнения , записанные в ней, являются приведенными квадратными уравнениями?

Уравнение a b c Д х1 х2 х12
х1 х2
х2 – 7х + 12 =0                
х2 – 8х + 12 =0              
 
х2 – 12х+11 =0                
х2 + 7х – 8 =0                
х2
– 5х + 12 =0
               
х2 – х — 12 =0                
х2 – 2х – 3 =0                
х2 + 5х – 14 =0                
х2 + 18х+32 =0        
 
     
х2 +5х + 4 =0                
х2 – 7х + 10 =0            
 
 
х2 – 7х + 15 =0                
х2 + 2х — 8 =0                
х2 + 5х – 6 =0                
х2 + 3х — 4 =0                
х2 + 5х — 24 =0                
х2 – х – 20 =0                
х2 – 2х + 9 =0                
х2 + 9х + 14 =0                
х2 + 14х — 32=0                

(Далее решаем уравнения из таблицы и все последовательно заполняем)

Сообщаю, что домашнее задание – закончить заполнение таблицы.

Подведение итогов обучения.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x2 + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x2 + b x + c = 0 можно получить так:
  • перенесем c в правую часть a x2 + b x = — c
  • умножим уравнение на 4a (2a x)2 + 4a b x = — 4a c
  • добавим b2 к обоим частям (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 — 4a c
  • в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)2 = b2 — 4a c
  • извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b2 — 4a c
  • перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b2 — 4a c
  • разделим уравнение на 2a
    x =  -b ± √b2 — 4a c
    2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b2 − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
    x1,2 =  -b ± √D
    2 a
  • при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
  • при Dx1,2 =  -b ± i√-D 2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x2 равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x2 + px + q = 0, где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x2 + 5x + 3 = 0
D = 52 — 4·3·2 = 25 — 24 = 1

x1 =  5 + √1  = -1,
2·2
x2 =  5 — √1  = -1 1
2·2 2
Упражнения. Квадратные уравнения.

Внеклассный урок — Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

 

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

 

Пример квадратного уравнения:

3x2 + 2x – 5 = 0.

Здесь а = 3,  b = 2, c = –5.

 

Числа a, b и c коэффициенты квадратного уравнения.

Число a называют первым коэффициентом, число bвторым коэффициентом, а число cсвободным членом.

 

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x2 + 10x – 11 = 0

x2x – 12 = 0

x2 – 6х + 5 = 0

здесь коэффициент при x2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

 

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Примеры неполного квадратного уравнения:

-2x2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

x2 – 5x = 0

здесь а = 1,   b = -5,  c = 0 (поэтому коэффициент c  в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D = b2 – 4ac.

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

             –b ± √D
х1,2 = —————.
                  2а

Пример: Решить квадратное уравнение 3х2 – 5х – 2 = 0.

Решение:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а = 3, b = –5, c = –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

           –b + √D            5 + 7          12
х1 = ————— = ———— = —— = 2
               2а                    6              6

          –b – √D             5 – 7              2             1
х2 = ————— = ———— = – —— = – ——.
             2а                     6                  6             3

                                       1
Ответ: х1 = 2,  х2 = – ——.
                                       3

 

§2. Кто есть кто, или Определение квадратного уравнения

Квадратным называется уравнение вида ax+ bx + c = 0, где a, b,– некоторые заданные действительные числа, причём a ? 0, а x принимается за неизвестное.

Числа a, b, c называют так:

a – старшим или первым коэффициентом,

b – вторым,

c – свободным или третьим1.

«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:

5x +2x2 – 7 = 0,

3 – x +2x2 = 0,

2x2 +7+5 = 0.

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении – вторым коэффициентом.

То есть первый (старший) коэффициент – это множитель при квадрате неизвестной, второй – при первой степени. Свободный (третий) коэффициент – это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx2 + nx + k = (относительно x, m ? 0),

xa2 + ya + z = (относительно a, x ? 0).

Уравнение y2 + xy + x= 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax+ bx = 0 (c = 0, ab ? 0),

ax+ c = 0 (b = 0, ac ? 0),

ax0 (b = c = 0, a ? 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax+ bx +0 0,

ax+· c = 0,

ax+0 · x +0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax+ bx = 0, ax+ c = 0, ax0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax+ bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.

Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.

Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ? 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax(a – 1) x + a = (или в общем виде f (a) x2 + g (a) x + h (a0) называть квадратным?

Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.

Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.

Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».

Теперь понятно, что требование a ? 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени – квадрата – неизвестного. Вот этот признак будет определяющим!

В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?

Тогда уравнение f (a) x2 + g (a) x + h (a0 правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным).

Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного – необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения.

Рассмотрим следующие уравнения:

ax2 + by c = и ax2 + bx3 + = 0.

Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным ax+ bx + c = 0 по трём признакам:

– наличие второй степени неизвестной,

– наибольшая степень неизвестной,

– количество неизвестных.

Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры.

Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.

Итак, что мы имеем?

Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

Именно это и важно!

Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным2.

Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

алгебраическое уравнение ? первой степени, второй степени и так далее;

алгебраическое уравнение ? с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

Приведём примеры:

ax + b = 0 – уравнение первой степени с одной неизвестной;

ax + by + c = 0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными;

ax+ bx + c = 0 – уравнение второй степени с одной неизвестной;

ax2 + bxy + cykx + ly + m = 0 – уравнение второй степени с двумя неизвестными.

Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число – ноль. А может быть что-нибудь другое?

Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но…

Рассмотрим уравнение ax+ bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений3, можем записать

ax+ bx + c – m = 0

ax+ bx + (c – m0

ax+ bx + c1 = 0.

То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

Ещё пример:

ax+ bx + c = mx + n

ax+ bx + c — mx – n = 0

ax+ bx – mx + c – n = 0

ax(b – m) x + (c – n0

ax+ b1 x + c1 = 0.

Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

ax2 + bx + c = m и ax2 + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

Ситуация первая: ax+ bx + c =ay+ by + c.

Как бы ни старались, квадратного уравнения мы не получим. Неизвестных две, и это равенство не входит в множество математических объектов «квадратные уравнения». Вывод: неизвестная правой части должна быть такой же, что и в левой!

Ситуация вторая. Преобразуйте самостоятельно, например, два следующих уравнения:

ax+ bx + c = kx2 + mx + n

ax+ bx + c = ax2 + mx + n.

Получилось ли у вас квадратное уравнение в первом случае? А во втором? Как будет называться уравнение, которое сведётся не к квадратному?

Определите условие, при котором уравнение такого вида всё-таки будет сводиться к квадратному4.

Как ещё один пример рассмотрите уравнение

x2 – 9 = (x – 5) (x +7).

Таким образом, наличие второй степени неизвестной в записи уравнения не всегда будет означать, что оно квадратное.

Очевидно, что если в правой части стоит многочлен с одной переменной степени выше второй, то квадратного уравнения мы ни при каких условиях не получим.

Итак, есть квадратные уравнения, а есть уравнения, сводящиеся к квадратным.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Как определить опережающие коэффициенты в квадратных уравнениях

Коэффициент

Старшие коэффициенты

Итак, мы понимаем коэффициенты, но что такое старший коэффициент? Подумайте о термине. .. лидерство обычно означает, что вы впереди или первым! Когда выражение или уравнение записаны в правильной форме, то есть в порядке убывания показателей степени, старший коэффициент будет стоять первым.Это означает, что старший коэффициент является коэффициентом, присоединенным к переменной с наивысшим показателем степени.

Таким образом, когда ваше выражение записывается со старшими членами экспоненты сначала, старший экспонент будет, но только это… впереди и впереди! Но иногда ваши выражения или уравнения не будут записаны в порядке убывания, так что будьте осторожны!

Давайте рассмотрим пример. Допустим, у нас есть выражение 7 y 9 + 3 y 5 + 2 y 2. Оно записано в правильном порядке: первым следует член с наивысшим показателем степени 9, за которым следует член с наивысшим показателем степени 5. идет следующим, а наименьший показатель степени 2 идет последним.Поскольку он находится в правильном порядке, старший коэффициент — это просто тот коэффициент, который стоит первым. В данном случае это будет 7! Другой способ взглянуть на это состоит в том, что наивысший показатель степени переменной в этом выражении равен 9. Каков коэффициент для этого члена? Это 7!

Ведущий коэффициент

В другом выражении -3 x 2 + 4 x 5 члены расположены неправильно. Чтобы найти здесь старший коэффициент, мы можем либо правильно расположить его как 4 x 5 — 3 x 2 и таким образом найти старший коэффициент.Или мы можем просто найти член с наивысшим показателем и найти его коэффициент. В этом случае наивысший показатель степени равен 5, поэтому старший коэффициент будет равен -3.

Квадратные уравнения

Теперь, когда у нас все это за плечами, давайте поговорим о квадратных уравнениях. Квадратные уравнения — это уравнения, в которых старший показатель степени переменной равен двойке. Обычно они имеют вид y = x 2 + bx + c , где a не может равняться нулю. Пример квадратного уравнения: y = 4x 2 + 2 x + 1, где a = 4, b = 2 и c = 1.

По определению, мы знаем, что квадратные уравнения будут есть термин с показателем степени два, и это будет самый высокий показатель степени. Это говорит вам о том, что старший коэффициент всегда будет присоединен к переменной с показателем степени, равным двум! Глядя на общую форму, y = x 2 + bx + c , старший коэффициент всегда будет значением a .

Возвращаясь к нашему примеру y = 4 x 2 + 2 x + 1 и зная, что 4 равно a , должно быть ясно, что 4 является нашим старшим коэффициентом. Это верно, потому что это квадратное уравнение, а наивысший показатель степени переменной равен 2, поэтому этот член всегда будет содержать старший коэффициент!

Примеры

Пример 1

y = -6 x 2 + 2 x — 3

В примере 1 старший коэффициент равен -6. Это верно, потому что это квадратное уравнение, а наибольшая переменная в показателе степени равна 2. не похоже на квадратное уравнение, но при ближайшем рассмотрении вы увидите, что оно просто не в порядке. Это должно быть записано как y = -9 x 2 + 2 x + 8. Теперь должно быть ясно, что старший коэффициент равен -9.

Пример 3

y = 12 x 2

Пример 3 может сначала сбить вас с толку, потому что в нем нет трех членов, как в общей форме y = ax 902 b02 + 902 x 902 x 21 + 90 с .Но, если подумать об определении, квадратным уравнениям не нужны эти другие термины, только переменная с наивысшим показателем, равным двум. Вы также можете думать об этом как a = 12, b = 0 и c = 0. Помните, что a всегда будет старшим коэффициентом в квадратных уравнениях, поэтому 12 является старшим коэффициентом в примере 3.

Резюме урока

Коэффициенты — это числа, которые умножаются на такие переменные, как x . Старшие коэффициенты — это коэффициенты, которые идут первыми, когда выражение или уравнение записываются в порядке убывания показателей степени. При поиске ведущих коэффициентов с квадратными уравнениями вы всегда будете искать значение a . Это связано с тем, что квадратные уравнения не могут иметь переменных с показателями степени выше двух.

Объяснение урока: Квадратные уравнения: коэффициенты и корни

В этом объяснении мы узнаем, как распознавать взаимосвязь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями.

Мы начнем с краткого обзора того, как разложить квадратное уравнение на множители, чтобы найти его корни. Рассмотрим уравнение 𝑥−7𝑥+10=0.

Квадратное выражение в левой части этого уравнения можно представить как (𝑥−2)(𝑥−5)=0, что приводит к корням 𝑥=2 и 𝑥=5. Когда мы более внимательно посмотрим на это В процессе факторизации мы сначала искали пару чисел, произведение которых постоянный член 10 и сумма к коэффициенту -7. После факторизации эта пара числа оказались отрицательными корнями квадратного уравнения.Думая об этом процессе в обратном порядке, корни этого уравнения 𝑥 и 𝑥 (иногда называемые 𝐿 и 𝑀), следует удовлетворить (−𝑥)+(−𝑥)=−7(−𝑥)⋅(−𝑥)=10,и

Другими словами, мы исходим из предположения, что коэффициенты квадратное уравнение содержит информацию о корнях. Мы можем убедиться, что это правда в этом примере, поскольку мы знаем, что корни равны 𝑥=2 и 𝑥=5, и (−2)+(−5)=−7(−2)⋅(−5)=10.и

Но верно ли это для любого квадратного уравнения? Какова точная связь между коэффициенты любого квадратного уравнения и его корни?

Начнем с простого квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, старший коэффициент которого (я.т. е. коэффициент при 𝑥) равен 1. Скажем, что это уравнение учитывается в (𝑥−𝑥)(𝑥−𝑥)=0 для некоторых 𝑥 и 𝑥. Тогда квадратное уравнение 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 имеет корни 𝑥 и 𝑥. Распределим это уравнение по скобкам: 𝑥−𝑥𝑥−𝑥𝑥+𝑥𝑥=0. 

Два средних члена имеют общее 𝑥, поэтому мы можем убрать этот общий множитель, чтобы написать 𝑥−(𝑥+𝑥)𝑥+𝑥𝑥=0.

После завершения разложения можно сравнить коэффициенты этого уравнения с те из исходного уравнения, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0.Сравнивая это уравнение с исходным квадратным уравнением, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, мы Обратите внимание, что 𝑏=−(𝑥+𝑥)𝑐=𝑥𝑥.и

Другими словами, квадратные уравнения вида 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корнями 𝑥 и 𝑥 должны удовлетворять 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥𝑥=𝑐.и

Итак, что мы можем сказать о коэффициентах в более общем квадратном уравнении, где старший коэффициент не равен 1? Рассмотрим квадратное уравнение 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корнями 𝑥 и 𝑥. Поскольку 𝑎≠0, мы можем разделить обе части на 𝑎 написать 𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1. Затем, используя наши предыдущие результаты, коэффициенты и корни квадратного уравнения уравнение должно удовлетворять следующим уравнениям.

Теорема: коэффициенты и корни квадратного уравнения

Пусть 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 — квадратное уравнение с корнями 𝑥 и 𝑥. Тогда корни должны удовлетворять 𝑥+𝑥=−𝑏𝑎𝑥⋅𝑥=𝑐𝑎.и

Для более простых квадратных уравнений вида 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корнями 𝑥 и 𝑥 имеем сокращенные формулы 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐. и

Эти формулы справедливы для всех квадратных уравнений, даже если корни сложнозначные или повторяются. Те же формулы можно восстановить с помощью квадратичная формула.

Например, рассмотрим квадратное уравнение 7𝑥+2𝑥+20=0. Не решая уравнения, мы можем найти сумму и произведение его корней. С 𝑎=7,𝑏=2,𝑐=20, у нас есть 𝑥+𝑥=−𝑏𝑎=−27𝑥⋅𝑥=𝑐𝑎=207,и где 𝑥 и 𝑥 — корни этого квадратного уравнения.

Мы можем убедиться в этом, вычислив корни по формуле квадратных корней. У нас есть 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎=−2±√2−4⋅7⋅202⋅7=−2±√−55614=−17±𝑖√1397.

Итак, имеем 𝑥=−17+𝑖√1397𝑥=−17−𝑖√1397.и

Тогда 𝑥+𝑥=−17+𝑖√1397+−17−𝑖√1397=−27, что согласуется с тем, что мы получили выше с помощью теоремы.

Кроме того, используя формулу разности квадратов, (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=𝑥−𝑦, мы можем вычислить 𝑥⋅𝑥=−17+𝑖√1397⋅−17−𝑖√1397=−17−𝑖√1397=149−𝑖13949=1+13949=14049=207, что также согласуется с нашим результатом с помощью теоремы.

В нашем первом примере мы покажем, как наша теорема может помочь нам найти сумму корней без решения уравнения.

Пример 1: связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями

Не решая уравнения −3𝑥−16𝑥+63=0, найдите сумму его корней.

Ответ

Напомним, что для квадратных уравнений 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корни 𝑥 и 𝑥, 𝑥+𝑥=−𝑏𝑎𝑥⋅𝑥=𝑐𝑎.и

Поскольку данное квадратное уравнение равно −3𝑥−16𝑥+63=0, имеем 𝑎=−3, 𝑏=−16, 𝑐=63.

Используя приведенную выше формулу, сумма его корней равна 𝑥+𝑥=−𝑏𝑎=−−16−3=−163.

Значит, сумма его корней равна −163.

Используя соотношение между коэффициентами и корнями квадратных уравнений, мы можем найти квадратные уравнения, зная их корни. Это процесс, обратный задачи на нахождение корней квадратного уравнения. Для таких типов проблем мы также можем проверить наш ответ, найдя корни квадратного уравнения и сравнивая их с данными корнями.

При выводе квадратного уравнения из корней проще начать с более простая форма 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, где старший коэффициент равен 1. Если любой из коэффициентов 𝑏 и 𝑐 является дробью, то мы можем умножить оба части уравнения под общим знаменателем, чтобы еще больше упростить квадратичное уравнение.

Например, выведем квадратное уравнение с корнями 72 и −2. Начиная с квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, мы можем использовать нашу теорему, чтобы записать 72−2=−𝑏⟹𝑏=−32 и 72⋅(−2)=𝑐⟹𝑐=−7.

Итак, мы получаем 𝑏=−32 и 𝑐=−7, что приводит к квадратному уравнению 𝑥−32𝑥−7=0.

Поскольку это уравнение содержит нецелый коэффициент, 32, мы можем еще больше упростить это уравнение, умножив оба сторон на 2. Тогда получим 2𝑥−3𝑥−14=0.

Итак, простейшее квадратное уравнение с корнями 72 и −2 равно 2𝑥−3𝑥−14=0.

Мы можем проверить наш ответ, решив квадратное уравнение с помощью факторизации. Мы можем разложить квадратное выражение 2𝑥−3𝑥−14 как (2𝑥−7)(𝑥+2), поэтому (2𝑥−7)(𝑥+2)=0.

Это приводит к корням 𝑥=72 и 𝑥=−2, что согласуется с данными корнями. Это подтверждает наш ответ.

Теперь мы рассмотрим несколько примеров, где мы выводим квадратное уравнение от корней.

Пример 2. Связь между коэффициентом квадратного уравнения и его корнями

Учитывая, что −1 и −6 являются решениями уравнения уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, найти значения 𝑏 и 𝑐.

Ответ

Напомним, что для квадратных уравнений вида 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корнями 𝑥 и 𝑥, 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐.и

Нам дано, что 𝑥=−1 и 𝑥=−6 — корни уравнения, поэтому −1−6=−𝑏, что приводит к 𝑏=7. Кроме того, у нас есть (−1)⋅(−6)=𝑐, что приводит к 𝑐=6.

Мы проверяем наш ответ, решая квадратное уравнение в обратном направлении: факторинг. Наш ответ приводит к квадратному уравнению 𝑥+7𝑥+6=0.

По факторингу (𝑥+1)(𝑥+6)=0, мы можем получить корни 𝑥=−1 и 𝑥=−6. Эти корни согласуются с приведенными по проблеме.

Итак, 𝑏=7 и 𝑐=6.

Пример 3. Составление квадратных уравнений в простейшей форме с учетом их корней

Найдите в простейшей форме квадратное уравнение, корни которого −3 и −8.

Ответ

Так как мы ищем простейшую форму квадратного уравнения, надо искать квадратное уравнение с целыми коэффициентами. Начнем с формы 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. Если какой-либо из коэффициентов являются дробями, то мы можем умножить обе части уравнения на общее знаменатель для упрощения уравнения.

Мы помним, что если 𝑥 и 𝑥 — корни этого уравнения, то 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐.и

Нам дано, что 𝑥=−3 и 𝑥=−8 — его корни, поэтому −3−8=−𝑏, что приводит к 𝑏=11. Кроме того, у нас есть (−3)⋅(−8)=𝑐, что приводит к 𝑐=24. Поскольку коэффициенты 𝑏 и 𝑐 — целые числа, нам не нужно больше изменять это уравнение. Таким образом, мы получаем квадратное уравнение 𝑥+11𝑥+24=0.

Мы можем проверить наш ответ, решив квадратное уравнение путем факторизации: 𝑥+11𝑥+24=0⟹(𝑥+3)(𝑥+8)=0, поэтому мы получаем корни 𝑥=−3 и 𝑥=−8.Эти корни согласен с данными в задаче.

Таким образом, квадратное уравнение с корнями −3 и −8 в простейшей форме равно 𝑥+11𝑥+24=0.

Пример 4. Составление квадратного уравнения в простейшей форме с учетом его корней

Найдите в простейшей форме квадратное уравнение, корни которого 5+√2 и 5−√2.

Ответ

Начнем с формы 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. Если какой-либо из коэффициентов дроби, то мы можем умножить обе части уравнения на общее знаменатель для упрощения уравнения. Мы помним, что если 𝑥 и 𝑥 корни этого уравнения, то 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐. и

Нам дано, что 𝑥=5+√2 и 𝑥=5−√2 — его корни, поэтому −𝑏=5+√2+5−√2=(5+5)+√2−√2=10, что приводит к 𝑏=−10. Также, напоминая о разнице формула квадратов, (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=𝑥−𝑦, получаем 𝑐=5+√2⋅5−√2=5−√2=25−2=23.

Получаем квадратное уравнение 𝑥−10𝑥+23=0.

Мы можем проверить наш ответ, решив квадратное уравнение, используя квадратное уравнение формула: 𝑥=−(−10)±(−10)−4⋅1⋅232⋅1=10±√82=10±2√22=5±√2.

Эти корни совпадают с данными в задаче.

Итак, квадратное уравнение с корнями 5+√2 и 5−√2, в простейшей форме это 𝑥−10𝑥+23=0.

В следующем примере мы продемонстрируем, как выполняется процедура для комплексных корней.

Пример 5. Идентификация квадратных уравнений с заданной парой комплексных корней

Какое квадратное уравнение имеет корни 𝑥=2±𝑖?

  1. 𝑥-4𝑥 + 5 = 0
  2. 𝑥 + 4𝑥 + 5 = 0
  3. 𝑥-4𝑥 + 3 = 0
  4. 𝑥 + 4𝑥 + 3 = 0
  5. 𝑥-5𝑥 + 4 = 0 

Ответ

Поскольку все заданные варианты имеют старший коэффициент 1, начнем с квадратное уравнение 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. Мы помним, что если 𝑥 и 𝑥 являются корнями этого уравнения, то 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐. и

Нам дано, что 𝑥=2+𝑖 и 𝑥=2−𝑖 — его корни, поэтому −𝑏=(2+𝑖)+(2−𝑖)=(2+2)+(𝑖−𝑖)=4, что приводит к 𝑏=−4. Также, вспоминая разность квадратов формулы, (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=𝑥−𝑦, получаем 𝑐=(2+𝑖)⋅(2−𝑖)=2−(𝑖)=4−(−1)=5.

Получаем квадратное уравнение 𝑥−4𝑥+5=0.

Мы можем проверить наш ответ, решив квадратное уравнение, используя квадратное уравнение формула: 𝑥=−(−4)±(−4)−4⋅1⋅52⋅1=4±√−42=4±2𝑖2=2±𝑖.

Эти корни совпадают с данными в задаче.

Итак, квадратное уравнение с корнями 2+𝑖 и 2−𝑖 в простейшей форме равно 𝑥−4𝑥+5=0.

В последних двух примерах мы рассмотрим квадратные уравнения, содержащие неизвестное. Мы будем использовать связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения для решения этих задач.

Пример 6. Нахождение значения неизвестного в квадратном уравнении по одному из его корней

Учитывая, что 𝑥=−9 является корнем уравнения 𝑥+𝑚𝑥=36, определить значение 𝑚.

Ответ

Начнем с того, что представим данное уравнение в стандартной форме: 𝑥+𝑚𝑥−36=0.

Напомним, что для квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑐 равно произведению своих корней. В нашем примере 𝑐=−36. Нам дан один из его корней, 𝑥=−9, но мы не знаем другого корня, который обозначим 𝑥.

Тогда, −9⋅𝑥=−36⟹𝑥=−36−9=4.

Итак, второй корень этого уравнения равен 𝑥=4.

Напомним также, что для квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, −𝑏 равно сумме своих корней.В нашем примере 𝑏=𝑚. Поскольку мы знаем, что корни равны 𝑥=−9 и 𝑥=4, тогда −9+4=−𝑚⟹−5=−𝑚⟹𝑚=5.

Итак, 𝑚=5.

Пример 7. Нахождение значения алгебраического выражения с использованием соотношения между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями

Если 𝐿 и 𝑀 являются корнями уравнения 𝑥+10𝑥+9=0, каково значение 𝐿+𝑀?

Ответ

Есть два способа решить эту проблему. Первый заключается в использовании связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения для воспроизведения требуемое выражение.Во-вторых, найти корни квадратного уравнение, а затем вычислить требуемое выражение. Начнем с первого подход, и мы будем следовать со вторым.

Напомним, что для квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с корнями 𝐿 и 𝑀, 𝐿+𝑀=−𝑏𝐿⋅𝑀=𝑐.и

В нашем примере мы отмечаем, что 𝑏=10 и 𝑐=9, поэтому 𝐿+𝑀=−10𝐿𝑀=9.и

Теперь заметим, что искомое выражение 𝐿+𝑀 можно записать в виде 𝐿+𝑀=𝐿+𝑀+2𝐿𝑀−2𝐿𝑀=(𝐿+𝑀)−2𝐿𝑀.

Поскольку мы знаем 𝐿+𝑀=−10 и 𝐿𝑀=9, 𝐿+𝑀=(−10)−2⋅9=100−18=82.

Итак, 𝐿+𝑀=82, следуя первому способу.

Теперь рассмотрим второй метод. Учитывая уравнение 𝑥+10𝑥+9=0, мы можем факторизовать левую часть, (𝑥+1)(𝑥+9)=0, что дает нам корни 𝑥=−1 и 𝑥=−9. Мы можем присвоить 𝐿=−1 и 𝑀=−9 (результат был бы таким же, если бы мы присвоили 𝐿=−9 и 𝑀=−1, потому что требуемое выражение равно 𝐿+𝑀, а сложение коммутативно).

Вычислим требуемое выражение: 𝐿+𝑀=(−1)+(−9)=1+81=82.

Таким образом, 𝐿+𝑀 равно 82.

Ключевые моменты

  • Коэффициенты квадратного уравнения содержат информацию о сумме и произведении ее корней.
  • Для квадратных уравнений 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, если 𝑥 и 𝑥 — корни, то 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐.и
  • Для общих квадратных уравнений 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, если 𝑥 и 𝑥 — корни, то 𝑥+𝑥=−𝑏𝑎𝑥⋅𝑥=𝑐𝑎.и
  • При выводе квадратного уравнения 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 из учитывая корни 𝑥 и 𝑥, мы можем использовать сокращенные формулы 𝑥+𝑥=−𝑏𝑥⋅𝑥=𝑐.и

Объяснение квадратичной формулы | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Когда мне следует использовать квадратичную формулу?

Вы можете использовать квадратную формулу в любое время, когда пытаетесь решить квадратное уравнение, если это уравнение имеет форму «(квадратичное выражение), которое установлено равным нулю».

Часто самый простой способ решить « x 2 + bx + c = 0″ для значения x состоит в том, чтобы разложить квадратное число, установить каждый множитель равным нулю, а затем решить каждый фактор. Но иногда квадратное выражение слишком запутано, или оно вообще не учитывается, или, черт возьми, может быть, вам просто не хочется факторизовать. Хотя факторинг не всегда будет успешным, квадратичная формула всегда может найти ответы для вас.

Справка по математике.ком

Квадратичная формула использует « a «, « b » и « c » из « x 2 + bx + c 90″ 90″ 90″ 90″ 90 92″, где » b «, а « c » — просто числа; это «числовые коэффициенты» квадратного уравнения, которое они дали вам решить.

Квадратичная формула получена из процесса завершения квадрата и формально сформулирована как:

Что такое квадратичная формула?

Квадратичная формула — это правило, утверждающее, что в любом уравнении вида x 2 + bx + c = 0 решение x -значения уравнения задаются формулой:

Как использовать квадратичную формулу?

Для использования квадратичной формулы необходимо:

  • Приведите уравнение к форме «(квадратичное) = 0».

  • Расположите члены (уравнения) в порядке убывания (сначала квадратный член, затем член x и, наконец, линейный член).

  • Вытяните числовые части каждого из этих терминов, а именно « a », « b » и « c » Формулы.

  • Подставьте эти числа в формулу.

  • Упростите, чтобы получить ответы.

Рекомендации: «2 a » в знаменателе формулы находится под всем вышеперечисленным, а не только под квадратным корнем. И там внизу «2 a «, а не просто «2». Убедитесь, что вы не уронили квадратный корень или «плюс/минус» в середине ваших вычислений, иначе я могу гарантировать, что вы забудете «вставить их обратно» в своем тесте, и вы запутаетесь. себя вверх. Помните, что « b 2 » означает «квадрат ВСЕХ чисел b , включая его знак», поэтому не оставляйте b 2 отрицательным, даже если b отрицательно, потому что квадрат минуса — это плюс.

Другими словами, не будьте небрежными и не пытайтесь идти коротким путем, потому что это только навредит вам в долгосрочной перспективе. Поверьте мне в этом!

Что является примером использования квадратичной формулы?

Это квадратичное число происходит с фактором, который я могу использовать, чтобы подтвердить то, что я получаю из квадратичной формулы. Формула должна дать мне такие же ответы.

х 2 + 3 х – 4 = ( х + 4)( х – 1) = 0

…так что я уже знаю, что решения x = -4 и x = 1.

Теперь, как бы мое решение выглядело в квадратной формуле? Используя a = 1, b = 3 и c = –4, мой процесс решения выглядит следующим образом:

Итак, как и ожидалось, решение х = -4, х = 1.

Для этого конкретного квадратного уравнения факторизация, вероятно, будет более быстрым методом. Но Квадратичная формула — это метод plug-n-chug, который всегда будет работать 90 391 и 90 392. У вас «заморозка мозгов» на тесте, и вы не можете ничего стоящего? Используйте формулу plug-n-chug; он всегда будет заботиться о вас!


Как квадратичная формула связана с пересечениями по оси x?

Решения квадратного уравнения, представленные Квадратной формулой, являются точками пересечения x соответствующей параболы, изображенной на графике.

Как? Ну, когда y = 0, вы находитесь на оси x . Точки пересечения x на графике — это места, где парабола пересекает ось x . Вы применяете квадратичную формулу к уравнению x 2 + bx + c = y , где y равно нулю.

Глядя на приведенный выше пример, у уравнения есть два решения: x 2 + 3 x – 4 = 0.Это говорит нам о том, что на графике должно быть два x -перехвата. Построив график, мы получим следующую кривую:

Как видите, точки пересечения x (красные точки выше) соответствуют решениям, пересекая ось x в точке x = –4 и x = 1. Это показывает связь между построением графика и решением: когда вы решаете «(квадратичное) = 0», вы находите x -отрезков графика. Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратного уравнения, а затем использовать свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые x -пересечения имеют те же десятичные значения, что и сделать решения, обеспеченные квадратной формулой.

Обратите внимание, однако, что отображение графика калькулятором, вероятно, будет иметь некоторую ошибку округления, связанную с пикселями, поэтому вам нужно проверить, чтобы вычисленные и графические значения были достаточно близки; не ждите точного совпадения.


  • Решить 2
    x 2 – 4 x – 3 = 0. При необходимости округлить ответ до двух знаков после запятой.

В (2)(–3) = –6 нет множителей, которые в сумме дают –4, поэтому я знаю, что этот квадрат нельзя разложить на множители. Я буду применять квадратную формулу. В этом случае a = 2, b = –4 и c = –3:

Тогда ответ будет х = –0.58, х = 2,58, округленное до двух знаков после запятой.

Можно ли округлить ответы квадратичной формулы?

В общем, нет, не стоит; обычно требуется, чтобы «решение» или «корни» или «нули» квадратного числа были в «точной» форме ответа. Вы можете использовать округленную форму при построении графика (при необходимости), но «ответ(ы)» из квадратичной формулы следует записывать в (часто беспорядочной) «точной» форме.

В приведенном выше примере точной формой является форма с квадратными корнями из десяти. Если вы хотите изобразить на графике пересечения x или вам нужно упростить окончательный ответ в словесной задаче, чтобы он имел практическую («реальную») форму, вы можете использовать приближение калькулятора. Но если у вас нет веских оснований полагать, что ответ должен быть округленным, всегда выбирайте точную форму.

Подкрепляя концепцию: сравните решения, которые мы нашли выше для уравнения 2 x 2 – 4 x – 3 = 0 с x -пересечениями графика:

Как и в предыдущем примере, точки пересечения x соответствуют нулям квадратичной формулы.Это всегда верно. «Решения» уравнения также являются точками пересечения x соответствующего графика.


URL: https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm

квадратных уравнений с комплексными коэффициентами|дискриминант

Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами, что означает, что коэффициенты уравнений не являются действительными числами, они могут быть мнимыми числами (i). {2}}}{2i}$

=$\frac{1 — \sqrt{1+48}}{2i}$

= $\frac{1 — 7}{2i}$
= $\frac {-3}{i}$
= 3i (после рационализации)
Итак, корни данного уравнения равны -4i и 3i.

Математика в 11 классе

От квадратных уравнений с комплексными коэффициентами к дому

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться!!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Алгебра. Квадратные уравнения. Часть II

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне).Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-6: Квадратные уравнения — Часть II

Тема решения квадратных уравнений разбита на две части для удобства тех, кто просматривает это в Интернете.В качестве одного раздела время загрузки страницы было бы довольно долгим. Это второй раздел по решению квадратных уравнений.

В предыдущем разделе мы рассмотрели использование факторинга и свойства квадратного корня для решения квадратных уравнений. Проблема в том, что оба этих метода решения не всегда будут работать. Не каждое квадратное число факторизуемо, и не каждое квадратное число имеет форму, необходимую для свойства квадратного корня. 2} — 2х — 1 = 0\) Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Решим первую задачу подробно, подробно указав каждый шаг.2} — 6x + 1 = 0\) Показать решение

Итак, приступим.

Шаг 1 : Разделите уравнение на коэффициент члена x 2 . Напомним, что для заполнения квадрата при этом члене требовался коэффициент, равный единице, и это гарантирует, что мы его получим. Однако нам не нужно делать это для этого уравнения.

Шаг 2 : Составьте уравнение так, чтобы \(x\) были слева, а константа справа.2} — 6х = — 1\]

Шаг 3 : Заполните квадрат с левой стороны. Однако на этот раз нам нужно будет добавить число к обеим сторонам знака равенства, а не только к левой стороне. Это потому, что мы должны помнить правило: то, что мы делаем с одной частью уравнения, нужно делать и с другой частью уравнения. 2} + 6x + 7 = 0\) Показать решение

На этот раз мы не будем явно указывать шаги и не будем подробно объяснять это уравнение.2} & = \ frac {4} {9} \\ x — \ frac {1} {3} & = \ pm \ sqrt {\ frac {4} {9}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма}x = \frac{1}{3} \pm \frac{2}{3}\end{align*}\]

Обратите внимание, что в данном случае мы можем произвести здесь арифметические действия, чтобы получить два целых и/или дробных решения. Мы всегда должны делать это, когда в нашем решении есть только целые числа и/или дроби. Вот два решения.

\[x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\hspace{0.25 дюймов}{\mbox{и}}\hspace{0,25 дюйма}x = \frac{1}{3} — \frac{2}{3} = — \frac{1}{3}\]

Краткий комментарий к последнему уравнению, которое мы решили в предыдущем примере, уместно. Поскольку в качестве решений мы получили целые числа и дроби, мы могли бы просто разложить это уравнение на множители с самого начала, а не использовать завершение квадрата. В таких случаях мы могли бы использовать любой метод, и мы получили бы тот же результат.

Реальность такова, что заполнение квадрата — довольно долгий процесс, и в нем легко ошибиться.Таким образом, мы редко используем его для решения уравнений. Однако это не означает, что не важно знать процесс. Мы будем использовать его в нескольких разделах последующих глав, и он часто используется в других классах.

Квадратичная формула

Это последний метод решения квадратных уравнений, и он всегда будет работать. Не только это, но если вы помните формулу, это также довольно простой процесс.

Мы можем вывести квадратную формулу, заполнив квадрат общей квадратичной формулы в стандартной форме.2} + 2x — 7 = 0\]

Теперь мы можем определить значения для использования в квадратичной формуле. Для этого уравнения имеем.

\[a = 1\hspace{0,25 дюйма}b = 2\hspace{0,25 дюйма}c = — 7\]

Обратите внимание на «-» с \(c\). 2} — 4\left( 1 \right)\left( { — 7 } \right)} }}{{2\left( 1 \right)}}\\ & = \frac{{ — 2 \pm \sqrt {32} }}{2}\end{align*}\]

У этого уравнения есть два решения.Есть также некоторое упрощение, которое мы можем сделать. Однако нам нужно быть осторожными. Одна из самых больших ошибок на этом этапе — «отменить» две двойки в числителе и знаменателе. Помните, что для того, чтобы исключить что-либо из числителя или знаменателя, это нужно умножить на весь числитель или знаменатель. Поскольку 2 в числителе не умножается на весь знаменатель, его нельзя отменить.

Чтобы сделать здесь какое-либо упрощение, нам сначала нужно уменьшить квадратный корень.2} + 11 — 5q = 0\]

Это не совсем типичная стандартная форма. Тем не менее, мы должны отметить здесь, чтобы мы не сделали очень распространенную ошибку, которую допускают многие студенты, впервые изучая квадратную формулу.

Многие учащиеся просто получают все на одной стороне, как мы сделали здесь, а затем получают значения \(a\), \(b\) и \(c\) в зависимости от положения. 2} — 4\ влево( 3 \вправо)\влево( {11} \вправо)} }}{{2\влево( 3 \вправо)}}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt {25 — 132} }} {6}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt { — 107} }}{6}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt {107} \,\,i}}{6 }\конец{выравнивание*}\]

Как и во всех других рассмотренных нами методах решения квадратных уравнений, не забудьте преобразовать квадратные корни из отрицательных чисел в комплексные числа.2} — 4\left( 7 \right)\left( { — 6} \right)} }}{{2\left( 7 \right)}}\\ & = \frac{{ — 19 \pm \sqrt {361 + 168} }}{{14}}\\ & = \frac{{ — 19 \pm \sqrt {529} }}{{14}}\\ & = \frac{{ — 19 \pm 23} }{{14}}\end{выравнивание*}\]

Теперь вспомните, что когда мы получаем решения, подобные этому, нам нужно сделать дополнительный шаг и фактически определить целые и/или дробные решения. В данном случае это

. \[t = \frac{{ — 19 + 23}}{{14}} = \frac{2}{7}\hspace{0.25in}t = \frac{{ — 19 — 23}}{{14}} = — 3\]

Теперь, как и в случае с завершением квадрата, тот факт, что мы получили целое и/или дробное решение, означает, что мы могли бы также разложить это квадратное уравнение на множители.


d \(\frac{3}{{y — 2}} = \frac{1}{y} + 1\) Показать решение

Итак, уравнение с дробями. Первым шагом является идентификация ЖК-дисплея.

\[{\mbox{LCD:}}y\left({y — 2} \right)\]

Итак, похоже, нам нужно убедиться, что в наших ответах нет ни \(y = 0\), ни \(y = 2\), чтобы мы не получили деление на ноль.2} + 16х = 0\]

Вот константы для использования в квадратичной формуле.

\[a = — 1\hspace{0,25 дюйма}b = 16\hspace{0,25 дюйма}c = 0\]

Обратите внимание на две вещи, касающиеся этих значений. Во-первых, у нас впервые есть отрицательный \(a\). Ничего страшного, но такое мы видим впервые. Во-вторых, что более важно, одно из значений равно нулю. Это хорошо. Это будет происходить время от времени, и на самом деле, если одно из значений равно нулю, это значительно упростит работу.2} — 4\влево( { — 1} \вправо)\влево( 0 \вправо)} }}{{2\влево( { — 1} \вправо)}}\\ & = \frac{{ — 16 \ pm \sqrt {256} }}{{ — 2}}\\ & = \frac{{ — 16 \pm 16}}{{ — 2}}\end{align*}\]

Преобразование их в целые числа или дроби дает

\[x = \frac{{ — 16 + 16}}{{ — 2}} = \frac{0}{-2} = 0\hspace{0,25 дюйма}x = \frac{{ — 16 — 16}} {{ — 2}} = \frac{{ — 32}}{{ — 2}} = 16\]

Таким образом, мы получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = 16\). Это именно те решения, которые мы получили бы, разложив уравнение на множители.

До сих пор и в этом разделе, и в предыдущем мы рассматривали только уравнения с целыми коэффициентами. Однако это не обязательно так. У нас могут быть коэффициенты, которые являются дробями или десятичными знаками. Итак, давайте рассмотрим пару примеров, чтобы можно было сказать, что мы тоже видели что-то подобное.

Пример 4. Решите каждое из следующих уравнений.2} + x — \frac{1}{{10}} = 0\) Показать решение

Есть два способа работы с этим. Мы можем либо оставить дроби, либо умножить на LCD (в данном случае 10) и решить это уравнение. В любом случае ответ будет один. Здесь мы будем рассматривать только дробный случай, так как в этом суть этой задачи. Вы должны попробовать другой способ, чтобы убедиться, что вы получаете то же решение.

В этом случае здесь приведены значения квадратной формулы, а также квадратичная формула работы для этого уравнения. 2} — 4 \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {2}} \ вправо) \ влево ( { — \ гидроразрыва {1} {{10}}} \ вправо)}}} {{2 \ влево ( {\ frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{ — 1 \pm \sqrt {1 + \frac{1}{5}} }}{1} = — 1 \pm \sqrt {\ дробь{6}{5}} \]

В этих случаях мы обычно делаем дополнительный шаг, удаляя квадратный корень из знаменателя, так что давайте также сделаем это,

\[x = — 1 \pm \frac{{\sqrt 6}}{{\sqrt 5}}\,\frac{{\sqrt 5}}{{\sqrt 5}} = — 1 \pm \frac{ {\ sqrt {\ влево ( 6 \ вправо) \ влево ( 5 \ вправо)}}} {5} = — 1 \ pm \ frac {{\ sqrt {30}}} {5} \]

Если вы очистите дроби и прогоните квадратную формулу, вы должны получить точно такой же результат.2} — 0,23x + 0,09 = 0\) Показать решение

В этом случае не волнуйтесь о десятичных дробях. Квадратичная формула работает точно так же. Вот значения и квадратичная формула для решения этой задачи.

\[a = 0,04\hspace{0,25 дюйма}b = — 0,23\hspace{0,25 дюйма}c = 0,09\] \[\begin{align*}x & = \frac{{ — \left( { — 0,23} \right) \pm \ sqrt {{{\left( { — 0,23} \right)}^2} — 4\ осталось( {0. 04} \right)\left( {0,09} \right)} }}{{2\left( {0,04} \right)}}\\ & = \frac{{0,23 \pm \sqrt {0,0529 — 0,0144} } }{{0.08}}\\ & = \frac{{0.23 \pm \sqrt {0.0385} }}{{0.08}}\end{align*}\]

Теперь в этом будет одно отличие этих задач от задач с целыми или дробными коэффициентами. Когда у нас есть десятичные коэффициенты, мы обычно идем дальше и вычисляем два отдельных числа. Итак, давайте сделаем это,

\[х = \фрак{{0.23 \pm \sqrt {0,0385} }}{{0,08}} = \frac{{0,23 \pm 0,19621}}{{0,08}}\] \[\begin{align*}x = \frac{{0,23 + 0,19621}}{{0,08}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,25 дюйма}x = \frac{{0,23 — 0,19621}}{{0,08}}\\ & \,\,\,\, = 5,327625\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{и}}\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\, = 0,422375\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что мы использовали округление квадратного корня.

В течение последних двух разделов мы довольно много решили. Важно, чтобы вы понимали большую часть, если не все, из того, что мы делали в этих разделах, поскольку вам будет предложено выполнить такую ​​работу в некоторых последующих разделах.

Квадратное уравнение — обзор

VI.C Приложения к разрешимости и конструируемости

Проблема решения квадратных уравнений восходит как минимум к вавилонянам. В девятом веке мусульманский математик Аль-Хорисми дал вариант современной квадратичной формулы. В середине шестнадцатого века итальянские математики привели решение кубического уравнения к виду

x3+mx=n

, разделив его на коэффициент x 3 и сделав замену x на некоторые x  —  c .Затем они решили это как

x=a−ba=(n/2)+(n/2)2+(m/3)33b=−(n/2)+(n/2)2+(m/ 3)3.3

Они приступили к решению уравнений четвертой степени путем сведения их к кубическим. Но никто не смог решить общую квинтику, используя n -й корень, и в 1824 г. Н. Г. Абель доказал, что это невозможно. Э. Галуа за свою короткую жизнь доказал и это как часть общей теории, применимой ко всем полиномам. Это основано на теории поля, и мы опишем ее далее.

В расширениях F ( t ) один корень многочлена p ( t ) добавлен или присоединен к F .Расширения, полученные путем сложения всех корней многочлена, называются нормальными расширениями. Корни можно добавлять по одному в любом порядке.

Конечномерные нормальные расширения можно изучать с помощью конечных групп, называемых группами Галуа. Группа Галуа нормального расширения F E — это группа всех полевых автоморфизмов E , тождественных на F . По сути, это переставит корни многочлена, корни которого порождают расширение.Например, пусть F  =  Q (ξ) и пусть E  =  F (23 ), где ξ=(−1+i3)/2. Тогда существует автоморфизм E , принимающий 23 → ξ23 ξ23 → ξ 2 (23 ), ξ 2 (23) → 23. Группа Галуа циклическая третьего порядка, порожденная этим автоморфизмом. Поскольку отношение ξ двух корней обращается в себя, оно равно Q (ξ).

Порядок группы Галуа равен степени нормального расширения. Кроме того, существует соответствие 1–1 между подполями F K E и подгруппами H G , группой Галуа F 9078 над 90.778.К подгруппе ч ассоциируется поле K = { x E : F ( F ( x ) = x Для всех F K }.

Поле разложения полинома p над полем F является минимальным расширением F , над которым p разлагается на множители степени 1. Это нормальное расширение, и любые два поля разложения изоморфны.

Предположим, что многочлен p разрешим в радикалах над Q .Пусть E будет полем разбиения p на Q . Каждый раз, когда мы извлекаем радикал, корни радикала генерируют нормальное расширение F 1 предыдущего поля F 2 . Пусть E i  =  F i E . Тогда F 2 над F 1 имеет циклическую группу Галуа, поэтому E 2 над E 1 также имеет.

Отсюда следует, что существует серия расширений д = г 0 D 1 ⊂ ⋯ ⊂ D N = E Каждый нормальный по сравнению с предыдущим группа Галуа каждого над другим является циклической. Отсюда следует, что группа Galois G имеет серию подгрупп = { E } ⊂ G N-1 ⊂ ⋯ ⊂ G 0 = г Такое, что g i является нормальной подгруппой группы G i−1 с циклической факторгруппой.Такая группа называется разрешимой.

Симметрическая группа степени 5 имеет в качестве единственной нетривиальной собственной нормальной подгруппы знакопеременную группу, которая является простой. Следовательно, это не решаемо. Если F ( x ) является неприводимым многочленом степени 5 над Q ровно с двумя невещественными корнями, в его группе Галуа существует элемент порядка 5 только потому, что 5 делит степень поля расщепления. Комплексное сопряжение дает транспозицию. Следовательно, группа Галуа равна L 5 .Таким образом, многочлены степени 5, вообще говоря, не могут быть решены радикалами.

Обратно, верно, что любое нормальное расширение E F с циклической группой Галуа может быть порождено радикалами. Можно показать, что существует единственный элемент θ такой, что E  =  F (θ) ( c с учетом всех линейных комбинаций θ базиса для E по F , и существует конечное число промежуточных полей).

Пусть расширение циклическое порядка n и пусть τ таково, что τ n  = 1, но не ниже степени.Пусть автоморфизм g порождает группу Галуа. Пусть t = θ + τ g (θ) + ⋯ + τ n-1 g n-1 (θ). Затем T имеет N 4 N Отчетные сопряжения ( A Ssuming τu ∈ F ) G I (θ) + τ G I + 1 (θ) + ⋯ + τ N-1 g n-1+i (θ), поэтому его минимальный полином имеет степень n . Поскольку g ( t ) = τ − 1 ( t ), элемент t n  =  a инвариантен относительно группы Галуа F 907 и лежит в группе F 907 . Итак, θa, g (θ),…,g n-1 (θ) лежат в поле разбиения x n  =  a , что должно быть E .

Геометрические построения обеспечивают применение теории поля. Предположим, нам дан единичный отрезок. Какие фигуры можно построить из него с помощью линейки и циркуля? Пусть отрезок принят за единицу длины или ось x . Везде, где мы строим новую точку из существующих с помощью линейки и циркуля, это пересечение линии или окружности с линией или окружностью.Такие пересечения приводят к квадратным уравнениям. Следовательно, если точку P можно построить, каждая координата должна быть получена из рациональных чисел путем сложения, вычитания, умножения, деления или извлечения квадратных корней. Такие величины лежат в области удлинитель E ⊂ 9077 Q Так что существуют поля E 0 = Q E 1 ⊂ ⋯ ⊂ E = E и En=En-1a для a  ∈  E n -1 . Степень [ е : q ] = [ E : E N -1 ] ⋯ [ E 1 : E 0 ] является степенью числа 2.

Следовательно, если x является координатой конструктивной точки, x лежит в расширении степени 2 n , фактически нормальном расширении степени 2 n . Но если [ Q ( x ) :  Q ] имеет степень, не равную степени 2, то это невозможно, поскольку [ E   :  Q ] = [ E  :  : 932 x )] [ Q ( x ) :  Q ].

В частности, дублирование куба ( p деление куба объема ровно на 2) и трисекция угла 60° приводят к корням неприводимых кубиков x 3  — 2 = 0 и 4cos 3 θ- 3cosθ−cos 60° = 0 и не может быть выполнено. Поскольку π i не удовлетворяет никакому моническому многочлену с коэффициентами в Q , круг нельзя возвести в квадрат.

Графики квадратных уравнений с использованием оси симметрии

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 .Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + с

где а , б и с все действительные числа и а ≠ 0 .

Если мы заменим 0 с участием у , то мы получаем квадратичная функция

у знак равно а Икс 2 + б Икс + с

график которого будет парабола .

Осью симметрии этой параболы будет линия Икс знак равно − б 2 а . Ось симметрии проходит через вершину, поэтому Икс -координата вершины − б 2 а . Заменять Икс знак равно − б 2 а в уравнении найти у -координата вершины. Замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -значения и построить точки.Соедините их и удлините параболу.

Пример 1:

График параболы у знак равно Икс 2 − 7 Икс + 2 .

Сравните уравнение с у знак равно а Икс 2 + б Икс + с чтобы найти значения а , б , и с .

Здесь, а знак равно 1 , б знак равно − 7 и с знак равно 2 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение ось симметрии .

График квадратного уравнения в виде у знак равно а Икс 2 + б Икс + с имеет своей осью симметрии линию Икс знак равно − б 2 а .Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид Икс знак равно − ( − 7 ) 2 ( 1 ) или Икс знак равно 7 2 .

Заменять Икс знак равно 7 2 в уравнении найти у -координата вершины.

у знак равно ( 7 2 ) 2 − 7 ( 7 2 ) + 2 знак равно 49 4 − 49 2 + 2 знак равно 49 − 98 + 8 4 знак равно − 41 4

Следовательно, координаты вершины равны ( 7 2 , − 41 4 ) .

Теперь замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -ценности.

Икс у знак равно Икс 2 − 7 Икс + 2
0 2
1 − 4
2 − 8
3 − 10
5 − 8
7 2

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 2:

График параболы у знак равно − 2 Икс 2 + 5 Икс − 1 .

Сравните уравнение с у знак равно а Икс 2 + б Икс + с чтобы найти значения а , б , и с .

Здесь, а знак равно − 2 , б знак равно 5 и с знак равно − 1 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде у знак равно а Икс 2 + б Икс + с имеет своей осью симметрии линию Икс знак равно − б 2 а . Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид Икс знак равно − ( 5 ) 2 ( − 2 ) или Икс знак равно 5 4 .

Заменять Икс знак равно 5 4 в уравнении найти у -координата вершины.

у знак равно − 2 ( 5 4 ) 2 + 5 ( 5 4 ) − 1 знак равно − 50 16 + 25 4 − 1 знак равно − 50 + 100 − 16 16 знак равно 34 16 знак равно 17 8

Следовательно, координаты вершины равны ( 5 4 , 17 8 ) .

Теперь замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -ценности.

Икс у знак равно − 2 Икс 2 + 5 Икс − 1
− 1 − 8
0 − 1
1 2
2 1
3 − 4

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 3:

График параболы Икс знак равно у 2 + 4 у + 2 .

Здесь, Икс является функцией у . Парабола открывается «вбок» и ось симметрии параболы горизонтальна. Стандартная форма уравнения горизонтальной параболы: Икс знак равно а у 2 + б у + с где а , б , и с все действительные числа и а ≠ 0 а уравнение оси симметрии имеет вид у знак равно − б 2 а .

Сравните уравнение с Икс знак равно а у 2 + б у + с чтобы найти значения а , б , и с .

Здесь, а знак равно 1 , б знак равно 4 и с знак равно 2 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде Икс знак равно а у 2 + б у + с имеет своей осью симметрии линию у знак равно − б 2 а . Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид у знак равно − 4 2 ( 1 ) или у знак равно − 2 .

Заменять у знак равно − 2 в уравнении найти Икс -координата вершины.

Икс знак равно ( − 2 ) 2 + 4 ( − 2 ) + 2 знак равно 4 − 8 + 2 знак равно − 2

Следовательно, координаты вершины равны ( − 2 , − 2 ) .

Теперь замените еще несколько у -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие Икс -ценности.

у Икс знак равно у 2 + 4 у + 2
− 5 7
− 4 2
− 3 − 1
− 1 − 1
0 2
1 7

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.