Кесте тригонометрия: синус, косинус, тангенс, котангенс, свойства функций. Формулы. Курсы по математике.

Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Содержание:

Таблица синусов — это посчитанные значения синусов от 0° до 360°. Когда нет рядом калькулятора таблица синусов просто незаменима. Для того, чтобы узнать чему равен синус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице и все. Таблица синусов — это основно материал тригонометрии, который необходимо знать или, как минимум, понимать. Пользуйтесь на здоровье таблицей значений синусов. Если Вы изучаете тригонометрические функции Вам может понадобиться перечень тригонометрических формулы.

Таблица синусов 0° — 180°

Sin(1°) 0.0175 Sin(2°) 0.0349 Sin(3°) 0.0523 Sin(4°) 0.0698 Sin(5°) 0.0872 Sin(6°) 0.1045 Sin(7°) 0.1219 Sin(8°) 0. 1392 Sin(9°) 0.1564 Sin(10°) 0.1736 Sin(11°) 0.1908 Sin(12°) 0.2079 Sin(13°) 0.225 Sin(14°) 0.2419 Sin(15°) 0.2588 Sin(16°) 0.2756 Sin(17°) 0.2924 Sin(18°) 0.309 Sin(19°) 0.3256 Sin(20°) 0.342 Sin(21°) 0.3584 Sin(22°) 0.3746 Sin(23°) 0.3907 Sin(24°) 0.4067 Sin(25°) 0.4226 Sin(26°) 0.4384 Sin(27°) 0.454 Sin(28°) 0.4695 Sin(29°) 0.4848 Sin(30°) 0.5 Sin(31°) 0.515 Sin(32°) 0. 5299 Sin(33°) 0.5446 Sin(34°) 0.5592 Sin(35°) 0.5736 Sin(36°) 0.5878 Sin(37°) 0.6018 Sin(38°) 0.6157 Sin(39°) 0.6293 Sin(40°) 0.6428 Sin(41°) 0.6561 Sin(42°) 0.6691 Sin(43°) 0.682 Sin(44°) 0.6947 Sin(45°) 0.7071

Sin(46°) 0.7193 Sin(47°) 0.7314 Sin(48°) 0.7431 Sin(49°) 0.7547 Sin(50°) 0.766 Sin(51°) 0.7771 Sin(52°) 0.788 Sin(53°) 0.7986 Sin(54°) 0.809 Sin(55°) 0. 8192 Sin(56°) 0.829 Sin(57°) 0.8387 Sin(58°) 0.848 Sin(59°) 0.8572 Sin(60°) 0.866 Sin(61°) 0.8746 Sin(62°) 0.8829 Sin(63°) 0.891 Sin(64°) 0.8988 Sin(65°) 0.9063 Sin(66°) 0.9135 Sin(67°) 0.9205 Sin(68°) 0.9272 Sin(69°) 0.9336 Sin(70°) 0.9397 Sin(71°) 0.9455 Sin(72°) 0.9511 Sin(73°) 0.9563 Sin(74°) 0.9613 Sin(75°) 0.9659 Sin(76°) 0.9703 Sin(77°) 0.9744 Sin(78°) 0.9781 Sin(79°) 0. 9816 Sin(80°) 0.9848 Sin(81°) 0.9877 Sin(82°) 0.9903 Sin(83°) 0.9925 Sin(84°) 0.9945 Sin(85°) 0.9962 Sin(86°) 0.9976 Sin(87°) 0.9986 Sin(88°) 0.9994 Sin(89°) 0.9998 Sin(90°) 1

Sin(91°) 0.9998 Sin(92°) 0.9994 Sin(93°) 0.9986 Sin(94°) 0.9976 Sin(95°) 0.9962 Sin(96°) 0.9945 Sin(97°) 0.9925 Sin(98°) 0.9903 Sin(99°) 0.9877 Sin(100°) 0.9848 Sin(101°) 0.9816 Sin(102°) 0. 9781 Sin(103°) 0.9744 Sin(104°) 0.9703 Sin(105°) 0.9659 Sin(106°) 0.9613 Sin(107°) 0.9563 Sin(108°) 0.9511 Sin(109°) 0.9455 Sin(110°) 0.9397 Sin(111°) 0.9336 Sin(112°) 0.9272 Sin(113°) 0.9205 Sin(114°) 0.9135 Sin(115°) 0.9063 Sin(116°) 0.8988 Sin(117°) 0.891 Sin(118°) 0.8829 Sin(119°) 0.8746 Sin(120°) 0.866 Sin(121°) 0.8572 Sin(122°) 0.848 Sin(123°) 0.8387 Sin(124°) 0.829 Sin(125°) 0. 8192 Sin(126°) 0.809 Sin(127°) 0.7986 Sin(128°) 0.788 Sin(129°) 0.7771 Sin(130°) 0.766 Sin(131°) 0.7547 Sin(132°) 0.7431 Sin(133°) 0.7314 Sin(134°) 0.7193 Sin(135°) 0.7071

Sin(136°) 0.6947 Sin(137°) 0.682 Sin(138°) 0.6691 Sin(139°) 0.6561 Sin(140°) 0.6428 Sin(141°) 0.6293 Sin(142°) 0.6157 Sin(143°) 0.6018 Sin(144°) 0.5878 Sin(145°) 0.5736 Sin(146°) 0.5592 Sin(147°) 0.5446 Sin(148°) 0. 5299 Sin(149°) 0.515 Sin(150°) 0.5 Sin(151°) 0.4848 Sin(152°) 0.4695 Sin(153°) 0.454 Sin(154°) 0.4384 Sin(155°) 0.4226 Sin(156°) 0.4067 Sin(157°) 0.3907 Sin(158°) 0.3746 Sin(159°) 0.3584 Sin(160°) 0.342 Sin(161°) 0.3256 Sin(162°) 0.309 Sin(163°) 0.2924 Sin(164°) 0.2756 Sin(165°) 0.2588 Sin(166°) 0.2419 Sin(167°) 0.225 Sin(168°) 0.2079 Sin(169°) 0.1908 Sin(170°) 0.1736 Sin(171°) 0. 1564 Sin(172°) 0.1392 Sin(173°) 0.1219 Sin(174°) 0.1045 Sin(175°) 0.0872 Sin(176°) 0.0698 Sin(177°) 0.0523 Sin(178°) 0.0349 Sin(179°) 0.0175 Sin(180°) 0

Таблица синусов 180° — 360°

Sin(181°) -0.0175 Sin(182°) -0.0349 Sin(183°) -0.0523 Sin(184°) -0.0698 Sin(185°) -0.0872 Sin(186°) -0.1045 Sin(187°) -0.1219 Sin(188°) -0.1392 Sin(189°) -0.1564 Sin(190°) -0.1736 Sin(191°) -0.1908 Sin(192°) -0. 2079 Sin(193°) -0.225 Sin(194°) -0.2419 Sin(195°) -0.2588 Sin(196°) -0.2756 Sin(197°) -0.2924 Sin(198°) -0.309 Sin(199°) -0.3256 Sin(200°) -0.342 Sin(201°) -0.3584 Sin(202°) -0.3746 Sin(203°) -0.3907 Sin(204°) -0.4067 Sin(205°) -0.4226 Sin(206°) -0.4384 Sin(207°) -0.454 Sin(208°) -0.4695 Sin(209°) -0.4848 Sin(210°) -0.5 Sin(211°) -0.515 Sin(212°) -0.5299 Sin(213°) -0.5446 Sin(214°) -0.5592 Sin(215°) -0. 5736 Sin(216°) -0.5878 Sin(217°) -0.6018 Sin(218°) -0.6157 Sin(219°) -0.6293 Sin(220°) -0.6428 Sin(221°) -0.6561 Sin(222°) -0.6691 Sin(223°) -0.682 Sin(224°) -0.6947 Sin(225°) -0.7071

Sin(226°) -0.7193 Sin(227°) -0.7314 Sin(228°) -0.7431 Sin(229°) -0.7547 Sin(230°) -0.766 Sin(231°) -0.7771 Sin(232°) -0.788 Sin(233°) -0.7986 Sin(234°) -0.809 Sin(235°) -0.8192 Sin(236°) -0.829 Sin(237°) -0. 8387 Sin(238°) -0.848 Sin(239°) -0.8572 Sin(240°) -0.866 Sin(241°) -0.8746 Sin(242°) -0.8829 Sin(243°) -0.891 Sin(244°) -0.8988 Sin(245°) -0.9063 Sin(246°) -0.9135 Sin(247°) -0.9205 Sin(248°) -0.9272 Sin(249°) -0.9336 Sin(250°) -0.9397 Sin(251°) -0.9455 Sin(252°) -0.9511 Sin(253°) -0.9563 Sin(254°) -0.9613 Sin(255°) -0.9659 Sin(256°) -0.9703 Sin(257°) -0.9744 Sin(258°) -0.9781 Sin(259°) -0.9816 Sin(260°) -0. 9848 Sin(261°) -0.9877 Sin(262°) -0.9903 Sin(263°) -0.9925 Sin(264°) -0.9945 Sin(265°) -0.9962 Sin(266°) -0.9976 Sin(267°) -0.9986 Sin(268°) -0.9994 Sin(269°) -0.9998 Sin(270°) -1

Sin(271°) -0.9998 Sin(272°) -0.9994 Sin(273°) -0.9986 Sin(274°) -0.9976 Sin(275°) -0.9962 Sin(276°) -0.9945 Sin(277°) -0.9925 Sin(278°) -0.9903 Sin(279°) -0.9877 Sin(280°) -0.9848 Sin(281°) -0.9816 Sin(282°) -0. 9781 Sin(283°) -0.9744 Sin(284°) -0.9703 Sin(285°) -0.9659 Sin(286°) -0.9613 Sin(287°) -0.9563 Sin(288°) -0.9511 Sin(289°) -0.9455 Sin(290°) -0.9397 Sin(291°) -0.9336 Sin(292°) -0.9272 Sin(293°) -0.9205 Sin(294°) -0.9135 Sin(295°) -0.9063 Sin(296°) -0.8988 Sin(297°) -0.891 Sin(298°) -0.8829 Sin(299°) -0.8746 Sin(300°) -0.866 Sin(301°) -0.8572 Sin(302°) -0.848 Sin(303°) -0.8387 Sin(304°) -0.829 Sin(305°) -0. 8192 Sin(306°) -0.809 Sin(307°) -0.7986 Sin(308°) -0.788 Sin(309°) -0.7771 Sin(310°) -0.766 Sin(311°) -0.7547 Sin(312°) -0.7431 Sin(313°) -0.7314 Sin(314°) -0.7193 Sin(315°) -0.7071

Sin(316°) -0.6947 Sin(317°) -0.682 Sin(318°) -0.6691 Sin(319°) -0.6561 Sin(320°) -0.6428 Sin(321°) -0.6293 Sin(322°) -0.6157 Sin(323°) -0.6018 Sin(324°) -0.5878 Sin(325°) -0.5736 Sin(326°) -0.5592 Sin(327°) -0. 5446 Sin(328°) -0.5299 Sin(329°) -0.515 Sin(330°) -0.5 Sin(331°) -0.4848 Sin(332°) -0.4695 Sin(333°) -0.454 Sin(334°) -0.4384 Sin(335°) -0.4226 Sin(336°) -0.4067 Sin(337°) -0.3907 Sin(338°) -0.3746 Sin(339°) -0.3584 Sin(340°) -0.342 Sin(341°) -0.3256 Sin(342°) -0.309 Sin(343°) -0.2924 Sin(344°) -0.2756 Sin(345°) -0.2588 Sin(346°) -0.2419 Sin(347°) -0.225 Sin(348°) -0.2079 Sin(349°) -0.1908 Sin(350°) -0. 1736 Sin(351°) -0.1564 Sin(352°) -0.1392 Sin(353°) -0.1219 Sin(354°) -0.1045 Sin(355°) -0.0872 Sin(356°) -0.0698 Sin(357°) -0.0523 Sin(358°) -0.0349 Sin(359°) -0.0175 Sin(360°) -0

На нашем сайте представлено много теоретического материала по тригонометрии. Здесь Вы можете найти таблицы тригонометрических функций: таблицу синусов, таблицу косинусов, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов. Также специально для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили тригонометрические формулы, чтобы решение тригонометрических задач по математике вызывало меньше затруднений. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей синусов на здоровье.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Таблица Брадиса

Таблица Брадиса

Четырехзная математическая таблица Брадиса синусы, косинусы в градусах и минутах с точностью до одной минуты. Как пользоваться таблицей Брадиса sin cos пример. Значения синусов и косинусов для углов от 0 до 90 градусов.

Четырехзначная таблица Брадиса тангенсы, котангенсы от 0 до 90 градусов с точностью до одной минуты. Значения tg ctg таблица. Как пользоваться таблицей брадиса примеры. Таблица разбита на две части. В первой части таблицы Брадиса тангенсы от 0 до 75 и котангенсы от 15 до 90 градусов находятся при помощи дополнительных столбцов для 1, 2 и 3 минут. Во второй части тангенсы от 75 до 90 градусов и котангенсы от 0 до 15 градусов записаны прямо в таблицу с точностью до 1 минуты угла.

Математическая четырехзначная таблица синусов, косинусов, тангенсов в радианах. Значения sin, cos, tg от 0 до 3,14 радиан с точностью до 0,01 радиана.

Смотрите так же:

Таблица значений тригонометрических функций — синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы значения с дробями и корнями, тригонометрический круг картинка и знаки тригонометрических функций.

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг — интерактивная карта, угол вращаете курсором и смотрите значания функций для этого угла.

Таблица синусов от 0 до 360 градусов.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

07 февраля 2012 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15)

Как найти значения тригонометрических функций для угла 15 градусов

Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов аналитическим способом.
На первый взгляд, нахождение значений синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов — задача сложная. Однако, это не совсем так.
Нам на помощь придут формулы преобразования двойного угла тригонометрических функций.

Дело в том, что мы можем представить угол в 30 градусов, как двойной угол 15 градусов ( 2 * 15 ).

Тогда, отталкиваясь от тождества:
cos 2α = 1 — 2sin²α

Принимаем двойной угол как 2 * 15 градусов, тогда
cos 30 = 1 — 2sin²15
sin²15 = ( 1 — cos 30 ) / 2

Значение косинуса для угла 30 градусов легко вычислить. Оно равно √3/2
sin²15 = ( 1 — √3/2 ) / 2
sin 15 = √ (( 1 — √3/2 ) / 2 )
верхнюю часть дроби под корнем приведем к общему знаменателю (2)
sin 15 = √ ((  (2 — √3) /2 ) / 2 ) = √(  (2 — √3) / 4 )
теперь у нас одна дробь под знаком корня. Умножим числитель и знаменатель на два
sin 15 = √(  (2 — √3) / 4 ) = √( (4 — 2√3) / 8 )
самый интересный момент, мы можем представить 4 — 2√3 как (√3-1)²
тогда
sin 15 = √( (√3-1)² / 8 ) = (√3-1)/ √8 = (√3-1)/ (2√2)

путем несложных агебраических преобразований получаем:

Как видно из примера, значения тригонометрических функций углов синуса, косинуса и тангенса 15 градусов могут быть получены путем несложных тригонометрических преобразований с использованием тригонометрических тождеств преобразований двойных углов и половин заданных углов.

См. также полную таблицу значений тригонометрических функций (таблицу синусов, косинусов и тангенсов).

Ниже приведены также значения тригонометрических функций для угла 15 градусов в виде десятичной дроби с четырьмя знаками после запятой.

π/12	синус 15  sin 15	косинус 15 cos 15	тангенс 15 tg 15	котангенс 15 ctg 15
Значение	0.2588190451	0.96592582628	0. 26794919243	3.73205080757

 Таблица значений тригонометрических функций | Описание курса | Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений 

   

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Найти точное значение

---

---

---

Таблица Брадиса sin, cos

sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
											0	90°
0°	0,0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0872	85°	3	6	9
5°	0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	1736	80°	3	6	9
10°	1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	2588	75°	3	6	8
15°	2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	3420	70°	3	5	8
20°	3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	4226	65°	3	5	8
25°	4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	5000	60°	3	5	8
30°	5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	5736	55°	2	5	7
35°	5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	6428	50°	2	4	7
40°	6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	6909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	7071	45°	2	4	6
45°	7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	7660	40°	2	4	6
50°	7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	8192	35°	2	3	5
55°	8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	8660	30°	1	3	4
60°	8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	9063	25°	1	3	4
65°	9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9265	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9385	9391	9397	20°	1	2	3
70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	9659	15°	1	2	2
75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	9848	10°	1	1	2
80°	9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1. 0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	0°	0	0	0
90°	1
sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos

---

Таблица Брадиса tg, ctg

tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
											0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg

Тригонометрия – мәндер кестесі.

Тригонометриялық функциялар

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес …» адамдар үшін
Ал «өте біркелкі …» дегендер үшін)

Ең алдымен, «Синус және косинус дегеніміз не? Тангенс және котангенс деген не?» сабағынан қарапайым, бірақ өте пайдалы қорытындыны еске сала кетейін.

Міне, нәтиже:

Синус, косинус, тангенс және котангенс олардың бұрыштарымен тығыз байланысты. Біз бір нәрсені білеміз — бұл басқа нәрсені білеміз дегенді білдіреді.

Басқаша айтқанда, әрбір бұрыштың өзінің тұрақты синусы мен косинусы болады. Әркімнің дерлік өз тангенсі мен котангенсі болады. Неліктен дерлік?Бұл туралы төменде толығырақ.

Бұл білім оқуға көп көмектеседі! Синустардан бұрыштарға және керісінше өту керек көптеген тапсырмалар бар. Бұл үшін бар синус кестесі.Сол сияқты, косинус бар тапсырмалар үшін — косинус кестесі.Ал, сіз ойладыңыз, бар жанама кестесіжәне котангенттер кестесі. )

Әртүрлі кестелер бар. Ұзын, онда не тең екенін көруге болады, айталық, sin37 ° 6 ‘. Біз Bradis кестелерін ашамыз, алты минут бойы отыз жеті градус бұрышты іздейміз және біз 0,6032 мәнін көреміз. Бұл санды (және мыңдаған басқа кесте мәндерін) жаттау мүлдем қажет емес екені анық.

Шын мәнінде, біздің уақытта котангенстердің тангенстерінің синусының косинустарының ұзын кестелері ерекше қажет емес. Бір жақсы калькулятор оларды толығымен ауыстырады. Бірақ мұндай кестелердің бар екенін білу зиян тигізбейді. Жалпы эрудиция үшін.)

Ал неге бұл сабақ?! — сен сұрадың.

Міне, себебі. Бұрыштардың шексіз санының арасында бар арнайы,ол туралы білу керек барлық… Барлық мектеп геометриясы мен тригонометриясы осы бұрыштарға салынған. Бұл тригонометрияның «көбейту кестесінің» бір түрі. Егер сіз, мысалы, sin50 ° тең екенін білмесеңіз, сізді ешкім айыптамайды.) Бірақ егер сіз sin30 ° не екенін білмесеңіз, лайықты екі алуға дайын болыңыз …

Осындайлардан арнайыбұрыштары да лайықты терілген. Мектеп оқулықтары әдетте жаттау үшін мейірімділікпен ұсынылады синустар кестесі және косинустар кестесіон жеті бұрышқа арналған. Және, әрине, тангенс кестесі және котангенс кестесісол он жеті бұрыш үшін … 68 мәнді есте сақтау ұсынылады. Айтпақшы, бір-біріне өте ұқсас, кейде қайталаңыз және белгілерді өзгертіңіз. Мінсіз визуалды жады жоқ адам үшін бұл әлі де міндет …)

Біз басқа жолмен жүреміз. Есте сақтауды логика мен тапқырлыққа ауыстырайық. Содан кейін синустар және косинустар кестесі үшін 3 (үш!) мәнді есте сақтау керек. Және тангенс кестесі мен котангенс кестесі үшін 3 (үш!) мән. Болды. 68-ге қарағанда алты мағынаны есте сақтау оңай, менің ойымша …)

Біз осы алтыдан басқа барлық қажетті мәндерді күшті заңды парағының көмегімен аламыз. — тригонометриялық шеңбер. Егер сіз бұл тақырыпты зерттемеген болсаңыз, сілтемеге өтіңіз, жалқау болмаңыз. Бұл шеңбер тек осы сабаққа қажет емес. Ол таптырмас барлық тригонометрия үшін бірден. .. Мұндай құралды қолданбау — күнә! Сен қаламайсын? Бұл сіздің шаруаңыз. Есте сақтау синус кестесі. Косинус кестесі. Тангенстердің кестесі. Котангенттер кестесі.Әр түрлі бұрыштар үшін барлық 68 мән.)

Сонымен, бастайық. Алдымен осы ерекше бұрыштардың барлығын үш топқа бөлейік.

Бұрыштардың бірінші тобы.

Бірінші топты қарастырайық он жеті бұрыштары арнайы… Бұл 5 бұрыш: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Осы бұрыштар үшін котангенстердің тангенстерінің косинустарының синусы кестесі келесідей болады:

Бұрыш x (градуспен)	0	90	180	270	360
Бұрыш x (радианмен)	0
күнә x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	зат есім емес	0	зат есім емес	0
ctg x	зат есім емес	0	зат есім емес	0	зат есім емес

Есте сақтағысы келетіндер — есте сақта. Бірақ мен бірден айта кету керек, бұл барлық және нөлдер бастың ішінде өте шатастырылады. Сіз қалағаныңыздан әлдеқайда күшті.) Сондықтан біз логиканы және тригонометриялық шеңберді қосамыз.

Шеңбер сызыңыз және оған бірдей бұрыштарды белгілеңіз: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Мен бұл бұрыштарды қызыл нүктелермен белгіледім:

Бұл бұрыштардың ерекшелігі неде екені бірден түсінікті. Иә! Бұл құлайтын бұрыштар дәл координат осінде!Негізінде, халықтың абдырап қалуы да содан… Бірақ біз шатастырмаймыз. Көп жаттаусыз осы бұрыштардың тригонометриялық функцияларын қалай табуға болатынын анықтап көрейік.

Айтпақшы, бұрыштың орналасуы 0 градус толығымен сәйкес келеді 360 градус бұрышпен. Бұл осы бұрыштардағы синустар, косинустар, тангенстердің дәл бірдей екенін білдіреді. Мен шеңберді жабу үшін 360 градус бұрышты белгіледім.

Емтиханның қиын стресстік жағдайында сіз қандай да бір түрде күмәндана бастадыңыз делік … 0 градустың синусы дегеніміз не? Нөлге ұқсайды. .. Біреу болса ше?! Механикалық жаттау — осындай нәрсе. Қатаң жағдайда күмәндер кеми бастайды …)

Сабырлы, тек сабырлы болыңыз!) Мен сізге 100% дұрыс жауап беретін және барлық күмәнді толығымен алып тастайтын практикалық техниканы айтамын.

Мысал ретінде, мысалы, 0 градустық синусын анық және сенімді түрде қалай анықтау керектігін анықтайық. Сонымен қатар, және косинус 0. Дәл осы мәндерде, біртүрлі, адамдар жиі шатастырады.

Ол үшін шеңберге сурет салу керек еріктіинъекция Н.С… Бірінші тоқсанда ол 0 градустан алыс болмады. Осы бұрыштың синусы мен косинусын осьтерге белгілеңіз NS,бәрі шынар. Бұл сияқты:

Ал енді — назар аударыңыз! Бұрышты азайтыңыз Н.С, қозғалатын жағын оське жақындатыңыз OH. Курсорды суреттің үстіне апарыңыз (немесе планшеттегі суретті түртіңіз) және сіз бәрін көресіз.

Енді қарапайым логиканы қосайық!Біз қарап, ойлаймыз: Синкс х бұрышының азаюымен қалай әрекет етеді? Бұрыш нөлге жақындағанда?Ол азайып барады! Және cosx өсіп келеді!Бұрыш толығымен құлаған кезде синустың не болатынын анықтау керек пе? Бұрыштың қозғалмалы жағы (А нүктесі) OX осіне орналасып, бұрыш нөлге айналғанда? Бұрыштың синусы да нөлге түсетіні анық. Ал косинус …-ке дейін өседі. Бұрыштың қозғалмалы жағының ұзындығы (тригонометриялық шеңбердің радиусы) неге тең? Бір!

Міне, жауап. 0 градустың синусы 0. 0 градустың косинусы 1. Абсолютті темір және күмәнсіз!) Әйтпесе болуы мүмкін емес.

Дәл осылай, мысалы, 270 градус синусын білуге ​​(немесе нақтылауға) болады. Немесе косинус 180. Шеңбер сызыңыз, еріктіБізді қызықтыратын координат осінің жанындағы төрттен бір бұрыш, бұрыштың жағын ойша жылжытыңыз және бұрыштың бүйір жағы оське түскенде синусы мен косинусының қандай болатынын ұстаңыз. Осымен болды.

Көріп отырғаныңыздай, бұл бұрыштар тобы үшін ештеңені жаттап алудың қажеті жоқ. Мұнда қажет емес синус кестесі…Иә және косинус кестесі— сондай-ақ.) Айтпақшы, тригонометриялық шеңберді бірнеше рет қолданғаннан кейін бұл мәндердің барлығы өздігінен есте қалады. Ал ұмытып қалса, мен 5 секундта шеңбер сызып, нақтыладым. Сертификат алу қаупі бар досыңызды дәретханадан шақырғаннан әлдеқайда оңай, солай ма?)

Тангенс пен котангенске келетін болсақ — бәрі бірдей. Шеңберге жанама (котангенс) сызығын саламыз — және бәрі бірден көрінеді. Олар нөлге тең және олар жоқ жерде. Сіз жанама және котангенс түзулерін білмейсіз бе? Бұл қайғылы, бірақ түзетілетін.) Тригонометриялық шеңбердегі тангенс және котангенс 555 бөліміне бардым — проблема жоқ!

Егер сіз осы бес бұрыш үшін синусты, косинусты, тангенсті және котангентті қалай нақты анықтау керектігін түсінсеңіз — құттықтаймыз! Мүмкін болса, функцияларды енді анықтай алатыныңызды хабарлауға рұқсат етіңіз оське түсетін кез келген бұрыштар.Және бұл 450 °, және 540 °, және 1800 ° және шексіз сан …) Мен санадым (оң жақ!) Шеңбердегі бұрыш — және функциялармен ешқандай проблемалар жоқ.

Бірақ, жай ғана, бұрыштарды санау кезінде есептер мен қателер орын алады … Оларды қалай болдырмау керек, сабақта былай деп жазылған: Тригонометриялық шеңберге кез келген бұрышты градуспен салу (санау). Бастауыш, бірақ қателермен күресуде өте пайдалы.)

Міне, сабақ: Тригонометриялық шеңбердегі кез келген бұрышты радианмен қалай салуға (сануға) болады — бұл кенеттен болады. Мүмкіндіктер тұрғысынан. Айталық, бұрыш төрт жарты осьтің қайсысына түсетінін анықтаңыз

сіз мұны бірнеше секундта жасай аласыз. Мен қалжыңдап тұрған жоқпын! Бір-екі секундта. Әрине, тек 345 «pi» ғана емес …) Және 121, және 16 және -1345. Кез келген фактор бірден жауап беру үшін жақсы.

Ал егер бұрыш болса

Ойлан! Дұрыс жауап 10 секундта алынады.Бөлгішінде екі бар радиандардың кез келген бөлшек мәні үшін.

Шындығында, тригонометриялық шеңбер бұл үшін жақсы. жұмыс істей білу фактісі кейбірбұрыштарда автоматты түрде кеңейеді шексіз жиынбұрыштар.

Сонымен, он жетіден бес бұрышпен — есептелді.

Бұрыштардың екінші тобы.

Бұрыштардың келесі тобы 30 °, 45 ° және 60 °. Неліктен дәл осылар, мысалы, 20, 50 және 80 емес? Иә, әйтеуір солай болды… Тарихи.) Әрі қарай бұл бұрыштардың қаншалықты жақсы екені көрінетін болады.

Осы бұрыштар үшін котангенстердің тангенстерінің косинустарының синусының кестесі келесідей:

Бұрыш x (градуспен)	0	30	45	60	90
Бұрыш x (радианмен)	0
күнә x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		зат есім емес
ctg x	зат есім емес		1		0

Мен суретті аяқтау үшін алдыңғы кестеден 0 ° және 90 ° мәндерін қалдырдым. ) Бұл бұрыштардың бірінші тоқсанда жатқанын және өсетінін көру үшін. 0-ден 90-ға дейін. Бұл бізге одан әрі пайдалы болады.

30 °, 45 ° және 60 ° бұрыштары үшін кесте мәндерін есте сақтау керек. Қаласаңыз, ұсыныңыз. Бірақ бұл жерде де өмірді өзіңізге жеңілдетуге мүмкіндік бар.) Назар аударыңыз синус кесте мәндерібұл бұрыштар. Және салыстырыңыз косинус кестесінің мәндері …

Иә! Олар бірдей!Тек кері тәртіпте орналасқан. Бұрыштар артады (0, 30, 45, 60, 90) — және синус мәндері арттыру 0-ден 1-ге дейін. Калькулятор арқылы тексеруге болады. Ал косинус мәндері төмендеуі 1-ден нөлге дейін. Оның үстіне, өздерін бағалайды бірдей. 20, 50, 80 бұрыштары үшін бұл жұмыс істемейді …

Сондықтан пайдалы қорытынды. Үйрену жеткілікті үш 30, 45, 60 градус бұрыштары үшін мәндер. Және олардың синустың көбейетінін және косинустың төмендейтінін есте сақтаңыз. Синусқа қарай.) Жартылай (45°) олар кездеседі, яғни 45 градустық синусы 45 градустық косинусқа тең. Содан кейін олар қайтадан алшақтайды … Үш мағынаны білуге ​​болады, солай ма?

Тангенстермен — котангенстермен сурет тек бірдей. Бірге бір. Тек мағыналары әртүрлі. Бұл құндылықтар (тағы үшеу!) Сондай-ақ үйрену керек.

Жарайды, жаттаудың барлығы дерлік аяқталды. Сіз оське түсетін бес бұрыштың мәндерін қалай анықтау керектігін түсіндіңіз (үміттенемін) және 30, 45, 60 градус бұрыштарының мәндерін білдіңіз. Тек 8.

9 бұрыштан тұратын соңғы топпен күресу қалды.

Бұл бұрыштар:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Бұл бұрыштар үшін синустар кестесін, косинустар кестесін және т.б.

Қорқыныш, солай ма?)

Егер біз мұнда бұрыштарды қоссақ, мысалы: 405 °, 600 ° немесе 3000 ° және көптеген, көптеген бірдей әдемі?)

Немесе радиандағы бұрыштар? Мысалы, бұрыштар туралы:

және басқа да көптеген нәрселерді білуіңіз керек барлық.

Ең қызығы — мұны білу барлық — негізінде мүмкін емес. Механикалық жадты пайдалансаңыз.

Және өте оңай, шын мәнінде, қарапайым — егер сіз тригонометриялық шеңберді қолдансаңыз. Тригонометриялық шеңбермен жұмысты үйренгеннен кейін, градустағы осы қорқынышты бұрыштардың барлығы оңай және әдемі түрде ескіге дейін қайнатылады:

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Лезде валидация сынағы. Оқу — қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Тангенс (tg x) және котангенс (ctg x) үшін анықтамалық деректер. Геометриялық анықтама, қасиеттер, графиктер, формулалар. Жанама және котангенс, туындылар, интегралдар, қатарларды кеңейту кестесі. Күрделі айнымалылар түріндегі өрнектер. Гиперболалық функциялармен байланыс.

Геометриялық анықтама

|БД | — центрі А нүктесінде орналасқан шеңбер доғасының ұзындығы.
α – радианмен өрнектелетін бұрыш.

Тангенс ( тг α) тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті арасындағы α бұрышына тәуелді тригонометриялық функция, қарама-қарсы катет ұзындығының қатынасына тең |ВС | іргелес аяқтың ұзындығына |АВ | . ..

котангенс ( ctg α) тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті арасындағы α бұрышына тәуелді тригонометриялық функция, көршілес катет ұзындығының қатынасына тең |АВ | қарсы аяқтың ұзындығына |б.з.б …

Тангенс

Қайда n— тұтас.

Батыс әдебиетінде тангенс келесідей белгіленеді:
.
;
;
.

Тангенс функциясының графигі, y = tg x

Котангенс

Қайда n— тұтас.

Батыс әдебиетінде котангенс былай белгіленеді:
.
Сондай-ақ келесі белгілер қабылданған:
;
;
.

Котангенс функциясының графигі, y = ctg x

Тангенс және котангенс қасиеттері

Мерзімділік

Функциялар y = tg xжәне y = ctg xπ периоды бар мерзімді.

Паритет

Тангенс және котангенс функциялары тақ.

Домендер мен мәндер, өсу, кему

Тангенс және котангенс функциялары анықталу облысында үздіксіз болады (үздіксіздіктің дәлелін қараңыз). Тангенс пен котангенстің негізгі қасиеттері кестеде келтірілген ( n— тұтас).

	y = tg x	y = ctg x
Анықтау және үздіксіздік аймағы
Мәндер ауқымы	-∞	-∞
Көтерілу		—
Төмендеу	—
Төтенше жағдайлар	—	—
Нөлдер, у = 0
у осімен қиылысу нүктелері, x = 0	y = 0	—

Формулалар

Синус және косинус бойынша өрнектер

; ;
; ;
;

Қосынды мен айырманың тангенсі мен котангенсінің формулалары

Қалған формулаларды, мысалы, алу оңай

Жанамалардың туындысы

Тангенстердің қосындысы мен айырмасының формуласы

Бұл кестеде аргументтің кейбір мәндері үшін тангенс пен котангенс мәндері көрсетілген.

Күрделі сандармен берілген өрнектер

Гиперболалық функциялар бойынша өрнектер

;
;

Туындылар

; .

.
Функцияның х айнымалысына қатысты n-ші ретті туынды:
.
Тангенстің формулаларын шығару>>>>; котангенс үшін>>>>

Интегралдар

Серияларды кеңейту

Х дәрежелеріндегі тангенстің кеңеюін алу үшін функциялар үшін дәрежелік қатардағы кеңейтудің бірнеше шарттарын қабылдау керек. күнә xжәне cos xжәне осы көпмүшелерді бір-біріне бөлу,. Бұл келесі формулаларды береді.

Сағат.

кезінде.
қайда B n- Бернулли сандары. Олар не қайталану қатынасы бойынша анықталады:
;
;
қайда.
Немесе Лаплас формуласы бойынша:

Кері функциялар

Тангенс пен котангенстің кері функциялары сәйкесінше доға жанама және доға котангенсі болып табылады.

Арктангенс, арктг

, қайда n— тұтас.

Арккотангенс, аркктг

, қайда n— тұтас.

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Техникалық оқу орындарының инженерлері мен студенттеріне арналған математика анықтамалығы, «Лан», 2009 ж.
Г.Корн, Ғалымдар мен инженерлерге арналған математика анықтамалығы, 2012 ж.

Тригонометрия ғылым ретінде Ежелгі Шығыста пайда болған. Алғашқы тригонометриялық қатынастарды астрономдар дәл күнтізбе мен жұлдыз бағдарын жасау үшін шығарды. Бұл есептеулер сфералық тригонометриямен байланысты болды, ал мектеп курсында жазық үшбұрыштың жақтары мен бұрыштарының қатынасы зерттеледі.

Тригонометрия – тригонометриялық функциялардың қасиеттерін және үшбұрыштардың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы байланысты қарастыратын математиканың бөлімі.

1 мыңжылдықтағы мәдениет пен ғылымның гүлденген кезеңінде білім Ежелгі Шығыстан Грекияға тарады. Бірақ тригонометрияның негізгі жаңалықтары — араб халифаты ерлерінің сіңірген еңбегі. Атап айтқанда, түркімен ғалымы әл-Маразви тангенс және котангенс сияқты функцияларды енгізді, синус, тангенс және котангенс үшін алғашқы мәндер кестелерін құрастырды. Синус және косинус ұғымын үнді ғалымдары енгізді. Евклид, Архимед, Эратосфен сияқты ежелгі дәуірдің ұлы тұлғаларының еңбектерінде тригонометрияға көп көңіл бөлінеді.

Тригонометрияның негізгі шамалары

Сандық аргументтің негізгі тригонометриялық функциялары синус, косинус, тангенс және котангенс болып табылады. Олардың әрқайсысының өз графигі бар: синусоид, косинус, тангенс және котангенс.

Бұл шамалардың мәндерін есептеу формулалары Пифагор теоремасына негізделген. Оны мектеп оқушылары жақсырақ: «Пифагор шалбары, барлық бағытта бірдей» деген сөзбен жақсы біледі, өйткені дәлелдеу тең қабырғалы тік бұрышты үшбұрыш мысалында келтірілген.

Синус, косинус және басқа да тәуелділіктер кез келген тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары мен қабырғалары арасындағы қатынасты орнатады. А бұрышы үшін осы мәндерді есептеу формулаларын берейік және тригонометриялық функциялардың байланысын қадағалап көрейік:

Көріп отырғаныңыздай, tg және ctg кері функциялар. Егер a катетін sin A мен гипотенузаның c көбейтіндісі ретінде, ал b катетін cos A * c деп көрсетсек, онда тангенс пен котангенстің келесі формулаларын аламыз:

Тригонометриялық шеңбер

Графикалық түрде бұл шамалардың қатынасын келесідей көрсетуге болады:

Бұл жағдайда шеңбер α бұрышының барлық мүмкін мәндерін білдіреді — 0 ° -дан 360 ° дейін. Суреттен көріп отырғанымыздай, әрбір функция бұрыштың мәніне байланысты теріс немесе оң мән қабылдайды. Мысалы, α шеңбердің І және ІІ ширектеріне жататын болса, яғни 0°-тан 180°-қа дейінгі аралықта болса, sin α «+» белгісімен болады. α 180°-тан 360°-қа дейін болғанда (III және IV ширектер), sin α тек теріс болуы мүмкін.

Нақты бұрыштар үшін тригонометриялық кестелер құруға және шамалардың мәнін білуге ​​тырысайық.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° және т.б. тең α мәндері ерекше жағдайлар деп аталады. Олар үшін тригонометриялық функциялардың мәндері есептеліп, арнайы кестелер түрінде берілген.

Бұл бұрыштар кездейсоқ таңдалмаған. Кестелердегі π белгісі радиандарды білдіреді. Rad – дөңгелек доғаның ұзындығы оның радиусына сәйкес келетін бұрыш. Бұл мән әмбебап тәуелділікті орнату үшін енгізілген; радианмен есептеу кезінде радиустың см-дегі нақты ұзындығы маңызды емес.

Тригонометриялық функциялар кестелеріндегі бұрыштар радиандардың мәндеріне сәйкес келеді:

Сонымен, 2π толық шеңбер немесе 360 ° екенін болжау қиын емес.

Тригонометриялық функциялардың қасиеттері: синус және косинус

Синус пен косинустың, тангенс пен котангенстің негізгі қасиеттерін қарастыру және салыстыру үшін олардың функцияларын салу қажет. Мұны екі өлшемді координаттар жүйесінде орналасқан қисық түрінде жасауға болады.

Синусиус толқыны мен косинус толқыны қасиеттерінің салыстырмалы кестесін қарастырайық:

Синусоид	Косинус
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk үшін, мұндағы k ϵ Z	cos x = 0, x = π / 2 + πk үшін, мұндағы k ϵ Z
sin x = 1, x = π / 2 + 2πk үшін, мұндағы k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk үшін, мұндағы k ϵ Z
sin x = — 1, x = 3π / 2 + 2πk үшін, мұндағы k ϵ Z	cos x = — 1, x = π + 2πk үшін, мұндағы k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, яғни функция тақ	cos (-x) = cos x, яғни функция жұп
	функциясы периодты, ең кіші периоды 2π
sin x ›0, I және II кварталдарға жататын x үшін немесе 0 ° -дан 180 ° (2πk, π + 2πk)	cos x ›0, I және IV кварталдарға жататын х үшін немесе 270°-тан 90°-қа дейін (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sin x ‹0, III және IV кварталдарға жататын x үшін немесе 180 ° -дан 360 ° дейін (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹0, x II және III кварталдарға жатады немесе 90 ° -дан 270 ° дейін (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
[- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk] аралықта артады.	[-π + 2πk, 2πk] аралықта артады
[π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk] аралықтарында азаяды.	аралықта азаяды
туынды (sin x) ’= cos x	туынды (cos x) ’= — sin x

Функцияның жұп немесе жұп еместігін анықтау өте қарапайым. Тригонометриялық шамалардың белгілері бар тригонометриялық шеңберді елестетіп, ОК осіне қатысты графикті ойша «бүктеу» жеткілікті. Егер белгілер сәйкес келсе, функция жұп, әйтпесе тақ болады.

Радиандарды енгізу және синусоид пен косинустың негізгі қасиеттерін санау келесі заңдылықты беруге мүмкіндік береді:

Формуланың дұрыстығын тексеру өте оңай. Мысалы, x = π / 2 үшін синус косинус x = 0 сияқты 1-ге тең. Тексеруді кестелерге сілтеме жасау немесе берілген мәндер үшін функциялардың қисық сызықтарын қадағалау арқылы жүргізуге болады.

Тангентоидтық және котангентоидтық қасиеттер

Тангенс және котангенс функцияларының графиктері синус пен косинустан айтарлықтай ерекшеленеді. tg және ctg мәндері бір-біріне кері.

1. Y = tg x.
2. Тангентоид x = π / 2 + πk кезінде у-мәндерге ұмтылады, бірақ оларға ешқашан жетпейді.
3. Тангентоидтың ең кіші оң периоды π.
4. Tg (- x) = — tg x, яғни функция тақ.
5. Tg x = 0, x = πk үшін.
6. Функция артып келеді.
7. Tg x ›0, x ϵ үшін (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, x ϵ үшін (- π / 2 + πk, πk).
9. Туынды (tg x) ’= 1 / cos 2 ⁡x.

Төмендегі мәтіндегі котангентоидтың графикалық көрінісін қарастырыңыз.

Котангенсоидтың негізгі қасиеттері:

1. Y = ctg x.
2. Синус және косинус функцияларынан айырмашылығы, тангентоидта Y барлық нақты сандар жиынының мәндерін қабылдай алады.
3. Котангенсоид x = πk кезінде у мәндеріне ұмтылады, бірақ оларға ешқашан жетпейді.
4. Котангенсоидтың ең кіші оң периоды π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, яғни функция тақ.
6. Ctg x = 0, x = π / 2 + πk үшін.
7. Функция азаяды.
8. Ctg x ›0, x ϵ үшін (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, x ϵ үшін (π / 2 + πk, πk).
10. Туынды (ctg x) ’= — 1 / sin 2 ⁡x Дұрыс

Біздің эрамызға дейінгі V ғасырда ежелгі грек философы Зенон Элейский өзінің атақты апорияларын тұжырымдаған, олардың ішіндегі ең әйгілісі «Ахиллес және тасбақа» апориясы. Бұл былай естіледі:

Ахиллес тасбақадан он есе жылдам жүгіріп, одан мың қадам артта қалды делік. Осы қашықтықты жүгіру үшін Ахиллес қажет уақыт ішінде тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Ахиллес жүз қадам жүгіргенде, тасбақа тағы он қадам жорғалайды және т.б. Процесс шексіз жалғасады, Ахиллес тасбақаны ешқашан қуып жете алмайды.

Бұл пайымдау барлық кейінгі ұрпақтар үшін логикалық соққы болды. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Бұлардың бәрі бір жағынан Зенонның апорияларын қарастырды. Соққы соншалықты күшті болды « … қазіргі уақытта талқылаулар жалғасуда, ғылыми қоғамдастық әлі парадокстардың мәні туралы ортақ пікірге келе алмады … мәселені зерттеуге математикалық талдау, жиындар теориясы, жаңа физикалық және философиялық тәсілдер тартылды. ; олардың ешқайсысы сұрақтың жалпы қабылданған шешіміне айналды …«[Википедия,» Зенонның апориясы «]. Әркім олардың алданып жатқанын түсінеді, бірақ алдаудың не екенін ешкім түсінбейді.

Математика тұрғысынан Зенон өзінің апориясында шамадан шамаға өтуді анық көрсетті. Бұл ауысу тұрақтылардың орнына қолдануды білдіреді. Менің түсінуімше, айнымалы өлшем бірліктерін қолданудың математикалық аппараты не әлі жасалмаған, не Зенонның апориясына қолданылмаған. Әдеттегі логикамызды қолдану бізді тұзаққа түсіреді. Біз ойлау инерциясы арқылы өзара уақыттың тұрақты өлшем бірліктерін қолданамыз. Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл Ахиллес тасбақамен бір деңгейде болған кезде толығымен тоқтағанша уақыттың кеңеюі сияқты көрінеді. Уақыт тоқтап қалса, Ахиллес тасбақаны басып озып кете алмайды.

Біз үйренген логиканы аударсақ, бәрі өз орнына келеді. Ахиллес тұрақты жылдамдықпен жүгіреді. Оның жолының әрбір келесі сегменті алдыңғысынан он есе қысқа. Тиісінше, оны еңсеруге кететін уақыт бұрынғыға қарағанда он есе аз. Бұл жағдайда «шексіздік» ұғымын қолданатын болсақ, онда «Ахиллес тасбақаны шексіз тез қуып жетеді» деу дұрыс болар еді.

Бұл логикалық тұзақтан қалай құтылуға болады? Тұрақты уақыт бірлікте болыңыз және артқа кетпеңіз. Зенон тілінде ол былай көрінеді:

Ахиллес мың қадам жүгіретін уақыт ішінде тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Келесі уақыт аралығында, біріншіге тең, Ахиллес тағы мың қадам жүгіреді, ал тасбақа жүз қадам жорғалайды. Енді Ахиллес тасбақадан сегіз жүз қадам алда.

Бұл тәсіл ешқандай логикалық парадокссыз шындықты адекватты түрде сипаттайды. Бірақ бұл мәселенің толық шешімі емес. Эйнштейннің жарық жылдамдығының еңсерілмейтіндігі туралы мәлімдемесі «Ахиллес және тасбақа» Зенондық апорияға өте ұқсас. Бұл мәселені әлі де зерттеп, қайта ойластырып, шешуіміз керек. Ал шешімді шексіз көп сандардан емес, өлшем бірліктерінен іздеу керек.

Тағы бір қызықты апория Зенон ұшатын жебе туралы айтады:

Ұшатын жебе қозғалыссыз, өйткені ол уақыттың әр сәтінде тыныштықта болады, ал әр сәтте тыныштықта болғандықтан, ол әрқашан тыныштықта болады.

Бұл апорияда логикалық парадокс өте оңай еңсеріледі — уақыттың әр сәтінде ұшатын жебе кеңістіктің әртүрлі нүктелеріне тірелетінін нақтылау жеткілікті, бұл шын мәнінде қозғалыс. Осы жерде тағы бір жайтты атап өткен жөн. Жолдағы көліктің бір фотосуретінен оның қозғалу фактісін де, оған дейінгі қашықтықты да анықтау мүмкін емес. Автокөліктің қозғалыс фактісін анықтау үшін бір нүктеден әртүрлі уақыт нүктелерінде түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ олардан қашықтықты анықтау мүмкін емес. Автокөлікке дейінгі қашықтықты анықтау үшін сізге бір уақытта ғарыштың әртүрлі нүктелерінен түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ олар қозғалыс фактісін анықтай алмайды (әрине, есептеулер үшін қосымша деректер әлі де қажет, тригонометрия сізге көмектеседі). Менің ерекше назар аударғым келетіні, екі уақыт нүктесі мен кеңістіктегі екі нүкте әртүрлі нәрселер, оларды шатастырмау керек, өйткені олар зерттеуге әртүрлі мүмкіндіктер береді.

Сәрсенбі, 4 шілде 2018 жыл

Жиын және көп жиын арасындағы айырмашылық Уикипедияда өте жақсы құжатталған. Қараймыз.

Көріп отырғаныңыздай, «жиынның екі бірдей элементі болуы мүмкін емес», бірақ жиында бірдей элементтер болса, мұндай жиын «көп жиын» деп аталады. Мұндай абсурдтық логиканы парасатты тіршілік иелері ешқашан түсіне алмайды. Бұл «толық» деген сөзден ақыл-парасат жетіспейтін сөйлейтін тотықұстар мен үйретілген маймылдардың деңгейі. Математиктер бізге өздерінің сандырақ идеяларын уағыздап, қарапайым жаттықтырушы ретінде әрекет етеді.

Бірде көпірді салған инженерлер көпірді сынау кезінде көпірдің астында қайықта болған. Көпір опырылып қалса, біліксіз инженер өзі жасаған үйінділердің астында өледі. Көпір жүкке шыдаса, талантты инженер басқа көпірлерді салар еді.

Математиктер «чур, мен үйдемін», дәлірек айтсақ, «математика абстрактілі ұғымдарды зерттейді» деген сөздің астарына қалай тығылса да, оларды шындықпен тығыз байланыстыратын бір кіндік бар. Бұл кіндік ақша. Математикалық жиындар теориясын математиктердің өздеріне қолданайық.

Біз математиканы өте жақсы оқыдық, қазір кассада отырамыз, жалақымызды беріп жатырмыз. Міне, бізге математик өз ақшасына келеді. Біз оған барлық соманы есептеп, оны үстелге әртүрлі қадаларға саламыз, оларға бірдей номиналдағы вексельдерді саламыз. Содан кейін біз әрбір үйіндіден бір шотты алып, математикке оның «жалақысының математикалық жинағын» береміз. Математиканы түсіндіріп көрейік, ол бірдей элементтері жоқ жиын элементтері бірдей жиынға тең емес екенін дәлелдегенде ғана қалған шоттарды алады. Қызық осы жерден басталады.

Біріншіден, депутаттардың «Өзгеге қолдана аласың, маған қолдана алмайсың!» деген логикасы жұмыс істейді. Әрі қарай, біз бір номиналдағы вексельдерде әртүрлі банкнот нөмірлері бар екеніне сендіреміз, яғни оларды бірдей элементтер деп санауға болмайды. Жарайды, жалақыны тиындармен есептейік — тиындарда сандар жоқ. Бұл жерде математик физиканы қатты еске түсіре бастайды: әртүрлі монеталарда кірдің әртүрлі мөлшері бар, кристалдық құрылымы мен әрбір монетадағы атомдардың орналасуы бірегей …

Ал енді менде ең қызықты сұрақ бар: мультижиын элементтері жиынның элементтеріне айналатын және керісінше болатын сызық қайда? Ондай сызық жоқ – бәрін бақсылар шешеді, ғылым бұл жерде еш жерде жатпаған.

Мына жерге қара. Біз алаңы бірдей футбол стадиондарын таңдаймыз. Өрістердің ауданы бірдей, яғни бізде мультисет бар. Бірақ бір стадиондардың атын алып қарасақ, көп нәрсе аламыз, себебі атаулары әртүрлі. Көріп отырғаныңыздай, элементтердің бірдей жиыны бір уақытта жиын және көп жиын болып табылады. Қалай дұрыс? Міне, математик-шаман-шуллер жеңінен тайраңдап, не жиынтық туралы, не мультисет туралы айта бастайды. Қалай болғанда да, ол бізді өзінің дұрыс екеніне сендіреді.

Заманауи бақсылардың жиын теориясымен қалай әрекет ететінін түсіну үшін оны шындыққа байланыстыру үшін бір сұраққа жауап беру жеткілікті: бір жиынның элементтері басқа жиынның элементтерінен қалай ерекшеленеді? Мен сізге «бір бүтін емес деп ойлайтын» немесе «тұтас ретінде ойланбайтын» болмай көрсетемін.

Жексенбі, 18 наурыз 2018 жыл

Санның цифрларының қосындысы – математикаға қатысы жоқ бақсылардың домбырамен билеуі. Иә, математика сабағында санның цифрларының қосындысын тауып, оны қолдануды үйретеді, бірақ сол себепті олар өз ұрпағына өнерін, даналығын үйрету үшін бақсы болып шығады, әйтпесе бақсылар өліп қалады.

Дәлелдеу керек пе? Википедияны ашып, сан бетінің цифрларының қосындысын табуға тырысыңыз. Ол жоқ. Математикада кез келген санның цифрларының қосындысын табуға болатын формула жоқ. Өйткені, сандар біз сандарды жазатын графикалық белгілер және математика тілінде тапсырма былай естіледі: «Кез келген санды білдіретін графикалық белгілердің қосындысын табыңыз». Математиктер бұл мәселені шеше алмайды, бірақ бақсылар — бұл қарапайым.

Берілген санның цифрларының қосындысын табу үшін не және қалай істейтінімізді көрейік. Сонымен, 12345 саны болсын. Осы санның цифрларының қосындысын табу үшін не істеу керек? Барлық қадамдарды ретімен орындап көрейік.

1. Санды қағазға жазамыз. Біз не істедік? Санды санның графикалық символына айналдырдық. Бұл математикалық операция емес.

2. Алынған бір суретті бөлек сандары бар бірнеше суретке кесеміз. Суретті кесу математикалық операция емес.

3. Жеке графикалық белгілерді сандарға түрлендіру. Бұл математикалық операция емес.

4. Алынған сандарды қос. Енді бұл математика.

12345 санының қосындысы 15. Бұл математиктер қолданатын бақсылардан алынған «қию және тігу курстары». Бірақ бұл бәрі емес.

Математика тұрғысынан санды қай санау жүйесінде жазғанымыз маңызды емес. Сонымен, әртүрлі санау жүйелерінде бір санның цифрларының қосындысы әртүрлі болады. Математикада санау жүйесі санның оң жағындағы төменгі таңба ретінде көрсетілген. 12345 саны көп, мен басымды алғым келмейді, туралы мақаладағы 26 санын қарастырыңыз. Бұл санды екілік, сегіздік, ондық және он алтылық санау жүйелерінде жазайық. Біз әрбір қадамды микроскоппен қарастырмаймыз, біз мұны әлдеқашан жасадық. Нәтижесін көрейік.

Көріп отырғаныңыздай, әртүрлі санау жүйелерінде бір санның цифрларының қосындысы әртүрлі болады. Бұл нәтиженің математикаға еш қатысы жоқ. Бұл тіктөртбұрыштың ауданын метр және сантиметрмен анықтау кезінде мүлдем басқа нәтижелерге қол жеткізетін сияқты.

Барлық санау жүйелеріндегі нөл бірдей көрінеді және цифрлардың қосындысы болмайды. Бұл фактінің тағы бір дәлелі. Математиктерге сұрақ: математикада сан емес нәрсе қалай белгіленеді? Математиктер үшін сандардан басқа ештеңе жоқ па? Бақсылар үшін мен бұған рұқсат бере аламын, ал ғалымдар үшін — жоқ. Шындық тек сандардан тұрмайды.

Алынған нәтиже санау жүйелерінің сандар үшін өлшем бірліктері екенін дәлелдеу ретінде қарастырылуы керек. Өйткені, біз әртүрлі өлшем бірліктері бар сандарды салыстыра алмаймыз. Егер бірдей шаманың әртүрлі өлшем бірліктерімен бірдей әрекеттер оларды салыстырғаннан кейін әртүрлі нәтижелерге әкелетін болса, онда мұның математикаға еш қатысы жоқ.

Нағыз математика дегеніміз не? Бұл математикалық әрекеттің нәтижесі санның шамасына, қолданылатын өлшем бірлігіне және бұл әрекетті кім орындайтынына байланысты болмаған кезде.

Есікке қол қойыңызЕсікті ашады да:

Ой! Бұл әйелдердің әжетханасы емес пе?
— Жас әйел! Бұл – көкке көтерілу кезіндегі жандардың киелілігін айырусыз зерттейтін зертхана! Жоғарғы жағында гало және жоғары бағытталған көрсеткі. Тағы қандай дәретхана?

Әйел … Жоғарыдағы нимбус және төмен көрсеткі — еркек.

Егер мұндай дизайн өнерінің бір бөлігі күніне бірнеше рет көз алдымызда жыпылықтаса,

Содан кейін сіз кенеттен көлігіңізде біртүрлі белгішені табуыңыз таңқаларлық емес:

Өз басым, нәжіс шығаратын адамда (бір сурет) минус төрт градусты (бірнеше суреттен тұратын композиция: минус белгісі, төрт сан, градус белгісі) көре алатындай етіп өзіме күш саламын. Менің ойымша, бұл қыз физиканы білмейтін ақымақ емес. Оның графикалық бейнелерді қабылдау стереотипі бар. Ал математиктер мұны бізге үнемі үйретеді. Міне, мысал.

1А «минус төрт градус» немесе «бір а» емес. Бұл он алтылық санау жүйесіндегі «нәжіс» немесе «жиырма алты» саны. Осы санау жүйесінде үнемі жұмыс істейтін адамдар автоматты түрде сан мен әріпті бір графикалық таңба ретінде қабылдайды.

SIN 0. SINUS (SINUS (SIN X) және Косинус (Cos x)

Назар аударыңыз!
Бұл тақырып қосымша
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
«Өте емес» қатты адамдар үшін
Және «өте …») үшін

Біріншіден, мен «Синус және косинс деген не?» Дегеннен қарапайым, бірақ өте пайдалы қорытынды еске саламын. Тангент және котангенес не?

Бұл тұжырым:

Синус, Косинус, тангенс және Котангенес олардың бұрыштарымен тығыз байланысты. Біз бір нәрсені білеміз — бұл, біз екіншісін білеміз.

Басқаша айтқанда, әр бұрышта өзінің тұрақты синтезі мен косинасы бар. Және барлығының дерлік өзіндік тангені және котангері бар. Неге дерлік? Төменде көрсетілген туралы.

Бұл білім өте жақсы көмектеседі! Синустардан бұрыштарға және керісінше көшу керек көптеген тапсырмалар бар. Бұл үшін бар синус кестесі. Сол сияқты, косинустары бар тапсырмалар үшін — косинус кестесі. Ал сіз ойлағандай, бар Үстелдер және катанценттер кестесі.)

Кестелер басқаша. Сізге не тең, айтуға, SIN37 ° 6 ‘деп отыра аласыз. Брэди үстелдерін ашыңыз, отыз жеті градус алты минутты іздеңіз және 0,6032 мәнін қараңыз. Бұл санды есте сақтау керек (және мыңдаған басқа кестелік мәндер) мүлдем қажет емес.

Негізінде, біздің заманымызда косиндік косандықтардың косиндік синустары өте қажет емес. Бір жақсы калькулятор оларды толығымен алмастырады. Бірақ бұл мұндай кестелердің болуына кедергі келтірмейді. Жалпы білім алу үшін.)

Неліктен бұл сабақ?! — сен сұрадың.

Бірақ неге. Шексіз бұрыштардың арасында бар арнайы, сіз білуіңіз керек бүкіл. Бұл бұрыштарда барлық мектеп геометрия және тригонометрия салынды. Бұл «Көңіл көтеру кестесі» тригонометриясы. Егер сіз ненің немесе не екенін білмесеңіз, мысалы, SIN50 °, ешкім сені айыптамайды.) Бірақ егер сіз күнәға тең екенін білмесеңіз, лайықты екі адамға дайын болыңыз …

Сондай арнайы Бұрыштар да қабылданады. Мектеп оқулықтары әдетте есте сақтауды ұсынады синус кестесі және косинус кестесі Он жеті бұрышқа. Әрине, taTlendens кестесі және катангендер кестесі Сол он жеті бұрышқа … И.Э. 68 мәнді есте сақтау ұсынылады. Айтпақшы, айтпақшы, бір-біріне өте ұқсас, содан кейін ол қайталанады және өзгереді. Керемет көрнекі жадсыз адам үшін — тағы бір міндет …)

Біз басқа жолмен барамыз. Біз логикалық және балқытудың механикалық жақтауларын алмастырамыз. Содан кейін біз Sinus кестесі мен косинус кестесіне 3 (үш!) »(Үш (үш!)» Мәнін алуымыз керек. Және 3 (үш!) Тангенс кестелері мен ковангендер кестелері үшін мәндер. Болды. Алты мән 68-ден оңай есте сақтаңыз, маған ұқсайды …)

Барлық басқа маңыздылықтар біз осы алтыдан күшті заңды крибтің көмегімен аламыз — Тригонометриялық шеңбер. Егер сіз осы тақырыпты зерттемесеңіз, сілтеме бойынша жүріңіз, жалқау болмаңыз. Бұл шеңбер тек осы сабаққа ғана қажет емес. Ол алмастырылмайды тригонометрия үшін бірден. Мұндай құралды тек күнә жасамаңыз! Сен қаламайсын? Бұл сіздің шаруаңыз. Зерттеу синус кестесі. Косининг кестесі. TaTlendens кестесі. Катанценттер кестесі. Барлық бұрыштар үшін барлық 68 мән.)

Сонымен, бастайық. Бастау үшін біз осы арнайы бұрыштардың барлығын үш топқа бөлеміз.

Бұрыштардың бірінші тобы.

Бірінші топты қарастырайық он жетіден бұрыштар арнайы. Бұл 5 бұрыш, 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Бұл бұрыштарға арналған Cotanens Catanens Anganss-тің синус кестесі келесідей:

H бұрышы. (дәрежеде)	0	90	180	270	360
H бұрышы. (Радиандарда)	0
күнә X.	0	1	0	-1	0
cos x.	1	0	-1	0	1
tg x.	0	мәні жоқ.	0	мәні жоқ.	0
cTG X.	мәні жоқ.	0	мәні жоқ.	0	мәні жоқ.

Есте сақтағысы келетіндер — есте сақтаңыз. Бірақ мен осы қондырғылар мен Zealics барлық қондырғылар мен Zealics-тің басында шатасқанын айтамын. Бұл мен қалағаннан әлдеқайда күшті.) Сондықтан, біз логикалық және тригонометриялық шеңберді қосамыз.

Біз шеңбер саламыз және осы бұрыштарды дәл осы бұрыштарды тойлаймыз: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Мен бұл бұрыштарды қызыл нүктелермен атап өттім:

Бірден осы бұрыштардың ерекшелігін көре аласыз. Иә! Бұлар түсетін бұрыштар дәл координаттар осіне! Сондықтан, адамдар шатастырады … Бірақ бізді шатастырмайды. Бұл бұрыштардың тригонометриялық функцияларын көп жаттауға қалай табуға болатынын қарастырайық.

Айтпақшы, 0 градус бұрышының орналасуы толығымен сәйкес келеді 360 градус бұрышы бар. Бұл дегеніміз, күнәкарлар, косайыптар, танггенттер бұл бұрыштардың толығымен бірдей екенін білдіреді. Мен шеңберді жабу үшін 360 градус бұрышын атап өттім.

Емтиханның күрделі күйзеліс жағдайында сіз қандай да бір жолмен жүрдім … Sine 0 градус дегеніміз не? Бұл нөлге тең сияқты … егер біреу болса, не?! Механикалық жақтаулар Мұндай нәрсе. Қиын жағдайда, күмәндану …)

Сабыр, тек тыныш!) Мен сізге жүз пайыздық дұрыс жауап беретін практикалық қабылдауды айтамын, бұл күмән тудырады, әрине, күмән тудырады.

Мысал ретінде, біз қалайша нақты және сенімді түрде анықтауға, айтуды, Sinus 0 градусқа қалай және сенімді түрде анықтауға болатынын және сенімді түрде анықтауға болатынын сипаттаймыз. Сонымен бірге, және косинус 0. Бұл бұл құндылықтарда, таңқаларлық, көбінесе адамдар шатастырады.

Мұны істеу үшін шеңбер сызыңыз еркін бұрыш сағ.. Бірінші тоқсанда, 0 градусқа дейін. Синус осьтерінде және осы бұрыштың косинусын ескеріңіз x, Бәрі — Чин-Чинар. Бұл сияқты:

Және қазір — назар! Бұрышты азайтыңыз сағ., қозғалмалы жағын оське апарыңыз О. Меңзерді суреттің үстіне жылжытыңыз (немесе планшеттегі суреттер түрінде) және бәрін қараңыз.

Енді қарапайым логиканы қосыңыз! Біз қарап, ойланамыз: sinx қалай жүреді x бұрышының төмендеуі бар? Бұрышқа нөлге жақындағанда? Бұл азаяды! Және cosx — артады! Бұрыш бәрі бар болған кезде синуспен не болатынын анықтау қалады? Бұрыштың жылжымалы жағы (A нүктесі A) осьте жұмсалған кезде, ал бұрышы нөлге тең болады? Синус бұрышы нөлге кететіні анық. Косуин … дейін … Бұрғылау жақтарының ұзындығы қандай (тригонометриялық шеңбердің радиусы)? Құрылғы!

Бұл жауап. Sinus 0 градус, 0 градус, 0 градус, 0 градусқа тең, 1-ге тең. Толығымен темір және ешқандай күмәнсіз!) Әйтпесе олай бола алмайды.

Мысалы, 270 градусқа синус білуге \u200b\u200bболады (немесе нақтылау). Немесе косинус 180. шеңбер сызыңыз, еркін Сізді қызықтыратын координаттардың бұрышы сізді қызықтырады, бұрыштың бүйірін едәуір жылжытыңыз және бұрыштың бүйір жағында тұрған кезде синус пен косинустың не болатынын біліңіз. Осымен болды.

Көріп отырғаныңыздай, бұрыштар үшін кез-келген нәрсені жаттап алудың қажеті жоқ. Мұнда қажет емес синус кестесі … Ия мен. косайров кестесі — Сонымен, тригонометриялық шеңбердің бірнеше өтінімдерінен кейін осы құндылықтардың бәрі өздері есте қалады. Егер олар ұмытып кетсе — мен шеңберді 5 секундқа салып, нақтыладым. Дәретханадан досыңыздан сертификат алу қаупі бар, дұрыс па?)

Тангенс пен Котаннезге келетін болсақ, бәрі бірдей. Біз таспен айналысамыз (Коттансенс) — және бәрі бірден көрінеді. Олар нөлге тең, қайда, қайда — жоқ. Танданған және котненстің сызығы туралы не білмеймін? Бұл қайғылы, бірақ бекітілген.) Біз Тригонометриялық шеңбердегі 555 тангенс және Котангенес секциясына бардық, және ешқандай проблемалар жоқ!

Егер сіз осы бес бұрышқа синус, косин, тангенс және катангенесті қалай нақты анықтауға болатынын түсінсеңіз — мен сіздерді құттықтаймын! Мен сізге хабарлаймын, енді сізге хабарласқым келеді оське түсіп қалған кез-келген бұрыштар. Бұл 450 °, және 540 °, ал 1800 °, ал 1800 °, тіпті шексіз сан …) Шеңбердегі бұрыш (дұрыс!) Бұрыштағы — және функцияларда ешқандай проблемалар жоқ.

Бірақ, тек кинастағыштармен және проблемалар бар, иә, қателіктер бар … Олардан қалай аулақ болуға болады … Олардан қалай аулақ болуға болады? Бұл қарапайым, бірақ ол қателіктерге қарсы күреске көмектеседі.)

Бірақ сабақ: радиандардағы тригонометриялық шеңбердегі кез-келген бұрышты қалай сурет салу керек (санау) — кенеттен пайда болады. Мүмкіндіктер мағынасында. Айталық, төрт жартылай осьтің қайсысын анықтайық

сіз бірнеше секундта аласыз. Мен қалжыңдап тұрған жоқпын! Бұл бірнеше секундта. Әрине, әрине, 345 «Пи» …) және 121 және 16 және -1345. Кез-келген барлық коэффициент лезде жауап алуға жарамды.

Және егер бұрыш болса

Ойлау! Дұрыс жауап 10 секунд ішінде алынады. Радиациялық радиацияның бөлшектері үшін, бөлшектердің бөлшектері үшін.

Шын мәнінде, бұл жақсы тригонометриялық шеңбер. Жұмыс қабілеттілігі кей-бір ол автоматты түрде бұрыштарды кеңейтеді шексіз жиынтық Бұрыштары.

Сонымен, он жеті бұрышы он жеті бұрышпен.

Бұрыштардың екінші тобы.

Келесі бұрыштар тобы — 30 °, 45 ° және 60 ° бұрыштар. Неліктен бұл, мысалы, 20, 50 және 80-де емес? Ия, қандай да бір жолмен болды … тарихи тұрғыдан болды.) Содан кейін бұл бұрыштардың жақсы екенін көреді.

Осы бұрыштарға арналған цехандықтардың жансұнғыштарының синус кестесі келесідей:

H бұрышы. (дәрежеде)	0	30	45	60	90
H бұрышы. (Радиандарда)	0
күнә X.	0				1
cos x.	1				0
tg x.	0		1		мәні жоқ.
cTG X.	мәні жоқ.		1		0

Мен мәндерді алдыңғы кестенің суретін аяқтау үшін 0 ° және 90 ° -тан 90 ° қалдырдым.) Бұл бұрыштар бірінші тоқсанда жыпылықтап, көбейіп жатқанын көруге болады. 0-ден 90-ға дейін. Ол ыңғайлы болады.

30 °, 45 ° және 60 ° бұрыштар үшін кесте мәндері. Қаласаңыз, бөліңіз. Бірақ мұнда менің өмірімді жеңілдетуге болады.) Назар аударыңыз синус кестесінің мәні Бұл бұрыштар. Және s салыстыру косинесс кестесінің құндылықтары …

Иә! Олар бірдей! Кері тәртіпте орналастырылған. Бұрыштар көбейеді (0, 30, 45, 60, 60, 90) — және синус құндылықтары өсу 0-ден 1-ге дейін сіз калькуляторға көз жеткізе аласыз. Және косинус құндылықтары — кему 1-ден нөлге дейін. Және құндылықтар сол. 20, 50, 80 бұрыштар үшін жұмыс істемейді …

Демек, пайдалы қорытынды. Үйренуге жеткілікті үш Бұрыштардың мәні 30, 45, 60 градус. Есіңізде болсын, синус күшейіп, Косинус азайып келеді. Синуспен кездесу.) Жартылай (45 °) олар кездеседі, олар кездеседі, И.Э. \u200b\u200b45 градус 45 градусқа тең. Содан кейін тағы да келіседі … Үш мәнді үйренуге болады, дұрыс па?

Тангенттермен — котанценттермен сурет тек бірдей. Бірге бір. Тек мәндер басқаша. Бұл мәндер (тағы үш!) Бізге де үйрену керек.

Жақсы, есте сақтау және аяқталды. Сіз түсіндіңіздер (мен сенесіз), осьтің бес бұрышының мәндерін қалай анықтауға болады және осьтің бес бұрышының мәндерін қалай анықтауға болады және 30, 45, 60 градус бұрыштардың мәндерін білді. Барлығы 8.

Ол 9 бұрыштың соңғы тобымен күресуі керек.

Бұл бұл бұрыштар:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Бұл бұрыштар үшін синус кестесін, косинус үстелін және т. б. білу керек.

Түнгі таң, дұрыс па?)

Егер сіз мұнда бұрандыңызды қоссаңыз, мысалы: 405 °, 600 ° немесе 3000 ° және көптеген, көптеген, бірдей әдемі?)

Немесе радиандағы бұрыштар? Мысалы, бұрыштар туралы:

және басқалар, сіз білуіңіз керек бүкіл.

Білуге \u200b\u200bболатын күлкілі нәрсе бүкіл — бұл мүмкін емес. Механикалық жадты қолдансаңыз.

Және өте оңай, іс жүзінде қарапайым — егер сіз тригонометриялық шеңберді қолдансаңыз. Егер сізді трригонометриялық шеңбермен практикалық жұмыс жүргізсеңіз, барлық осы қорқынышты бұрыштар градусқа оңай және талғампаз болады:

Айтпақшы, менде тағы бір қызықты сайттар бар.)

Оған мысалдарды шешуге және сіздің деңгейіңізді білуге \u200b\u200bболады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу — қызығушылықпен!)

Сіз мүмкіндіктермен және туындылармен таныса аласыз.

Тригонометриялық синус функциялары (SIN X) және косинус (COS X) үшін анықтамалық мәліметтер. Геометриялық анықтама, қасиеттері, графиктер, формулалар. Синустар мен косайыптар кестесі, туынды құралдар, интегралдар, рөлдер, сессиялар, моссендер. Күрделі айнымалылар арқылы өрнектер. Гиперболалық функциялармен байланыс.

Синус пен косинустың геометриялық анықтамасы

| BD | — доғалы шеңбердің ұзындығы орталықпен ортасында А..
α — Радиандарда көрсетілген бұрыш.

Анықтама
Синус (SIN α) — бұл гипотеза мен қатаң үшбұрыш коэффициентіне байланысты тригонометриялық функция және КАТЕТ КАТЕТ КАТЕТІ БАРЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯЛЫҚ КАТЕГИЯЛЫҚ КАТЕГИЯЛЫҚ КАМПАНИЯЛАРДЫҢ ӨЗГЕРТУІ | BC арақатынасымен тең Гипотенузанстың ұзындығына | AC |.

Косинус (cos α) — бұл тригонометриялық функция, ICHOSTENOMA арасындағы α бұрышына және тікбұрышты үшбұрыштың катетіне, іргелес үшбұрыштың ұзындығына теңестірілген | AB | Гипотенузанстың ұзындығына | AC |.

Қабылданған белгілер

;
;
.

;
;
.

Sinus функциясы графигі, y \u003d sin x

Косинус функциясының кестесі, y \u003d cos x

Синус пен косинустың қасиеттері

Мерзімділік

Функциялар y \u003d. күнә X. және y \u003d. cos x. Кезеңмен периодтық 2 π..

Тең титрі

Sinus функциясы тақ. Косинус функциясы де.

Анықтама және құндылықтар, шектен шығу, көбейту, азаю

Sine және Cosine функциялары олардың анықтамасы бойынша үздіксіз, яғни барлық х үшін (сабақтастықтың дәлелі). Олардың негізгі қасиеттері кестеде келтірілген (N — тұтас).

	y \u003d. күнә X.	y \u003d. cos x.
Анықтама және үздіксіздік аймағы	— ∞	— ∞
Құндылықтар аймағы	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Өсу
Қарусыздану
Максима, y \u003d 1
Minima, y \u200b\u200b\u003d — 1
Зерос, y \u003d 0
Орнату осіндегі қиылысу нүктесі, x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d. 1

Негізгі формулалар

Синус және косиндік квадраттар

Синус пен косинустың формулалары және мөлшері мен айырмашылығы

;
;

Формулалар синустар мен косинустың туындылары

Соманың формулалары және айырмашылық

Косинус арқылы синус өрнегі

;
;
;
.

Синус арқылы косинус өрнегі

;
;
;
.

Тангенс арқылы өрнек

; .

Бізде болған кезде:
; .

Көмегімен:
; .

Синус және косинус үстелі, тангендер және коттергерлер

Бұл кестеде дәлелдердің кейбір мәндеріндегі синустар мен косайыптардың мәні көрсетілген.

Күрделі айнымалылар арқылы өрнектер

;

Формула Эйлер

{ -∞

Шон, Косахандар

Кері функциялар

Синус пен косинустың кері функциялары — арксинус және аркуозин.

Арксин, Арксин.

ArkkoSinus, Arccos.

Қолданылған әдебиет:
И. н. Бронштейн, К.А. Семендияев, режиссерлер менеджерлер мен студенттердің студенттері үшін анықтамалық «LAN», 2009 ж.

Ескерту. Бұл кестеде тригонометриялық функциялардың мәндері квадрат түбірді белгілеу үшін √ белгісін пайдаланады. Фракцияны белгілеу үшін — «/» белгісі.

Сондай-ақ қараңыз Пайдалы материалдар:

Үшін тригонометриялық функцияның анықтамалары, Оны тригонометриялық функцияны көрсететін өткелден табыңыз. Мысалы, 30 градус, біз 30 градусқа синус іздейміз — біз күннің тақырыбы бар бағанды \u200b\u200bіздейміз және біз осы кесте бағанының «30 градус» жолымен, сіз олардың қиылысында пайда болғанын оқыдыңыз — бір секунд. Сол сияқты косинус 60. дәрежелер синус 60. градус (қайтадан, күнә бағанасының қиылысында) және 60 градусқа дейін, біз SIR 60 \u003d √3 / 2 (√3 / 2) және т.б. Сол сияқты, басқа «танымал» бұрыштардың синустары, косинині және тангенстері бар.

Sinus pi, косиндік PI, тангенс Пи және радианның басқа бұрыштары

Төмендегі косинус кестесі, синус және тангенс, сонымен қатар, тригонометриялық функциялардың құндылығын табуға жарамды радиандарда орнатылған. Мұны істеу үшін, бұрыштық мәндерінің екінші бағанын қолданыңыз. Осыған байланысты сіз танымал бұрыштардың құндылығын градустан радианға аудара аласыз. Мысалы, біз бірінші қатарда 60 градус бұрышын табамыз және оның астындағы радиандардағы құнын оқып аламыз. 60 градус π / 3 радианға тең.

PI саны айналдыра ұзындығының бұрыштың дәрежесінен тәуелділігін біркелкі білдіреді. Осылайша, PI радиандары 180 градус.

PI (радиандар) арқылы көрсетілген кез-келген нөмірді оңай градусқа дейін, санын (π) 180-ге дейін ауыстыруға болады.

Мысалдар:
1. Синус б..
Sin π \u003d Sin 180 \u003d 0
Осылайша, Sinus Pi синус 180 градусқа тең, ал ол нөлге тең.

2. Косин..
Cos π \u003d cos 180 \u003d -1
Осылайша, косиндік PI 180 градус косинуспен бірдей және ол минусқа тең.

3. Тангенс П.
Tg π \u003d tg 180 \u003d 0
Осылайша, Тангент Пи таныс 180 градуспен бірдей және ол нөлге тең.

Синус құндылықтарының кестесі, косинет, бүйірлерге арналған тангенс 0 — 360 градус (жиі мәндер)

бұрыштың мәні α. (дәрежелер)	бұрыштың мәні α. Радиандарда (PI саны арқылы)	күнә. (синус)	cos. (косинус)	тг. (Тангент)	cTG. (Котангент)	сек. (сек)	cosec. (косекант)
0	0	0	1	0	—	1	—
15	π / 12.			2 — √3	2 + √3
30	π / 6.	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π / 4.	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π / 3.	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12.			2 + √3	2 — √3
90	π / 2.	1	0	—	0	—	1
105	7π / 12.		—	— 2 — √3	√3 — 2
120	2π / 3.	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4.	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π / 6.	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	—	-1	—
210	7π / 6.	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π / 3.	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/28.	-1	0	—	0	—	-1
360	2π.	0	1	0	—	1	—

Егер тригонометриялық функциялар кестесі функцияның мәнінің орнына мән болса, түтік көрсетілген (тангенс (TG) 90 градус, котангент (CTG) 180 градус), бұл функцияның ағымдық деңгейі бар дегенді білдіреді белгілі бір мән жоқ. Егер манекан болмаса — ұяшық бос, содан кейін біз әлі де қажетті мәнді жасаған жоқпыз. Бізді пайдаланушылардың бізге қалай келуге және кассаны жаңа құндылықтармен толықтырады, сонымен қатар косиндік құндылықтар, синустар мен танымалдылар туралы қазіргі мәліметтердің ең көп таралған құндылықтары туралы, көптеген тапсырмаларды шешу үшін жеткілікті.

Ең танымал бұрыштар үшін SIR, COS, TG тригонометриялық функцияларының мәндер кестесі

0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градус
(Сандық құндылықтар »Брэди кестелеріндегідей«)

Бұрыштың мәні α (градус)	Радиандардағы α бұрышының мәні	Күнә (синус)	Cos (косинус)	TG (тангенс)	CTG (COTANGENT)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π / 18.

Птолемейдің теоремасы дегеніміз не? » — Ғылым

Мазмұны

Птоломей теоремасы ‘кез келген циклдік төртбұрыш үшін оның диагональдарының көбейтіндісі қарама-қарсы жақтардың әрбір жұбының көбейтіндісінің қосындысына тең болады’ дейді. Теореманы әрі қарай кеңейтуге болады, бұл бесбұрыштың қабырғалары мен оның диагоналіне алтын қатынасын дәлелдеу үшін және Пифагор теоремасы, басқалармен қатар.

Микеланджелоның не екенін біліп көрдіңіз бе Қасиетті отбасы, Генрих Агриппа пентаграммада жазылған адам және Соңғы кешкі ас Сальвадор Далидің ұқсастығы бар ма?

Мұның бәрі мәңгілік көркемдік кереметтерінен басқа, жалпы дизайн философиясын / элементін ұстанады. Әрқайсысы бесбұрыштың пішінін қамтиды, ал кез-келген тұрақты бесбұрыштың диагоналіне қатынасы ‘Алтын қатынасты’ береді (1.618033…). Құрылыстағы алтын арақатынасты ұстанатын қолдан жасалған конструкциялар мен табиғи заттар әлемдегі ең эстетикалық жағымды заттар болып саналады.

Бесбұрыштың диагональдары мен қабырғалары арасындағы бұл эстетикалық байланысты циклдік төртбұрыштар Плотемиясының теоремасын кеңейту арқылы дәлелдеуге болады. Сонымен қатар, Птолемей теоремасын Пифагор теоремасын дәлелдеу үшін де қолдануға болады, бірақ біз бұған жетпес бұрын Птолемей теоремасы дегеніміз не?

Птоломей теоремасы

Клавдий Птоломей көптеген салаларда тәжірибесі бар грек аңызы болды; ол астрономиядағы жұмыстарымен (Птолемейлік жүйе) ең танымал болғанымен, ол сондай-ақ терең математика шебері болды және қазір ‘Птоломей теоремасы’ деп аталатын теореманы ашты. Теорема Птоломейдің 1-кітабының 10-тарауында айтылды Алмагест және циклдік төртбұрыштың төрт жағы (төрт шыңы бір шеңберге орналасқан төртбұрыш) оның диагональдарымен байланысты.

Птоломей теоремасында ‘шеңберге салынған төртбұрыш үшін қарама-қарсы жақтардың әр жұбының көбейтінділерінің қосындысы оның екі диагоналының көбейтіндісіне тең’ делінген.

ABCD төртбұрышын барлық төбелерімен, яғни A, B, C, D шеңберде жатқанын қарастырайық, осылайша циклдік төртбұрышты құрайық. Мұнда AC және BD төртбұрыштың диагональдары, ал қалған барлық сызық сегменттері (AB, BC, CD, AD) оның бүйірлері болып табылады. Енді Птолемей теоремасы бойынша қарама-қарсы жақтардың көбейтіндісінің қосындысы (AB × CD + BC × AD) диагональдардың көбейтіндісіне тең болады (AC × BD).

Математикалық,

AC × BD = (AB × CD) + (BC × AD)

Жоғарыда аталған қатынас және осылайша теорема бірнеше жылдар бойы дәлелденген бірнеше әдістер бар. Кейбір математиктер қатынасты дәлелдеу үшін тригонометриялық сәйкестікті пайдаланады, ал басқалары күрделі сандарды немесе инверсивті геометрияны қолданады. Дегенмен, барлық дәлелдеулердің ең қарапайымы (бізге сәйкес) ұқсас үшбұрыштарды және олардың қасиеттерін қолдану арқылы қамтамасыз етіледі.

Барлық дерлік математикалық дәлелдеулер сияқты, біз бір нәрсені болжаудан бастаймыз.

Жоғарыдағы циклдік төртбұрыш үшін AC диагональында ∠ABK = ∠CBD болатын К нүктесі бар.

Жоғарыда келтірілген диаграммада көрсетілгендей, BC доғасы ∠BAC & ∠BDC қосады және іштегі бұрыштық теоремаға сәйкес ∠BAC = ∠BDC. Сол сияқты АВ доғасы ∠ADB және ∠ACB бағындырады, сондықтан екі бұрыш тең ​​болады (∠ADB = ∠ACB). Ұқсас үшбұрыштардың (AA) теоремасы бойынша △ ABK △ DBC-ге, ал △ KBC △ ABD-ге ұқсас.

Ұқсас үшбұрыштар үшін △ ABK және △ DBC:

Сондықтан,

Сол сияқты, △ KBC және △ ABD үшбұрыштары үшін:

Сондықтан,

Жоғарыда келтірілген теңдеулерді қосқанда:

AK.DB + KC.BD = AB.DC + BC.AD

Мұнда DB және BD бірдей және ортақ еселік ретінде орындалуы мүмкін,

(AK + KC) .BD = AB.DC + BC.AD

Диаграммадан AK + KC = AC.

Сондықтан,

AC.BD = AB.DC + BC.AD

Мінекей. ABCD циклді төртбұрышының диагональдарының көбейтіндісі оның қарама-қарсы жақтарының көбейтіндісінің қосындысына тең, дәл осылай Птоломей теоремасы бізге айтады!

Қолданбалар

Бұрын айтылғандай, Птолемей теоремасын циклды бесбұрыштарға дейін кеңейтуге және оның қабырғалары мен диагональдары арасындағы алтын арақатынасын дәлелдеу үшін қолдануға болады.

ABCDE тұрақты циклды бесбұрыш үшін қабырғалары ‘а’, ал диагональдары ‘d’ ұзындығына тең.

ABCD төртбұрышына шоғырланып, Птоломей теоремасын қолдана отырып, біз мынаны аламыз:

AC.BD = BC.AD + AB.DC

Тиісті ұзындық мәндерін ауыстырып,

d.d = a.d + a.a

d2 = a.d + a2

Жоғарыдағы теңдеуді a2-ге бөлу

d2 / a2 = d / a + 1

Енді ‘d / a’ қатынасы ‘r’ арқылы ұсынылсын

Демек, r2 = r + 1

Қайта реттеу, r2 — r — 1 = 0

R үшін шешу,

r = (1 ± √1 — 4 (1) (- 1)) / 2

r = (1 ± √5) / 2

r = 1.618033…

Демек, тұрақты бесбұрыш қабырғаларының оның диагональдарына қатынасы (r = d / a = 1.618033) — алтын қатынас.

Птолемей теоремасын пайдаланып, Пифагор теоремасын дәлелдеу үшін шеңбер ішіне жазылған ABCD тікбұрышты елестетіңіз.

Птолемей теоремасын ABCD төртбұрышына қолдана отырып, бізде бар

AD⋅BC = AB⋅DC + AC⋅DB

Кез келген берілген төртбұрыш үшін екі диагональ сияқты қарама-қарсы жақтар тең болады. Демек, AB = CD, AC = BD және AD = BC.

BC2 = AB2 + AC2

Жоғарыда келтірілген теңдеу АВС тік бұрышты үшбұрышқа қолданылатын Пифагор теоремасынан басқа ештеңе емес.

Қорытынды сөз

Жоғарыда түсіндірілген екі қорытындыдан басқа, Птоломей аккордтар кестесін құру үшін циклдік төртбұрыштар теоремасын қолданды (синус функциясының кестесіне ұқсас тригонометриялық кесте, біз бүгінге дейін қолданамыз). Птоломейдің аккордтар кестесі мұндай бірінші болып табылмаса да, тригонометриялық функциялардың мәнін 30 incre өсімімен қамтамасыз етті, ал Гиппарх жасаған бірінші тригонометрия кестесі 7 ° 30 incre өсіммен мән берді.

Бұл интерполяциялардың дәлдеуіне алып келді және әртүрлі планеталардың, күннің, айдың, жұлдыздардың көтерілуі мен батуын, ай мен күннің тұтылу күндерін және т.с.с. есептеуге көмектесті.

Птоломейдің астрономиялық жұмысының бірігуі он үш кітап түрінде көрініс тапты, олар жиынтық ретінде « Алмагест, ол астрономия саласындағы ең ықпалды жұмыстардың бірі болып саналады. Оның жұмысы бұрынғы астрономиялық жұмыстардың бәрін ауыстырып, бірнеше жыл бойы жоғары билік жүргізді, сондықтан ежелгі заманның ең үлкен астрономиялық шығармасы ретінде бағаланды.

Птоломейдің көптеген астрономиялық жетістіктері аккордтар кестесін пайдаланбай мүмкін болмас еді, егер Птоломейдің циклды төртбұрыштары туралы теоремасы болмаса, салынбайтын еді!

(PDF) Большая сосиска из крошек

68 Электронные коммуникации в вероятности

набор положительной емкости. Верно ли, что носитель V

1

(A) неограничен, т. е. P[V

1

(A) >x] > 0 для всех x? Это легко сделать, если A имеет

сечение положительной (d − 1)-мерной меры Лебега, но я не могу доказать это в общем случае. Есть ли у вас какие-либо идеи?

Мы были заинтригованы этим вопросом, потому что он привел нас к размышлению об источнике

объема венской колбасы, когда А — это «маленькое» множество (т.г., неполярное множество нулевой

хаусдорфовой размерности на плоскости). Является ли это следствием макроскопического движения В (в случае

, в котором случай V

1

(А)) не был бы ограниченным, или микроскопических флуктуаций (в котором

случай В

1

(А) мог бы быть ограниченным, как квадратичная вариация)?

Наше доказательство следующей теоремы показывает, что хотя микроскопические флуктуации

B необходимы для положительности V

1

(A), макроскопическое поведение B, безусловно,

влияет на величину V

1

(А).

Теорема 1. Если емкость C(A) множества A ⊂

d

положительна, то V

1

(A) не ограничено.

Соответствующая мощность может быть определена для A ⊂

d

с d

с d ≥ 3, на

C (A) = SUP

μ

μ (A)

2

E (μ)

где E(µ)=

ZZ

c

d

dµ(x) dµ(y)

|x − y|

d−2

,

, а верхняя грань лежит по мерам, поддерживаемым на A.(константа c

d

не имеет значения

для наших целей). Аналогичная формула верна для d = 2 с логарифмическим ядром; в

этот случай C(A) часто называют константой Робина, и будет удобно ограничить

внимание множествами A диаметра меньше 1.

Обозначим через τ

A

время попадания A через Броуновское движение. Теоремом Фубини

E [V

1

(A)] =

Z

D

P

x

[τ

A

≤ 1] DX.

Из связи между теорией потенциала и броуновским движением следует, что

E[V

1

(A)] отлично от нуля тогда и только тогда, когда A имеет положительную емкость; см., например, [3], [2] или [4].

2. Рецепт

Для любого ядра K(x, y) соответствующая емкость определяется C

K

(A)=sup

µ

µ(A)

3

2

2

K

(µ)

где E

K

(µ)=

RR

K(x, y) dµ(x) dµ(y) и супремум над мерами на A.Мы

предполагаем, что K(x, x)=∞ для всех x и что для 0< |x − y|

K

, ядро ​​K

непрерывно и K(x, y) > 0.

Для всех таких ядер справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Если множество A ⊂

d

имеет C

K

(A) > 0, то для любого L<∞ существует >0

и подмножества A

(A) > 0

2

, …,

м

м

из такого, что

P

M

I = 1

C

K

(A

I

) ≥ l , а расстояние между

A

i

и A

j

не менее  для всех i 6= j. (m и  зависят от A и L).

Доказательство. Можно предположить, что diam(A)

K

, иначе мы можем заменить A подмножеством

положительной емкости и диаметра меньше R

K

.

Пусть µ мера с носителем на A такая, что µ(A)=1 и E

K

(µ) < ∞.

509 Превышен предел пропускной способности

509 Превышен предел пропускной способности Сервер временно не может обслуживать ваши запрос из-за того, что владелец сайта достиг своего ограничение пропускной способности. Пожалуйста, повторите попытку позже.

Схема — Ледник — Национальная лаборатория Лоуренса в Беркли

1 2 1 2 А 8 4 1 2 1 2 1 2 1 2 S 2 2 1 5 6 7 8 1 2 1 4 2 + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 BCDE Поскольку датчик потребляет около 60 мВт, было бы благоразумно отключить его питание, когда оно не требуется. Резисторы серии 5Vanalog 110nF размещать вблизи Осталось выяснить, как 1 R279 162K 1% удаленных источников. Конденсаторы 0-2,5 В, диапазон -5 В, целесообразно подключить 2-контактный разъем U26 U68 рядом с АЦП.Заземляющий провод R338. Альтернативой 3,3 В R3 100K 1% 1 10 может быть P-FET BAROMETER Ain0 SC_nCS5 4 1 2 R13 150K 1% 5Vanalog 2 SDA Out 3 BAROMETER R5 10K 1% Ain1 3 9 в Vcc, включенный с помощью Gnd SC_SCLK 150K 1 % R6 10K 1% N-FET. Imon+5V 4 Ain2 SCL R4 R7 10K 1% 5 Ain3 Imon+3,3V R339 100K 1% R8 10K 1% Ain4 Imon+2,5V 6 R104 10K 1% MPXA4115A 100K 1% R9 10K 1% Imon+1,8V 7 Ain5 R10 10K 1% Imon-5V 8 Ain6 DISC-OneSPE R11 10K 1% 16 Ain7 12 Q7 R12 10K 1% Ain8 Vdd 3. 3V 4 1.8V 15 4 2N7002 2.5V R142 10K 1% 14 Ain9 R367 20 -(-5/2.5)-(+3,3+2,5+1,8)/4 =Vout R233 100K 1% 13 Ain10 11 3,3V Vout=Vs(0,009*P-0,09 5)+/-Error Ain11-RefGnd BAROMETER_ENA G 2 — 0,825 — 0,625 — 0,4 50) = 0,100 В C14 P = 10,55555556+(111,111 1111*Vout/Vs) Давайте просто предположим, что если +5 равно R1 MAX1139EEE C9 2,2 мкФ 6,3 В Tan 5 В и Baro масштабируются теми же 100 нФ R407, были мертвы. ЦП 5V 100K 1% фактор, так что в тех же единицах. 10K 1% вход контрольной микросхемы вызовет Переключатель FET, Q7, может привести к перезагрузке ниже примерно 4,750 В. (2.500/4096) x count TI утверждает, что имеет меньшую силовую часть, небольшое смещение из-за того, что она на C10 C3 C5 C7 C373 C435, но с точностью только до 2 градусов C (вероятно, сопротивление около 5 Ом.100nf 100nf 100nf 100nf 100nf 100nf внутри диапазона -25c и abov e) … C2 C4 C6 C8 C434 C1 100nf 100nf 100nf 100nf 100nf 100nf sc_sclk U55 2 7 6 5 SCL A0 A1 A2 VDD VDD GND SDA Tout DS1631U 1 3 D R51 10K 1% 3.3V vs NC NC NC NC NC SC_nCS7 1 2 Значения деталей, оканчивающиеся на «*», не должны монтироваться. Эти части предназначены для диагностики или реализации альтернативных методологий. 4,25 мВт x 4 + 7,5 мВт = 24,5 мВт плюс 3,3 мВт при преобразовании температуры + 6 мВт x 10 В/усл_эфф f = 67 мВт Последовательно размещайте резисторы рядом с удаленными источниками.C конденсаторы возле АЦП. R819 10k 1% Disc-MultiSCE 1 10 FADC_0_REF SC_NCS6 R820 10K 1% 2 AIN0 SDA R821 150K 1% SISTLELED-BRAILNES-CTL 3 AIN1 9 R822 10K 1% AIN2 SCL SC_SCLK DAC0_A 4 DAC0_B R823 150K 1% 5 AIN3 R824 10K 1% R825 10K 1% DAC0_C 6 Ain4 R826 150K 1% Ain5 Analog_Ref 7 R105 10K 1% DAC1_A R827 10K 1% 8 Ain6 3 R828 150K 1% 3 DAC2_B 16 Ain7 12 3.3V R810 10K 1 Rddin 9 VAdd 18 Ain3_C 18 Подставка 14 R829 20 FE_TEST_PULSE_AMPL R832 150K 1% 13 Ain10 11 Ain11-RefGnd C437 MAX1139EEE C436 2.2 мкФ 6,3 В Tan Нам нужно будет назначить разъемы 100 нФ на странице ATWD для входных сигналов DACx_y. % C438 C440 C442 C444 C446 C448 100NF 100NF 100NF 100NF 100NF 100NF C439 C441 C443 C445 C447 C449 100NF 100NF 100NF 100NF 100NF 100NF U97 0-2. 5V SPAN FADC_0_REF R36 100 1 2 C385 10UF 6.8V TAN C386 100NF 1 2 R39 20 Обратите внимание, что это FADC — дифференциальный вход. Каскады усилителя и формирователя связаны по постоянному току. «Нижняя часть» пролета зависит от настройки опорного напряжения ATWD.То есть пьедестал для FADC = пьедестал для ATWD. V+ in должен быть установлен на ( Vpedestal — (span/2)) вольт или на несколько мВ ниже. 100 мВт U30 R132 9 17 R436 100 1 2 FLASH_AD_D0 20 VIN + D0 18 R437 100 1 2 FLASH_AD_D1 FADC_IN 10 D1 19 R438 100 1 2 VIN- D2 FLASH_AD_D2 20 R439 100 1 2 U23 (дифференциальный вход) 4 0 MHZ ADC Non D3 Flash_ad_d3 21 R440 100 1 2 FLASH_AD_D4 SC_nCS2 8 3 DISC-MultiSPE инвертирующий вход, используемый в качестве центральной шкалы D4 22 R441 100 1 2 FLASH_AD_D5 C121 SC_SCLK 10 CS OUTA 2 D5 ссылка.25 R442 100 1 2 100 нФ FLASH_AD_D6 SC_MOSI 9 SCLK FBA R14 10K 1% D6 26 R443 100 TP1 DAC-DO0 DIN 1 2 D7 FLASH_AD_D7 1 2 3,3 В 12 4 DAC-UP0 DISC-OneSPE 27 R444 _ 3 ADB 8 OUT 1 DAC-UP0 FLASH 1 5 2 28 R445 100 1 2 1 D9 FLASH_AD_D9 14 UPO FBB R15 10K 1 % 2 C26 U12 PDL FADC_0_Ref SC_CL 7 17 10 мкФ 6,8 В Tan 1 OTR FLASH_NCO 7 CLKx2 TP* VCL OUTC 16 13 2 FBC CL 1 % 5 CLK R16 10 выход 8 18 100 нФ C124 nCLKx2 OUTD FE_TEST_PULSE_AMPL 14 C126 FLASH_AD_STBY VR2. 5 15 19 100 нФ 6 PDWN 2 R262 39K FIN1018K8X REFCD FBD 6 R17 10K 1% REFT MODE 2 R405 REFAB 5V.5V 11 100nF JU28 DGND 7 1 20 Open Ckt 4 AVdd 12 B18 C13 AGND VDD C294 VREF AVdd 3.3V 1 2 3 23 100nF ADC-REF 1 2 SENSE DGnd 8 LI0805D121R C270 MAX5250BEAP 10uF 6.3V 2 AGnd C15 Open Ckt JU27 C29 C127 100 нФ AD9215BRU-65 Перемычка 100 нФ 100 нФ OSCON_6SC6R8M Компоненты, значение C295 которых заканчивается на «*» 100 нФ, не подлежат монтажу. NC NC 15 16 R46 Перемотайте SENSE на Gnd для диапазона 2 В. Разомкните Ckt Ra* SENSE SENSE на VREF для диапазона 1 В. U28 Подсоедините SENSE к делителю напряжения для диапазона =1,0(1+Ra/Rb).SC_nCS3 8 3 CS OUTA SingleLED-BRIGHTNESS-CTL SC_SCLK 10 2 SC_MOSI 9 SCLK FBA R22 10K 0,1% TP2 DAC-DO1 12 DIN 4 DAC-UP1 DOUT OUTB Зажим 13 5 1 14 UPO FBB R23 10K 0,1% TP* SC_CL 7 PDL 17 CL OUTC FL_REF U24 16 FBC R24 10k 0,1% 5VANALOG 3 18 VCC OFT DAC_OUT_1 1 15 19 C12 OUT REFCD FBD 6 R25 10K 0,1% Refab + C16 100NF * 100NF 11 5Vanalog 1 DGND 1 20 1 AGND VDD GND TLE2425ID C451 OSCON_6SC6R8M MAX5250BEAP 10 бит ЦАП C17 100 нФ R26 10K 1% R18 10K 1% R19 10K 1% R20 10K 1% R21 10K 1% R27 10K 0,1%* R28 10K 0. 1%* R29 10K 0,1%* Название Цифровой оптический модуль AD/DA Размер Номер документа Ред. C 1.1 A B C D Пятница, 16 мая 2003 г. Дата: Лист из 4 15 E

KryssTal: Тригонометрия

KryssTal: Тригонометрия

---

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображенный на схеме. a , b и c — боковые стороны; φ угол. Это греческая буква, которая произносится как фи .Угол между сторонами a и b равен 90 ^o , а прямой угол . Сторона c , лежащая против прямого угла, называется гипотенузой (от греческого слова, означающего , вытянуть ). Пифагор (ок. 582 г. до н. э. — ок. 497 г. до н. э.) доказал то, что сейчас называется Теорема Пифагора , хотя она веками использовалась в древнем мире для строительства и измерения. Теорема может быть описана следующим образом: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Математически это записывается как a ² + b ² = c ² . Пример 1: Если прямоугольный треугольник имеет меньшие стороны длины 3 и 4. Какова длина гипотенузы?

Из теоремы Пифагора,

в ² = а ² + b ² = 3 ² + 4 ² = (3 × 3) + (4 × 4) = 9 + 16 = 25

Если c ² = 25, c = 5 .

Это знаменитый треугольник 3 : 4 : 5 , используемый при съемке и измерении. Таких треугольников много (например, 5 : 12 : 13 ). Вы можете проверить, что 5 : 12 : 13 является прямоугольным треугольником, выполнив приведенные выше вычисления.

Конечно, числа не обязательно должны быть целыми числами.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15,3, а другая его сторона равна 4,7. Найдите длину недостающей стороны.

Из теоремы Пифагора,

а ² = в ² — б ² = 15,3 ² — 4,7 ² = (15,3 х 15,3) — (4,7 х 4,7) = 234,09 — 22,09 = 212

Если а ² = 212, а = 14,56 .

---

Площадь ( A ) прямоугольного треугольника находится по формуле A = ab/2 Пример 3: Найдите площадь прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длины 4.3 и 6.4 соответственно.

Площадь указана по номеру

А = ab/2 = 4,3 × 6,4 / 2 = 13,76

---

Вернемся к схеме прямоугольного треугольника. Между сторонами a , b , c и углом φ имеется ряд соотношений. Они называются Тригонометрическими функциями .

Существуют три основные тригонометрические функции.Они называются Синус , Косинус и Тангенс .

Синус угла φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Sin φ = a / c Косинус угла φ определяется как длина прилежащей стороны (прилежащей к углу φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Cos φ = b / c Тангенс угла φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на длину прилежащей стороны (прилежащей к углу φ).

Это записывается как

Tan φ = a / b В таблице ниже показаны некоторые значения этих функций для различных углов.

Уголок	Грех	Кос	Желто-коричневый
0 или	0,000	1. 000	0,000
30 или	0,500	0.866	0,577
45 или	0,707	0,707	1.000
60 или	0,866	0,500	1.732
90 или	1.000	0,000	Бесконечный

Обратите внимание на следующее: Sin 0 ^o = Cos 90 ^o = 0 Sin 30 ^o = Cos 60 ^o = 0.500 SIN 45 ^O = COS 45 ^o = 0,707 = 1 / (√2) SIN 60 ^O = COS 30 ^O = 0,866 = (√3) / 2 SIN 90 ^о = Cos 0 ^о = 1 Между 0 ^o и 90 ^o : Увеличение синусов от 0 до 1,
Косинусы уменьшаются от 1 до 0,
Тангенсы увеличиваются от 0 до бесконечности. Ну наконец то, Кос(90 — Х) = Син(Х)
Грех(90 — Х) = Кос(Х) Значения тригонометрических функций (за исключением 0 ^o , 30 ^o , 45 ^o , 60 ^o , 90 ^o ) не являются целыми числами, дробями или сурдами.Они трансцендентны.

---

Три тригонометрические функции взаимосвязаны. Sin φ / Cos φ = Tan φ Sin ² φ + Cos ² φ = 1 Примечание. Квадрат синуса угла, скажем, (Sin φ) ² чаще записывается как Sin ² φ. Эта форма применима ко всем тригонометрическим функциям.

---

Пример 4. Докажите, что Sin φ / Cos φ = Tan φ

Используя определения тригонометрических функций

Sin φ / Cos φ = (a / c) / (b / c) = (a / c) × (c / b) = a / b = Tan φ

Пример 5: Докажите, что Sin ² φ + Cos ² φ = 1

Используя определения тригонометрических функций

Sin ² φ + Cos ² φ = (a / c) ² + (b / c) ² = (a ² / c ² ) + (c ² / b ² ) = (a ² 2 ) ² ) / с ² .

Но a ² + b ² = c ² (из теоремы Пифагора)

Следовательно, (а ² + b ² ) / с ² = с ² / с ² = 1 .

Значения тригонометрических функций для определенного угла можно найти в таблицах или на калькуляторе, как и в случае с логарифмами. Мы будем использовать их сейчас в некоторых примерах.

Пример 6. Найдите длины сторон a и c в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных и перестановку, мы имеем

a = b × Tan φ = 12,6 × Tan 51 ^o = 12,6 × 1,235

С помощью калькулятора или таблиц находим, что Тан 51 ^o = 1,235 (с точностью до трех знаков после запятой).

12,6 × 1,235 = 15,56 м .

Значение c можно найти с помощью теоремы Пифагора. Здесь мы будем использовать определение косинусов и переставлять. Это дает

с = b / Cos φ = 12,6 / Cos 51 ^o = 12,6 / 0,629 = 20,03м.

Пример 7. Найдите угол φ в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных

Tan φ = a / b = 9,6 / 7,4 = 1,297.

Используя таблицы или калькулятор, φ = 52,37 ^o .

---

До сих пор мы рассматривали прямоугольные треугольники.В общем, треугольники могут иметь любые углы. Рассмотрим треугольник ниже. Треугольник имеет три стороны: a , b и c . Есть три угла: A , B , C (где угол A противоположен стороне a и т. д.). Высота треугольника х .

Сумма трех углов всегда равна 180 ^o .

А + В + С = 180 ^или Площадь этого треугольника определяется одной из следующих трех формул: Площадь = (a × b × Sin C) / 2 = (a × c × Sin B) / 2 = (b × c × Sin A) / 2

= б × ч / 2

Отношения между тремя сторонами общего треугольника задаются Правилом косинуса . Существует три формы этого правила. Все эквивалентны. a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos A)

б ² = а ² + с ² — (2 × а × с × Cos B)

c ² = a ² + b ² — (2 × a × b × Cos C)

Пример 8. Покажите, что теорема Пифагора является частным случаем правила косинусов.

В первой версии правила косинусов, если угол A прямой, Cos 90 ^o = 0 .Тогда уравнение сводится к теореме Пифагора.

a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos 90 ^o ) = b ² + c ² — 0 = b ^{2 2}

Отношение между сторонами и углами общего треугольника определяется Правилом синусов .

а / Sin A = b / Sin B = c / Sin C Пример 9: Найдите недостающую длину и недостающие углы в следующем треугольнике.

По правилу косинусов,

a ² = b ² + c ² — (2 × b × c × Cos A)

а ² = 6,3 ² + 4,6 ² — (2 × 6,3 × 4,6 × Cos 32 ^o )

а ² = 39,69 + 21,16 — (2 × 6,3 × 4,6 × 0,848)

а ² = 60,85 — 49,15 = 11,7

а = 3,42 м

Теперь из правила синусов

а / Sin A = c / Sin C

Это можно изменить на

Sin C = (c × Sin A) / a

Подставляя различные значения, мы получаем

Sin C = (c × Sin A) / a = (4.6 × Sin 32 ^или ) / 3,42 = (4,6 × 0,530) / 3,42 = 0,713

Поэтому

С = 45,5 ^о

Окончательный угол можно найти из

А + В + С = 180 ^или

Перестановка,

В = 180 — А — С = 180 — 32 — 45,5

В = 102,5 ^о

Используя уравнения, описанные в этом эссе, можно узнать все о треугольнике, используя всего несколько заданных битов информации. В приведенном выше примере мы вычислили, что a = 3,42 м, B = 102,5 ^o , С = 45,5 ^o .

---

Помимо трех уже определенных тригонометрических функций, есть еще три, которые являются их обратными. Секанс угла φ определяется как величина, обратная косинусу.

Это записывается как

сек φ = 1 / Cos φ Косеканс угла φ определяется как величина, обратная синусу.

Это записывается как

Csc φ = 1 / Sin φ Котангенс угла φ определяется как величина, обратная тангенсу.

Это записывается как

Cot φ = 1 / Tan φ Эти функции приведены здесь для полноты.

---

Прежде чем мы рассмотрим ряды для тригонометрических функций, я хочу поговорить об углах.

Система градусов , используемая для обычных угловых измерений, восходит к вавилонским временам.Полный круг равен 360 ^o ; половина круга 180 ^o ; а прямой угол равен 90 ^o . Эти числа были использованы, потому что они содержат много факторов и просты в использовании. Градусы — это искусственные единицы.

При математическом рассмотрении тригонометрических функций нам требуется более фундаментальная единица измерения угла. Это Радиан .

Радиан определяется так, что полная окружность равна 2π радианам.
Полуокружность равна π радианам, а прямой угол равен π/2 радианам. 1 Радиан = 57,3 ^o

1 ^o = 0,0175 радиан

Радиан	градусов	Грех	Кос	Желтовато-коричневый
0	0	0	1	0
π/2	90	1	0	Бесконечный
π	180	0	-1	0
3π/2	270	-1	0	Бесконечный
2π	360	0	1	0

---

Существует ряд для оценки как синуса, так и косинуса. Эти ряды работают, только если угол φ выражен в радианах. Обе серии действительны для всех значений φ . Пример 10: Используйте ряд, чтобы найти значение Sin 45 ^o .

Преобразование угла в радианы:

45 ^o = π/4 радиана

поэтому

Грех 45 ^o = Грех π/4 = π/4 — ((π/4) ³ )/3! + ((π/4) ⁵ )/5! — ….

= 0,785 — 0,081 + 0,002 — … = 0,706

(до трех знаков после запятой).

Правильное значение, конечно, 0,707.

---

Посмотрите еще раз на две предыдущие серии. Теперь сравните их с экспоненциальной серией ниже. Приложив немного математики (не здесь!), можно показать, что тригонометрические функции связаны с числом e ( 2,71828183… ), основанием натуральных логарифмов) и мнимым числом . я .

Отношения:

Эти уравнения можно объединить и записать в альтернативном формате, который называется Формула Эйлера :

e ^iφ = Cos φ + i × Sin φ Мы начали с прямоугольных треугольников и закончили очень абстрактными уравнениями. Разве математика не забавна? Пример 11: Каково значение e ^iπ ?

Используя формулу Эйлера и помня, что Sin π = 0 и Cos π = -1 (см. таблицу выше):

e ^iπ = Cos π + (i × Sin π) = -1 + (i × 0) = -1

Эти числа обсуждаются далее в эссе «Введение в числа».

© 2000, 2009 КрысТал

---

---

Знакомство с различными типами чисел: действительными, мнимыми, рациональными, иррациональными, трансцендентными. Введение в алгебру и как решать простые, одновременные и квадратные уравнения. Серия, разработанная Исааком Ньютоном, которая используется для расчетов. Подробнее об индексах: корни и степени. Факториалы. Комбинации. Индекс и база. Определены логарифмы.Основание 10 и основание e. Использование логарифмов в вычислениях. Ряд для логарифмов. Как решать уравнения, содержащие синусы, косинусы и тангенсы. Сферическая тригонометрия — это тригонометрия треугольников, нарисованных на сфере.