Калькулятор правило крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Investing.com — Обозреватель CNBC Джим Крамер предложил свою стратегию для инвесторов, которые намерены вложиться в акции на фоне падения индекса на этой неделе.

Ведущий программы «Mad Money» рассказал о том, что среди акций, которые он рекомендует к покупке, выделяются, в первую очередь, Microsoft (NASDAQ:), Alphabet (NASDAQ:) и Nvidia (NASDAQ:).

«Эти лучшие в своем роде акции, которые, как правило, достигают дна раньше всех остальных», — сказал он.

Крамер отметил, что за первые два торговых дня на этой неделе Nasdaq упал на 1,76% по сравнению с ростом промышленного индекса на 0,6% и скромным снижением на 0,15%.

По его мнению, причиной такой ротации из акций Big Tech в основном является фиксация прибыли инвесторами в выигрышных позициях и направление средств в отстающие части рынка.

Тем, что акции лидеров Nasdaq падают сейчас, инвесторам следует воспользоваться, так как их падение не будет продолжаться вечно.

«Эти компании не сделали абсолютно ничего плохого… Они отчитались о лучших, чем ожидалось, результатах, прогнозировали более высокие темпы роста, но их акции все равно рухнули на этой неделе», — сказал Крамер, перечислив следующие компании: Alphabet, Microsoft, Cloudflare Inc (NYSE:), Palo Alto Networks Inc (NASDAQ:), Roblox Corp (NYSE:), AMD (NASDAQ:) и Nvidia.

«Все они демонстрируют фантастические результаты. Это те акции, которые вы захотите купить в первую очередь. Они лучшие в своем роде, и как правило, достигают дна раньше всех остальных».

Его призыв основан на анализе распродаж, которые начинаются обычно с сектора высоких технологий, которым он занимался примерно 40 лет работы на Уолл-стрит.

Крамер заметил, что почти каждый раз, когда эти акции с высоким мультипликатором распродаются, падение длится три дня с самого начала, а затем они начинают выравниваться и вновь поднимаются, как будто ничего не произошло, но на этот раз, в связи с Днем Благодарения в четверг, когда американский фондовый рынок будет закрыт, эти акции должны достичь дна к пятнице.

— При подготовке использованы материалы CNBC

Fusion Media or anyone involved with Fusion Media will not accept any liability for loss or damage as a result of reliance on the information including data, quotes, charts and buy/sell signals contained within this website. Please be fully informed regarding the risks and costs associated with trading the financial markets, it is one of the riskiest investment forms possible.

Метод крамера описание метода.

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Решить методом крамера онлайн с подробным решением. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера. Системы линейных алгебраических уравнений

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Габриэль Крамер — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений, что позволяет существенно ускорить процесс решения. Данный метод может быть применен в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Главное, чтобы определитель системы не был равен «0», тогда метод Крамера может быть использован в решении, если «0» — данный метод использовать нельзя. Также данный метод может быть применен для решения систем линейных уравнений с единственным решением.

Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе — определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Допустим, дано СЛАУ такого вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end{matrix}\right.\]

Согласно теореме Крамера получаем:

Ответ: \

Где можно решить уравнение методом Крамера онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

.

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

2

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1. 8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

.

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

.

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

.

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

.

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1. 18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………. .
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т. к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1. 4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Activity – Калькулятор систем в бк, калькулятор систем в бк – The Fan Pub

CLICK HERE >>> Калькулятор систем в бк 
 

Калькулятор систем в бк
Калькулятор поддерживает работу в 2-х режимах: Со Скобками или Без Скобок. Основное отличие – использование скобок при расчетах и как результат возможность расчета более сложных заданий. Калькулятор бк — неотъемлемый элемент вычисления для прибыльной игры. Bet On расскажет, как ставки на спорт могут принести прибыль и какие рабочие стратегии в этом помогут! Здесь представлен калькулятор арбитражных ситуаций (вилок) для двух и трёх исходов. Что такое вилка в букмекерских ставках? Програмний комплекс Транс-ГРАД призначений для перерахунку координат від систем координат СК-42, СК-63, місцевих систем координат, похідних від СК-42 та СК-63 до Державної геодезичної референцної системи координат УСК-2000. Калькулятор с решением систем линейных уравнений методом Гаусса. В наш раздел с калькуляторами часто заходят учащиеся школ и университетов при подготовке к занятиям и во время контрольных работ. Калькулятор систем счисления с решением При помощи данного калькулятора вы можете переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую и получить подробное решение. Калькулятор вилок в беттинге выполнят расчет случаев, когда из-за ошибок или разных подходов букмекеров пользователь может совершить прогнозы в разных конторах на исходы так, чтобы получить доход в любой ситуации. Быстрый 5) полосы в выход черной ставок беттинге: (9 погода на сегодня 4, из экспресс ТБ(2) Калькулятор (систем. Калькулятор ставок в система Как выигрыш вычисляется системе из Ставка. Простой математический онлайн калькулятор. Умеет складывать, делить, умножать и вычитать числа в десятичной системе счисления. Зайти в соответствующую категорию типов пари и выбрать «Калькулятор системы». В первом случае возможных вариантов будет 6, а во втором — 4.
Букмекерская контора предупреждает, что вам лучше будет загружать программы и приложения только с ее офиц, калькулятор систем в бк.
Калькулятор систем в бк
Калькулятор вилок в беттинге выполнят расчет случаев, когда из-за ошибок или разных подходов букмекеров пользователь может совершить прогнозы в разных конторах на исходы так, чтобы получить доход в любой ситуации. Калькулятор перевода чисел между систем счисления онлайн. Вы можете выполнить перевод числа из одной системы счисления в любую другую. Калькулятор покажет подробный ход решения. • Калькулятор с поддержкой разных систем счисления • Перевод числа в другие системы счисления • Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую • о римских цифрах. Легко и быстро рассчитать букмекерскую маржу в любом виде спорта, турнире и рынке ставок (основном и второстепенном) можно с помощью онлайн калькулятора комиссии букмекера. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Этот калькулятор сможет за секунду решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, методом Крамера или матричным методом. Легальная букмекерская контора Леон принимает ставки на территории Беларуси. ⚽Надежность, высокие коэффициенты, широкая линия и быстрые выплаты. Калькулятор талантов World of Warcraft: Classic. Занимайтесь теорикрафтом, планируйте и делитесь билдами своих персонажей. Онлайн-калькулятор вилок Число исходов вилки: 2 3 4 и больше Тип вилки (формула): Коэффициент. Онлайн калькулятор для перевода единиц измерения радиоактивности из Беккерель (Бк) в Кюри (Ки), Резерфорд rd, Распады в секунду. Способы платежей в бк Sbobet Лимиты, комиссия и время обработки при депозите и выводе средств Доступные валюты в бк Sbobet ️. Калькулятор систем экспрессов популярен, как среди новичков, так и опытных игроков. Первые его используют для расчета простых систем, таких как 2 из 3 или 3 из 4. Здесь можно найти все, что душе угодно, от покера до онлайн-казино, калькулятор систем в бк.
 
 

Калькулятор систем в бк, калькулятор систем в бкОн начисляется на первое зачисление средств в пятницу, начиная с 0:00 до 23:59 и отыгрывается по схожим условиям с теми, что установлены для акции при регистрации. Чтобы отказаться от получения пятничного вознаграждения уберите в личном кабинете галочку в графе «принимать участие в акциях», калькулятор систем в бк. Black Friday 1xbet: правила. Два главных отличия Black Friday от бонуса на пополнение: для отыгрыша дается не 30 дней, а сутки с момента пополнения, а прокручивать депозит нужно не 5 раз, а трижды. Доступен приз игрокам из России, Украины, Беларуси и Казахстана. Бездепозитные бонусы бездепозитные форекс щенячий 2017, бонус без депозита Индикаторы для бинарных опционов бесплатно щенячий патруль, бездепозитные форекс бонусы. 1хбет сайт 1хбет сайт 1xBet официальный сайт регистрация и вход личный кабинет букмекерской конторы 1хБет, рабочее зеркало 1xBet на сегодня и прямо сейчас. На нашем сайте вы найдете самую актуальную информацию о рулетка онлайн бесплатно щенячий патруль, где кэш, лототрон купить спб. Мультфільм мега добрий і навчає цьому добру дітей, неймовірні пригоди патруля і його заводили вчать діточок не сумувати, бути вкрай уважними, поспішати на допомогу оточуючим. Щенячий патруль всегда готов прийти на помощь. День и ночь вам помочь летит патруль щенячий. Когда беда случилась не плачь и не грусти, Райдер и его щенки спешат тебя спасти:Маршал,Крепыш,Гонщик,Рокки,Зума,Скай. Игры патруль Дети будут бесплатно играть с от Щенячий онлайн общения в восторге юным. Игровой алладин клуб игровые автоматы 2 Duur игровой бонус бездепозитный онлайн автомат казино 01. Щенячий патруль всегда готов прийти на помощь. Смотреть мультфильм Щенячий патруль онлайн в хорошем качестве совершенно бесплатно и без регистрации! Игры онлайн зума делюкс продолжение, гайд на армс вара 3. 5 пвп щенячий патруль ютуб на русском. ) онлайн-игр в казино в котором полноценно представлены все игры онлайн гемблинга.  
 

1хбет казино онлайн щенячий патруль, калькулятор систем в бк

Сейчас доступно 44 способа вывода выигрышей. Все переводы проводятся без комиссии. Как правило, вся процедура занимает не более 7 минут, калькулятор систем в бк. Чтобы оформить выплату, необходимо указать паспортные данные. Программа работает как лаунчер, поэтому позволяет снизить нагрузку практически вдвое, калькулятор систем в бк.
Интерфейс предельно прост и практически ничем не отличается от официального сайта, калькулятор систем в бк.
Морской патруль Воздушный патруль Игрушки Щенячий Патруль купить в магазине: база, патрулевоз, машинки и наборы героев. Щенячий патруль с доставкой по России! На сайте paw-shop. Ru вы можете купить героев мультфильма Щенячий патруль с доставкой или самовывозом по всей России. Поклонникам мультфильма Щенячий патруль, предлагаем смотреть онлайн 4 сезон мультсериала бесплатно и в хорошем качестве. Щенки спасают конкурс талантов, Щенячий патруль — смотреть онлайн 2 сезон 10 серию мультика 9: Щенки спасают пилота << Все серии >> 11: Щенки оставляют Маршала дома. Быстрая регистрация 1xBet (1хБет), ставки 1хбет зеркало. 39365/ Информация часто не влазит в экран, многое приходится держать в голове, 1хбет игры щенячий патруль. Щенячий патруль – новый детский мультсериал, о мальчике, которому десять лет и зовут его Зик Райдер. Как все мальчишки своего возраста, он очень веселый, подвижный и большой придумщик. Мультик Щенячий патруль, наполнен веселыми приключениями. Смотрите онлайн все серии подряд, новые серии 2020 года не оставят равнодушным ни одного ребенка! Мультсериал Щенячий патруль 1,2,3,4 сезон все серии подряд без остановки на VinixMult смотреть онлайн.

Новые или существующие игроки не смогут осуществить на прямую вход в свой личный кабинет 1XBET, вывести или пополнить игровой счет. Каждый день бк 1хбет открывает новые сайты для пользователей из запрещенных стран, чтобы предоставлять им непрерывный доступ к онлайн ставкам. Регистрацию на официальном сайте 1хбет можно осуществить как с телефона, так и с персонального компьютера или планшета, использую для этого мобильную или полную версию сайт. Это самый просто и быстрый способ создать учетную запись с помощью компьютера, потому что вам не нужно устанавливать дополнительный софт, 1хбет казино онлайн щенячий патруль. But what truly impressed us is the 1xBet application. The App Store 1xBet was founded when the demand for portable devices (cell phones) increased, калькулятор систем бк. Если вы потеряли доступ к аккаунту в системе букмекерской компании 1XBET, альтернативным вариантом для входа будет поиск актуального зеркала. Периодически ресурсы, открывающие возможности для восстановления доступа к официальному сайту, перестают работать по разным причинам, калькулятор систем бк. Удивительно, что такая классная ставочная контора не самое популярное место для ставок, калькулятор систем бк. На мой вкус, она с большим отрывом обгоняет всех остальных букмекеров, отличаясь своей надженостью. Есть надежда, что со временем законодательство даст возможность букмекерам без проблем работать онлайн в России, калькулятор систем ставки. Безопасен ли вход через зеркало 1xbet? Есть приложение на персональный компьютер. В них полностью сохранен функционал полной версии, калькулятор систем ставки. Как вывести деньги с сим карты Билайн, калькулятор систем бк. Карта Beeline открывает перед операторами новые возможности для снижения комиссии. Она обеспечивает более комфортные условия совершения ставок, калькулятор систем в бк. Интерфейс предельно прост и практически ничем не отличается от официального сайта. На главной странице 1xBet беттер видит основные события в мире спорта, на которые можно поставить, калькулятор систем в бк. Пример игры на бирже ставок: Зайти на главную страницу официального портала 1xBet. На сайте букмекера есть подробная инструкция для всех популярных браузеров, калькулятор систем в бк. Это программы, позволяющие обходить любую блокировку и сохранять анонимность в интернете. Когда вы нажимаете на приложение для смартфона, сделайте свой выбор в соответствии с операционной системой вашего телефона и загрузите мобильное приложение. Процедуры скачивания 1xbet предоставляют игрокам большое удобство и быстрые ставки, калькулятор систем в бк. 
 

Популярные виды спорта лучшие коэффициенты:

Футбол 22, 
 

Теннис 52, 
 

Баскетбол 34, 
 

Хоккей 24, 
 

Волейбол 60, 
 

Гандбол 27, 
 

Бейсбол 19, 
 

Снукер 46, 
 

Регби 27, 
 

Австралийский футбол 42, 
 

Шахматы 25, 
 

Бокс 69, 
 

UFC 43, 
 

Автогонки 40, 
 

Американский футбол 19, 
 

Атлетика 18, 
 

Биатлон 25, 
 

Бильярд 63, 
 

Велоспорт 74, 
 

Гольф 62, 
 

Горные лыжи 16, 
 

Гэльский футбол 44, 
 

Дартс 45, 
 

Крикет 65, 
 

Лыжи 62, 
 

Лыжное двоеборье 20, 
 

Нетбол 53, 
 

Олимпиада 29, 
 

Парусный спорт 39, 
 

Прыжки с трамплина 47, 
 

Сёрфинг 43, 
 

Спидвей 47, 
 

Флорбол 26, 
 

Формула-1 14, 
 

Херлинг 74, 
 

Хоккей с мячом 35 
 

Бонус на депозит:
Яндекс Деньги, Сбербанк онлайн, Альфаклик, WebMoney (Вебмани, ВМ), Банковская карточка (кредитная или дебетовая) – Credit Card, MoneyBookers, Neteller, EcoCard, Wire transfer, Western union, Check, Xек, Банковский перевод, Манибукерс, Нетеллер, Экокард. Криптовалюты: Bitcoin, Litecoin, Dogecoin, Dash, Ethereum, Monero, ZCash, NEM, DigiByte, Bitcoin gold, Bitcoin Cash, Ethereum Classic, Verge, QTUM, STRATIS, Ripple, USD Coin, TrueUSD, Tether, TRON. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
blabla

Cramer’s Calculator — (2×2, 3×3 & 4×4) Матрицы

Крассер Формула

= -100 + 48 + 1801

d _x = 1281

d _y = 2[(12×0)-(2×8)] — 10[(5×0)-(2×1)] + 5[(5×8)-(12×1)]

D _y = -32 + 20 + 140

d _{d y = 128}

d _Z = 2 [(3 × 8) — (12 × 5)] — 3[(5×8)-(12×1)] + 10[(5×5)-(3×1)]

D _z = -72 — 84 + 220

D _z = 64

Шаг 4: Примените правила Крамера и поместите значения.

6 x = d

_x / d = 128/961

x = 1.33

y = d _y / d = 128/96

y = 1.33

Z = D _Z / D = 64/96

Z = 0,67

Итак, мы получили x = 1,33, y = 1,33, и z = 0,67 после применения правила Крамера к заданному уравнению 3×3 .

Калькулятор правила Крамерса

Как найти неизвестные переменные по правилу Крамерса?

Понятие определителя матрицы появилось в Германии и Японии практически в одно и то же время. Секи впервые написал об этом в 1683 году в своем Методе решения скрытых проблем . Секи разработал шаблон для определителей для $2 \times 2$, $3 \times 3$, Матрицы $4\times 4$ и $5\times 5$ и использовали их для решения уравнений. В том же году Г. Лейбниц написал о методе решения система уравнений.Этот метод хорошо известен как Правило Крамера . Определитель квадратной матрицы $A$ — это уникальное действительное число, являющееся атрибутом матрицы $A$. Определитель матрицы $A$ обозначается через $det(A)$ или $|A|$.

Правило Крамера — это формула решения системы линейных уравнений. Он выводит решение в терминах определителей матрицы и матриц, полученных из нее, заменой одного столбца вектором-столбцом правых частей уравнений. Оно названо Габриэлем Крамером (1704–1752), а правило для произвольного числа неизвестных опубликовано в статье [Cramer, G.{th}$ столбца основной матрицы вектором правых частей уравнений и вычислить его определитель $D_x$.

Чтобы найти $x$-решение системы линейных уравнений по правилу Крамера, разделите определитель $D_x$ на главный определитель $D$;

Повторите предыдущий шаг для каждой переменной;

Если главный определитель равен нулю, то система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.
Правило Крамера с двумя переменными : Рассмотрим систему уравнений:
$$\begin{align} &a_1x+b_1y=\color{синий}{c_1}\\ &a_2x+b_2y=\color{синий}{c_2}\end{align} $$ Главный определитель равен $$D=\left| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \право|$$ а два других определителя равны $$D_x=\влево| \begin{массив}{cc} \цвет{синий}{c_1} и b_1 \\ \цвет{синий}{c_2} &b_2 \\ \конец{массив} \right|\quad\mbox{and}\quad D_y=\left| \begin{массив}{cc} a_1 & \color{синий}{c_1} \\ a_2 &\color{синий}{c_2} \\ \конец{массив} \право|$$ С помощью определителей $x$ и $y$ можно найти по правилу Крамера как
. $$x=\frac{D_x}{D}= \ гидроразрыва {\ влево | \begin{массив}{cc} \цвет{синий}{c_1} и b_1 \\ \цвет{синий}{c_2} &b_2 \\ \конец{массив} \право|}{\лево| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \right|}\quad\mbox{and}\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{\left| \begin{массив}{cc} a_1 & \color{синий}{c_1} \\ a_2 &\color{синий}{c_2} \\ \конец{массив} \право|}{\лево| \begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 &b_2 \\ \конец{массив} \право|}$$ Если каждый определитель равен нулю, система непротиворечива, а уравнения зависимы. Система имеет бесконечно много решений. Если $D=0$ и $D_x$ или $D_y$ не равно нулю, система несовместна и не имеет решения.
Правило Крамера с тремя переменными : Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{align} &a_1x+b_1y+c_1z=\color{синий}{d_1}\\ &a_2x+b_2y+c_2z=\цвет{синий}{d_2}\\ &a_3x+b_3y+c_3z=\цвет{синий}{d_3}\\ \end{выравнивание} $$ Главный определитель равен $$D=\left| \begin{массив}{ccc} a_1 & b_1 &c_1\\ а_2 &b_2 &c_2\\ а_3 &b_3 &c_3\\ \конец{массив} \право|$$ а остальные три определителя равны $$D_x=\влево| \begin{массив}{ccc} \цвет{синий}{d_1} & b_1 &c_1\\ \цвет{синий}{d_2} &b_2 &c_2\\ \цвет{синий}{d_3} &b_3 &c_3\\ \конец{массив} \право|\quad D_y=\лево| \begin{массив}{ccc} a_1 & \color{синий}{d_1} &c_1\\ a_2 &\color{синий}{d_2} &c_2\\ a_3 &\color{синий}{d_3} &c_3\\ \конец{массив} \right|\quad\mbox{and}\quad D_z=\left| \begin{массив}{ccc} a_1 & b_1 &\color{синий}{d_1}\\ a_2 &b_2 &\color{синий}{d_2}\\ a_3 &b_3 &\color{синий}{d_3}\\ \конец{массив} \право|$$ Решение системы трех уравнений есть $$x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad \mbox{and}\quad z=\frac{D_z}{D}$$ Например, решим систему линейных уравнений: $$\begin{align} &3x+4y+5z=10\\ &5x+6y+7z=12\\ &4x+5y+0z=15\\ \end{выравнивание} $$ Сначала вычислим главный определитель: $$\begin{align} D&=\left| \begin{массив}{ccc} 3 и 4 и 5\\ 5 &6 &7\\ 4 &5 &0\\ \конец{массив} \right|\&=\left|\begin{массив}{ccc|cc} 3 и 4 и 5&3 и 4 \\ 5 и 6 и 7 и 5 и 6 \\ 4 & 5 & 0 & 4 & 5 \\ \конец{массив} \правильно. =3\cdot6\cdot0+4\cdot7\cdot4+5\cdot5\cdot 5-5\cdot6\cdot4-3\cdot7\cdot5-4\cdot6\cdot0=12\end{align}$$ По аналогии, $$ D_x=\left| \begin{массив}{ccc} \цвет{синий}{10} & 4 &5\\ \цвет{синий}{12} &6 &7\\ \цвет{синий}{15} &5 &0\\ \конец{массив} \right|=-80,\quad D_y=\left| \begin{массив}{ccc} 3 & \цвет{синий}{10} &5\\ 5 &\цвет{синий}{12} &7\\ 4 &\цвет{синий}{15} &0\\ \конец{массив} \right|=100,\quad D_z=\left| \begin{массив}{ccc} 3 и 4 &\цвет{синий}{10}\\ 5 &6 &\цвет{синий}{12}\\ 4 &5 &\цвет{синий}{15}\\ \конец{массив} \право|=-8$$

Система уравнений 2×2 — Решатель, показывающий шаги

О решении системы двух уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений может быть решена четырьмя различными способами

1.Метод замены

2. Метод исключения

3. Правило Крамера

4. Графический метод

1.

Метод замещения

Пример: Решите систему уравнений методом подстановки.

$$ \begin{выровнено} 3х+2у=&3\ -2x — ~y =& -1 \end{выровнено} $$

Решение:

Шаг 1: Решите одно из уравнений для одной из переменных. Отметим, что Проще всего решить второе уравнение относительно $y$.

$$ \begin{выровнено} 3х+2у=&3\ {\color{red}{-2x + 1 =}} & {\color{red}{y}} \end{выровнено} $$

Шаг 2: ПОДСТАВЬТЕ $y$ в первый уравнение.

$$ \begin{выровнено} 3x + 2 ({\ color {красный} {-2x + 1}}) = & 3 \\ -2x + 1 = & у \end{выровнено} $$

Шаг 3: Решите первое уравнение относительно $x$.

$$ \begin{выровнено} {\ цвет {синий} {x =}} & {\ цвет {синий} {-1}} \\ -2x + 1 = & у \end{выровнено} $$

Шаг 4: Чтобы найти $y$, замените $-1$ на $x$ во второе уравнение.

$$ \begin{выровнено} х = &-1 \\ у = & -2\cdot(-1) + 1 \end{выровнено} $$

Решение:

$$ \begin{выровнено} {\ цвет {синий} {x =}} & {\ цвет {синий} {-1}} \\ {\ color {синий} {y =}} и {\ color {синий} {3}} \end{выровнено} $$

Вы можете проверить решение, используя приведенный выше калькулятор.

2. Метод исключения

Примечание: Этот метод реализован в калькуляторе выше. Калькулятор следует шаги, которые объясняются в следующем примере.

Пример: Решите систему уравнений методом исключения.

$$ \begin{выровнено} 3х+2у=&-1\ 4x — ~ 5y = & 14 \end{выровнено} $$

Решение:

Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе на 2.

$$ \begin{выровнено} 3 \ cdot {\ color {red} {5}} \ cdot x + 2 \ cdot {\ color {red} {5}} \ cdot y = & -1 \ cdot {\ color {red} {5}} \ \ 4 \ cdot {\ color {red} {2}} \ cdot x — ~ 5 \ cdot {\ color {red} {2}} \ cdot y = & 14 \ cdot {\ color {red} {2}} \end{выровнено} $$

После упрощения имеем:

$$ \begin{выровнено} {\ цвет {синий} {15x + 10y}} = & {\ цвет {синий} {-5}} \\ {\ цвет {красный} {8x — 10y}} = & {\ цвет {красный} {28}} \end{выровнено} $$

Шаг 2: сложите два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

$$ \begin{выровнено} ({\ color {синий} {15x + 10y}}) + ({\ color {red} {8x — 10y}}) = & {\ color {синий} {-5}} + {\ color {red} { 28 }}\\ 15х+10у+8х-10у=&23\ 23х = & 23\ х = & 1 \end{выровнено} $$

Шаг 3: подставьте значение x в исходное уравнение, которое нужно решить относительно y.

$$ \begin{выровнено} 3х+2у=&-1\ 3\cdot1 + 2y = & -1 \\ 3+2у=&-1\ 2у=&-4\ у = & -2 \end{выровнено} $$

Решение:

$$ \begin{выровнено} {\ цвет {синий} {х =}} & {\ цвет {синий} {1}} \\ {\ цвет {синий} {у =}} и {\ цвет {синий} {-2}} \end{выровнено} $$

Проверьте решение с помощью приведенного выше калькулятора.

3. Правило Крамера

Учитывая систему:

$$ \begin{выровнено} а_1х+б_1у=с_1\ а_2х + b_2у = с_2 \end{выровнено} $$

с

$$ D = \left|\begin{массив}{cc} а_1 и б_1 \\ а_2 и б_2 \конец{массив}\право| \ne 0 $$

$$ D_x = \left|\begin{массив}{cc} c_1 и b_1 \\ с_2 и б_2 \конец{массив}\право| $$

$$ D_y = \left|\begin{массив}{cc} а_1 и с_1 \\ а_2 и с_2 \конец{массив}\право| $$

тогда решение этой системы:

$$ х = \ гидроразрыва {D_x} {D} $$

$$ у = \ гидроразрыва {D_y} {D} $$

Пример: Решите систему уравнений с помощью правила Крамера

$$ \begin{выровнено} {\ цвет {синий} {3}} х + {\ цвет {красный} {12}} у = & -4 \\ {\ цвет {синий} {7}} х {\ цвет {красный} {- ~ 8}} у = & 3 \end{выровнено} $$

Решение: Сначала мы вычисляем $D,~ D_x$ и $D_y$.

$$ \begin{выровнено} & D~~ = \left|\begin{массив}{cc} {\ цвет {синий} {3}} и {\ цвет {красный} {~ 12}} \\ {\цвет{синий}{7}} и {\цвет{красный}{-8}} \конец{массив}\право| = {\color{синий}{3}}\cdot{\color{красный}}{(-8)}} — {\color{синий} {7}}\cdot{\color{red}{12}} = -24 — 84 = -108\\ & D_x = \left|\begin{массив}{cc} -4 и {\ цвет {красный} {~ 12}} \\ ~ 3 и {\ цвет {красный} {-8}} \конец{массив}\право| = -4 \ cdot {\ color {красный} {(-8)}} — 3 \ cdot {\ color {красный} {12}} = 32 — 36 = -4 \\ & D_y = \left|\begin{массив}{cc} {\ цвет {синий} {3}} & -4 \\ {\цвет{синий}{7}} и ~3 \конец{массив}\право| = {\ color {синий} {3}} \ cdot3 — {\ color {синий} {7}} \ cdot (-4) = 9 + 28 = 37 \\ \end{выровнено} $$

Следовательно,

$$ \begin{выровнено} & {\ color {синий} {x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-4} {-108} = \ frac {1} {27}}} \\ & {\ color {синий} { y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {37} {-108} = — \ frac {37} {108}}} \end{выровнено} $$

Решатель системы уравнений 3×3

О правиле Крамера

Этот калькулятор использует правило Крамера для решения систем из трех уравнений с тремя неизвестные. Правило Крамера можно сформулировать следующим образом:

Учитывая систему:

$$ \begin{выровнено} а_1х+б_1у+с_1з=д_1\ а_2х+б_2у+с_2з=д_2\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{выровнено} $$

с

$$ D = \left|\begin{массив}{ccc} а_1 и б_1 и с_1 \\ а_2 и б_2 и с_2 \\ а_3 и б_3 и с_3 \\ \конец{массив}\право| \ne 0 $$

$$ D_x = \left|\begin{массив}{ccc} д_1 и б_1 и с_1 \\ д_2 и б_2 и с_2 \\ д_3 & б_3 & с_3 \\ \конец{массив}\право| $$

$$ D_y = \left|\begin{массив}{ccc} а_1 и д_1 и с_1 \\ а_2 и д_2 и с_2 \\ а_3&d_3&c_3\\ \конец{массив}\право| $$

$$ D_z = \left|\begin{массив}{ccc} а_1 и б_1 и д_1 \\ а_2&б_2&д_2\\ а_3&б_3&д_3\\ \конец{массив}\право| $$

, то решение этой системы:

$$ х = \ гидроразрыва {D_x} {D} $$

$$ у = \ гидроразрыва {D_y} {D} $$

$$ г = \ гидроразрыва {D_z} {D} $$

Пример: Решите систему уравнений с помощью правила Крамера

$$ \begin{выровнено} 4х+5у-2з=&-14\ 7x — ~y +2z= & 42 \\ 3x + ~y + 4z= & 28 \\ \end{выровнено} $$

Решение: Сначала мы вычисляем $D,~D_x,~D_y$ и $D_z$.

$$ \begin{выровнено} & D~~ = \left|\begin{массив}{ccc} {\ цвет {синий} {4}} & {\ цвет {красный} {~ 5}} & {\ цвет {зеленый} {-2}} \\ {\ цвет {синий} {7}} & {\ цвет {красный} {-1}} & {\ цвет {зеленый} {~ 2}} \\ {\цвет{синий}{3}} и {\цвет{красный}{~1}} и {\цвет{зеленый}{~4}} \конец{массив}\право| = -16 + 30 — 14 — 6 — 8 — 140 = -154\\ & D_x = \left|\begin{массив}{ccc} -14 & {\ color {красный} {~ 5}} & {\ color {зеленый} {-2}} \\ ~ 42 & {\ color {красный} {-1}} & {\ color {зеленый} {~ 2}} \\ ~ 28 и {\ color {красный} {1}} & {\ color {зеленый} {~ 4}} \конец{массив}\право| = 56 + 280 — 84 — 56 + 28 — 840 = -616\\ & D_y = \left|\begin{массив}{ccc} {\ color {синий} {4}} & -14 & {\ color {зеленый} {- 2}} \\ {\ color {синий} {7}} & ~ 42 & {\ color {зеленый} {~ 2}} \\ {\color{синий}{3}} & ~28 & {\color{зеленый}{~4}} \конец{массив}\право| = 672 — 84 — 392 + 252 — 224 + 392 = 616\\ & D_Z = \left|\begin{массив}{ccc} {\ цвет {синий} {4}} & {\ цвет {красный} {~ 5}} & -14 \\ {\color{синий}{7}} & {\color{красный}{-1}} & ~42 \\ {\цвет{синий}{3}} и {\цвет{красный}{~1}} и ~28 \конец{массив}\право| = -112 + 630 — 98 — 42 — 168 — 980 = -770\\ \end{выровнено} $$

Следовательно,

$$ \begin{выровнено} & x = \frac{D_x}{D} = \frac{-616}{-154} = 4 \\ & y = \frac{D_y}{D} = \frac{616}{-154} = -4 \\ & z = \frac{D_z}{D} = \frac{-770}{-154} = 5 \end{выровнено} $$

Примечание: Вы можете проверить решение, используя приведенный выше калькулятор

Калькулятор правила Крамерса — Бесплатный онлайн калькулятор правила Крамерса

Калькулятор правила Крамера вычисляет значения переменных для заданных линейных уравнений. Линейное уравнение определяется как уравнение, написанное для двух разных переменных. Это уравнение будет линейной комбинацией этих двух переменных и константы.

Что такое калькулятор правила Крамера?

Калькулятор правил Крамера – это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значения переменных для заданных линейных уравнений. Этот онлайн-калькулятор правил Крамерса поможет вам рассчитать значение переменных за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор правил Крамера, введите коэффициенты в соответствующем поле ввода.

Как пользоваться калькулятором правил Крамера?

Чтобы найти значение переменных с помощью онлайн-калькулятора правила Крамера, выполните следующие действия:

• Шаг 1:  Перейдите к онлайн-калькулятору правил Крамера от Cuemath.
• Шаг 2:  Введите коэффициенты уравнений в данное поле ввода калькулятора правил Крамера.
• Шаг 3:  Нажмите кнопку  «Решить» , чтобы найти значение переменных.
• Шаг 4:  Нажмите кнопку  «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

 

Как работает калькулятор правила Крамерса?

Правило Крамера используется для решения линейных уравнений и нахождения значений переменных для заданных линейных уравнений.

Пусть A ₁ x + B ₁ y = C ₁  и A ₂ x + B ₂ y = C ₂  – линейные уравнения.

Формула, используемая для решения переменных для данных двух линейных уравнений с использованием правила Крамерса, имеет вид

.

x = ∆x/∆ и y = ∆y/∆

\(∆ =\left|\begin{array}{ll} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{array}\right| ,\,\,∆ x=\left|\begin{массив}{ll} C_{1} & B_{1} \\ C_{2} & B_{2} \end{массив}\right| \,\,и \,\, ∆y=\left|\begin{массив}{ll} A_{1} & C_{1} \\ A_{2} & C_{2} \end{массив}\right|\)

Есть два условия для правила Крамерса:

Условие 1: Если все определители равны нулю, то система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.

Условие 2: Если ∆=0 и ∆x и ∆y не равны нулю, то система несовместна и уравнения не имеют решений.

Давайте разберемся в этом на следующем примере.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронировать бесплатный пробный урок

Решенный пример по правилу Крамера

Решить заданные линейные уравнения x − 2y = -3 и 3x − 4y = -5 с помощью правила Крамера и проверить его с помощью калькулятора правила Крамера?

Решение :

Дано: A ₁  = 1, B ₁  = -2, C ₁  = -3, A ₂  = 3, B ₂  = -4, C _{9 0 9005}

x = ∆x/∆ и y = ∆y/∆

\(∆ =\left|\begin{array}{ll} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{array}\right| ,\,\,∆ x=\left|\begin{массив}{ll} C_{1} & B_{1} \\ C_{2} & B_{2} \end{массив}\right| \,\,и \,\, ∆y=\left|\begin{массив}{ll} A_{1} & C_{1} \\ A_{2} & C_{2} \end{массив}\right|\)

\(∆ =\left|\begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array}\right| ,\,\,∆x=\left|\begin{array} {ll} -3 & -2 \\ -5& -4 \end{массив}\right| \,\,и \,\,∆y=\left|\begin{массив}{ll} 1& -3 \\ 3 & -5 \конец{массив}\право|\)

∆ = 2, ∆x = 2, ∆y = 4

х = ∆x/∆ = 2/2 = 1

y = ∆y/∆ = 4/2 = 2

Следовательно, значения x и y равны (1,2)

Теперь попробуйте калькулятор правила Крамерса и найдите значение переменных для:

• 2x + 5y = 6 и 4x — 5y = 10
• -4x — 10y = 7 и 5x + 5y = 9

☛

Связанные статьи:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера онлайн

Одним из способов решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является использование Правило Крамера . Предположим, у нас есть СЛАУ:

a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22x2a23x3b2a31x1a32x2a33x3b3

Для ее решения необходимо найти такие значения переменных х ₁ , х ₂ , х ₃ которые преобразуют исходный SLAE в правильный идентификатор. Чтобы показать, как работает правило Крамера, перепишем нашу исходную СЛАУ в матричной форме:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33x1x2x3b1b2b3

Первый шаг Правило Крамера , заключается в проверке значения определитель матрицы СЛАУ:

Δa11a12a13a21a22a23a31a32a33

Если вычисленный определитель не равен нулю, то исходная СЛАУ имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.Если вычисленный определитель действительно равен нулю, то исходная СЛАУ может либо не иметь решения, либо иметь бесконечное множество решений, которые не могут быть найдены по правилу Крамера.

Предположим, вычисленный определитель не равен нулю:

Δ0

то по правилу Крамера решение СЛАУ можно найти по формулам:

хΔxΔyΔyΔzΔzΔ

здесь, ∆ _х , ∆ _у а также ∆ _z являются определителями, производными от определителя ∆ путем замены соответствующего столбца на вектор свободных коэффициентов.Например, определитель ∆ _х полученный от определителя ∆ заменив первый столбец на вектор свободных коэффициентов:

Δxb1a12a13b2a22a23b3a32a33

Используя этот метод, можно получить определители ∆ _г а также ∆ _z . Следует отметить, что правило Крамера применимо к СЛАУ, в которых количество уравнений равно количеству переменных.

Наш онлайн калькулятор решает СЛАУ по правилу Крамера с пошаговым решением. Коэффициентами СЛАУ могут быть не только числа дробей, но и параметры. Для использования калькулятора необходимо ввести СЛАУ и выбрать переменные СЛАУ для поиска.

определителей и правило Крамера

Линейные системы двух переменных и правило Крамера

Напомним, что матрица — это прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов.Мы классифицируем матрицы по количеству строк n и количеству столбцов m . Например, матрица 3×4, читаемая как «матрица 3 на 4», состоит из 3 строк и 4 столбцов. Квадратная матрицаМатрица с одинаковым количеством строк и столбцов. матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов. В этом разделе мы наметим еще один метод решения линейных систем, использующий специальные свойства квадратных матриц. Начнем с рассмотрения следующей матрицы коэффициентов 2×2 A ,

А=[а1б1а2б2]

ОпределительВещественное число, связанное с квадратной матрицей. матрицы 2×2, обозначенной вертикальными линиями |A|, или более компактно как det( A ), определяется следующим образом:

Определитель — это действительное число, которое получается путем вычитания произведений значений по диагонали.

Пример 1

Вычислить: |3−52−2|.

Решение:

Вертикальные линии с обеих сторон матрицы означают, что нам нужно вычислить определитель.

|3−52−2|=3(−2)−2(−5)=−6+10=4

Ответ: 4

Пример 2

Рассчитать: |−6403|.

Решение:

Обратите внимание, что матрица представлена ​​в форме верхнего треугольника.

|−6403|=−6(3)−4(0)=−18−0=−18

Ответ: −18

Мы можем решать линейные системы с двумя переменными, используя определители. Мы начинаем с общей линейной системы 2×2 и находим y . Чтобы исключить переменную x , умножьте первое уравнение на -a2, а второе уравнение на a1.

{a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2        ⇒×(−a2)⇒× a1          {−a1a2x−a2b1y=−a20c1a1a2x+a1b+a1b

Это приводит к эквивалентной линейной системе, в которой переменная x выстраивается в линию для исключения. Теперь складывая уравнения, мы имеем

И числитель, и знаменатель очень похожи на определитель матрицы 2×2.На самом деле это так. Знаменатель является определителем матрицы коэффициентов. А числитель является определителем матрицы, образованной заменой столбца, представляющего коэффициенты y , соответствующим столбцом констант. Эта специальная матрица обозначается Dy.

y=DyD= |a1c1a2c2| |a1b1a2b2|=a1c2−a2c1a1b2−a2b1

Аналогичным образом можно получить значение для x .

х=DxD= |c1b1c2b2| |a1b1a2b2|=c1b2−c2b1a1b2−a2b1

В общем случае мы можем сформировать расширенную матрицу следующим образом:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2           ⇔            [a1b1|c1a2b2|c2]

, а затем определить D, Dx и Dy, вычислив следующие определители.

 D=|a1b1a2b2| Дх=|c1b1c2b2| Dy=|a1c1a2c2|

Решение системы в терминах определителей, описанных выше, когда D≠0, называется правилом КрамераРешение независимой системы линейных уравнений, выраженных в терминах определителей..

Правило Крамера (x, y) = (DxD, DyD)

Эта теорема названа в честь Габриэля Крамера (1704 — 1752).

Рисунок 3.2

Габриэль Крамер

Шаги решения линейной системы с двумя переменными с помощью определителей (правило Крамера) описаны в следующем примере.

Пример 3

Решите, используя правило Крамера: {2x+y=7 3x−2y=−7.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что линейная система находится в стандартной форме.

Шаг 1 : Постройте расширенную матрицу и сформируйте матрицы, используемые в правиле Крамера.

{2x+y=7 3x−2y=−7       ⇒        [21|73−2|−7]

В квадратной матрице, используемой для определения Dx, замените первый столбец матрицы коэффициентов константами.В квадратной матрице, используемой для определения Dy, замените второй столбец константами.

Д=|213−2| Dx=|71−7−2| Dy=|273−7|

Шаг 2 : Вычислите определители.

Dx=|71−7−2|=7(−2)−(−7)(1)=−14+7=−7Dy=|273−7|=2(−7)−3(7)= −14−21=−35D=|213−2|=2(−2)−3(1)=−4−3=−7

Шаг 3 : Используйте правило Крамера для вычисления x и y .

x=DxD=-7-7=1           и         y=DyD=-35-7=5

Следовательно, одновременное решение (x,y)=(1,5).

Шаг 4 : Проверка необязательна; однако мы делаем это здесь для полноты картины.

Чек: (1,5)
Уравнение 1	Уравнение 2
2x+y=72(1)+(5)=72+5=77=7   ✓	3x−2y=−73(1)−2(5)=−73−10=−7−7=−7    ✓

Ответ: (1, 5)

Пример 4

Решите, используя правило Крамера: {3x−y=−26x+4y=2.

Решение:

Далее следует соответствующая расширенная матрица коэффициентов.

{3x−y=−26x+4y=2        ⇒         [3−1|−264|2]

А у нас

Dx=|−2−124|=−8−(−2)=−8+2=−6Dy=|3−262|=6−(−12)=6+12=18D=|3−164| =12−(−6)=12+6=18

Используйте правило Крамера, чтобы найти решение.

x=DxD=-618=-13      и      y=DyD=1818=1

Ответ: (−13,1)

Попробуйте! Решите, используя правило Крамера: {5x−3y=−7−7x+6y=11.

Ответ: (−1, 23)

Когда определитель матрицы коэффициентов D равен нулю, формулы правила Крамера не определены. В этом случае система либо зависима, либо несовместна в зависимости от значений Dx и Dy. Когда D=0 и Dx=0 и Dy=0, система зависима. Когда D=0 и либо Dx, либо Dy отличны от нуля, система несовместима.

Когда d = 0, dx = 0 и dy = 0 ⇒ зависимый systemdx ≠ 0 или dy ≠ 0 ⇒ непоследовательная система

Пример 5

Решите, используя правило Крамера: {x+15y=3 5x+y=15.

Решение:

Далее следует соответствующая расширенная матрица.

{x+15y=3 5x+y=15       ⇒         [115| 351|15]

И имеем следующее.

Dx=|315151|=3−3=0Dy=|13515|=15−15=0D=|11551|=1−1=0

Если мы попытаемся использовать правило Крамера, мы получим

x=DxD=00      и      y=DyD=00

, оба из которых являются неопределенными величинами.Поскольку D=0 и Dx=0 и Dy=0, мы знаем, что это зависимая система. Фактически, мы можем видеть, что оба уравнения представляют одну и ту же прямую, если мы найдем y .

{x+15y=3 5x+y=15        ⇒         {y=−5x+15 y=−5x+15

Следовательно, мы можем представить все решения (x,−5x+15), где x — действительное число.

Ответ: (x,−5x+15)

Попробуйте! Решите, используя правило Крамера: {3x−2y=10 6x−4y=12.

Ответ: Ø

Линейные системы трех переменных и правило Крамера

Рассмотрим следующую матрицу коэффициентов 3×3 A ,

А=[а1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Определитель этой матрицы определяется следующим образом:

det(A)=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=a1|b2c2b3c3|−b1|a2c2a3c3|+c1|a2b2a3b3|=a1(b2c3−b3c2)−b1(a2c3−a3c2)+c1(a2b3−a3b2)

Здесь каждый определитель 2×2 называется младшим определителем матрицы, полученной после удаления строки и столбца квадратной матрицы.предыдущего фактора. Обратите внимание, что факторами являются элементы в первой строке матрицы и что они чередуются со знаком (+ − +).

Пример 6

Рассчитать: | 1322−1305−1 |.

Решение:

Чтобы легко определить минор каждого фактора в первой строке, мы вычерчиваем первую строку и соответствующий столбец. Определитель матрицы оставшихся элементов определяет соответствующий минор.

Следите за тем, чтобы знаки множителей в первой строке чередовались. Разложение минорами по первому ряду следующее:

| 1322−1305−1 |=1|−135−1|−3|230−1|+2|2−105|=1(1−15)−3(−2−0)+2(10−0) =1(−14)−3(−2)+2(10)=−14+6+20=12

Ответ: 12

Расширение по второстепенным может быть выполнено для любой строки или любого столбца. Знак коэффициентов, определяемый выбранной строкой или столбцом, будет чередоваться в соответствии со следующим массивом знаков.

[+-+-+-+-+]

Поэтому, чтобы расширить второй ряд, мы будем чередовать знаки, начиная с противоположных первому элементу. Мы можем расширить предыдущий пример со второй строкой, чтобы показать, что получается такой же ответ для определителя.

И мы можем написать,

| 1322−1305−1 |=−(2)|325−1|+(−1)|120−1|−(3)|1305|=−2(−3−10)−1(−1−0) −3(5−0)=−2(−13)−1(−1)−3(5)=26+1−15=12

Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ 12.

Пример 7

Рассчитать: | 4306122410 |.

Решение:

Вычисления упрощаются, если расширить третью колонку, так как она содержит два нуля.

Расширение минорами по третьему столбцу следует:

| 4306122410 |=0|61241|−2|4341|+0|43612|=0−2(4−12)+0=−2(−8)=16

Ответ: 16

Следует отметить, что существуют и другие методы, используемые для запоминания того, как вычислить определитель матрицы 3×3.Кроме того, многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут находить определитель матриц. Вам предлагается исследовать эту богатую тему.

Мы можем решать линейные системы с тремя переменными, используя определители. Для этого мы начнем с расширенной матрицы коэффициентов,

{a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Пусть D представляет определитель матрицы коэффициентов,

Д=  | а1b1c1a2b2c2a3b3c3 |

Затем определите Dx, Dy и Dz, вычислив следующие определители.

Dx=|d1b1c1d2b2c2d3b3c3|Dy=|a1d1c1a2d2c2a3d3c3|Dz=|a1b1d1a2b2d2a3b3d3|

При D≠0 решение системы в терминах определителей, описанных выше, можно вычислить по правилу Крамера:

Правило Крамера (x, y, z) = (DxD, DyD, DzD)

Используйте это для эффективного решения систем с тремя переменными.

Пример 8

Решите, используя правило Крамера: {3x+7y-4z=02x+5y-3z=1-5x+2y+4z=8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{3x+7y−4z=02x+5y−3z=1−5x+2y+4z=8         ⇔           [37−4|025−3|1−524|8]  909

Далее вычислите определитель матрицы коэффициентов.

D=|37−425−3−524|=3|5−324|−7|2−3−54|+(−4)|25−52|=3(20−(−6))−7 (8−15)−4(4−(−25))=3(26)−7(−7)−4(29)=78+49−116=11

Аналогичным образом мы можем вычислить Dx, Dy и Dz.Это оставлено в качестве упражнения.

Dx=|07−415−3824|=−44Dy=|30−421−3−584|=0Dz=|370251−528|=−33

Используя правило Крамера, мы имеем,

x=DxD=−4411=−4        y=DyD=011=0        z=DzD=−3311=−3

Ответ: (−4,0,−3)

Если определитель матрицы коэффициентов D = 0, то система либо зависима, либо несовместна. Это будет зависеть от Dx, Dy и Dz. Если все они равны нулю, то система зависима.Если хотя бы одно из них не равно нулю, то оно несовместимо.

Когда d = 0, dx = 0 и dy = 0 и dz = 0 ⇒ зависимый systemdx ≠ 0 или dy ≠ 0 или dz ≠ 0 ⇒ непоследовательная система

Пример 9

Решите, используя правило Крамера: {4x−y+3z=521x−4y+18z=7−9x+y−9z=−8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{4x−y+3z=521x−4y+18z=7−9x+y−9z=−8         ⇔           [4−13|521−418|7−91−9|−8] 

Далее определите определитель матрицы коэффициентов.

D=|4−1321−418−91−9|=4|−4181−9|−(−1)|2118−9−9|+3|21−4−91|=4(36−18) +1(−189−(−162))+3(21−36)=4(18)+1(−27)+3(−15)=72−27−45=0

Поскольку D = 0, система либо зависима, либо противоречива.

Дх=|5−137−418−81−9|=96

Однако, поскольку Dx отличен от нуля, мы заключаем, что система несовместима. Одновременного решения нет.

Ответ: Ø

Попробуйте! Решите, используя правило Крамера: {2x+6y+7z=4-3x-4y+5z=125x+10y-3z=-13.

Ответ: (−3,12,1)

Ключевые выводы

• Определитель матрицы — действительное число.
• Определитель матрицы 2×2 получается вычитанием произведения значений на диагоналях.
• Определитель матрицы 3×3 получается путем расширения матрицы с помощью миноров по любой строке или столбцу. При этом позаботьтесь об использовании массива знаков, чтобы помочь определить знак коэффициентов.
• Используйте правило Крамера для эффективного определения решений линейных систем.
• Когда определитель матрицы коэффициентов равен 0, правило Крамера не применяется; система будет либо зависимой, либо противоречивой.

Тематические упражнения

Часть A: линейные системы с двумя переменными

Вычислите определитель.

1. |1234|

2. |5324|

3. |−13−3−2|

4. |743−2|

5. |−41−30|

6. |95−10|

7. |1050|

8. |0350|

9. |04−13|

10. |102102|

11. |a1b10b2|

12. |0b1a2b2|

Решите, используя правило Крамера.

13. {3x−5y=82x−7y=9

14. {2x+3y=-13x+4y=-2

15. {2х-у=-34х+3у=4

16. {х+3у=15х-6у=-9

17. {х+у=16х+3у=2

18. {х-у=-15х+10у=4

19. {5x−7y=144x−3y=6

20. {9x+5y=-97x+2y=-7

21. {6x−9y=3−2x+3y=1

22. {3x−9y=32x−6y=2

23. {4x−5y=203y=−9

24. {х-у=02х-3у=0

25. {2x+y=ax+y=b

26. {топор+у=0by=1

Часть B: Линейные системы с тремя переменными

Вычислите определитель.

27. | 123213132 |

28. | 251124323 |

29. | −31−13−1−2−251 |

30. | 1−15−45−1−12−3 |

31. | 3−1223−1521 |

32. | 40−33−100−52 |

33. | 0−34−30602−3 |

34. | 6−1−325284−1 |

35. | 257035004 |

36. | 210_004 |

37. | a1b1c10b2c200c3 |

38. | а100a2b20a3b3c3 |

Решите, используя правило Крамера.

39. {х-у+2г=-33х+2у-г=13-4х-3у+г=-18

40. {3x+4y−z=104x+6y+7z=92x+3y+5z=3

41. {5x+y−z=02x−2y+z=−9−6x−5y+3z=−13

42. {−4x+5y+2z=123x−y−z=−25x+3y−2z=5

43. {х-у+г=-1-2х+4у-3г=43х-3у-2г=2

44. {2x+y−4z=72x−3y+2z=−44x−5y+2z=−5

45. {4x+3y-2z=22x+5y+8z=-1x-y-5z=3

46. {х-у+г=7х+2у+г=1х-2у-2г=9

47. {3x−6y+2z=12−5x−2y+3z=47x+3y−4z=−6

48. {2x−y−5z=23x+2y−4z=−35x+y−9z=4

49. {4x+3y-4z=-132x+6y-5z=-2-2x-3y+3z=5

50. {х-2у+г=-14у-3г=03у-2г=1

51. {2x+3y-z=-5x+2y=03x+10y=4

52. {2x−3y−2y=9−3x+4y+4z=−13x−y−2z=4

53. {2x+y−2z=−1x−y+3z=23x+y−z=1

54. {3x−8y+9z=−2−x+5y−10z=3x−3y+4z=−1

55. {5x−6y+3z=23x−4y+2z=02x−2y+z=0

56. {5x+10y−4z=122x+5y+4z=0x+5y−8z=6

57. {5x+6y+7z=22y+3z=34z=4

58. {х+2г=-1-5у+3г=104х-3у=2

59. {x+y+z=ax+2y+2z=a+bx+2y+3z=a+b+c

60. {x+y+z=a+b+cx+2y+2z=a+2b+2cx+y+2z=a+b+2c

Часть C: Дискуссионная доска

61. Исследовать и обсудить историю определителя. Кому приписывают первое введение обозначения определителя?

62. Исследуйте другие способы вычисления определителя матрицы 3×3. Привести пример.

ответы

15. (−12,2)

17. (−13,43)

23. (54,−3)

43. (12,12,−1)

49. (12z−4,23z+1,z)

53. (−12,5,52)

.