Калькулятор корень н степени: Calculat.org — онлайн калькуляторы, формулы, расчеты

Калькулятор извлечения корня n-ой степени онлайн

Корень n-ной степени из числа x — это такое неотрицательное число z, которое при возведении в n-ную степень превращается в x. Определение корня входит в список основных арифметических операций, с которыми мы знакомимся еще в детстве.

Математическое обозначение

«Корень» произошел от латинского слова radix и сегодня слово «радикал» используется как синоним данного математического термина. С 13-го века математики обозначали операцию извлечения корня буквой r с горизонтальной чертой над подкоренным выражением. В 16-веке было введено обозначение V, которое постепенно вытеснило знак r, однако горизонтальная черта сохранилась. Его легко набирать в типографии или писать от руки, но в электронных изданиях и программировании распространилось буквенное обозначение корня — sqrt. Именно так мы и будем обозначать квадратные корни в данной статье.

Квадратный корень

Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.

Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.

Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.

Кубический корень

Кубический радикал числа x — это такое число z, которое при умножении на себя три раза дает число x. Например, если мы умножим 2 × 2 × 2, то получим 8. Следовательно, двойка является кубическим корнем восьми. Умножим три раза на себя четверку и получим 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно, что четверка является кубическим корнем для числа 64. Существует бесконечная последовательность чисел, кубические радикалы которых являются целыми. Ее начало выглядит как:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.

Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.

Корень n-ной степени

Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.

Рассмотрим пример

Диагональ квадрата

Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из теоремы Пифагора и в конечном итоге принимает вид:

d = a × sqrt(2).

Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.

Заключение

Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.

Калькулятор корней с решением онлайн

Корень в математике

Операция извлечения корня из числа, является обратной операцией к операции возведения в степень.

Обозначение: корень обозначается при помощи символа, который называется знаком корня. Число a, которое находится под корнем называется подкоренным выражением, а число n, расположенное слева от символа корня, называется – степенью корня.

Степень корня – должна быть выражена натуральным числом (1, 2, 3, 4, 5…), т.е. не может быть отрицательной, нулем или дробным числом.

По сути, как уже было сказано выше извлечь корень из числа а означает возведение числа a  в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня.

Следует заметить, что если степень корня равна 2, то число два как правило не пишут, а такой корень называется –

квадратным.

Приведем примеры:

Приведем примеры извлечения корня:

Исходя из вышенаписанных примеров можно сделать вывод, что когда мы хотим извлечь корень, к примеру 2-й степени, то нам необходимо найти такое число, что при возведении во 2-ю степень мы получим подкоренное выражение. То есть под корнем всегда находится число, уже возведенное в степень равную степени корня!

 

Четная и нечетная степень корня

 

Корень нечетной степени

При извлечении корня нечетной степени из положительного числа будем всегда получать положительное число, например:

При извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа будем всегда получать отрицательное число, например

В данном примере можно легко увидеть почему при извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа всегда будет получаться отрицательно число. Как известно чтобы возвести число в степень необходимо его умножить само на себя в количестве показателя степени : если (-6) умножить на (-6) получится положительное число 36 (мы знаем, что при умножении двух отрицательных чисел будет получаться положительное число), затем если умножить число 36 на (-6) получим -216, так как при умножении отрицательного числа на положительное всегда будет получаться отрицательное число.

Корень четной степени

 

При извлечении корня четной степени из положительного числа всегда будет получать два значения с противоположенными знаками. Это связанно с тем, что если представить, к примеру функцию квадратного корня y= √x  и посмотреть на ее график, то мы увидим, что каждому значению xсоответствует два значения корня, одно положительное, а другое отрицательное.

Для понимания данного факта, нет необходимости строить график, рассмотрим на примере извлечение квадратного корня из числа 4:

Квадратный корень из 4 равен 2. Проверим 2 ⋅ 2 = 4 и -2 ⋅(-2) = 4.

Приведем еще пример с четной степенью корня для положительного числа.

Корень степени 4 за числа 81 равен 3. Проверим 3 ⋅ 3  ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 и  -3 ⋅ (-3)  ⋅ (-3) ⋅ (-3)   = 81

 

Теперь рассмотрим ситуацию, когда под корнем четной степени стоит отрицательное число.

Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например, √-4 теперь подумаем есть ли вообще такое число, которое при возведении в квадрат давало бы -4? Ответ – нет! Любое число при возведении в четную степень всегда будет положительным. Поэтому корня чётной степени из любого отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

Тем не менее извлечь корень четной степени всё-таки можно, но результатом будет всегда комплексное число, например:

 

Арифметический и алгебраический корни

Для упрощения записи корня четной степени из положительного числа, в калькуляторах, школьных учебниках и т.д. было введено понятие арифметического корня, значение которого, представляется всегда положительным числом. Алгебраический корень в свою очередь для корня четной степени из положительного числа является полным ответом и содержит как положительные, так и отрицательные значения.

Арифметический корень – упрощенная запись корня четной степени из положительного числа, всегда положительный. Например:

Алгебраический корень – полная запись корня четной степени из положительного числа. Например:

Как упростить корень

Для того, чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители (для разложения числа на простые множители можно воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)

и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз. Например:

 

 

Как мы уже разобрали извлечь корень из числа а означает возведение числа a  в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня, поэтому следуя данному правилу мы легко выносим множители из под корня. Распишем предыдущие два примера еще раз:

 

Калькулятор корней — Получите n-й радикал числа

Создано Maciej Kowalski, кандидатом наук

Отзыв от Bogna Szyk и Jack Bowater

Последнее обновление: 28 октября 2022 г.

Содержание:

• Что такое корень математика?
• Как вычислить квадратный корень
• Кубический корень, корень четвертой степени, корень n-й степени
• Пример: использование калькулятора корня

Добро пожаловать в калькулятор корня , где мы рассмотрим теорию и практику как вычислить n-й корень числа , также называемый n-й радикал , вместе. Мы начнем с краткого объяснения того, что такое корень в математике, и приведем несколько простых примеров, которые вы, возможно, уже видели, например, квадратный корень из 2, квадратный корень из 3 или кубический корень из 4. Но что, если это

четвертый корень , который вы хотели бы найти? Предыдущие были довольно простыми, но что такое, скажем, корень 4-й степени из 81? Не беспокойтесь, мы покажем вам достаточно скоро! 9512×12×12×12×12=125

Где маленькое 555 называется показателем степени и означает, сколько копий большого числа (в данном случае 121212) мы берем. Мы также называем эту операцию , беря 555 -ю степень числа 121212. Вы можете изучить эту математическую операцию на калькуляторе экспоненты Omni.

Корень — это обратная операция. Чтобы связать это с биологическим смыслом, когда мы смотрим на взрослое дерево, мы видим его листья и ствол, но все это

построено на его корнях 9n = abn=a

Например, давайте подробнее рассмотрим , что является квадратным корнем некоторого числа . Предположим, вы копаете бассейн на заднем дворе. Вы хотите, чтобы он был такой же длины, как и широкий, и в целом занимал площадь 256256256 квадратных футов. Как вычислить , какой длины должны быть стороны ? Правильно — путем расчета радикала! В данном случае это должен быть квадратный корень из площади, т. е. квадратный корень из 256256256.

А 9{\mathrm{th}}4-й корень из 818181 равен 333. Но сначала мы должны это узнать.

Итак, что мы можем сделать, если мы забудем нашу удобную таблицу первых ста чисел и их первых степеней дома? Это безнадежное дело? К счастью, нет. Не совсем, но мы вернемся к этому через секунду.

В качестве примера мы покажем , как вычислить квадратный корень из 727272. Нашим основным инструментом здесь будет простая факторизация, т. е. разбиение 727272 на мельчайшие возможные части.

В процедуре простой факторизации мы берем число (в нашем случае 727272) и находим наименьшее простое число, которое делит его на .

Напомним, что простое число — это целое число, имеющее только два делителя: 111 и само себя. Несложно заметить, что для нас это будет 222, так как

722=36\small \frac{72}{2} = 36272​=36

Следующим шагом является нахождение наименьшего простого числа результата деления числа на простое число, т. е. числа 363636. Если мы продолжим это до тех пор, пока мы достигнем 111, мы получим следующие простые числа: 222, 222, 222, 333, 333. Это простая факторизация числа 727272, и это означает, что

72=2×2×2×3×3\small72 = 2 \times 2 \times2 \times3 \times372=2×2×2×3×3

Что-то непонятно в простой факторизации? Не беспокойтесь, это довольно интересная математическая задача, которую иногда трудно решить даже на компьютере! Вы можете узнать больше (почти все) об этом на калькуляторе первичной факторизации Omni.

Теперь, если мы найдем пары среди одинаковых чисел, мы увидим, что у нас есть пара 222-х, пара 333-х и осталось одно 222-е. Это позволяет нам записать квадратный радикал числа 727272 как 9. 2\раз2} \\ &= 2\times3 \times\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{split}72

​=2×2×2×3×3

​=22×32×2

​=2×3×2

​= 62

A зоркий глаз заметит, что единственные числа, которые остаются под корнем, это ровно одиночек, которые не нашли пару .

А как же 222? Чему равен квадратный корень из 222 ? Ну, вот что значит « не совсем «. Квадратный корень из 222, квадратный корень из 333 или любого другого простого числа возвращает нас к игре в угадайку. К счастью, мы можем используйте наш калькулятор корня , чтобы вычислить, что 2≈1,4142\sqrt{2} \приблизительно 1,41422​≈1,4142, что дает нам

72=62≈6×1,4142=8,4852\small\begin{split} \sqrt{72}&=6\sqrt{2}\приблизительно6\times1.4142\\ &=8,4852 \end{split}72

​=62

​≈6×1. 4142=8.4852​

По сути, когда нас спрашивают: « чему равен квадратный корень из…, », мы должны сначала выполните простую факторизацию , чтобы решить проблему, и если (как указано выше) у нас останется какая-то маленькая цифра в конце, нам просто нужно использовать такой инструмент, как

калькулятор корня , чтобы найти его.

» А как быть с высшими корнями? А если мне нужен, например, корень четвертой степени из числа? » Ну как удобно с твоей стороны спросить! Это именно та проблема, с которой мы будем иметь дело в следующем разделе.

🙋 Для более подробного описания этой операции посетите калькулятор квадратного корня Omni!

Кубический корень, четвертый корень, n-й корень

Вспомните, как вы хотели вырыть бассейн в первой секции. Теперь предположим, что вы хотите, чтобы все это было кубом, вмещающим 1 7281 7281 728 кубических футов воды. (Не спрашивайте нас, почему. Возможно, все вышеперечисленное облагается налогом по-другому?)

Как найти сторону такого бассейна?

Ага — вычислением кубического корня из числа (отсюда и название кубический корень ). Он скажет нам, что длина должна быть

17283=12 ft\small \sqrt[3]{1728} = 12\ \mathrm{ft}31728

​=12 ft

Но как мы туда попали? К счастью, основной инструмент здесь тот же: простая факторизация . Если мы применим процедуру до 172817281728, мы получим это

1728 ⁣ = ⁣2 × × ⁣2 ⁣ × 2 ⁣ × 2 ⁣ × ⁣2 ⁣ × 2 ⁣ × 3 × ⁣3 × × 3\маленький 1728\!=\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!3\ !\раз\!3\!\раз\!3 1728=2×2×2×2×2×2×3×3×3

Теперь дело обстоит иначе — вместо пар мы группируем числа в тройки . На это намекает маленькое 333 в корневом символе — нам нужно третьих степеней . Обратите внимание, что квадратные корни на самом деле являются радикалами 222-го порядка, но мы не пишем 222, потому что… Ну, , если нам не нужно делать это из одного типа корня, это вполне может быть самый простой . Это просто условность и традиция. Думайте об этом как о математическом эквиваленте запекания индейки на День Благодарения. 9{mathrm{th}}4mathrmth корень из 818181 равен 333. И если нам нужно n-й корень , мы берем группы из nnn элементов. И, если что-то останется после факторизации, мы просто найдем с помощью какого-нибудь внешнего инструмента, такого как наш калькулятор корня .

Хорошо, после стольких раз прочтения теории пришло время взглянуть на пример из реальной жизни и увидеть калькулятор корня в действии , вам не кажется?

🙋 Что касается квадратного корня, у нас есть инструмент, полностью посвященный кубическому корню: калькулятор кубического корня!

Пример: использование калькулятора корня

Поздравляем, это мальчик! Теперь, когда вы стали родителем, , вы решили начать пораньше и отложить немного денег, когда он пойдет в колледж. Вы решаете взять хороший кусок своих сбережений и оставить его в банке на следующие восемнадцать лет , чтобы сумма росла вместе с вашим ребенком.

Предположим, что вам удалось отложить солидные 8000$\text\textdollar80008000$ (назовем эту сумму start\mathrm{start}start). К сожалению, вы как-то забыли процентную ставку по вкладу, но что сделано, то сделано. Сумма в конце станет для вас таким же сюрпризом, как и для вашего сына .

Проходит время, идут годы, и, наконец, пришло время подарить вашему ребенку деньги, которые вы сэкономили . Вы звоните в банк, и выясняется, что на счету $12 477,27\text\textdollar12 477,27 $12 477,27 (назовем эту переменную end\mathrm{end}end). Не так уж и плохо, не так ли? Кажется, ты сможешь воплотить мечты своего сына в жизнь.

Но, просто для себя, просто из чистого любопытства, Можем ли мы рассчитать процентную ставку по имеющимся у нас цифрам?

Конечно можем , и калькулятор корня нам поможет!

Предположим, что проценты начислялись на счет в конце каждого года и что деньги вообще не облагались налогом (да, мы понимаем, что здесь мы немного преувеличиваем). {18}конец=начало×(1+процентная ставка)18 9{18}1,5597=(1+процентная ставка)18

Итак, если у нас есть 18-я 28\mathrm{th}18-я степень справа, нам нужно найти 18-й 28\mathrm{th}18-й радикал числа на слева**. Это нечто немного более сложное, чем квадратный корень из 333, не так ли?

Обратимся к нашему калькулятору корня . Там у нас есть два числа: aaa и nnn. Когда мы смотрим на символическое изображение там, мы видим, что nnn — это порядка корня , поэтому мы вводим n=18n = 18n=18. В свою очередь, ааа равно число под радикалом , поэтому мы принимаем a=1,5597a = 1,5597a=1,5597. Это заставляет калькулятор корня выдать ответ:

1+процентная ставка=1,025\small 1+\mathrm{процентная\ставка} =1,0251+процентная ставка=1,025

Если мы переведем десятичную дробь в проценты, мы получим :

процентная ставка=0,025=2,5%\small\mathrm{процентная\ставка} = 0,025=2,5\%процентная ставка=0,025=2,5%

Это кажется довольно маленьким, но о, как оно выросло за восемнадцать лет!

Хорошо, любопытство удовлетворено , пора вернуться к праздничному торту. Будем надеяться, что ваш сын с пользой воспользуется деньгами и продолжит учебу.

Maciej Kowalski, кандидат PhD

Результат

Проверьте 61 Аналогичные арифметические калькуляторы ➗

Абсолютный Valueadditionassociation Prodtion… 58 еще

Полиномиальные ROOTS Calculator, который показывает рабочие

Calculator.
• ::
• Полиномиальные калькуляторы
• ::
• Калькулятор корней полинома

Этот бесплатный математический инструмент находит корни (нули) заданного многочлена. Калькулятор вычисляет точные решения квадратных, кубических и уравнений четвертой степени.
Также отображается пошаговое решение с подробным объяснением.

работающий…

Полиномиальные калькуляторы

• Факторные полиномы

• Полиномиальные корни
• Синтетический отдел
• Полиномиальные операции
• Графические полиномы
• Расширить и упростить
• Генерировать из корней

Рациональные выражения

• Упрощение

• Умножение/деление
• Сложение/вычитание

Подкоренные выражения

• Рационализировать знаменатель

• Упрощение

Решение уравнений

• Квадратные уравнения (с шагами)

• Полиномиальные уравнения
• Решение уравнений — с шагами

Квадратное уравнение

• Решение (с шагами)

• Квадратичный плоттер
• Факторинг трехчленов

Геометрия

• Равносторонний треугольник

• Прямоугольный треугольник
• Косой треугольник
• Калькулятор площади
• Калькулятор прямоугольника
• Калькулятор круга

• Калькулятор шестиугольника

• Калькулятор ромба

Комплексные номера

• Модуль, обратный, полярная форма

• Подразделение
• Упростить выражение

Системы уравнений

• Система 2х2

• Система 3х3
• Система 4×4

Матрицы

• Векторы (2D и 3D)

• Сложить, вычесть, умножить
• Калькулятор определителя
• Матрица обратная
• Характеристический полином
• собственные значения
• Собственные векторы
• Разложение матрицы

Расчетные калькуляторы

• Калькулятор лимита

• Калькулятор производных
• Интегральный калькулятор

Последовательности и серии

• Арифметические последовательности

• Геометрические последовательности
• Найти n ^th Срок

Аналитическая геометрия

• Расстояние и середина

• Калькулятор треугольника
• Графические линии
• Пересечение линий
• Двухточечная форма
• Расстояние от линии до точки
• Параллельно/Перпендикулярно
• Уравнение окружности
• Круг из 3 точек
• Пересечение круговой линии

Тригонометрия

• Градусов в Радиан

• Триггер Уравнения

Номера

• Длинная дивизия

• Вычислить выражения
• Калькулятор дробей
• Наибольший общий делитель НОД
• Наименее распространенное кратное LCM
• Простые множители
• Научная нотация
• Калькулятор процентов
• Dec / Bin / Hex

• Калькулятор вероятности
• Распределения вероятностей

• Описательная статистика

• Стандартное отклонение
• Z — Калькулятор очков
• Нормальное распределение
• Калькулятор Т-теста
• Корреляция и регрессия

Финансовые калькуляторы 92-4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2\cdot2} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 2 \cdot 14}}{4} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{121}}{4} \\ x_1, x_2 &= \dfrac{-3 \pm 11}{4} \\ x_1 &= \dfrac{-3 + 11}{4} = \dfrac{8}{4} = 2 \\ x_2 &= \dfrac{-3 — 11}{4} = \dfrac{-14}{4} = -\dfrac{7}{2} \end{выровнено} $$

решить с помощью калькулятора

Квадратное уравнение — частные случаи

Иногда гораздо проще не использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения.