Как возвести число под корнем в степень: Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ в 2021 году

Содержание

Корень в python — 6 способов извлечь квадратный корень из числа

Квадратный корень из числа — это значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Каждое положительное число имеет два квадратных корня (то же значение с положительным и отрицательным знаками). Ниже приводится запись квадратного корня:
√25 = ±5

Для отрицательного числа результат извлечения квадратного корня включает комплексные числа, обсуждение которых выходит за рамки данной статьи.

Математическое представление квадрата числа

Все мы в детстве узнали, что, когда число умножается само на себя, мы получаем его квадрат. Также квадрат числа можно представить как многократное умножение этого числа. Попробуем разобраться в этом на примере.

Предположим, мы хотим получить квадрат 5. Если мы умножим число (в данном случае 5) на 5, мы получим квадрат этого числа. Для обозначения квадрата числа используется следующая запись:
52 = 25

При программировании на Python довольно часто возникает необходимость использовать функцию извлечения квадратного корня. Есть несколько способов найти квадратный корень числа в Python.

1. Используя оператор возведения в степень

num = 25
sqrt = num ** (0.5)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод:

Квадратный корень из числа 25 это 5.0

Объяснение: Мы можем использовать оператор «**» в Python, чтобы получить квадратный корень. Любое число, возведенное в степень 0.5, дает нам квадратный корень из этого числа.

2. Использование math.sqrt()

Квадратный корень из числа можно получить с помощью функции sqrt() из модуля math, как показано ниже. Далее мы увидим три сценария, в которых передадим положительный, нулевой и отрицательный числовые аргументы в sqrt().

a. Использование положительного числа в качестве аргумента.

import math
num = 25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

b. Использование ноля в качестве аргумента.

import math
num = 0
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 0 это 0.0.

c. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

import math
num = -25
sqrt = math.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

Traceback (most recent call last):
  File "C:\wb.py", line 3, in <module>
    sqrt = math.sqrt(num)
ValueError: math domain error

Объяснение: Когда мы передаем отрицательное число в качестве аргумента, мы получаем следующую ошибку «math domain error». Из чего следует, что аргумент должен быть больше 0. Итак, чтобы решить эту проблему, мы должны использовать функцию sqrt() из модуля cmath.

3. Использование cmath.sqrt()

Ниже приведены примеры применения cmath.sqrt().

а. Использование отрицательного числа в качестве аргумента.

import cmath
num = -25
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа -25 это 5j.

Объяснение: Для отрицательных чисел мы должны использовать функцию sqrt()

модуля cmath, которая занимается математическими вычислениями над комплексными числами.

b. Использование комплексного числа в качестве аргумента.

import cmath
num = 4 + 9j
sqrt = cmath.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа (4+9j) это (2.6314309606938298+1.7100961671491028j).

Объяснение: Для нахождения квадратного корня из комплексного числа мы также можем использовать функцию cmath.sqrt().

4. Использование np.sqrt()

import numpy as np
num = -25
sqrt = np.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод:

... RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt Квадратный корень из числа -25 это nan

5. Использование scipy.sqrt()

import scipy as sc
num = 25
sqrt = sc.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа " + str(num) + " это " + str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5.0.

Объяснение: Как и функция sqrt() модуля numpy, в scipy квадратный корень из положительных, нулевых и комплексных чисел может быть успешно вычислен, но для отрицательных возвращается nan с RunTimeWarning.

6. Использование sympy.sqrt()

import sympy as smp
num = 25
sqrt = smp.sqrt(num)
print("Квадратный корень из числа "+str(num)+" это "+str(sqrt))

Вывод: Квадратный корень из числа 25 это 5

.

Объяснение: sympy — это модуль Python для символьных вычислений. С помощью функции sympy.sqrt() мы можем получить квадратный корень из положительных, нулевых, отрицательных и комплексных чисел. Единственная разница между этим и другими методами заключается в том, что, если при использовании sympy.sqrt() аргумент является целым числом, то результат также является целым числом, в отличие от других способов, в которых возвращаемое значение всегда число с плавающей точкой, независимо от типа данных аргумента.

Заключение

Наконец, мы подошли к завершению этой статьи. В начале мы кратко затронули использование квадратного корня в математике. Затем мы обсудили принципы внутреннего устройства функции извлечения квадратного корня и ее возможную реализацию. В завершении мы рассмотрели различные методы применения этой функции в Python.

Как извлечь корень 13-й степени из 200-значного числа за считанные секунды: Из жизни: Lenta.ru

85 877 066 894 718 045 602 549 144 850 158 599 202 771 247 748 960 878 023 151 390 314 284 284 465 842 798 373 290 242 826 571 823 153 045 030 300 932 591 615 405 929 429 773 640 895 967 991 430 381 763 526 613 357 308 674 592 650 724 521 841 103 664 923 661 204 223.

А вам слабо?

Прочитали? Запомнили число? Нет? Странно. А сколько в нем было цифр, не обратили внимания? Тоже нет? Ну а хотя бы четное оно было или нечетное, скажете, не подсматривая? Опять нет? А простое или
составное?

А сколько времени вам понадобилось для того, чтобы прочесть предыдущие два абзаца? Если вы просто пробегали глазами, то несколько секунд, если всерьез пытались ответить на вопросы — то больше, может быть, даже минута. Человеку-калькулятору Алексису Лемэру нужно примерно столько же времени, чтобы безошибочно извлечь из этого числа

корень тринадцатой степени. В уме. Это включая ознакомление с числом и оглашение ответа. Количество цифр Лемэру, правда, подсчитывать не надо — он и так заранее знает, что их ровно двести.

Двести — потому что сто для Лемэра — это слишком просто, корень 13-й степени из стозначного числа он научился находить менее, чем за четыре секунды, и решил, что дальше совершенствоваться уже некуда.

Тринадцатый корень

Извлечение корня 13-й степени из очень больших чисел — традиционная форма соревнований по быстрым вычислениям в уме. Найти корень сложнее, чем возвести в степень — это нельзя сделать напрямую, перемножив числа в столбик. Почему именно 13-й?

На самом деле сложность вычисления определяется не столько степенью корня, сколько длиной числа: чем оно длиннее, тем труднее найти ответ. Но и степень корня имеет значение: от нее зависит, во-первых, количество потенциально подходящих, но ошибочных ответов, во-вторых, количество заранее известных закономерностей, которым будет подчиняться ответ.

Шаг алгоритма извлечения квадратного корня в столбик Изображение с сайта guidescope.com.

Lenta.ru

Задания подбираются так, чтобы ответ являлся целым числом. Например, для стозначного числа ответом теоретически могут являться 7992563 числа: от 41246264 до 49238826 (все прочие числа при возведении в тринадцатую степень дают не стозначное число). Для двухсотзначного таких возможностей во много раз больше: 393544396177593 (без малого четыреста триллионов). Поэтому у профессионалов извлечение корня из стозначного числа считается забавой для начинающих, а вот из двухсотзначного — уже нормальным заданием.

Количество потенциальных ответов зависит от степени корня сложным образом. «Официальный сайт корня 13-й степени» приводит такую шкалу сложности для некоторых степеней: 10>15>12>13=17=137=23=7>667>9=19>11=31>101>1001>4>3>2>1. Особенно трогательно смотрится единица в конце (корень первой степени — это, разумеется, само число).

13 — простое число, поэтому вычисление корня нельзя свести к пошаговому нахождению более простых корней. Например, корень девятой степени из 512 (для тех, кто не знает его наизусть, конечно) можно вычислить, найдя корень третьей степени — 8, а затем найдя корень третьей степени из него — 2. С тринадцатью такой номер не пройдет.

Никаким особым закономерностям «тринадцатый» корень тоже не подчиняется. Можно разве что отметить, что последняя цифра корня всегда совпадает с последней цифрой числа, из которого он извлекается. Это помогает, но не очень.

До недавнего времени книга рекордов Гиннесса фиксировала замечательные результаты по извлечению корня, однако сейчас прекратила, обосновав это тем, что сложность задачи зависит еще и от числа, случайно выданного в качестве задания: для каких-то чисел она проще, для каких-то — сложнее. Пока непонятно, как можно было бы стандартизовать эту сложность, поэтому книга временно прекратила официальную регистрацию рекордов.

Кто такие рекордсмены и как они это делают

Был предложен один из таких тестов: понять, каким образом при пересечении куба плоскостью может получиться шестиугольник. Это не очень сложно, сказал Колмогоров (Андрей Николаевич — гениальный математик, великий российский ученый — прим «Ленты.ру»), но каждый претендующий на то, чтобы выбрать математику профессией, должен уметь представить себе соответствующий чертеж. А уж кто не умеет, тому разумно поискать другую профессию. Тут Колмогоров дал всем минуты три для самостоятельного решения, после чего нарисовал на доске куб и стал пересекать его плоскостью. Как он ни старался, шестиугольник у него не получился. Он слегка разозлился, стер куб и перешел к следующей теме

.
В. А. Успенский, «Колмогоров, каким я его помню».

Последние замечательные результаты в области быстрых вычислений в уме принадлежат французу Алексису Лемэру и австрийцу немецкого происхождения Герту Миттрингу. Интересно, что их деятельность в обычной жизни явно связана с их поразительными способностями: 27-летний Лемэр занимается искусственным интеллектом, а 41-летний Миттринг — проблемами одаренных детей.

Один из предыдущих держателей рекорда, ныне покойный голландец Виллем (Вим) Клейн, зарабатывал на жизнь непосредственно своим искусством. Сначала он выступал в составах различных трупп вместе с огнеглотателями, человеком-змеей и прочими циркачами, затем читал занимательные лекции, а затем с конца пятидесятых до середины семидесятых годов работал ни много ни мало в ЦЕРНе «живым компьютером» — «программистом и числовым аналитиком». Клейн по заказам физиков проводил сложные вычисления в уме, с распространением компьютеров начал помогать составлять программы.

Как находить корни (в уме, на бумаге, на компьютере) — учит специальный раздел математики, теория чисел. Клейна, Миттринга, Лемэра и им подобных можно назвать практиками чисел. Разумеется, практики чисел могут не только вычислять корни — они могут проводить и другие вычисления, запоминать огромные объемы информации (необязательно только числовой) и заниматься прочей гимнастикой чистого разума.

Как они это делают? Во-первых, знают и, что еще более важно, чувствуют (одно дело — знать механически, другое — глубоко понимать) специальные алгоритмы (при необходимости — придумывают сами). Знают на память таблицы квадратов, кубов, логарифмов (которые тоже могут пригодиться при вычислении корня). Во-вторых, ежедневно тренируют память, устный счет и прочие необходимые навыки. В-третьих, видимо, обладают некоторыми врожденными способностями, которые обычные люди приобрести не в состоянии.

Лемэр говорит, что воспринимает числа не просто как ряды цифр. Логично — за четыре секунды невозможно даже вдумчиво прочитать стозначное число цифру за цифрой. Он воспринимает число целостно и «видит» ответ — наверное, без совершения всех необходимых промежуточных операций. Числа ассоциируются у него со словами, со зрительными образами — короче говоря, мозг работает особым образом.

Подобным образом человек, выучивший в школе таблицу умножения, решивший без калькулятора несколько тысяч примеров и обладающий хоть какими-то способностями к устному счету, может изумлять тех, кто таблицы умножения не знает и без калькулятора считать не умеет. Просто разница в умениях не столь поразительна, как в случае с практиками чисел типа Лемэра.m}, \quad a > 0, \quad n \in \mathbb{N}\quad (n \ge 2),\quad m \in \mathbb{Z} $$

5 копеек = 50 копеек

$$5\text{ копеек} = \sqrt{25\text{ копеек}} = \sqrt{\frac 1 4\text{ рубля}} = \frac 1 2\text{ рубля} = 50\text{ копеек}$$

Свойства корней

$\sqrt{a}$ существует только при $a \ge 0 $

$\sqrt[2k]{a}$ существует только при $a \ge 0, ~ k \in \mathbb{N}; $

$\sqrt[2k+1]{a}$ существует при любых значениях $a$

Для нечетных степеней:

Для четных степеней:

Учебники:
алгебра 7 класс
алгебра 10 класс — Корни. Степень с дробным показателем

День квадратного корня

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04). Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81). Главным блюдом на «праздничном столе» обычно являются вареные кубики из корнеплодов и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

Праздник отмечается всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года
2 февраля хх04 года
3 марта хх09 года
4 апреля хх16 года
5 мая хх25 года
6 июня хх36 года
7 июля хх49 года
8 августа хх64 года
9 сентября хх81 года

Когда будет ближайший день квадратного корня? Кстати, День сурка отмечается 2 февраля.

Квадратный корень

Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Есть возведение в квадрат… Значит есть и извлечение квадратного корня!

Как извлечь (или посчитать) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2: $$ \sqrt4=2 $$

А сколько будет квадратный корень из 9? из 1? из нуля?

Сам значок называется красивым словом «радикал».

Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком — да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс — подбор ответа — сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 — вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да…

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый — выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй — решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень: $$ \sqrt{-4} = ? $$ Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2² даёт +4. (-2)² даёт опять +4! Вот-вот… Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу. Поступите в институт — сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом.

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число — не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль.

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Корень квадратный из двух — это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное… Вот оно: $$ \sqrt2 = 1{,}4142135 \dots $$

Что интересно, эта дробь не кончается никогда… Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это — самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют: $ \sqrt2$.

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например $ x = \sqrt{16}$ никто не оценит… Надо корень посчитать и написать $х = 4$.

А вот $ x = \sqrt{11}$ вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения: $$ \sqrt{2} = 1{,}4\\ \sqrt{3} = 1{,}7$$

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Арифметический квадратный корень

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Какое число даст в квадрате 4? Два.

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4… А между тем, ответ $\sqrt4=2$ правильный, а ответ $\sqrt4=-2$ грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2)² = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит… Это тоже корень квадратный из четырёх.2 = 5$$ Уравнение простое, пишем ответ (как учили): $$ x = \pm \sqrt5$$ Такой ответ (совершенно правильный, кстати) — это просто сокращённая запись двух ответов: $ x = + \sqrt5$ и $ x = — \sqrt5$. Сам корень — число неотрицательное! А знаки — это результат решения уравнения. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

  • Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат.

  • Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом) потому, что это — решение уравнения.

См. также Свойства квадратных корней

Доказательство иррациональности некоторых квадратных корней

http://janka-x.livejournal.com/159823.html

статья Л.2$ оканчиваются нулем. Это единственная общая цифра наборов (2) и (3). Но в этом случае каждое из чисел m и n должно делиться на 5, а это противоречит несократимости дроби $m/n$.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше допущение неверно, и число $\sqrt2$ — иррациональное.

Аналогично и легко доказывается иррациональность, к примеру, $\sqrt3$ или $\sqrt7$.

Ноль в степени ноль

Ноль в любой степени = 0.

Любое число в нулевой степени = 1.

Ноль в степени ноль?

Это как в известном парадоксе: если снаряд, способный пробить любую броню, столкнётся с бронёй, которую не способен пробить ни один снаряд, что получится?

см также Zero to the power of zero — Wikipedia

Как возводить в иррациональную степень

Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис Трушин + — YouTube

Объясняет почему ввели степени с целым отрицательным показателем.

Далее захотелось обобщить на нецелые числа.x = -1$ На множестве целых чисел есть единственное решение -1. На множестве вещественных чисел решений нет, так операция возведения в степень определена только для положительных оснований.

mat/algebra/radical.txt · Последние изменения: 2019/06/04 01:16 — kc

Как найти кубический корень в excel?

Как вычислить корень квадратный в Excel?

​Эльмира​ =СТЕПЕНЬ (В5;1/3) где​ выглядело в таблице.​Введите аргумент функции по​ в которую вводили​ «А2» результат вычисления.​ степени.​ 21. Для возведения​Аргументы функции – ссылки​ положительное значение квадратного​ достаточно заключить выражение​ останется записать переменную,​ специальными символами. Однако​ корня.​ конкретного числа также​ она расположена. Достаточно​

Что такое корень квадратный?

​ Excel​: Спасибо, Спасибо, Спасибо!!!)))​ В5 ячейка с​ Как в Excel​ запросу системы. В​ формулу, необходимое нам​​Часто пользователям необходимо возвести​ в дробную степень​ на ячейки с​ корня.(0,5)». Результат​ В Excel в​ описания — так,​ ниже.​ данными

Запись производится​ адрес был внесен​ Один из них​: через яндекс нашла​ степени (либо другая​ использовать вкладку «Формат​ из цифры «25»,​ в «кубе», т.е.​ «СТЕПЕНЬ», которую вы​ это с помощью​

Использование математических свойств

​ пишется в скобках.​ возведенное в степень​Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).​ этого действия будет​ качестве аргумента функции​ далеко не все​Число​ в любой области​ в поле. После​ подходит исключительно для​ онлайн калькулятор для​ необходимая Вам).​ ячеек». В нашем​ поэтому вводим его​ 2*2*2 = 8.​ можете активизировать для​ «Экселя»?​Выполнили ту же задачу,​ 1,3.​Единственный и обязательный аргумент​ аналогичен возведению в​

​ может использоваться как​ знают, как вычислить​    Обязательный. Число, для которого​ листа или в​ ввода данных жмем​ вычисления квадратного корня,​ вычесление корней любой​Либо вместо ячейки​ примере мы записали​ в строку. После​ Программа подсчитала все​ осуществления простых и​В этой статье мы​ но с использованием​Функция вернула число 100,​ представляет собой положительное​ степень с помощью​ явное числовое значение,​ корень квадратный в​ вычисляется квадратный корень.​ строке формул.​ на кнопку​ а второй можно​ степени​ с числом -​ цифру «3» в​ введения числа просто​ верно и выдала​ сложных математических расчетов.​ попробуем разобраться с​ функции СТЕПЕНЬ.​

​ возведенное к ¾.​ число, для которого​ функции, а также​ так и ссылка​ Excel.​Если аргумент «число» имеет​Не стоит думать, что​«OK»​ использовать для расчета​Ivantrs​ подставляется само число​

Примеры

​ ячейку «А1», которую​ нажимаем на кнопку​ вам результат.​Функция выглядит следующим образом:​ популярными вопросами пользователей​Извлекли корень девятой степени​Для возведения числа к​

​ функция вычисляет квадратный​ использованию функции «КОРЕНЬ».​ на ячейку, а​Перед началом изучения процесса,​ отрицательное значение, функция​ данный способ можно​.​ величины любой степени.​: да… только вот​ из которого извлекается​

​ нужно представить в​ «ОК». В ячейке​Если лишние клики вы​=СТЕПЕНЬ(число;степень)​ и дать инструкцию​ из значения ячейки​ степени в Excel,​ корень.».

Обратите внимание! Дробная степень пишется в скобках

Выполнили ту же задачу, но с использованием функции СТЕПЕНЬ.

Извлекли корень девятой степени из значения ячейки h2.

Извлекли корень пятой степени из суммы числа 9 и значения ячейки h2.

Те же математические операции можно выполнить с помощью функции СТЕПЕНЬ:

Таким образом, возвести в степень и извлечь корень n-й степени в Excel можно с помощью одной функции.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

  1. 15> 23, значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
  2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
  3. а = 2. Поэтому: 22 * 300 * х +2 * 30 * х2 + х32 + х3
  4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
  5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
  6. Приписать к остатку три нуля.
  7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х2 + х3
  8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
  9. Снова приписать нули.
  10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х2 + х3
  11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Возведение в степень и извлечение корня в Excel

​ КОРЕНЬ возвращает значение​ применять только для​В итоге в указанной​Для того, чтобы извлечь​ так:​ корень =СТЕПЕНЬ (8;1/3)​

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

​ -2 степени.​ будет отражена цифра,​ считаете сомнительным удовольствием,​ВНИМАНИЕ!​ по правильному использованию​

​ h2.​

​ можно воспользоваться математическим​ имеет отрицательное значение,​ нахождения корня с​ выражение, результатом которого​ квадратный в Excel,​ ошибки #ЧИСЛО!.». Для​ Excel вернет ошибку​ возведением в степень​

​ является число.​ стоит поближе ознакомиться​Скопируйте образец данных из​ из числа. Таким​

​ результат вычислений.​ функция, которая так​ 1 / 4​ здесь — число​Правой кнопкой мыши щелкаем​ математического вычисления корня.​

​ простой вариант.​ указываются без пробелов​ Excel позволяет выполнять​ из суммы числа​

Функция возведения в степень в Excel

​ #ЧИСЛО!.​ является более удобным.​

​Корень квадратный в Excel​ с тем, что​ следующей таблицы и​ же образом можно​Также функцию можно вызвать​

​ и называется КОРЕНЬ.​

​ )​ 8​ по ячейке с​

​ВНИМАНИЕ! Если нам нужно​Ввод функции вручную:​ и других знаков.​ ряд математических функций:​

​ 9 и значения​ Shift + 6​В качестве аргумента можно​ Причиной тому является​ можно вычислить и​ собой представляет эта​

​ вставьте их в​ рассчитать квадратный и​

Возведение к степени с помощью оператора

​ через вкладку​ Её синтаксис выглядит​возведение в степень​Kkh​ числом и выбираем​ узнать корень в​В строке формул ставим​Первая цифра – значение​

​ от самых простых​ ячейки h2.​ (с английской раскладкой​ указывать конкретное значение​ тот факт, что​ рядом других методов,​ математическая функция. По​ ячейку A1 нового​ любой другой корень.​

​«Формулы»​ следующим образом:​ имеет самый высокий​: Можно возвести в​

​ из выскакивающего меню​ степени в Excel​

​ знак «=» и​ «число». Это основание​ до сложнейших. Это​Те же математические операции​ клавиатуры).​

Извлечение корней n-й степени

​ либо ссылку на​ с помощью этих​ которые не требуют​ определению, квадратный корень​ листа Excel. Чтобы​ Но только в​

​.​=КОРЕНЬ(число)​ приоритет…​ степень 1/3​ вкладку «Формат ячеек».​

​ то мы не​ начинаем вводить название​ (т.е. цифра, которую​

​ универсальное программное обеспечение​ можно выполнить с​Чтобы Excel воспринимал вводимую​

​ ячейку с числовым​ операций можно получить​ глубоких познаний в​ из числа а​ отобразить результаты формул,​

​ этом случае придется​Выделяем ячейку для отображения​

​Для того, чтобы воспользоваться​если записать x​Strannik strano​

​ Если не получилось​ используем функцию =КОРЕНЬ().1/n​ во вкладку «Формулы».​ записать в ячейку​ 4 — то​ ли уже mathcad…​ «Формат ячеек» в​ математики:​ и система сама​

  • ​ введение любого вещественного​Перед поиском необходимой функции​ степень и извлечь​
  • ​ «=». Далее водится​Функция вернула квадратный корень​ специальных дополнительных вычислений.​ что такое корень,​ равен числу а.​
  • ​ а затем —​n – это степень​В блоке инструментов «Библиотека​

    exceltable.com>

    Извлечение корней 3-ей, 4-ой и других степеней.

    Отдельной функции для решения этого выражения в Excel нет. Для извлечения корня n-ой степени необходимо для начала рассмотреть его с математической точки зрения.

    Корень n-ой степени равен возведению числа в противоположную степень (1/n). То есть, квадратный корень соответствует числу в степени ½ (или 0.5).

    Например:

    • корень четвертой степени из 16 равен 16 в степень ¼;
    • кубический корень из 64 = 64 в степени 1/3;

    Выполнить данное действие в программе электронных таблиц можно двумя способами:

    1. С помощью функции.(1/3)» – извлечение кубического корня из суммы числа 30 и значения ячейки «B1».

    2. С наглядной пошаговой инструкцией вы можете ознакомиться по видео.

      Примеры использования функции КОРЕНЬ для математических расчетов в Excel

      Пример 1. С помощью секундомера и небольшого предмета (например, камня), можно определить высоту здания (отпустить камень в свободное падение и засечь на секундомере моменты между началом движения и соприкосновения с поверхностью земли). Однако, зная высоту, можно рассчитать время, которое потребуется предмету на свободное падение. Для этого можно использовать следующую формулу: t=√(2H/g).

      Где:

      • t – искомая величина времени падения;
      • H – высота, с которой предмет запущен в свободное падения;
      • g – ускорение свободного падения (пример равным 9,81).

      Рассчитаем, сколько будет падать предмет с высоты 200 м (сопротивлением воздуха пренебрежем).

      Внесем исходные данные в таблицу:

      Для расчета используем следующую формулу:

      =КОРЕНЬ(2*B2/B3)

      В качестве параметра функция принимает выражение 2*B2/B3, где:

      • B2 – ячейка с данными о высоте, с которой запущен предмет;
      • B3 – ячейка, содержащая данные об ускорении свободного падения.1/3​ пункт​ является довольно распространенным​Макс​ и удобно. С​ n-степень:​ Excel, воспользуемся несколько​

        ​В появившимся диалоговом окне​ степень, необходимо в​ ячейке становится слева.​​ корень n-й степени,​​ – показатель степени,​

        ​ 9:​ 1/2 или 0,5.​ открыв меню функций​

        1. ​ извлеките из него​ 1/2. Пользователь сам​То есть, формально это​«КОРЕНЬ»​​ математическим действием. Оно​​: оо и я​ ними вы экономите​

        2. ​Или через такую функцию:​ иным, но весьма​​ заполняем поля аргументами.​​ ячейке поставить знак​​Рядом с цифрой вводим​​ необходимо возвести число​

        3. ​ в которую нужно​Результатом выполнения этого действия​ Возвести любое число​ или же прописав​ квадратный корень.​ должен определить, какой​ даже не извлечение,​. Кликаем по кнопку​ применяется и для​ доволен.. спс​ время на осуществлении​ =СТЕПЕНЬ(32;1/5)​ удобным способом вызова​ К примеру, нам​​ «=» перед указанием​​ в ячейку значение​

        ​ в степень 1/n.».​ «Формат ячеек». Устанавливаем​Воспользуемся формулой для извлечения​ 10 в квадрат.​

        ​ числа в степень​ предусмотрен специальный символ,​ функций (знака равенства)​ непростые задачи. Ряд​ синтаксис формулы и​ кубическим, поэтому именно​ окна нужно ввести​ значение

        Давайте подробно​ fernisa, решил себе​ которую необходимо вставить​Часто вам важно, чтобы​ по инструменту «Математические».​ «2», а во​Мы возвели 8 в​ видоизменение «Надстрочный». И​ корней разных степеней​В качестве основания указана​ используются встроенные функции​ отвечающий за эту​ необходимо прописать ключевое​ простейших действий -​ использование функции​

        ​ такое действие в​

        lumpics.ru>

        Способы извлечения

        Существуют два основных способа расчета данного показателя. Один из них подходит исключительно для вычисления квадратного корня, а второй можно использовать для расчета величины любой степени.

        Способ 1: применение функции

        Для того, чтобы извлечь квадратный корень используется функция, которая так и называется КОРЕНЬ. Её синтаксис выглядит следующим образом:

        Для того, чтобы воспользоваться данным вариантом, достаточно записать в ячейку или в строку функций программы это выражение, заменив слово «число» на конкретную цифру или на адрес ячейки, где она расположена.

        Для выполнения расчета и вывода результата на экран жмем кнопку ENTER.

        Кроме того, можно применить данную формулу через мастер функций.

        1. Кликаем по ячейке на листе, куда будет выводиться результат вычислений. Переходим по кнопке «Вставить функцию», размещенную около строки функций.

        В открывшемся списке выбираем пункт «КОРЕНЬ». Кликаем по кнопку «OK».

        Открывается окно аргументов. В единственном поле данного окна нужно ввести либо конкретную величину, из которой будет происходить извлечение, либо координаты ячейки, где она расположена. Достаточно кликнуть по этой ячейке, чтобы её адрес был внесен в поле. После ввода данных жмем на кнопку «OK».

        В итоге в указанной ячейке будет отображаться результат вычислений.

        Также функцию можно вызвать через вкладку «Формулы».

        1. Выделяем ячейку для отображения результата расчета. Переходим во вкладку «Формулы».

        В блоке инструментов «Библиотека функций» на ленте кликаем по кнопке «Математические». В появившемся списке выбираем значение «КОРЕНЬ».

        Открывается окно аргументов. Все дальнейшие действия в точности такие же, как и при действии через кнопку «Вставить функцию».

        Способ 2: возведение в степень

        Рассчитать кубический корень использование указанного выше варианта не поможет. В этом случае величину нужно возвести в дробную степень. Общий вид формулы для расчета таков:

        То есть, формально это даже не извлечение, а возведение величины в степень 1/3. Но данная степень и является корнем кубическим, поэтому именно такое действие в Эксель используется для его получения. В эту формулу вместо конкретного числа также можно вписать координаты ячейки с числовыми данными. Запись производится в любой области листа или в строке формул.

        Не стоит думать, что данный способ можно применять только для извлечения кубического корня из числа. Таким же образом можно рассчитать квадратный и любой другой корень. Но только в этом случае придется использовать следующую формулу:

        n – это степень возведения.

        Таким образом, этот вариант является намного универсальнее, чем использование первого способа.

        Как видим, несмотря на то, что в Excel нет специализированной функции для извлечения кубического корня, данное вычисление можно провести, используя возведение в дробную степень, а именно — 1/3. Для извлечения квадратного корня можно воспользоваться специальной функцией, но существует также возможность сделать это путем возведения числа в степень. На этот раз нужно будет возвести в степень 1/2. Пользователь сам должен определить, какой способ вычислений для него удобнее.

        Опишите, что у вас не получилось.
        Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

        Извлечение кубического корня вручную

        Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

        Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

        В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

        1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
        2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
        3. Выполнить вычитание.
        4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.(1/33), что соответствует ;
        5. нажатие «enter» приводит к выполнению расчета.

        Примечание: дробная степень записывается двумя способами:

        • отношение единицы к порядку радикала;
        • десятичное значение отношения единицы к величине порядка.

        Корни и степени — Учеба — Каталог статей

        Степень

        Степенью называется выражение вида: , где:

        • — основание степени;
        • — показатель степени.
        Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,…}

        Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

        1. По определению: .
        2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
        3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

        Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

        Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

        Если показателем степени является целое положительное число:

        , n > 0

        Возведение в нулевую степень:

        , a ≠ 0

        Если показателем степени является целое отрицательное число:

        , a ≠ 0

        Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

        Пример 1.

        Степень с рациональным показателем

        Если:

        • a > 0;
        • n — натуральное число;
        • m — целое число;

        Тогда:

        Пример 2.

        Свойства степеней
        Произведение степеней
        Деление степеней
        Возведение степени в степень

        Пример 3.


        Корень

        Арифметический квадратный корень

        Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

        Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

        Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

        Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

        Корень из квадрата

        Например, . А решения уравнения соответственно и

        Кубический корень

        Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

        Корень n-ой степени

        Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

        Если — чётно.

        • Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
        • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается

        Если — нечётно.

        • Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

        Пример 4.

        Таблица корней

        Корень третьей степени (3)

        Корень седьмой степени (7)

        Корень четвертой степени (4)

        Корень восьмой степени (8)

        Корень пятой степени (5)

        Корень девятой степени (9)

        Корень шестой степени (6)

        Корень десятой степени (10)

        Действия с корнями.

        1. Главная
        2. Алгебра
        3. Степени и корни
        4. Действия с корнями.

        Умножение корней с одинаковыми показателями

        Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.

        √(81) × √(25) =
        = √(81 × 25) =
        = 9 × 5 =
        = 45

        Умножение корней с разными показателями

        Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

        ∛‎(729) × √(25) =
        = √(81) × √(25) =
        = √(81 × 25) =
        = 9 × 5 =
        = 45

        Деление корней с одинаковыми и разными показателями

        Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.

        √(81) / √(25) =
        = √(81 / 25) =
        = 9 / 5

        Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

        ∛‎(729) / √(25) =
        = √(81) / √(25) =
        = √(81 / 25) =
        = 9 / 5

        Возведение корней в степень

        Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
        (∛‎(125))2 = (∛‎(1252))

        Извлечение корня из корня

        Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.

        Уничтожение иррациональности в знаменателе

        Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.

        7 / √(5) =
        = 7 × √(5) / 5

        Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.

        7 / [ √(7) — √(3) ] =
        = 7 × [ √(7) + √(3) ] / [ 7 — 3 ] =
        = 7 × [ √(7) + √(3) ] / 4

        Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней. В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.

        5 / [ ∛(7) + ∛(4) ] =
        = 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / [ 7 + 4 ] =
        = 5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / 11

        Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

        В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

        Описание

        Возвращает положительное значение квадратного корня.

        Синтаксис

        КОРЕНЬ(число)

        Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

        Замечание

        Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

        Пример

        Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

        Данные

        -16

        Формула

        Описание

        Результат

        =КОРЕНЬ(16)

        Квадратный корень числа 16.

        4

        =КОРЕНЬ(A2)

        Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.

        #ЧИСЛО!

        =КОРЕНЬ(ABS(A2))

        Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.

        4

        Дробные экспоненты

        Также называется «Радикалы» или «Рациональные экспоненты»

        Показатели целого числа

        Во-первых, давайте посмотрим на экспоненты целых чисел:

        Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении .

        В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64

        Прописью: 8 2 можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или просто «8 в квадрате»

        Другой пример: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

        Дробные экспоненты

        Но что, если показатель степени — дробь?

        Показатель степени от 1 2 фактически равен квадратному корню

        Показатель степени от 1 3 равен кубический корень

        Показатель степени от 1 4 составляет корень 4-й степени

        И так далее!

        Почему?

        Давайте посмотрим, почему на примере.

        Во-первых, законы экспонент говорят нам, как обращаться с показателями при умножении:

        Пример: x

        2 x 2 = (xx) (xx) = xxxx = x 4

        Что показывает, что x 2 x 2 = x (2 + 2) = x 4

        Итак, давайте попробуем это с дробными показателями:

        Пример: Что такое 9

        ½ × 9 ½ ?

        9 ½ × 9 ½ = 9 (½ + ½) = 9 (1) = 9

        Итак, 9 ½ раз само по себе дает 9.

        Как мы называем число, которое при умножении само на себя дает другое число? Квадратный корень!

        См .:

        √9 × √9 = 9

        А:

        9 ½ × 9 ½ = 9

        Итак, 9 ½ совпадает с √9

        .

        Попробуйте другую дробь

        Давайте попробуем это еще раз, но с показателем в одну четверть (1/4):

        Пример:

        16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ = 16 (¼ + ¼ + ¼ + ¼) = 16 (1) = 16

        Итак, 16 ¼ , использованное 4 раза при умножении, дает 16,

        .

        и поэтому 16 ¼ — это корень 4-й степени из 16

        Общее правило

        Он работал для ½ , он работал с ¼ , на самом деле он работает в целом:

        x 1/ n = n- -й корень x

        Итак, мы можем придумать это:

        Дробный показатель, такой как 1 / n , означает, что берет корень n-й степени :

        Пример: Что такое 27

        1/3 ?

        Ответ: 27 1/3 = 27 = 3

        А как насчет более сложных дробей?

        А как насчет дробной степени, такой как 4 3/2 ?

        Это действительно говорит о том, что нужно сделать куб (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

        Позвольте мне объяснить.

        Фракция (например, m / n ) может быть разбита на две части:

        • целая часть ( м ), и
        • дробь ( 1 / n ) часть

        Итак, поскольку m / n = m × (1 / n) , мы можем сделать это:

        Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для м / п = (1 / п) × м :

        И получаем это:

        Дробный показатель, например m / n , означает:

        Сделайте m-ю степень , затем возьмите n-й корень

        OR Возьмите корень n-й степени , а затем выполните -ю степень

        Некоторые примеры:

        Пример: Что такое 4

        3/2 ?

        4 3/2 = 4 3 × (1/2) = √ (4 3 ) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

        или

        4 3/2 = 4 (1/2) × 3 = (√4) 3 = (2) 3 = 8

        В любом случае результат будет одинаковым.

        Пример: Что такое 27

        4/3 ?

        27 4/3 = 27 4 × (1/3) = (27 4 ) = (531441) = 81

        или

        27 4/3 = 27 (1/3) × 4 = (27) 4 = (3) 4 = 81

        Второй способ был конечно проще!

        Теперь … поиграйте с графиком!

        Посмотрите, как плавно меняется кривая, когда вы играете с дробями в этой анимации, это показывает вам, что идея дробных показателей прекрасно сочетается друг с другом:

        Что попробовать:

        • Начните с m = 1 и n = 1, затем медленно увеличивайте n, чтобы увидеть 1/2, 1/3 и 1/4
        • Затем попробуйте m = 2 и проведите n вверх и вниз, чтобы увидеть дроби вроде 2/3 и т. Д.
        • Теперь попробуйте сделать экспоненту -1
        • Наконец, попробуйте увеличить m, затем уменьшить n, затем , уменьшив м, затем , увеличив n: кривая должна идти вокруг и вокруг

        Показатели степени и квадратные корни

        Экспоненциальная запись и положительные целые показатели

        Если число повторяется как множитель несколько раз, то мы можем записать произведение в более компактной форме, используя экспоненциальную запись Компактная запись ax2 + bx + c = 0.используется, когда коэффициент повторяется несколько раз. Например,

        Основание Множитель a в экспоненциальной записи an. является множителем, а положительное целое число — положительное целое число n в экспоненциальном представлении an, которое указывает, сколько раз основание используется в качестве множителя. указывает количество раз, когда база повторяется как коэффициент. В приведенном выше примере основание равно 5, а показатель степени равен 4. В общем, если a является основанием, которое повторяется как множитель n раз, то

        Когда показатель степени равен 2, мы называем результат квадратом Результат, когда показатель степени любого действительного числа равен 2.. Например,

        Число 3 — основание, а целое число 2 — показатель степени. Обозначение 32 можно прочитать двумя способами: «три в квадрате» или «3 во второй степени». База может быть любым действительным числом.

        Важно изучить разницу между способами расчета в последних двух примерах. В примере (-7) 2 основание равно -7, как указано в круглых скобках. В примере -52 основание 5, а не -5, поэтому возводится в квадрат только 5, а результат остается отрицательным.) следующий символ:

        Квадрат целого числа называется полным квадратом Результат возведения целого в квадрат. Способность распознавать полные квадраты полезна в нашем изучении алгебры. Квадраты целых чисел от 1 до 15 следует запомнить. Ниже приводится неполный список полных квадратов:

        Попробуй! Упростить (−12) 2.

        Ответ: 144

        Когда показатель степени равен 3, мы называем результат кубом Результат, когда показатель степени любого действительного числа равен 3.. Например,

        Обозначение 33 можно прочитать двояко: «три в кубе» или «3 в третьей степени». Как и прежде, в основе может быть любое действительное число.

        Обратите внимание, что результат вычисления отрицательного числа в кубе отрицательный. Целочисленный куб называется совершенным кубом. Результат вычисления целого числа в кубе. Способность распознавать совершенные кубы полезна в нашем изучении алгебры. Кубики целых чисел от 1 до 10 следует запомнить.Ниже приводится неполный список идеальных кубиков:

        Попробуй! Упростить (−2) 3.

        Ответ: −8

        Если показатель степени больше 3, то запись an читается как « a в степени n в -й степени».

        Обратите внимание, что результат отрицательного основания с четной экспонентой положительный. Результат отрицательного основания с нечетной экспонентой отрицательный.Эти факты часто путают, когда речь идет об отрицательных числах. Внимательно изучите следующие четыре примера:

        Основание (−2) База 2
        (−2) 4 = (- 2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = + 16 (−2) 3 = (- 2) ⋅ (−2) ⋅ ( −2) = — 8 −24 = −2⋅2⋅2⋅2 = −16−23 = −2⋅2⋅2 = −8

        Скобки указывают, что отрицательное число должно использоваться как основание.

        Пример 1: Вычислить:

        а. (−13) 3

        г. (−13) 4

        Решение: База -13 для обеих задач.

        а. Используйте базу как множитель трижды.

        г. Используйте базу как множитель четыре раза.

        Ответы: а. −127; б. 181

        Попробуй! Упростить: −104 и (−10) 4.

        Ответы: −10 000 и 10 000

        Квадратный корень действительного числа

        Подумайте о том, чтобы найти квадратный корень — число, которое при умножении на само себя дает исходное число. числа как значения, обратного возведению числа в квадрат. Другими словами, чтобы определить квадратный корень из 25, нужно задать вопрос: «Какое число в квадрате равно 25?» Собственно, на этот вопрос есть два ответа: 5 и −5.

        При запросе квадратного корня из числа мы неявно подразумеваем главный (неотрицательный) квадратный корень неотрицательный квадратный корень.. Следовательно, имеем

        Например, 25 = 5, что читается как «квадратный корень из 25 равен 5». Символ √ называется радикальным знаком. Символ √ используется для обозначения квадратного корня. и 25 называется корневым и Выражение a внутри знака корня, an .. Альтернативное текстовое обозначение для квадратных корней следующее:

        Также стоит отметить, что

        Это так, потому что 12 = 1 и 02 = 0.

        Пример 2: Упростить: 10,000.

        Решение: 10 000 — это полный квадрат, потому что 100 100 = 10 000.

        Ответ: 100

        Пример 3: Упростить: 19.

        Решение: Здесь мы замечаем, что 19 — квадрат, потому что 13⋅13 = 19.

        Ответ: 13

        Учитывая a и b как положительные действительные числа, используйте следующее свойство, чтобы упростить квадратные корни, подкоренные выражения которых не являются квадратами:

        Идея состоит в том, чтобы определить наибольший квадратный коэффициент подкоренного выражения и затем применить свойство, показанное выше.В качестве примера, чтобы упростить 8, обратите внимание, что 8 не является идеальным квадратом. Однако 8 = 4⋅2 и, следовательно, имеет коэффициент полного квадрата, отличный от 1. Примените свойство следующим образом:

        Здесь 22 — упрощенное иррациональное число. Вас часто просят найти примерный ответ, округленный до определенного десятичного знака. В этом случае используйте калькулятор, чтобы найти десятичное приближение, используя исходную задачу или упрощенный эквивалент.

        На калькуляторе попробуйте 2.2. Чего вы ожидаете? Почему ответ не такой, как вы ожидали?

        Важно отметить, что подкоренное выражение должно быть положительным . Например, −9 не определено, поскольку нет действительного числа, которое в квадрате было бы отрицательным. Попробуйте извлечь квадратный корень из отрицательного числа на своем калькуляторе. Что там написано? Примечание: извлечение квадратного корня из отрицательного числа будет определено позже в этом курсе.

        Пример 4: Упростите и дайте приблизительный ответ с округлением до сотых: 75.

        Решение: Подкоренное выражение 75 можно разложить на множители как 25 ⋅ 3, где множитель 25 представляет собой полный квадрат.

        Ответ: 75≈8,66

        Для проверки вычислите на калькуляторе 75 и 53 и убедитесь, что оба результата равны примерно 8,66.

        Пример 5: Упростить: 180.

        Решение:

        Поскольку вопрос не требовал приблизительного ответа, мы даем точный ответ.

        Ответ: 65

        Пример 5: Упростить: −5162.

        Решение:

        Ответ: −452

        Попробуй! Упростите и дайте приблизительный ответ с округлением до сотых: 128.

        Ответ: 82≈11,31

        Рисунок 1.1 Пифагор

        Прямоугольный треугольник Треугольник с углом 90 °.представляет собой треугольник, угол одного из углов которого равен 90 °. Сторона, противоположная прямому углу, является самой длинной стороной, называемой гипотенузой. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника всегда будет стороной, противоположной прямому углу., А две другие стороны называются катетами. гипотенуза .. Эта геометрическая фигура используется во многих реальных приложениях. Теорема Пифагора Для любого прямоугольного треугольника с катетами a и b единиц и гипотенузой размером c единиц, тогда a2 + b2 = c2.утверждает, что для любого прямоугольного треугольника с катетами размером a и b единиц квадрат меры гипотенузы c равен сумме квадратов размеров катетов: a2 + b2 = c2. Другими словами, гипотенуза любого прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов его катетов.

        Пример 6: Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 3 единицы и 4 единицы, найдите длину гипотенузы.

        Решение: Учитывая длины катетов прямоугольного треугольника, используйте формулу c = a2 + b2, чтобы найти длину гипотенузы.

        Ответ: c = 5 единиц

        При нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора подкоренное выражение не всегда является полным квадратом.

        Пример 7: Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 2 единицы и 6 единиц, найдите длину гипотенузы.

        Решение:

        Ответ: c = 210 шт.

        Ключевые выводы

        • При использовании экспоненциальной записи an основание a используется как множитель n раз.
        • Когда показатель степени равен 2, результат называется квадратом. Когда показатель степени равен 3, результат называется кубом.
        • Запомните квадраты целых чисел до 15 и кубики целых чисел до 10.Они будут часто использоваться по мере вашего прогресса в изучении алгебры.
        • Если используются отрицательные числа, позаботьтесь о том, чтобы показатель степени соответствовал правильному основанию. Круглые скобки группируют отрицательное число в некоторой степени.
        • Отрицательное основание, возведенное в четную степень, является положительным.
        • Отрицательное основание в нечетной степени — отрицательное.
        • Квадратный корень числа — это число, возведение которого в квадрат дает исходное число.Главный квадратный корень — это положительный квадратный корень.
        • Упростите квадратный корень, найдя наибольший коэффициент полного квадрата подкоренного выражения. Как только идеальный квадрат найден, примените свойство a⋅b = a⋅b, где a и b неотрицательны, и упростите.
        • Проверьте упрощенные квадратные корни, вычислив приближение ответа, используя как исходную задачу, так и упрощенный ответ на калькуляторе, чтобы убедиться, что результаты совпадают.2

          17. (213) 2

          18. (534) 2

          Если s — длина стороны квадрата, то площадь определяется как A = s2 .

          19. Определите площадь квадрата со стороной 5 дюймов.

          20. Определите площадь квадрата со стороной 2,3 фута.

          21. Перечислите все квадраты целых чисел от 0 до 15.

          22. Перечислите все квадраты целых чисел от −15 до 0.

          23. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в наборе {0, 13, 23, 1, 43, 53, 2}.

          24. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в наборе {0, 12, 1, 32, 2, 52}.

          Часть B: Целочисленные экспоненты

          Упростить.

          25. 53

          26. 26

          27.100

          41. — (12) 3

          42. (12) 6

          43. (52) 3

          44. (−34) 4

          45. Перечислите все кубы целых чисел от −5 до 5.

          46. Перечислите все кубики целых чисел от −10 до 0.

          47. Перечислите все кубики рациональных чисел в наборе {−23, −13, 0, 13, 23}.

          48. Перечислите все кубики рациональных чисел в наборе {−37, −17, 0, 17, 37}.

          Часть C: квадратный корень числа

          Определите точный ответ в упрощенном виде.

          49,121

          50. 81

          51,100

          52,169

          53. −25

          54. −144

          55. 12

          56. 27

          57,45

          58. 50

          59.98

          60. 2000

          61. 14

          62. 916

          63. 59

          64. 836

          65. 0,64

          66. 0,81

          67.302

          68. 152

          69. (−2) 2

          70. (−5) 2

          71. −9

          72. −16

          73,316

          74.518

          75. −236

          76. −332

          77 6200

          78. 1027

          Приблизительно с точностью до сотых.

          79. 2

          80. 3

          81. 10

          82,15

          83,23

          84. 52

          85. −65

          86. −46

          87.sqrt (79)

          88. sqrt (54)

          89. −sqrt (162)

          90. −sqrt (86)

          91. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 6 единиц и 8 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          92. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 5 единиц и 12 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          93. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 9 единиц и 12 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          94. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 32 единицы и 2 единицы, найдите длину гипотенузы.

          95. Если оба катета прямоугольного треугольника имеют размер 1 единицу, найдите длину гипотенузы.

          96. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 1 единицу и 5 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          97. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 2 единицы и 4 единицы, то найдите длину гипотенузы.

          98. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 3 единицы и 9 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          Часть D: Темы дискуссионной доски

          99. Почему результат экспоненты 2 называется квадратом? Почему результат экспоненты 3 называется кубом?

          100. Изучите и обсудите историю теоремы Пифагора.

          101. Изучите и обсудите историю квадратного корня.

          102. Обсудите важность главного квадратного корня.

          ответы

          1: 100

          3: 81

          5: 121

          7: 0

          9: −64

          11: 1/4

          13: 0,25

          15: 6.76

          17: 549

          19: 25 квадратных дюймов

          21: {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225}

          23: {0, 1/9, 4/9, 1, 16/9, 25/9, 4}

          25: 125

          27: 1

          29: −1

          31: −343

          33: 27

          35: 1

          37: −216

          39: 1

          41: −18

          43: 1258

          45: {−125, −64, −27, −8, −1, 0, 1, 8, 27, 64, 125}

          47: {−827, −127, 0, 127, 827}

          49: 11

          51: 10

          53: −5

          55: 23

          57: 35

          59: 72

          61: 12

          63: 53

          65: 0.8

          67: 30

          69: 2

          71: Неверно

          73: 12

          75: −12

          77: 602

          79: 1,41

          81: 3.16

          83: 3,46

          85: -13,42

          87: 8,89

          89: -12,73

          91: 10 шт.

          93:15 шт.

          95: 2 шт.

          97: 25 шт.

          Math 1010 on-line — Корни и радикалы

          Math 1010 on-line — Корни и радикалы

          Кафедра математики — Колледж наук — Университет Юты

          Корни и радикалы

          Корни и радикалы заслуживают отдельной главы и домашнего задания, потому что они часто встречаются в приложениях.

          Пусть будет натуральное число, и пусть будет настоящий номер . -й корень из это число, которое удовлетворяет Номер обозначается

          Например, с тех пор, и поскольку .

          Символ называется радикальным символом , и выражение, включающее его, называется радикалом (выражение) .

          Если тогда это квадратный корень из, и это число обычно опускается. Например,

          Если, то кубический корень из.Например, кубический корень из есть, а кубический из is.

          Если четное и положительное, то есть два -го числа. корни, каждый из которых является отрицательным по отношению к другому. Например, поскольку есть два квадратных корня из. В в этом случае условно символ означает положительный -й корень, и он называется главный (-й) корень из .

          Если отрицательное и нечетное, то есть только корень 1/4, и он также отрицательный. Например,

          На этом этапе нам неизвестен корень -й степени, если он даже и отрицательный.Это приводит к теме комплексные числа, которые мы рассмотрим позже в этом курсе.

          Радикалы — это просто частные случаи силы , и вы Помните об этом факте, что может упростить ваше мышление:

          Непосредственно из этого наблюдения и свойств полномочия, которые

          Решение радикальных уравнений

          Уравнение, включающее радикалы, называется радикальным уравнением (естественно). Чтобы решить эту проблему, вы просто применяете нашу общую принцип:

          Чтобы решить уравнение, выясните, что вас беспокоит, и сделайте то же самое. вещь по обе стороны уравнения, чтобы избавиться от него.

          Чтобы избавиться от радикала, вы приводите его к власти, которая изменит рациональный показатель до натурального числа. Это будет работать, если радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения .

          Давайте посмотрим на несколько простых примеров :

          Предполагать

          Действуем следующим образом:

          Вот немного более сложная проблема:

          Мы получаем

          Наш последний пример показывает, как избавиться от более чем одного радикала:

          Чтобы избавиться от квадратных корней, мы изолируем их и возведем в квадрат время:

          В каждом случае мы проверяем наш ответ, подставляя его в исходный. уравнение.Например, в последнем уравнении получаем:

          Позже в курсе мы рассмотрим более сложные случаи радикальные уравнения.

          Числовые значения

          Все радикалы в приведенных выше примерах были натуральными числами. Это связано только с разумным подбором примеров. Часто корни в приложениях встречаются иррациональные числа с десятичными разложениями, которые никогда не повторяются и не заканчиваются. В следующей таблице приведены приблизительные значения несколько специфических радикалов.

          Некоторые радикалы (приблизительно)

          Экспоненты и корни — подготовка к тесту Каплана



          Показатели или степени — это числа, которые говорят нам, сколько раз нужно умножить число само на себя. Например, 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2. Вы можете прочитать это как «два в шестой степени», и наш ответ будет 64. Для ACT Math вам действительно понадобится чтобы знать, как манипулировать выражениями с показателями. Есть много правил, которые диктуют, как мы манипулируем выражениями с показателями, так что приступим.

          При добавлении алгебраических выражений с одинаковыми основаниями и показателями я могу добавить их коэффициенты:
          X ³ + X ³ = = 2 X ³
          3X 5 +2 X 5 = 5x 5
          Помните, что вы можете складывать коэффициенты, только если основание и показатель степени одинаковы. Сложение и вычитание никогда не приведет к изменению показателя степени (например, 2 X ³ +2 X ³ не равно 4x 6 )
          При умножении выражений или членов, которые имеют одинаковое основание, просто складывают экспоненты.
          X ³ * X³ = = X 6
          При делении чисел или членов с одинаковым основанием вычитает экспонент.
          X 7 / X 4 = = x³
          Возведение экспоненты в степень

          Повышая показатель степени до другого показателя, вы должны умножить показатель степени. Чтобы возвести показатель степени в степень, необходимо заключить исходное выражение в круглые скобки, а затем поместить показатель степени за скобками.
          (X ³ ) ³ = X 9
          В большинстве случаев, если студенты собираются что-то путать с манипуляциями с выражениями с показателями, они часто путают умножение показателей с возведением показателя в показатель степени. В первом случае добавляется показателей, а во втором — , умножается показателей.

          Число, возведенное в отрицательную степень, равно «1 больше» (также известное как обратная величина) той базы, возведенной в противоположную (положительную) степень.
          X = 1 / X ³

          Напоминания об экспоненте

          Ноль: Все, что возведено в степень нуля, равно 1
          Единица: Все, что возведено в степень 1, является самим собой.



          Корни и радикалы являются обратными показателями степени. Если три в квадрате (3 * 3) равно девяти, то квадратный корень из девяти ( какое число, умноженное само на себя, дает 9?) равно трем. Обратите внимание, что «квадратные корни», хотя и являются наиболее распространенными в тесте, не являются единственными протестированными корнями.Тест может попросить вас работать с квадратными корнями, кубическими корнями, корнями четвертой степени и т. Д. Кубический корень из 8, например, равен 2, поскольку 2 * 2 * 2 равно 8.

          Вы не можете складывать или вычитать корни. Вы должны вычислить каждый корень, а затем сложить числа. Итак, √9 + √16 не √25. Вы должны преобразовать корни в 3 и 4 соответственно, и наш ответ — 7.
          Вы можете умножать или делить корни , только если имеют одинаковую степень (т. Е. Оба являются квадратными корнями, кубическими корнями, корнями четвертой степени и т. Д.). Поэтому, если вы хотите умножить два корня с одинаковой степенью, просто умножьте числа под знаком корня и поместите это произведение под новым знаком корня с той же степенью.
          √26 * √2 = √52

          Иногда во время теста вы увидите корни в вариантах ответа, записанные как произведение числа и квадратного корня. Эти выражения представлены в упрощенной форме. Возьмите √52, который мы видим выше. Это не упрощено выше. Чтобы упростить его, сначала найдите все его простые множители, нарисовав факторное дерево
          52
          / \
          2 26
          / \
          13 2
          o Обратите внимание, что простые делители 52 равны 2, 2 и 13.Мы можем записать √52 как произведение 2 и √13. При упрощении радикалов мы хотим идентифицировать пар и простых множителей; в данном случае у нас есть две двойки, поэтому, хотя мы этого и не заметили, мы можем записать √52 как √13 * 4, что мы можем записать как √13 * √4, что упрощается до 2 √13 .

          Степени и корни: другие корни в математике

          Как вы знаете, если вы просматриваете эту серию математических видео по порядку — в последнем видео мы рассмотрели квадратные корни. Теперь в этом видео мы рассмотрим другие корни в математике, такие как кубические корни и т. Д.

          В этом уроке мы поговорим о других корнях. Кубические корни, четвертые корни и тому подобное. Так же, как квадратный корень более или менее «отменяет акт возведения в квадрат». Конечно, мы узнали, что это не совсем так, есть корни более высокого порядка, которые аналогичным образом отменяют другие силы. Например, кубические корни отменяют процесс кубирования чего-либо.

          Итак, так же, как мы можем возвести что-либо в третью степень, мы можем найти, какое число в третьей степени даст определенный результат.Прежде всего, поговорим об обозначениях. Квадратный корень из k, радикал k означает квадратный корень из k. Обозначения для всех остальных корней аналогичны, мы используем тот же радикальный символ. Но для всех остальных корней мы ставим перед корнем небольшое число, чтобы обозначить порядок корня.

          Другими словами, берем ли мы кубический корень, четвертый корень, пятый корень и т. Д. Итак, для кубического корня мы должны поставить маленькую 3 перед знаком корня, и это будет обозначать куб корень k.Мы также должны думать о положительных и отрицательных числах, потому что с положительными и отрицательными числами здесь довольно сложно. Помните, что, прежде всего, мы возводим в квадрат.

          Положительный квадрат — положительный, отрицательный — тоже положительный, хорошо? Так что это верно для квадрата. Следовательно, верно, что если у нас x2 = положительное, у этого есть два решения, одно положительное и одно отрицательное. Например, x в квадрате равно 9, это может быть плюс 3 или минус 3. Напротив, x2 = negative не имеет возможного решения, x в квадрате равно отрицательному 9, нет действительного числа, которое удовлетворяет этому уравнению.

          Другие корни в математике: кубические корни

          Положительные и отрицательные корни для кубов немного отличаются. Помните, что если мы кубизируем позитив, мы получаем позитив, но если мы кубим в куб негатив, мы получаем негатив. Следовательно, x3 = positive имеет одно положительное решение, а x3 = negative имеет одно отрицательное решение. Таким образом, вы не получите проблемы двойного корня в одном случае и не получите решения в другом случае, как мы получили при возведении в квадрат.

          Используя квадратные корни, мы можем найти квадратный корень только из положительных значений.Конечно, мы также можем найти квадратный корень из 0, но мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хорошо? Итак, по той же причине, точно так же, как мы не можем возвести что-то в квадрат и получить отрицательное значение, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного. Но для кубических корней правила совсем другие.

          Мы можем извлечь кубический корень из любого числа на числовой прямой: положительного, нулевого или отрицательного. Таким образом, каждое число на отрицательной прямой мы можем возвести в третью степень и найти кубический корень из него.Например, кубический корень из 8 равен 2, кубический корень из 0 равен 0, а кубический корень из -8 равен -2.

          Итак, в отличие от квадратного корня, кубический корень может иметь отрицательный результат. Когда мы вставляем негатив, мы получаем негатив. Для быстрых вычислений хорошо запомнить до 10 кубиков. Конечно, первые шесть очень важно запомнить, и если вы знаете все 10, это сэкономит ваше время. И я отмечу пару вещей.

          Обратите внимание, что 8 в кубе, конечно, это будет 2 до 9-го.Обратите внимание на 4 в кубе, это 2 в квадрате. Таким образом, это будет от 2 до 6. Это также будет от 2 до 3-го в квадрате или 8 в квадрате. И, конечно же, 8 в квадрате — это тоже 64. Итак, здесь есть некоторые закономерности, которые мы можем наблюдать, применяя наши законы экспонент.

          Итак, если мы запомнили эти кубики автоматически, мы запомним несколько кубических корней. И это может быть очень удобно. Кубические корни на тестах встречаются сравнительно нечасто. Еще реже встречаются корни высшего порядка, корень четвертой, пятый, шестой.Так что это маловероятные темы, поэтому я вас предупреждаю прямо сейчас.

          Общие закономерности корней в математике

          Но в целом я скажу кое-что обо всех корнях. Таким образом, это верно для всех возможных корней в математике: квадратного корня, кубического корня и т. Д. Здесь мы поговорим обо всех шаблонах.

          Прежде всего, квадратный корень из числа a, корень четвертой степени из числа a, корень шестой степени из числа a и т. Д. — они называются четными корнями . Итак, когда у нас записано четное число, это четный корень.

          Изображение dizain

          И, конечно же, квадратный корень подразумевает два, так что это тоже четный корень. Кубический корень, корень 5-й степени, корень 7-й степени, они называются нечетными корнями. Итак, мы отделяем все четные корни от всех нечетных корней. И причина, по которой мы делаем это, заключается в том, что то же самое положительное и отрицательное, о чем мы говорили о квадратах и ​​кубах, распространяется на все события и разногласия.

          Как и в случае с квадратными корнями, мы можем извлечь любой четный корень из положительного числа, что приведет к положительному результату.Но мы не можем извлечь четный корень из отрицательного числа. Мы попытались извлечь четный корень из отрицательного числа, оно не определено. Он не равен чему-либо в числовой строке. Напротив, как и в случае с кубическими корнями, любой нечетный корень положительного числа положителен. И любой нечетный корень отрицательного отрицательного.

          Таким образом, это следует той же схеме плюс и минус. Для других свойств я буду использовать обозначение с n перед знаком корня. Итак, у нас есть корень n-й степени от a. И здесь я говорю об общем корне.Конечно, понятно, что n является целым числом, большим или равным 2. Для всех корней мы можем взять корень n-й степени из 0, и он равен 0. А корень n-й степени из 1 равен 1, так что это верно для всех значения n.

          Дополнительные общие черты для всех корней в математике

          Все корни сохраняют порядок неравенства. Итак, если у нас есть три числа подряд — при условии, что они положительные числа — мы извлекаем из них корни. Пока это один и тот же корень, который мы извлекаем из каждого числа, они остаются в том же порядке неравенства.

          Например, предположим, что нам нужно вычислить корень четвертой степени из 50. Что ж, мы хотим расположить его между двумя четвертыми степенями.

          Итак, 2 к 4-му, как мы знаем, равно 16, 3 к 4-му — 81. Итак, поскольку 50 находится между 16 и 81, мы можем извлечь 4-й корень из всех этих чисел. И мы видим, что корень 4-й степени из 50 должен быть десятичным числом где-то между 2 и 3. Тест не ожидает, что вы сделаете что-то более сложное с нахождением корня 4-й степени из 50, но пока вы можете выяснить, какой два целых числа между ними, это нормально.

          Сравните размер корней разного порядка

          Мы также можем сравнить размер корней различных заказов. Итак, для числа больше 1 — чем выше корень, тем меньше фактическое число. Таким образом, корень n-й степени является корнем более высокого порядка, чем корень m-й степени. И корень m-го размера меньше. Итак, давайте подумаем об этом. Предположим, мы берем разные корни из 19. Ну, конечно, квадратный корень из 19 должен быть меньше 19.

          Теперь кубический корень из 19 должен быть еще меньше, потому что он занимает всего два квадратных корня.Если мы умножим два квадратных корня вместе, мы получим 19. Мы должны умножить три кубических корня вместе, чтобы получить 19. И затем мы можем расширить эту логику. Ну, корень 4-й степени должен быть еще меньше, потому что мне нужно умножить четыре из них, чтобы получить 19. Мне нужно умножить пять из них, шесть из них и так далее.

          Наблюдая за появлением закономерностей

          Итак, это означает, что по мере того, как мы получаем корни все более и более высокого порядка, все эти числа становятся меньше. Но они всегда больше 1. Это должно быть правдой, даже если мы не можем понять, что такое десятичные дроби, абсолютно должно быть верно, что корень 30-й степени из 19 меньше корня 20-й степени из 19.Другими словами, мы должны иметь возможность провести это сравнение, даже если мы не можем определить точные значения этих десятичных знаков.

          Изображение предоставлено New Africa


          Теперь, когда мы попадаем в этот регион между 0 и 1, все становится немного по-другому. Как вы помните, здесь все было иначе. Прежде всего, если мы возьмем корень, то корни будут больше, чем b, при условии, что b — это дробь от 0 до 1. И чем выше порядок корня, тем выше он становится.

          Итак, n — корень более высокого порядка, он выше. Корень n-й степени из b выше, чем корень m-й степени из b. Итак, предположим, что мы получаем разные корни, скажем, из двух пятых. Ну, две пятых меньше квадратного корня из двух пятых. Это будет меньше кубического корня, который меньше корня четвертой степени, и так далее.

          Продолжаем этот узор. Оказывается, все эти корни остаются меньше единицы. Таким образом, они становятся все больше, больше и больше, но никогда не становятся такими большими, как 1. И эта модель сохраняется для всех более высоких порядков корней.Таким образом, даже если бы нам пришлось сравнить два очень высоких корня, мы могли бы, например, сказать, что мы знаем, что корень 50-й степени из двух пятых, который должен быть больше двух пятых, но должен быть меньше корня 75-й степени из две пятых.

          И корень 75-й степени из двух пятых по-прежнему должен быть меньше 1. Таким образом, мы должны быть в состоянии выяснить, где эти четыре члена попадают в неравенство, даже если мы можем вычислить точные десятичные значения этих корней. Можно резюмировать это так: чем выше порядок корня, тем ближе результат к 1.То есть с числами больше 1 взятие корней более высокого порядка делает их все меньше и меньше, приближает их к 1.

          Извлечение корней из чисел от 0 до 1 делает его больше, и они перемещаются все ближе и ближе к 1. Итак, это шаблон, все приближается к 1. И одна из причин этого, конечно же, заключается в том, что мы можем взять любой корень из 1 и он равен 1. Эти свойства проверяются редко, и только на самых сложных задачах теста.

          Итак, еще раз, это не то, что вы увидите каждый раз, когда садитесь на тест.Это очень редкие проблемы.

          Сводка

          Таким образом, в отличие от квадратных корней, из мы можем извлекать кубические корни как из положительных, так и из отрицательных значений, это отличная идея. На самом деле, мы можем взять любой четный корень из положительных чисел, но не из отрицательных, но мы можем взять любой нечетный корень из любого числа на числовой прямой.

          Это тоже действительно большая идея. Любой корень из 1 равен 1, а любой корень из 0 равен 0. Все корни сохраняют порядок неравенств, предполагая, что все числа положительны.И чем выше порядок корня, тем ближе результат к 1. Итак, опять же, числа больше 1, когда мы извлекаем корни, они становятся меньше и приближаются к 1.

          Когда мы извлекаем корни из чисел от 0 до 1, они становятся больше и приближаются к 1.

          Вычислить любую степень i (квадратный корень из -1)

          Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombinations, Find allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, MassConversion анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика многочленов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Простота Правые треугольники, Ветер, рисунок

          Функции Abs, Exp, Ln, Power и Sqrt — Power Apps

          • 2 минуты на чтение

          В этой статье

          Вычисляет абсолютные значения, натуральные логарифмы, квадратные корни и результаты возведения e или любого числа в указанную степень.

          Описание

          Функция Abs возвращает неотрицательное значение своего аргумента. Если число отрицательное, Abs возвращает положительный эквивалент.

          Функция Exp возвращает e в степени своего аргумента. Трансцендентное число e начинается с 2.7182818 …

          .

          Функция Ln возвращает натуральный логарифм (основание e ) своего аргумента.

          Функция Power возвращает число в степени. оператор.

          Функция Sqrt возвращает число, которое при умножении на себя равно ее аргументу.

          Если вы передадите одно число, возвращаемое значение будет единственным результатом, основанным на вызванной функции. Если вы передаете таблицу с одним столбцом, содержащую числа, возвращаемое значение представляет собой таблицу результатов с одним столбцом, по одному результату для каждой записи в таблице аргументов. Если у вас есть таблица с несколькими столбцами, вы можете преобразовать ее в таблицу с одним столбцом, как описано в работе с таблицами.

          Если аргумент приведет к неопределенному значению, результатом будет пустое значение . Это может произойти, например, с квадратными корнями и логарифмами отрицательных чисел.

          Синтаксис

          Abs ( Number )
          Exp ( Number )
          Ln ( Number )
          Sqrt ( Number )

          • Номер — Обязательно. Номер для работы.

          Мощность ( Base , Exponent )

          • База — Обязательно.Базовое число, которое нужно поднять.
          • Показатель — Обязательный. Показатель степени, до которого возводится базовое число.

          Abs ( SingleColumnTable )
          Exp ( SingleColumnTable )
          Ln ( SingleColumnTable )
          Sqrt ( SingleColumnTable )

          • SingleColumnTable — Обязательно. Таблица чисел, состоящая из одного столбца.

          Примеры

          Единый номер

          Формула Описание Результат
          Абс. (-55) Возвращает число без знака минус. 55
          Опыт (2) Возвращает e в степени 2, или e * e . 7,389056 …
          Линия (100) Возвращает натуральный логарифм (основание и ) числа 100. 4.605170 …
          Мощность (5, 3) Возвращает 5 в степени 3, или 5 * 5 * 5. 125
          кв. (9) Возвращает число, которое при умножении на само себя дает 9. 3

          Одноколонный стол

          В примерах в этом разделе используется источник данных с именем ValueTable , который содержит следующие данные:

          Формула Описание Результат
          Abs (таблица значений) Возвращает абсолютное значение каждого числа в таблице.
          Exp (таблица значений) Возвращает e в степени каждого числа в таблице.
          Ln (таблица значений) Возвращает натуральный логарифм каждого числа в таблице.
          Sqrt (таблица значений) Возвращает квадратный корень из каждого числа в таблице.