Как решить уравнение через дискриминант: Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Содержание

Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

как найти дискрининант: D = b² − 4ac;
если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x² — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.

Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x² — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.

Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x² — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.

Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x

1 = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

Ответ: -0,2; -3.

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

Ответ: 9; 1/3.

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

Ответ: -2 1/3.

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета. Версия для печати.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

где
- x — переменная,
- a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению

дискриминанта

Формула дискриминанта:

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей —

корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета о корнях квадратного уранения.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х²

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим.

Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax²+ bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁= k²− ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x²+ 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении k = 5.

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении k = 6.

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x²+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁= k²− ac

D₁= k²− ac = 3²− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x²+ 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b²− 4ac), в формуле D₁= k²− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x²− 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D₁= k²− ac

D₁= k²− ac = (−3)²− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x²− 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D₁= k²− ac

D₁= k²− ac = (−5)²− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁= k²− ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax²+ bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении ax²+ bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax²+ 2kx + c = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b²− 4ac = (2k)²− 4ac = 4k²− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b²− 4ac = (2k)²− 4ac = 4k²− 4ac = 4(k²− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k²− ac.

В выражении 4(k²− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k²− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k²− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

D₁= k²− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax²+ bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k²− ac)

Но ранее было сказано, что выражение k²− ac обозначается через D₁. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. 2=9

1) x+4=3 ; x=3-4 ; x=-1

2) x+4=-3 ; x=-3-4 ; x=-7

Выпускники должны твердо знать и умело пользоваться этим методом!

Дополнение до полного квадрата — полезный метод, который позволяет записать квадратное уравнение в форме, легкой для представления и решения. Вы можете дополнить до полного квадрата сложное квадратное уравнение и даже решить его.

Пользоваться этим методом нужно только, если это удобно!

Обычно встречаются уравнения, которые легче решить по дискриминанту или по теореме Виета .

Кому интересна математика, прошу обратить внимание на мой канал

Если хотите более сложные, легкие и другие интересные примеры, то пишите комментарии. Подписывайтесь !!! Всем доброго дня )))

Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax² + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax² + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —

D = b² — 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х² — 8х + 12 = 0
2 )5х²+ 3х + 7 = 0
3) х²-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)² — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3² — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)²— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х² — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х² = 0
3) х² + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) ²— 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х₁ = 2+?16/2 * 1 = 3, х₂ = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2)² — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х₁ = 2+?64/2 * (-1) = -5, х₂ = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 ² — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х² + 9х = 0
2х² — 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

_{Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.}

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения

Тогда корни уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

I. Используем формулу «разность квадратов» + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий:

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать

IV. Вместо дискриминанта – т. Виета + показать

Дискриминант — Концепция — Алгебра Видео от Brightstorm

Дискриминант — это термин под квадратным корнем в квадратной формуле, который сообщает нам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант положителен, мы знаем, что у нас есть 2 решения. Если он отрицателен, решений нет, а если дискриминант равен нулю, решение одно. Дискриминант вычисляется путем возведения в квадрат члена «b» и вычитания 4-кратного члена «а», умноженного на член «с».

Дискриминант — очень удобный инструмент, когда вы думаете, что получаете странный ответ. Вот почему. Дискриминант говорит вам, сколько решений есть у квадратного уравнения или сколько пересечений x у параболы. Он не говорит вам, каковы эти числа, каковы значения перехвата x, он просто говорит вам, сколько их должно быть. И кажется, что это бесполезно, но на самом деле это особенно важно, когда вы проверяете свою работу.
Вот как это выглядит. Дискриминант представляет собой формулу b в квадрате минус 4ac, учитывая, что a, b и c являются коэффициентами вашего квадратного уравнения в стандартной форме. Он сообщает вам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, есть два решения. Если дискриминант меньше нуля, то решений нет, а если дискриминант равен нулю, то есть одно решение.
Это то, что вам просто нужно запомнить. Она идет рука об руку с квадратичной формулой.Так что, если вы, ребята, узнали это, это будет иметь большой смысл. Если вы еще не выучили квадратную формулу, вы, вероятно, выучите ее завтра на уроке математики. Просто знайте, что вы смотрите на то, является ли b квадрат минус 4ac больше нуля, меньше нуля или равен нулю. И это говорит мне, сколько ответов я должен иметь. Он не говорит мне, каковы ответы, а только сколько их должно быть, чтобы решить задачу правильно.

Квадратичная формула: решения и дискриминант

Пурпурная математика

Давайте сделаем еще несколько примеров.

Решите
x ( x – 2) = 4. Округлите ответ до двух знаков после запятой.

В данный момент я не только не могу применить квадратичную формулу, но и не могу факторизовать. Почему? Потому что это уравнение еще в правильной форме.

И я уж точно не могу утверждать с каменным лицом, что « х = 4, х – 2 = 4″, потому что это а не как работает «разложение на множители».

Независимо от того, какой метод решения я собираюсь использовать — факторизирую ли я или использую квадратную формулу, чтобы найти свои ответы — я должен сначала преобразовать уравнение в форму «(квадратичное) = 0».

MathHelp.com

Первое, что я сделаю здесь, это умножу слева, а затем перенесу 4 с правой стороны на левую:

х ( х – 2) = 4

х ² – 2 х = 4

х ² – 2 х – 4 = 0

Поскольку в (1)(–4) = –4 нет множителей, которые в сумме дают –2, этот квадрат не дает множителей. (Другими словами, нет никакого способа, чтобы решение ложного факторинга « x = 4, x – 2 = 4» могло быть хоть немного правильным.)

Так что разложение на множители не сработает, но я могу использовать квадратную формулу; в этом случае я подставлю значения a = 1, b = –2 и c = –4:

Тогда ответ:

х = –1.24, х = 3,24, округленное до двух знаков после запятой.

Для справки, вот как выглядит график связанного квадратичного уравнения, y = x ² – 2 x – 4:

Как видите, решения квадратичной формулы совпадают с точками пересечения x . Места, где график пересекает ось x , дают значения, которые решают исходное уравнение.

Существует еще одна связь между решениями квадратной формулы и графиком параболы: вы можете сказать, сколько x -перехватов у вас будет, исходя из значения внутри квадратного корня. Аргумент (т. то есть уметь различать) различные типы решений.

В этом случае значение дискриминанта b ² – 4 ac равно 20; в частности, значение было , а не ноль, и было , а не отрицательным. Поскольку значение не было отрицательным, уравнение должно было иметь по крайней мере одно (действительное) решение; поскольку значение не равно нулю, два решения будут разными (то есть, они будут отличаться друг от друга).

Решить 9
х ² + 12 х + 4 = 0.Оставьте свой ответ в точной форме.

Используя a = 9, b = 12 и c = 4, квадратичная формула дает мне:

Тогда ответ:

В первом примере на этой странице я получил два решения, потому что значение дискриминанта (то есть значение внутри квадратного корня) было ненулевым и положительным. В результате часть формулы «плюс-минус» дала мне два разных значения; один для «плюсовой» части числителя, а другой для «минусовой» части. Однако в данном случае квадратный корень уменьшился до нуля, так что плюс-минус ничего не значил.

Такое решение, в котором вы получаете только одно значение, потому что «плюс-минус ноль» ничего не меняет, называется «повторным» корнем, потому что x равно

^–2 / ₃ , но оно равно этому значению как бы дважды: ^–2 / ₃ + 0 и ^–2 / ₃ – 0.

Вы можете увидеть это повторение лучше, если разложите квадратное число (и, поскольку решения были хорошими четкими дробями, квадратное должно разложить на ): + 2)(3 x + 2) = 0, поэтому первый множитель дает нам 3 x + 2 = 0, поэтому

x = ^-2 / ₃ , и (из второго, одинаковый множитель) 3 x + 2 = 0, поэтому x = ^–2 / ₃ снова.

Каждый раз, когда вы получаете нуль внутри квадратного корня квадратной формулы, вы получаете только одно решение уравнения, в том смысле, что получаете одно число, которое решает уравнение. Но вы получите два решения, в том смысле, что одно значение считается дважды. Другими словами, дискриминант (то есть выражение b ² – 4 ac ) со значением, равным нулю, означает, что вы получите одно «повторяющееся» значение решения.

Ниже приведен график связанной функции y = 9 x ² + 12 x + 4:

Парабола едва касается оси x в точке

x = ^–2 / ₃ ; на самом деле не пересекается.Это соотношение всегда верно: если у вас есть корень, который встречается ровно дважды (или, что то же самое, если вы получаете нуль внутри квадратного корня), то график будет «целовать» ось в значении решения, но это не так.

не пройдет через ось.

Поскольку в (3)(2) = 6 нет множителей, которые в сумме дают 4, этот квадрат не дает множителей. Но квадратичная формула работает всегда; в этом случае я подставлю значения a = 3, b = 4 и c = 2:

На данный момент у меня есть отрицательное число внутри квадратного корня.Если вы еще не узнали о комплексных числах, то вам придется остановиться здесь, и ответом будет «нет решения»; если вы знаете комплексные числа, то можете продолжить вычисления:

Таким образом, в зависимости от вашего уровня обучения, ваш ответ будет одним из следующих:

вещественных решений: нет решения

решений комплексных чисел:

Филиал

Но независимо от того, знаете вы о комплексах или нет, вы знаете, что не можете изобразить свой ответ графически, потому что вы не можете изобразить квадратный корень из отрицательного числа в обычном декартовом разряде. На оси x таких значений нет. Поскольку вы не можете найти графическое решение квадратного уравнения, то разумно не должно быть никаких x -перехватов (потому что вы можете построить график x -перехвата).

Вот график связанной функции, y = 3 x ² + 4 x + 2:

Как видите, график не пересекает и даже не касается оси x .Это соотношение всегда верно: если вы получите отрицательное значение внутри квадратного корня, тогда не будет решения действительного числа и, следовательно, не будет x -перехватов. Другими словами, если дискриминант (представляющий собой выражение b ² – 4 ac ) имеет отрицательное значение, то у вас не будет графически отображаемых нулей.

(Отношение между дискриминантом (являющимся значением внутри квадратного корня), типом решений (два различных решения, одно повторяющееся решение или отсутствие графически отображаемых решений) и количеством x -пересечений на графике (два , один или ни одного) представлены в таблице на следующей странице. )

URL-адрес: https://www.purplemath.com/modules/quadform2.htm

Квадратное уравнение, Дискриминант, Парабола

Квадратные уравнения выглядят так: ax ² + bx + c = 0
где a,b,c — действительные числа, а a ≠ 0 (иначе это линейное уравнение).2 — 4ac}}{2a}$

Число D = b ² — 4ac называется «дискриминантом» .
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных решений (имеет 2 комплексных решения).
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение $x = — \frac{b}{2a}$
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет 2 различных решения.

Пример:
Решим квадратное уравнение: x ² + 3x — 4 = 0
a = 1, b = 3, c = -4
$x=\frac{-(3) \pm \sqrt{ 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = $
$ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2} = $
$\frac{-3 \pm 5}{2} = \begin{case} \frac{-3 — 5}{2} = -4 \\ \frac{-3 + 5}{2} = 1\end{case}$

Квадратичная функция

	Стандартная форма	Форма вершины	Форма перехвата
Функция	$y=ax^2+bx+c$	$y=a(xh)^2+k$	$y=a(x-p)(x-q)$
Вершина	$\left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)$	$(ч, к)$	$\left(\frac{p+q}{2}, f\left(\frac{p+q}{2}\right) \right)$
Ось симметрии	$x=-\frac{b}{2a}$	$х=ч$	$x=\frac{p+q}{2}$
Пример	$y=2x^2+4x-30$	$y=2(x+1)^2-32$	$y=2(x-3)(x+5)$
	y-пересечение на $(0, -30)$	вершина в $(-1, -32)$	x-пересечений на $(3, 0)$ и $(-5, 0)$

Парабола

График квадратного уравнения называется параболой .
Если a > 0, то его вершина указывает вниз:

Если a < 0, то его вершина направлена вверх: Если a = 0, то график представляет собой не параболу, а прямую линию.

Вершина параболы $x = -\frac{b}{2a}$.

Формулы Виета

Если x ₁ и x ₂ являются корнями квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 тогда:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
Эти формулы называются формулами Виета .
Мы можем найти корни x ₁ и x ₂ квадратного уравнения, решив уравнения уравнений.

Задачи на квадратные уравнения

Задача 1. Решите уравнение:
x ² — 4 = 0
Решение: x ² — 4 = (x — 2)(x + 2)
(x — 2)(x + 2) ) = 0
x — 2 = 0 или x + 2 = 0
Корни x = 2 или x = -2

Решение 2: a = 1, b = 0, c = -4
D = 0 ² — 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a } = \frac{- 0 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Задача 2. Решите уравнение:
3x ² + 4x + 5 = 0
Решение: дискриминант равен D = 4 ² — 4⋅3⋅5 = 16 — 60 = -44 Таким образом, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Задача 3. Решить уравнение:
х ² + 4х — 5 = 0; х = ?
Решение: Дискриминант равен 4 ² — (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36 > 0
У уравнения два действительных корня: $\frac{-4 \pm \sqrt{36} {2}
долл. США x = 1 или x = -5

Задача 4. Решите уравнение:
x ² + 4x + 4 = 0; х = ?
Решение: Дискриминант равен 4 ² — (4⋅1⋅4) = 16 — 16 = 0
Таким образом, существует одно действительное решение: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2

Задача 5. Решить уравнение:
x ² — 13x + 12 = 0
Корни: 1, 12

Задача 6. Решить уравнение:
8x ² — 30x + 7 = 0
Корни: 3.2 — 4ac}}{2a}$

Квадратные уравнения на нашем математическом форуме

Задачи на квадратные уравнения
Задачи по формулам Виета
Решение уравнений кубической и четвертой степени — 1

Форумы, посвященные квадратным уравнениям

%PDF-1.4 % 388 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 388 168 0000000016 00000 н 0000004866 00000 н 0000004980 00000 н 0000006585 00000 н 0000006913 00000 н 0000007027 00000 н 0000007382 00000 н 0000007764 00000 н 0000012310 00000 н 0000012667 00000 н 0000012938 00000 н 0000013050 00000 н 0000013307 00000 н 0000013478 00000 н 0000013787 00000 н 0000014139 00000 н 0000014695 00000 н 0000015083 00000 н 0000015465 00000 н 0000015902 00000 н 0000020121 00000 н 0000020391 00000 н 0000020580 00000 н 0000020843 00000 н 0000021107 00000 н 0000021196 00000 н 0000021801 00000 н 0000021970 00000 н 0000022342 00000 н 0000022781 00000 н 0000022964 00000 н 0000023082 00000 н 0000023582 00000 н 0000023775 00000 н 0000027838 00000 н 0000028203 00000 н 0000028436 00000 н 0000033482 00000 н 0000033754 00000 н 0000033884 00000 н 0000034456 00000 н 0000034752 00000 н 0000034916 00000 н 0000035294 00000 н 0000035850 00000 н 0000036043 00000 н 0000036306 00000 н 0000036587 00000 н 0000036727 00000 н 0000039197 00000 н 0000039532 00000 н 0000039935 00000 н 0000044013 00000 н 0000044463 00000 н 0000044874 00000 н 0000045177 00000 н 0000045264 00000 н 0000050093 00000 н 0000050403 00000 н 0000050584 00000 н 0000050989 00000 н 0000051191 00000 н 0000055739 00000 н 0000056221 00000 н 0000056385 00000 н 0000056655 00000 н 0000057012 00000 н 0000060099 00000 н 0000064373 00000 н 0000064540 00000 н 0000064798 00000 н 0000069033 00000 н 0000069396 00000 н 0000069806 00000 н 0000070324 00000 н 0000070686 00000 н 0000070919 00000 н 0000071307 00000 н 0000071655 00000 н 0000072073 00000 н 0000072445 00000 н 0000077290 00000 н 0000081743 00000 н 0000087153 00000 н 0000112495 00000 н 0000113277 00000 н 0000113402 00000 н 0000116210 00000 н 0000118378 00000 н 0000120651 00000 н 0000121294 00000 н 0000122976 00000 н 0000123803 00000 н 0000125315 00000 н 0000150888 00000 н 0000151622 00000 н 0000152509 00000 н 0000157047 00000 н 0000157082 00000 н 0000157160 00000 н 0000171703 00000 н 0000172034 00000 н 0000172100 00000 н 0000172216 00000 н 0000172251 00000 н 0000172329 00000 н 00001^{00000 н
00001}

00000 н 00001

00000 н 0000191947 00000 н 0000192341 00000 н 0000192494 00000 н 0000192900 00000 н 0000193155 00000 н 0000193652 00000 н 0000193957 00000 н 0000194278 00000 н 0000194372 00000 н 0000195070 00000 н 0000195344 00000 н 0000195653 00000 н 0000195740 00000 н 0000196393 00000 н 0000196656 00000 н 0000196959 00000 н 0000197152 00000 н 0000197605 00000 н 0000197915 00000 н 0000198326 00000 н 0000198765 00000 н 0000199154 00000 н 0000199490 00000 н 0000199820 00000 н 0000200238 00000 н 0000200716 00000 н 0000201026 00000 н 0000201434 00000 н 0000201858 00000 н 0000203231 00000 н 0000203568 00000 н 0000203948 00000 н 0000204430 00000 н 0000204764 00000 н 0000205082 00000 н 0000206483 00000 н 0000206783 00000 н 0000246506 00000 н 0000246545 00000 н 0000249656 00000 н 0000249695 00000 н 0000252806 00000 н 0000252845 00000 н 0000253690 00000 н 0000253755 00000 н 0000256049 00000 н 0000256114 00000 н 0000256454 00000 н 0000256764 00000 н 0000257141 00000 н 0000257547 00000 н 0000258049 00000 н 0000258471 00000 н 0000258549 00000 н 0000258817 00000 н 0000258895 00000 н 0000259163 00000 н 0000003656 00000 н трейлер ]/предыдущая 761871>> startxref 0 %%EOF 555 0 объект >поток h ΤPUaeѽ»X,rE:#4`ԸA]`eJd@rAǑՉqLj:/Ϝ9=9s Ln

Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы — алгебра среднего уровня

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Решение квадратных уравнений с использованием квадратичной формулы
Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения
Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Оценить, когда и
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, дополняя квадрат, мы каждый раз делали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ «да».Математики ищут закономерности, когда делают что-то снова и снова, чтобы облегчить себе работу. В этом разделе мы выведем и используем формулу для нахождения решения квадратного уравнения.

Мы уже видели, как решить формулу для определенной переменной «вообще», так что мы проделаем алгебраические шаги только один раз, а затем используем новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы пройдем этапы заполнения квадрата, используя общую форму квадратного уравнения, чтобы решить квадратное уравнение для x.

Начнем со стандартной формы квадратного уравнения и решим его для x , заполнив квадрат.

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения вида ах ² + bx + с = 0, где находятся по формуле:

Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения a , b и c из стандартной формы в выражение в правой части формулы.Тогда упростим выражение. Результатом является пара решений квадратного уравнения.

Обратите внимание, что формула представляет собой уравнение. Убедитесь, что вы используете обе части уравнения.

Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

Решите с помощью квадратичной формулы:

Решите с помощью квадратичной формулы: .

Решите квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.

Запишите квадратное уравнение в стандартной форме: x ² + b x + c = 0. Определите значения a , b и c 90.
Напишите квадратную формулу. Затем замените значения на , на b и на .
Упростить.
Проверьте решения.

Если вы произносите формулу, когда пишете ее в каждой задаче, вы быстро ее запомните! И помните, квадратичная формула — это УРАВНЕНИЕ.Убедитесь, что вы начали с « x =».

Решите с помощью квадратичной формулы:

Решите с помощью квадратичной формулы: .

Когда мы решали квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня, мы иногда получали ответы, содержащие радикалы. Это может произойти и при использовании квадратичной формулы. Если мы получаем радикал в качестве решения, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Решите с помощью квадратичной формулы: .

Когда мы подставляем на , b и на в квадратную формулу, а подкоренное число отрицательное, квадратное уравнение будет иметь мнимые или комплексные решения. Мы увидим это в следующем примере.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Решите с помощью квадратичной формулы: .

Помните, что для использования квадратичной формулы уравнение должно быть записано в стандартной форме: x ² + bx + c = 0. Иногда нам нужно будет выполнить некоторые алгебраические вычисления, чтобы привести уравнение к стандартной форме. форме, прежде чем мы сможем использовать квадратную формулу.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Наш первый шаг — привести уравнение в стандартную форму.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы очищали дроби, умножая обе части уравнения на ЖК-дисплее. Это дало нам эквивалентное уравнение — без дробей — для решения. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Наш первый шаг — очистить дроби.

Решите с помощью квадратичной формулы: .

Подумайте об уравнении ( x — 3) ² = 0. Из свойства нулевого произведения мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение,

х = 3.

В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения, стандартная форма которого представляет собой точный квадратный трехчлен, равный 0, дает только одно решение.Обратите внимание, что после упрощения подкоренной дроби оно становится равным 0, что приводит только к одному решению.

Решите с помощью квадратичной формулы:

Знаете ли вы, что 4 x ² − 20 x + 25 является совершенным квадратным трехчленом. Это эквивалентно (2 x − 5) ² ? Если вы решите

4 x ² − 20 x + 25 = 0, разложив на множители и затем используя свойство квадратного корня, вы получите тот же результат?

Решите с помощью квадратичной формулы:

Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два действительных решения, одно действительное решение, а иногда два комплексных решения. Есть ли способ предсказать количество и тип решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения?

Да, выражение под радикалом квадратной формулы позволяет нам легко определить количество и тип решений. Это выражение называется дискриминантом.

Дискриминант

Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в некоторых примерах, а также на количество и тип решений этих квадратных уравнений.

Использование дискриминанта, b ² − 4 ac , для определения количества и типа решений квадратного уравнения

Для квадратного уравнения вида ах ² + bx + с = 0,

Если b ² − 4 ac > 0, уравнение имеет 2 действительных решения.
, если b ² − 4 ac = 0, уравнение имеет 1 действительное решение.
, если b ² − 4 ac < 0, уравнение имеет 2 комплексных решения.

Определите количество решений каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

Чтобы определить количество решений каждого квадратного уравнения, посмотрим на его дискриминант.

ⓐ

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть 2 действительных решения.

ⓑ

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных решения.

ⓒ

Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 действительное решение.

Определите количество и тип решений каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

Определите количество и тип решений каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Мы суммируем четыре метода, которые мы использовали для решения квадратных уравнений ниже.

Методы решения квадратных уравнений

Факторинг
Свойство квадратного корня
Завершение квадрата
Квадратичная формула

Учитывая, что у нас есть четыре метода решения квадратного уравнения, как решить, какой из них использовать? Факторинг часто является самым быстрым методом, поэтому мы пробуем его в первую очередь. Если уравнение или мы используем свойство квадратного корня. Для любого другого уравнения, вероятно, лучше всего использовать квадратную формулу.Помните, что вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод.

Как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают его не использовать. Нам нужно было включить его в список методов, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы вывести квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс заполнения квадрата в других областях алгебры.

Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.

Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные факторы легко, этот метод очень быстро.
Далее попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или его можно легко решить с помощью свойства Square Root.
Используйте квадратичную формулу . Любое другое квадратное уравнение лучше всего решать с помощью квадратной формулы.

В следующем примере эта стратегия используется для определения способа решения каждого квадратного уравнения.

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

ⓐ

Поскольку уравнение находится в наиболее подходящем методе, это использовать свойство квадратного корня.

ⓑ

Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой точный квадратный трехчлен, поэтому наиболее подходящим методом будет факторинг.

ⓒ

Хотя нашей первой мыслью может быть попытка факторинга, размышления обо всех возможностях метода проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода.

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения.

ⓐⓑⓒ

ⓐ Квадратичная формула;

Ключевые понятия

Квадратичная формула
Решения квадратного уравнения вида ах ² + bx + с = 0 находятся по формуле:
Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.
Напишите квадратное уравнение в стандартной форме: x ² + b x + c = 0. Найдите значения a , b , b , c .
Напишите квадратную формулу. Затем замените значения на , на b , на .
Упростить.
Проверьте решения.
Использование дискриминанта, b ² − 4 ac , для определения количества и типа решений квадратного уравнения
Для квадратичного уравнения формы AX ² + BX + C = 0, C = 0,
, если B ² — 4 AC > 0, уравнение имеет 2 реальных решения.
, если b ² − 4 ac = 0, уравнение имеет 1 действительное решение.
, если b ² − 4 ac < 0, уравнение имеет 2 комплексных решения.
методов решения квадратных уравнений:
Факторинг
Свойство квадратного корня
Завершение квадрата
Квадратичная формула
Как определить наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.
Сначала попробуйте факторинг. Если квадратичные факторы легко, этот метод очень быстро.
Далее попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме x ² = k или a ( x − h ) ² = k , его можно легко решить с помощью свойства Root.
Используйте квадратичную формулу . Любое другое квадратное уравнение лучше всего решать с помощью квадратной формулы.

Практика делает совершенным

Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы

В следующих упражнениях решите с помощью квадратичной формулы.

Использование дискриминанта для предсказания числа действительных решений квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите количество действительных решений для каждого квадратного уравнения.

Определение наиболее подходящего метода решения квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (факторинг, вычисление квадратного корня или формула квадратного уравнения) для решения каждого квадратного уравнения. Не решить.

Письменные упражнения

Решить уравнение

ⓐ заполнив квадрат

ⓑ с использованием квадратичной формулы

Решить уравнение

ⓐ заполнив квадрат

ⓑ с использованием квадратичной формулы

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

дискриминант: В квадратной формуле величина b ² − 4 ac называется дискриминантом.

Формула, Правила, Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант широко используется в случае квадратных уравнений и используется для нахождения характера корней.Хотя найти дискриминант для любого многочлена не так просто, существуют формулы для нахождения дискриминанта квадратных и кубических уравнений, которые облегчают нашу работу.

Давайте узнаем больше о дискриминанте и его формулах, а также поймем связь между дискриминантом и природой корней.

Что такое дискриминант в математике?

Дискриминант многочлена в математике является функцией коэффициентов многочлена. Полезно определить тип решений полиномиального уравнения, не находя их. т. е. он различает решения уравнения (как равные и неравные; действительные и недействительные), отсюда и название «дискриминант». Обычно его обозначают Δ или D. Значением дискриминанта может быть любое действительное число (т. е. положительное, отрицательное или 0).

Дискриминантная формула

Дискриминант (Δ или D) любого полинома выражается через его коэффициенты.Вот дискриминантные формулы для кубического уравнения и квадратного уравнения.

Давайте посмотрим, как использовать эти формулы для нахождения дискриминанта.

Как найти дискриминант?

Чтобы найти дискриминант кубического уравнения или квадратного уравнения, нам достаточно сравнить данное уравнение с его стандартной формой и сначала определить коэффициенты. Затем подставляем коэффициенты в соответствующую формулу, чтобы найти дискриминант.{2}-4 а в}}{2 а}\). Здесь выражение, которое находится внутри квадратного корня квадратной формулы, называется дискриминантом квадратного уравнения . Квадратичная формула с точки зрения дискриминанта: x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$.

Пример: Найти дискриминант квадратного уравнения 2x ² — 3x + 8 = 0.

Сравнивая уравнение с ax ² + bx + c = 0, мы получаем a = 2, b = -3 и c = 8. Таким образом, дискриминант равен
. Δ ИЛИ D = b ² — 4ac = (-3) ² — 4(2)(8) = 9 — 64 = -55 .

Дискриминант кубического уравнения

Дискриминант кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0 выражается через a, b, c и d. то есть

Δ или D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d 9002c + ^{2
ab}

Пример: Найти дискриминант кубического уравнения x ³ — 3x + 2 = 0.

Сравнивая уравнение с ax ³ + bx ² + cx + d = 0, мы имеем a = 1, b = 0, c = -3 и d = 2.Итак, его дискриминант равен

.
Δ или D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d ² + 18abcd
= (0) ² (-3) ² — 4(1)(-3) ³ — 4(0) ³ (2) — 27(1) ² (2) ² + 18(1)(0)(-3)(2)
= 0 + 108 — 0 — 108 + 0
= 0
Дискриминант и природа корней
Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 — это значения x, которые удовлетворяют уравнению. Их можно найти по квадратичной формуле: x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$. Хотя мы не можем найти корни, просто используя дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом.
Если дискриминант положительный
Если D > 0, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это связано с тем, что при D > 0 корни задаются как x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {Положительное число}}}{2 a}$ и квадратный корень из положительного число всегда приводит к действительному числу.Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения больше 0, оно имеет два корня, которые являются различными и действительными числами.
Если дискриминант отрицательный
Если D < 0, квадратное уравнение имеет два различных комплексных корня. Это связано с тем, что при D < 0 корни задаются как x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {Отрицательное число}}}{2 a}$ и квадратный корень из отрицательного число всегда приводит к мнимому числу. Например, $\sqrt{-4}$ = 2i. Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения меньше 0, оно имеет два корня, которые являются различными и комплексными числами (недействительными).
Если дискриминант равен нулю
Если D = 0, квадратное уравнение имеет два равных действительных корня . Другими словами, когда D = 0, квадратное уравнение имеет только один действительный корень. Это связано с тем, что при D = 0 корни задаются как x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {0}}}{2 a}$, а квадратный корень из 0 равен 0 , Тогда уравнение превращается в x = -b/2a, который является только одним числом. Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, оно имеет только один действительный корень.
Корень — это не что иное, как координата x точки пересечения x квадратичной функции.График квадратичной функции в каждом из этих 3 случаев может быть следующим.
Важные примечания о дискриминанте:
Похожие темы:
Часто задаваемые вопросы о дискриминанте
Что означает дискриминант?
Дискриминант в математике определяется для многочленов и является функцией коэффициентов многочленов. Он говорит о природе корней или, другими словами, различает корни.Например, дискриминант квадратного уравнения используется для нахождения:
Сколько у него корней?
Являются ли корни реальными или ненастоящими?
Что такое дискриминантная формула?
Существуют разные формулы дискриминанта для разных многочленов:
Дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен ∆OR D = b ² − 4ac.
Дискриминант кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0 равен Δ или D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b 2 2 ^{7 −} 3 д ² + 18abcd.
Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?
Чтобы вычислить дискриминант квадратного уравнения:
Определите a, b и c, сравнив данное уравнение с ax ² + bx + c = 0,
Подставляем значения в дискриминантную формулу D = b ² − 4ac.
Что делать, если дискриминант = 0?
Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен 0 (т.е., если b ² — 4ac = 0), то квадратная формула становится x = -b/2a и, следовательно, квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
Что говорит нам положительный дискриминант?
Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 положителен (т. е. если b ² — 4ac > 0), то квадратная формула принимает вид x = (-b ± √(положительное число) ) / 2a и, следовательно, квадратное уравнение имеет только два действительных и различных корня.
Что говорит нам отрицательный дискриминант?
Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 отрицателен (т.е., если b ² — 4ac < 0), то квадратная формула принимает вид x = (-b ± √(отрицательное число)) / 2a, и, следовательно, квадратное уравнение имеет только два комплексных и различных корня.
Какая формула для дискриминанта кубического уравнения?
Кубическое уравнение имеет форму ax ³ + bx ² + cx + d = 0, а его дискриминант выражается через коэффициенты, которые задаются формулой ³ − 4b ³ d − 27a ² d ² + 18abcd.
Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы — Элементарная алгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Решение квадратных уравнений по квадратной формуле
Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения
Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения
Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.
Упрощение: .
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить: .
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить: .
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, дополняя квадрат, мы каждый раз делали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ «да». В этом разделе мы выведем и используем формулу, чтобы найти решение Квадратное уравнение.
Мы уже видели, как решить формулу для определенной переменной «в общем», так что мы должны были бы сделать алгебраические шаги только один раз, а затем использовать новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы пройдем этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Может быть полезно посмотреть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их с числами, а также «в общем».
Это последнее уравнение является квадратичной формулой.
Квадратичная формула
Решения квадратного уравнения вида , находятся по формуле:
Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем всю математику, чтобы упростить выражение. Результат дает решение(я) квадратного уравнения.
Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Если вы произносите формулу, когда пишете ее в каждой задаче, вы быстро ее запомните. И помните, квадратная формула — это уравнение. Убедитесь, что вы начинаете с ‘’.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Когда мы решали квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня, мы иногда получали ответы, содержащие радикалы. Это может произойти и при использовании квадратичной формулы. Если мы получаем радикал в качестве решения, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решение
Мы можем использовать квадратную формулу для решения переменной в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли она « x ».
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем , , и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет действительного решения.Мы увидим это в следующем примере.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Квадратные уравнения, которые мы решали до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме, . Иногда нам нужно будет выполнить некоторую алгебру, чтобы привести уравнение к стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратную формулу.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплее. Это дало нам эквивалентное уравнение — без дробей — для решения. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Подумай над уравнением. Из принципа нулевых продуктов мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение: .
В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решение
Вы узнали, что это идеальный квадрат?
Решите с помощью квадратичной формулы.
Решите с помощью квадратичной формулы.
Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения
Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда никаких действительных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения?
Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений. Эта величина называется дискриминантом.
Дискриминант
В квадратичной формуле величина называется дискриминантом.
Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.
Когда дискриминант положительный квадратное уравнение имеет два решения .
Когда дискриминант равен нулю , квадратное уравнение имеет одно решение .
Когда дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных решений .
Определить количество решений каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒⓓ
ⓐ реальных решений нет ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ реальных решений нет
Определить количество решений каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒⓓ
ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2
Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения
Мы использовали четыре метода решения квадратных уравнений:
Факторинг
Свойство квадратного корня
Завершение квадрата
Квадратичная формула
Вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод.
Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.
Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные факторы легко, этот метод очень быстро.
Далее попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или , его можно легко решить, используя свойство квадратного корня.
Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.
Как насчет способа заполнения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают его не использовать.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы вывести квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс заполнения квадрата в других областях алгебры.
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
Решение
ⓐ
Поскольку уравнение находится в формате , наиболее подходящим методом является использование свойства Square Root.
ⓑ
Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой точный квадратный трехчлен, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.
ⓒ
Приведите уравнение к стандартной форме.
Хотя наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
ⓐ Коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
ⓐ Квадратичная формула ⓑ разложение на множители ⓒ Свойство квадратного корня
Практика делает совершенным
Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы
В следующих упражнениях решите с помощью квадратичной формулы.
Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения
В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.
ⓐ реальных решений нет ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ реальных решений нет
ⓐ 1 ⓑ нет реальных решений
ⓒ 1 ⓓ 2
Определение наиболее подходящего метода решения квадратного уравнения
В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (факторинг, вычисление квадратного корня или формула квадратного уравнения) для решения каждого квадратного уравнения. Не решить.
ⓐ множитель ⓑ квадратный корень
ⓒ квадратичная формула
ⓐ множитель ⓑ квадратный корень
ⓒ множитель
Математика на каждый день
Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для , количество секунд, которое потребуется для вспышки на высоте 640 футов.
Архитектор проектирует вестибюль гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше, чем высота. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.
Письменные упражнения
Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?
ⓐⓑ
ⓒ ответы будут разными
Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.