Как решать уравнения по дискриминанту: Дискриминант. Формула дискриминанта.

2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Алтайский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов по математике и русскому языку. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход, учитывая сильные и слабые стороны. Объясняю сложные темы простым языком, помогаю ученику найти несколько решений для одной задачи. Со мной Ваш ребёнок поймёт и полюбит математику и русский язык.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Могилевский государственный университет имени А. А. Кулешова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Я люблю этот предмет потому что он помогает понять мир, себя и свое отношение к людям, учит делать правильный выбор, в том числе и профессиональный, развивает навыки общения и умение правильно преподнести свою мысль. В своей работе я часто опираюсь на методы проблемного обучения — ведь именно они помогают ученикам перейти к активной творческой деятельности на уроке, вызывают интерес к самостоятельным заданиям и помогают лучше понять материал.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-9 классов. Введу активную методическую работу. Имею опыт в проведении онлайн — уроков. Подготовила детей к олимпиадам и конкурсам. Умею найти общий язык с детьми, быстро осваиваю новые умения и навыки. Имею статьи в профильном журнале. Математика- это будущие нашей планеты, так математика учит логике и последовательность действий. А сейчас без этого никак.

Математика 10 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Решение полных квадратных уравнений

Покажем, как вывести эти формулы:

Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

,
где k =

.

Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

или , где D₁ = (

)² — ac.

Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x² -28x + 49 = 0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

D₁ = (

)² — ac = (-14)² — 4*49 = 196 — 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x = .

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x² -28x + 49 = 0 (2x — 7)² = 0 2x = 7 x =

.

Ответ:

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Умножив обе части уравнения на -6, получим x² + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

.

Ответ: -3,0.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

.

Умножив обе части уравнения на 15, получим:

6x² + 3x = 20x-10 6x² + 3x — 20x + 10 = 0 6x² — 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b² — 4ac = (-17)² — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ:

, 2.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (

= √2), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (

)² — ac = (√2)² — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (

= 3), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² — ac = 3² — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ:

Дискриминант. Теорема Виета

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет «высшее образование» и все снова ищут — «Как решить квадратное уравнение?», «Как найти корни уравнения?», «Как найти дискриминант?» и . 2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни




До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Давайте попробуем разобраться,

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox.
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формуле
График функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах «+, -» или «-, +».
Неполное квадратное уравнение вида
одним из корней всегда имеет точку x=0.
В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.
Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта:

.

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

• D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
• D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
• D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х²

Линейные и квадратные уравнения

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\).

 

Замечание

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

 

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\), при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\).

 

Пример

Уравнение \(\dfrac {10}{x-1}=5\) определено при всех значениях переменной \(x\), кроме \(x=1\), потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).

 

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\), потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac{10}{3-1}=5\) или, что то же самое, \(5=5\), что является верным равенством.

 

Замечание

 

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\).

 

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

 

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения \(x=3\) и \(3x=6+x\) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение \(x=3\).

Эквивалентность уравнений обозначается так: \(x=3 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=6+x\).

 

Свойства уравнений

 

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. 3=64\) является \(x=4\).  

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         —b ± √D
x =  ————,  где D = b² – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x² + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b² – 4ac = 7² – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x₁ = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x₂ = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x₁ = – —,    x₂ = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D₁
x = ————,   где D₁ = k² – ac
             a

Пример. Решим уравнение 5x² – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k² – ac = (-8)² – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D₁       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x₁ = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x₂ = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

примеры решения уравнений. Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

• с помощью факторизации;
• используя формулу для полного квадрата;
• применяя график соответствующей квадратичной функции;
• используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

1. D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
2. D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1 .

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Дискриминант — многозначный термин. 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

• Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел. (1/2).
• Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
• Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант превосходит ноль . Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D

Видео

Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Дискриминант квадратного уравнения — Концепция

Дискриминант является частью квадратной формулы, лежащей под квадратным корнем. Дискриминант квадратного уравнения важен, потому что он сообщает нам количество и тип решений. Эта информация полезна, потому что она служит двойной проверкой при решении квадратных уравнений любым из четырех методов (разложение на множители, завершение квадрата, использование квадратных корней и использование квадратной формулы).

Дискриминант квадратного уравнения является частью квадратной формулы. На самом деле это та часть, которая находится под квадратным корнем. Итак, дискриминация, которую вы услышите, равна b в квадрате минус 4ac, что, надеюсь, вам знакомо, потому что вы знаете формулу квадрата. И на самом деле дискриминант говорит нам, какой тип решения и сколько решений будут иметь наши квадратные уравнения.Это не говорит нам, что они собой представляют. Он просто сообщает нам тип и номер. ХОРОШО?
Как это работает, в основном есть четыре сценария. Я предпочитаю не запоминать их, но я собираюсь пройтись по каждому из них, а затем вы можете использовать логику или запомнить их, чтобы понять их.
Хорошо. Итак, каким же может быть дискриминант? Есть разные варианты. Во-первых, это будет больше нуля и идеальный квадрат. Итак, под этим я подразумеваю 16, 25, любое число больше нуля и идеальный квадрат.
Итак, дискриминант — это то, что находится под квадратным корнем, поэтому, если это идеальный квадрат, вы сможете извлечь из него квадратный корень, а наш квадратный корень исчез из нашей квадратичной формулы. Это говорит нам о том, что у нас есть два рациональных решения. Идеальный квадрат. Вы можете извлечь квадратный корень. Квадратный корень уходит.
Хорошо, дискриминант больше нуля и не является полным квадратом. Итак, это будет, скажем, 10, 20, что-то в этом роде, где мы не можем извлечь квадратный корень.Это говорит нам о том, что мы помещаем его под знак квадратного корня. Наш квадратный корень никуда не исчезнет.
У нас все еще есть квадратный корень из числа, из которого мы можем извлечь квадратный корень, так что в итоге мы получим два иррациональных числа. Итак, у нас есть квадратный корень, и у нас есть плюс квадратный корень, минус квадратный корень. Итак, у нас есть два иррациональных решения.
Дискриманант равен нулю. Хорошо, что это делает с точки зрения нашей квадратичной формулы, так это заставляет весь квадратный корень исчезнуть.Итак, у вас есть плюс-минус квадратный корень из нуля, исчезает, и мы просто остаемся с отрицательным значением b больше 2а.
Итак, в данном случае у нас есть одно рациональное решение, одно дробное решение. И последний сценарий для нашего дискриминанта — он меньше нуля. Хорошо, это означает отрицательное число. Дискриминант отрицателен, что означает, что то, что входит в квадратный корень, отрицательно, что означает, что у нас есть два воображаемых решения.
Квадратный корень из отрицательного числа является мнимым. И поэтому у нас не будет никаких реальных решений; мы просто собираемся иметь воображаемые решения.В ПОРЯДКЕ.
Итак, дискриминант — это то, что стоит под квадратным корнем в квадратной формуле и говорит нам о количестве и типе решений этого квадратного уравнения.
Вы можете запомнить эти четыре разные вещи. В общем, я просто предпочитаю использовать логику, хорошо? Знайте, что такое дискриминант, знайте, что он находится под квадратным корнем, и тогда вы знаете, как ведет себя квадратный корень, достаточно, чтобы иметь возможность вывести их в любое время, когда вам нужно.


Дискриминант в квадратных уравнениях — наглядное пособие с примерами, практическими задачами и бесплатным pdf-файлом для печати

Чтобы понять, что делает дискриминант, важно хорошо понимать: квадратное уравнение: Отвечать

Решение можно представить двумя способами. 2 + \синий bx + \color{зеленый} c $$.

• Графически, поскольку y = 0 является осью x, решение находится там, где парабола пересекает ось x. (работает только для реальных решений) .

На рисунке ниже левая парабола имеет 2 действительных решения (красные точки), средняя парабола имеет 1 действительное решение (красная точка), а самая правая парабола не имеет реальных решений (да, у нее есть мнимые).

Как выглядит дискриминант?

Отвечать

Похоже на .. число.

5, 2, 0, -1 — каждое из этих чисел является дискриминантом для 4-х различных квадратных уравнений.

Что такое дискриминант?

Отвечать

Дискриминант — это число , которое можно вычислить из любого квадратного уравнения. 2 -4 \cdot \red 3 \cdot \color{green} 5 \\ \text{Дискриминант} = \boxed{ 6} $

Что говорит нам эта формула?

Отвечать

Дискриминант сообщает нам следующую информацию о квадратном уравнении:

• Если решение действительное число или мнимое число.
• Является ли решение рациональным или иррациональным.2 + 2x + 1$$.

  Практика 1

  Вычислить дискриминант, чтобы определить количество и характер решений следующего квадратного уравнения: $$y = x² — 2x + 1 $$. 2 -4 \cdot \red 1 \cdot \color{green} 1 \\ &= \в коробке{0} \end{выровнено} $$

  Поскольку дискриминант равен нулю, мы должны ожидать 1 действительное решение, которое вы можете видеть на графике ниже.

  Практика 2

  С помощью дискриминанта найдите характер и количество решений: $$y = x² — x — 2 $$.2 -4 \cdot \red 1 \cdot \color{green} {-2} \\ &= 1 — -8 \\ &= 1 + 8 = \в коробке 9 \end{выровнено} $$

  Поскольку дискриминант положительный и рациональный, у этого уравнения должно быть 2 действительных рациональных решения. Как вы можете видеть ниже, если вы используете квадратичную формулу для поиска фактических решений, вы действительно получаете 2 реальных рациональных решения.

  Практика 3

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 1.2} — 4\цвет{Пурпурный}{(1)}\цвет{Синий}{(-1)} = 4 $$

  Поскольку дискриминант положительный и представляет собой полный квадрат, у нас есть два действительных решения, которые являются рациональными.

  Еще раз, если вы хотите увидеть фактические решения и график, просто посмотрите ниже:

  Практика 4

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 4x — 5. 2} — 4\цвет{Пурпурный}{(1)}\цвет{Синий}{(-5)} \\ 16 — 4(-5) = 16 +20 \\ = 36 $$

  Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения положительный и представляет собой полный квадрат, существуют два рациональных действительных решения.

  Практика 5

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 4x + 5.

  Покажи ответ

  В этом квадратном уравнении y = x² — 4x + 5. 2} — 4\цвет{Пурпурный}{(1)}\цвет{Синий}{(5)} \\ = 16 — 20 = -4 $$

  Поскольку дискриминант отрицателен, у этого квадратного уравнения нет реальных решений. Единственные решения воображаемые.

  Ниже приведен рисунок этого квадратичного графика.

  Практика 6

  Найдите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 4 . 2} — 4\color{Magenta}{(1)}\color{Blue}{(4)} = -16 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения 2i и -2i.

  Ниже приведено изображение графика этого уравнения.

  Практика 7

  Найдите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 25.2} — 4\цвет{Пурпурный}{(1)}\цвет{Синий}{(25)} = -100 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения 5i и -5i.

  Дискриминант

  : Определение и объяснение | Учиться.ком

  Это формула нахождения дискриминанта.

  Использование дискриминанта

  Дискриминант сообщает вам, сколько возможных решений имеет конкретное квадратное уравнение. Прежде чем мы сможем использовать квадратное уравнение, мы сначала должны изменить его на стандартную форму . Стандартная форма – это когда все переменные и константы стоят по одну сторону уравнения, а по другую сторону равен нулю.Выглядит это так:

  Это квадратное уравнение в стандартной форме.

  Получив квадратное уравнение в стандартной форме, вы можете пометить числа соответствующими буквами и подставить значения в формулу для нахождения дискриминанта. Результат вашего дискриминанта говорит вам, сколько решений имеет ваш квадратик.

  Примеры

  Рассмотрим пример:

  Пример 1

  В нашем примере наше квадратное уравнение дает нам 1 для нашей буквы a , 5 для буквы b и 4 для буквы c .Мы берем эти значения и подставляем их на соответствующие места в формуле дискриминанта, и мы обнаружим, что наш дискриминант равен 9, положительному числу. Это говорит нам о том, что наше квадратное уравнение имеет два возможных действительных решения. Реальные решения — это решения, которые можно вычислить по квадратичной формуле. Когда вы начертите это квадратное уравнение, вы увидите, что кривая пересекает ось x в двух местах, именно там, где находятся ваши решения.

  Хотя дискриминант сообщает нам количество возможных решений, он не говорит нам, что это за решения.Но это дает нам представление о том, сколько решений нам нужно искать.

  Помните, что если перед переменными нет чисел, предполагается, что перед ними стоит 1. Мы не пишем 1, потому что это математическое соглашение и потому что это выглядит аккуратнее, особенно когда у вас много букв для работы.

  Давайте посмотрим на другой пример:

  Пример 2

  Мы пометили наши буквы соответствующими значениями.После подстановки соответствующих значений в нашу формулу дискриминанта мы обнаруживаем, что наш дискриминант равен -31, отрицательному числу. Хм… что бы это могло значить? Когда дискриминант отрицателен, это означает, что реальных решений нет. Это означает, что когда вы рисуете уравнение, вы увидите, что оно никогда не пересекает ось x и, следовательно, не имеет реальных решений.

  Возможна еще одна ситуация — когда дискриминант равен 0. Когда вы видите это, это означает, что существует только одно возможное действительное решение. При построении графика уравнение будет касаться оси x только в одной точке.

  Вот таблица, которая поможет вам запомнить возможные дискриминантные ситуации и их значение:

  Дискриминант	Количество решений
  > 0	Два действительных решения
  = 0	Одно реальное решение
  < 0	Нет реальных решений

  Краткий обзор урока

  Подводя итог, дискриминант помогает вам, сообщая, сколько возможных решений имеет квадратное уравнение.Формулу можно найти, ища символ квадратного корня в квадратной формуле. Возможны три сценария. Если дискриминант — положительное число, то существует два действительных решения. Если дискриминант равен 0, то существует только одно действительное решение. Если дискриминант отрицательный, то действительных решений нет.

  Результаты обучения

  После этого урока вы сможете:

  • Дать определение дискриминанту и вспомнить его назначение
  • Объясните, как найти дискриминант
  • Опишите возможные сценарии использования дискриминанта

  Найти значение дискриминанта каждого квадратного уравнения

  Формула : Для квадратного уравнения a x^2 + bx + c  = 0

  Дискриминант (D)  =   b ^2 — 4 ac

  1)

  6к^2 + 4к + 3 = 0

  Сравните это с квадратичной формой a x^2 + bx + c = 0

  а  = 6,  б  = 4, в  = 3

  Дискриминант (D)  =   b ^2 — 4 ac

                               =  4^2 — 4(6)(3)

  =  16 — 72

                              =  — 56

  2)

  2 р^2 + 1 = 0

  Сравните это с квадратичной формой a x^2 + bx + c = 0

  а  = 2,  б  = 0, в  = 1

  Дискриминант (D)  =   b ^2 — 4 ac

  = 0^2 — 4(2)(1)

  =  0 — 8

                              =  — 8

  3)

  -2b^2 + 3b = 0

  Сравните это с квадратичной формой a x^2 + bx + c = 0

  а  = -2,  б  = 3, в  = 0

  Дискриминант (D)  =   b ^2 — 4 ac

  = 3^2 — 4(-2)(0)

  =  9 — 0

                              =  9

  4)

  3n^2 — 3n — 6 = 0

  Сравните это с квадратичной формой a x^2 + bx + c = 0

  а  = 3,  б  = -3, в  = — 6

  Дискриминант (D)  =   b ^2 — 4 ac

  = (-3^2) — 4(3)(-6)

  =  9 + 72

                               =  81

  Ответ :

  1) Опция D

  2) Опция D

  3) Опция В

  4) Опция D

  Дискриминант кубического уравнения

  Дискриминант квадратного уравнения

  a x ² + bx + c = 0

  это

  Δ = b ² – 4 ac .

  Если дискриминант Δ равен нулю, уравнение имеет двойной корень, т. е. существует уникальное число x , которое делает уравнение нулевым, и оно дважды считается корнем. Если дискриминант отличен от нуля, то имеются два различных корня.

  Кубические уравнения также имеют дискриминант. Для кубического уравнения

  a x ³ + bx ² + cx + d = 0

  дискриминант равен

  Δ = 18 abcd – 4 b ³ d + b ²c² – 4 ac³ – 27 a ² 9.3032 ² 9.301 ²

  Если Δ = 0, уравнение имеет кратный корень, в противном случае оно имеет три различных корня.

  Замена переменной может привести общее кубическое уравнение к так называемому «депрессивному» кубическому уравнению вида

  x ³ + пикселей + q = 0

  , в этом случае дискриминант упрощается до

  .

  Δ = – 4 p³ – 27 q ².

  Вот пара интересных соединений. Идея сведения кубического уравнения к депрессивному кубическому восходит к Кардано (1501–1576).То, что в этом контексте называется вдавленной кубической формой, известно как форма Вейерштрасса (1815–1897) в контексте эллиптических кривых. То есть эллиптическая кривая вида

  у ² = х ³ + ах + б

  Говорят, что

  находится в форме Вейерштрасса. Другими словами, эллиптическая кривая имеет форму Вейерштрасса, если правая часть представляет собой вдавленную кубическую форму.

  Кроме того, эллиптическая кривая должна быть неособой, что означает, что она должна удовлетворять

  4 a³ + 27 b ² ≠ 0.

  Другими словами, дискриминант правой части отличен от нуля. В контексте эллиптических кривых дискриминант определяется как

  .

  Δ = -16(4 а³ + 27 б ²)

  , который аналогичен дискриминанту выше, за исключением коэффициента 16, который упрощает некоторые вычисления с эллиптическими кривыми.

  Примечание к полям

  В контексте решения квадратных и кубических уравнений мы обычно неявно работаем с вещественными или комплексными числами.Предположим, что все коэффициенты квадратного уравнения действительны. Если дискриминант положительный, то имеются два различных действительных корня. Если дискриминант отрицательный, есть два различных комплексных корня, и эти корни являются комплексно-сопряженными друг другу.

  Аналогичные замечания справедливы для кубических уравнений, когда все коэффициенты вещественные. Если дискриминант положительный, существует три различных действительных корня. Если дискриминант отрицателен, существует один действительный корень и комплексно-сопряженная пара комплексных корней.

  В первом разделе я рассматривал только то, равен ли дискриминант нулю, поэтому утверждения не зависят от поля, из которого берутся коэффициенты.

  Для эллиптических кривых нужно работать с различными полями. Могут быть действительные или комплексные числа, а также конечные поля. В большинстве сообщений в блогах, которые я написал об эллиптических кривых, поле представляет собой целые числа по модулю большого простого числа.

  Больше сообщений, связанных с кубическими уравнениями

  Дискриминант

  Дискриминант описывает характеристику корней многочленов.Он отличает разные многочлены одного типа друг от друга.

  Существуют разные дискриминанты, используемые для разных степеней многочленов, но чаще всего вы встретите, особенно в алгебре, b ² — 4ac, который используется для описания числа решений квадратного уравнения. Хотя это только один дискриминант, термин «дискриминант» часто используется для обозначения этого конкретного дискриминанта. Этот дискриминант также используется как часть квадратичной формулы внутри радикала в числителе.

  Если дискриминант меньше 0, то квадратное уравнение не имеет действительного решения. Вы можете запомнить это, вспомнив, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (без использования мнимых чисел). В квадратной формуле дискриминант заключен в радикал, поэтому, если дискриминант отрицателен, вы не сможете вычислить действительное решение.

  Пример

  f(x) = 3x ² — 2x + 2

  а = 3; б = -2; с = 2

  б ² — 4ас = (-2) ² — 4(3)(2)

  = 4 — 24 = -20

  Если дискриминант отрицателен, действительного решения нет.Как видно на рисунке ниже, нулей на графике нет:

  Если дискриминант равен 0, то квадратное уравнение имеет одно решение. Вы можете запомнить это, вспомнив, что квадратный корень из 0 равен 0. Ниже приведен пример этого случая:

  .

  Пример

  f(x) = 4x 2 — 4x + 1

  а = 4 ; б = -4; с = 1

  б 2 — 4ac = (-4) 2 — 4(4)(1)

  = 16 — 16 = 0

  f(x) = 4x 2 — 4x + 1

  Дискриминант равен 0 и существует одно решение при x = &frac12

  Если дискриминант больше 0, то квадратное уравнение имеет два решения. Вы можете запомнить это, вспомнив, что квадратный корень из положительного числа имеет два решения, одно положительное и одно отрицательное, как показано ниже:

  .

  Пример

  f(x) = x 2 — 2x — 3

  а = 1 ; б = -2; с = -3

  б 2 — 4ас = (-2) 2 — 4(1)(-3)

  = 4 + 12 = 16

  Поскольку дискриминант больше 0, существуют два решения: x = -1 или x = 3.

  См. также квадратичную формулу.

  
  

  Дискриминант — Центр академической поддержки

  Что такое дискриминант квадратичной функции и для чего он используется?

  Дискриминант квадратичной функции представляет собой значение, определяемое a, b, и c значениями функции. Это значение скажет нам, сколько решений будет иметь квадратное выражение. Это также позволяет нам выполнить некоторую работу по упрощению квадратичной формулы, прежде чем мы начнем решать.

  Наша стандартная формула для квадратичной функции:

  у = ах ² + бх + с

  Дискриминант равен той части квадратной формулы, которая стоит под корнем (квадратный корень). Вот общая формула для дискриминанта.

  б ² – 4 ак

  Интерпретация дискриминанта

  Получаем дискриминантную формулу из радикала в квадратной формуле.Наши правила о квадратных корнях гласят, что мы не можем иметь отрицательные числа под радикалом, если только мы не хотим работать с мнимым числом i . Нам не нужно будет использовать мнимые числа для нашей работы с дискриминантом.

  Значение дискриминанта говорит вам, имеет ли квадратное уравнение 2 решения, 1 решение или нет действительных решений.

  ·         Если b ² – 4 ac упрощается до положительного числа, то квадратное число имеет 2 решения.

  ·         Если b ² – 4 ac упрощается до 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение.

  ·         Если b ² – 4 ac упрощается до отрицательного числа, то квадратное уравнение не имеет действительных решений.

  Квадратное число, имеющее 2 решения, дважды пересечет ось x .

  Квадратное число, имеющее 1 решение, будет касаться своей вершиной оси x .

  Квадратное число, не имеющее действительных решений, не будет пересекать ось x .

  Например

  Используйте дискриминант, чтобы определить, сколько решений будет иметь квадратное число. Затем используйте квадратичную формулу, чтобы найти эти решения.

  2 х ² + 5 х + 3 = 0

  ·         Шаг 1. Найдите значения для a , b, и c

  o Наша общая формула для квадратного числа: x ² + bx + c = 0,

  §  Это означает, что a = 2, b = 5 и c = 3

  §  Убедитесь, что одна часть уравнения равна нулю. Обычно это можно сделать сложением или вычитанием

  .

  ·         Шаг 2. Подставьте значения для a , b и c в дискриминантную формулу и упростите результат

  o   Дискриминантная формула: b ² – 4 ac

  5 ² – 4(2)(3)

  25 – 24

  1

  ·         Шаг 3. Интерпретация результатов.

  o   Если результат положительный, у нас есть 2 действительных решения

  o   Если результат равен нулю, у нас есть 1 действительное решение

  o   Если результат отрицательный, у нас нет реальных решений (2 мнимых решения)

  § Наш результат — 1, положительное число.Это означает, что у нас будет 2 решения.

  ·         Шаг 4: Подставьте значения a, b, и c в квадратную формулу, чтобы найти решения уравнения.

  Практические задачи

  Используйте дискриминант, чтобы определить, сколько действительных решений будет иметь каждое квадратное уравнение, а затем используйте формулу квадратного уравнения, чтобы найти все существующие решения.