Как извлечь корень третьей степени: Кубический корень

Содержание

Кубический корень

Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Мы знаем, что:

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1³ = 1, 11³= 1331, 21³= 9261, 31³= 26791, 41³= 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Рассмотрим примеры:

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Как посчитать корень третьей степени

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени. Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).Вам понадобится

Чтобы посчитать кореньстепени, воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени. Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).

Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) дробями, то вместо числа 1/3 наберите егоприблизительное значение: 0,33.y.

Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Как вычислить корень третьей степени

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
выполнить математическое действие с дробными степенями.

Число знаков после запятой:

√

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

между 2 и 4.

Оцениваем значениеВероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.

Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
Выполнить вычитание.
К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3 2 + х 3 2 + х 3 2 + х 3

Под извлечением корня из какого-либо числа чаще всего подразумевают нахождение решение уравнения x в степени n = value, соответственно для квадратного корня, число n — это два, для кубического — 3. Чаще всего под результатом и числом подразумеваются вещественные числа.

В программировании нахождение корней используется очень часто. Разберемся, как и какими методами можно эффективно извлекать корни из числа. Вначале рассмотрим, какие способы есть в Python, и определим самый эффективный. Потом более подробно разберём, как можно найти не только квадратный корень из числа, но и кубический, и потом корень n степени.

Способы извлечения корня

В языке программирования Python 3 существует три способа извлечения корней:

Использование функции sqrt из стандартной математической библиотеки math.
Операция возведения в степень **
Применение функции pow(x, n)

Чтобы воспользоваться первым способом, необходимо вначале импортировать sqrt из модуля math. Это делается с помощью ключевого слова import: from math import sqrt . При помощи этой функции можно извлекать только квадратный корень из числа. Приведем пример:

Если же нам нужно вычислить в Python корень квадратный из суммы квадратов, то можно воспользоваться функцией hypot из модуля math. Берется сумма квадратов аргументов функции, из нее получается корень. Аргументов у функции два.

Еще одним, чуть более универсальным методом, будет использование возведения в степень. Известно, что для того, чтобы взять корень n из числа, необходимо возвести его в степень 1/n. Соответственно, извлечение квадратного корня из числа 4 будет выглядеть так:

Последний метод использует функцию pow(value, n). Эта функция в качестве аргумента value возьмет число, которое необходимо возвести в степень, а второй аргумент будет отвечать за степень числа. Как и в предыдущем методе, необходимо использовать дробь, для того, чтобы получить корень числа.

Какой метод быстрее?

Для того, чтобы определить какой же метод предпочтительнее использовать, напишем программу. Замерять время выполнения будем с помощью метода monotonic библиотеки time.

Как видно, самое быстрое решение – использовать **. На втором месте метод sqrt, а pow – самый медленный. Правда, метод sqrt наиболее нагляден при вычислении в Python квадратных корней.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня самым наглядным способом, правда не самым быстрым, будет использование sqrt из модуля math.

Но можно использовать и трюки с возведением в степень 1/2, что тоже будет приводить к нужному результату.

x = value ** (0.5) или x = pow(value, 0.5) .

Кубический корень

Для извлечения кубического корня в Python 3 метод sqrt не подойдет, поэтому воспользуйтесь возведением в степень 1/3:

x = value ** (1./3) или x=pow(value, 1/3) .

Корень n-степени

Корень n-степени из числа в Python извлекается можно получить двумя способами с помощью возведения в степень 1.0/n:

С помощью оператора **.
Используя функцию pow.

Как было проверено выше, оператор ** быстрее. Поэтому его использовать более целесообразно. Приведем пример вычисления кубических корней в Python 3 с помощью этих двух методов:

Корень отрицательного числа

Рассмотрим, как поведут себя функции, если будем брать корень из отрицательного числа.

Как видим, функция sqrt выдаёт исключение.

Теперь посмотрим, что будет при использовании других методов.

Как видно из результата, оператор ** не выдает исключения и возвращает некорректный результат. Функция pow работает корректно. В результате получаем комплексное число 2j, что является верным.

Вывод

В Python существуют два универсальных способа для извлечения корня из числа. Это возведение в необходимую степень 1/n. Кроме того, можно воспользоваться функцией из математического модуля языка, если необходимо извлечь квадратный корень числа.

Все эти методы имеют свои преимущества и недостатки. Самый наглядный это sqrt, но подходит только для квадратный корней из числа. Остальные методы не такие элегантные, но легко могут извлечь корень нужной степени из числа. Кроме того оператор ** оказался наиболее быстрым при тестировании.

Необходимо также помнить про целочисленное деление, неправильное использование которого может приводить к ошибке в вычислении.

Корень 3 степени из 1728. Инженерный калькулятор

Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.

Шаги

Часть 1

Извлечение кубического корня на простом примере

Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.

Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.

Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).

Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.

Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.

Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.{3}=729} , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.

Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.

В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.

В нашем примере: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. {\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.}

Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.{3}=614,1} . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.

Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.

В нашем примере 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 {\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2} . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 {\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07} . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.

Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее.{3}=599,93} , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.{2}}=1$.
Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:
\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]
Ну, и парочка «экзотических примеров»:
\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд.{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562…\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142…\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205…\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236… \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599… \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой.{2}}$:

График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.{3}}$:

Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа

Из этого графика можно сделать два вывода:

Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок.{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным.{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:
\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]
Решение. С первым выражением всё просто:
\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]
Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.
\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]
Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.
Наконец, последнее выражение:
\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.
Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».y».
Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.
Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.
Видео по теме
Обратите внимание
Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.
Полезный совет
Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.
Источники:
корень третий степени
Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel
Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.
При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).
Вам понадобится
калькулятор или компьютер
Инструкция
Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).
Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) дробями, то вместо числа 1/3 наберите его приблизительное значение: 0,33. Чтобы получить большую точность вычислений, необходимо увеличить количество «троек», например, набрать 0,33333333333333. Затем, нажмите кнопку «=».
Чтобы посчитать корень третьей степени на компьютере, воспользуйтесь стандартным калькулятором Windows. Порядок действий полностью аналогичен описанному в предыдущем пункте инструкции. Единственное отличие — это обозначение кнопки возведения в степень. На «компьютерном» калькуляторе она выглядит как x^y.
Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.
Корень 3 степени из 0.25. Кубический корень (извлечение без калькулятора)
Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.
Шаги
Часть 1
Извлечение кубического корня на простом примере
Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.
Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.
Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).
Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.
Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.
Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.{3}=729} , то значение кубического корня из 600 лежит между 8 и 9. Поэтому используйте числа 512 и 729 в качестве верхнего и нижнего пределов ответа.
Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.
В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
В нашем примере: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. {\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.}
Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.{3}=614,1} . Исходное число 600 ближе к 592, чем к 614. Поэтому к последнему числу, которое вы оценили, припишите цифру, которая ближе к 0, чем к 9. Например, таким числом является 4. Поэтому возведите в куб число 8,44.
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.
В нашем примере 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 {\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2} . Это чуть больше исходного числа, поэтому оцените другое (меньшее) число, например, 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 {\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07} . Таким образом, значение кубического корня из 600 лежит между 8,43 и 8,44.
Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее.{3}=599,93} , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.
При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).
Вам понадобится
калькулятор или компьютер
Инструкция
Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).y.
Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.
Корень n-ной степени из числа x — это такое неотрицательное число z, которое при возведении в n-ную степень превращается в x. Определение корня входит в список основных арифметических операций, с которыми мы знакомимся еще в детстве.
Математическое обозначение
«Корень» произошел от латинского слова radix и сегодня слово «радикал» используется как синоним данного математического термина. С 13-го века математики обозначали операцию извлечения корня буквой r с горизонтальной чертой над подкоренным выражением. В 16-веке было введено обозначение V, которое постепенно вытеснило знак r, однако горизонтальная черта сохранилась. Его легко набирать в типографии или писать от руки, но в электронных изданиях и программировании распространилось буквенное обозначение корня — sqrt. Именно так мы и будем обозначать квадратные корни в данной статье.
Квадратный корень
Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.
Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…
Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.
Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.
Кубический корень
Кубический радикал числа x — это такое число z, которое при умножении на себя три раза дает число x. Например, если мы умножим 2 × 2 × 2, то получим 8. Следовательно, двойка является кубическим корнем восьми. Умножим три раза на себя четверку и получим 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно, что четверка является кубическим корнем для числа 64. Существует бесконечная последовательность чисел, кубические радикалы которых являются целыми. Ее начало выглядит как:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…
Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.
Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.
Корень n-ной степени
Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.
Рассмотрим пример
Диагональ квадрата
Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из и в конечном итоге принимает вид:
d = a × sqrt(2).
Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.
Заключение
Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.
Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.
Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.
Что нужно знать о корне произвольной степени?
Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».
Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.
Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.
Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.
Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.
Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».
В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.
Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.
В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?
Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.
А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.
Извлечение кубического корня на калькуляторе
Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?
На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.
А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».
Извлечение кубического корня вручную
Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.
Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?
Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
Выполнить вычитание.
К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.
Наглядный пример вычисления кубического корня
Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.
Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.
15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
Приписать к остатку три нуля.
а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
Снова приписать нули.
а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.
Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.
Необычный способ извлечения кубического корня
Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.
К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.
Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.
Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.
Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.
Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.
Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.
Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.
Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.
Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .
Извлечение квадратного корня
Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.
Пример решения квадратных корней в калькуляторе:
Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.
Квадратный корень из отрицательного числа:
Корень третьей степени
Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).
Корень 3 степени:
Корень степени n
Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).
Корень 4 степени:
Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.
Корень 5 степени с приблизительным результатом:
Корень из дроби
Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.
Квадратный корень из дроби:
Корень из корня
В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.
Пример, как извлечь корень из корня:
Степень в корне
Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.
Квадратный корень из степени:
Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.
Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin
Существование единственного значения кубического корня из числа
Покажем теперь, что из числа a можно извлечь только один кубический корень.
Рассмотрим три разных варианта значений, которые может принимать подкоренное выражение:
Пусть:
Тогда рассмотрим кубический корень из нуля:
Чтобы определить этот корень воспользуемся определением, т.е. найдем такое число, которое при возведении в третью степень даст подкоренное выражение – нуль:
Очевидно, что это число нуль. следовательно, можем заключить, что при извлечении кубического корня, получаем только одно значение, равное нулю.

Теперь рассмотрим положительные значения подкоренного выражения и покажем, что кубический корень из положительного выражения не может быть ни отрицательным числом, ни нулем.
Пусть b – кубический корень из числа a:
Тогда из определения кубического корня:
Так как:
То:
Данное неравенство возможно только при b>0, так как только положительное число в нечетной степени является положительным числом.
Следовательно, кубический корень из положительного числа a является положительным числом.
Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, и обозначим его буквой c. Причем c является положительным числом, так как мы рассматриваем положительные значения подкоренного выражения, и мы доказали, что кубический корень из положительного числа является положительным числом.
Тогда по определению кубического корня:
И:
Вычтем из первого равенства второе:
Воспользуемся формулой разности кубов:
Значит:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
Из первого равенства имеем:
Второе равенство не верно, так как по условию c>0, b>0, а значит:
Следовательно, мы показали, что для положительного подкоренного выражения значение кубического корня – единственное и положительное.

Рассмотрим отрицательные подкоренные выражения:
Рассуждения будут аналогичны рассуждениям для положительных выражений под знаком корня.
Так как:
То:
Данное неравенство возможно только при b<0, так как только отрицательное число в нечетной степени является отрицательным числом.
Следовательно, кубический корень из отрицательного числа a является отрицательным числом.
Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, и обозначим его буквой c. Причем c является отрицательным числом, так как мы рассматриваем отрицательные значения подкоренного выражения, и мы доказали, что кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом.
Тогда по определению кубического корня:
И:
Вычтем из первого равенства второе:
Воспользуемся формулой разности кубов:
Значит:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
Из первого равенства имеем:
Рассмотрим второе равенство:
Так как по условию c<0, b<0, а произведение двух отрицательных чисел – число положительное:
Следовательно:

Итак, мы показали, что для отрицательного подкоренного выражения значение кубического корня – единственное и отрицательное.

Свойство корня третьей степени доказано.

Другие свойства кубического корня можно посмотреть в главе: Свойства корней.
Корень 3 степени из 0. Кубический корень (извлечение без калькулятора)
Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:
Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.
*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.
Мы знаем, что:
Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?
1. Это кубы чисел кратных десяти:
Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.
2. Это свойство чисел при произведении.
Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?
Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.
1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …
То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.
При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.
Покажем соответствие в табличке для всех чисел:
Знания представленных двух моментов вполне достаточно.
Рассмотрим примеры:
Извлечь кубический корень из 21952.
Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.
Извлечь кубический корень из 54852.
Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.
Извлечь кубический корень из 571787.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.
Извлечь кубический корень из 614125.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.
Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.
Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.
После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉
На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.
Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.
Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.
Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.
Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.
Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.
Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .
Извлечение квадратного корня
Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.
Пример решения квадратных корней в калькуляторе:
Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.
Квадратный корень из отрицательного числа:
Корень третьей степени
Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).
Корень 3 степени:
Корень степени n
Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).
Корень 4 степени:
Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.
Корень 5 степени с приблизительным результатом:
Корень из дроби
Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.
Квадратный корень из дроби:
Корень из корня
В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.
Пример, как извлечь корень из корня:
Степень в корне
Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.
Квадратный корень из степени:
Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.
Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin
До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.
Шаги
Разложение на простые множители
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
√(25 х 16)
√25 х √16
5 х 4 = 20
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
= √(49 х 3)
= √49 х √3
= 7√3
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
Рассмотрим другой пример: √88.
= √(2 х 44)
= √ (2 х 4 х 11)
= √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
= 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Вычисление квадратного корня вручную
При помощи деления в столбик
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».
Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.
Заполните прочерки справа.
В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.
Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).
Понимание процесса
Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.
Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.
Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa
Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
Инструкция
Чтобы возвести число в степень 1/3, введите это число, затем нажмите на кнопку возведения в степень и наберите приблизительное значение числа 1/3 — 0,333. Такой точности вполне достаточно для большинства расчетов. Однако точность вычислений очень легко повысить – просто добавьте столько троек, уместится на индикаторе калькулятора (например, 0,3333333333333333).y».
Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.
Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.
Видео по теме
Обратите внимание
Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.
Полезный совет
Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.
Источники:
корень третий степени
Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel
Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.
Корень n-ной степени из числа x — это такое неотрицательное число z, которое при возведении в n-ную степень превращается в x. Определение корня входит в список основных арифметических операций, с которыми мы знакомимся еще в детстве.
Математическое обозначение
«Корень» произошел от латинского слова radix и сегодня слово «радикал» используется как синоним данного математического термина. С 13-го века математики обозначали операцию извлечения корня буквой r с горизонтальной чертой над подкоренным выражением. В 16-веке было введено обозначение V, которое постепенно вытеснило знак r, однако горизонтальная черта сохранилась. Его легко набирать в типографии или писать от руки, но в электронных изданиях и программировании распространилось буквенное обозначение корня — sqrt. Именно так мы и будем обозначать квадратные корни в данной статье.
Квадратный корень
Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.
Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…
Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.
Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.
Кубический корень
Кубический радикал числа x — это такое число z, которое при умножении на себя три раза дает число x. Например, если мы умножим 2 × 2 × 2, то получим 8. Следовательно, двойка является кубическим корнем восьми. Умножим три раза на себя четверку и получим 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно, что четверка является кубическим корнем для числа 64. Существует бесконечная последовательность чисел, кубические радикалы которых являются целыми. Ее начало выглядит как:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…
Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.
Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.
Корень n-ной степени
Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.
Рассмотрим пример
Диагональ квадрата
Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из и в конечном итоге принимает вид:
d = a × sqrt(2).
Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.
Заключение
Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.
Извлечение кубических корней мысленно | Горящая математика

Куб — это число, умноженное на само себя. еще два раза. Например, 3 куба (3 ³) равно 3 × 3 × 3 или 27. Кубический корень — это число, которое в кубе дает заданное число. Например, кубический корень из 27 равен 3.
Вот самый быстрый и простой техника извлечения кубических корней мысленно. Небольшая домашняя работа требуется для этот трюк. Сначала запомните кубики цифр от 1 до 10:
.
1 ³ = 1
2 ³ = 8
3 ³ = 27
4 ³ = 64
5 ³ = 125
6 ³ = 216
7 ³ = 343
8 ³ = 512
9 ³ = 729
10 ³ = 1000
Также имейте в виду «концовки» (или последняя цифра) кубиков.Например, окончание 9 ³ равно 9, потому что 9 ³ = 729. Итак, давайте составим список. Если номер заканчивается на:

0 -> последняя цифра кубического корня равно 0.
1 -> последняя цифра кубического корня составляет 1.
2 -> последняя цифра кубического корня составляет 8.
3 -> последняя цифра кубического корня составляет 7.
4 -> последняя цифра кубического корня составляет 4.
5 -> последняя цифра куба корень 5.
6 -> последняя цифра кубического корня 6.
7 -> последняя цифра кубического корня составляет 3.
8 -> последняя цифра кубического корня составляет 2.
9 -> последняя цифра кубического корня составляет 9.
Их легко запомнить. 1 и 9 (при крайности) являются «самолюбивыми», как и 4, 5 и 6 (в центр). Другие включают «сумму 10»: 2 оканчиваются на 8, 8 заканчиваются на 2, 3 заканчиваются на 7 и 7 оканчиваются на 3.
А теперь как проделать фокус!

Шаг-1: Посмотрите по величине числа тысяч (числа, предшествующие последним трем цифр) слева от запятой и найдите наибольший куб, который равен или меньше числа.Это 1 ^улица часть ответа.
Шаг-2: Для 2 ^и часть (конечная цифра) ответа; посмотри на последнюю цифру число и напишите соответствующий кубический корень для этой «концовки».
Например, вы хотите извлеките кубический корень из 39,304 . Вы бы мысленно разбили его на «39» и «304».
Шаг 1: Возьмите первая часть, то есть ’39’, и найдите самый большой куб, который равен или меньше чем «39». (Вот почему зная кубики числа 1-10 необходимо)
Здесь 39 больше 1 куба, больше 2 кубов, больше 3 кубов, но не больше 4 кубов. В наибольший куб больше 3, поэтому первая цифра двузначного куба корень 3.
Шаг 2: Теперь часть 2 ^-я; посмотрите на последнюю цифру 4. Это то же самое оканчивается как 4 ³. (Вот почему зная необходимы «окончания» кубиков для цифр с 1 по 9)
Следовательно, последняя цифра (единицы) кубический корень равен 4.Итак, кубический корень из 39,304 равен 34.
Другой пример: кубический корень 300 763 =?
1. Посмотрите на величину число тысяч (оставляя последние три цифры), которое составляет 300 и найдите самый большой куб, который равен или меньше числа. Сейчас, 6 ³ = 216 и 7 ³ = 343. Итак, цифра десятков кубического корня равна 6. Это 1 ^{-я часть} ответа.

2. Теперь посмотрим на последний цифра 3. Это то же самое окончание, что и 7 ³, поэтому цифра единиц равна 7.
Следовательно, кубический корень из 300 763 равен 67.
Другой пример: Найдите кубический корень из 456 533 .
1) Величина Число тысяч 456 больше, чем все кубики вверх до 7 куб. Итак, первая цифра кубического корня — 7.

2) Для 2 ^-я цифра ответа; посмотрите последнюю цифру числа, которое равно 3. Мы знаем, оканчиваются ли числа на 3; кубический корень заканчивается на 7.
Следовательно, кубический корень из 456 533 равен 77.
Корень кубический из 778,688 =?
1) Посмотрите на 778. Мы знаем, 9 ³ = 729 и 10 ³ = 1000. Итак, первая цифра кубического корня должна быть 9.

2) Для конечная цифра ответа; посмотрите на последнюю цифру числа, которое 8. Мы знаем, оканчиваются ли числа на 8; кубический корень заканчивается на 2.
Следовательно, кубический корень из 778 688 равен 92.
Корень кубический из 1 601 613 =?
1) Взять 1601.Теперь 11 ³ = 1331 и 12 ³ = 1728, поэтому первые цифры — 11.
2) число заканчивается на 3. Таким образом, последняя цифра кубического корня — 7.
Следовательно, кубический корень из 1601613 составляет 117.

Этот метод работает до 1 000 000 для настоящих кубов.
Как извлечь корень третьей степени
Операции извлечения корня, в которых числа два и три, имеют собственные названия — квадратные и кубические корни.Если у вас есть возможность использовать компьютер, то самый простой способ извлечь корень третьей степени (кубический) из произвольного числа — использовать программный калькулятор ОС.
Инструкция по эксплуатации
1
Нажмите кнопку выигрыша, чтобы развернуть главное меню операционной системы. Пункт, необходимый для запуска нужного приложения («Калькулятор»), может присутствовать в основном разделе этого меню. Если вы его там не видите, откройте подраздел «Все программы» и в нем папку «Стандартные».В этой папке есть подпапка «Утилиты» — откройте ее и выберите именно этот пункт «Калькулятор».
2
Есть и другие способы запустить это приложение. Например, в Windows 7 вы можете открыть главное меню и ввести «калькулятор» в поле «Найти программы и файлы», а затем выбрать строку «Калькулятор» в результатах поиска. В любой версии Windows вы можете нажать win + r, чтобы открыть стандартное диалоговое окно запуска программы, введите calc и нажмите Enter или нажмите OK.
3
В зависимости от версии операционной системы, которую вы используете, в калькуляторе могут быть два варианта вычисления кубического корня.3) и калькулятор рассчитает и покажет результат обратной операции — извлечения кубического корня из введенного числа.
4
В более поздних версиях ОС (например, Windows 7) достаточно ввести число, из которого следует извлекать корень третьей степени градусов , и нажать соответствующую кнопку на экране — там написано ³√x в теме. Перевод калькулятора в «инженерный» интерфейс здесь не требуется.
Вавилонско-шумерский метод извлечения корня
Популярные корни и иррациональные числа
Теперь нетрудно получить корень числа, если корень хороший и четный.Фактически, полезно запомнить связку квадратных корней и несколько более крупных корней для использования в различных математических приключениях. Вот некоторые из наиболее популярных:
Число Квадратный корень Кубический корень 4-й корень 5-й корень Шестой корень
1 1 1 1 1 1
4 2
8 2
9 3
16 4 2
25 5
27 3
32
36 6
49 7
64 8 4 2
81 9 3
100 10
121 11
144 12
Вы заметили, что некоторые столбцы в таблице пусты? Это потому, что эти корни не такие аккуратные.Это странные числа, называемые иррациональными числами , потому что нет рационального способа точно показать их значение с помощью десятичных знаков или дробей. Единственный способ точно выразить их — использовать знак корня (√), показывающий уровень корня, который они представляют. Например, квадратный корень из 8 можно записать как √8.
Но что, если нам нужно использовать в своей работе иррациональные числа? Нам нужно иметь представление о том, насколько они велики, иначе мы не сможем построить график точек, которые включают их, оценить их количество или использовать их в десятичной работе.Так что же нам делать? Ну, обычно мы берем в руки калькулятор, но давайте посмотрим на систему, разработанную вавилоно-шумерским народом Месопотамии.
Оценка квадратных корней
Вавилонско-шумерский метод извлечения корня , также называемый методом Герона, использует метод предположения-деления-среднего для извлечения иррациональных корней. Вы начинаете с некоторого разумного числа в качестве первого предположения, делите исходное число на этот корень, а затем берете среднее значение вашего предположения и результата деления.Среднее значение будет ближе к корню, чем любой из них, и каждый раз, когда вы проходите этот процесс, ваш ответ будет более точным. Давайте попробуем использовать метод квадратного корня из 25 550. Мы начнем со 100 для нашего предположения.
Предположение: 100.
Деление: 25,550 / 100 = 255,5.
Среднее значение: (255,5 + 100) / 2 примерно 178.
Угадай: попробуем 175.
Разделить: 25,550 / 175 = 146.
Среднее значение: 146 + 175 — 160,5.
Угадай: попробуем 160.
Деление: 25,550 / 160 = примерно 159,7! Квадратный корень из 25,550 довольно близок к 160.
Для более высоких корней уровень корня определяет, сколько раз вы делите по своему предположению. Например, давайте найдем кубический (3-й) корень из 25 550.
Предположение: 50.
Разделить: 25,550/50 = 511.
Делим еще раз: 511/50 = 10,22.
Среднее значение: (50 + 50 + 10,22) / 3 = 36,75.
Предположение: 35.
Разделить: 25,550/35 = 730.
Делим еще раз: 730/35 = (примерно) 21.
Среднее значение: (35 + 35 + 21) / 3 = (примерно) 30.
Угадай: попробуем 30.
Разделить: 25,550 / 30 = 852.
Делим еще раз: 852/30 = 28,4.
Среднее значение: (30 + 30 + 28,4) / 3 = около 29,5. Наш кубический корень будет около 29,5.
Извлечем 4-й корень. Какой 4-й корень из 123456?
Предположение: 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000, так что давайте попробуем 20.
Деление: 123,456 / 20 = около 6173.
Делим еще раз: 6173/20 = около 309.
Снова делим (так как это 4-й корень): 309/20 = около 15. Ух ты, мы уже близки!
Среднее значение: (20 + 20 + 20 + 15) / 4 = 18,75. Наш корень будет где-то около 18,75.
Корни и алгоритмы
Алгоритм — это набор шагов, которые будут давать точные результаты, распространенные в математике. Жители Месопотамии известны своей замечательной математической системой с плавающей запятой и основанием 60 (мы используем основание 10).Их метод извлечения корней важен тем, что это точный, повторяемый процесс, который обеспечит столько уровней точности иррационального корня, сколько желает математик. Считается одним из первых примеров надежного математического алгоритма. В то время, когда люди использовали глиняные таблички для выполнения математических операций, эта удобная для компьютера система и метод были реальностью.
Резюме урока
Корень любого числа — это часть этого числа, которую можно умножить само на себя, чтобы вернуться к исходному числу.Квадратный корень умножается сам на себя один раз; кубический (3-й) корень нужно умножить на себя дважды.
Поиск корней, особенно за пределами квадратного корня, может быть очень сложным и трудоемким процессом. Многие корни — это иррациональных чисел , которые нельзя точно выразить в десятичной или дробной форме. Это затрудняет работу с ними и затрудняет их извлечение из исходного числа. Вавилонско-шумерский или метод Герона использует процесс предположения-деления-среднего для быстрого поиска любого корня, который трудно найти, и является ранним примером надежного математического алгоритма .
Поиск корней квадратов, кубических корней и корней n-й степени в Excel
Мощный математический инструментарий Excel включает функции для квадратных корней, кубических корней и даже корней n -й степени.
Наш обзор этих методов будет сосредоточен на ручном вводе формул, но ознакомьтесь с нашим руководством по использованию Excel, если вам нужно освежить в памяти ввод формул для основных функций. Синтаксис функции относится к структуре функции и включает имя функции, скобки, разделители запятых и аргументы.
Эти действия применимы ко всем текущим версиям Excel, включая Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013, Excel 2010, Excel 2019 для Mac, Excel 2016 для Mac, Excel для Mac 2011 и Excel Online.
Как найти корни в Excel
Вычислить квадратный корень . Синтаксис функции SQRT ():
= КОРЕНЬ (число)
 
data-type = «code»>
Для этой функции вы должны указать только аргумент number , который является числом, для которого необходимо найти квадратный корень.Это может быть любое положительное число или ссылка на ячейку, указывающую на расположение данных на листе.
Если для аргумента число введено отрицательное значение, функция SQRT () вернет # ЧИСЛО! Значение ошибки –– поскольку умножение двух положительных или двух отрицательных чисел всегда дает положительный результат, невозможно найти квадратный корень из отрицательного числа в наборе действительных чисел.
Вычислить n корень -й степени .Используйте функцию POWER () для вычисления любого корневого значения:
= МОЩНОСТЬ (число; (1 / n))
 
data-type = «code»>
Для функции POWER () вы предоставите в качестве аргументов как число, так и его показатель степени. Чтобы вычислить корень, просто укажите обратную экспоненту — например, квадратный корень равен 1/2.
Функция POWER () полезна как для степеней, так и для показателей степени. Например:
= МОЩНОСТЬ (4,2)
data-type = «code»>
дает 16, тогда как:
= МОЩНОСТЬ (256; (1/2))
data-type = «code»>
также дает 16, что является квадратным корнем из 256.(1/3) используется для нахождения кубического корня из 216, который равен 6.
Вычислить корни мнимых чисел . Excel предлагает функции IMSQRT () и IMPOWER () для возврата корней и степени мнимых чисел. Синтаксис этих функций идентичен версиям с вещественными числами.
Спасибо, что сообщили нам!
Расскажите, почему!
Другой Недостаточно подробностей Сложно понять
Как вычислить квадратный корень и кубический корень в Microsoft Excel
В этой статье мы узнаем, как вычислить квадратный корень и кубический корень из числа.Мы также найдем корень n-й степени числа с помощью функции POWER в Excel 2016.
x в степени y обозначается как x ^y.
Корень числа обратен степени числа.
Квадрат числа = Степень (2) числа
Квадратный корень числа = степень (½) числа
Функция КОРЕНЬ используется, когда нам нужно найти квадратный корень из число в Excel.
Синтаксис SQRT:
= SQRT (число или ссылка на ячейку)
POWER Функция используется, когда нам нужно узнать экспоненту числа в Excel.
Синтаксис POWER:
= POWER (номер или ссылка на ячейку, 1/3 )
Давайте рассмотрим несколько примеров, как показано ниже
Использование формула, чтобы найти квадратный корень из числа в ячейке B3.
Нажмите Введите , чтобы увидеть квадратный корень из 25.
Квадратный корень 25 равен 5.
Чтобы узнать кубический корень числа, мы воспользуемся функцией POWER .
Запишите формулу в нужную ячейку.
Нажмите клавишу клавиатуры Введите , чтобы увидеть кубический корень числа в ячейке F3.
Кубический корень из 125 равен 5.
Давайте посмотрим ниже, чтобы узнать n-й корень числа с помощью описанного выше метода.
Используйте формулу
Нажмите кнопку Введите , чтобы просмотреть результат
Степень (4) из 5 составляет 625.
Итак, 4-й корень из 625 равен 5.
Вы можете настроить формулу с помощью следующих основные функции. Как видите, используя математическую функцию в Excel, вы можете выполнять множество функций экспонент. Пожалуйста, найдите здесь больше статей по математической формулировке.
Надеюсь, вы поняли эту статью. Поделитесь своим вопросом в поле для комментариев ниже.Мы поможем тебе.
Статьи по теме:
Как использовать функцию SQRT в Excel
Как использовать функцию POWER в Excel
Популярные статьи:
50 Ярлык Excel для повышения производительности
Как использовать VLOOKUP Функция в Excel
Как использовать функцию СЧЁТЕСЛИ в Excel 2016
Как использовать функцию СУММЕСЛИ в Excel
Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня
Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0.если он равен 0:
, где a , b и c — действительные числа и a 0. Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:
Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.
Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.
Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.
Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.
Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:
Двумя решениями являются −2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, что дает форму
Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.
Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:
Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа k ,
Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.
Пример 1: Решить: x2−25 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем примените свойство квадратного корня.
Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.
Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.
Пример 2: Решить: x2−5 = 0.
Решение: Обратите внимание, что квадратное выражение слева не множится. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.
Примените свойство квадратного корня.
Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.
Ответ: Решения — 5 и 5.
Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.
Ответ: Решения — 352 и 352.
Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.
Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.
Ответ: Реального решения нет
Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .
Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.
Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:
Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.
Ответ: x2−12 = 0
Попробуй! Решить: 9×2−8 = 0.
Ответ: x = −223 или x = 223
Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:
Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, путем вычитания 25 из обеих частей.
Коэффициент
, а затем применить свойство нулевого продукта.
Два решения: −7 и 3.
Когда уравнение имеет такую форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.
Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.
Решение: Решите, извлекая корни.
На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.
Ответ: Решения -7 и 3.
В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, не учитывающие множители.
Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем извлеките корни и упростите.
Решите относительно x .
Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.
Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.
Решение: Начните с выделения квадратного множителя.
Примените свойство квадратного корня и решите.
Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.
Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.
Ответ: 15 ± 63
Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
Раствор:
Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:
Решить.
Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку задача запрашивала длину прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.
Обратно подставьте, чтобы найти длину.
Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.
Основные выводы
Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.
Тематические упражнения
Часть A: извлечение квадратного корня
Решите с помощью факторизации, а затем извлеките корни.Проверить ответы.
1. x2−36 = 0
2. x2−81 = 0
3. 4y2−9 = 0
4. 9y2−25 = 0
5. (x − 2) 2−1 = 0
6. (x + 1) 2−4 = 0
7. 4 (y − 2) 2−9 = 0
8. 9 (y + 1) 2−4 = 0
9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0
10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0
11. (x − 5) 2−25 = 0
12. (x + 2) 2−4 = 0
Решите, извлекая корни.
13. x2 = 16
14. x2 = 1
15. y2 = 9
16. y2 = 64
17. x2 = 14
18. x2 = 19
19. y2 = 0,25
20. y2 = 0,04
21. x2 = 12
22. x2 = 18
23. 16×2 = 9
24. 4×2 = 25
25. 2t2 = 1
26.3t2 = 2
27. x2−100 = 0
28. x2−121 = 0
29. y2 + 4 = 0
30. y2 + 1 = 0
31. x2−49 = 0
32. x2−925 = 0
33. y2−0.09 = 0
34. y2−0,81 = 0
35. x2−7 = 0
36. x2−2 = 0
37. x2−8 = 0
38. t2−18 = 0
39. х2 + 8 = 0
40.х2 + 125 = 0
41. 16×2−27 = 0
42. 9×2-8 = 0
43. 2y2−3 = 0
44. 5y2−2 = 0
45. 3×2−1 = 0
46. 6×2−3 = 0
47. (x + 7) 2−4 = 0
48. (x + 9) 2−36 = 0
49. (2y − 3) 2-81 = 0
50. (2у + 1) 2−25 = 0
51. (x − 5) 2−20 = 0
52. (x + 1) 2−28 = 0
53.(3t + 2) 2−6 = 0
54. (3т − 5) 2−10 = 0
55,4 (у + 2) 2−3 = 0
56. 9 (y − 7) 2−5 = 0
57,4 (3x + 1) 2−27 = 0
58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0
59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0
60,5 (2x − 1) 2−3 = 0
61,3 (y − 23) 2−32 = 0
62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0
Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.
63. ± 7
64. ± 13
65. ± 7
66. ± 3
67. ± 35
68. ± 52
69. 1 ± 2
70,2 ± 3
Решите и округлите решения до сотых.
71. 9x (x + 2) = 18x + 1
72. x2 = 10 (x2−2) −5
73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x
74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x
75. (x − 2) 2 = 67−4x
76. (x + 3) 2 = 6x + 59
77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2
78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)
Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.
79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.
80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.
81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.
82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, получится 12. Найдите число.
83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.
84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.
85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)
86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)
87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.
88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.
89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?
90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?
91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.
92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.
93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.
94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.
95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.
96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.
97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.
98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)
100. Высота в футах объекта, падающего с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?
101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?
г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлите до сотых долей секунды.
102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?
г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлить до сотых долей секунды .
Часть B: Обсуждение
103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.
105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.
106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.
ответов
1: −6, 6
3: −3/2, 3/2
5: 1, 3
7: 1/2, 7/2
9: -1, 3
11: 0, 10
13: ± 4
15: ± 3
17: ± 1/2
19: ± 0.5
21: ± 23
23: ± 3/4
25: ± 22
27: ± 10
29: Реального решения нет
31: ± 2/3
33: ± 0,3
35: ± 7
37: ± 22
39: Реального решения нет
41: ± 334
43: ± 62
45: ± 33
47: −9, −5
49: −3, 6
51: 5 ± 25
53: −2 ± 63
55: −4 ± 32
57: -2 ± 336
59: Реального решения нет
61: 4 ± 326
63: x2−49 = 0
65: x2−7 = 0
67: x2−45 = 0
69: x2−2x − 1 = 0
71: ± 0.33
73: ± 5,66
75: ± 7,94
77: ± 3.61
79: −3 или 3
81: −33 или 33
83:22 сантиметра
85:32 сантиметра
87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма
89: −6 + 62≈2,49 ед.
91: 2 шт.
93: 522 дюйма
95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов
97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра
99: 3/4 секунды
101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды
восточноазиатских математиков | Britannica
Текстовые источники
Книги, написанные в Китае с I века до нашей эры по VII век нашей эры, а затем в XIII веке, легли в основу развития математики в Восточной Азии. К ним относятся большинство последующих математических работ. Ссылки, найденные в сохранившихся математических сочинениях этого периода, а также ссылки, сделанные в библиографиях, составленных для династических летописей, указывают на то, что в текстовой записи есть много пробелов.Самые старые из дошедших до нас работ, вероятно, сохранились, потому что они стали официальными книгами, преподаваемыми в контексте китайской системы гражданских экзаменов.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Самая важная работа в истории математики на китайском языке — это Jiuzhang suanshu ( Девять глав математического искусства, ), который содержит арифметические, алгебраические и геометрические алгоритмы, представленные в отношении задач, некоторые из которых вызывают обязанности гражданской администрации: обследование полей (площадей), взимание налогов в соответствии с различными видами зерна (коэффициенты), определение заработной платы государственных служащих в соответствии с их положением в иерархии (неравное распределение), измерение запланированных земляных работ для определения потребностей в рабочей силе и зернохранилищах для определения емкости (объемов) хранения, взимания справедливых налогов (проблемы сочетания различных пропорций) и т. д.Этот сборник I века до н. Э. (Специалисты расходятся во мнениях относительно точной даты его завершения) был восстановлен на основе двух основных источников. Самый старый из сохранившихся экземпляров, который также является старейшей из когда-либо напечатанных книг по математике, датируется 1213 годом. Однако сохранились только первые пять глав. Полная книга, известная сегодня как Девять глав , является результатом филологической работы 18-го века, основанной как на прежнем источнике, так и на исчерпывающих цитатах из китайской энциклопедии 15-го века, Yongle dadian , составленной при императоре Юнлэ (1402 г.) –24).В любом случае, как Евклид Elements , Девять глав собрал и систематизировал многие математические достижения (включая арифметические, геометрические и алгебраические алгоритмы) предыдущих периодов. И, как Элементы на Западе, Девять глав сыграли выдающуюся роль в развитии математики в Восточной Азии. Большинство математиков ссылались на него, и большинство предметов, над которыми они работали, проистекали из него. Его формат, принятый большинством последующих авторов, состоит из задач, для которых дается числовой ответ и общая процедура решения.Как и в случае с любой канонической работой, многие ученые написали комментарии к Девять глав , добавив объяснения и доказательства, переписав процедуры и предложив новые. Самый важный из сохранившихся комментариев, приписываемый Лю Хуэю (III век), содержит самые ранние китайские математические доказательства в современном понимании.
В течение 7-го века, некоторые другие книги были собраны вместе с Девять глав и ханьским астрономическим трактатом Zhoubi («Гномон Чжоу») группой под руководством имперского математика и астронома Ли Чуньфэн.Этот сборник, известный как Shibu suanjing («Десять классиков математики»), стал руководством для чиновников, прошедших обучение в недавно созданном офисе математики. Хотя некоторые люди продолжали получать официальную подготовку в качестве математиков после этого, никаких достижений в математике нельзя было зарегистрировать до 11 века. В то время (1084 г.) были отредактированы и напечатаны «Десять классиков», что, по-видимому, было связано с возобновлением деятельности в математике в XI и XII веках.Эта деятельность известна только из более поздних цитат, но, вероятно, она открыла путь к крупным достижениям во второй половине 13 века. В то время Китай был разделен на Север и Юг, и достижения математиков в обоих регионах известны: на юге — Цинь Цзюшао и Ян Хуэй, а на севере — Ли Е и Чжу Шицзе. Математические исследования на Севере и Юге, кажется, развивались независимо, но они свидетельствуют об общей основе.
Хотя некоторые основные работы 13 века записаны в Yongle dadian , математические знания быстро ухудшились, о чем свидетельствуют комментарии к этим книгам, написанные к концу 15 века, которые показывают, что их больше не понимали.К 17 веку было доступно несколько древнекитайских математических работ. После этого, когда китайские ученые узнали о европейских достижениях, они начали искать такие работы по всей стране и стремились их интерпретировать.

Число	Квадратный корень	Кубический корень	4-й корень	5-й корень	Шестой корень
1	1	1	1	1	1
4	2
8		2
9	3
16	4		2
25	5
27		3
32
36	6
49	7
64	8	4			2
81	9		3
100	10
121	11
144	12

РубрикаРазное