Интервальные последовательности – Интервалы в музыке по сольфеджио

Интервалы в музыке по сольфеджио

Интервалы в музыке по сольфеджио – это базовая основа, которая обеспечивает произведению композиционную гармонию и выступает как материал для построения базы игры на инструменте. Интервальный состав аккордов для сольфеджио представляет собой тот базовый костяк, на котором зиждется все обучение музыкальной грамоте. Просто изучать нотный стан не нужно, необходимо понимать и воспринимать такое определение, как интервалы в сольфеджио. Понятие типа урока несет в себе описание процесса групповой работы, совместно педагога и учеников.

Таблица интервалов в музыке по сольфеджио

Интервалы и аккорды в сольфеджио имеют немаловажное значение в построении мелодической и гармонической композиции произведения. Промежутком мы можем назвать сочетание минимум двух созвучий, которые формируют звук, но уникальность данного понятия в том, что можно сыграть эти два звука как вместе, так и раздельно. Если вместе, то такой порядок чередования будет нести название гармонического, или мелодического, если играть их вместе.

Как выглядит таблица интервалов в музыке по сольфеджио:

Название базовой структуры Как обозначается Ступени (количество) Полутона (количество) Тона (количество)

  • Прима чист. Ч. 1 1 0 0;
  • Секунда малая М. 2 2 1 ½;
  • Секунда большая Б. 2 2 1;
  • Терция малая М. 3 3 3 1 ½;
  • Терция большая Б. 3 4 2;
  • Кварта чист. Ч. 4 4 5 2 ½;
  • Кварта увеличенная УВ. 4 6 3;
  • Квинта уменьшенная УМ. 5 5;
  • Квинта чист. Ч. 5 7 3 ½;
  • Секста малая М. 6 6 8 4;
  • Секста большая Б. 6 9 4 ½;
  • Септима малая М. 7 7 10 5;
  • Септима большая Б. 7 11 5 ½;
  • Октава чист. Ч. 8 8 12 6.

Изучая интервалы для детей по сольфеджио необходимо брать самые легкие и узнаваемые мелодии, которые бывают у них на слуху, для того, чтобы они могли сравнивать оригинальное звучание и проигрываемое, тогда обучение будет более понятным. Так же используют, изучая интервалы в музыке по сольфеджио видео, которые можно изучить на сайте.

Для более качественного понимания опишем некоторые примеры, так прима содержит в себе ноль тонов, октава состоит из шести, кварта только два с половиной тона, тогда как квинта равна трем с половиной. Секунды могут быть исключительно большими, малыми (сюда относим сексты, септимы, терции), паузы чистого порядка описываются как октава чистая или кварта чистая. Важно научиться использовать сокращения, что качественно улучшает скорость изучения, так, например, квинта чистая обозначается как Ч 5, а терция большая – Б 3, септима малая – М 7, и так далее по таблице.

Интервалы в сольфеджио

Когда звуки интервалов в сольфеджио движутся и изменяются по высоте стояния, изменяя ступени и используя скачки, возможно и повторение некоторых звуков, но на одинаковой высоте стояния, это называют интервальное сольфеджио. После качественного восприятия этого понятия ученики могут складывать общую композицию предложенного музыкального произведения. Задания на интервалы по сольфеджио должны включать сравнения нескольких композиций, потому как это будет развивать определение тонов и полутонов на звук.

Так как изучаемое понятие — это своеобразная пауза или промежуток, то ясно, что интервалы имеют свои свойства, например:

  • Свойство величины ступеневой – это обозначение, подразумевающее, что зависимость ступеней музыкального произведения включает в себя один или несколько промежутков, в данном варианте мы считаем и воспроизводимые звуки.
  • Величина тонового класса, охватывает только промежутки конкретного назначения, здесь мы высчитываем общий объем полутонов или тонов, которые он в себе содержит.

Помимо этих определений могут звучать соответственно количественные и качественные величины, оставляя за собой ту же суть определения.

Интервальные звуки чередуются промежутками, которые имеют названия числительных латинского языка.

Интервальная цепочка по сольфеджио

Интервальная последовательность в сольфеджио включает чистые, большие, малые, уменьшенные или увеличенные промежутки. Это дает новое понятие – тоновый состав. К ним мы можем присоединить характерные классификации большой терции, септимы малой, чистой квинты и тому подобное. Интервальная цепочка по сольфеджио состоит из нот, тоновое число которых необходимо для запоминания. Поэтому педагоги часто обращаются к помощи музыкальных диктантов, которые помогают изучать и воспринимать интервалы в двухголосии по сольфеджио.

Интервальная цепочка по сольфеджио в ми мажоре — понятие, которое определяет необходимую тональность, в которой необходимо записать промежутки. Например, цепочка аккордов Iб 3, Iб 2, VIIум 5, Iб 3, в данном случае ми мажора, будет выглядеть как ми-соль#, ми-фа#, ре#-фа#-ля, ми-соль#. Или еще один пример, цепочка T 6, S 53, D 64, T 6 преображается в соль#-си–ми, ля-до#-ми, фа#-си-ре#, соль#-си-ми.

Качественные групповые занятия музыкой преподаватель обязан выстраивать грамотно, предлагая не только самостоятельно определять на слух промежутки и их содержимое с характеристиками, но и закреплять материал дополнительными диктантами, начиная от самых простых композиций, постепенно обращаясь к более сложным для формирования восприятия на слух.

 

shkolamuzyki.ru

Интервал в музыке. Таблица интервалов :: SYL.ru

Каждый начинающий или уже более-менее знакомый с основами теории музыки и сольфеджио музыкант в обязательном порядке должен знать, что такое интервал в музыке. Если разобраться, он является основным элементом для построения многих разновидностей ладов, гамм, трезвучий и аккордов. Рассмотрим основной интервальный ряд подробнее.

Что такое интервал в музыке?

Если исходить из общепринятого определения, интервалом принято называть расстояние (промежуток) или разницу в звучании между двумя ступенями (нотами). Высота интервала определяется по количеству сочетаний «тон/полутон», принятому в международной классификации.

Исходя из этого, нетрудно определить, что половина тона соответствует малой секунде, а один тон – большой. Так что при построении гаммовых и ладовых последовательностей именно секунда является базовым элементом. Но об этом несколько позже.

Не говоря о количестве тонов и полутонов, которые присутствуют в основных интервалах, стоит отметить, что они могут звучать на слух одинаково, но иметь разные названия. Так, например, совершенно одинаково слышатся большая терция и уменьшенный кварта-интервал. Хотя количество полутонов в них одинаковое, ступени звукоряда, используемые для их построения, разные.

Отдельно стоит обратить внимание и на то, что различают мелодические и гармонические интервалы. Разница состоит в том, что такие интервалы в музыке сольфеджио трактует в первом случае как последовательное исполнение нот, во втором – одновременное. Например, если на фортепианной клавиатуре мы сначала играм ноту «до», а затем «фа», получается мелодический интервал кварта. Если же клавиши нажимаются одновременно, мы имеем дело с гармоническим интервалом.

Принципы построения интервалов

Как уже понятно, основная последовательность стандартных интервалов (исключая их некоторые типы) строится по принципу добавления полутона или малой секунды. Сюда не входит интервал прима, поскольку он представляет собой две одинаковые по высоте ноты, звучащие в унисон, и по величине не содержит ни одного полутона.

Поскольку сейчас идет речь об основных интервалах, знания о которых входят в начальный курс сольфеджио (от примы до октавы), можно отметить, что теория музыки интервалы такого типа не рассматривает, все внимание сконцентрировано на тех типах, которые больше октавы, скажем, нона, децима и т. д. Но для начального понимания интервалов мы ограничимся стандартным рядом.

Таблица интервалов (основных)

Итак, сейчас мы рассмотрим основной интервальный ряд, который является базовым для всех ладов, гамм, трезвучий и аккордов.

Название

Виды

Обозначение

Количество полутонов

Прима

Только чистая

ч1

0

Секунда

Малая

м2

1

Большая

б2

2

Терция

Малая

м3

3

Большая

б3

4

Кварта

Только чистая

ч4

5

Квинта

Только чистая

ч5

7

Секста

Малая

м6

8

Большая

б6

9

Септима

Малая

м7

10

Большая

б7

11

Октава

Только чистая

ч8

12

Как уже заметно, таблица интервалов содержит небольшую ошибочку. В ней отсутствует значение, соответствующее интервалу, содержащему 6 полутонов. Это либо увеличенная кварта, либо уменьшенная квинта. Пока мы их не затрагиваем.

Последовательности интервалов в гаммах и ладах

Теперь остановимся на том, как строятся некоторые гаммы и ладовые последовательности. Интервалы в музыке сольфеджио определяет еще и как составные элементы любого лада, однако, исходя из того, что это все-таки именно последовательности, основным элементом при их построении выступает интервал секунда, который строится с использованием двух соседних ступеней лада.

Для наглядности в качестве примера возьмем натуральный мажор и минор, а также гармоническую и мелодическую минорные последовательности.

На основе вышесказанного для натурального мажора последовательность секунд выглядит следующим образом: б2-б2-м2-б2-б2-б2-м2. Аналогичная последовательность для натурального минора имеет несколько другой вид: б2-м2-б2-б2-м2-б2-б2. Гармонический минор выражается так: б2-м2-б2-б2-м2-ув2-м2. Мелодический минор играется по восходящей как последовательность б2-м2-б2-б2-б2-б2-м2, по нисходящей – б2-б2-м2-б2-б2-м2-б2.

Наверное, у многих уже возник вопрос насчет обозначения ув2. Это увеличенная секунда. Она звучит как малая терция, но в последовательности гармонических ступеней гаммы назвать этот интервал именно терцией нельзя, поскольку должны присутствовать две соседние ступени.

Интервалы как составная часть трезвучий

Интервал в музыке применяется еще и для построения трезвучий. Для тонических трезвучий используются малая и большая терция, а для построения их обращений – то же самое, но в сочетании с квартой сверху или снизу.

Проще всего это показать на примере обращения тонического мажорного трезвучия, которое строится от ноты «до» (до-ми-соль). В данном случае мы имеем два интервала — большую, а затем малую терцию. При обращении трезвучия вверх первая нота «до» просто переносится на октаву выше, исходя из чего получается сочетание малой терции и чистой кварты. При следующем обращении на октаву вверх переносится уже вторая нота, присутствовавшая в тоническом трезвучии («ми»). В такой последовательности на первом месте стоит чистая кварта, а на втором — большая терция. То же самое касается и минорных трезвучий, только большая и малая терции меняются местами.

Построение аккордов и их обращений

Что касается аккордов и их обращений, здесь, к примеру, к тоническому трезвучию добавляется кварта сверху, то есть звучит четвертая нота, соответствующая тонике, но через октаву. Обращения опять же строятся путем перенесения нот вверх на одну октаву или 12 полутонов.

В случае построения специфичных аккордов, скажем, доминантсептаккорда, который в любой гамме строится исключительно на V ступени лада, в обращениях используется еще и большая секунда. Чтобы было понятно, построим такой аккорд от ноты «до». Это последовательность до-ми-соль-си-бемоль. Как уже видно, при переносе ноты «до» в обращении на октаву выше мы и получаем большую секунду (си-бемоль-до).

Характерные интервалы и тритоны

Кроме основного ряда существуют еще увеличенные и уменьшенные интервалы, которые могут звучать точно так же, как и некоторые другие. Среди наиболее распространенных принято считать тритоны (увеличенная кварта и уменьшенная квинта), которые содержат по 3 тона или 6 полутонов (отсюда и название) и звучат на слух абсолютно одинаково. Различить их можно только по разрешению. Для увеличенной кварты это большая секста, а для уменьшенной квинты – большая терция.

Интересно выглядят еще и интервалы в музыке, называемые характерными. Их разделяют на две пары. Первая пара – это увеличенная секунда и уменьшенная септима, вторая – уменьшенная кварта и увеличенная квинта.

В первом случае интервалы воспринимаются на слух как малая терция и большая секста, во втором – как большая терция и малая секста.

Заключение

Вот, собственно, вкратце мы и рассмотрели вопрос о том, что собой представляет интервал в музыке. Мы не касались курса теории музыки, которая больше посвящена интервалам, выходящим за пределы октавы, и более подробно описывает некоторые специфичные ладовые гармонии (лидийский лад, мисколидийский, фригийский и т. д.). Однако думается, что даже на основе этих простых примеров и классификации основного ряда интервалов можно получить хотя бы какие-то начальные знания. Для становления человека как серьезного музыканта такие азы просто необходимы, а без понимания принципов построения интервалов, трезвучий, аккордов, гамм и ладовых последовательностей ни о каком профессионализме и говорить не приходится.

www.syl.ru

Как строить характерные интервалы в любой тональности

Сегодня поговорим о том, как строить характерные интервалы в любой тональности: в мажоре или в миноре. Для начала нужно разобраться, что такое характерные интервалы вообще, как они появляются и на каких ступенях строятся.

Прежде всего, характерные интервалы – это интервалы, то есть сочетания двух звуков в мелодии или гармонии. Интервалы бывают разные: чистые, малые, большие и т.д. Нас в данном случае будут интересовать увеличенные и уменьшённые интервалы, а именно увеличенные секунда и квинта, уменьшённые септима и кварта (их всего четыре, они очень легко запоминаются – ув2, ув5 , ум7, ум4).

Характерными эти интервалы называются потому, что они появляются только в гармоническом мажоре или миноре в связи с «характерными» для этих видов мажора и минора повышенными и пониженными ступенями. Что тут имеется в виду? Как известно, в гармоническом мажоре понижена шестая ступень, а в гармоническом миноре – повышена седьмая.

Так вот, в любом из четырёх характерных интервалов обязательно один из звуков (нижний или верхний) будет вот этой «характерной» ступенькой (VI низкой, если это мажор, или VII высокой, если мы находимся в миноре).

Как строить характерные интервалы?

Теперь перейдём непосредственно к вопросу о том, как строить характерные интервалы в миноре или в мажоре. Это делается очень просто. Сначала нужно представить нужную тональность, написать, если нужно, её ключевые знаки, и вычислить, какой звук здесь «характерный». А дальше можно двигаться двумя путями.

Первый путь исходит из следующей аксиомы: все четыре характерных интервала вертятся вокруг «характерной ступеньки». Посмотрите, как это работает.

Пример 1. Характерные интервалы в до мажоре и до миноре

 Пример 2. Характерные интервалы в фа мажоре и фа миноре

Пример 3. Характерные интервалы в ля мажоре и ля миноре

 Во всех этих примерах мы наглядно видим, как всякие увеличенные секунды с уменьшёнными квартами буквально «вертятся» вокруг нашей волшебной ступеньки (напоминаю, что в мажоре «волшебная ступенька» – шестая, а в миноре – седьмая). В первом примере эти ступени выделены жёлтым маркером.

Второй путь – тоже вариант: просто построить нужные интервалы на нужных ступенях, тем более что один-то звук нам уже известен. В этом деле вам сильно поможет вот такая табличка (рекомендуется зарисовать себе в тетрадочку):

 Есть один секрет, с помощью которого эту табличку можно легко запомнить. Мотайте на ус: в мажоре все увеличенные интервалы строятся на пониженной шестой ступени, в миноре все уменьшённые интервалы строятся на повышенной седьмой!

Как этот секрет нам может помочь? Во-первых, мы уже знаем, на какой ступени строятся два интервала из четырёх (либо пара уменьшённых – кварта и септима, либо пара увеличенных – квинта и секунда).

Во-вторых, построив эту пару интервалов (например, оба увеличенных), мы почти автоматически получаем вторую пару характерных интервалов (оба уменьшённых) – достаточно лишь «перевернуть с ног на голову» то, что мы построили.

Почему так? Да потому что одни интервалы просто обращаются в другие по принципу зеркального отражения: секунда превращается в септиму, кварта в квинту, уменьшённые интервалы при обращении становятся увеличенными и наоборот… Не верите? Сами смотрите!

Пример 4. Характерные интервалы в ре мажоре и ре миноре

Пример 5. Характерные интервалы в соль мажоре и соль миноре

 Как разрешаются характерные интервалы в мажоре и в миноре?

Характерные интервалы созвучия неустойчивые и требуют правильного разрешения в устойчивые тонические созвучия. Здесь действует простое правило: при разрешении в тонику увеличенные интервалы нужно увеличивать, а уменьшённые – уменьшать.

 При этом любой неустойчивый звук просто переходит в ближайший устойчивый. А в паре интервалов ув5– ум4 вообще необходимо разрешить только один звук («интересную» ступень), так как второй звук в этих интервалах – устойчивая третья ступень, которая остаётся на месте. А уж наши «интересные» ступеньки разрешаются всегда одинаково: пониженная шестая стремится в пятую, а повышенная седьмая – в первую.

Вот и получается, что увеличенная секунда разрешается в чистую кварту, а уменьшённая септима – в чистую квинту; увеличенная квинта, увеличиваясь, переходит при разрешении в большую сексту, а уменьшённая кварта, уменьшаясь, переходит в малую терцию.

Пример 6. Характерные интервалы в ми мажоре и ми миноре

Пример 7. Характерные интервалы в си мажоре и си миноре

Разговор об этих прикольных интервалах можно, конечно, продолжать бесконечно, но мы сейчас на этом остановимся. Добавлю только ещё пару слов: не нужно путать характерные интервалы с тритонами. Да, действительно, в гармонических ладах появляется вторая пара тритонов (одна пара ув4 с ум5 есть и в диатонике), тем не менее, тритоны мы рассматриваем отдельно. О тритонах поподробнее можно почитать тут.

Желаю успехов в изучении музыки! Возьми за правило: понравился материал – поделись с другом, пользуясь социальными кнопочками!




music-education.ru

Применение свойств матричных норм к реализуемости интервальных динамических систем

  1. Введение

Общая теория управления, теория систем оперирует с моделями, заданными в пространстве состояний. Построением таких моделей успешно занимались Р. Калман, Б.Л.Хо, Э. Зонтаг,  Я. Виллемс, Р. Айсинг, ДЖ. Риссанен, П. Фурман и др. В случае точечных конечномерных реализаций эта проблема была решена Б.Л. Хо [1, с. 320].

Однако в реальной ситуации восприятие объекта управления не является точным в силу искажения информации, исходящей от объекта, «шумами» среды, через которую проходят информационные потоки. В связи с этим вектор состояния всегда содержит в себе некоторую ошибку в определении истинного состояния, которой соответствует некоторая объективная неопределенность.

Для разрешения сложившейся ситуации требуется привлечение специальных математических аппаратов, где диапазоны  погрешностей исходных данных являются частью модели.  В данной работе таким аппаратом служит интервальный анализ, так как  параметры объекта являются интервалами.

Следует отметить, что свойства интервальной арифметики, как классической, так и полной являются неудовлетворительными. Например, даже в полной интервальной арифметике не выполняется дистрибутивность умножения относительно сложения, отсутствуют обратные элементы.

Из-за плохих свойств интервальной арифметики методы классической теории реализации оказываются неприменимыми. Несмотря на эту сложность в настоящее время сформулированы и обоснованы методы вычисления алгебраических реализаций для интервальных динамических систем: метод погружения в линейное пространство, метод граничных реализаций.

Охарактеризуем проблему реализации для интервальных динамических систем,  метод граничных реализаций и докажем необходимое условие существования граничных реализаций для импульсной последовательности интервальных матриц.

 

2.                 Постановка задачи

В теории систем проблема реализации состоит в определении модели в пространстве состояний для динамической системы, заданной своим поведением вход-выход.

Задачу алгебраической реализации в [2, с. 78] определяют следующим образом: для заданной последовательности интервальных матриц размера

                                (1)

определить математическую модель этой системы в пространстве состояний, т.е. размерность n и тройку интервальных матриц  таких, что выполняются интервальные уравнения

,                                        (2)

 

где , а матричные произведения выполняются справа налево, т.е. сначала вычисляется произведение , затем и т.д.

Решить поставленную задачу не легко, т.к. в данном случае мы имеем дело с интервалами, а свойства интервальной арифметики являются неудовлетворительными. Тем не менее, Пушковым С.Г. и Калинкиной С.Ю. предложены методы решения этой задачи, в том числе метод граничных реализаций. Согласно этому методу проблема алгебраической реализации для класса интервальных систем, сводится к нахождению точечного решения. Метод граничных реализаций заключается в следующем: с импульсной последовательностью интервальных матриц, характеризующими поведение вход-выход динамической системы связывают две вещественные импульсные последовательности, определяемые верхними и нижними границами интервальных матриц.

Определение. Для последовательности интервальных матриц

                                            (3)

реализации последовательности

называют нижними граничными реализациями последовательности (1), а реализации последовательности

называют верхними граничными реализациями последовательности (1).

 

3.                 Методы решения

Теорема и следствие, сформулированные и доказанные в [2, с. 81] позволяют вычислять граничные реализации, в случае, когда матрицы  удовлетворяют двум условиям: 1) полностью неотрицательны и 2) нижние границы  не превосходят соответствующих им верхних . В том случае, когда найденные граничные реализации не удовлетворяют последнему условию, применяя преобразования подобия, находят соответствующую изоморфную реализацию, удовлетворяющую этому условию.

 Однако зачастую при нахождении интервальных реализаций получается, что вычисленные граничные реализации и полученные изоморфные не удовлетворяет требуемым условиям и не позволяют сформировать  искомую интервальную реализацию.  Тогда, естественно,  возникает вопрос, всегда ли существует искомая интервальная реализация? В данном вопросе помогает сориентироваться  представленный  в работе необходимый критерий существования реализуемости интервальных динамических систем.

 

4.                 Необходимый критерий реализуемости

Используя свойства матричных норм неотрицательных матриц [3, с. 358],  можно доказать следующее предложение.

Предложение. Если для заданной импульсной последовательности интервальных матриц существует алгебраическая реализация, то для  граничных реализаций  и  найдется, по крайней мере, одна матричная норма, для которой имеет место оценка:

.

Доказательство леммы опирается на теорему 5.6.7, а также теорему и следствие о граничных реализациях, представленных соответственно в [3, с. 358], [2, с. 81]. Приведем их формулировки с учетом используемых обозначений.

Теорема. Если — матричная норма на  и если матрица  невырождена, то формула , задает матричную норму.

Теорема о граничных реализациях. Если для нижней и верхней граничных реализаций одинаковой размерности  и  некоторой последовательности интервальных матриц, выполняются условия:

1)  — неотрицательные;                                  (4)

2)                                                               (5)

то интервальная система  является интервальной точной реализацией этой последовательности.

Следствие. Если для граничных реализаций одинаковой размерности  и  некоторой последовательности интервальных матриц найдутся такие матрицы и ,что выполняются неравенства

где

 ,                                            (6)

                                              (7)

 — неотрицательные, то интервальная система  является алгебраической интервальной реализацией этой последовательности.

 

Доказательство предложения.

Пусть для данной последовательности интервальных матриц существует алгебраическая реализация, тогда граничные реализации  и  удовлетворяют условиям теоремы и следствия, представленных в [2, с. 81], то есть  

    — неотрицательные ,                         (8)

,                                                         (9)

, где  невырожденные матрицы.     (10)

Покажем, что хотя бы для одной матричной нормы выполняется неравенство .

Так как  удовлетворяют условиям (8), (9), то очевидно, что ,  значит

.                                                             (11)

На основании теоремы 5.6.7. [3, с. 358]  определим матричную норму  при помощи формулы  , тогда имеем ,  . В силу условий (10) и (11) получаем требуемое неравенство. Предложение доказано.

 

 Для иллюстрации данного критерия рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Рассмотрим полностью положительную интервальную импульсную последовательность для системы с одним входом и одним выходом:

.

Вычислим нижнюю и верхнюю граничные реализации последовательности с помощью алгоритма Б.Л. Хо.

 ,                                (12)

 .                                    (13)

Вычисляя , получим  

Очевидно, что вычисленные матрицы (12), (13) не удовлетворяют требуемым условиям [2, с. 81]. Применим преобразования подобия для (12) , для (13) получим

,          .

Таким образом, искомая реализация исходной последовательности интервальных матриц имеет вид:

 

 Пример 2.     Рассмотрим  полностью положительную интервальную импульсную последовательность для системы с одним входом и одним выходом:

.

Точечные реализации, нижняя и верхняя соответственно, имеют вид:

,                                       (14)

     .                                    (15)

Определяя , получим

Приведение реализаций (14) и (15) к наблюдаемой канонической форме позволяет получить искомую интервальную реализацию:

 

5.                 Заключение

Представленный в работе результат позволяет сориентироваться в вопросе  существования граничных реализаций для импульсной последовательности интервальных матриц.  Сформулированный и доказанный необходимый критерий реализуемости удобен и прост с вычислительной точки зрения.

 

Литература:

 

1.      Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Едиториал УРСС, 2004. – 400с.

2.      Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. – 2004, Т.9, №1. – С.75-85.

3.      Хорн  P., Джонсон Ч.  Матричный анализ.- М.: Мир, 1989. – 656с.

 

moluch.ru