Интеграция по: Интеграция программного обеспечения. Описание процесса от бизнес консультанта

Содержание

Интеграция программного обеспечения. Описание процесса от бизнес консультанта

Синерги́я (греч. συνεργία — сотрудничество, содействие, помощь, соучастие, сообщничество; от греч. σύν — вместе, греч. ἔργον — дело, труд, работа, (воз)действие) — суммирующий эффект взаимодействия двух или более факторов, характеризующийся тем, что их действие существенно превосходит эффект каждого отдельного компонента в виде их простой суммы[1], эмерджентность.

Википедия.

В процессе работы бизнес консультантом, для увеличения эффективности работы систем предприятия, я почти всегда предлагаю провести интеграцию между различным ПО заказчика. Потому что интегрировав различные системы возможно добиться эффекта синергии.

Мне постоянно приходится сталкиваться с одними и теми же проблемами и решениями многие из которых приходится пояснять в каждом новом проекте заказчикам, некоторые – программистам. А потому я считаю, что о процессе интеграции стоит поговорить подробно.

В большинстве примеров я выбрал различные случаи интеграции 1С и CRM, так как сегодня именно этот вопрос, как показывает моя практика, наиболее актуален. Хотя данная статья подойдет при интеграции практически любого программного обеспечения. Итак начнем.

Интеграция – это очень важная часть работы по автоматизации бизнес-процессов, так как требуется она постоянно. В разных ситуациях возникает потребность оперативно обмениваться данными между различными конфигурациями 1С, между программными продуктами 1С и сайтом, между 1С и CAD системами, а также системами биллинга и т.д. Также достаточно часто требуется интегрировать между собой различные веб сервисы, например, интернет-магазин и CRM-систему. В общем, объединить работу различных подразделений компании и автоматизировать рабочий процесс без использования интеграции в большинстве случаев невозможно.

Что такое интеграция?

Википедия дает нам такое определение:

Интегра́ция (от лат. integratio — «соединение») — процесс объединения частей в целое. В зависимости от контекста может подразумеваться:
Веб-интеграция — объединение разнородных веб-приложений и систем в единую среду на базе веб.

Интеграция данных — объединение данных, находящихся в различных источниках и предоставление данных пользователям в унифицированном виде

.

Я считаю, что в данном случае Вики абсолютно права. И дополнить ее можно только одним определением:

Интеграция программных систем и продуктов — это обмен данными между системами с возможной последующей их обработкой.

Смысл интеграции заключается в том, чтобы данные, которые пользователь вводит в одну систему, автоматически переносились в другую. Продукт, в который пользователь вводит данные, называется источник. А получатель данных, соответственно, приемник.

Достаточно часто данные переносят в обе стороны, например, после преобразования в системе-приемнике результаты отправляются обратно в источник. А потому интеграция бывает как односторонней, так и двухсторонней.

Например, если вы объединяете конфигурацию 1С: Торговля с 1С: Бухгалтерией, вам может потребоваться передать данные по всем продажам в бухгалтерию, а обратно получить сведения об оплате по этим продажам.

Лично я делю процесс интеграции на такие этапы:

Определяем, какой продукт является источником, какой – приемником.
Сопоставляем объекты между источником и приемником.
Выбираем протокол для интеграции
Проводим постобработку данных (после переноса в одну из сторон)

Я всегда придерживаюсь этой последовательности при планировании работ по интеграции. Это помогает работать системно, не упустить ни одного важного момента и провести интеграцию таким образом, чтобы клиенту было удобно работать в объединенной системе.

Важно: при интеграции различных программных решений нужно хорошо понимать их функционал.

Когда-то я и сам совершал такую ошибку, и брался за интеграцию программных продуктов, которые я недостаточно хорошо знал. А потому могу сказать точно: изучать программный продукт в процессе интеграции – это не совсем корректно. При таком подходе чаще всего возникает множество ошибок и проблем, например, перенос не тех данных или сбои в работе. Рекомендую сначала хорошо изучить программный продукт, понять, что он может, каким образом в нем реализованы те или иные функции, и только потом заниматься интеграцией.

В принципе, в процессе интеграции вам может потребоваться и более сложный обмен, и придется вводить, например, трех- или четырехстороннюю интеграцию. Но, по сути, эти процессы ничем не отличаются от обычного одно- или двухстороннего процесса. А потому я буду говорить об интеграции односторонней. А в конце скажу пару слов об особенностях двухсторонней. Все остальные направления вы всегда сможете выстроить по аналогии.

Выбираем источник и приемник

Для каждого случая интеграции данных важно четко определить, какая система будет источником, а какая – приемником.

Например, у вас есть система CRM и программа 1С: Торговля.

В обеих системах существует такое понятие, как контактное лицо. В принципе, вводить его вы можете и с одной, и с другой стороны. В данном случае, очевидно, что источником стоит назначить CRM, так как этого требует логика работы с любой CRM-системой.

Аналогично и в других случаях. Нужно понимать, в какой системе пользователь будет вводить данные, а какая станет получателем этих данных через интеграцию. Это обязательно согласовывается с клиентом (пользователем), кроме случаев, когда источник очевиден. при этом обязательно нужно поставить в известность клиента, что данные определенного типа следует вводить именно через систему-источник.

Сопоставление объектов (данных)

Каждый раз при работе с данными нужно очень хорошо понимать, что именно вы выгружаете, в каком виде, а также, куда вы будете выгружать эти данные. В некоторых случаях в источнике у вас будет строковая переменная, а в приемнике – два или более объектов. В других важно просто правильно выбрать объект-приемник.

Например, практически в любой CRM контактное лицо и клиент – это одно и то же. С другой стороны в 1С контактное лицо может быть клиентом, партнером, поставщиком. И очень важно понимать, куда именно записывать данные этого контактного лица. Также важно сопоставлять все данные до того, как начнется работа непосредственно с кодом. Для этого прекрасно подойдут таблицы или блок-схемы.

Когда-то я так же, как и многие, пренебрегал этим этапом работы. Сейчас я знаю, что эти действия позволят избежать огромного количества ошибок. На какой бы стороне ни работал программист – на стороне программы-источника или приемника, такая табличка очень помогает в работе. Программист должен четко понимать, какие данные будут брать из источника, куда их нужно переносить, и как они будут обрабатываться.

Например, при выгрузке контактного лица из CRM нужно четко сопоставить этот контакт партнеру или покупателю.
Также очень важно понимать, какие преобразования потребуются для выгружаемых данных.

Например, нужные для интеграции данные в источнике хранятся в качестве перечисления в виде текста. А в приемнике (пусть это будет 1С) аналогичное перечисление имеет ссылочный тип. Следовательно, вам потребуется преобразовать текст в ссылку, и уже ссылку передать в документ.

И здесь возникает проблема: требуются правила сопоставления.

Вы должны четко продумать и прописать правила сопоставления. Более того, об этих правилах необходимо оповестить ваших клиентов. Важно понимать, что клиент не видит логику работы обмена данными, он не понимает особенностей интеграции.

Конечно, вы обязательно введете ограничение прав доступа, добавите другие варианты защиты. Но, как показывает практика, это не гарантирует от того, что пользователь совершит ошибку, из-за которой интеграция перестанет работать или будет работать не корректно. Это может быть кто-то из сотрудников, обладающий правами администратора, или приглашенный специалист, который дорабатывает, например, печатную форму документа, но при этом не осведомлен об особенностях интеграции.

В результате возникают самые разные казусы. Например, вы используете в качестве ключевого слова для поиска при сопоставлении слово «дилер». Клиент по каким-то причинам меняет его в программе-источнике на слово «дилеры». Казалось бы, мелочь! Но эта мелочь приведет к тому, что поиск в 1С перестанет работать.

Я решил эту проблему таким образом:

Обязательно оставляю клиенту подробно описанные правила сопоставления и пояснения, какие параметры и данные менять недопустимо.
Предусматриваю варианты оповещения об ошибке. Т.е. не только фиксирую проблему в логе ошибок, но и оповещаю пользователя о сбое каким-то образом: при помощи SMS, письмом на email, всплывающими уведомлениями в 1С. А иногда всеми этими способами сразу.

Почему я пришел к такому варианту работы?

Интеграция – процесс сложный, и проблемы из-за человеческого фактора возникают достаточно часто, защититься от них практически не реально. Также бывают и программные сбои, особенно это касается таких сложных систем с большим числом багов, как программные продукты 1С. А для бизнеса очень важно, чтобы обмен данными проходил своевременно, а если возникла проблема также важно ее оперативно устранить.

Например, в моей практике была ситуация, когда я провел интеграцию 1С и Oracle, причем, последний являлся программой-источником. Далее на стороне Oracle изменили одно из полей. В результате заказы перестали загружаться в 1С вообще, при этом сервер не выдавал уведомление об ошибке. Обнаружили проблему через неделю.

С одной стороны, это явная недоработка отдела продаж моего клиента, так как неделю не получать ни одного заказа и не волноваться по этому поводу, мягко говоря, странно. С другой – отсутствие уведомления об ошибке я считаю собственной недоработкой. Конечно, в результате ошибки были исправлены, система дальше работала без сбоев, но теперь я всегда добавляю несколько вариантов уведомления об ошибке при передаче данных.

Самые распространенные решения:

При помощи смс, электронного письма, всплывающих уведомлений в 1С информацию о сбое должен получить человек, который занимается обработкой заказов.
Для контроля аналогичное уведомление (чаще всего на email) отправляется руководителю отдела или директору компании.
Обязательно ведется лог-файл ошибок для того, чтобы специалист смог просмотреть все подробности.

В некоторых случаях также стоит добавлять уведомление о сбое другим лицам, этот вопрос решается с заказчиком индивидуально.

Также стоит лог-файл ошибок вести максимально подробно и как можно дольше хранить историю. Не забывайте, что вы имеете дело с данными, которые имеются в одной базе данных, но отсутствуют в другой. И без подробного отчета вам будет очень сложно понять, что именно произошло в процессе передачи данных.

Обмен данными: писать самому или применять типовое решение?

Лично я предпочитаю всегда разрабатывать решение под заказчика. Здесь можно спорить, можно обсуждать различные варианты, но есть факт: типовые обмены данными всегда сильно перегружены возможностями, которые вашему клиенту не нужны. В результате процесс обмена значительно замедляется, а число возможных ошибок вырастает в разы.

Кроме того, при выборе типового программного решения вы очень сильно зависите от поставщика программного обеспечения. Для любого исправления бага вам придется ждать выпуск очередной версии программы. Также придется подстраиваться при обновлениях под все изменения в работе, который внес разработчик.

А потому при выборе между самостоятельным написанием обмена данными и типовым решением, которое не на 100% подходит для данной ситуации, лучше писать обмен самому.

В некоторых случаях, когда типовое решение действительно на 100% удовлетворяет потребности клиента, а скорость работы для него не критична, я также применяю готовые продукты. Например, при выгрузке номенклатуры и фотографий на сайт я не редко использую готовый обмен данными от Битрикс. Но только для выгрузки. Для работы с заказами я применяю самописный обмен.

Метод подключения: REST API, SOAP или прямое подключение к базе приемника

Выбор протокола обмена данными в большинстве случаев напрямую зависит от системы, которую вы интегрируете. В большинстве случаев программисту приходится учитывать требования обеих систем, а потому выбора как такового не существует. В тех случаях, когда система может работать с несколькими протоколами, выбирайте тот, который вам удобнее. По моему опыту, для малых и средних предприятий этот вопрос не принципиален.

Вопросы клиентского доступа: почему не работает обмен?

Я считаю, что обо всех возможных ограничениях в доступе нужно узнать на начальном этапе интеграции. Таким образом, вы гарантированно избежите очень распространенной проблемы:

Вы внедрили интеграцию, все проверили, протестировали, убедились, что система работает. После чего пользователь обнаруживает, что обмен данными не происходит.

Самые распространенные ситуации:

Ограничение доступа по IP.
Ограничение прав пользователя.
Ограничение по количеству обращений к источнику или приемнику

В первых двух случаях ограничения обычно связаны с политикой информационной безопасности предприятия, и решаются они на административном уровне. Для пользователей, которым потребуется работа с обменом данных, системный администратор настроит перечисленные вами права. Аналогично для ограничения по IP.

В случае работы с CRM-системой ограничения обычно обусловлены оплаченным пакетом услуг. Здесь достаточно оповестить клиента о наличии такого ограничения, и, при необходимости, помочь оплатить и настроить расширенный пакет.

1С идентификаторы и ошибки, связанные с ними

При интеграции с 1С очень часто ошибки обмена данных возникают из-за неверного выбора УИ (уникального идентификатора). Суть проблемы заключается в том, что объекты в 1С имеют два типа УИ: один уникален внутри выбранного типа объектов. Второй используется для работы со всей базой данных.

Если вы будете проводить поиск по всему справочнику с использованием идентификатора, который предназначен для работы внутри определенного типа данных, возникнет ошибка. Объект может быть вообще не найдет, либо система найдет сразу несколько разных объектов. К этой особенности 1С нужно относиться очень внимательно.

Еще одна проблема: нет возможности привязаться к уникальному идентификатору.

Например, системой-источником является сайт, и на нем не предусмотрено отдельное поле для информации о клиенте, она идет в общем тексте заказа. В этом случае придется выбрать какой-то другой вариант идентификации, например, по email.

При интеграции очень важно выбрать в источнике одно из полей, которое и станет уникальным идентификатором.

Я считаю хорошим тоном дублирование этого идентификатора в двух системах. Например, если я делаю выгрузку информации из CRM в 1С, то поле-идентификатор из CRM я копирую в систему 1С. В дальнейшем весь поиск и интеграция производится по этому полю быстро и просто.

В принципе, это не обязательное действие. Более того, вы будете хранить даже избыточные данные, так как у вас есть нужная информация в одной из систем, но такое дублирование повышает надежность работы обеих программ и является удобным решением для интеграции и последующей обработки данных.

Например, по идентификатору, который идентичен источнику, поиск будет производиться проще и быстрее, так как он не будет требовать дополнительной обработки. Кроме того, если что-то случится с базой данных одной из систем, благодаря дублирующимся идентификаторам сопоставить данные будет намного проще.

Формат выгрузки

Для обмена данными используются самые разные форматы. Это может быть JSON, XML, CSV, TXT, прямой доступ к базе и т.д. У меня в этом вопросе нет каких-то определенных предпочтений. Я считаю, что здесь нужно исходить из рациональных требований проекта.

Постобработка

Итак, обмен данными прошел успешно. Что дальше? Я считаю, что это еще не финал интеграции, так как пользователю мало того, что данные появились в системе. Обычно ему требуется, чтобы с этими данными выполнялись какие-то действия. Что именно нужно клиенту, следует уточнить у него. Но всегда надо помнить о том, что вы работаете для пользователя, для того, чтобы ему было удобно.

Для интернет магазинов при интеграции чаще всего требуются:

Оповещение менеджера о поступлении заказа, например, при помощи sms
Уведомление пользователей о поступлении новых заказов или другой актуальной информации по email
Звуковой сигнал и/или всплывающее окно в 1С с напоминанием о том, что появились новые запросы или заявки

Постобработка требуется, прежде всего, для того, чтобы полученные данные прошли полный жизненный цикл, а, следовательно, приняли участие в каких-то последующих бизнес-процессах. А потому после загрузки должны запускаться оповещения или какие-то определенные процессы, например, обработка заказа.

Кроме действий, которые нужно выполнить в приемнике, также часто требуется после завершения успешной передачи данных выполнить определенные действия в источнике. Что именно потребуется, вам также расскажет пользователь.

Например, это может быть уведомление клиента о том, что его заказ успешно прошел выгрузку и отправлен в обработку. И здесь также может быть использовано sms, электронное письмо или просто изменение статуса заказа в системе.

Тестирование интеграции

С моей точки зрения интеграция – это часть (иногда частный случай) внедрения программного обеспечения. И здесь, как и для любой другой работы по внедрению ПО, потребуется тестирование программистом, потом – лично консультантом, а также различные варианты тестирования вместе с пользователями. Об этом я подробно писал в статье

Внедрение программного продукта. Особенности работы бизнес-консультанта. Часть III. Финальная

Отличие односторонней и двусторонней интеграции

На самом деле, принципиальных отличий у односторонней, двусторонней или многосторонней интеграции не существует. Суть процесса остается прежней, просто в разные моменты времени приемник и источник меняются ролями. Единственное важное правило, которое я ввел для себя и вам также советую: при двухстороннем обмене необходимо хранить уникальный идентификатор для всех систем, которые участвуют в интеграции. И я считаю, что его также стоит дублировать в обеих системах.

Сегодня я постарался кратко рассказать об особенностях процесса интеграции, с которыми я лично сталкиваюсь на практике. Я надеюсь, что статья оказалась для вас полезной, а если возникнут какие-то вопросы, я, как и всегда, готов на них ответить.

Интерфейс API простыми словами

Раньше фраза «интеграция по API» была известна только определенному кругу людей, непосредственно работающих с программным интерфейсом приложений. Сейчас же, когда информационно-коммуникационные технологии, такие как виртуальная IP-телефония, системы CRM и многие другие, коснулись практически всех ниш бизнеса, данная аббревиатура все чаще на слуху у офисных работников и их руководителей, чья специализация напрямую не связана с программированием.

Что же такое API, где используется и для чего нужен такой интерфейс? Более детально в этих вопросах постараемся разобраться в данной статье. Приведем примеры, которые даже «чайникам» помогут понять суть работы и взаимодействие с API.

Определение и принцип работы

API или Application Programming Interface (программный интерфейс приложения) представляет собой описание способов взаимодействия между компьютерными программами. Например, позволяет программисту сделать так, чтобы приложение установленное на смартфоне, будь то Twitter, Facebook или ВКонтакте, могло «соединятся» с соответствующим ему сервером: позволяло выполнять различные действия или просматривать определенную информацию на сайте посредством клиента. Для этого разработчики пишут специальные коды, содержащие описание типа данных, процедуры, функции, структуры, константы, которые помогают программам, говоря простыми словами, понимать друг друга.

Примеры использования

Чаще всего API используют для взаимодействия программ и приложений с операционными системами или Web сайтами. Остановимся более детально на каждом из этих примеров.

Взаимодействие приложений с операционными системами

Большинство современных операционных систем обладают встроенным API. Это позволяет разработчикам создавать софт, который будет взаимодействовать с конкретной ОС. Мало того, применение API к графическим интерфейсам, дает возможность использовать программы с однотипным пользовательским интерфейсом и значительно упрощает освоение новых.

В то же время, API различных операционных систем имеют отличия, которые существенно затрудняют перенос готового приложения с одной платформы на другую. В таких случаях приходится прибегать к некоторым методам обхода в программировании:

написание кроссплатформенных библиотек инструментов;
написание библиотек, позволяющих отображать системные вызовы одной операционной системы в системные вызовы другой;
использование кроссплатформенных языков программирования;
стандартизация кодов в языках программирования.

К тому же, программисту зачастую доступно несколько разных API, с помощью которых можно добиться одного и того же результата.

Применение в Web

Использование API для взаимодействия программ, сервисов, клиентов с Web сайтами очень распространено в последнее время, поэтому примеров такого использования достаточно много. Рассмотрим некоторые из них.

Импорт и экспорт данных

Используют API при экспорте или импорте данных с онлайн-сервисов в десктопные программы, приложения для смартфонов или другие облачные сервисы. Например, по API возможна интеграция виртуальной АТС с CRM-системами или такими приложениями, как 1С, Google Sheets, позволяет автоматически получать и сохранять различные данные по звонкам клиентов: записывать телефонные разговоры, их длительность, время звонка и многое другое.

Маркетинговые исследования

С помощью API программисты могут связать, быстро набирающий популярность в интернет-маркетинге, инструмент call-tracking с CRM, сервисами Яндекс.Метрика и Google Analytics, с платформами для таргетированной рекламы другими системами. То есть, можно четко указать сервису, какую именно информацию необходимо отслеживать, собирать и передавать, куда сохранять данные, и какие действия с ними выполнять.

Платежи

Не в новинку взаимодействие мобильных клиентов и различных онлайн-сервисов для оплаты с банковскими системами. Подобное “взаимопонимание” между такими разными системами осуществляется за счет все того же API.

Поиск товаров и услуг

Очень удобно в интернете пользоваться различными онлайн-сервисами по поиску товаров, услуг, цен на них. Подобные интернет-ресурсы “подтягивают” нужную информацию о продуктах с первоисточников. Например можно найти и купить билеты на авиарейс, не заходя при этом непосредственно на сайт определенной авиакомпании. Онлайн-ресурс по поиску авиабилетов с помощью API взаимодействует с сайтами различных авиалиний, и на основе требуемой информации пользователя, о времени, месте отправления и назначения, выдает все возможные предложения непосредственно на страницу онлайн-ресурса.

Социальные сети и SIP-телефония

Уже давно используется интерфейс API для связи мобильных приложений с социальными сетями, как писалось в начале статьи. Ведь достаточно удобно выполнить вход, оставить комментарий в Facebook, ВКонтакте, Twitter, воспользовавшись приложением на смартфоне, а не через сам сайт.

Также популярно использование на смартфонах, компьютерах и ноутбуках SIP-клиентов. Взаимодействие последних с серверами, на которых происходит регистрация, соединение с SIP-клиентами и другие процессы, в какой-то степени осуществляется за счет того же API.

Что общего между API и современным бизнесом?

Казалось бы, какая связь между коммерческой деятельностью и программным интерфейсом приложений. Прямой связи нет, но непосредственное использование API для интеграции различных приложений, программ, Web сайтов и т.д., в ведении бизнеса дает ряд преимуществ, таких как:

интеграция сайта интернет-магазина или другого коммерческого интернет-ресурса с мобильными приложениями, десктопными программами, онлайн-сервисами;
интеграция IP-телефонии с CRM, 1C и другими полезными системами для сбора и использования данных о клиентах, телефонной статистики, переадресации вызовов, записи разговоров и т.д.

Конечно, это не весь список преимуществ, которые открывает использование интерфейса API. Многие крупные и мелкие интернет-компании, платежные системы, финансовые организации — все они используют современные технологические тренды, что обусловлено использованием открытого API (OpenAPI). Компания «1ATS» предлагает клиентам именно такую возможность: интеграция по открытому программному интерфейсу.

Интеграция по API с услугой «Мобильные сотрудники»

ЧТО ТАКОЕ B2B API?

Для самых взыскательных клиентов, чьи требования не укладываются в функциональные возможности готовых веб- или Windows-приложений услуги «Мобильные сотрудники» мы предлагаем воспользоваться технологическим интерфейсом – B2B API (Application Programming Interface).

С помощью B2B API Вы сможете адаптировать услугу «Мобильные сотрудники» для использования внутри основного корпоративного приложения Вашей компании – специализированной системы мониторинга или логистики, CRM-системы и многих других.

Благодаря B2B API Вам будут доступны все основные функции услуги «Мобильные сотрудники» – определение местоположения, карта, работа со списком и группами абонентов и т. д.

ПРИМЕРЫ ВЕРТИКАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Вот лишь несколько примеров успешного использования B2B API:

Банковский сектор. Несколько крупнейших российских банков уже используют уникальный продукт «Мониторинг инкассации» от МТС, позволяющий повысить уровень безопасности перевозки ценностей и оптимизировать бизнес-процессы инкассации. Благодаря технологическому интерфейсу «Мобильных сотрудников» банкам доступна информация о местоположении спецтранспорта даже в отсутствие сигналов GPS/ГЛОНАСС.

Такси. Отраслевое решение «Такси Трэк» для автоматизации обработки заказов и диспетчеризации таксомоторного парка успешно внедрено в ряде компаний и использует «Мобильные сотрудники» для получения данных от GPS/ГЛОНАСС-терминалов.

Охрана автомобиля. Ведущие операторы охранных услуг, в число которых входит компания «Цезарь Сателлит», используют B2B API для повышения качества услуг по розыску пропавших транспортных средств.

Личная безопасность. Компания «Гольфстрим» успешно интегрировала услугу «Мобильные сотрудники» в свой продукт «Мобильный телохранитель».

Социальная сфера. Система вызова помощи для пожилых людей «Кнопка Жизни» использует B2B API для получения информации о районе местонахождения абонента при звонке в диспетчерский центр.

Интеграция корпоративного приложения с внешними системами

Ни одна информационная система не способна решать все задачи компании. Между различными приложениями возникает необходимость обмена данными, делать это вручную сложно и занимает много времени. Необходима автоматическая интеграция с помощью таких технологий, как SOAP, REST, или готовых коннекторов. О технологиях интеграции и их применении в SimpleOne расскажем в нашей статье.

Интеграции в корпоративных приложениях

Корпоративные приложения получают, обрабатывают и передают данные. Зачастую для выполнения одного бизнес-процесса компания использует несколько информационных систем, и между ними происходит обмен данными. Одна система получает информацию от пользователя и передаёт в другие через каналы интеграции. Например, для авторизации на сервисном портале пользователь не создаёт новую учетную запись: система получает данные из Active Directory, а приложение контроля доступа загружает справочник сотрудников из базы данных ERP SAP.

Интеграция ускоряет решение задач, повышает качество, исключая человеческий фактор, снижает стоимость владения информационных систем без посредников и уменьшает издержки.

Простейшие способы интеграции — это обмен файлами и сообщениями или обращение к общей базе данных. Эти способы имеют множество недостатков, особенно в эпоху распространения веб-приложений. Форматы файлов могут отличаться, а выгрузка, загрузка и конвертация — это дополнительное влияние человеческого фактора и труда. Давать всем подряд доступ к одной базе данных и контролировать правильность её использования различными приложениями — серьёзный риск для целостности и безопасности хранения данных.

На смену этим архаичным и неудобным способам интеграции пришли современные технологии, использующие API (интерфейсы прикладного программирования) для связи веб-приложений. Разработчики создают свои информационные системы с API-интерфейсами, чтобы приложения могли взаимодействовать и передавать данные друг другу. Существуют два основных стиля API — SOAP и REST, они имеют различные архитектуры, но в большинстве случаев используют общий транспорт — HTTP-протокол.

Технологии интеграции

SOAP и REST решают одинаковую задачу: позволяют разработчикам с помощью API настраивать обмен данными между приложениями. Но если SOAP является протоколом обмена информацией, то REST — это стиль или набор рекомендаций, которым должен следовать разработчик для предоставления веб-службы — RESTful, то есть разработанной с учётом требований REST и не нарушающей тех ограничений, которые он накладывает.

SOAP — протокол, REST — архитектурный стиль

SOAP (Simple Object Access Protocol) — отлично стандартизированный и давно используемый протокол. Это одна из причин, по которой его выбирают как API корпоративных приложений. Он работает поверх протоколов HTTP, SMTP, TCP или UDP, но передаёт данные только в формате XML. Для устаревших систем и тех, которые производят сложные транзакции, а также предъявляют высокие требования к безопасности, SOAP всё ещё хороший вариант. Он широко применяется в банковских и других финансовых приложениях, CRM, коммунальными службами и при оказании телекоммуникационных услуг. Там, где важна стабильность и целостность данных, используют SOAP, например, работа светофоров, канализации и электроснабжения города должна всегда выполняться безотказно и предсказуемо. Возможность асинхронной передачи данных по SMTP делает этот протокол незаменимым для интеграции в системах с нестабильным каналом связи.

REST (REpresentational State Transfer) — довольно молодой, но очень популярный архитектурный стиль для создания интеграционных API. Он приобрёл популярность у разработчиков в 2018 году, и на текущий момент большинство интернет-сервисов его используют как общедоступный API-интерфейс. Twitter, WordPress, Google Maps и другие известные приложения имеют REST API для взаимодействия с другими веб-сервисами и пользовательскими сайтами.

Для обмена данными REST использует только HTTP в качестве транспортного протокола, но форматы сообщений могут быть любыми — HTML, JSON, XML, YAML или простой текст. Универсальным является формат JSON (JavaScript Object Notatio): его легко анализировать, у него простой синтаксис и он не зависит от языка программирования. В JSON используется меньше слов, его проще писать и читать, такие сообщения имеют меньший вес, поэтому скорость их передачи выше, чем с XML.

REST — простой, удобный и универсальный способ интеграции корпоративных приложений, в большинстве случаев веб-сервисы RESTful могут взаимодействовать с любыми другими сервисами.

SOAP vs REST. REST работает быстрее, а разработка RESTful-сервисов проще. SOAP взаимодействует с операциями, поэтому лучше подходит для реализации транзакций и сложной логики. Кроме того, SOAP может работать с любым протоколом транспортного уровня вместо HTTP и используется в большинстве устаревших информационных систем, с которыми может потребоваться интеграция.

Для чего нужны коннекторы

Для того чтобы упростить настройку взаимодействия между информационными системами, администратор может использовать коннекторы. Коннектор — это готовое решение для взаимодействия с определённым приложением, например системой мониторинга, SAP, SharePoint, 1С и другими. Достаточно указать адрес внешней системы и задать параметры обмена данными, и коннектор сам будет отвечать за взаимодействие, конвертацию и проверку передаваемых сообщений.

Настройку коннекторов администратор выполняет с использованием графического интерфейса приложения (GUI) без необходимости программирования, такой подход отлично вписывается в концепцию No Code.

Пример реализации коннектора — взаимодействие ITSM-системы и системы мониторинга. Для настройки их интеграции администратор ITSM вводит адрес внешней системы, настраивает набор событий, которые должен принимать коннектор, и правила их обработки. Таким образом, ITSM-система оперативно получает информацию от системы мониторинга — коннектор обрабатывает поступающие данные и в соответствии с заданными правилами производит действия с данными ITSM-системы.

Способы интеграции в SimpleOne

Интеграция SimpleOne с другими корпоративными приложениями настраивается через REST API, интерфейс позволяет создавать, читать и обновлять данные в таблицах платформы.

REST-клиент

Чтобы связать стороннее приложение с SimpleOne, администратор должен в редакторе REST-запросов (REST Client) создать запрос к внешнему сервису (REST Request), а также запланировать его регулярное исполнение. В панели администрирования создаётся REST-запрос, для него указывается заголовок, дополнительные методы запроса и их параметры при необходимости, а также профили аутентификации.

Настройку REST-запросов и REST Bot Engine может выполнить администратор платформы с помощью GUI без глубоких знаний API и навыков программирования.

Настройка REST API в SimpleOne: пример настройки запроса для интеграции co SlackНастройка REST API в SimpleOne: пример настройки заголовка запросаНастройка REST API в SimpleOne: пример настройки дополнительных методов

Коннекторы

Отдельно в SimpleOne реализован коннектор для интеграции с мессенджерами и системами искусственного интеллекта — REST Bot Engine. Он позволяет настроить взаимодействие с чат-ботами и передавать информацию о происходящих в системе событиях в мессенджеры ответственных сотрудников. Например, при создании пользователем инцидента члены группы технической поддержки получат сообщение об этом прямо в свой мессенджер.

REST API

ESM-платформа SimpleOne предлагает задокументированный набор готовых операций с данными для взаимодействия сторонних систем с нашей платформой посредством REST API.

Scripted REST API

Когда готовых методов для работы сторонней системы с данными SimpleOne недостаточно, можно создать свои собственные сценарии обработки запросов с помощью инструмента Scripted REST API. Для этого достаточно создать новый модуль API, с помощью low-code-инструментария настроить действия и параметры, после чего связать параметры запросов к API с созданными модулями и действиями.

Это позволит настроить сложную логику обработки REST-запросов от внешних систем.

Заключение

Наличие API для веб-приложения — это общепринятый стандарт корпоративной интеграции. Он позволяет бизнес-платформам, решающим различные задачи, взаимодействовать без дополнительной разработки. В SimpleOne реализованы no-code-инструменты для настройки запросов к внешним системам, REST API с возможностью его расширения через интерфейс системы, а также универсальные и специализированные коннекторы к популярным информационным системам. Всё это позволяет быстро настраивать взаимодействие со сторонними сервисами, мессенджерами и другими приложениями. Основные настройки производятся с помощью графического интерфейса, не требующего глубоких знаний языков программирования от администратора.

ESM-платформа SimpleOne

Возможности интеграции Ringostat | Интеграция по API и Webhooks

Интегрировав Ringostat с вашей CRM-системой можно будет передавать и использовать в CRM следующую информацию:

рекламные источники, по которым пришли клиенты;
статистика телефонных разговоров;
записи телефонных разговоров;
статистика по звонкам отдельных сотрудников;
распределение задач по пропущенным звонкам.

Имея в CRM информацию о принятых или совершенных звонках менеджерами, можно сопоставить ее со сделками которые они завели. Таким образом, вы получаете дополнительный инструмент контроля отдела продаж.

Помимо целого ряда уже готовых интеграций, наш сервис предоставляет еще два варианта индивидуальной интеграции, которые решат практически любые ваши задачи:

1. Интеграция с помощью передачи данных в WebHooks.

WebHook — это уведомление сторонних приложений о событиях в Ringostat посредством отправки набора параметров.

На данный момент есть возможность передавать в CRM 40 параметров.

К примеру:

номер звонящего;
куда звонили;
статус звонка;
источник перехода;
запись разговора;
и другие…

Полная документация по ссылке.

Ниже разберем общие примеры как это может быть применимо и чем полезно.

Для входящего звонка есть возможность отправлять запрос в моменты:

перед звонком;
после звонка;
после меню оценки звонка;
в момент поднятия трубки;
шаг переадресации;

Для исходящего звонка есть возможность отправлять запрос в моменты:

перед звонком;
после звонка;

Давайте рассмотрим несколько конкретных задач, которые можно решить благодаря такой интеграции.

Автоматическое создание задачи по пропущенному звонку

Не редко менеджеры по каким-либо причинам не могут принять звонок. В этом случае, благодаря интеграции Ringostat с CRM системой, автоматически создается контакт и задача ответственному менеджеру.

Карточка контакта при входящем звонке

Разговоры с клиентами станут эффективнее, если еще до поднятия трубки менеджеры знают имя звонящего, информацию о его прошлых контактах. При наличии интеграции вы сможете отобразить всю интересующую вас информацию по клиенту и его посещению сайта во время входящего звонка.

Создание контакта/сделки при входящем звонке

Если звонок поступил с нового номера, по завершению разговора автоматически создается контакт или сделка, которые менеджер лишь дополняет важной информацией.

Закрепление контакта/сделки за менеджером, который ответил на звонок

Если звонок поступил с нового номера, после того, как автоматически будет создан контакт или сделка они будут закреплены за менеджером, ответившим на звонок.

Передача категории и ценности звонка по завершению разговора

После звонка менеджером вручную, в журнале звонков через добавления комментария или же через автоматическое голосовое меню после звонка будет добавлена категория и ценность звонка. Благодаря интеграции с Ringostat данные параметры оценки звонка, а также код сотрудника, который указал эти параметры в меню категорий звонкабудут переданы в Вашу CRM систему.

Взаимосвязь звонка с продажей и суммой чека

Интеграция Ringostat с CRM позволит сопоставить эффективные разговоры с клиентом и полученную прибыль. Сделав в CRM отчет по совершенным продажам с большой суммой чека, вы сможете прослушать звонки, что привели к продаже. А потом использовать их в обучении менее опытных менеджеров.

Отслеживание дохода по каждому ключевому слову

Это происходит по следующей системе:

происходит звонок — Ringostat фиксирует его и всю информацию в виде ключевых слов, кампаний и т.д.;
информация передается в карточку клиента в CRM системе;
менеджер ведет этого клиента, и если от клиента приходит оплата, то фиксирует ее в CRM как сумму сделки;
после того как совершается продажа по сделке, CRM может передать данные о транзакции в GA с привязкой к посетителю сайта (благодаря полученному от Ringostat clientID).

2. Интеграция через API интерфейс.

Ringostat API (application programming interface) — это набор готовых средств (классов, процедур, функций) доступа, взаимодействия и управления, предоставляемых Ringostat для использования во внешних программных продуктах (CRM-системы, системы статистики и аналитики и т.п.).

Используя интеграцию с Ringostat по API у вас появляются возможности самостоятельно отправлять нужные запросы нам на сервер или вызывать определенные события.

Детальная инструкция по настройке API с готовыми примерами по ссылке.

Давайте рассмотрим несколько реализаций API интеграции с CRM, которая будет вам полезной.

Выгрузка статистики по звонкам в CRM

К примеру, вы можете настроить ежедневную выгрузку по расписанию всех целевых звонков за прошедший день. Всего существует 35 параметров, которые вы можете экспортировать из журнала звонков в удобном для вас формате.

Звонок клиенту после отправки формы заказа

Для оперативности обработки заявок от клиентов, вы можете настроить автоматический перезвон клиенту, который отправляет заполненную форму регистрации или заказа на вашем сайте. Аналогично можно инициировать звонок из карточки клиента в вашей CRM.

Проверка доступности sip-аккаунтов менеджеров

Данный метод позволяет в крупном отделе продаж контролировать менеджеров в системе и проверять кто из них разговаривает. Эту информацию можно использовать для распределения звонков между менеджерами.

Примеры возможностей интеграции выше — это лишь то, что наши клиенты чаще всего используют в своей практике, однако это далеко не все варианты применения. Если у вас остались вопросы или нужна помощь, просто напишите нам в чат по ссылке ниже.

Интеграция сайта с сервисами по API в студии Внешний{Код}

Интеграция сайта с сервисами по API

С помощью API (интерфейса программирования) крупных сервисов их можно интегрировать с любым веб-ресурсом, что приводит к значительному расширению функциональности и возможностей сайта. Интеграция с сервисами по API позволяет автоматизировать процессы обмена данными и за счет этого:

Контролировать всю информацию, поступающую от пользователей (регистрационные записи, описание заказов, адреса доставки, оставленные комментарии и так далее).
Автоматизировать работу отдела продаж и клиентской поддержки и за счет этого увеличить количество закрываемых сделок.
Снизить затраты на ручную обработку данных и составление отчетностей.
Упростить управление и администрирование ресурса.
Оптимизировать бизнес-процессы.
Повысить привлекательность сайта для пользователей.

Возможности интеграции

Интеграция сайта по API чаще всего осуществляется с платежными сервисами, социальными сетями, 1С, CRM. Это определяет список функций, доступных после объединения:

Автоматизация операций, связанных с оплатой заказов, их отслеживанием и исполнением.
Автоматическое размещение постов в группах социальных сетях, автолайкинг.
Упрощенный запуск и отслеживание маркетинговых кампаний.
Снижение затрат на реализацию рекламных стратегий и получения статистических данных по ним.

Если речь идет об интеграции с платежной системой, то после ее завершения у пользователей ресурса появится возможность проводить оплату через добавленный кошелек.

Разработка решений для вашего сайта

Перед осуществлением интеграции необходимо определиться с целями, которые вы хотите достичь. Они могут быть различными:

Оптимизация работы с клиентской базой.
Расширение функционала сайта.
Создание списков рассылок и управление ими.
Общее повышение эффективности работы ресурса.
Предоставление качественной пользовательской поддержки.

Все это направлено на упрощение взаимодействия между сайтом и его ЦА, повышения эффективности бизнес-процессов.

Наша команда готова подробнее рассказать обо всех возможностях, которые можно получить, используя интеграцию сайта с внешними сервисами по API. Также мы предложим другие решения по повышению доходности вашего ресурса. Для этого свяжитесь с нами при помощи контактных телефонов или онлайн-формы.

РСМД :: Аналитические статьи

Все темыАТРБезопасностьВнешняя политика РоссииГлобальное управлениеМир через 100 летМногополярный мирОбразование и наукаОбщество и культураТехнологииЭкологияЭкономикаЭнергетика

Все регионыАнтарктикаАрктикаАфрикаБалканыБлижний ВостокВосточная Азия и АТРЕвропаКавказЛатино-Карибская АмерикаОкеания и АвстралияПостсоветское пространствоРоссияСеверная АмерикаЦентральная АзияЮго-Восточная АзияЮжная Азия

Все проектыБудущее Большой ЕвропыВекторы развития европейской части постсоветского пространства: вызовы для РоссииВосточная Азия: приоритеты внешней политики РоссииГлобализация 2. 0: новые подходы к преподаванию и исследованиямГлобальная наукаГородские завтраки РСМДГуманитарное измерение российско-европейских отношений: проблемы и перспективы развития науки, образования и культурыЕвразийская экономическая интеграция: эффективные модели взаимодействия экспертовЕжегодник СИПРИ 2011Зеленая повестка: политическое измерениеЗимняя школа РСМД «Миграция в глобальном мире»Искусство дипломатии и политический опыт: преемственность поколенийИсламский фактор в современной мировой политикеКонкурс «Глобальные перспективы»Конкурс молодых журналистов-международниковКонкурс онлайн-курсов по международным отношениямЛекции в Музее современной истории РоссииЛетняя школа «Дорожная карта международного сотрудничества в Арктике»Летняя школа «Интерактивные ресурсы для публичной и корпоративной дипломатии»Летняя школа «Молодежный саммит АТЭС: цели, приоритеты и перспективы»Летняя школа в Екатеринбурге «Ситуация в Центральной Азии: безопасность, экономика, человеческое развитие»Летняя школа ЕЭК и РСМД «Евразийская экономическая интеграция: приоритеты, перспективы, инструменты»Международное измерение информационной безопасностиМеждународное научно-техническое сотрудничество РоссииМеждународное сотрудничество в АрктикеМеждународные и социальные последствия использования технологий искусственного интеллектаМеждународные миграционные процессы: тренды, вызовы, перспективы Монография «Великая конвергенция: Азия, Запад и логика единого мира» Монография «Дилеммы Британии: российский взгляд»Новая Восточная Европа: анализ ситуации и стратегическое позиционирование России в регионах ЦВЕ, Балтии и на европейском фланге постсоветского пространстваНовая повестка российско-британских отношенийНовая повестка российско-французских отношенийОбразовательная и научная миграция в РоссиюОрганизация международной экспертизы проектов для РНФПовышение эффективности участия России в «Группе восьми», «Группе двадцати» и БРИКСПолитическая и экономическая динамика стран Центральной АзииПолитические риски для российских проектов в области мирного атомаПроблемы формирования нового мирового порядкаПрогнозирование динамики международной средыПути преодоления проблем российско-грузинских отношенийРазвитие механизмов и инструментов научной дипломатии в РоссииРазработка рекомендаций по интернационализации высшего образования России в целях повышения его качества и конкурентоспособности на период 2013–2017 гг. Российская стратегия на Африканском континентеРоссийско-американский диалог в области кибербезопасностиРоссийско-германский диалог по международным отношениям (GRID)Россия — США — Китай: протекционизм, вопросы безопасности и конкуренция в сфере высоких технологийРоссия и АТР: концептуальные основы политики в области безопасности и развитияРоссия и Вьетнам: пределы и возможности двусторонних отношенийРоссия и Греция: перспективы и возможности двусторонних отношенийРоссия и Евроатлантическое сообществоРоссия и ЕС: возможности партнерства и построение сети экспертно-аналитических центровРоссия и Индия: к новой повестке двусторонних отношенийРоссия и Иран: становление стратегического сотрудничестваРоссия и Италия: двустороннее сотрудничество и региональный контекстРоссия и Италия: Средиземноморские диалогиРоссия и Китай: партнерство в контексте вызовов безопасности и развития в АТРРоссия и Мексика: новые двусторонние отношенияРоссия и Пакистан: подходы к безопасности в регионе Персидского заливаРоссия и Республика Корея: перспективы двусторонних отношенийРоссия и США: диалог о проблемах двусторонних отношений, региональных и глобальных вызовахРоссия и Турция: партнерство в контексте вызовов безопасности и развития в Западной АзииРоссия и Япония: пути решения проблем двусторонних отношенийСанкции против России: направления эскалации и политика противодействияСборник «Украинский кризис через призму международных отношений»Система безопасности на Ближнем ВостокеСправочник «Военно-политические исследования в России»Справочник «Международные исследования в России. 1000 экспертов и 100 организаций»Справочник «Международные исследования в России»Справочник «Миграционное поле России»Стратегическая стабильность и снижение риска ядерной угрозыТезисы о внешней политике России (2012–2018 гг.)тесттТрехтомная хрестоматия «Современная наука о международных отношениях за рубежом»Трехтомный сборник «Внешняя политика России: 2000–2020»Хельсинки +40Хрестоматии «Арктический регион: проблемы международных отношений»Хрестоматия «Миграция в России. 2000–2012»Хрестоматия «Мир через 100 лет»Хрестоматия «Россия в глобальном мире: 2000-2011»Хрестоматия «Теория международных отношений: современные тенденции»Хрестоматия «Эволюция постсоветского пространства: прошлое, настоящее, будущее»Электронная интернационализация российских университетовЮжная Азия: возможности и вызовы для России

Все страныАвстралияАвстрияАзербайджанАландские острова, ФинляндияАлбанияАлжирАмериканские Виргинские острова, СШААмериканское Самоа, СШААнгильяАнголаАндорраАнтигуа и БарбудаАргентинаАрменияАрубаАфганистанБагамыБангладешБарбадосБахрейнБеларусьБелизБельгияБенинБермуды, БритБолгарияБоливияБонайреБосния и ГерцеговинаБотсванаБразилияБританские Виргинские острова, Брит. БрунейБуркина-ФасоБурундиБутанВануатуВатиканВенгрияВенесуэлаВиргинские острова, СШАВосточный ТиморВьетнамГабонГаитиГайанаГамбияГанаГваделупаГватемалаГвиана, ФранцияГвинеяГвинея-БисауГерманияГернси, Брит.ГибралтарГондурасГондурасГонконгГренадаГренландияГрецияГрузияГуам, СШАДанияДжерсиДжибутиДоминикаДоминиканская РеспубликаЕгипетЗамбияЗападная СахараЗимбабвеИзраильИндияИндонезияИорданияИракИран, Исламская РеспубликаИрландияИсландияИспанияИталияЙеменКабо-ВердеКазахстанКаймановы острова, Брит.КамбоджаКамерунКанадаКатарКенияКипрКиргизияКирибатиКитайКНДРКНРКокосовые острова, АвстралияКолумбияКоморыКонгоКонго, Демократическая РеспубликаКоста-РикаКот-д’ИвуарКубаКувейтКюрасаоЛаосЛатвияЛесотоЛиберияЛиванЛивияЛитваЛихтенштейнЛюксембургМаврикийМавританияМадагаскарМайоттаМакаоМакедонияМалавиМалайзияМалиМальдивыМальтаМароккоМартиникаМаршалловы островаМексикаМикронезияМозамбикМолдавияМонакоМонголияМонтсерратМьянмаНамибияНауруНепалНигерНигерияНидерландыНикарагуаНиуэ, Новая ЗеландияНовая ЗеландияНовая КаледонияНорвегияОбъединенные Арабские ЭмиратыОманОстров МэнОстров Норфолк, АвстралияОстров Рождества, АвстралияОстрова КайманОстрова КукаОстрова ПиткэрнПакистанПалауПалестинаПанамаПапуа-Новая ГвинеяПарагвайПеруПольшаПортугалияПуэрто-РикоРеспублика КореяРеюньонРоссияРуандаРумынияСальвадорСамоаСан-МариноСан-Томе и ПринсипиСаудовская АравияСвазилендСеверные Марианские острова, СШАСейшелыСен-Бартелеми, ФранцияСен-Мартен, ФранцияСен-Пьер и Микелон, ФранцияСенегалСент-Винсент и ГренадиныСент-Китс и НевисСент-ЛюсияСербияСингапурСинт-МартенСирияСловакияСловенияСоединенное КоролевствоСоединенные ШтатыСоломоновы островаСомалиСуданСуринамСьерра-ЛеонеТаджикистанТаиландТайвань (Китай)Танзания, Объединенная РеспубликаТеркс и КайкосТогоТокелауТонгаТринидад и ТобагоТувалуТунисТуркменияТурцияУгандаУзбекистанУкраинаУоллис и ФутунаУругвайФарерские островаФедеративные Штаты МикронезииФиджиФилиппиныФинляндияФолклендские островаФранцияФранцузская ГвианаФранцузская ПолинезияХорватияЦентральноафриканская РеспубликаЧадЧерногорияЧешская РеспубликаЧилиШвейцарияШвецияШпицбергенШри-ЛанкаЭквадорЭкваториальная ГвинеяЭль-СальвадорЭритреяЭстонияЭфиопияЮжная АфрикаЮжная ОсетияЮжный СуданЯмайкаЯпония

Интеграция по частям

Интеграция по частям — это особый метод интеграции, который часто бывает полезен при перемножении двух функций, но также полезен и в других случаях.

Скоро вы увидите множество примеров, но сначала давайте посмотрим на правило:

∫u v dx = u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx

u есть функция u(x)
v есть функция v(x)
u’ является производной функции u(x)

Правило в виде диаграммы:

Давайте сразу перейдем к примеру:

Пример: Что такое ∫x cos(x) dx ?

Хорошо, у нас есть x , умноженное на cos(x) , поэтому интегрирование по частям — хороший выбор.

Сначала выберите функции для u и v :

Итак, теперь это в формате ∫ u v dx мы можем продолжить:

Дифференцировать u : u’ = x’ = 1

Интегрировать v : ∫v dx = ∫cos(x) dx = sin(x) (см. Правила интегрирования)

Теперь мы можем собрать это вместе:

Упрости и реши:

х sin(x) − ∫sin(x) dx

х sin(x) + cos(x) + C

Итак, мы выполнили следующие шаги:

Выберите u и v
Дифференцировать u: u’
Интегрировать v: ∫v dx
Поместите u, u’ и ∫v dx в: u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx
Упрости и реши

В английском языке мы можем сказать, что ∫u v dx становится:

(интеграл u v) минус интеграл от (производная u, интеграл v)

Давайте попробуем еще несколько примеров:

Пример: Что такое ∫ln(x)/x

² dx ?

Сначала выберите u и v:

Дифференцировать u: ln(x)’ = 1 x

Интегрируем v: ∫1/x ² dx = ∫x ^-2 dx = −x ^-1 = −1 x (по степенному правилу)

Теперь сложите вместе:

Упрощение:

−ln(x)/x − ∫−1/x ² dx = −ln(x)/x − 1/x + C

− ln(x) + 1 x + С

Пример: Что такое ∫ln(x) dx ?

Но функция всего одна! Как мы выбираем u и v ?

Эй! Мы можем просто выбрать v как «1»:

Дифференцировать u: ln(x)’ = 1/x

Интегрировать v: ∫1 dx = x

Теперь сложите вместе:

Упрощение:

х ln(x) — ∫1 dx = x ln(x) — x + C

Пример: Что такое ∫e

^x x dx ?

Выберите u и v:

Дифференцировать u: (e ^x )’ = e ^x

Интегрировать v: ∫x dx = x ² /2

Теперь сложите вместе:

Что ж, это было грандиозное бедствие! Просто стало сложнее.

Может быть, мы могли бы выбрать другие u и v?

Пример: ∫e

^x x dx (продолжение)

Выберите u и v по-разному:

Дифференцировать u: (x)’ = 1

Интегрировать v: ∫e ^x dx = e ^x

Теперь сложите вместе:

Упрощение:

х е ^х — е ^х + С

е ^х (х-1) + С

Мораль этой истории: тщательно выбирайте и и против !

Выберите и , которые упрощаются при дифференциации, и и , которые не усложняются при интеграции.

Полезное эмпирическое правило: Я ПОЗДНЕЕ. Выберите u в зависимости от того, какой из них стоит первым:

И вот последний (и хитрый) пример:

Пример: ∫e

^x sin(x) dx

Выберите u и v:

Дифференцировать u: sin(x)’ = cos(x)

Интегрировать v: ∫e ^x dx = e ^x

Теперь сложите вместе:

∫e ^x sin(x) dx = sin(x) e ^x −∫cos(x) e ^x dx

Выглядит хуже, но будем упорствовать! Чтобы найти ∫cos(x) e ^x dx, мы можем снова использовать интегрирование по частям :

Выберите u и v:

Дифференцировать u: cos(x)’ = -sin(x)

Интегрировать v: ∫e ^x dx = e ^x

Теперь сложите вместе:

∫e ^x sin(x) dx = sin(x) e ^x − (cos(x) e ^x -∫-sin(x) e ^x dx)

Упрощение:

∫e ^x sin(x) dx = e ^x sin(x) − e ^x cos(x) −∫ e ^x sin(x)dx

Теперь у нас одинаковый интеграл с обеих сторон (за исключением вычитания одного). ..

… так что перенесите правую руку на левую, и мы получим:

2∫e ^x sin(x) dx = e ^x sin(x) − e ^x cos(x)

Упрощение:

∫e ^x sin(x) dx = ½ e ^x (sin(x) − cos(x)) + C

Сноска: откуда взялось «интегрирование по частям»?

Основан на Правиле продукта для деривативов:

(ув)’ = ув’ + ув

Объединить обе стороны и переставить:

∫(uv)’ dx = ∫uv’ dx + ∫u’v dx

uv = ∫uv’ dx + ∫u’v dx

∫uv’ dx = uv − ∫u’v dx

Некоторые люди предпочитают последнюю форму, но мне нравится заменять v’ на w и v на ∫w dx , что делает левую часть проще:

∫uw dx = u∫w dx − ∫u'(∫w dx) dx

Исчисление II — Интегрирование по частям

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Интеграция по частям

Давайте начнем этот раздел с пары интегралов, которые мы уже должны уметь делать для начала.2}}} + с\]

Опять же, достаточно просто сделать, если вы помните, как делать замены. Кстати, убедитесь, что вы можете делать такие замены быстро и легко. С этого момента мы будем делать такие замены в нашей голове. Если вам придется останавливаться и записывать их для каждой задачи, вы обнаружите, что вам потребуется значительно больше времени для решения этих задач. {6x}}\) сам по себе, мы могли бы достаточно легко вычислить интеграл.\prime}\,dx}} = \int{{f’\,g + f\,g’\,dx}}\]

Левую часть достаточно легко проинтегрировать (мы знаем, что интегрирование производной просто «отменяет» производную), и мы разделим правую часть интеграла.

\[fg = \int{{f’\,g\,dx}} + \int{{f\,g’\,dx}}\]

Обратите внимание, что технически у нас должна была появиться константа интегрирования с левой стороны после выполнения интегрирования. Мы можем отбросить его на этом этапе, так как другие константы интеграции появятся в будущем, и они просто в конечном итоге поглотят эту.

Наконец, перепишем формулу следующим образом, и мы придем к формуле интегрирования по частям.

\[\int{{f\,g’\,dx}} = fg — \int{{f’\,g\,dx}}\]

Однако это не самая простая формула. Итак, делаем пару замен.

\[\begin{align*}u = f\left( x \right)\hspace{0.5in}v = g\left( x \right)\\ & du = f’\left( x \right)\, dx\hspace{0.

5in}dv = g’\left( x \right)\,dx\end{align*}\]

Обе эти замены являются стандартными заменами в исчислении I, к которым, надеюсь, вы уже привыкли.Пусть вас не волнует тот факт, что здесь мы используем две замены. Они будут работать так же.

Использование этих подстановок дает нам формулу, которую большинство людей считают формулой интегрирования по частям.

Интеграция по частям

\[\int{{u\,dv}} = uv — \int{{v\,du}}\]

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно определить $u$ и $dv$, вычислить $du$ и $v$, а затем использовать формулу. Заметьте также, что вычисление $v$ очень просто.Все, что нам нужно сделать, это интегрировать $dv$.

\[v = \int{{dv}}\]

Одна из самых сложных вещей при использовании этой формулы заключается в том, что вы должны уметь правильно идентифицировать как $u$, так и $dv$. Не всегда будет ясно, какой выбор правильный, и иногда мы делаем неправильный выбор. Это не то, о чем стоит беспокоиться. Если мы делаем неправильный выбор, мы всегда можем вернуться и попробовать другой набор вариантов.

Это приводит к очевидному вопросу: как узнать, правильный ли выбор мы сделали для $u$ и $dv$? Ответ на самом деле довольно прост.{6x}}\,dx}}\] Показать решение

Итак, на каком-то уровне проблема заключается в том, что $x$ стоит перед экспонентой. Если бы этого не было, мы могли бы сделать интеграл. Заметьте также, что при интегрировании по частям все, что мы выбираем для $u$, будет дифференцированным. Итак, кажется, что выбор $u = x$ будет хорошим выбором, так как при дифференцировании $x$ выпадет.

Теперь, когда мы выбрали $u$, мы знаем, что $dv$ будет всем остальным, что осталось.{6x}} + c\end{выравнивание*}\]

После того, как мы сделали последний интеграл в задаче, мы добавим константу интегрирования, чтобы получить окончательный ответ.

Заметим также, что, как отмечалось выше, мы знаем, что сделали правильный выбор для $u$ и $dv$, когда получили новый интеграл, который мы действительно вычисляем после применения формулы интегрирования по частям.

Далее рассмотрим интегрирование по частям для определенных интегралов.b\) в первом члене — это просто стандартная запись вычисления интеграла, с которой вы должны быть знакомы на данном этапе. Все, что мы делаем, это вычисляем термин, uv в данном случае, в точке $b$, затем вычитаем оценку термина в точке $a$.

На каком-то уровне нам здесь действительно не нужна формула, потому что мы знаем, что при вычислении определенных интегралов все, что нам нужно сделать, это вычислить неопределенный интеграл, а затем выполнить вычисление. На самом деле, это, вероятно, будет немного проще, поскольку нам не нужно отслеживать оценку каждого термина таким образом.{- 6}}\end{выравнивание*}\]

Любой метод вычисления определенных интегралов с интегрированием по частям довольно прост, поэтому какой из них вы выберете, зависит от вас.

Поскольку нам нужно уметь вычислять неопределенный интеграл, чтобы вычислить определенный интеграл, а выполнение определенного интеграла сводится к не более чем вычислению неопределенного интеграла в нескольких точках, мы сосредоточимся на вычислении неопределенного интеграла в оставшейся части этого раздела. раздел.Фактически, на протяжении большей части этой главы так и будет. Мы будем делать гораздо больше неопределенных интегралов, чем определенных интегралов.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3. Вычислите следующий интеграл. \[\int{{\left({3t + 5} \right)\cos \left({\frac{t}{4}} \right)\,dt}}\] Показать решение

Есть два способа работы с этим примером. Для многих первое, что они пробуют, это умножить косинус через круглые скобки, разделить интеграл, а затем выполнить интегрирование по частям в первом интеграле.

Хотя это вполне приемлемый способ решения проблемы, это больше работы, чем нам действительно нужно. Вместо того, чтобы разбивать интеграл, давайте вместо этого используем следующие варианты для $u$ и $dv$.

\[\begin{align*}u & = 3t + 5& \hspace{0.5in}dv & = \cos\left({\frac{t}{4}} \right)\,dt\\ du & = 3 \, dt & \ hspace {0,5 дюйма} v & = 4 \ sin \ left ( {\ frac {t} {4}} \ right) \ end {align *} \]

Тогда интеграл равен

\[\ begin{align*}\int{{\left({3t + 5} \right)\cos \left({\frac{t}{4}} \right)\,dt}} & = 4\ влево ({3t + 5} \right)\sin \left({\frac{t}}{4}} \right) — 12\int{{\sin \left({\frac{t}{4}} \ справа) \, dt}} \\ & = 4 \ влево ( {3t + 5} \ вправо) \ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {t} {4}} \ вправо) + 48 \ соз \ влево ( {\ frac{t}{4}} \right) + c\end{align*}\]

Обратите внимание, что мы убрали все константы из интеграла, когда использовали формулу интегрирования по частям.2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\int{{w\cos \left( {10w} \right)\,dw}} \]

В этом примере, в отличие от предыдущих примеров, новый интеграл также потребует интегрирования по частям. 2}}}{{10}}\cos \ влево( {10w} \right) + \frac{w}{{50}}\sin \left( {10w} \right) + \frac{1}{{500}}\cos \left( {10w} \ вправо) + c\end{align*}\]

Будьте осторожны с коэффициентом при интеграле для второго применения интегрирования по частям.Поскольку интеграл умножается на $\frac{1}{5}$, нам нужно убедиться, что результаты фактического выполнения интеграла также умножаются на $\frac{1}{5}$. Забыть сделать это — одна из самых распространенных ошибок при интегрировании по частям.

Как показал последний пример, иногда нам потребуется более одного применения интегрирования по частям, чтобы полностью вычислить интеграл. Это то, что произойдет, так что не волнуйтесь об этом, когда это произойдет.

В следующем примере мы должны отметить важный момент, касающийся методов интеграции. Некоторые интегралы можно вычислить, используя несколько различных методов. Так обстоит дело с интегралом в следующем примере.

Пример 5.

Вычислите следующий интеграл \[\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}}\]

Использование интегрирования по частям.
Использование стандартной замены Calculus I.

Показать все решения Скрыть все решения a Использование интегрирования по частям.Показать решение

Прежде всего обратите внимание, что в этом интеграле нет тригонометрических функций или экспонент. В то время как многие интегрирования по частям будут включать тригонометрические функции и/или экспоненты, не все из них будут, поэтому не слишком зацикливайтесь на идее ожидания их появления.

В этом случае мы будем использовать следующие варианты для $u$ и $dv$.

\[\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in}dv & = \sqrt {x + 1} \,dx\\ du & = dx & \hspace{0.{\ гидроразрыва {5} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]
b Используя стандартную замену Calculus I. Показать решение

Теперь сделаем интеграл с подстановкой. {\ гидроразрыва {3} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]

Итак, в этом примере мы использовали два разных метода интеграции и получили два разных ответа.Очевидный вопрос тогда должен быть: Мы сделали что-то не так?

На самом деле, мы не сделали ничего плохого. Нам нужно помнить следующий факт из Исчисления I.

\[{\rm{If}}\,\,f’\left(x\right) = g’\left(x\right)\,\,\,{\rm{then}}\,\,\ ,f\влево(x\вправо) = g\влево(x\вправо) + c\]

Другими словами, если две функции имеют одинаковую производную, то они будут отличаться не более чем на константу. Итак, как это относится к вышеупомянутой проблеме? Сначала определите следующее,

\[f’\влево( x \вправо) = g’\влево( x \вправо) = x\sqrt {x + 1} \]

Затем мы можем вычислить $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$, интегрируя следующим образом:

\[f\left( x \right) = \int{{f’\left( x \right)\,dx}}\hspace{0.5in}g\left( x \right) = \int{{g’\left( x \right)\,dx}}\]

Мы будем использовать интегрирование по частям для первого интеграла и замену для второго интеграла. Тогда по тому, что $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ должны отличаться не более чем на константу. Давайте проверим это и посмотрим, так ли это. Мы можем убедиться, что они различаются не более чем на константу, если посмотрим на разницу между ними и проделаем небольшую алгебраическую манипуляцию и упрощение.{\ гидроразрыва {3} {2}}} \ влево ( 0 \ вправо) \\ \ hspace {2,0 дюйма} = 0 \ конец {массив} \]

Итак, в данном случае оказывается, что две функции — это одна и та же функция, поскольку разница равна нулю. Обратите внимание, что это происходит не всегда. Иногда разница будет давать ненулевую константу. В качестве примера см. раздел «Константа интегрирования» в заметках «Исчисление I».

Так что же мы узнали? Во-первых, иногда будет более одного метода вычисления интеграла.Во-вторых, мы видели, что разные методы часто приводят к разным ответам. Наконец, даже если ответы разные, можно показать, иногда с большим трудом, что они отличаются не более чем на константу.

Когда мы сталкиваемся с интегралом, первое, что нам нужно решить, это то, есть ли более одного способа вычислить интеграл. Если существует более одного способа, нам нужно определить, какой метод мы должны использовать. Общее эмпирическое правило, которое я использую на своих занятиях, состоит в том, что вы должны использовать метод, который вы считаете самым легким.Возможно, это не тот метод, который другим кажется самым простым, но это не делает его неправильным.

Одна из наиболее распространенных ошибок при интеграции по частям заключается в том, что люди слишком зацикливаются на воспринимаемых шаблонах. Например, во всех предыдущих примерах использовался базовый шаблон, когда $u$ был полиномом, стоящим перед другой функцией, а затем пусть $dv$ был другой функцией. Это происходит не всегда, поэтому нам нужно быть осторожными и не зацикливаться на каких-либо шаблонах, которые, как нам кажется, мы видим.

Давайте посмотрим на некоторые интегралы, которые не вписываются в приведенную выше схему.

Пример 6. Вычислите следующий интеграл. \[\int{{\ln x\,dx}}\] Показать решение
Итак, в отличие от любого другого интеграла, который мы сделали до этого момента, в интеграле есть только одна функция и нет многочлена, стоящего перед логарифмом.
Первое, что многие здесь делают, это попытаться вписать это в шаблон, описанный выше, и сделать следующие варианты для $u$ и $dv$.
\[u = 1\hspace{0.5in}dv = \ln x\,dx\]
Однако это приводит к реальной проблеме, поскольку это означает, что $v$ должно быть,
\[v = \int{{\ln x\,dx}}\]
Другими словами, нам нужно знать ответ заранее, чтобы решить задачу. Таким образом, этот выбор просто не будет работать.
Следовательно, если логарифм не принадлежит $dv$, он должен принадлежать $u$.Итак, давайте использовать следующие варианты вместо
\[\begin{align*}u & = \ln x & \hspace{0,5in} dv & = \,dx\\ du & = \frac{1}{x}dx & \hspace{0,5in}v & = х\конец{выравнивание*}\]
Тогда интеграл равен
\[\begin{align*}\int{{\ln x\,dx}} & = x\ln x — \int{{\frac{1}{x}\,x\,dx}}\\ & = x\ln x — \int{{dx}}\\ & = x\ln x — x + c\end{align*}\] Пример 7. Вычислите следующий интеграл.{\ гидроразрыва {5} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]
Итак, в предыдущих двух примерах мы видели случаи, которые не вполне вписывались ни в одну из предполагаемых закономерностей, которые мы могли бы получить из первых двух примеров. Это всегда то, на что нам нужно обращать внимание при интеграции по частям.
Давайте рассмотрим еще один пример, который также иллюстрирует другой метод интеграции, который иногда возникает из-за проблем интеграции по частям.
Пример 8. Вычислите следующий интеграл.\ тета } \ соз \ тета \, д \ тета }} \] Показать решение
Хорошо, до сих пор мы всегда выбирали $u$ таким образом, чтобы при дифференцировании эта часть исчезала или, по крайней мере, представляла интеграл в форме, с которой было бы легче иметь дело. . В этом случае какую бы часть мы ни составили $u$, она никогда не исчезнет в процессе дифференцирования.
Не так уж важно, что мы выберем в качестве $u$, поэтому мы выберем следующим образом. \theta }\sin \theta } \right) + c\]
Обратите внимание, что после деления на два мы добавляем константу интегрирования в этой точке.
Эту идею интегрирования до тех пор, пока вы не получите один и тот же интеграл по обе стороны от знака равенства, а затем просто находите интеграл, неплохо запомнить. Он появляется не так уж часто, но когда появляется, это может быть единственным способом вычислить интеграл.
Заметьте также, что на самом деле это просто алгебра, правда, сделанная таким образом, что вы, возможно, не привыкли ее видеть, но на самом деле это просто алгебра.
На данном этапе вашей математической карьеры решить может каждый,
\[x = 3 — x\hspace{0,5 дюйма} \to \hspace{0,5 дюйма} x = \frac{3}{2}\]
Мы все еще решаем «уравнение». Единственная разница в том, что вместо нахождения $x$ в мы находим интеграл, а вместо хорошей константы «3» в приведенной выше задаче по алгебре у нас есть «более беспорядочная» функция.
У нас есть еще один пример. Как мы увидим, некоторые проблемы могут потребовать многократного интегрирования по частям, и существует короткий метод, который позволит нам быстро и легко выполнять несколько приложений интегрирования по частям.{\ гидроразрыва {х} {2}}} \, дх}} \] Показать решение
Мы начинаем с выбора $u$ и $dv$, как обычно. Однако вместо вычисления $du$ и $v$ мы помещаем их в следующую таблицу. Затем мы дифференцируем столбец, соответствующий $u$, пока не достигнем нуля. В столбце, соответствующем $dv$, мы интегрируем один раз для каждой записи в первом столбце. Существует также третий столбец, который мы немного объясним, и он всегда начинается с «+», а затем чередуются знаки, как показано.{\ гидроразрыва {х} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]
У нас есть интеграл. Это намного проще, чем записывать все различные $u$ и $dv$, которые нам пришлось бы делать в противном случае.
Итак, в этом разделе мы увидели, как выполнять интегрирование по частям. На более поздних занятиях по математике это, вероятно, будет одним из наиболее частых методов интеграции, с которыми вы столкнетесь.
Важно не слишком зацикливаться на шаблонах, которые, как вам может показаться, вы уже видели.В большинстве случаев любой шаблон, который, как вам кажется, вы видели, может (и будет) нарушен в какой-то момент времени. Будь осторожен!
7. Интеграция по частям
М. Борна
Иногда мы встречаем интеграцию, которая является продуктом 2-х функций. Мы можем интегрировать такие продукты, используя Интеграция по частям .
Если u и v являются функциями x , то Правило продукта для дифференциации, с которым мы встречались ранее, дает нам:
`d/(dx)(uv)=u(dv)/(dx)+v(du)/(dx)`
Переставляем, имеем:
`u(dv)/(dx)=d/(dx)(uv)-v(du)/(dx)`
Интегрируя по отношению к x , мы получаем формула интегрирования по частям:
Эта формула позволяет превратить сложный интеграл в более простые. Мы должны убедиться, что выбрали u и дв внимательно.
ПРИМЕЧАНИЕ: Функция u выбрана так что `(du)/(dx)` 90 108 проще 90 109, чем и .
Приоритеты при выборе и
Если у вас есть сочетание функций в выражении, которое нужно интегрировать, используйте следующее для выбора `u`, по порядку.
1. Пусть `u = ln x`
2.(нх)`
Пример 1
`intx\sin2x\dx`
Решение
Нам нужно выбрать `u`. В этом вопросе у нас нет ни одной из функций, предложенных в списке «приоритетов» выше.
Мы могли бы оставить `u = x` или `u = sin 2x`, но обычно работает только один из них. В общем, мы выбираем тот, который позволяет `(du)/(dx)` иметь более простую форму, чем u .
Итак, для этого примера мы выбираем u = x , и поэтому `dv` будет «остатком» интеграла, дв = грех 2 х дх .
У нас есть `u = x`, поэтому `du = dx`.
Также `dv = sin 2x\ dx` и интегрирование дает:
`v=intsin 2x\ dx`
`=(-cos 2x)/2`
Подставив эти 4 выражения в формулу интегрирования по частям, мы получим (используя цветовое кодирование, чтобы было легче увидеть, откуда что взялось):
`int \color{green}{\underbrace{u}}\ \ \ \color{red}{\underbrace{dv}}\ \ ` ` =\ \ \color{green}{\underbrace{u}}\ \ \ \color{blue}{\underbrace{v}} \ \ -\ \ int \color{blue}{\underbrace{v}}\ \ \color{magenta}{\underbrace{du}}`
`int \color{green}{\fbox{:x:}}\ \color{red}{\fbox{:sin 2x dx:}} = \color{green}{\fbox{:x:}}\ \color{blue}{\fbox{:{-cos2x}/2:}} — int \color{blue}{\fbox{:{-cos2x}/2:}\ \color{magenta}{\fbox{: дх:}}`
`= (-xcos2x)/2 + 1/2 int cos2x dx`
`= (-xcos2x)/2 + 1/2 (sin2x)/2 +K`
`= (-xcos2x)/2 + (sin2x)/4 +K`
Если вышеизложенное немного сложно понять (из-за разрывов строк), вот оно снова в другом формате:
Пример 2
`int x sqrt(x+1) dx`
Ответить
`intxsqrt(x+1)\dx`
Мы могли бы оставить `u=x` или `u=sqrt(x+1)` . {{x}}{d}{x}$$$?
В общем случае, если у вас под знаком интеграла произведение функций, которое легко интегрируется по отдельности, следует использовать интегрирование по частям.
Формула интегрирования по частям : $$$\int{u}{d}{v}={u}{v}-\int{v}{d}{u}$$$.
Доказательство
Используя правило произведения, мы получаем, что $$${\left({f{{\left({x}\right)}}}{g{{\left({x}\right)} }}\right)}’={f{‘}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}+{f{{\left({ x}\right)}}}{g{‘}}{\left({x}\right)}$$$.
Интегрирование обеих сторон дает: $$$\int{\left({f{{\left({x}\right)}}}{g{{\left({x}\right)}}}\right )}'{d}{x}=\int{\left({f{‘}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}+ {f {{\ left ({x} \ right)}}} {g {‘}} {\ left ({x} \ right)} \ right)} {d} {x} $ $ $.
Это можно переписать как $$${f{{\left({x}\right)}}}{g{{\left({x}\right)}}}=\int{f{‘} {\ left ({x} \ right)} {g {{\ left ({x} \ right)}}} {d} {x} + \ int {f {{\ left ({x} \ right) }}}{g{‘}}{\left({x}\right)}{d}{x}$$$ или $$$\int{f{{\left({x}\right)}} }{g{‘}}{\left({x}\right)}{d}{x}={f{{\left({x}\right)}}}{g{{\left({x }\right)}}}-\int{f{‘}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}{d}{x}$ $$. {{{d}{ u}}}=-{x}{\cos{{\left({x}\right)}}}+\int{\cos{{\left({x}\right)}}}{d}{ x}=$$$
$$$=-{x}{\cos{{\left({x}\right)}}}+{\sin{{\left({x}\right)}} }+{С}$$$.{{2}}{\sin{{\left({x}\right)}}}+{2}{x}{\cos{{\left({x}\right)}}}-{2} {\sin{{\left({x}\right)}}}+{C}_{{1}}$$$, где $$${C}_{{1}}=-{2}{C }$$$.
Пример 2 показывает, что в некоторых случаях нам нужно применить интегрирование по частям более одного раза.
Пример 3. Вычислить $$$\int{\ln{{\left({x}\right)}}}{d}{x}$$$.
Здесь есть только один выбор для $$${u}$$$ и $$${v}$$$, а именно $$${u}={\ln{{\left({x}\ справа)}}}$$$ и $$${d}{v}={d}{x}$$$; так, $$${d}{u}={\left({\ln{{\left({x}\right)}}}\right)}'{d}{x}=\frac{{1 }}{{x}}{d}{x}$$$ и $$${v}=\int{d}{x}={x}$$$.{{2}}+{1}}}{d}{x}=\frac{\pi}{{4}}-\frac{{1}}{{2}}{\ln{{\left( {2}\right)}}}$$$.
Как интегрировать по частям: формула и примеры
Первообразные могут быть достаточно сложными для решения сами по себе, но когда у вас есть две функции, умноженные вместе, и вам нужно взять первообразную, может быть трудно понять, с чего начать. Вот тут-то и пригодится формула интегрирования по частям!
Эта удобная формула может значительно облегчить вашу домашнюю работу по математическому анализу, помогая вам найти первообразные, которые в противном случае были бы трудными и трудоемкими.В этом руководстве мы объясняем формулу, рассказываем о каждом шаге, который необходимо предпринять для интеграции по частям, и решаем примеры задач, чтобы вы могли сами стать экспертом по интеграции по частям.

Что такое формула интегрирования по частям?
Интегрирование по частям — это метод, используемый в вычислениях для нахождения интеграла от произведения функций через интеграл от их производной и первообразной. В принципе, если у вас есть уравнение с первообразной двух функций, умноженных вместе, и вы не знаете, как найти первообразную, формула интегрирования по частям преобразует первообразную функций в другую форму, чтобы было легче найти первообразную. упростить/решить. Вот формула:
∫ f(x)g’(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f’(x)g(x) dx
Вы начинаете с левой части уравнения (первообразная произведения двух функций) и преобразуете ее в правую часть уравнения.
Формула интегрирования по частям также может быть записана более компактно, с u вместо f(x), v вместо g(x), dv вместо g'(x) и du вместо f'(x):
∫ u dv = uv − ∫ v du
Вы можете использовать интегрирование по частям, когда вам нужно найти первообразную сложной функции, которую трудно решить, не разбивая ее на две функции, умноженные вместе.Поначалу это может показаться не очень полезной формулой, поскольку ни одна из сторон уравнения не является значительно более упрощенной, чем другая, но по мере того, как мы будем работать с примерами, вы увидите, насколько полезной может быть формула интегрирования по частям для решения первообразных.

Как решать задачи с помощью интегрирования по частям
Существует пять шагов решения задачи с помощью формулы интегрирования по частям:
№1: выберите u и v
# 2: Различайте u, чтобы найти du
#3: Интегрируйте v, чтобы найти ∫v dx
#4: Подставьте эти значения в уравнение интегрирования по частям
#5: Упростите и решите
Может показаться сложным интегрировать по частям, но на самом деле использовать формулу довольно просто. Все первые три шага связаны с выбором/нахождением различных переменных, чтобы их можно было включить в уравнение на четвертом шаге. Вы должны иметь четкое представление о том, как дифференцировать и интегрировать, но если вы это сделаете, эти шаги будут легкими.
В общем, ваша цель состоит в том, чтобы du было проще, чем u , и чтобы первообразная dv была не сложнее, чем v . По сути, вы хотите, чтобы правая часть уравнения оставалась как можно более простой, чтобы вам было легче упрощать и решать.Однако не слишком зацикливайтесь на выборе u и v. Если ваши первые варианты не работают, просто поменяйте их местами и интегрируйте по частям с вашими новыми u и v, чтобы увидеть, работает ли это лучше.
Когда у вас есть переменные, все, что вам нужно сделать, это упростить до тех пор, пока у вас больше не будет первообразных, и вы получите ответ! Продолжайте читать, чтобы узнать, как мы используем эти шаги для решения реальных задач.

Интегрирование по частям Примеры
Вот три примера задач различной сложности.Попробуйте решить каждый из них самостоятельно, а затем посмотрите, как мы использовали интегрирование по частям, чтобы получить правильный ответ.

Пример №1: найти ∫ xsin(x) dx
Если бы вы только взглянули на эту задачу, вы бы не знали, как взять первообразную от xsin(x). Вот тут-то и пригодится интегрирование по частям! Первый шаг — выбрать u и dv . С «x» как u легко получить du , так что давайте начнем с этого.
и= х
dv= sin(x)

Для шагов 2 и 3 мы будем дифференцировать u и интегрировать dv , чтобы получить du и v . Производная x равна dx (легко!), а первообразная sin(x) равна -cos(x).
ду= дх
v= -cos(x)

Теперь пришло время подставить эти переменные в формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Это дает нам:
∫ xsin(x) dx = x(-cos(x)) — ∫ -cos(x) dx

Затем упростите правую часть уравнения. Сначала раздайте негативы:
= -xcos(x) + ∫ cos(x) dx

Первопроизводная cos(x) равна sin(x), и не забудьте добавить произвольную константу C в конце:
= -xcos(x) + sin(x) + C

Вот и все, вы нашли первообразную!
Пример #2: Найдите ∫ x
² ln(x) dx
Опять же, сначала мы выберем u и dv .
и= лн(х)
dv= х ²

Затем мы будем использовать эту информацию для определения du и v . Производная ln(x) равна (1/x) dx, а первообразная x ² равна (⅓)x ³ .
du= (1/x) dx
v= (⅓)x ³

Теперь, когда у нас есть все переменные, давайте подставим их в уравнение интегрирования по частям:
∫x ² ln(x)dx=ln(x)⋅(⅓)x ³ −∫(⅓)x ³ ⋅(1/x) dx

Осталось только упростить! Сначала умножьте все:
.
= (х ³ ln(x))/3 — ∫x ² /3 dx
Затем возьмем первообразную ∫x ² /3.Добавьте константу, и все готово; в уравнении не осталось первообразных:
= (х ³ ln(x))/3 — (1/9)х ³ + С

Пример №3: найти ∫ ex sin(x) dx
Снова выберите u и dv :
u= sin(x)
дв= пр

Найдите du и v (производная sin(x) равна cox(x), а первообразная ex по-прежнему равна ex.
du= cos(x)
v= ex

Введите эти переменные в уравнение:
∫ex sin(x) dx = sin(x) ex -∫cos(x) ex dx
Все по-прежнему довольно запутанно, и часть уравнения «∫cos(x) ex dx» по-прежнему содержит две функции, перемноженные вместе. Иногда, когда вы используете формулу интегрирования по частям и все выглядит так же сложно, как и раньше, с двумя перемноженными функциями, может помочь снова использовать интегрирование по частям. Давайте попробуем.

Сосредоточившись только на части уравнения «∫cos(x) ex dx», выберите еще u и dv . Производная cos(x) равна -sin(x), а первообразная ex по-прежнему равна ex (по крайней мере, это просто!).
u= cos(x)
дв= пр
du= -sin(x)
v= ex

Снова подставьте эти новые переменные в формулу:
∫ex sin(x) dx = sin(x) ex — (cos(x) ex −∫−sin(x) ex dx)

Теперь упростим:
∫ex sin(x) dx = ex sin(x) — ex cos(x) −∫ ex sin(x)dx
Мы можем переместить «−∫ ex sin(x)dx» из правой части уравнения в левую:
2∫ex sin(x) dx = ex sin(x) − ex cos(x)
Снова упростите это и добавьте константу:
∫ex sin(x) dx = ex (sin(x) — cos(x)) / 2 + C
В правой части уравнения больше нет первообразных, так что вот вам ответ! Мы смогли найти первообразную этого запутанного уравнения, дважды проработав формулу интегрирования по частям.

Резюме: как интегрировать по частям
Формула интегрирования по частям может быть отличным способом найти первообразную произведения двух функций, первообразную которой иначе не узнать. Вам нужно хорошо знать производные и первообразные, чтобы иметь возможность использовать ее, но это простая формула, которая может помочь вам решить различные математические задачи. Шаги:
№1: выберите u и v
# 2: Различайте u, чтобы найти du
#3: Интегрируйте v, чтобы найти ∫v dx
#4: Подставьте эти значения в уравнение интегрирования по частям
#5: Упростите и решите

Что дальше?
Хотите знать, какие уроки математики вам следует посещать? Узнайте, какие уроки математики должны посещать старшеклассники, прочитав наше руководство.
Заинтересованы в математических соревнованиях, таких как Международная математическая олимпиада ? Прочтите наше руководство, чтобы узнать, как пройти квалификационные тесты.
Проблемы с математическим разделом SAT или ACT? У нас есть полные руководства по SAT Math и ACT Math, которые научат вас всему, что нужно для успешного прохождения этих разделов.
Интеграция по частям
Интегрирование по частям $\left({IBP}\right)$ — это специальный метод интегрирования произведений функций.х}dx} ,\;\;\int {x\ln xdx} ,\]
, в котором подынтегральная функция является произведением двух функций, может быть решена с помощью интегрирования по частям.
Этот метод основан на правиле произведения для дифференциации.
Предположим, что $u\left( x \right)$ и $v\left( x \right)$ — дифференцируемые функции. Тогда правило произведения с точки зрения дифференциалов дает нам:
\[{d\left( {uv} \right) = udv + vdu.}\]
Переставляя это правило, мы можем написать
\[udv = d\left( {uv} \right) — vdu.\]
Интегрирование обеих частей по $x$ дает
\[\int {{{u}{dv}}} = uv — \int {vdu} . \]
Это формула интегрирования по частям. Целью использования этой формулы является замена одного интеграла (слева) другим (справа), который легче вычислить.
Главное при интегрировании по частям правильно выбрать $u$ и $dv$.
Аббревиатура ILATE подходит для выбора $u.$ ILATE означает
Чем ближе функция к вершине, тем больше вероятность, что ее следует использовать как $u.{-x}}dx}.\]
Пример 1.
Вычислить \[\int {x\sin\left( {3x — 2} \right)dx}.\]
Раствор.
Используем интегрирование по частям:
\[\int {udv} = uv — \int {vdu} .\]
Пусть \(u = x,$ $dv = \sin \left( {3x — 2} \right)dx.$ Тогда
\[v = \int {\sin\left({3x — 2} \right)dx} = — \frac{1}{3}\cos \left({3x — 2} \right),\;\ ;du = dx.\]
Следовательно, интеграл равен
\[\int {x\sin\left({3x — 2} \right)dx} = — \frac{x}{3}\cos \left({3x — 2} \right) — \int {\ left( { — \frac{1}{3}\cos \left( {3x — 2} \right)} \right)dx} = — \frac{x}{3}\cos \left( {3x — 2 } \right) + \frac{1}{3}\int {\cos\left({3x — 2} \right)dx} = — \frac{x}{3}\cos \left({3x — 2 } \right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\sin\left( {3x — 2} \right) + C = \frac{1}{9}\sin\ влево( {3x — 2} \вправо) — \frac{x}{3}\cos \влево( {3x — 2} \вправо) + C. 2}xdx} = — x\cot x + \ln \left| {\ грех х} \ справа | + С.\]
Пример 3.
Вычислить интеграл \[\int {x\cos 2xdx}.\]
Раствор.
Выбираем
\[u = x,\;\;dv = \cos 2xdx.\]
Отсюда
\[du = dv,\;\;v = \int {\cos 2xdx} = \frac{1}{2}\sin 2x.\]
Подстановка этих выражений в формулу интегрирования по частям
\[\int {udv} = uv — \int {vdu} ,\]
у нас есть
\[\int {x\cos 2xdx} = x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x — \int {\frac{1}{2}\sin 2xdx} = \frac{x}{2 }\sin 2x — \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} = \frac{x}{2}\sin 2x — \frac{1}{2} \cdot \left( { — \frac {1}{2}\cos 2x} \right) + C = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.2}}}} = — \frac{{\ln x}}{x} — \frac{1}{x} + C.\]
Пример 6.
Вычислить интеграл \[\int {{{\log }_2}xdx}.\]
Раствор.
Чтобы использовать интегрирование по частям, перепишем интеграл следующим образом:
\[\int {{{\log }_2}xdx} = \int {1 \cdot {{\log }_2}xdx} \]
Теперь мы можем применить правило ILATE, то есть
\[u = {\log _2}x,\;\;dv = 1dx. \]
Это дает
\[du = \frac{{dx}}{{x\ln 2}},\;\;v = \int {1dx} = x.{ — x}}\left( {x + 1} \right) + C.\]
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
Интегрирование по частям — формула, доказательство, вывод, примеры, часто задаваемые вопросы
Идея интегрирования по частям была предложена в 1715 году Бруком Тейлором, который также предложил знаменитую теорему Тейлора. Обычно интегралы вычисляются для функций, для которых существуют формулы дифференцирования. Здесь интегрирование по частям является дополнительным методом, используемым для нахождения интегрирования произведения функций, и его также называют частичным интегрированием.Он изменяет интегрирование произведения функций в интегралы, для которых можно легко вычислить решение.
Некоторые обратные тригонометрические функции и логарифмические функции не имеют интегральных формул, и здесь мы можем воспользоваться формулой интегрирования по частям. Здесь мы проверим доказательство, графическое представление, приложения и примеры интегрирования по частям.
Что такое интеграция по частям?
Интеграция по частям используется для интеграции продукта двух или более функций.Две интегрируемые функции f(x) и g(x) имеют вид $\int$f(x).g(x). Таким образом, его можно назвать продуктовым правилом интегрирования. Среди двух функций первая функция f(x) выбирается такой, что формула ее производной существует, а вторая функция g(x) выбирается такой, чтобы существовал интеграл от такой функции.
$\int f(x).g(x).dx = f(x) \int g(x).dx — \int (f'(x) \int g(x).dx).dx + С$
Интегрирование (первая функция x вторая функция) = (первая функция) x (интегрирование второй функции) — интегрирование (дифференциация первой функции x интегрирование второй функции).
При интегрировании по частям формула разбивается на две части, и мы можем наблюдать производную первой функции f(x) во второй части и интеграл второй функции g(x) в обеих частях. Для простоты эти функции часто представляются как «u» и «v» соответственно. Интеграция формулы uv с использованием обозначений «u» и «v»:
∫ u dv = uv — ∫ v du.
Интегрирование по формуле частей
Формула интегрирования по частям используется для нахождения интеграла от произведения двух различных типов функций, таких как логарифмическая, обратная тригонометрическая, алгебраическая, тригонометрическая и экспоненциальная функции.Формула интегрирования по частям используется для нахождения интеграла произведения. В правиле дифференцирования произведения, где мы дифференцируем произведение uv, u(x) и v(x) можно выбирать в любом порядке. Но при использовании формулы интегрирования по частям для выбора первой функции u(x) мы должны посмотреть, какая из следующих функций идет первой в следующем порядке, и затем принять ее за u.
Логарифмический (L)
Обратный тригонометрический (I)
Алгебраический (А)
Тригонометрический (Т)
Экспоненциальная (E)
Это можно запомнить с помощью правила LIATE . Обратите внимание, что этот заказ также может быть ILATE . Например, если нам нужно найти ∫ x ln x dx (где x — алгебраическая функция, а ln — логарифмическая функция), мы выберем ln x как u(x), как в LIATE, логарифмическая функция стоит перед алгебраической функцией. функция. Формула интегрирования по частям определяется двумя способами. Мы можем использовать любой из них для интегрирования произведения двух функций.
Вывод формулы интегрирования по частям
Доказательство интегрирования по частям можно получить из формулы производной произведения двух функций.Для двух функций f(x) и g(x) производная произведения этих двух функций равна сумме производных первых функций, умноженных на вторую функцию, и производной второй функции, умноженной на первая функция.
Выведем формулу интегрирования по частям, используя правило дифференцирования произведения. Рассмотрим две функции u и v. Пусть их произведение равно y. т. е. у = ув. Применяя правило дифференцирования произведения, получаем
.
d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)
Здесь мы изменим термины.
u (dv/dx) = d/dx (uv) — v (du/dx)
Интегрирование с обеих сторон по x,
∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx — ∫ v (du/dx) dx
Отменив условия,
∫ u dv = uv — ∫ v du
Отсюда выводится формула интегрирования по частям.
Визуализация интеграции по частям
Рассмотрим параметрическую кривую (x, y) = (f(θ), g(θ)). Будем считать эту кривую интегрируемой и взаимно однозначной функцией.{x_2}_{x_1}\)
Без определенных интегралов можно записать как.
∫ y.dx+ ∫ x.dy = ху
∫x.dy = ху — ∫ y.dx
Далее это можно изменить, чтобы получить формулу интегрирования по частям.
∫f(x).g(x).dx = f(x).∫ g(x).dx — ∫(f'(x) .∫ g(x).dx).dx
Применение интеграции по частям
Применение этой формулы интегрирования по частям для функций или выражений, для которых не существует формул интегрирования. Здесь мы пытаемся включить эту формулу интегрирования по частям и пытаемся вывести интеграл. Для логарифмических функций и для обратных тригонометрических функций интегральных ответов нет. Попробуем решить и найти интегрирование log x и tan ^-1 x.
Интегрирование логарифмической функции
∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx
= логх. ∫1.dx — ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx
=logx.x -∫ (1/x .x).dx
=xlogx — ∫ 1.dx
= х лог х — х + С
Интегрирование обратной тригонометрической функции
∫ загар ^-1 х.dx = ∫tan ^-1 x.1.dx
= тангенс ^-1 х.∫1.dx — ∫((тангенс ^-1 х)’.∫ 1.dx).dx
= тангенс ^-1 х. х — ∫(1/(1 + х ² ).х).дх
= х. tan ^-1 x — ∫ 2x/(2(1 + x ² )).dx
= х. tan ^-1 x — ½ log(1 + x ² ) + C
Формулы, связанные с интегрированием по частям
Следующие формулы были получены из формулы интегрирования по частям и полезны в процессе интегрирования различных алгебраических выражений.
∫ e ^x (f(x) + f'(x)).dx = e ^x f(x) + C
∫√(x ² + a ² ).dx = ½ . х.√(х ² + а ² )+ а ² /2. log|x + √(x ² + a ² )| С
∫√(x ² — a ² ).dx =½ . х.√(х ² — а ² ) — а ² /2. log|x +√(x ² — a ² ) | С
∫√(a ² — x ² ).дх = ½. х.√(а ² — х ² ) + а ² /2. sin ^-1 х/а + С
☛ Также проверьте:
Часто задаваемые вопросы об интеграции по частям
Что такое интеграция по частям?
Интегрирование по частям — это интегрирование произведения двух функций. Эти две функции обычно представляются как f(x) и g(x). Среди двух функций первая функция f(x) выбирается такой, что формула ее производной существует, а вторая функция g(x) выбирается такой, чтобы существовал интеграл от такой функции.
∫ f(x).g(x).dx = f(x) ∫ g(x).dx — ∫(f'(x) ∫g(x).dx).dx + C
Что такое формула интегрирования по частям?
Формула интегрирования по частям — это формула, используемая для нахождения интеграла от произведения двух различных типов функций. Популярная формула интегрирования по частям:
.
∫ u dv = uv — ∫ v du
Здесь первая функция ‘u’ должна быть выбрана в соответствии с LIATE (логарифмическая (L), обратная тригонометрическая (I), алгебраическая (A), тригонометрическая (T), экспоненциальная (E)).
Как вывести формулу интегрирования по частям?
Использование правила дифференцирования произведения,
d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)
u (dv/dx) = d/dx (uv) — v (du/dx)
Интеграл с обеих сторон,
∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx — ∫ v(du/dx) dx
Это дает,
∫ u dv = uv — ∫ v du
Таким образом, получается формула интегрирования по частям.
Почему мы используем формулу интегрирования по частям?
Используется формула интегрирования частей, поскольку нормальная форма интегрирования невозможна. Интегрирование, как правило, возможно для функций, для которых доступна формула производной. Такие выражения, как логарифмические функции, обратные тригонометрические функции, не могут быть легко интегрированы, поэтому интегралы находятся с использованием формулы интегрирования по частям.
Какие существуют другие методы интеграции помимо интеграции по частям?
Для интеграции используются следующие три различных метода.
(a) Интеграция путем замены
(b) Интегрирование неполными дробями
(c) Интеграция по частям
Как узнать, когда использовать интеграцию по частям?
Интеграция по частям используется, когда простой процесс интеграции невозможен.Если есть две функции и произведение между ними, мы можем взять формулу интегрирования между частями. Также для одной функции мы можем взять 1 в качестве других функций и найти интегралы, используя интегрирование по частям. Например, мы можем интегрировать Sin ^-1 x, Logx, xCosx, используя эту формулу.
Какая из функций должна быть выполнена в виде буквы «U» при интегрировании по частям?
Формула интегрирования по частям: $\int uv.dx = u\int v.dx — \int( u’\int v.dx).dx$. Здесь функция «u» выбрана так, чтобы можно было вычислить формулу производной этой функции.
В чем разница между интеграцией по частям и заменой?
Интегрирование частей можно использовать для нахождения интегралов от произведения двух функций f(x).g(x). Интегрирование путем замены может быть рассчитано для функций, имеющих подфункции, f (g (x)). Интегрирование по частям можно использовать для таких функций, как xcosx, e ^x tanx, xe ^x. А интегрирование подстановкой можно использовать для таких функций, как sin(logx). $\sqrt{tanx}$, cosec ² (5 ^x ).б_а\)
Каково применение интегрирования по частям?
Эта формула интегрирования по частям применяется к функциям или выражениям, для которых не существует производной и которые не могут быть интегрированы простым процессом интегрирования. Здесь мы пытаемся использовать формулу интегрирования по частям и пытаемся найти интеграл от произведения двух или более функций. Мы можем применить эту формулу для логарифмических функций и для обратных тригонометрических функций, которые не могут быть интегрированы с помощью простого процесса интегрирования.
Каковы применения формулы интегрирования по частям?
Формула интегрирования по частям используется для нахождения интеграла от произведения двух различных типов функций. Кроме того, эта формула используется для нахождения интеграла различных функций, таких как sin ^-1 x, ln x и т. д., принимая вторую функцию за 1,
.
Как узнать, когда использовать формулу интегрирования по частям?
Когда мы встречаем интеграл от произведения двух функций, то мы должны применить формулу интегрирования.Иногда мы используем формулу интегрирования по частям, когда есть одна функция, такая как ln x, sin ^-1 x, tan ^-1 x и т.

РубрикаРазное