Геометрическая сумма: Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Линейная алгебра. Вектора, матрицы, определители, миноры, детерминанты…  / / Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор. Поделиться:    Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор В механике существуют два типа величин: скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д. векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д.. Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов. Покоординатное сложение векторов. Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.): Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле: В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату. Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения: правило параллелограмма правило треугольника тригонометрический способ Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма. Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем: нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем: нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом. Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов: Fрез. = [ F12 + F22 -2 F1 F2 cos(180о-α) ]1/2         (1) где F = числовое значение вектора α = угол между векторами 1 и 2 Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов: β = arcsin[ F2 *sin(180o-α) / FR ]         (2) где α = угол между исходными векторами Пример — сложение векторов. Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН. Результирующая сила вычисляется следующим образом: Fрез = [ (5 кН)2 + (8 кН)2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180o — (80o)) ]1/2     = 10,14кН Угол между результирующей силой и первой силой равен: β= arcsin[ (8кН) sin(180o — (80o)) / (10,14кН)]     = 51o А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as α = arcsin [ (5 кН) sin(180o — (80o)) / (10,2 кН)]     = 29o Он-лайн калькулятор сложения векторов. Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Сумма сил геометрическая — Энциклопедия по машиностроению XXL

Определяем суммарное усилие, приходящееся на наиболее нагруженную заклепку из рис, 3.9, б видно, что геометрическая сумма сил и Pq будет максимальной для заклепки 2 (или 3)  [c.38]

Полная сила давления на стенку представляет геометрическую сумму сил [ и  [c.52]

В дальнейшем следует различать понятия суммы сил и их равнодействующей. Поясним это примером. Рассмотрим две силы fi и (рис. 6), приложенные к телу в точках А м В. Показанная на рис. 6 сила Q равна геометрической сумме сил F и Fa (Q= i+F 2), как диагональ соответствующего параллелограмма. Но сила Q не является равнодействующей этих сил, так как нетрудно понять, что одна  [c.13]

Сложение системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является боле прост и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил Fi, Fi, Ft, Fn (рис. 15, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 15, б) вектор Оа, изображающий в выбранном масштабе силу Fi, от то и а — вектор аЬ, изоб жающий силу F от точки Ь — вектор Ьс, изображающий силу F, и т. д. от конца т предпоследнего вектора откладываем вектор тп, изображающий 18  

[c.18]

Величина Xg оказалась отрицательной. Следовательно, составляющая Хв имеет направление, противоположное показанному на чертеже, что можно было предвидеть заранее. Полная реакция опоры В найдется как геометрическая сумма сил Хд и УJ). По модулю,  [c.51]

Тогда геометрическая сумма сил G, Т и Ф равна нулю  

[c.280]

Координата центра тяжести гири Xi — 2 ем (рис. 223, в). Проекция силы инерции 0(j. = 4,O8 Н. Сила инерции направлена вниз и имеет модуль Ф1 = = 4,08 Н. Прилол[c.282]

Координата центра тяжести гири Х2 = —2 см (рис. 223, г). Проекция силы инерции Фгх = — 4,08 Н. Сила инерции Фа направлена вверх и имеет модуль 02 = 4,08 Н. Приложим ее условно к гире. Тогда снова геометрическая сумма сил G, Ра и Ф.2 равна нулю, а потому сумма их проекций на ось х равна нулю  [c.283]

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю  [c.164]

Геометрическая сумма сил данной системы называется главным вектором этой системы сил.  [c.41]

Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы С — вес тела, движущая сила Р и полная реакция поверхности реальной связи К, равная геометрической сумме сил N и К( (рис. 264, в).  [c.311]

Словами это равенство можно прочитать так момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент силы относительно точки есть вектор, поэтому сумма является геометрической. В частном случае, если все силы и центр моментов  [c.60]

Момент пары является векторной величиной, а потому суммирование надо производить, разумеется, геометрически, т. е. по правилу параллелограмма. В частном, но очень важном случае (имеющем большое применение в технике), когда пары расположены в одной плоскости, сложение моментов производят алгебраически. В самом деле. Будем поворачивать плоскости / и // на рис. 46 до их совпадения. Тогда угол б станет равным нулю, параллелограммы выродятся в отрезки прямой и геометрические суммы сил и сумма моментов превратятся в сложение векторов, направленных по прямой, т. е. в алгебраическое сложение.  [c.70]

Составляющие силы, геометрическая сумма которых является  [c.403]

Словами это равенство можно прочитать так момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент силы относительно точки есть вектор, поэтому сумма является геометрической. В частном случае, если все силы и центр моментов лежат в одной плоскости, то все векторы моментов направлены по  [c.232]

Силой инерции материальной частицы называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.  [c.246]

Равнодействующая системы сходящихся сил равна геометрической сумме сил системы.  [c.86]

Молекул газа очень много, и удары их о стенку следуют один за другим с очень большой частотой. Среднее значение геометрической суммы сил, действующих со стороны отдельных молекул при их столкновениях со стенкой сосуда, и является силой давления газа. Давление газа равно отношению модуля силы давления F к площади стенки S  [c.75]

Учитывая, что в свою очередь сила Р представляет собой геометрическую сумму сил 8 и Р, окончательно получаем  [c. 163]

Направление равнодействующей обратно круговому обходу многоугольника сил, т. е. навстречу направлению последней силы. Если из точки А проводить векторы сил не по порядку номеров, а в совершенно произвольном порядке, то в результате построения получим ту же равнодействующую. Так, многоугольник сил, построенный на рис. 1.25, в, отличается по форме от многоугольника сил, изображенного на рис. 1.25, б, а замыкающая сторона его сохранила свое численное значение и направление. Следовательно, геометрическая сумма сил не зависит от последовательности их сложения.  [c.23]

Геометрическую сумму сил произвольной плоской системы называют главным вектором R этой системы  [c.40]

Равнодействующая R является геометрической (векторной) суммой сил и F . Поэтому на основании аксиомы III имеем  [c.27]

Точно так же, если в качестве эталона силы мы выбираем известным образом растянутую пружину, то мы должны установить, как найти силу, которая действует на тело, если к нему прикреплены две пружины-эталона под известным углом друг к другу (эта сила равна не арифметической, а геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого из эталонов).  [c.15]

Далее, мы положим, что если на какое-либо тело действует несколько пружин, то результирующая сила равна геометрической сумме сил, действующих со стороны всех пружин ). Располагая несколькими эталонами силы, мы сможем измерять силы, величина которых не равна эталону силы. Прикрепим к телу т, на которое действует измеряемая сила Fj , две пружины-эталона и расположим их под такими углами (рис. 35), чтобы тело т не испытывало ускорения. Тогда  [c.75]

Теорема 2.1. Система сходящихся сил на плоскости эквивалентна равнодействующей, приложенной в точке схода и равной геометрической сумме сил.  [c.30]

Систему сходящихся сил F, F j, F ) заменим их равнодейсгвующей R, которая равна векюрной сумме сил F, F 2, F и геометрически изображается замыкающим вектором силового многоугольника, построенного на эгих силах (рис. 35).  [c.42]

Об1)1чно рассчитывают опасный винт по сдвигающей силе, равной геометрической сумме сил при пагружении соединения одной центральной силой и одни. м моментом.  [c.113]

Решение многих задач ме саники связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором этой системы сил. Как отмечалось в 3 (см. рис. 6), понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействуюш,ей для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.  [c.18]

Сложение двух сил. Геометрическая сумма R двух сил Fi и Ft находится по правилу параллелограмма (рис, 13, а) или построением силового треугольника (рис. 13, б), изображающего одну из половин этого паралле. гограмма. Если угол между силами равен а, то модуль / и углы р, Y. которые сила Ц образует со слагаемыми силами, определяются по формулам  [c.18]

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причем, как показано в 120, это справедли-  [c. 345]

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника главный момент уже нельзя получить а.дгебраиче-ским сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геоме-трнческн. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.  [c.63]

Отметим еще следующее. Если на точку действует некоторая сила F, то эта сила есть результат взаимодействия точки с каким-то другим телом. При этом по третьему закону Ньютона на данное тело будет со стороны точки действовать сила Q = — F (сила противодействия). С другой стороны, если мы будем применять к точке, движущейся под действием силы F, принцип Даламбера, то, вводя силу инерции J, получим, согласно уравнению (88), F- -J = 0 или J= — F. Отсюда следует, что J=Q, т. е. что сила инерции равна как вектор силе противодействия. Однако эти две силы не следует отождествлять. Сила Q есть сила, реально действующая на тело, с которым взаимодействует движущаяся точка, и равенство Q = —F выражает соотношение, вытекающее из закона действия и противодействия (уравновешивать силу F сила Q не может, так как эти силы приложены к разным телам). Сила же У = — mw, на движущееся тело (или точку) не действует, а равенство F- -J—0 вырамсает в статической форме уравнение движения точки, находящейся под действием только силы F. Эти рассуждения относятся и к случаю, когда на точку действует несколько сил, если под F понимать их равнодействующую, а под Q — геометрическую сумму сил противодействия.  [c.437]

Приложим (совершенно условно) эти силы противодействия не к телам Ml, /Из, Mg,. . ., к которым они приложены в действительности, а к материальной частице М и сложим их (рис. 224, б). Эту геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицыМтелам Mj, М , М ,. .., сообщающим ей ускорение, называют силой инерции. Мы будем обозначать ее буквой Ф.  [c.402]

Приложим (совершенно условно) эти силы противодействия не к телам М М2, Мз,. .., к которым они приложены в действительности, а к материальной частице М и сложим их (рис. 122, в). Эту геометрическую сумму сил противодейст-  [c.246]

Систему сходящихся сил (Р , Р).,—, Р п) з шеЕюм их раврюдействую-щей Я, которая равна векторной сумме сил Р[, Р и. … Р( и геометрически изображается замыкающим вектором силового многоугольника, построенного на этих силах (рис. 37),  [c.39]

Невращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.  [c.32]

Складывая силы последовательно по правилу параллелограмма, найдем, что равнодействующая всех сил равна геометрической сумме сил. Вместо построения ряда параллелограммов можно ограничиться построением многоугольника сил, замыкающая сторона которого равна по величине и направлению равнодействующей. Стороны многоугольника, представляющие собой векторы данных сил, лежат в разных плоекостях. Если многоугольник окажется замкнутым, то равнодействующая равна нулю и система сил будет находиться в равновесии.  [c.65]

Благодаря симметрии геометрическая сумма сил инерции, прило)кепных к блоку, равна нулю. Нормальные силы инерции проходит через ось Oz и момента относительно нее не дают. Дли вы-ч 1слеиня суммарного момента касательных сил инерции за-метим, что  [c.366]

---

Геометрическая сумма произвольного числа свободных векторов

Содержание:

Геометрическая сумма произвольного числа свободных векторов

• Постройте последовательно с любой точкой A первой точки. Система векторов, геометрически равных данному вектору, т. е. сначала построить вектор, равный P, затем построить вектор C C2, равный P2, затем построить вектор c2c3, равный P3, и, наконец, построить вектор Cn 1Cn, равный Pn. Вектор, как таким образом будут закрыть полигон. Он был Геометрическая сумма, называемая P Указанный вектор и вектор, указанный как компонент.

Движение наэлектризованной частицы в наложенных друг на друга электрическом и магнитном полях. Людмила Фирмаль

Нетрудно заметить, что геометрическая сумма не зависит от порядка, в котором берется компонент вектора. Вектор P это вектор Pp P2… Чтобы указать, что PN является геометрической суммой, мы пишем: Р = Р1 + Р2 + … + P или P = P + P+ … + П. Проекция геометрической суммы вектора. Х,, УР, 2Р Х2, У2, 22…… Вектор ПП П2, х, г, 2Н……. Проекция П Согласно теореме о проекции, проекция на любую ось вектора P = ACn является суммой проекций сторон многоугольника AC C2… Cn, то есть равна сумме проекций вектора компонента. И так оно и есть.

• Сумма векторов равна нулю. Если точка Cn совпадает с точкой A, то сумма P равна zero. To для этого необходимо и достаточно, чтобы X, Y, 2 были равны нулю. Примечание: пусть P любой вектор. Если… + АРМИРОВАННЫЙ ПЛАСТИК Затем, когда вы получаете скалярный продукт, он выглядит так: + … + РРЛ. Это уравнение является проекцией вектора K на вектор P, но вектор Pb P2…

Приложение к движениям, происходящим под действием силы, зависящей только от положения. Людмила Фирмаль

Случай, когда сила не зависит от длины дуги. Формула, определяющая натяжение, когда существует силовая функция. Пример существования бесчисленного множества положений равновесия. Естественные уравнения равновесия нити на поверхности. Ось стержня была первоначально дугой окружности. одинаковыми и прямо противоположными силами 200 154. Стержень, изгибаемый действующим в одной плоскости постоянным нормальным давлением. скоростей. 3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса.
Для экспериментального исследования изменений импульсов взаимодействующих тел можно выполнить слудующие опыты с шарами. Для сообщения одному шару некоторой скорости в горизонтальном направлении используем наклонный желоб с лотком. После скольжения по желобу шар срывается с лотка и, пролетев некоторое расстояние S, падает на стол.

Поставим на краю лотка такой же шар и по желобу пустим первый шар. После столкновения шаров второй шар падает на то же место поверхности стола, на которое падал первый шар в первом опыте, т.е. на расстоянии S, а первый шар падает вертикально.

После соударения с точно таким же покоящимся шаром первый шар останавливается, а второй преобретает точно такую же скорость, какой обладал первый шар. Следовательно, при взаимодействии двух тел импульс каждого из них изменяется, но сумма импульсов двух тел осталась неизменной.

Изменим условия опыта. На шар, поставленный на краю лотка, прикрепим небольшой кусок пластелина в том месте, в которое ударяет движущийся шар. В этом случае после удара оба шара падают на расстоянии S/2 от вертикали, проходящей через край лотка, в два раза меньшем расстояния в первом опыте. Следовательно, скорость V2 двух шаров после удара равна половине значения скорости V1 одного шара до удара:

Сумма импульсов двух шаров до и после взаимодействия и в этом опыте оказывается одинаковой:

m*V1+m*0=(m1+m2)*V2

Продолжим опыты с шарами. До сих пор в наших опытах вектор скорости движущегося шара перед ударом проходил через центр неподвижного шара. Теперь сместим неподвижный шар на край лотка, чтобы вектор скорости движущегося шара перед ударом был направлен мимо центра неподвижного шара. В этом случае после удара движутся оба шара, но направления векторов их скоростей V’1 и V’2 оказываются различными. Измерив модули скоростей шаров V’1 и V’2, можно установить, что суммы произведений масс шаров на модули их скоростей до и после взаимодействия не равны друг другу:

но векторная сумма импульсов тел остаётся неизменной:

или

Постоянство суммы векторов импульсов при любых взаимодействиях тел является универсальным законом природы. Этот закон является одним из основных, или фундаментальных, законов физики и называется законом сохранения импульса.

Он проявляется не только в случае взаимодействия двух тел, но и при взаимодействии любого количества тел:

или

В неинерциальных системах отсчёта скорость движения тел изменяется со временем при отсутствии тел. Поэтому импульс любого тела при отсутствии взаимодействия с другими телами не остаётся постоянным, если выбрана неинерциальная система отсчёта. Следовательно, необходимым условием применимости закона сохранения импульса в замкнутой системе взаимодействующих тел является выбор инерциальной системы отсчёта.

В инерциальной системе отсчёта при отсутствии внешних сил сумма векторов импульсов тел остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел между собой.

Система тел, не взамодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Для доказательства этой формулы можно провести ещё один опыт. Поставим на горизонтальные рельсы две тележки одинаковой массы m. К торцу одной из них прикреплён шарик из пластилина, и к каждой из них на торцах прикреплены пружинные буфера. Пусть сначала тележки обращены друг к другу торцами, лишёнными пружин. Сообщин обеим тележкам одинаковые по модулю скорости навстречу одна другой. Тележки встретятся, пластилин скрепит их и они остановятся. Результаты опыта легко понять. Две сталкивающиеся тележки — это система двух взаимодействующих тел. Её можно считать замкнутой системой, потому что действия на них других тел — Земли и опоры скомпенсированы. До встречи импульсы обеих тележек по модулю равны друг другу, а по направлению противоположны. Следовательно, сумма импульсов обеих тележек равна нулю. Во время столкновения тележки взаимодействуют, т. е. действуют друг на друга с некоторыми силами, равными по модулю и противоположными по напарвлению (третий закон Ньютона). Поэтому импульс каждой из тележек изменился. Но сумма импульсов осталась такой же, т. е. равной нулю — ведь тележки остановились!

Повернём тележки так, чтобы они были обращены друг к другу пружинными буферами. Повторив опыт, мы убедимся в том, что после столкновения тележки разъедутся в противоположные стороны с одинаковыми по модулю, но противоположными по направлению скоростями. Значит, при взаимодействии импульсы опять изменились, но сумма импульсов по-прежнему осталась равной нулю, как говорят, она сохранилась.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 13.

Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.

Всем привет. Сегодня мы выведем формулу суммы первых n-членов геометрической прогрессии.

Расскажу историю о награде изобретателя шахматной игры. По преданию, индийский принц, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, что исполнить любое твое желание». Изобретатель попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Говорят, что принц рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него ученый. Так сколько же зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Итак, получим последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…

А это геометрическая прогрессия (b_n):

Возникает необходимость найти сумму 64-х слагаемых: S₆₄ = 1+2+4+8+16+32+64+…

Это очень сложно и громоздко…

Давай выведем формулу суммы первых n-членов (S_n) для геометрической прогрессии (b_n). Обозначим сумму (S_n):

S_n =b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n (1).

Умножим обе части этого равенства на q, получим:

S_nq=b₁q+b₂q+b₃q+…+b_nq

Учитывая, что

b₂=b₁q, b₃=b₂q, …., b_n =b_n-1q, получим:

S_nq=b₂+b₃+b₄+….b_n-1q+ b_n+b_nq (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

S_nq- S_n= (b₂+b₃+b₄+…+ b_n+ b_nq) – (b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n)= b_nq- b₁, в левой части вынесем общий множитель за скобку и получим:

S_n(q-1)= b_nq- b_1, отсюда

S _n = bnq-b1q-1; q≠1

При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде, подставим вместо b_n формулу n-го члена b_n=b₁q^n-1

S _n=bnq-b1q-1= b1qn-1q-b1q-1= b1qn-b1q-1= S _n=b1(qn-1)q-1, если q≠1.

Итак,

Вернемся к задаче о вознаграждении и вычислим количество зерен:

S₆₄ =1(264-1)2-1=2⁶⁴-1= 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18,4 ∙ 10¹⁸

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

Давай рассмотрим несколько примеров:

(bn) – геометрическая прогрессия, где

b1=2, b2= -4. Найдем сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:

S _n=b1(qn-1)q-1 , q=b2b1=-2,

S₈=2((-2)8-1)-2-1=2(256-1)-3=-170

Ответ: 170

Рассмотрим еще один пример:

Найдем сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 3; 6; 12; 24;….

Найдите S₁₀ = ?

S _n =b1(qn-1)q-1, q=b2b1=63=2

S₁₀=b1(qn-1)q-1 = 3(210-1)2-1 = 3(2¹⁰ – 1)=

3 ∙ (1024 — 1) = 3 ∙ 1023 = 3069.

Ответ: 3069

В следующей задаче найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 6 и четвертый – равен 54, если известно, что все ее члены положительны.

Итак, чтобы найти сумму семи членов, необходимо найти знаменатель данной прогрессии. Для этого найдем третий член, воспользовавшись свойством геометрической прогрессии, получим:

b32=b2∙b4

b32=6∙54=324

b3=18 или b3=-18

По условию задачи все члены прогрессии положительны, значит третий член равен 18.

Ответ:18

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

q=b3b2=186=3, значит b1=b2q=63=2

Теперь найдем сумму:

S7=b1q7-1q-1=237-13-1=2187-1=2186

Ответ: 2186

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

Геометрическая серия

А геометрический ряд это ряд чей родственный последовательность является геометрическим. Он получается в результате добавления условия из геометрическая последовательность .

Пример 1:

Конечная геометрическая последовательность: 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , … , 1 32768

Связанные конечные геометрические ряды: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + . .. + 1 32768

Записано в сигма-нотации: ∑ к знак равно 1 15 1 2 к

Пример 2:

Бесконечная геометрическая последовательность: 2 , 6 , 18 , 54 , …

Связанные бесконечные геометрические ряды: 2 + 6 + 18 + 54 + …

Записано в сигма-нотации: ∑ н знак равно 1 ∞ ( 2 ⋅ 3 н − 1 )

Конечный геометрический ряд

Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу
С н знак равно а 1 ( 1 − р н ) 1 − р , р ≠ 1 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым термином и р это обыкновенное отношение .

Пример 3:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 и р знак равно 2 .

С 8 знак равно 1 ( 1 − 2 8 ) 1 − 2 знак равно 255

Пример 4:

Находить С 10 , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда 24 + 12 + 6 + … .

Сначала найдите р .

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2

Теперь найдите сумму:

С 10 знак равно 24 ( 1 − ( 1 2 ) 10 ) 1 − 1 2 знак равно 3069 64

Пример 5:

Оценивать.

∑ н знак равно 1 10 3 ⋅ ( − 2 ) н − 1

(Вы находите С 10 для серии 3 − 6 + 12 − 24 + … , обыкновенное отношение которого равно − 2 .)

С н знак равно а 1 ( 1 − р н ) 1 − р С 10 знак равно 3 [ 1 − ( − 2 ) 10 ] 1 − ( − 2 ) знак равно 3 ( 1 − 1024 ) 3 знак равно − 1023

Бесконечная геометрическая серия

Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютная величина меньше единицы, используйте формулу С знак равно а 1 1 − р ,
где а 1 является первым термином и р является обычным соотношением.

Пример 6:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
27 + 18 + 12 + 8 + … .

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 18 27 знак равно 2 3

Затем найдите сумму:

С знак равно а 1 1 − р С знак равно 27 1 − 2 3 знак равно 81

Пример 7:

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
8 + 12 + 18 + 27 + . .. если он существует.

Первая находка р :

р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 8 знак равно 3 2

С р знак равно 3 2 не меньше единицы, ряд не сходится.То есть у него нет суммы.

Сумма первых n членов геометрической последовательности

Если последовательность является геометрической, существуют способы найти сумму первых n термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

Чтобы найти сумму первых Sn члены геометрической последовательности используют формулу
Sn=a1(1−rn)1−r,r≠1,
, где n количество терминов, a1 является первым членом и r является обычным соотношением.

Сумма первых n членов геометрической последовательности называется геометрическим рядом.

Пример 1:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1=1 и г=2.

S8=1(1−28)1−2=255

Пример 2:

Найти S10 геометрической последовательности 24,12,6,⋯.

Сначала найдите р.

r=r2r1=1224=12

Теперь найдем сумму:

S10=24(1−(12)10)1−12=306964

Пример 3:

Вычислить

∑n=1103(−2)n−1

(Вы находите S10 для ряда 3−6+12−24+⋯, знаменатель которого равен −2.)

Sn=a1(1−rn)1−rS10=3[1−(−2)10]1−(−2)=3(1−1024)3=−1023

Чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, обыкновенное отношение r должно быть между −1 и 1.  Тогда при n увеличивается, рН становится все ближе и ближе к 0.  Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, отношения которого по модулю меньше единицы, используйте формулу S=a11−r, где a1 является первым членом и r является обычным соотношением.

Пример 4:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
27,18,12,8,⋯.Пример 4 бесконечной геометрической последовательности
8,12,18,27,⋯ если он существует.

Первая находка r: 

r=a2a1=128=32

Так как r=32 не меньше единицы, то ряд не имеет суммы.

Существует формула для вычисления n ^th члена геометрического ряда, то есть суммы первых n членов геометрической прогрессии.

См. Также: сигма-обозначение серии. и сумма первых n членов арифметической прогрессии

Задача о геометрических рядах со сдвигом индексов

Previous: Нахождение суммы бесконечного ряда

Next: Пример снежинки Коха

Вопрос

Найдите сумму ряда

Комплексное решение

Обсуждение каждого шага

Ступенька (1)

Наша общая цель состоит в том, чтобы преобразовать заданный ряд в форму

, чтобы мы могли применить нашу формулу для суммы сходящегося геометрического ряда. Начнем со смещения индекса суммирования с 2 на 1.

Это позволит нам использовать нашу формулу для суммы геометрического ряда, в которой используется индекс суммирования, начинающийся с 1. Но мы по-прежнему не можем использовать нашу формулу, потому что нам нужно, чтобы наш показатель степени был равен k — 1, и на данный момент это k +1.

Ступенька (2)

Затем мы можем сдвинуть показатель степени на единицу вниз, чтобы уменьшить показатель степени на единицу:

Это требует, чтобы мы вычли член, соответствующий члену k =1.

Ступенька (3)

Повторяем процесс, описанный в предыдущем шаге, чтобы получить

Ступенька (4)

Теперь, когда наш бесконечный ряд находится в нужной нам форме ( k начинается с 1, а показатель степени равен k -1), мы применяем нашу формулу суммирования с a = 1 и r = 2/3,

Остальная часть проблемы — алгебраические манипуляции.

Возможные ошибки и проблемы

Начало работы

Студенты должны сразу понять, что данный бесконечный ряд представляет собой геометрических с знаменателем 2/3, и что он не подходит для применения нашей формулы суммирования,

Чтобы преобразовать наш ряд в эту форму, мы можем начать с изменения либо показателя степени, либо индекса суммирования.В приведенном выше решении мы начали с изменения индекса суммирования (в качестве дополнительного упражнения учащиеся могут попытаться решить эту задачу, сначала изменив показатель степени).

Сдвиг экспоненты

Наш метод сдвига показателя степени в шагах (3) и (4) может вызвать некоторое замешательство у студентов. Шаг (3) расписан более подробно:

На шаге (b) выше мы добавили и вычли один и тот же член, который представляет собой обыкновенное отношение, возведенное в степень 1.Как упоминалось выше, тот же самый процесс сдвига показателя степени используется для шага (4).

Смещение показателей было объяснено в предыдущем уроке.

Previous: Нахождение суммы бесконечного ряда

Next: Пример снежинки Коха

Геометрический ряд

Геометрический ряд представляет собой сумму членов геометрической последовательности. Если последовательность имеет определенное количество членов, простая формула для суммы будет

Формула 3:

Эта форма формулы используется, когда известны количество членов ( n ), первый член ( a ₁ ) и знаменатель ( r ).

Еще одна формула суммы геометрической прогрессии:

Формула 4:

Для этой формы требуется первый член ( a ₁ ), последний член ( a _n ) и обыкновенное отношение ( r ), но не требуется количество членов ( n ) .

Пример 1

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, в которой a ₁ = 3 и r = –2.

а ₁ = 3, r = –2, n = 5

Использовать формулу 4:

Пример 2

Найдите сумму геометрической прогрессии, для которой .

Использовать формулу 4:

Пример 3

Найдите a ₁ в каждом описанном геометрическом ряду.

1. S _n = 244, r = –3, n = 5

2. С _н = 15.75, r = 0,5, a _n = 0,25

1. S _n = 244, r = –3, n = 5

   Использовать Формулу 3:

2. S _n = 15,75, r = 0,5, a _n = 0,25

   Использовать формулу 4:

Формула 5:

Если геометрический ряд бесконечен (то есть бесконечен) и –1 < r < 1, то формула его суммы принимает вид

Если r > 1 или если r < –1, то бесконечный ряд не имеет суммы.

Пример 4

Найдите сумму каждого из следующих геометрических рядов.

1. 25 + 20 + 16 + 12,8 + …

2. 3 – 9 + 27 – 81 + …

1. 25 + 20 + 16 + 12,8 + …

   Первая находка r .

   Так как , этот бесконечный геометрический ряд имеет сумму.

   Использовать Формулу 5.

2. 3 – 9 + 27 – 81 + …

   Первая находка r .

   Так как –3 < –1, этот геометрический ряд не имеет суммы.

12.4: Геометрические последовательности и ряды

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить, является ли последовательность геометрической
• Найти общий член (\(n\)-й член) геометрической прогрессии
• Найти сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии
• Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
• Применение геометрических последовательностей и рядов в реальном мире

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность. {x}\), найти a. \(f(1)\) б. \(f(2)\) в. \(f(3)\).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 3.49.

Определить, является ли последовательность геометрической

Теперь мы готовы рассмотреть второй особый тип последовательности, геометрическую последовательность.

Последовательность называется геометрической последовательностью , если соотношение между последовательными элементами всегда одинаково. Отношение между последовательными членами в геометрической последовательности равно \(r\), обыкновенному отношению , где \(n\) больше или равно двум.

Определение \(\PageIndex{1}\)

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между последовательными элементами всегда одинаково.

Отношение между последовательными членами, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), равно \(r\), обыкновенное отношение . \(n\) больше или равно двум.

Рассмотрим эти последовательности.

Рисунок 12.3.1

Пример \(\PageIndex{1}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите обыкновенное отношение.

1. \(4,8,16,32,64,128, \точки\)
2. \(-2,6,-12,36,-72,216, \точки\)
3. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots\)

Решение :

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической, мы находим отношение показанных последовательных членов.

а. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align} 4, \quad& \:8, \quad 16, \quad 32, \quad 64, \quad 128, \dots \\ &\frac{8}{4} \quad\frac{ 16}{8}\quad\frac{32}{16}\quad\frac{64}{32}\quad\frac{128}{64} \\ &\:2 \quad\:\:\: 2 \quad\quad2\quad\quad2\quad\quad2 \end{выровнено}\)

Последовательность геометрическая.Общий паек равен \(r=2\).

б. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align}-\:2,\quad &\:\:\:6,\quad -12,\quad 36,\quad \:-72\quad \:\:216,\dots \ \ & \frac{6}{-2}\quad\frac{-12}{6}\quad\frac{36}{-12}\quad\frac{-72}{36}\quad\frac{216 }{-72} \\ & -3\quad -2\quad\:\: -3\quad \:\:\:-2\quad \:\:-3 \end{выровнено}\)

Последовательность не является геометрической. Общей пропорции нет.

в. Найдите отношение последовательных членов

\(\begin{align}27,\quad &\:\:9,\quad 3,\quad 1,\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{9}, \ ldots\\ & \frac{9}{27}\quad\frac{3}{9}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{\frac{1}{3}}{1}\ quad \ frac {\ frac {1} {9}} {\ frac {1} {3}} \\ &\ frac {1} {3} \ quad \; \: \ frac {1} {3} \ quad \frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\quad\:\frac{1}{3}\end{выровнено}\)

Последовательность геометрическая.Обычное отношение равно \(r=\frac{1}{3}\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите общее соотношение.

1. \(7,21,63,189,567,1,701, \точки\)
2. \(64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
3. \(2,4,12,48,240,1440, \точки\)

Ответить

1. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=3\).
2. Последовательность геометрическая со знаменателем \(d=\frac{1}{4}\).
3. Последовательность не является геометрической. Общей пропорции нет.

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Определите, является ли каждая последовательность геометрической. Если да, укажите общее соотношение.

1. \(-150,-30,-15,-5,-\frac{5}{2}, 0, \dots\)
2. \(5,10,20,40,80,160, \точки\)
3. \(8,4,2,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots\)

Ответить

1. Последовательность не является геометрической.Общей пропорции нет.
2. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=2\).
3. Последовательность геометрическая со знаменателем \(r=\frac{1}{2}\).

Если мы знаем первый член \(a_{1}\) и знаменатель \(r\), мы можем перечислить конечное число членов последовательности.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(3\), а знаменатель равен \(r=−2\).

Решение :

Начнем с первого члена и умножим его на обыкновенный коэффициент. Затем мы умножаем этот результат на обыкновенное отношение, чтобы получить следующий член, и так далее.

\(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {a_{4}} & {a_{5}} \\ {3} & {3 \cdot(-2)} & {-6 \cdot(-2)} & {12 \cdot(-2)} & {-24 \cdot(-2)} \\& {-6} & {12} и {-24} и {48}\конец{массив}\)

Ответ :

Последовательность \(3,-6,12,-24,48,\точки\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(7\), а знаменатель равен \(r=−3\).

Ответить

\(7,-21,63,-189,567\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен \(6\), а знаменатель равен \(r=−4\).

Ответить

\(6,-24,96,-384,1536\)

Найдите общий член (\(n\)-й член) геометрической последовательности

Точно так же, как мы нашли формулу для общего члена последовательности и арифметической прогрессии, мы можем также найти формулу для общего члена геометрической прогрессии. {2}\)).{13}\)

Упростить.

\(a_{14}=\frac{1}{128}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите тринадцатый член последовательности, где первый член равен \(81\), а знаменатель равен \(r=\frac{1}{3}\).

Ответить

\(\frac{1}{6,561}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите двенадцатый член последовательности, где первый член равен \(256\), а знаменатель равен \(r=\frac{1}{4}\).

Ответить

\(\frac{1}{16 384}\)

Иногда мы не знаем обыкновенного отношения, и мы должны использовать данную информацию, чтобы найти его, прежде чем мы найдем запрошенный термин.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Найдите двенадцатый член последовательности \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\) Найдите общий член последовательности.

Решение :

Чтобы найти двенадцатый член, мы используем формулу \(a_{n}=a_{1} r^{n-1}\), поэтому нам нужно сначала определить \(a_{1}\) и обыкновенное отношение \(r\). {n}\right)}{1-r}\).{20}\справа)}{1-2}\)

Упростить.

\(S_{20}=7 340 025\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Найти сумму первых \(20\) членов геометрической прогрессии \(3, 6, 12, 24, 48, 96, …\)

Ответить

\(3 145 725\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Найдите сумму первых \(20\) членов геометрической прогрессии \(6, 18, 54, 162, 486, 1,458, …\)

Ответить

\(10 460 353 200\)

В следующем примере нам дана сумма в виде суммирования.{15}}\конец{массив}\)

По мере того, как \(n\) становится все больше и больше, сумма становится все больше и больше. Это верно, когда \(|r|≥1\) и мы называем ряд расходящимся. Мы не можем найти сумму бесконечного геометрического ряда, когда \(|r|≥1\).

Рассмотрим бесконечный геометрический ряд, знаменатель которого на долю меньше единицы:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac {1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\). Здесь члены становятся все меньше и меньше по мере того, как \(n\) становится больше. Рассмотрим несколько конечных сумм для этого ряда.{n}\right)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}(1-0)}{1-r} \\ S &=\frac{a_{1}}{1 -r} \end{выровнено}\)

Эта формула дает нам сумму бесконечной геометрической прогрессии. Обратите внимание, что \(S\) не имеет нижнего индекса \(n\), как в \(S_{n}\), поскольку мы не добавляем конечное число терминов.

Определение \(\PageIndex{5}\)

Для бесконечного геометрического ряда, первый член которого равен \(a_{1}\) и знаменатель \(r\),

Если \(|r|<1\), сумма равна

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Если \(|r|≥1\), бесконечный геометрический ряд не имеет суммы.Говорят, что ряд расходится.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(54+18+6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\)

Решение :

Чтобы найти сумму, мы сначала должны убедиться, что обыкновенное отношение \(|r|<1\), а затем мы можем использовать формулу суммы \(S=\frac{a_{1}}{1-r}\ ).

Найдите обыкновенное отношение.

\(\begin{array}{ll}{r=\frac{18}{54}} & {r=\frac{6}{18} \dots} \\ {r=\frac{1}{3 }} & {r=\frac{1}{3} \quad|r|<1}\end{массив}\)

Идентифицировать \(a_{1}\).

\(а_{1}=54\)

Зная \(a_{1}=54, r=\frac{1}{3}\), используйте формулу суммы.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставить значения.

\(S=\frac{54}{1-\frac{1}{3}}\)

Упростить.

\(S=81\)

Ответ :

\(S=80\)

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(48+24+12+6+3+\frac{3}{2}+\dots\)

Ответить

\(96\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда \(64+16+4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots\)

Ответить

\(\frac{256}{3}\)

Интересное использование бесконечных геометрических рядов — запись повторяющейся десятичной дроби.

Пример \(\PageIndex{8}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,5\) в виде дроби.

Решение :

Перепишите \(0.5\), показав повторяющиеся пять. Используйте разрядное значение, чтобы переписать это как сумму. Это бесконечный геометрический ряд.

0,5555555555555\(\ldots\)
\(0,5+0,05+0,005+0,0005+\dots\)

Найдите обыкновенное отношение.

\(\begin{array}{ll}{r=\frac{0.05}{0.5}} & {r=\frac{0.005}{0.05} \dots} \\ {r=0.1} & {r=0,1 \quad|r|<1}\end{массив}\)

Идентифицировать \(a_{1}\)

\(а_{1}=0,5\)

Зная \(a_{1}=0,5 ,r=0,1\), используйте формулу суммы.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставить значения.

\(S=\frac{0.5}{1-0.1}\)

Упростить.

\(S=\фракция{0,5}{0,9}\)

Умножить числитель и знаменатель на \(10\).

\(S=\frac{5}{9}\)

Нас просят найти форму дроби.

\(0,5 = \фракция{5}{9}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,4\) в виде дроби.

Ответить

\(\frac{4}{9}\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Запишите повторяющуюся десятичную дробь \(0,8\) в виде дроби.

Ответить

\(\фракция{8}{9}\)

Применение геометрических последовательностей и рядов в реальном мире

Одно из применений геометрических последовательностей связано с потребительскими расходами.Если налоговая скидка предоставляется каждому домохозяйству, эффект на экономику во много раз превышает размер индивидуальной скидки.

Пример \(\PageIndex{9}\)

Правительство решило предоставить налоговую скидку в размере $\(1000\) каждому домохозяйству, чтобы стимулировать экономику. Согласно государственной статистике, каждое домохозяйство потратит \(80\)% скидки на товары и услуги. Предприятия и частные лица, которые извлекли выгоду из этого \(80\)%, затем потратят \(80\)% того, что они получили, и так далее. {2}+\ldots\)

Здесь первый член равен \(1000, a_{1}=1000\). Обычное отношение равно \(0,8, r=0,8\). Мы можем оценить эту сумму, поскольку \(0,8<1\). Воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Подставьте значения \(a_{1}=1000\) и \(r=0,8\).

\(S=\frac{1000}{1-0,8}\)

Оценить.

\(S=5000\)

Ответ :

Суммарный эффект $\(1000\), полученных каждым домохозяйством, составит $\(5000\) роста экономики.

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Каково общее влияние на экономику государственной налоговой скидки в размере $\(1000\) для каждого домохозяйства с целью стимулирования экономики, если каждая семья потратит \(90\)% скидки на товары и услуги?

Ответить

$\(10 000\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Каково общее влияние на экономику государственной налоговой скидки в размере $\(500\) для каждого домохозяйства с целью стимулирования экономики, если каждая семья потратит \(85\)% скидки на товары и услуги?

Ответить

$\(3,333. {n t} \\ \text { Пусть } n=1 .{1}\) \(3\)-й депозит \(P\) на конец года \(3\) \(П\) Таблица 12.3.2

Через три года стоимость ренты составляет

Рисунок 12.3.10

Это сумма членов геометрической последовательности, где первый член равен \(P\), а знаменатель равен \(1+r\). Подставляем эти значения в формулу суммы. Будьте осторожны, у нас есть два разных использования \(r\).{t}-1\right)}{r} \end{выровнено}\)

Помните, что наша предпосылка заключалась в том, что в конце каждого года вносится один депозит.

Мы можем адаптировать эту формулу для \(n\) депозитов, сделанных в год, и проценты начисляются \(n\) раз в год.

Определение \(\PageIndex{6}\)

Для основной суммы \(P\), инвестированной в конце периода начисления процентов, с процентной ставкой \(r\), которая начисляется \(n\) раз в год, новый баланс, \(A \) , через \(t\) лет, это

\(A_{t}=\frac{P\left(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}-1\right)}{\frac{r}{n} }\)

Пример \(\PageIndex{10}\)

Новоиспеченные родители решают инвестировать $\(100\) в месяц в качестве аннуитета для своей маленькой дочери. {n t}-1\right)}{\frac{r}{n}}\), нам нужно идентифицировать \(P, r, n\) и \(t\).

Определить \(P\), сумму, инвестируемую каждый месяц.

\(P=100\)

Определить \(r\), годовую процентную ставку, в десятичной форме.

\(r=0,05\)

Определите \(n\), сколько раз будет вноситься вклад и проценты, начисляемые каждый год.

\(n=12\)

Определить \(t\), количество лет.

\(t=18\)

Зная \(P=100, r=0.{12.18}-1\справа)}{\frac{0.05}{12}}\)

Используйте калькулятор для расчета. Обязательно используйте скобки по мере необходимости.

\(A_{t}=34,920 .20\)

Ответ :

У ребенка будет $\(34 920,20\)

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Новые бабушка и дедушка решают инвестировать $\(200\) в месяц на аннуитет для своего внука. Счет будет платить \(5\)% годовых, которые ежемесячно начисляются. Сколько будет на счету ребенка к его двадцать первому дню рождения?

Ответить

$\(88 868. 36\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Артуро только что получил свою первую постоянную работу после окончания колледжа в возрасте \(27\). Он решил инвестировать $\(200\) в месяц в IRA (аннуитет). Проценты по аннуитету составляют \(8\)%, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет на счету Артуро, когда он уйдет на пенсию в свой шестьдесят седьмой день рождения?

Ответить

$\(698 201,57\)

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с последовательностями.

Ключевые понятия

\(S=\frac{a_{1}}{1-r}\)

Говорят, что ряд сходится.

Если \(|r|≥1\), то бесконечный геометрический ряд не имеет суммы. Говорят, что ряд расходится.

Глоссарий

рента

Аннуитет – это инвестиция, представляющая собой последовательность равных периодических вкладов.

обыкновенное отношение

Отношение между последовательными элементами в геометрической последовательности, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\), равно \(r\), обычному отношению, где \(r\) больше больше или равно двум.

геометрическая последовательность

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между последовательными элементами всегда одинаково

бесконечный геометрический ряд

Бесконечный геометрический ряд — это бесконечная сумма бесконечной геометрической последовательности.

Геометрическая серия | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Вы можете взять сумму конечного числа членов геометрической прогрессии. И по причинам, которые вы изучите в области исчисления, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в том особом случае, что обыкновенное отношение r находится между -1 и 1; то есть вы должны иметь | р  | < 1,

Для геометрической последовательности с первым членом a ₁ = a и знаменателем r сумма первых n членов определяется как:

Справка по математике.ком

Примечание. Ваша книга может иметь несколько иную форму приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » можно умножить через числитель, множители в дроби можно поменять местами, или суммирование может начаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального длинного деления.

В особом случае | р  | < 1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:

---

Первые несколько членов -6, 12, -24:

a 1 = 3(–2) ¹ = (3)(–2) = –6

a 2 = 3(–2) ² = (3)(4) = 12

a 3 = 3(–2) ³ = (3)(–8) = –24

Итак, это геометрический ряд со знаменателем r = –2. (Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, заданной для каждого члена: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент -2.)

Первый член последовательности равен a = –6. Подключив к формуле суммирования, я получаю:

Таким образом, значение суммирования:

---

• Оценка S

  ₁₀ для 250, 100, 40, 16,….

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член равен a = 250. Разделив пары членов, я получаю:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

…и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

r = 2/5.

В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -й частичной суммы геометрического ряда. Так что у меня есть все необходимое для продолжения. Когда я подставляю значения первого члена и обыкновенного отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:

---

Примечание. Если вы попытаетесь выполнить приведенные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297… вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему дает только десятичное приближение к ответу. Но (правда!) десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Потратьте время, чтобы найти дробную форму.

---

• Найдите

  a _n , если S ₄ = 26/27 и r = 1/3.

Мне дали сумму первых четырех членов S ₄ и значение обыкновенного отношения r .Поскольку существует обыкновенное отношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Подключив к формуле суммы геометрического ряда, я получаю:

Умножая с обеих сторон на

27/40, чтобы найти первый член a = a ₁ , я получаю:

Тогда, подставив в формулу n -го члена геометрической прогрессии, я получаю:

---

• Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.

  3333… равно 1/3.

В этом есть хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные термины; то есть «0,3333…» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом явно выделяет повторяющийся образец неконечной (то есть бесконечной) десятичной дроби: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует неуклонно растущее число нулей, а затем заканчивая на «3».Эту расширенно-десятичную форму можно записать в дробной форме, а затем преобразовать в форму геометрического ряда:

Это доказывает, что 0,333… является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечным геометрическим рядом с

a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | р  | < 1, я могу использовать формулу суммирования бесконечных геометрических рядов:

---

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «расширение» 0. 333… имеет значение одной трети — это «показ», о котором просило упражнение (поэтому довольно важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.

---

• С помощью геометрического ряда преобразовать 1,363636… в дробную форму.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти закономерность:

1.363636.. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

Две повторяющиеся цифры, поэтому дроби немного отличаются. Но это все равно геометрический ряд:

Это показывает, что исходное десятичное число может быть выражено как начальная «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение обыкновенного отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечного геометрического ряда.Тогда сумма оценивается как:

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильной дроби и в форме смешанных чисел:

---

Кстати, этим приемом можно доказать, что 0,999… = 1,

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

Как найти сумму конечного геометрического ряда

Геометрический ряд представляет собой список чисел, в котором каждое число или член находится путем умножения предыдущего члена на знаменатель r .Если мы назовем первый член , то геометрический ряд можно выразить следующим образом:

Мы называем это конечным геометрическим рядом , потому что существует ограниченное число членов (бесконечный геометрический ряд продолжается вечно). члены геометрической последовательности следуют той же схеме. Первый член a . Второй член — это предыдущий член a , умноженный на r .Третий член — это второй член ar , умноженный снова на r , чтобы получить , и так далее до последнего члена.

Сигма-нотация

Мы можем представить сумму первых n членов конечного геометрического ряда с помощью этого уравнения:

Вы могли видеть это обычное обозначение сигмы, которое является сокращением для выражения суммирования списка последовательных терминов. Вместо того, чтобы перечислять все n терминов по отдельности, вы видите один общий термин (представленный ) и диапазон терминов, которые вы можете сгенерировать, подставив в этот общий термин возрастающие значения.

Нижнее выражение k=0 — это место, где вы начинаете, а верхнее число — это то, где вы заканчиваете. Каждый член находится путем замены на в выражении справа от сигмы. Обозначение сигма может использоваться для представления суммы конечного геометрического ряда, суммы бесконечного геометрического ряда или суммы других видов рядов.

Например, сигма-обозначение для суммирования первых 10 членов конечного геометрического ряда может быть представлено как:

Вы заметите, что это то же самое, что и выше, когда вы просто и .

Подведение итогов конечного геометрического ряда

Сумма первых n членов может быть найдена по этой формуле:

В сигма-нотации это можно записать как:

Не путайте здесь числитель и знаменатель. В числитель входит показатель степени, эквивалентный количеству членов, которые вы суммируете.

Давайте посмотрим, как это работает. Скажем, у нас есть конечный геометрический ряд: 5, 10, 20, 40, 80…

.

обыкновенное отношение r здесь равно 2.

Первый член a равен 5.

Четвертый член равен

Чтобы найти сумму первых 7 членов, мы будем использовать уравнение:

При подстановке идентифицированных нами слагаемых n = 7 , r = 2 и a = 5 получаем:

Мы можем проверить наш ответ вручную:

Упрощенная сумма конечного геометрического ряда

Вы можете использовать сигма-нотацию для выражения суммирования конечного числа членов (хотя в высшей математике вы увидите, как это работает даже для бесконечных чисел).