Функции тригонометрии: Тригонометрические функции

Содержание

Тригонометрические функции

Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
Множество действительных чисел: R
Координаты точки окружности: x, y

Радиус круга: r
Целые числа: k

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс

,котангенс, секанс и косеканс.

Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞<tanx<∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞<cotx<∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪[1,∞)

16. График функции косеканс
y=cscx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: cscx∈(−∞,−1]∪[1,∞)

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии.

(ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.

Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.

Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Многофункциональная тригонометрия

· Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

· К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

· Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

· Одно из фундаментальных свойств живой природы — это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

· Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

· Основной земной ритм – суточный.

· Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

· Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Связь биоритмов с тригонометрией

· Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

· Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

· Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т. д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

· диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

· Детская школа Гауди в Барселоне

· Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

· Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Значения тригонометрических функций

Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами.
При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота.
Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат.
Пусть одна сторона угла с вершиной в начале координат O идет по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс.
Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: =lR.

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой.
Говорят, что угол равен определенному числу радиан.
Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу.
В самом деле: =RR=1 радиан. Обозначение радиана – «рад».
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2R , то всей окружности соответствует угол =R2R=2 радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует 2360=180 градусов:
1рад=1805717. И наоборот, 1=180рад.

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:
=180рад

и от радианного измерения к градусному:
=180 .

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = рад пишут просто 180° = .

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Угол, градусы	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Угол, радианы	0	6	4	3	2		23	2

Так как, синус по определению равен ординате точки на единочной окружности, а косинус — абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

	I	II	III	IV
sin	+	+	—	—
cos	+	—	—	+
tg	+	—	+	—
ctg	+	—	+	—

Вычисление тригонометрических функций некоторых углов.

Тригонометрические функции числового и углового аргументов

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Пояснения.

1) Возьмем формулу cos² t + sin² t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos² t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk). Итак:

cos² t sin² t 1
——— + ——— = ———
cos² t cos² t cos² t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg² t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

                                                          1                        π
                                  1 + tg² t = ———,     где t ≠ — + πk, k – целое число.
                                                       cos² t                    2

2) Теперь разделим cos² t + sin² t = 1 на sin² t (при t ≠ πk):

cos² t        sin² t             1
——— + ——— = ———,   где t ≠ πk + πk, k – целое число
sin² t         sin² t          sin² t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

                                                          1
                                 1 + ctg² t = ———,   где t ≠ πk, k – целое число.
                                                        sin² t

Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

sin² t 1 sin² t cos² t + sin² t 1
1 + tg² t = 1 + ——— = — + ——— = —————— = ———
cos² t 1 cos² t cos² t cos² t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x.

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение. Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

√3 1
——; ——
2 2

А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

                                                  πα
                             sin αº = sin ——
                                                 180

                                                 πα
                            cos αº = cos ——
                                                  180

Пример: найти синус и косинус угла, равного 60º.

Решение:

π · 60 π √3
sin 60º = sin ——— = sin —— = ——
180 3 2

π 1
cos 60º = cos —— = —
3 2

2.

4.1. Основные понятия тригонометрии

Глава 2. Алгебраические выражения

2.4.

2.4.1.

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. В самом деле: Обозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует градусов:

И наоборот,

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

и от радианного измерения к градусному:

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.

Пример 1

Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.

Снова рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями.

Рисунок 2.4.1.1.

Окружность радиуса R

Рассмотрим произвольный угол α. Изобразим его как угол поворота радиус-вектора против часовой стрелки. При таком повороте точка A (R; 0) перейдёт в некоторую точку B (x; y) на этой окружности, при этом (α может быть больше не только 180°, но и больше 360°). В зависимости от того, в какой четверти лежит точка B, угол α называется углом этой четверти.

Рисунок 2.4.1.2

Докажем, что отношения и не зависят от величины радиуса R. Действительно, выберем на отрезке OA точку такую, что Построим окружность с центром в начале координат радиуса Построенная окружность пересекает радиус-вектор в точке Так как векторы и коллинеарны и одинаково направлены, то

Однако равные векторы имеют равные координаты, следовательно,

Откуда следует после деления обеих частей последних равенств на R₁, что

Итак, для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения и характеризуют не окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R = 1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью.

Модель 2.6. Координатная окружность

Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить. Введём несколько ключевых определений.

Модель 2.8. Функция y = cos x

Модель 2.7. Функция y = sin x

Модель 2.9. Функция y = tg x

Модель 2.10. Функция y = ctg x

Ясно, что для данного угла α функции sin α, cos α, tg α и ctg α, которые называются тригонометрическими функциями, определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности). Однако если функции sin α и cos α определены для любого угла α, то функции tg α и ctg α определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей и Значит, tg α не определён для углов вида где ctg α не определён для углов вида

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус − абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

Функция	Знаки тригонометрических функций по четвертям
Функция	I	II	III	IV
sin α	+	+	−	−
cos α	+	−	−	+
tg α	+	−	+	−
ctg α	+	−	+	−

Таблица 2.4.1.2

Вычисление тригонометрических функций некоторых углов

Рисунок 2.4.1.3.

Вычисление углов

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A, имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B (0; 1), C (–1; 0) и D (0; –1), что даёт:

sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.
sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.
sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.

Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 2.4.1.4) называлось отношение противолежащего катета к гипотенузе: Кроме того, в курсе геометрии было доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.

Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:

Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса. Совершенно те же самые рассуждения приводят нас к полной эквивалентности геометрического определения тригонометрических функций с тем, что дано в настоящем разделе. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.

Рисунок 2.4.1.4.

Прямоугольный треугольник

Рисунок 2.4.1.5.

Правильный треугольник

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна

Рисунок 2.4.1.6.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Значит, Рассматривая угол ABH, найдём, что Соответственно,

Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA = CB = 1, CAB = 45°. Тогда по теореме Пифагора и Следовательно,

Итак, мы вычислили значения тригонометрических функций основных углов. Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.

Пример 2

Найдите значения выражений

Имеем:

Ответ. 1) 1; 2)

Периодические функции

Если функция f имеет период T, то она, очевидно, имеет период nT, где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f. Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f (x) = C, где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3

Доказать, что НПП функции y = sin x является 2π.

Из определения функции следует, что у точек x и x + 2π одинаковая ордината, следовательно, sin x = sin (x + 2π), а это означает, что 2π является периодом функции sin x. Пусть T − некоторый период функции y = sin x. Тогда для всех x должно выполняться равенство sin x = sin (x + T). При x = 0 имеем sin T = 0. Значит, T может принимать значения только πn, где Нас интересуют T < 2π. Таким периодом может быть только T = π, однако T = π не является периодом данной функции, так как равенство sin x = sin (x + π) неверно при Значит, НПП функции y = sin x является T = 2π.

Аналогично можно показать, что функция y = cos x также имеет НПП T = 2π. А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = π.

Тригонометрические функции острого угла. Определения [wiki.eduVdom.com]

subjects:geometry:тригонометрические_функции_острого_угла

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным α (рис.1).

Рис.1
Косинусом угла α (обозначается cos α) называется отношение прилежащего катета АС к гипотенузе АВ: $$ \cos \alpha = \frac{AC}{AB} \ \ \ (1) $$ Синусом угла α (обозначается sin α) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: $$ \sin \alpha = \frac{BC}{AB} \ \ \ (2) $$ Тангенсом угла α (обозначается tg α) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: $$ {\rm tg}\, \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{{\rm ctg}\, \alpha}\ \ \ (3) $$ Котангенсом угла α (обозначается ctg α) называется отношение прилежащего катета AС к противолежащему катету BС: $$ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{\cos \alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{{\rm tg}\, \alpha} $$
Косинус, синус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла. Поэтому cos α, sin α, tg α и ctg α являются функциями угла α. Эти функции называются тригонометрическими. Пишут так же: cos(α), sin(α), tg(α) и ctg(α).
Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (следствие 3), то cos α < 1 и sin α < 1.
Для sin α, cos α, tg α и ctg α составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу α найти sin α, cos α, tg α и ctg α или по значениям sin α, cos α, tg α и ctg α найти соответствующий угол. Для этой цели используют также и микрокалькуляторы.
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
0º
0 рад
30º
$$\frac{\pi}{6}$$ 45º
$$\frac{\pi}{4}$$ 60º
$$\frac{\pi}{3}$$ 90º
$$\frac{\pi}{2}$$ 180º
$$\pi$$
270º
$$\frac{3\pi}{2}$$ 360º
$$2\pi$$
$$\sin \alpha$$ 0 $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 1 0 -1 0
$$\cos \alpha$$ 1 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ 0 -1 0 1
$${\rm tg}\, \alpha$$ 0 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 1 $$\sqrt{3}$$ — 0 — 0
$${\rm ctg}\, \alpha$$ — $$\sqrt{3}$$ 1 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 0 — 0 —
subjects/geometry/тригонометрические_функции_острого_угла.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:03 — ¶
Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:

Основные теоретические сведения
Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований
К оглавлению…
При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:
Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.

Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.

Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).

Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы
К оглавлению…
Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла. Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы
К оглавлению…
Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения
К оглавлению…
Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:
Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;

Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;

При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность
К оглавлению…
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:
Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.

Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.

При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.

Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.

Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.

Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.

Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Элементарная математика

Пусть – угол между подвижным радиус-вектором OM= { x, y} и его начальным положением OA.

     а) Синусом угла     называется отношение ординаты y конца подвижного радиус-вектора r = OM к длине   r = | r | этого радиус-вектора, т.е.

б) Косинусом угла называется отношение абсциссы x конца подвижного радиус-вектора r = OM к длине   r = | r | этого радиус-вектора, т.е.

     в) Тангенсом угла называется отношение ординаты y к абсциссе x
конца подвижного радиус-вектора   OM . т.е.

     г) Котангенсом угла   называется отношение абсциссы x к ординате y
конца подвижного радиус-вектора   OM , т.е.

      д) Функции секанс и косеканс определяются соотношениями

     Подчеркнем, что отношения

зависят только от величины угла    и не зависят от длины r радиус-вектора OM. Это означает, что тригонометрические функции

являются функциями только угла . При этом угол   часто называют аргументом тригонометрических функций.
При вычислении тригонометрических функций можно пользоваться подвижными радиус-векторами длины r = 1.   Концы таких векторов лежат на единичной окружности   .   В этом случае

Тригонометрические функции
6 августа 2012
Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?
Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — отрезок [a; b]. Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы отрезка [a; b]. Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.
Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке [a; b] не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3]:

y = sin x − 5x sin x − 5cos x + 1

Вычисляем производную:
y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = … = cos x − 5x cos x =(1 − 5x) cos x
Затем решаем уравнение:
y’ = 0;
(1 − 5x) cos x = 0;
…
x₁ = 0,2;
x₂ = π/2 + πn, n ∈ Z.
С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n,начиная с n = 0.
n = 0 ⇒ x = π/2
Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n,тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.
n = −1 ⇒ x = − π/2
Но −π/2 < −π/3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни для n < −1.
Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:
Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−π/4; π/4]:

y = 4 tg x − 4x + π − 5

Вычисляем производную:
y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.
Затем решаем уравнение:
y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ … ⇒ x = πn, n ∈ Z.
Снова выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n,начиная с n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = πи значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но −π < −π/4,поэтому x = −πи n < −1 тоже вычеркиваем.
Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции дляx = 0, x = π/4и x = −π/4. Имеем:
y(0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg π/4 − 4 · π/4 + π − 5 = 1;
y(−π/4) = 4tg (−π/4) − 4 · (−π/4) + π − 5 = … = 2π − 9.
Теперь заметим, что π = 3,14… < 4,поэтому π − 5 < 4 − 5 < 0и 2π − 9 < 8 − 9 < 0. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно, это y = 1.
Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов можно записать лишь единицу.
Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.
Случай пустого множества решений
Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.
Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−3π/2; 0]:

y = 7sin x − 8x + 5

Сначала находим производную:
y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8
Попробуем решить уравнение:
y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7
Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1],а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.
Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8 · (−3π/2) + 5 = … = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.
Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.
Смотрите также:
Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
Что такое логарифм
Решение задач B12: №440—447
Тест по методу интервалов для строгих неравенств
Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
Примеры на тригонометрические формулы (разбор 22-х задач)
1.\circ }=5\)
Ответ: $ \displaystyle 5$.
2. $ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$
$ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$
Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале….
$ \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16$
…избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:
$ \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}$
Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга ($ \displaystyle 6\pi $). Остается вычислить: $ \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Так же поступаем и со вторым углом:
$ \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi $
Удаляем целое число кругов –3 круга ($ \displaystyle 6\pi $) тогда:
$ \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)$
Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до $ \displaystyle 2\pi $ всего $ \displaystyle \frac{\pi }{4}$.{2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)
Ответ: $ \displaystyle -1,5$.
9. Найдите значение выражения $ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)$, если $ \displaystyle tg\gamma =7$.
У тангенса период – $ \displaystyle \pi $, так что не задумываясь отбрасываем его:
$ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)=5tg\left( -\gamma \right)\ =-5tg\gamma $
Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.
$ \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =$
$ \displaystyle=-4\cdot 7=-28$
$ \displaystyle=-4\cdot 7=-28$
Ответ: $ \displaystyle -28$.
10. Найдите $ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)$, если $ \displaystyle sin\alpha =0,8$ и $ \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)$
Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):
$ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)$
Наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия для угла в условии задачи!!!).{2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6\)
Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:
$ \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=-0,6$.
Ответ: $ \displaystyle -0,6$.
Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!
Исчисление I — Триггерные функции
Показать общее уведомление Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки
Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.
Пол
6 мая 2021 г.
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-3: Триггерные функции
Цель этого раздела — напомнить вам о некоторых из наиболее важных (с точки зрения математики …) тем из триггерного класса.Одной из самых важных (но не первой) из этих тем будет то, как использовать единичный круг. Мы оставим самую важную тему в следующем разделе.
Сначала давайте начнем с шести триггерных функций и того, как они соотносятся друг с другом.
\ [\ begin {array} {ll} {\ cos \ left (x \ right)} & \ hspace {0,75in} \ sin \ left (x \ right) \\ {\ tan \ left (x \ right) = \ displaystyle \ frac {{\ sin \ left (x \ right)}} {{\ cos \ left (x \ right)}}} & \ hspace {0,75 дюйма} \ cot \ left (x \ right) = \ displaystyle \ frac {{\ соз \ left (x \ right)}} {{\ sin \ left (x \ right)}} = \ displaystyle \ frac {1} {{\ tan \ left (x \ right)}} \ \ {\ sec \ left (x \ right) = \ displaystyle \ frac {1} {{\ cos \ left (x \ right)}}} & \ hspace {0.75 дюймов} \ csc \ left (x \ right) = \ displaystyle \ frac {1} {{\ sin \ left (x \ right)}} \ end {array} \]
Напомним также, что все триггерные функции могут быть определены в виде прямоугольного треугольника.
Из этого прямоугольного треугольника мы получаем следующие определения шести триггерных функций.
\ (\ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {{{\ rm {смежный}}}} {{{\ rm {hypotenuse}}}} \) \ (\ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {{{\ rm {напротив}}}} {{{\ rm {hypotenuse}}}} \)
\ (\ Displaystyle \ tan \ theta = \ frac {{{\ rm {напротив}}}} {{{\ rm {смежный}}}} \) \ (\ Displaystyle \ cot \ theta = \ frac {{{\ rm {смежный}}}} {{{\ rm {напротив}}}} \)
\ (\ displaystyle \ sec \ theta = \ frac {{{\ rm {hypotenuse}}}} {{{\ rm {смежный}}}} \) \ (\ Displaystyle \ csc \ theta = \ frac {{{\ rm {гипотенуза}}}} {{{\ rm {напротив}}}} \)
Иногда в этом курсе будет полезно помнить о взаимосвязи между всеми шестью триггерами и их определениями в виде прямоугольного треугольника.
Далее нам нужно коснуться радианов. На большинстве классов триггеры инструкторы, как правило, сосредотачиваются на том, чтобы делать все с точки зрения степеней (вероятно, потому, что их легче визуализировать). То же самое можно сказать и о многих научных занятиях. Однако в математическом курсе почти все делается в радианах. В следующей таблице приведены некоторые основные углы как в градусах, так и в радианах.
степень 0 30 45 60 90 180 270 360
радианы 0 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \) \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {3} \) \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {2} \) \ (\ pi \) \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) \ (2 \ пи \)
Знай эту таблицу! Мы можем не так часто видеть эти конкретные углы, когда переходим к части этих заметок, посвященной исчислению, но их знание может помочь нам визуализировать каждый угол.А теперь еще раз убедитесь, что это ясно.
Предупреждаем, все в большинстве классов исчисления будут делаться в радианах!
Давайте теперь рассмотрим одну из самых недооцененных идей триггерного класса. Единичный круг — один из наиболее полезных инструментов, выходящих из класса триггеров. К сожалению, большинство людей не изучают его так хорошо, как должны на занятиях триггером.
Ниже представлена единичная окружность, в которой только первый квадрант заполнен «стандартными» углами.Единичный круг работает таким образом, чтобы провести линию от центра круга наружу, соответствующую заданному углу. Затем посмотрите на координаты точки пересечения линии и круга. Первая координата, , т.е. , координата \ (x \), является косинусом этого угла, а вторая координата, , то есть , координата \ (y \), является синусом этого угла. Мы поместили некоторые из основных углов вместе с координатами их пересечений на единичный круг.
Итак, из единичного круга выше мы видим, что \ (\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ (\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = \ frac {1} {2} \).
Также помните, как работают знаки углов. Если вы вращаете против часовой стрелки, угол будет положительным, а если вы вращаетесь по часовой стрелке, угол будет отрицательным.
Напомним также, что один полный оборот равен \ (2 \ pi \), поэтому положительная ось \ (x \) может соответствовать либо углу 0, либо \ (2 \ pi \) (или \ (4 \ pi \), или \ (6 \ pi \), или \ (- 2 \ pi \), или \ (- 4 \ pi \), и т. д. .в зависимости от направления вращения). Точно так же угол \ ({\ textstyle {\ pi \ over 6}} \) (чтобы выбрать угол наугад) также может быть любым из следующих углов:
\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi = \ frac {{13 \ pi}} {6} \) (начать с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \ ) затем один раз поверните против часовой стрелки)
\ (\ Displaystyle \ frac {\ pi} {6} + 4 \ pi = \ frac {{25 \ pi}} {6} \) (начать с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \ ) затем дважды поверните вокруг себя против часовой стрелки)
\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} — 2 \ pi = — \ frac {{11 \ pi}} {6} \) (начинается с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6}) \) затем поверните один раз по часовой стрелке)
\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} — 4 \ pi = — \ frac {{23 \ pi}} {6} \) (начинается с \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6}) \) затем дважды поверните по часовой стрелке)
и т. Д.
Фактически, \ ({\ textstyle {\ pi \ over 6}} \) может быть любым из следующих углов \ ({\ frac {\ pi} {6}} + 2 \ pi \, n \ ,, \ ; \; n = 0, \, \ pm 1, \, \ pm 2, \, \ pm 3, \, \ ldots \) В этом случае \ (n \) — это количество полных оборотов, которые вы делаете вокруг устройства. круг, начинающийся в \ ({\ frac {\ pi} {6}} \). Положительные значения \ (n \) соответствуют вращению против часовой стрелки, а отрицательные значения \ (n \) соответствуют вращению по часовой стрелке.
Итак, почему мы поместили только первый квадрант? Ответ прост.Если вы знаете первый квадрант, вы можете получить все остальные квадранты из первого с небольшим применением геометрии. Вы увидите, как это делается, на следующих примерах.
Пример 1 Оцените каждое из следующих действий.
\ (\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \) и \ (\ sin \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {3}) } \ right) \)
\ (\ cos \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) \) и \ (\ cos \ left ({- \ frac {{7 \ pi}} {6}}) \ справа) \)
\ (\ tan \ left ({- \ frac {\ pi} {4}} \ right) \) и \ (\ tan \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {4}} \ right) \)
\ (\ sec \ left ({\ frac {{25 \ pi}} {6}} \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \) и \ (\ sin \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {3}}) \ right) \) Показать решение
Первая оценка в этой части использует угол \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \).Этого нет на нашем единичном круге выше, однако обратите внимание, что \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} = \ pi — \ frac {\ pi} {3} \). Итак, \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) находится путем поворота \ (\ frac {\ pi} {3} \) вверх от отрицательной оси \ (x \). Это означает, что линия для \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) будет зеркальным отображением линии для \ (\ frac {\ pi} {3} \) только во втором квадранте. Координаты для \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \) будут координатами для \ (\ frac {\ pi} {3} \), за исключением того, что координата \ (x \) будет отрицательной.
Аналогично, для \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} \) мы можем заметить, что \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} = — \ pi + \ frac {\ pi } {3} \), поэтому этот угол можно найти, повернув вниз \ (\ frac {\ pi} {3} \) от отрицательной оси \ (x \).Это означает, что линия для \ (- \ frac {{2 \ pi}} {3} \) будет зеркальным отображением линии для \ (\ frac {\ pi} {3} \) только в третьем квадранте и координаты будут такими же, как координаты для \ (\ frac {\ pi} {3} \), за исключением того, что оба будут отрицательными.
Оба этих угла вместе с координатами точек пересечения показаны на следующем единичном круге.
Из этого единичного круга видно, что \ (\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ (\ sin \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \).
Это приводит к интересному факту о функции синуса. Синусоидальная функция называется функцией с нечетным числом , поэтому для ЛЮБОГО угла мы имеем
. \ [\ sin \ left ({- \ theta} \ right) = — \ sin \ left (\ theta \ right) \]
b \ (\ cos \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) \) и \ (\ cos \ left ({- \ frac {{7 \ pi}} {6}) } \ right) \) Показать решение
В этом примере обратите внимание, что \ (\ frac {{7 \ pi}} {6} = \ pi + \ frac {\ pi} {6} \), это означает, что мы повернем вниз \ (\ frac {\ pi } {6} \) от отрицательной оси \ (x \), чтобы добраться до этого угла.Также \ (- \ frac {{7 \ pi}} {6} = — \ pi — \ frac {\ pi} {6} \), это означает, что мы должны повернуть вверх \ (\ frac {\ pi} {6} \) от отрицательной оси \ (x \) — попасть в этот угол. Итак, как и в предыдущей части, оба этих угла будут зеркальным отображением \ (\ frac {\ pi} {6} \) в третьем и втором квадрантах соответственно, и мы можем использовать это, чтобы определить координаты для обоих этих новые ракурсы.
Оба этих угла показаны на следующем единичном круге вместе с координатами точек пересечения.
Из этого единичного круга видно, что \ (\ cos \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) и \ (\ cos \ left ({- \ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \). В этом случае функция косинуса называется функцией и даже , поэтому для ЛЮБОГО угла мы имеем
\ [\ cos \ left ({- \ theta} \ right) = \ cos \ left (\ theta \ right) \]
c \ (\ tan \ left ({- \ frac {\ pi} {4}} \ right) \) и \ (\ tan \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {4}} \ right) ) \) Показать решение
Здесь мы должны отметить, что \ (\ frac {{7 \ pi}} {4} = 2 \ pi — \ frac {\ pi} {4} \), поэтому \ (\ frac {{7 \ pi}} {4 } \) и \ (- \ frac {\ pi} {4} \) фактически под одним углом! Также обратите внимание, что этот угол будет зеркальным отражением \ (\ frac {\ pi} {4} \) в четвертом квадранте.Единичный круг для этого угла равен
.
Теперь, если мы вспомним, что \ (\ tan \ left (x \ right) = \ frac {{\ sin \ left (x \ right)}} {{\ cos \ left (x \ right)}}}), мы можно использовать единичную окружность, чтобы найти значения касательной функции. Итак,
\ [\ tan \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) = \ tan \ left (- \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ sin \ left (- { \ pi} / {4} \; \ right)} {\ cos \ left (- {\ pi} / {4} \; \ right)} = \ frac {- {\ sqrt {2}} / {2} \;} {{\ sqrt {2}} / {2} \;} = — 1 \]
Кстати, обратите внимание, что \ (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) = 1 \), и мы можем видеть, что функция касательной также называется функцией нечетных и так что для ЛЮБОГО угла у нас будет
\ [\ tan \ left ({- \ theta} \ right) = — \ tan \ left (\ theta \ right) \]
d \ (\ sec \ left ({\ frac {{25 \ pi}} {6}} \ right) \) Показать решение
Здесь мы должны заметить, что \ (\ frac {{25 \ pi}} {6} = 4 \ pi + \ frac {\ pi} {6} \). {\ sqrt {3}} / {} _ {2}} = \ frac {2} {\ sqrt {3} } \]
Итак, в последнем примере мы увидели, как единичную окружность можно использовать для определения значения триггерных функций при любом из «общих» углов.Важно отметить, что во всех этих примерах использовался тот факт, что если вы знаете первый квадрант единичной окружности и можете связать все остальные углы с «зеркальными изображениями» одного из углов первого квадранта, вам действительно не нужно знать целый единичный круг. Если вы хотите увидеть полный круг единиц, у меня есть такой в моей шпаргалке по Trig Cheat Sheet, доступной на http://tutorial.math.lamar.edu.
Еще одна важная идея из последнего примера заключается в том, что когда дело доходит до оценки триггерных функций, все, что вам действительно нужно знать, — это как вычислять синус и косинус.Остальные четыре триггерные функции определены в терминах этих двух, поэтому, если вы знаете, как вычислять синус и косинус, вы также можете оценить оставшиеся четыре триггерные функции.
В этом разделе мы не рассмотрели многие темы из курса триггеров, но мы рассмотрели некоторые из наиболее важных с точки зрения математического анализа. Есть много важных тригонометрических формул, которые вы будете время от времени использовать на уроках исчисления. В первую очередь это формулы половинного и двойного угла. Если вам нужно напомнить, что это такое, вы можете загрузить мою шпаргалку по триггерам, поскольку там перечислены большинство важных фактов и формул из триггерного класса.
Введение в 6 функций тригонометрии
Введение в 6 функций тригонометрии — Math Open Reference
В основе тригонометрии лежат шесть функций. Вам необходимо полностью понять три основных вопроса:
Синус (грех)
Косинус (cos)
Касательная (загар)
Остальные три используются не так часто и могут быть производными от трех основных функций.Поскольку их легко получить, в калькуляторах и таблицах они обычно отсутствуют.
Секущая (сек)
Косеканс (csc)
Котангенс (детская кроватка)
Все шесть функций имеют трехбуквенные сокращения (показаны в скобках выше).
Определения шести функций
Рассмотрим прямоугольный треугольник выше. Для каждого угла P или Q есть шесть функций, каждая функция — это соотношение двух сторон треугольника. Единственная разница между шестью функциями заключается в том, какую пару сторон мы используем.
В следующей таблице
a — длина стороны a , расположенной рядом с рассматриваемым углом (x).
o — длина стороны o p = угол.
h — длина ч гипотенуза.
« x » представляет собой меру угла в градусах или радианах.
В следующей таблице обратите внимание, как каждая функция является обратной величиной одной из основных функций sin, cos, tan.
Например, на рисунке выше косинус x — это сторона, примыкающая к x (обозначена a) над гипотенуза (помечено h): Если a = 12 см и h = 24 см, то cos x = 0,5 (12 на 24).
Сох Ках Тоа
Эти 9 букв помогают запомнить соотношения трех основных функций — sin, cos и tan. Произносится как «соака-тава».См. Sohcahtoa.
Передаточные числа постоянные
Поскольку функции имеют соотношение двух сторон, они всегда дают одинаковый результат для заданного угла, независимо от размера треугольника.
На рисунке выше перетащите точку C. Треугольник изменится так, чтобы угол C оставался равным 30 °. Обратите внимание, как соотношение сторона, противоположная гипотенузе, не меняется, даже если их длина меняется. Из-за этого не меняется и синус 30 °.Всегда 0,5.
Помните: Когда вы применяете функцию триггера к заданному углу, она всегда дает один и тот же результат. Например, тангенс угла 60 ° всегда равен 1,732.
Использование калькулятора
В большинстве калькуляторов есть кнопки для определения sin, cos и tan угла. Обязательно установите калькулятор в режим градусов или радианов в зависимости от того, какие единицы вы используете.
Обратные функции
Для каждой из шести функций существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Перед обратной функцией стоят буквы «ARC».
Например, функция, обратная COS, — это ARCCOS. В то время как COS сообщает вам косинус угла, ARCCOS сообщает вам, какой угол имеет данный косинус. См. Обратные тригонометрические функции.
В калькуляторах и электронных таблицах обратные функции иногда написано acos (x) или cos ^-1 (x) .
Тригонометрические функции больших и / или отрицательных углов
Шесть функций также можно определить в прямоугольной форме. система координат.Это позволяет им выходить за рамки прямоугольных треугольников, где углы могут иметь любую меру, даже за 360 °, и может быть как положительным, так и отрицательным. Подробнее об этом см. Тригонометрические функции больших и отрицательных углов.
Идентичности — замена функции другими
Тригонометрические тождества — это просто способы написания одной функции с использованием других. Например, из таблицы выше мы видим, что Эта эквивалентность называется тождеством. Если бы у нас было уравнение с сек x в нем, мы могли бы заменить sec x с
на единицу больше, чем cos x , если это помогает нам достичь наших целей.Таких отождествлений много. Для получения дополнительной информации см. Тригонометрические тождества.
Не только прямоугольные треугольники
Эти функции определены с помощью прямоугольного треугольника, но их можно использовать и в других треугольниках. Например, Закон синуса и Закон косинусов можно использовать для решить любой треугольник, а не только прямоугольные.
Графики функций
Функции можно изобразить в виде графиков, а некоторые, особенно функция SIN, создают формы, которые часто встречаются в природе. Например, см. График функции SIN, часто называемой синусоидой, выше.Подробнее см.
Чистые звуковые тона и радиоволны являются синусоидальными волнами в соответствующей среде.
Производные триггерных функций
Каждую из функций можно дифференцировать в исчислении. Результатом является другая функция, которая указывает скорость ее изменения (наклон) при определенных значениях x . Эти производные функции выражаются в терминах других триггерных функций. Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.
Другие темы по тригонометрии
Уголки
Тригонометрические функции
Решение задач тригонометрии
Исчисление
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Определение и графики тригонометрических функций
Углы (аргументы функций): \ (\ alpha \), \ (x \)
Тригонометрические функции: \ (\ sin \ alpha \), \ (\ cos \ alpha \), \ (\ tan \ alpha \), \ (\ cot \ alpha \), \ (\ sec \ alpha \), \ (\ csc \ alpha \)
Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
Координаты точек на окружности: \ (х \), \ (у \)
Радиус круга: \ (r \)
Целые числа: \ (k \)
Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
Тригонометрические функции могут быть определены с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
\ (\ грех \ альфа = у / г \).
Так как \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
\ (\ соз \ альфа = х / г \)
Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата:
\ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата:
\ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
\ (\ сек \ альфа = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
\ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике
В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Следовательно, приведенные выше определения сформулированы следующим образом:
Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе.
Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе.
Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку.
Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку.
Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету.
Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
График функции синуса
\ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
График функции косинуса
\ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
График касательной функции
\ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
График функции котангенса
\ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
График функции секанса
\ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
График функции косеканса
\ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
тригонометрия | Определение, формулы, соотношения и идентичности
Слово тригонометрия происходит от греческих слов trigonon («треугольник») и metron («измерять»).Примерно до 16 века тригонометрия в основном занималась вычислением числовых значений недостающих частей треугольника (или любой формы, которую можно разрезать на треугольники), когда были даны значения других частей. Например, если известны длины двух сторон треугольника и величина замкнутого угла, можно вычислить третью сторону и два оставшихся угла. Такие вычисления отличают тригонометрию от геометрии, которая в основном исследует качественные отношения.Конечно, это различие не всегда является абсолютным: например, теорема Пифагора представляет собой утверждение о длинах трех сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, носит количественный характер. Тем не менее, в своей первоначальной форме тригонометрия в целом была порождением геометрии; только в 16 веке эти два направления стали отдельными разделами математики.
Древний Египет и Средиземноморский мир
Несколько древних цивилизаций, в частности египетская, вавилонская, индуистская и китайская, обладали значительными знаниями практической геометрии, включая некоторые концепции, которые были прелюдией к тригонометрии.Папирус Райнда, египетский сборник из 84 задач по арифметике, алгебре и геометрии, датируемый примерно 1800 годом до нашей эры, содержит пять задач, касающихся секедов . Тщательный анализ текста и сопровождающих его рисунков показывает, что это слово означает наклон склона — важное знание для огромных строительных проектов, таких как пирамиды. Например, в задаче 56 задается вопрос: «Если пирамида имеет высоту 250 локтей, а длина стороны ее основания — 360 локтей, каковы ее шекелей ?» Решение дается как 5 ¹/₂₅ ладоней на локоть, и, поскольку один локоть равен 7 ладоням, эта фракция эквивалентна чистому соотношению ¹⁸/₂₅.На самом деле это отношение «бега к подъему» рассматриваемой пирамиды — по сути, котангенс угла между основанием и гранью. Это показывает, что египтяне имели хоть какое-то представление о числовых соотношениях в треугольнике, своего рода «прото-тригонометрии».
Египетский сек
Египтяне определили сек как отношение пробега к подъему, что является обратной величиной современного определения наклона.
Британская энциклопедия, Inc. Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Тригонометрия в современном понимании началась с греков. Гиппарх ( ок. 190–120 до н. Э.) Был первым, кто построил таблицу значений для тригонометрической функции. Он считал каждый треугольник — плоский или сферический — вписанным в круг, так что каждая сторона становится хордой (то есть прямой линией, соединяющей две точки на кривой или поверхности, как показано вписанным треугольником A B C на рисунке).Чтобы вычислить различные части треугольника, нужно найти длину каждой хорды как функцию центрального угла, который его образует, или, что то же самое, длину хорды как функцию соответствующей ширины дуги. Это стало главной задачей тригонометрии на следующие несколько столетий. Как астроном, Гиппарх в основном интересовался сферическими треугольниками, такими как воображаемый треугольник, образованный тремя звездами на небесной сфере, но он также был знаком с основными формулами плоской тригонометрии.Во времена Гиппарха эти формулы были выражены в чисто геометрических терминах как отношения между различными хордами и углами (или дугами), которые их соединяют; современные символы для тригонометрических функций не были введены до 17 века.
треугольник, вписанный в круг
Этот рисунок иллюстрирует взаимосвязь между центральным углом θ (угол, образованный двумя радиусами в круге) и его хордой A B (равной одной стороне вписанного треугольника).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Изучите, как Птолемей пытался использовать деференты и эпициклы для объяснения ретроградного движения
Теория Птолемея о солнечной системе.
Encyclopædia Britannica, Inc. См. Все видео к этой статье
Первой крупной древней работой по тригонометрии, которая в неприкосновенности достигла Европы после Средневековья, была Альмагест Птолемея ( ок. 100–170 гг. Н. Э.). Он жил в Александрии, интеллектуальном центре эллинистического мира, но о нем мало что известно.Хотя Птолемей написал работы по математике, географии и оптике, он в основном известен благодаря Альмагест , сборнику из 13 книг по астрономии, который стал основой картины мира человечества до тех пор, пока гелиоцентрическая система Николая Коперника не начала вытеснять геоцентрическую систему Птолемея. в середине 16 века. Чтобы создать эту картину мира, суть которой заключалась в неподвижной Земле, вокруг которой Солнце, Луна и пять известных планет движутся по круговым орбитам, Птолемею пришлось использовать элементарную тригонометрию.Главы 10 и 11 первой книги Альмагест посвящены построению таблицы аккордов, в которой длина хорды в окружности дается как функция от центрального угла, который ее образует, для углов в диапазоне от От 0 ° до 180 ° с интервалом в половину градуса. По сути, это таблица синусов, которую можно увидеть, обозначив радиус r , дугу A и длину выступающей хорды c , чтобы получить c = 2 r sin ^{. А}/₂.Поскольку Птолемей использовал вавилонские шестидесятеричные числа и системы счисления (основание 60), он провел свои вычисления со стандартным кругом радиуса r = 60 единиц, так что c = 120 sin ^A/₂. Таким образом, помимо коэффициента пропорциональности 120, это была таблица значений sin ^A/₂ и, следовательно, (путем удвоения дуги) sin A . С помощью своей таблицы Птолемей усовершенствовал существующие геодезические измерения мира и уточнил модель движения небесных тел Гиппарха.
построение таблицы хорд
Обозначив на рисунке центральный угол A , радиусы r и хорду c , можно показать, что c = 2 r sin ( A /2). Следовательно, таблица значений хорд в круге фиксированного радиуса также является таблицей значений синуса углов (путем удвоения дуги).
Encyclopædia Britannica, Inc.
10 секретных триггерных функций Ваши учителя математики никогда вас не учили
В понедельник The Onion сообщил, что учителя математики Nation представили 27 новых триггерных функций.«Это забавное чтение. Гамсин, негтан и cosvnx из статьи о Луке вымышлены, но в этом произведении есть доля правды: есть 10 секретных триггерных функций, о которых вы никогда не слышали, и у них есть восхитительные имена, такие как« гаверсин ». «и» exsecant «.
Диаграмма с единичным кругом и большим количеством триггерных функций, чем вы можете потрясти палкой. (Хорошо известно, что вы можете встряхнуть палку максимум при 8 триггерных функциях.) Знакомые синус, косинус и тангенс выделены красным, синим и, ну, желтовато-коричневым, соответственно.Версин выделен зеленым рядом с косинусом, а эксеканс розовым справа от версина. Excosecant и coverine также присутствуют на изображении. Не изображены: веркозин, кверкозин и хавер — что угодно. Изображение: Лиманер и Стивен Джонсон, через Wikimedia Commons.
Хотите ли вы мучить студентов с ними или вовлечь их в разговор, чтобы показаться эрудированным и / или невыносимым, вот определения всех «потерянных триггерных функций» ~~, которые я нашел в своем исчерпывающем исследовании оригинальных исторических текстов~~ Википедия рассказала я о.
Версия: версия (θ) = 1-cos (θ)
Веркозин: веркозин (θ) = 1 + cos (θ)
Coversine: охватывает (θ) = 1-sin (θ)
Covercosine: covercosine (θ) = 1 + sin (θ)
. Гаверсин: гаверсин (θ) = версен (θ) / 2
Гаверкозин: гаверкозин (θ) = веркозин (θ) / 2
Гаковерсин: хаковерсин (θ) = охватывает (θ) / 2
Гаковеркозин: гаковеркозин (θ) = кверкозин (θ) / 2
Exsecant: exsec (θ) = sec (θ) -1
Excosecant: excsc (θ) = csc (θ) -1
Должен признаться, я был немного разочарован, когда посмотрел на них.Все они представляют собой простые комбинации дорогого старого синуса и косинуса. Почему они вообще получили имена ?! Из того места и времени, когда я могу сидеть на диване и почти мгновенно находить синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков с помощью онлайн-калькулятора, в Версине нет необходимости. Но эти, казалось бы, лишние функции восполнили потребности в мире предварительных калькуляторов.
Numberphile недавно опубликовал видео о таблицах журналов, в котором объясняется, как люди использовали логарифмы для умножения больших чисел в темное время, когда еще не было калькулятора.Во-первых, напомню о логарифмах. Уравнение log _b x = y означает, что b ^y = x. Например, 10 ² = 100, поэтому log ₁₀ 100 = 2. Полезный факт о логарифмах: log _b (c × d) = log _b c + log _b d. Другими словами, логарифмы превращают умножение в сложение. Если вы хотите умножить два числа вместе с помощью таблицы журнала, вы должны найти логарифм обоих чисел, а затем сложить логарифмы. Затем вы должны использовать свою таблицу журнала, чтобы узнать, какое число имеет этот логарифм, и это был ваш ответ.Сейчас это звучит громоздко, но умножение вручную требует гораздо больше операций, чем сложение. Когда каждая операция занимает нетривиальное количество времени (и подвержена нетривиальному количеству ошибок), процедура, которая позволяет преобразовать умножение в сложение, в реальном времени экономит и помогает повысить точность.
Секретные триггерные функции, такие как логарифмы, упрощают вычисления. Чаще всего использовались версин и гаверсин. Вблизи угла θ = 0 cos (θ) очень близко к 1.Если вы выполняли вычисление, в котором было 1-cos (θ), ваше вычисление могло бы быть разрушено, если в вашей таблице косинусов не было достаточно значащих цифр. Для иллюстрации косинус 5 градусов равен 0,996194698, а косинус 1 градуса равен 0,999847695. Разница cos (1 °) -cos (5 °) составляет 0,003652997. Если бы у вас было три значащих цифры в вашей таблице косинусов, вы получили бы только 1 значащую цифру в своем ответе из-за ведущих нулей в разнице. А таблица только с тремя значащими цифрами точности не сможет различить углы 0 и 1 градус.Во многих случаях это не имеет значения, но может стать проблемой, если ошибки накапливаются в ходе вычислений.
Бонусные триггерные функции также имеют то преимущество, что они никогда не бывают отрицательными. Версина находится в диапазоне от 0 до 2, поэтому, если вы используете таблицы журнала для умножения на версину, вам не нужно беспокоиться о том, что логарифм не определен для отрицательных чисел. (Он также не определен для 0, но это простой случай.) Еще одно преимущество версин и гаверсин заключается в том, что они могут удерживать вас от необходимости что-то возводить в квадрат.Немного тригонометрического волшебства (также известного как запоминание одной из бесконечного списка тригонометрических формул, которые вы выучили в старшей школе) показывает, что 1-cos (θ) = 2sin ² (θ / 2). Таким образом, гаверсинус — это просто грех ² (θ / 2). Аналогично, хаверкозин равен cos ² (θ / 2). Если у вас есть вычисление с использованием квадрата синуса или косинуса, вы можете использовать таблицу гаверсинусов или гаверсинусов, и вам не нужно возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.
Диаграмма, показывающая синус, косинус и версию угла.Изображение: Qef и Стивен Дж. Джонсон, через Wikimedia Commons.
Версина — это довольно очевидная триггерная функция для определения и, кажется, использовалась еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус мог быть более важным в более недавней истории, когда он использовался в навигации. Формула гаверсинуса — очень точный способ вычисления расстояний между двумя точками на поверхности сферы с использованием широты и долготы этих двух точек. Формула гаверсинуса — это переформулировка сферического закона косинусов, но формулировка в терминах гаверсинусов более полезна для малых углов и расстояний.(С другой стороны, формула гаверсинуса не очень хорошо справляется с углами, близкими к 90 градусам, но сферический закон косинусов справляется с этим хорошо.) Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя затратных вычислительных операций. квадраты и квадратные корни. Еще в 1984 году любительский астрономический журнал Sky & Telescope восхвалял формулу гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов.Чтобы узнать больше о формуле гаверсинуса и вычислении расстояний на сфере, ознакомьтесь с этой архивной копией страницы бюро переписи или этой статьей «Спросите доктора Матема».
У меня не так много информации об истории других триггерных функций в списке. Все они могут сделать вычисления более точными вблизи определенных углов, но я не знаю, какие из них обычно использовались, а какие назывались * аналогично другим функциям, но редко использовались на самом деле. Мне любопытно об этом, если кто-нибудь знает больше о предмете.
Когда Луковица имитирует реальную жизнь, это обычно трагично. Но в случае секретных триггерных функций суть правды в Луке меня не огорчила. Нам очень повезло, что мы можем так легко умножать, возводить в квадрат и извлекать квадратные корни, а наши калькуляторы могут хранить точную информацию о синусах, косинусах и тангенциях углов, но прежде чем мы смогли это сделать, мы придумали работу -округ в виде смешного количества триггерных функций. Легко забыть, что люди, которые их определили, не были садистскими учителями математики, которые хотят, чтобы люди запоминали странные функции без всякой причины.Эти функции фактически сделали вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам. Теперь, когда компьютеры стали такими мощными, привычка к дискетам исчезла. Но я думаю, мы все можем согласиться с тем, что он должен вернуться, хотя бы из-за «классной» шутки, которую я придумал, когда засыпал прошлой ночью: Хаверсин? Я даже не знаю!
* Я хотел бы сделать здесь небольшое отступление в мир математических префиксов, но это может быть не для всех. Вас предупредили.
В таблице секретных триггерных функций «ха» явно означает половину; Например, ценность гаверсина составляет половину стоимости версина.«Со» означает выполнение той же функции, но с дополнительным углом. (Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов. В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга.) Например, косинус угла также является синусом дополнительного угла. Точно так же крышка — это версия дополнительного угла, как вы можете видеть голубым цветом над одним из красных синусов на диаграмме вверху сообщения.
Одна бонусная триггерная функция, которая меня немного смущает, — это веркосинус.Если бы «со» в этом определении означало дополнительный угол, то веркозинус был бы таким же, как покрывающий, а это не так. Вместо этого веркосинус — это версия дополнительного угла (дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов), а не дополнительный. В дополнение к определениям как 1-cos (θ) и 1 + cos (θ), версин и веркозин могут быть определены как versin (θ) = 2sin ² (θ / 2) и vercos (θ) = 2cos ^{. 2} (θ / 2). В случае версины я считаю, что определение, включающее cos (θ), старше, чем определение, включающее синус в квадрате.Я предполагаю, что веркосинус был более поздним термином, аналогом определения квадрата синуса версина с использованием вместо него косинуса. Если вы любитель истории тригонометрии и у вас есть дополнительная информация, дайте мне знать! В любом случае таблица суперсекретных триггерных функций бонусов — забавное упражнение для выяснения того, что означают префиксы.
Тригонометрических функций
Тригонометрических функций
Произвольные углы и единичная окружность
До сих пор мы использовали единичный круг для определения тригонометрических функций для острых углов.В следующем разделе, где мы рассмотрим наклонные треугольники, нам понадобится нечто большее, чем острые углы. Некоторые наклонные треугольники являются тупыми, и нам нужно знать синус и косинус тупых углов. Пока мы делаем это, мы также должны определять триггерные функции для углов, превышающих 180 °, и для отрицательных углов. Сначала нам нужно четко определить, что это за углы.
Древнегреческие геометры считали углы только между 0 ° и 180 °, и они не считали ни прямой угол 180 °, ни вырожденный угол 0 ° углами.Эти частные случаи полезно не только рассматривать как углы, но и включать в них углы от 180 ° до 360 °, которые иногда называют «углами отражения». С применением тригонометрии к предметам исчисления и дифференциальных уравнений, углы, превышающие 360 °, и отрицательные углы также стали приемлемыми.
Рассмотрим единичный круг. Обозначьте его центр (0,0) как O, и обозначьте точку (1,0) на нем как A. Как движущаяся точка B движется по единичной окружности, начиная с A и двигаясь по против часовой стрелки, угол AOB как угол 0 ° и увеличивается.Когда B прошел весь путь по окружности и вернулся к A, , тогда угол AOB будет углом 360 °. Конечно, это тот же угол, что и угол 0 °, поэтому мы можем идентифицировать эти два угла. Поскольку B продолжает второй раз по кругу, мы получаем углы от 360 ° до 720 °. Это те же углы, которые мы видели в первый раз, но у нас есть разные названия. Например, прямой угол обозначается как 90 ° или 450 °. Каждый раз по кругу мы получаем другое название угла.Таким образом, 90 °, 450 °, 810 ° и 1170 ° — это один и тот же угол.
Если B начинается в той же точке A и движется по часовой стрелке, то мы получим отрицательные углы, или, точнее, названия в отрицательных градусах для тех же углов. Например, если вы пройдете четверть круга по часовой стрелке, угол AOB будет назван как –90 °. Конечно, это то же самое, что и угол 270 °.
Итак, в общем, любой угол назван бесконечным числом имен, но все они отличаются друг от друга на 360 °.
Синусы и косинусы произвольных углов
Теперь, когда мы указали произвольные углы, мы можем определить их синусы и косинусы. Пусть угол расположен так, чтобы его вершина находилась в центре единичной окружности O = (0,0), и пусть первая сторона угла расположена вдоль оси x . Пусть вторая сторона угла пересекает единичную окружность в точке B. Тогда угол равен углу AOB , где A равно (1,0).Мы используем координаты B , чтобы определить косинус угла и синус угла. В частности, координата x точки B является косинусом угла, а координата y точки B является синусом угла. Это определение расширяет определения синуса и косинуса, данные ранее для острых углов.
Свойства синусов и косинусов, вытекающие из этого определения
Есть несколько свойств, которые мы можем легко вывести из этого определения.Некоторые из них обобщают тождества, которые мы уже видели для острых углов.
Синус и косинус являются периодическими функциями периода 360 °, то есть периода 2 π . Это потому, что синусы и косинусы определяются в терминах углов, и вы можете добавить кратные 360 ° или 2 π , и это не изменит угол. Таким образом, для любого угла θ , sin ( θ + 360 °) = sin θ, и
cos ( θ + 360 °) = cos θ.
Многие из современных приложений тригонометрии вытекают из использования тригонометрии в исчислении, особенно те приложения, которые имеют дело непосредственно с тригонометрическими функциями. Итак, мы должны использовать радиан, когда думаем о триггерах с точки зрения триггерных функций. В радианах последняя пара уравнений читается как
sin ( θ + 2 π ) = sin θ, и
cos ( θ + 2 π ) = cos θ.
Синус и косинус дополняют друг друга: cos θ = sin ( π /2 — θ )
sin θ = cos ( π /2 — θ )
Мы видели это раньше, но теперь у нас есть это для любого угла θ. Это правда, потому что, когда вы отражаете плоскость через диагональную линию y = x, угол заменяется его дополнением.
Пифагорейское тождество синусов и косинусов следует непосредственно из определения. Поскольку точка B лежит на единичной окружности, ее координаты x и y удовлетворяют уравнению x ² + y ² = 1. Но координаты — это косинус и синус, поэтому делаем вывод sin ² θ + cos ² θ = 1.
Теперь мы готовы рассмотреть синус и косинус как функции.
Синус — нечетная функция, а косинус — четная функция. Возможно, вы не встречали этих прилагательных «нечетный» и «четный» применительно к функциям, но их важно знать. Функция f называется функцией odd , если для любого числа x, f (- x ) = — f ( x ). Функция f называется функцией четных , если для любого числа x, f (- x ) = f ( x ).Большинство функций не являются ни нечетными, ни четными, но некоторые из наиболее важных функций являются теми или иными. Любой многочлен только с членами нечетной степени является нечетной функцией, например, f ( x ) = x ⁵ + 8 x ³-2 x. (Обратите внимание, что все степени x являются нечетными числами.) Точно так же любой многочлен только с членами четной степени является четной функцией. Например, f ( x ) = x ⁴ — 3 x ² — 5.(Константа 5 равна 5 x ⁰, а 0 — четное число.)
Синус — нечетная функция, а косинус — четная
sin (- θ ) = –sin θ, и
cos (- θ ) = cos θ.
Эти факты вытекают из симметрии единичной окружности относительно оси x . Угол — t — тот же угол, что и t , за исключением того, что он находится с другой стороны оси x . Переворачивание точки ( x, y ) на другую сторону оси x превращается в ( x, –y ), поэтому координата y инвертируется, то есть синус инвертируется , но координата x осталась прежней, то есть косинус не изменился.
Очевидным свойством синусов и косинусов является то, что их значения лежат в диапазоне от –1 до 1. Каждая точка на единичной окружности находится на расстоянии 1 единицы от начала координат, поэтому координаты любой точки также находятся в пределах 1 от 0.
Графики функций синуса и косинуса
Давайте возьмем t как переменный угол. Вы можете думать о t и как об угле, и как о времени. Для людей хороший способ понять функцию — это посмотреть на ее график.Начнем с графика sin t. Возьмите горизонтальную ось за ось t (а не за ось x , как обычно), возьмите вертикальную ось за ось y и изобразите уравнение y = sin t . Похоже на это.
Во-первых, заметим, что он периодический с периодом 2 π . С геометрической точки зрения это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее 2 π влево или вправо, кривая вернется в исходное положение.Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы оси t . Мало что еще очевидно, за исключением того, где оно увеличивается и уменьшается. Например, sin t увеличивается от 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается с увеличением угла AOB от 0 до π /2.
Теперь давайте посмотрим на график косинуса. Опять же, возьмите горизонтальную ось за ось t , а теперь возьмите вертикальную ось за ось x и изобразите уравнение x = cos t.
Обратите внимание, что он выглядит так же, как график sin t , за исключением того, что он сдвинут влево на π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не сталкивались с этим тождеством, оно легко следует из уже рассмотренных: cos t = cos — t = sin ( π /2 — (- t )) = sin ( π /2 + т ).
Графики функций тангенса и котангенса
График касательной функции имеет вертикальную асимптоту при x = π /2. Это связано с тем, что касательная стремится к бесконечности, поскольку t приближается к π /2. (На самом деле, она приближается к минус бесконечности, поскольку t приближается к π /2 справа, как вы можете видеть на графике.
Вы также можете видеть, что тангенс имеет период π ; также есть вертикальные асимптоты через каждые π единиц слева и справа.Алгебраически эта периодичность выражается как tan ( t + π ) = tan t.
График котангенса очень похож.
Это сходство просто потому, что котангенс t является тангенсом дополнительного угла π — t.
Графики функций секанса и косеканса
Секанс — это величина, обратная косинусу, и, поскольку косинус принимает только значения от –1 до 1, секанс принимает только значения выше 1 или ниже –1, как показано на графике.Также секанс имеет период 2 π .
Как и следовало ожидать, график косеканса очень похож на график секанса.
Сводка тригонометрических отождествлений
За последние несколько страниц вы видели немало тригонометрических отождествлений. Для справки удобно иметь их краткое изложение. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть некоторые, которые включают два угла, и для них два угла обозначены α и β .
Более важные идентичности.
Необязательно знать все личности с головы до ног. Но это вам следует.
Определение соотношений для тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса.
Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, наверное, самая важная триггерная идентичность.
Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.
Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
Обозначения для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными функциями.
Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
Менее важные личности.
Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из вышеперечисленных, но иногда для этого требуется немного поработать.
Формула Пифагора для касательных и секущих. Есть еще один для котангенсов и косекансов, но поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, в нем нет необходимости.
Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений.
Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
Формулы половинных углов. Для синуса и косинуса берут положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, тогда будет использоваться положительный корень.
Действительно непонятные личности.
Они здесь как раз для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них также можно забыть, пока они не понадобятся.
Идентификаторы продукта-суммы. Эта группа идентичностей позволяет вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
Идентификационные данные продукта. Кроме того: как ни странно, эти идентификаторы продуктов использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу, чтобы найти угол α , косинус которого равен x , и угол β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α + β .а разность α — β . Усредните эти два косинуса. Вы получаете товар xy ! Три просмотра таблиц и вычисление суммы, разницы и среднего, а не одно умножение. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез .
Формулы тройного угла.
РубрикаРазное
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Биосфера
Глобальное потепление
Защита биосферы
Климат
Климатические пояса
Обитатели океанов
Океан
Полезно знать
Потепление
Природа
Разное
Человек и природа
Экология
Экология России
2019 © Все права защищены. Карта сайта

	0º 0 рад	30º $$\frac{\pi}{6}$$	45º $$\frac{\pi}{4}$$	60º $$\frac{\pi}{3}$$	90º $$\frac{\pi}{2}$$	180º $$\pi$$	270º $$\frac{3\pi}{2}$$	360º $$2\pi$$
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
$$\sin \alpha$$	0	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1	0	-1	0
$$\cos \alpha$$	1	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	0	-1	0	1
$${\rm tg}\, \alpha$$	0	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	1	$$\sqrt{3}$$	—	0	—	0
$${\rm ctg}\, \alpha$$	—	$$\sqrt{3}$$	1	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	0	—	0	—

\ (\ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {{{\ rm {смежный}}}} {{{\ rm {hypotenuse}}}} \)		\ (\ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {{{\ rm {напротив}}}} {{{\ rm {hypotenuse}}}} \)
\ (\ Displaystyle \ tan \ theta = \ frac {{{\ rm {напротив}}}} {{{\ rm {смежный}}}} \)		\ (\ Displaystyle \ cot \ theta = \ frac {{{\ rm {смежный}}}} {{{\ rm {напротив}}}} \)
\ (\ displaystyle \ sec \ theta = \ frac {{{\ rm {hypotenuse}}}} {{{\ rm {смежный}}}} \)		\ (\ Displaystyle \ csc \ theta = \ frac {{{\ rm {гипотенуза}}}} {{{\ rm {напротив}}}} \)

степень	0	30	45	60	90	180	270	360
радианы	0	\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {6} \)	\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \)	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {3} \)	\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {\ pi} {2} \)	\ (\ pi \)	\ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \)	\ (2 \ пи \)

За последние несколько страниц вы видели немало тригонометрических отождествлений. Для справки удобно иметь их краткое изложение. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть некоторые, которые включают два угла, и для них два угла обозначены α и β .

Более важные идентичности. Необязательно знать все личности с головы до ног. Но это вам следует.

	Определение соотношений для тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса.
	Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, наверное, самая важная триггерная идентичность.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.
	Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
	Обозначения для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными функциями.
	Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
	Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.


Менее важные личности. Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из вышеперечисленных, но иногда для этого требуется немного поработать.

	Формула Пифагора для касательных и секущих. Есть еще один для котангенсов и косекансов, но поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, в нем нет необходимости.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений.
	Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
	Формулы половинных углов. Для синуса и косинуса берут положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, тогда будет использоваться положительный корень.

Действительно непонятные личности. Они здесь как раз для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них также можно забыть, пока они не понадобятся.

	Идентификаторы продукта-суммы. Эта группа идентичностей позволяет вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
	Идентификационные данные продукта. Кроме того: как ни странно, эти идентификаторы продуктов использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу, чтобы найти угол α , косинус которого равен x , и угол β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α + β .а разность α — β . Усредните эти два косинуса. Вы получаете товар xy ! Три просмотра таблиц и вычисление суммы, разницы и среднего, а не одно умножение. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез .
	Формулы тройного угла. РубрикаРазное Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Найти: Рубрики Биосфера Глобальное потепление Защита биосферы Климат Климатические пояса Обитатели океанов Океан Полезно знать Потепление Природа Разное Человек и природа Экология Экология России 2019 © Все права защищены. Карта сайта