Функции производную: Производные. Пошаговый калькулятор

Полная таблица производных элементарных функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке.

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x³).

y′ = (5 ⋅ x³)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x³)’ = 5 ⋅ (x

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x²)⁴?

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x²)⁴.

Заменим 3 + 2x² на u и тогда получим y = u⁴.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′_u ⋅ u′_x = 4u³ ⋅ u’_x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u³ ⋅ u′_x = 4 (3 + 2x²)

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x³ + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x³ + 4)′ ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ cos x′ = 3x² ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ (-sin x) = 3x² ⋅ cos x – (x³ + 4) ⋅ sin x

Производная

ЭЙ-ЭЙ, СТОЙТЕ!!! Куда вы побежали-то? Сейчас легко и просто всё объясню! Приготовьтесь, текста будет много. Зато понятно и наглядно. Так же в конце будут разобраны примеры из ЕГЭ.

Понятие производной на интервале

Пусть у нас есть некоторая линейная функция, определенная на промежутке \([a;b]\). Что значит слово «определенная»? Это значит, что для любого \(x\) из этого промежутка значений мы можем найти соответствующий \(y\) (смотрите, например, следующий график).

Возьмем на этом промежутке \([a;b]\) некоторое значение аргумента — \(x_A\). Ему соответствует точка \(A\) на графике и значение функции \(y_A\).

Теперь дадим выбранному значению \(x_A\) некоторое приращение \(∆x\). Эта запись — \(∆x\) — читается как «дельта икс» и означает величину изменения икса.
То есть мы увеличиваем значение \(x_A\) на \(∆x\). Тогда мы сдвинемся по оси \(x\) и попадем в некое \(x_B\) равное \(x_A+∆x\).
Очевидно, что «расстояние» между \(x_B\) и \(x_A\) равно как раз \(∆x\) (см. график), то есть приращению аргумента. И это приращение аргумента есть «длина» интервала, который мы рассматриваем.

Значению аргумента \(x_B\) соответствует точка \(B\) на графике и значение функции \(y_B\).
Давайте обозначим «расстояние» между \(y_B\) и \(y_A\) как некоторое \(∆y\) (аналогично тому, как это было сделано на оси \(x\)).
Что такое \(∆y\)? Подумайте – был аргумент равный \(x_A\), ему соответствовало значение функции \(y_A\). Потом мы аргумент увеличили на \(∆x\) (до \(x_B\)), при этом значение функции тоже выросло до \(y_B\). Что такое тогда \(∆y\) равное разности между \(y_B\) и \(y_A\)? Верно, это приращение значения функции при соответствующем приращении аргумента!

Так вот — если мы теперь разделим \(∆y\) на \(∆x\), то получим производную функции на интервале \(∆x\) (от \(x_A\) до \(x_B\)). В этом суть понятия «производная» на интервале – это просто число, которое получится, если поделить длину отрезка ∆y на длину соответствующего ему отрезка \(∆x\).

Внимание! Это определение не математически строгое, а «по смыслу», для понимания.

То есть, производная на интервале показывает насколько сильно изменилась функция по отношению к некоторому изменению аргумента этой функции. Или по-другому: производная на интервале характеризует скорость роста функции на этом интервале.

Действительно, посмотрите два графика ниже.

На первом графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(1\) до \(4\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{1}=3\)

На втором графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(2\) до \(3\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1. \)

Легко заметить, что график слева «круче», а график справа – более «пологий», т.е. \(f(x)\) растет быстрее, чем \(g(x)\). И производная слева – больше, чем справа. Это логично, ведь фактически производная – это дробь \(\frac{∆y}{∆x}\), а если числитель дроби увеличить, то и значение всей дроби тоже растет.

Производная на интервале характеризует скорость роста функции. Чем больше производная – тем быстрее растет функция на интервале.

Хорошо, теперь вопрос на засыпку тем, кто читал внимательно. А что будет с производной, если график линейной функции падает?
Давайте рассмотрим эту ситуацию.

Функция \(f(x)\) падает, то есть при росте аргумента, значение функции становиться все меньше.
Действительно, при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит, \(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\).
Тогда значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

То есть, если функция на интервале падает – производная станет отрицательна.
Причем, чем круче падает функция, тем больше по модулю будет значение производной. Посмотрите на графики ниже, и вы в этом сами убедитесь.

На первом графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

На втором графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(2\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-2=-1\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-1}{1}=-1\).

Если функция падает – производная на интервале отрицательна.

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию — а если функция в точке не возрастает и не убывает? Что будет с производной в этом случае? Смотрите график ниже.

Вот, например, функция, имеющая прямолинейный участок, параллельный оси \(x\) на интервале \((2;4)\). Понятно, что если мы рассмотрим этот интервал, то изменение функции \(∆y\) на нем равно нулю, ведь на нем функция не растет и не падает и для любой точки равна \(2\).
И тогда производная равна \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{0}{∆x}=0\).

Если функция не растет и не падает – производная на интервале равна \(0\).

Понятие производной в точке

Хорошо, мы разобрали производную на интервале для линейной функции. А если функция отличается от прямой?

Первый порыв ответить: «да какая разница, делаем также!» — неверен. Дело в том, что на прямой была не важна длина рассматриваемого интервала, ведь для неё значение производной – постоянная величина на любом интервале. Смотрите на график ниже:

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(3\). То есть, \(∆x=4-2=2\), \(∆y=3-1=2\), т.е. значение производной на интервале \((2;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{2}{2}=1\).

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(3\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). То есть, \(∆x=3-2=1\), \(∆y=2-1=1\), т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1\).

И на любом другом интервале будет тоже самое — и на \((2;5)\), и на \((3;4)\), и на \((3;5)\) – производная везде равна \(1\). Это и логично, ведь скорость роста функции везде одинакова.

Теперь давайте посмотрим график некоторой нелинейной функции.

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(5\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(4\). То есть, \(∆x=5-2=3\), \(∆y=4-1=3\), т.е. значение производной на интервале \((2;5)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{3}=1\).

Если же мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). 2\), построенный на компьютере с высокой точностью, на интервале от \(-5\) до \(5\). Видно, что график ну очень далек от прямой.

А если рассмотреть тот же график, но на более узком интервале?

Вот тот же график, но уже на интервале от \(0\) до \(2\). Видно, что он изрядно «распрямился».

А вот он же на интервале от \(1\) до \(1,1\). Визуально он уже мало отличается от прямой, хотя на самом деле очень небольшое искривление все же есть. Понятно, что если сжимать интервал еще сильнее, то вскоре график будет практически неотличим от прямой.

Таким образом, вся вышеописанная логика вполне применима и для нелинейных графиков, но только на очень маленьких интервалах. А что мы получим, если будем БЕСКОНЕЧНО уменьшать ширину интервал? Мы будем сжимать его до точки. А что такое «ширина интервала»? Это ни что иное как \(∆x\)! Значит, чтобы найти производную в точке, мы должны посмотреть приращение функции на бесконечно малом (или, говоря более научно, стремящемся к нулю) приращении аргумента. Именно так в математике и вводится понятие производной в точке:

Производная в точке – есть отношение приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Таким образом, вся описанная выше логика дифференцирования линейных функций, применима для бесконечно малых участков функций нелинейных. Значит, и все сделанные ранее выводы будут верны. Например, если нелинейная функция в точке (точнее, на бесконечно малом интервале в окрестности этой точки) возрастает, то производная в точке будет положительна. А если функция в точке убывает — производная будет отрицательна.

Остается вопрос – а есть ли на нелинейных функциях точки, где производная равна нулю? Ответ – да, в точках экстремумов. Помните, что это за точки такие?

Напомню, что максимумом функции называется самая «высокая» точка на некотором интервале, а минимумом, соответственно, самая «низкая». 2 (x+1)-15\).Она имеет максимум при \(x=1\) и минимум при \(x=5\).
И в этих точках функция действительно не растет и не падает.
Давайте посмотрим на большем масштабе, чтобы в этом убедится.

Вот окрестность точки максимума \(x=1\) с очень маленьким шагом.

А это окрестность точки минимума \(x=5\) с очень маленьким шагом.

Думаю, комментарии излишни. Вообще говоря, чтобы понять, что в максимумах и минимумах функция «останавливается» достаточно просто внимательно об этом подумать.

Вдумайтесь, как образуется, допустим, максимум? Функция растет, растет, но после какой-то точки начинает падать. Значит, функция меняет «направление движения» на противоположное. Но это невозможно сделать без остановки! Попробуйте бежать в одну сторону, а потом взять и резко побежать в обратную (не просто повернуть, а именно в противоположную сторону). Вы в любом случае остановитесь при смене направления хоть на долю секунды. Также и функции. С минимумом — аналогично.

Таким образом, получается, что в окрестности точек минимума и максимума функция идет параллельно оси \(x\). И в них производная равна нулю. Слово «в окрестности», употребленное выше, означает «очень-очень близко возле точки». Например, промежуток \((1,99999; 2,00001)\) можно назвать окрестностью точки со значением \(2\).

Подведем итоги:

— Чем больше значение производной функции в точке – тем быстрее в этой точке растет функция.

Эти принципы стоит запомнить (а еще лучше просто понять), потому что с их помощью можно решать огромное количество задач на производные, в том числе и из ЕГЭ.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции, определенной на интервале \((-3;7)\). Определите количество целых точек, в которых производная данной функции отрицательна.

Решение: Начинаем анализировать. Где производная будет отрицательна? Там, где функция падает, то есть от точки А до точки В и от точки С до точки D.

При этом в задаче просят найти количество ЦЕЛЫХ точек. А что такое «целая точка»? Это такая точка графика, у которой икс целое число (например, \(-5\), \(0\) или \(17\), но не \(3,25\) или \(0,7\)).

То есть нам нужны именно такие точки на участках АВ и CD графика. Всего их четыре (обозначены на графике красным ромбом). Обратите внимание, что точка С в ответ не входит, так как это точка максимума и в ней производная равно \(0\), а ноль неотрицателен.

Ответ: 4.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(−2\), \(1\), \(3\) и \(9\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Решение: Давайте думать.
В точке с координатой \(-2\) функция убывает (падает), значит производная будет отрицательна (ведь она показывает, как раз изменение функции).
В точке с координатой \(1\) – функция медленно растет, значит производная будет, во-первых, положительна, а во-вторых, мала по значению (ведь рост медленный).
В точке с координатой \(3\) – максимум, значит функция не растет и не падает, следовательно, производная будет равна нулю.
И наконец, в точке \(9\) – функция растет и быстро (по крайней мере, быстрее, чем в точке \(1\)). Значит здесь производная положительна и велика.
Таким образом, с учетом всех предыдущих рассуждений, делаем вывод: наибольшее значение производной будет в точке \(9\).

Ответ: \(9\).

Довольно часто в практике попадаются обратные задачи – когда дан график производной, а анализировать надо график функции. Вот, например, такая задача из ЕГЭ:

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) -производной для функции \(y(x)\). Найдите количество точек экстремумов функции \(y(x)\) на изображенном интервале.

Решение: Экстремумы – это точки минимумов и максимумов функции. Но у нас дан график производной, а не функции. А что происходит с производной в тех точках, где на функции минимум или максимум?
Верно, в этих точках производная равна нулю. Значит, нам нужны все точки, где значение производной ноль! Это точки А, B, C, D и Е. Всего их \(5\), это и есть ответ задачи.

Ответ: \(5\).

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) — производной для функции \(y(x)\) определенной на интервале \((−7; 7)\). Найдите промежутки возрастания функции \(y(x)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: Мы знаем, что если функция возрастает – производная положительна, а если падает – то отрицательна. Однако верно и обратное:
— если производная положительна – функция растет,
— если производная отрицательна – функция падает.
Исходя из этого становиться очевидно, что исходная функция \(y(x)\) возрастает на участках \((-5;-2)\) и \((1;6)\) – они выделены зеленым. И длина наибольшего из них равна \(5\).

Ответ: \(5\).

Вычисление производной функции в точке

Вычисление производной функции в точке

Если вас интересуют общие вопросы и само понятие производной, вы можете посмотреть цикл демонстрационных видеороликов от автора данного сайта Максима Семенихина на тему «Понятие производной».

1. Понятие о скорости возрастания и убывания функции (6:01)
2. Вычисление скорости возрастающей функции (2:05)
3. Вычисление скорости убывающей функции (2:18)
4. На разных промежутках – разная скорость (4:15)
5. Средняя и мгновенная скорости (3:38)
6. Средняя скорость возрастания функции (1:59)
7. Определение производной как скорости (2:50)
8. Пример вычисления производной по определению (3:46)
9. Обозначение производной (1:41)

а также видеоурок

Вычисление производных сложных функций (14:51)

Для нахождения производной функции в общем случае необходимо знать следующее:

1. Таблицу производных элементарных функций.
2. Правила дифференцирования.
3. Как находить производную сложной функции.

Таблица производных элементарных функций представлена ниже:

Для нахождения производной суммы, произведения и частного функций используются три правила дифференцирования:

Для нахождения производной сложной функции используется формула

f(g(x))’ = f ‘(g(x)) · g‘(x)

Нахождение производной сложной функции – вопрос, заслуживающий отдельного рассмотрения. Вы можете просмотреть видеоурок «Вычисление производных сложных функций».

Нахождение производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо:

— найти производную функции;
— подставить в производную значение х точки, в которой необходимо найти производную.

Пример. Вычислить производную функции y = x² в точке х₀ = 3.
Решение. Производная функции: у‘ = (х²)’ = 2х;
подставляя в производную значение х₀ = 3, получим: у‘(3) = 2 ∙ 3 = 6.

Онлайн калькулятор
для вычисления значения производной функции в точке

Для того, чтобы вычислить значение производной функции в точке, можно воспользоваться калькулятором на данной странице. Просто введите саму функцию и точку, в которой необходимо вычислить производную. Калькулятор всё посчитает сам и выдаст ответ.

Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Для расчета производных используется функция D:

D[x^6, x]

Или штрих в традиционной нотации:

Sin'[x]

Дифференцирование работает также для пользовательских функций:

f[x_] := x^2 + 2 x + 1;
f'[x]

Производные можно использовать в явном виде для построения графиков:

Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -3, 3}]

Рассчитаем производную более высокого порядка с использованием функции:

D[x^6, {x, 3}]

Или несколько раз запишем символ штриха:

Sin''[x]

Также, как и в предыдущих разделах, формулы математического анализа доступны через естественную форму ввода:

product rule formula

Справочная информация: Математический анализ »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

Вычисление производной обратной функции.

Ответ: $x'(1)=5.$

Урок 11. правила дифференцирования — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор основных правил дифференцирования функций;
• примеры вычисления производной линейной функции;
• правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) — g(x))’ = f ‘(x) — g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x³+3x²-x.

Решение:

f(x)=8x³+3x²-x

f’(x)=(8x³)’+(3x²)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x³) ‘=8(x³) ‘=8·3x²=24x²

(3x²) ‘=3(x²) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x³) ‘+(3x²) ‘-x’=24x²+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x²+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)²

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

Формулы для первой производной функции

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = xⁿ, формула для производной есть:

y = xⁿ => y’ = nx^n-1

пример: y = x³ y’ = 3x^3-1 = 3x²
y = x^-3 y’ = -3x^-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x¹ that:

если y = x тогда y’=1

y = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) …=>
y’ = f’₁(x) + f’₂(x) + f’₃(x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x² + x + 1 и g(x) = x⁵ + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x² + x + 1)’ + (x⁵ + 7)’ = 2x¹ + 1 + 0 + 5x⁴ + 0 = 5x⁴ + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y = ln x => y’ = ¹/_x

y = e^x => y’ = e^x

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = ¹/_cos²x

y = ctg x => y’ = —¹/_sin²x

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u). u’

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x²)
в этом случае u = x², f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x²).2x = 2.x.cos(x²)

Задачи с производными

1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций f(x) = f₁(x) + f₂(x), f₁(x) = 10x, f₂(x) = 4y для функции f₂(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f₂(x) есть x. Поэтому f’₂(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.

ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x¹⁰ и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x⁹ g'(x) = 0 — sin x = -sin x

f'(x) =

h'(x). g(x) — h(x).g'(x) (g(x))2

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу. Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций: f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x

Подробнее о производных на страницах математического форума

Форум о производных

Нежное введение в функциональные производные

Понятие производной является строительным блоком многих разделов исчисления. Это важно для понимания интегралов, градиентов, гессиана и многого другого.

В этом руководстве вы познакомитесь с определением производной, ее обозначением и тем, как вычислить производную на основе этого определения. Вы также узнаете, почему производная функции сама по себе является функцией.

После прохождения этого урока вы будете знать:

• Определение производной функции
• Как вычислить производную функции на основе определения
• Почему некоторые функции не имеют производной в точке

Начнем.

Нежное введение в производные функций Фото: Мерин Саид, некоторые права защищены

Обзор учебника

Это руководство разделено на три части; они:

1. Определение и обозначения, используемые для производных функций
2. Как вычислить производную функции, используя определение
3. Почему некоторые функции не имеют производной в точке

Что такое производная функции

Проще говоря, производная функции f(x) представляет скорость ее изменения и обозначается либо f'(x), либо df/dx.Давайте сначала посмотрим на его определение и наглядную иллюстрацию производной.

Иллюстрация определения производной функции

На рисунке Δx представляет собой изменение значения x. Мы делаем интервал между x и (x+Δx) все меньше и меньше, пока он не станет бесконечно малым. Следовательно, у нас есть предел (∆𝑥→0). Числитель f(x+∆x)-f(x) представляет соответствующее изменение значения функции f на интервале ∆x. Это делает производную функции f в точке x скоростью изменения f в этой точке.

Важно отметить, что Δx, изменение x может быть отрицательным или положительным. Следовательно:

0<|Δx|< 𝜖,

, где 𝜖 — бесконечно малое значение.

Об обозначениях

Производная функции может быть обозначена как f'(x), так и df/dx. Математический гигант Ньютон использовал f'(x) для обозначения производной функции. Лейбниц, еще один математический герой, использовал df/dx. Таким образом, df/dx — это отдельный термин, не путать с дробью.Он читается как производная функции f по x, а также указывает на то, что x является независимой переменной.

Соединение со скоростью

Одним из наиболее часто цитируемых примеров производных является производная скорости. Скорость — это скорость изменения расстояния по отношению к время. Следовательно, если f(t) представляет собой расстояние, пройденное в момент времени t, то f'(t) представляет собой скорость в момент времени t. В следующих разделах показаны различные примеры вычисления производной.

Примеры дифференциации

Метод нахождения производной функции называется дифференцированием.В этом разделе мы увидим, как определение производной можно использовать для нахождения производной различных функций. Позже, когда вы освоитесь с определением, вы сможете использовать определенные правила для различения функций.

Пример 1: m(x) = 2x+5

Начнем с простого примера линейной функции m(x) = 2x+5. Мы видим, что m(x) изменяется с постоянной скоростью. Мы можем дифференцировать эту функцию следующим образом.

Производная m(x) = 2x+5

На приведенном выше рисунке показано, как изменяется функция m(x), а также показано, что независимо от того, какое значение x мы выбираем, скорость изменения m(x) всегда остается равной 2. 2

Поскольку g'(x) = 2x, следовательно, g'(0) = 0, g'(1) = 2, g'(2) = 4 и g'(-1) = -2, g'(-2 ) = -4

Из рисунка видно, что значение g(x) очень велико при больших отрицательных значениях x. Когда x < 0, увеличение x уменьшает g (x) и, следовательно, g' (x) < 0 для x <0. График выравнивается при x=0, когда производная или скорость изменения g(x) становится равной нулю. Когда x>0, g(x) увеличивается квадратично с увеличением x, и, следовательно, производная также положительна.

Пример 3: h(x) = 1/x

Предположим, у нас есть функция h(x) = 1/x.2) также не определяется при x=0. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке, то она не имеет в этой точке производной. Ниже приведены несколько сценариев, в которых функция не дифференцируема:

1. Если функция не определена в точке
2. Функция не имеет предела в этой точке
3. Если функция не непрерывна в точке
4. Функция имеет внезапный скачок в точке

Ниже приведены несколько примеров:

Примеры точек, в которых нет производной

Расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

• Скорость и мгновенные скорости изменения
• Правила для деривативов
• Интеграция

Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать. Опубликуйте свои выводы в комментариях ниже.

Дополнительное чтение

В этом разделе содержится больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

Учебники

Ресурсы

Книги

• Исчисление Томаса, 14-е издание, 2017 г.(по оригинальным произведениям Джорджа Б. Томаса в редакции Джоэла Хасса, Кристофера Хейла, Мориса Вейра)
• Исчисление, 3-е издание, 2017 г. (Гилберт Стрэнг)
• Исчисление, 8-е издание, 2015 г. (Джеймс Стюарт)

Резюме

В этом уроке вы познакомились с производными функций и основами дифференцирования функций.

В частности, вы узнали:

• Определение и обозначение производной функции
• Как дифференцировать функцию с помощью определения
• Когда функция не дифференцируема

Есть вопросы? Задавайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Производные правила

Производная сообщает нам наклон функции в любой точке.

Существует правил , которым мы можем следовать, чтобы найти множество производных.

Например:

• Наклон постоянной величины (например, 3) всегда равен 0
• Наклон линии например, 2x равно 2, 3x равно 3 и т. д.
• и так далее.

Вот полезные правила, которые помогут вам вычислить производные многих функций (с примерами ниже).Примечание: маленькая отметка ’ означает производную от , а f и g — функции.

Общие функции	Функция	Производная
Константа	с	0
Строка	х	1
	топор	и
Квадрат	х 2	2x
Квадратный корень	√х	(½)x -½
Экспоненциальный	е х	е х
	а x	ln(a) a x
Логарифмы	Лин(х)	1/х
	бревно a (x)	1 / (х пер. (а))
Тригонометрия (x в радианах)	грех(х)	кос(х)
	кос(х)	— грех(х)
	желтовато-коричневый(х)	сек 2 (х)
Обратная тригонометрия	грех -1 (х)	1/√(1−x 2 )
	cos -1 (х)	−1/√(1−x 2 )
	желтовато-коричневый -1 (х)	1/(1+x 2 )
Правила	Функция	Производная
Умножение на константу	см.	ср’
Силовое правило	x п	нх н-1
Правило суммы	ж + г	ф’ + г’
Правило отличия	ф-г	е’ − г’
Правило продукта	фг	ф г’ + ф’ г
Правило частных	ф/г	ж’ г − г’ ж г 2
Взаимное правило	1/ф	−f’/f 2
Цепное правило (как «Композиция функций»)	ф º г	(f’ º g) × g’
Цепная линейка (используя’ )	ф(г(х))	ф’(г(х))г’(х)
Цепная линейка (с использованием д дх )	ды дх знак равно ды дю дю дх

«Производная от» также пишется д дх

Так д дх sin(x) и sin(x)’ оба означают «Производная от sin(x)»

Примеры

Пример: какова производная sin(x) ?

В приведенной выше таблице указан как cos(x)

Можно записать как:

d dx sin(x) = cos(x)

Или:

sin(x)’ = cos(x)

Силовое правило

Пример: Что такое

Вопрос: «Какова производная от x ³ ?»

Мы можем использовать правило мощности, где n=3:

d dx x ⁿ = nx ⁿ⁻¹

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

(Другими словами, производная от x ³ равна 3x ² )

Так это просто:

«умножить на мощность
затем уменьшить мощность на 1″

Его также можно использовать в таких случаях:

Пример: Что такое

1/x также x ^-1

Мы можем использовать правило степени, где n = −1:

d dx x ⁿ = nx ⁿ⁻¹

d dx x ^-1 = -1x ^-1-1

= −x ^-2

= −1 x ²

Итак, мы только что сделали это:

, что упрощается до −1/x ²

Умножение на константу

Пример: Что такое

производная от cf = cf’

производная от 5f = 5f’

Мы знаем (из правила силы):

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

Итак:

D DX 5x ³ = 5 D DX x ³ = 5 × 3x ² = 15x ²

Правило суммы

Пример: Какова производная x

Правило сумм говорит:

производная f + g = f’ + g’

Таким образом, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем сложить их.

Использование правила мощности:

И так:

производная от x ² + x ³ = 2x + 3x ²

Правило различия

То, что мы различаем, не обязательно должно быть x , это может быть что угодно. В этом случае v :

Пример: Что такое

Правило различия говорит

производная от f − g = f’ − g’

Таким образом, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем вычесть их.

Использование правила мощности:

И так:

производная v ³ − v ⁴ = 3v ² − 4v ³

Сумма, разность, постоянное умножение и правила степени

Пример: Что такое

Использование правила мощности:

• д дз з ² = 2з
• д дз г ³ = 3з ²
• д дз г ⁴ = 4з ³

И так:

D 06 DZ (5Z ² + Z ³ — 7Z ³ — 7Z ⁴ ) = 5 × 2Z + 3Z ² — 7 × 4Z ³
= 10Z + 3Z ² — 28Z ³

Правило продукта

Пример: Какова производная от cos(x)sin(x) ?

Правило продукта гласит:

производная от fg = fg’ + f’g

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

• d dx cos(x) = −sin(x)
• d dx sin(x) = cos(x)

Итак:

производная от cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)

= cos ² (x) − sin ² (x)

Частное правило

Чтобы помочь вам запомнить:

( f g )’ = gf’ − fg’ g ²

Производная от «High over Low»:

«Низкое значение dHigh минус значение High dLow, над линией и возведение в квадрат значения Low»

Пример: Какова производная от cos(x)/x ?

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

Итак:

производная от cos(x) x = Нижний dHigh минус Высокий dLow возведение в квадрат нижнего

= х(-sin(x)) — cos(x)(1) х ²

= − xsin(x) + cos(x) x ²

Взаимное правило

Пример: Что такое

Правило взаимности гласит:

производная от 1 f = −f’ f ²

При f(x)=x мы знаем, что f’(x) = 1

Итак:

производная от 1 x = −1 x ²

Это тот же результат, который мы получили выше, используя Power Rule.

Цепное правило

Пример: что такое

sin(x ² ) состоит из sin() и x ² :

Цепное правило гласит:

производная f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)

Индивидуальные производные:

• f'(г) = cos(г)
• г'(х) = 2х

Итак:

д дх грех (х ² ) = потому что (г (х)) (2х)

= 2x cos(x ² )

Другой способ записи цепного правила: ды дх знак равно ды дю дю дх

Давайте повторим предыдущий пример, используя эту формулу:

Пример: что такое

ды дх знак равно ды дю дю дх

Пусть u = x ² , поэтому y = sin(u):

д дх грех(х ² ) = д дю грех (ты) д дх х ²

Отличие друг от друга:

д дх sin(x ² ) = cos(u) (2x)

Подставляем обратно u = x ² и упрощаем:

д дх sin(x ² ) = 2x cos(x ² )

Тот же результат, что и раньше (слава богу!)

Еще пара примеров Цепного правила:

Пример: Что такое

1/cos(x) состоит из 1/g и cos() :

Цепное правило гласит:

производная f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)

Индивидуальные производные:

• f'(г) = −1/(г ² )
• г'(х) = −sin(х)

Итак:

(1/cos(x))’ = −1 g(x) ² (−sin(x))

= sin(x) cos ² (x)

Примечание: sin(x) cos ² (x) также является tan(x) cos(x) или многими другими формами.

Пример: Что такое

Цепное правило гласит:

производная f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)

(5x−2) ³ состоит из г ³ и 5x−2 :

Индивидуальные производные:

• f'(g) = 3g ² (по степенному правилу)
• г'(х) = 5

Итак:

d dx (5x−2) ³ = (3g(x) ² )(5) = 15(5x−2) ²

6800, 6801, 6802, 6803, 6804, 6805, 6806, 6807, 6808, 6809, 6810, 6811, 6812

| Определение и факты

производная , в математике скорость изменения функции по отношению к переменной.Производные лежат в основе решения задач исчисления и дифференциальных уравнений. Как правило, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы получить скорость изменения некоторой интересующей нас переменной, включают эту информацию в некоторое дифференциальное уравнение и используют методы интегрирования для получения функции, которую можно использовать для предсказания поведения исходной переменной. системы в различных условиях.

Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон графика функции или, точнее, как наклон касательной в точке.Его вычисление, по сути, происходит из формулы наклона прямой линии, за исключением того, что для кривых необходимо использовать процесс ограничения. Наклон часто выражается как «увеличение» над «пробегом» или, в декартовых терминах, как отношение изменения х к изменению х . Для прямой линии, показанной на рисунке, формула наклона: Еще один способ выразить эту формулу [ F ( x ₀ + h ) — f ( x ₀ )] / h , если h 7 используется для x ₁ − x ₀ и f ( x ) для y .Это изменение в обозначениях полезно для перехода от идеи наклона линии к более общему понятию производной функции.

Британская викторина

Числа и математика

A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что подсчет чисел похож на чтение алфавита, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

Для кривой это отношение зависит от того, где выбраны точки, отражая тот факт, что кривые не имеют постоянного наклона. Чтобы найти наклон в желаемой точке, выбор второй точки, необходимой для расчета отношения, представляет собой трудность, потому что, как правило, отношение будет представлять только средний наклон между точками, а не фактический уклон в любой точке ( см. рисунок ). Чтобы обойти эту трудность, используется процесс ограничения, при котором вторая точка не фиксируется, а задается переменной, например ч в соотношении для прямой линии выше.Нахождение предела в этом случае — это процесс нахождения числа, к которому отношение приближается, когда ч приближается к 0, так что предельное отношение будет представлять фактический уклон в данной точке. Над частным [ f ( x ₀ + h ) — f ( x ₀ )]/ h 1 нужно произвести некоторые манипуляции в виде в котором предел, когда ч приближается к 0, можно увидеть более непосредственно. Рассмотрим, например, параболу, заданную выражением x ² .При нахождении производной x ² , когда x равно 2, частное равно [(2 + h ) ² − 2 ² ]/ h . Раскладывая числитель, частное становится (4 + 4 ч + ч ² — 4)/ ч = (4 ч + ч ² )/ 940 И числитель, и знаменатель по-прежнему приближаются к 0, но если ч на самом деле не ноль, а лишь очень близко к нему, то ч можно разделить, получив 4 + ч , что, как легко заметить, приближается к 4 как ч. приближается к 0.