Функции кратко: Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции).

Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны.  График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень

х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k

< 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

 

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению. ..

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k

график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции

f(x).  Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sin

x называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется

котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

 

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

 

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Читайте также: Чтение графика функции

Понятие функции | Алгебра

Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

Определение.

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

«Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D  находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

Функцию можно задать несколькими способами:

— аналитическим (с помощью формулы),

— графическим,

— табличным,

— описанием с помощью словесной формулировки).

Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

Примеры функций.

1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

 

Сущность и функции денег: история, мифы, реальность

Есть два основных мнения, которые на деле мало соответствуют реальности. Это:

• финансовое рабство населения у банков из-за кредитов;
• бесконтрольная эмиссия денег по желанию центральных банков.

Чтобы разобраться в их ошибочности, начнём с азов. Получение любой собственности возможно лишь в одном случае — в результате трудовой деятельности. Покупка, наследование, завоевание — всё это было бы невозможно без первоначального этапа, создания реального продукта.

Наращивать объёмы собственности можно при условии, что разница в доходах и расходах, прибыли, положительна. Но потенциал у всех разный. Поэтому на практике складывается интересная ситуация — закон Парето в действии: 80% активов находится в распоряжении 20% населения. Прекрасная возможность для теории противостояния бедных и богатых. Однако важен не столько объём накоплений, сколько умение их создавать при любых условиях. Так, скромно живущий по средствам окажется богаче того, кто имеет кредитную недвижимость.

Желание сохранить и приумножить личные средства выглядит логичным. Основной инструмент — временная передача собственности в чужое пользование за некоторую оговорённую оплату. Имеющиеся активы начинают работать, увеличивая благосостояние своего владельца. Естественно, без оценки способностей тех, кто берёт средства в долг, не обойтись.

С ростом спроса на подобные услуги возник бизнес, который стал посредником в передаче собственности, обеспечив эффективное управление капиталом. Таким посредником стали банки. У них есть все ресурсы для оценки потенциального кредитозаёмщика: профильные специалисты, налаженные процессы и право на получение собственности в случае невыполнения условий возврата займа. Именно это и порождает миф, что контроль над всем имуществом принадлежит банкам.

Однако у банковских денег тоже есть владельцы — люди, положившие свои сбережения на депозитный счёт. Именно они — конечные кредиторы заёмщиков. Отследить ситуацию легко с помощью балансовой отчётности, по которой общая прибыль владельцев банка заметно уступает выплатам по вкладам.

Партнёрство кредитора и заёмщика — это условия, при которых доля прибыли идёт в счёт оплаты за предоставленные средства. Форма участия в прибыли и основа конкуренции — ставка по кредиту. Риск есть у обеих сторон. Но у компании есть выбор — оформить заём или выпустить акции. Частное же лицо занимает деньги для приобретения ценностей, на которые оно фактически не заработало. И здесь тоже платой за такую возможность становится процент.

Рассуждения об основах кредитования позволяют понять, что вся собственность мира принадлежит отнюдь не банкам. Ею владеют лица, чей баланс доходов и расходов остаётся положительным. А источником дохода может быть как человеческий труд, так и работа уже накопленных средств.

Теперь поговорим о втором мифе — бесконтрольной эмиссии денег. Кто-то приносит деньги в банк, кто-то берёт там же кредит. Но его сумма будет меньше вклада из-за частичного резервирования. Размер резерва определяет государственный центральный банк. В развитых странах он часто равен нулю, у нас на сегодняшний день его уровень установлен Указанием Банка России от 31.05.2019 № 5158-У. Это способ снизить риски банковской системы от невозврата кредитных средств.

Передача денег от одного лица к другому носит название денежного мультипликатора. Чем он выше, тем больше количество раз средства передавались «из рук в руки». Это влечёт за собой увеличение денежной массы и частично характеризует уровень доверия в сложившейся экономической ситуации. Так как основным посредником в перераспределении денег является банк, частичное резервирование влияет на значение кредитного мультипликатора.

В кризис доверие к экономике падает, кредиторы пытаются вернуть средства. Это приводит к снижению денежной массы, стоимость активов падает, растут просрочки по долговым платежам, уменьшается доход населения. В такой ситуации центробанк может провести прямой или косвенный выпуск денег. Первый — это выкуп у банков невозвратных долгов. Второй — снижение ставки рефинансирования. Оба варианты сохранят объём денег, но приведут к инфляции. Важная задача — найти баланс между ростом цен в будущем и социальными проблемами в настоящем.

Печатать деньги просто так не имеет никакого смысла — история не раз доказывала это. Впрочем, оба мифа можно наглядно рассмотреть на примере США. Развитая экономика Соединённых Штатов сделала доллар универсальной валютой, и теперь ФРС страны стоит перед непростой задачей: найти золотую середину между количеством выпускаемых денег и надёжностью доллара. Ведь бесконтрольная печать банкнот существенно ослабляет мировую валюту.

Другой миф тоже хорошо виден на американском примере. На начало 2019 года внешний госдолг США составлял почти 22 триллиона долларов. Например, Китай входит в число основных кредиторов Штатов, но почему-то контроля над их собственностью нет. Да и поддержание доллара важно для сохранения ценности долга. Получается, что невыплата долга не влечёт за собой существенных последствий и потерь, — заёмщик напрямую не влияет на состояние кредитора. 

Анатомия лёгких, строение, функции на ONKO.LV

Лёгкие – это мягкий, губчатый, конусообразный парный орган. Лёгкие обеспечивают дыхание —  обмен углекислого газа и кислорода. Так как лёгкие являются внутренней средой организма, которая постоянно соприкасается с внешней средой, они имеют хорошо приспособленное и специализированное строение не только для газообмена, но и для защиты – в дыхательных путях задерживаются и выводятся наружу различные вдыхаемые инфекционные возбудители, пыль и дым. Правое лёгкое образуют три доли, а левое — две. Воздух в лёгкие попадает  через носовую полость, горло, гортань и трахею. Трахея разделяется на два главных бронха – правый и левый. Главные бронхи разделяются на более мелкие и образуют бронхиальное дерево. Каждая веточка этого дерева отвечает за небольшую ограниченную часть лёгкого – сегмент. Более мелкие веточки бронхов, которые называются бронхиолами, переходят в альвеолы, в которых происходит обмен кислорода и углекислого газа. В лёгких нет мышц, поэтому они не могут расправляться и сокращаться самостоятельно, но их структура позволяет следовать дыхательным движениям, которые совершают межрёберные мышцы и диафрагма.

Чтобы облегчить движения лёгких, их окружает плевра – оболочка, которая состоит из двух листков – висцеральной и париетальной плевры.

Париетальная плевра присоединяется к стенке грудной клетки. Висцеральная плевра присоединяется к наружней поверхности каждого лёгкого. Между двумя плевральными листками образуется небольшое пространство, которое называется плевральной полостью. В плевральной полости находится небольшое количество водянистой жидкости, которая называется плевральной жидкостью. Она предотвращает трение и держит вместе плевральные поверхности во время вдоха и выдоха.

Строение клеток глубоких дыхательных путей достаточно специализировано и хорошо приспособлено для дыхания. Все дыхательные пути выстланы эпителием, который является специально приспособленными клетками, чтобы выполнять много важных функций:

• защитную;
• секрецию слизи;
• выведение раздражающих веществ;
• начало иммунных реакций.

Вид эпителия отличается в разных частях дыхательных путей. Большую часть слизистой дыхательных путей образует реснитчатый эпителий. Эти клетки – расположены вертикально в один слой с ресничками, направленными в сторону дыхательных путей. Реснички всегда движутся в направлении наружу. Слизистую более мелких дыхательных путей образует эпителий без ресничек.

В эпителии дыхательных путей находятся железы – бокаловидные клетки. Это специализированные клетки, которые производят и выделяют слизь. Слизь, продуцируемая этими клетками необходима, чтобы увлажнять поверхность эпителия и механически защищать слизистую.

Слизь является липкой, поэтому к ней прилипают вдыхаемые микроскопические инородные тела, и потом они выводятся наружу при помощи реснитчатого эпителия.

Функции хромосом | Генетика. Реферат, доклад, сообщение, кратко, презентация, лекция, шпаргалка, конспект, ГДЗ, тест

Строением молекулы ДНК обеспечивается запись наследственной информации в хромосоме, а белки принимают участие в сложной упаковке молекулы ДНК в хромосому и в регуляции её способности к синтезу РНК (транскрипции). Разные участки хромосом обеспечивают син­тез различных РНК.

Хромосомы осуществляют сложную координацию и регуляцию процес­сов в клетке путём синтеза первичной структуры белка, информацион­ной и рибосомной РНК.

Хромосомы несут в себе систему генов, с помощью которых в хромосо­мах в определённом порядке записана генетическая (наследственная) инфор­мация организмов. Система записи наследственной информации в молекулах ДНК в виде некоторой последовательности нуклеотидов, определяющей со­ответствие гена той или иной аминокислоте при синтезе белка, называется генетическим кодом.

Именно последовательность нуклеотидов в цепях ДНК определяет гене­тический код, т. е. наследственную информацию о последовательности вклю­чения аминокислот в синтезирующуюся полимерную молекулу белка в соответствии с последовательностью нуклеотидов ДНК генов. Генетический код в живых клетках осуществляется при помощи двух матричных процес­сов — транскрипции (списывания) и трансляции (прочитывания). Считыва­ние начинается с определённой точки и идёт всегда в одном направлении в пределах одного гена.

Ген — это функционально неделимая единица генетиче­ского материала, участок молекулы ДНК хромосомы в виде нескольких ли­нейно расположенных нуклеотидов, а совокупность генов всех хромосом — это генотип. Материал с сайта http://doklad-referat.ru

Главная функция хромосом — пе­редача кода генетической информации дочерним поколениям клетки. Таким образом, хромосомы с заключёнными в них генами составляют непрерывный ряд воспроизведения жизни в ряду поколений. Хромосомы — основные ком­поненты ядра; их число, размеры и форма (кариотип) являются свойством вида. Они состоят из одной молекулы ДНК с белками. Комплекс ДНК с сопут­ствующими белками называют хроматином. Белки в хроматине обеспечива­ют компактизацию ДНК (длинные нити молекулы ДНК собираются в ком­пактную хромосому).

На этой странице материал по темам:

• Функция хромосом в живых системах

• Функции хромосом реферат

• Доклад на тему функции хромосом

• Доклад на тему строение и функции хромосом

• Генетика строение и функции хромосом

Вопросы по этому материалу:

• Что является продуктом действия хромосом?

Функция

| Определение, типы, примеры и факты

Функция , в математике выражение, правило или закон, определяющий связь между одной переменной (независимой переменной) и другой переменной (зависимой переменной). Функции повсеместно используются в математике и необходимы для формулирования физических соотношений в естественных науках. Современное определение функции было впервые дано в 1837 году немецким математиком Петером Дирихле:

Британская викторина

Определить: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Если переменная y так связана с переменной x , что всякий раз, когда числовое значение присваивается x , существует правило, согласно которому определяется уникальное значение y , тогда y считается функцией независимой переменной x .

Это соотношение обычно обозначается как y = f ( x ). Помимо f ( x ), для представления функций независимой переменной x часто используются другие сокращенные символы, такие как g ( x ) и P ( x ), особенно когда природа функции неизвестна или не указана.

Общие функции

Многие широко используемые математические формулы являются выражениями известных функций. Например, формула для площади круга A = π r ² дает зависимую переменную A (площадь) как функцию независимой переменной r (радиус). Функции, включающие более двух переменных, также распространены в математике, что можно увидеть в формуле для площади треугольника: A = b h /2, которая определяет A как функцию обоих b (основание) и h (высота).В этих примерах физические ограничения вынуждают независимые переменные быть положительными числами. Когда независимым переменным также разрешено принимать отрицательные значения — таким образом, любое действительное число — функции известны как функции с действительными значениями.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Формула площади круга является примером полиномиальной функции. Общий вид таких функций: P ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ , где коэффициенты ( a ₀ , a ₁ , a ₂ ,…, a _n ) даны, x может быть любым действительным числом, а все степени x являются подсчетными числами (1, 2, 3,…).(Когда степень x может быть любым действительным числом, результат известен как алгебраическая функция.) Полиномиальные функции изучались с давних времен из-за их универсальности — практически любые отношения, включающие действительные числа, можно точно аппроксимировать с помощью полиномиальная функция. Полиномиальные функции характеризуются наивысшей степенью независимой переменной. Для степеней от одного до пяти обычно используются специальные названия: линейная, квадратичная, кубическая, квартичная и квинтическая.

Полиномиальным функциям можно дать геометрическое представление с помощью аналитической геометрии. Независимая переменная x нанесена вдоль оси x (горизонтальная линия), а зависимая переменная y нанесена вдоль оси y (вертикальная линия). График функции состоит из точек с координатами ( x , y ), где y = f ( x ). Например, на рисунке показан график кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2.

График кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2. Точки на графике показывают изменения кривизны.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Еще одним распространенным типом функций, который изучается с древних времен, являются тригонометрические функции, такие как sin x и cos x , где x — это мера угла ( см. Рисунок ). Из-за своей периодической природы тригонометрические функции часто используются для моделирования повторяющегося поведения или «циклов».Негебраические функции, такие как экспоненциальные и тригонометрические функции, также известны как трансцендентные функции.

графики некоторых тригонометрических функций

Обратите внимание, что каждая из этих функций периодическая. Таким образом, функции синуса и косинуса повторяются каждые 2π, а функции тангенса и котангенса повторяются через каждые π.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Комплексные функции

Практическое применение функций, переменные которых являются комплексными числами, не так легко проиллюстрировать, но, тем не менее, они очень обширны.Они встречаются, например, в электротехнике и аэродинамике. Если комплексная переменная представлена ​​в виде z = x + i y , где i — мнимая единица (квадратный корень из -1), а x и y — действительные переменных ( см. рисунок ), можно разделить сложную функцию на действительную и мнимую части: f ( z ) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ).

точка на комплексной плоскости

Точка на комплексной плоскости. В отличие от действительных чисел, которые могут быть расположены одним знаком (положительным или отрицательным) числом вдоль числовой прямой, для комплексных чисел требуется плоскость с двумя осями, одна ось для компонента действительного числа и одна ось для мнимого компонента. Хотя комплексная плоскость выглядит как обычная двумерная плоскость, где каждая точка определяется упорядоченной парой действительных чисел ( x , y ), точка x + i y является единственной номер.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Меняя ролями независимых и зависимых переменных в заданной функции, можно получить обратную функцию. Обратные функции делают то, что подразумевает их название: они отменяют действие функции, чтобы вернуть переменную в ее исходное состояние. Таким образом, если для данной функции f ( x ) существует функция g ( y ) такая, что g ( f ( x )) = x и f ( g ( y )) = y , тогда g называется обратной функцией для f и обозначается обозначением f ^-1 , где по соглашению переменные меняются местами.Например, функция f ( x ) = 2 x имеет обратную функцию: f ^-1 ( x ) = x /2.

Другие функциональные выражения

Функция может быть определена с помощью степенного ряда. Например, бесконечный ряд может использоваться для определения этих функций для всех комплексных значений x . Когда это удобно, можно использовать другие типы серий, а также бесконечное количество продуктов. Важным случаем является ряд Фурье, выражающий функцию через синусы и косинусы:

Такие представления имеют большое значение в физике, особенно при изучении волнового движения и других колебательных явлений.

Иногда функции удобнее всего определять с помощью дифференциальных уравнений. Например, y = sin x является решением дифференциального уравнения d ² y / d x ² + y = 0, где y = 0, d y / d x = 1, когда x = 0; y = cos x является решением того же уравнения, имеющего y = 1, d y / d x = 0, когда x = 0.

The Editors of Encyclopaedia Britannica Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​Адамом Огастином, управляющим редактором, Справочное содержание.

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Введение в функции | Безграничная алгебра

Функции и их обозначение

Функция отображает набор входов на набор допустимых выходов. Каждому входу соответствует один и только один выход

Цели обучения

Соедините обозначение функций с обозначением уравнений и поймите критерии действительной функции

Основные выводы

Ключевые моменты

• Функции — это отношение между набором входов и набором выходов со свойством, что каждый вход сопоставляется ровно с одним выходом.
• Обычно функции называются одной буквой, например f .
• Функции можно представить как машину в коробке, открытой с двух сторон. Вы помещаете что-то в один конец коробки, это каким-то образом изменяется внутри коробки, а затем результат выскакивает из другого конца.
• Все функции являются отношениями, но не все отношения являются функциями.

Ключевые термины

• вывод : вывод — это результат или ответ функции.
• отношение : отношение — это связь между числами в одном наборе и числами в другом.
• функция : функция — это отношение, в котором каждый элемент ввода связан ровно с одним элементом вывода.

Функции

В математике функция — это отношение между набором входов и набором допустимых выходов. Функции обладают тем свойством, что каждый вход связан ровно с одним выходом.2 [/ latex], имеем упорядоченную пару [latex] (- 3, 9) [/ latex]. Если и вход, и выход являются действительными числами, то упорядоченную пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на графике функции.

Еще одно часто используемое обозначение для функции — [latex] f: X \ rightarrow Y [/ latex], которое читается как указание, что [latex] f [/ latex] — это функция, которая отображает значения из набора [latex] X [ / latex] на значения набора [latex] Y [/ latex].

Функционирует как машина

Функции часто описывают как машину в коробке, открытой с двух сторон.Вы помещаете что-то в один конец коробки, это изменяется внутри коробки, а затем результат выскакивает из другого конца. Функция — это машина внутри коробки, и она определяется тем, что она делает с тем, что вы в нее кладете.

Функциональная машина: Функция [latex] f [/ latex] принимает входные данные [latex] x [/ latex] и возвращает выходные данные [latex] f (x) [/ latex]. Одна метафора описывает функцию как «машину», которая для каждого ввода возвращает соответствующий вывод.

Допустим, у машины есть лезвие, которое разрезает все, что вы вставляете, на две части и отправляет одну половину этого объекта с другого конца.Если вы добавите банан, вы получите половину банана. Если вы положите яблоко, вы получите половину яблока.

Функция разделения фруктов пополам: Здесь показана функция, которая принимает фрукт на входе и выпускает половину фрукта на выходе.

Давайте определим функцию, чтобы взять то, что вы в нее положили, и разрезать пополам. То есть функция делит ввод на два. Если вы добавите [латекс] 2 [/ латекс], вы получите обратно [латекс] 1 [/ латекс]. Если вы положите [латекс] 57 [/ латекс], вы получите обратно [латекс] 28.5 [/ латекс]. Функциональная машина позволяет нам изменять выражения. В этом примере функция будет записана как:

[латекс] \ displaystyle f (x) = \ frac {1} {2} x [/ latex].

Функции как отношения

Функции также можно рассматривать как подмножество отношений. Отношение — это связь между значениями в одном наборе и значениями в другом. Другими словами, каждое число, которое вы вводите, связано с каждым числом, которое вы получаете. В функции каждый входной номер связан ровно с одним выходным номером. В отношении входной номер может быть связан с несколькими выходными номерами или без них.Это важный факт о функциях, который нельзя переоценить: каждый возможный вход функции должен иметь один и только один выход. Все функции являются отношениями, но не все отношения являются функциями.

Графическое представление функций

Графики обеспечивают визуальное представление функций, показывая взаимосвязь между входными и выходными значениями.

Цели обучения

Опишите взаимосвязь между графиками уравнений и графиками функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Функции имеют независимую переменную и зависимую переменную.Обычно [latex] x [/ latex] является независимой переменной, а [latex] y [/ latex] зависимой переменной.
• Когда вы выбираете любое допустимое значение для независимой переменной, зависимая переменная определяется функцией.
• Чтобы построить график функции, выберите несколько значений для независимой переменной [latex] x [/ latex], вставьте их в функцию, чтобы получить набор упорядоченных пар [latex] (x, f (x)) [/ latex] , и нанесите их на график. Затем соедините точки так, чтобы они лучше всего соответствовали их расположению на графике.Убедитесь, что у вас достаточно очков.

Ключевые термины

• зависимая переменная : Зависимая переменная в уравнении или функции — это переменная, значение которой зависит от одной или нескольких независимых переменных в уравнении или функции.
• независимая переменная : Независимая переменная в уравнении или функции — это переменная, значение которой не зависит от какой-либо другой переменной в уравнении или функции.
• график : диаграмма, отображающая данные; в частности, тот, который показывает взаимосвязь между двумя или более величинами, измерениями или числами.

Независимые и зависимые переменные в обозначении функций

Функции имеют независимую переменную и зависимую переменную. Когда мы смотрим на такую ​​функцию, как [latex] f (x) = \ frac {1} {2} x [/ latex], мы вызываем изменяемую переменную, в данном случае [latex] x [/ latex] , независимая переменная. Мы присваиваем значение функции переменной, в данном случае [latex] y [/ latex], которую мы называем зависимой переменной. Обозначение функции, [latex] f (x) [/ latex] читается как «[latex] f [/ latex] of [latex] x [/ latex]]», что означает «значение функции в [latex] x [ /латекс].”Так как выходная или зависимая переменная — [latex] y [/ latex], для обозначения функции часто [latex] f (x) [/ latex] рассматривается как [latex] y [/ latex]. Упорядоченные пары, обычно указываемые в линейных уравнениях как [latex] (x, y) [/ latex], в обозначениях функций теперь записываются как [latex] (x, f (x)) [/ latex].

Мы говорим, что [latex] x [/ latex] является независимым, потому что мы можем выбрать любое значение, для которого определена функция, в данном случае набор действительных чисел [latex] \ mathbb {R} [/ latex], в качестве входных данных. в функцию.Мы говорим, что результат присваивается зависимой переменной, поскольку он зависит от того, какое значение мы поместили в функцию.

Графические функции

Пример 1. Начнем с простой линейной функции:

[латекс] \ displaystyle f (x) = 5- \ frac {5} {2} x [/ latex].

Начните с построения графика, как если бы [latex] f (x) [/ latex] было линейным уравнением:

[латекс] \ displaystyle y = 5- \ frac {5} {2} x [/ latex]

Мы выбираем несколько значений для независимой переменной [latex] x [/ latex].Давайте выберем отрицательное значение, ноль и положительное значение:

.

[латекс] \ displaystyle x = -2, 0, 2 [/ латекс].

Затем подставьте эти значения в функцию для [latex] x [/ latex] и решите для [latex] f (x) [/ latex] (что означает то же, что и зависимая переменная [latex] y [/ latex] ): Получаем заказанные пары:

[латекс] \ displaystyle (-2,10), (0,5), (2,0) [/ латекс]

Это функция линии, так как наивысший показатель в функции — [латекс] 1 [/ латекс], поэтому просто соедините три точки.{3} -9x [/ латекс]. Степень функции равна 3, следовательно, это кубическая функция.

Тест вертикальной линии

Тест вертикальной линии используется для определения того, является ли кривая на плоскости [latex] xy [/ latex] функцией

Цели обучения

Объясните, почему тест с вертикальной линией графически показывает, является ли кривая функцией

Основные выводы

Ключевые моменты

• Функция может иметь только один выход, [latex] y [/ latex], для каждого уникального входа, [latex] x [/ latex].Если какое-либо значение [latex] x [/ latex] в кривой связано с более чем одним значением [latex] y [/ latex], то кривая не представляет функцию.
• Если вертикальная линия пересекает кривую на плоскости [latex] xy [/ latex] более одного раза, то для одного значения x кривая имеет более одного значения y , и кривая не представляет функция.

Ключевые термины

• функция : отношение, в котором каждый элемент ввода связан ровно с одним элементом вывода.
• Тест вертикальной линии : Визуальный тест, который определяет, является ли кривая функцией или нет, путем проверки количества значений [latex] y [/ latex], связанных с каждым значением [latex] x [/ latex], которое лежит на кривой.

В математике проверка вертикальной линии — это визуальный способ определить, является ли кривая графиком функции или нет. Напомним, что функция может иметь только один выход, [latex] y [/ latex], для каждого уникального входа, [latex] x [/ latex]. Если какое-либо значение [latex] x [/ latex] в кривой связано с более чем одним значением [latex] y [/ latex], то кривая не представляет функцию.

Если вертикальная линия пересекает кривую на плоскости [latex] xy [/ latex] более одного раза, то для одного значения x кривая имеет более одного значения y , и кривая не представляет функция. Если все вертикальные линии
пересекают кривую не более одного раза, тогда кривая представляет функцию.

Тест вертикальной линии: Обратите внимание, что на верхнем графике одна вертикальная линия, проведенная там, где нанесены красные точки, пересекает кривую 3 раза.Таким образом, он не проходит проверку вертикальной линии и не представляет функцию. Любая вертикальная линия на нижнем графике проходит только один раз и, следовательно, проходит проверку вертикальной линии и, таким образом, представляет функцию.

Чтобы использовать тест вертикальной линии, возьмите линейку или другую линейку и проведите линию, параллельную оси [latex] y [/ latex], для любого выбранного значения [latex] x [/ latex]. Если нарисованная вами вертикальная линия пересекает график более одного раза для любого значения [latex] x [/ latex], то график не является графиком функции.Если, наоборот, вертикальная линия пересекает график не более одного раза, независимо от того, где расположена вертикальная линия, тогда график является графиком функции. Например, кривая, представляющая собой любую прямую линию, отличную от вертикальной, будет графиком функции.

Пример

См. Три графика ниже: [латекс] (a) [/ латекс], [латекс] (b) [/ латекс] и [латекс] (c) [/ латекс]. Примените тест вертикальной линии, чтобы определить, какие графики представляют функции.

Применение теста вертикальной линии: Какие графики представляют функции?

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией.Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных на графиках [latex] (a) [/ latex] и [latex] (b) [/ latex]. Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график, [latex] (c) [/ latex], не представляет функцию, потому что не более чем [latex] x [/ latex] -значений, вертикальная линия будет пересекать график более чем в одной точке. Это показано на схеме ниже.

Не функция: Тест с вертикальной линией показывает, что круг не является функцией.

Резюме: Характеристики функций и их графиков

Ключевые уравнения

Постоянная функция	[латекс] f \ left (x \ right) = c [/ latex], где [latex] c [/ latex] — константа
Функция идентификации	[латекс] f \ left (x \ right) = x [/ латекс]
Функция абсолютного значения	[латекс] f \ left (x \ right) = | x | [/ латекс]
Квадратичная функция	[латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {2} [/ латекс]
Кубическая функция	[латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {3} [/ латекс]
Реципрокная функция	[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} [/ latex]
Функция обратного квадрата	[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{x} ^ {2}} [/ latex]
Функция квадратного корня	[латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ latex]
Функция кубического корня	[латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} [/ latex]

Ключевые понятия

• Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
• Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex].
• В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, которые относятся к входным и выходным значениям.
• Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
• Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
• Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
• Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
• Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
• Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
• График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
• График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.

Глоссарий

зависимая переменная

выходная переменная

домен

набор всех возможных входных значений для отношения

функция

отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

тест горизонтальной линии

Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

независимая переменная

входная переменная

вход

каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

индивидуальная функция

функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

выход

каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

диапазон

набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

отношение

комплект заказанных пар

тест вертикальной линии

Метод проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Определение функции

Показать общее уведомление Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Кажется, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Определение функции

Теперь нам нужно перейти ко второй теме этой главы. Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно сделать быстрое определение.

Определение отношения

Отношение — это набор упорядоченных пар.

Это кажется странным определением, но оно нам понадобится для определения функции (что является основной темой этого раздела). Однако, прежде чем мы фактически дадим определение функции, давайте посмотрим, сможем ли мы понять, что такое отношение.

Вернитесь к примеру 1 в разделе «Графики» этой главы. В этом примере мы построили набор упорядоченных пар, которые использовали для наброска графика \ (y = {\ left ({x — 1} \ right) ^ 2} — 4 \).Вот упорядоченные пары, которые мы использовали.

\ [\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3 } \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right) \]

Любые из следующих отношений являются отношениями, потому что они состоят из набора упорядоченных пар.

\ [\ begin {align *} & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({3,0} \ right) \, \, \, \ , \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \ , \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4, 5} \ right)} \ right \} \ end {align *} \]

Конечно, есть еще много отношений, которые мы могли бы сформировать из списка упорядоченных пар, приведенного выше, но мы просто хотели перечислить несколько возможных отношений, чтобы привести некоторые примеры.Также обратите внимание, что мы также можем получить другие упорядоченные пары из уравнения и добавить их в любое из приведенных выше отношений, если захотим.

Теперь вы, вероятно, спрашиваете, почему мы заботимся об отношениях, и это хороший вопрос. Некоторые отношения очень специфичны и используются почти на всех уровнях математики. Следующее определение говорит нам, какие отношения являются этими особыми отношениями.

Определение функции

Функция — это отношение, для которого каждое значение из набора первых компонентов упорядоченных пар связано ровно с одним значением из набора вторых компонентов упорядоченной пары.

Ладно, это полный рот. Посмотрим, сможем ли мы понять, что это значит. Давайте посмотрим на следующий пример, который, надеюсь, поможет нам во всем этом разобраться.

Пример 1 Следующее отношение является функцией. \ [\ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ( {2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \] Показать решение

Из этих упорядоченных пар мы получаем следующие наборы первых компонентов ( i.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{0, — 3,0,5} \ right \} \]

Для набора вторых компонентов обратите внимание, что «-3» встречается в двух упорядоченных парах, но мы указали его только один раз.

Чтобы понять, почему это отношение является функцией, просто выберите любое значение из набора первых компонентов. Теперь вернитесь к отношению и найдите каждую упорядоченную пару, в которой это число является первым компонентом, и перечислите все вторые компоненты из этих упорядоченных пар.Список вторых компонентов будет состоять ровно из одного значения.

Например, давайте выберем 2 из набора первых компонентов. Из отношения мы видим, что существует ровно одна упорядоченная пара с 2 в качестве первого компонента, \ (\ left ({2, — 3} \ right) \). Следовательно, список вторых компонентов (, т.е. список значений из набора вторых компонентов), связанный с 2, представляет собой ровно одно число -3.

Обратите внимание, что нас не волнует, что -3 является вторым компонентом второго упорядоченного номинала в отношении.Это вполне приемлемо. Мы просто не хотим, чтобы было больше одной упорядоченной пары с 2 в качестве первого компонента.

Мы рассмотрели одно значение из набора первых компонентов для нашего быстрого примера, но результат будет таким же для всех остальных вариантов. Независимо от выбора первых компонентов с ним будет связан ровно один второй компонент.

Следовательно, это отношение является функцией.

Чтобы действительно почувствовать, что нам говорит определение функции, мы, вероятно, должны также проверить пример отношения, которое не является функцией.

Пример 2 Следующее отношение не является функцией. \ [\ left \ {{\ left ({6,10} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 7,3} \ right) \, \, \, \, \ left ({ 0,4} \ right) \, \, \, \, \ left ({6, — 4} \ right)} \ right \} \] Показать решение

Не беспокойтесь о том, откуда взялось это отношение. {{\ mbox {st}}}} {\ mbox {components:}} \ left \ {{6, — 7,0} \ right \} \ hspace {0.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{10,3,4, — 4} \ right \} \]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы перейдем к соотношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \ (\ left ({6,10} \ right) \ ) и \ (\ left ({6, — 4} \ right) \). Список вторых компонентов, связанных с 6, будет: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым из них, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли даже одно значение в наборе первых компонентов с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточно, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве последнего комментария к этому примеру отметим, что если мы удалим первую и / или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас будет функция!

Итак, надеюсь, у вас есть хоть какое-то представление о том, что нам говорит определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройти собственно определение функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо более полезным для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели с четырьмя отношениями, которые мы указали до определения функции, и с отношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из некоторого уравнения.

Важно отметить, что не все отношения основаны на уравнениях! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для этого примера, и не было получено из какого-либо уравнения.Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Они не обязательно должны исходить из уравнений.

Однако, как бы то ни было, все функции, которые мы собираемся использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому давайте напишем определение функции, которая признает этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны указать, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с видами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \ (x \), который может быть вставлен в уравнение, даст ровно один \ (y \) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которые мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче понять, что оно означает.

Прежде чем мы исследуем это, обратите внимание, что мы использовали фразу «\ (x \), который может быть подключен» в определении.Это обычно означает, что не все \ (x \) могут быть включены в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно в конце этого раздела, однако на данном этапе просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим, чтобы действительные числа были исключены из уравнения, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, с этими двумя примерами ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \ (x \) в какое-либо уравнение.

Далее, имея дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \ (x \), и \ (y \) будут действительными числами.Другими словами, мы на некоторое время забудем о том, что знаем что-либо о комплексных числах, пока будем заниматься этим разделом.

Хорошо, теперь давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, которые являются функциями, и уравнений, которые не являются функциями.

Пример 3 Определите, какие из следующих уравнений являются функциями, а какие нет. 2} = 4 \)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \ (x \), подставим их в уравнение и решим для \ (y \), мы получим ровно одно значение для каждого значения \ ( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно на самом деле показать, что уравнение является функцией, поэтому в основном мы будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.

a \ (y = 5x + 1 \) Показать решение

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какое \ (x \) мы подставляем в уравнение и решаем для \ (y \), мы получим только одно значение \ (y \). Также обратите внимание, что значение \ (y \), вероятно, будет различным для каждого значения \ (x \), хотя это не обязательно.

Давайте начнем с того, что подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что произойдет.

\ [\ begin {align *} x & = — 4: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({- 4} \ right) + 1 = — 20 + 1 = — 19 \\ x & = 0: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left (0 \ right) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ x & = 10: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({ 10} \ right) + 1 = 50 + 1 = 51 \ end {align *} \]

Итак, для каждого из этих значений \ (x \) мы получили одно значение \ (y \) из уравнения.Но этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \ (x \) мы подставляем в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить в уравнение все возможные значения \ (x \). Это просто невозможно физически. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \ (x \) после подключения мы сначала умножили \ (x \) на 5, а затем прибавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10 \ end {align *} \]

А теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Сначала мы возводили в квадрат значение \ (x \), которое мы подключили. Когда мы возводим в квадрат число, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Итак, похоже, что это уравнение также является функцией.

Обратите внимание, что получить одинаковое значение \ (y \) для разных \ (x \) — это нормально.2} & = 10 + 1 = 11 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {11} \ end {align *} \]

Теперь помните, что мы решаем для \ (y \), и это означает, что в первом и последнем случаях выше мы фактически получим два разных значения \ (y \) из \ (x \), и поэтому это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \ (x \), которые приведут к единственному \ (y \), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если даже одно значение \ (x \) дает более одного значения \ (y \) при решении, уравнение не будет функцией. 2} = 4 \ hspace {0.2} = 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \, 2 \]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение круга. Круги никогда не бывают функциями.

Надеюсь, эти примеры позволили вам лучше понять, что такое функция.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функции . Обозначения функций будут широко использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому их важно понимать.2} — 5x + 3 \]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Важна часть «\ (\ left (x \ right) \)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \ (f \ left (x \ right) \) на самом деле не более чем действительно причудливый способ записи \ (y \). Если вы запомните это, вы можете обнаружить, что работать с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ умножение \ (f \) на \ (x \)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые люди допускают, когда впервые сталкиваются с функциями.2} — 5x + 3 \]

и спросите, каково его значение для \ (x = 4 \). В терминах обозначений функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \ (f \ left (4 \ right) \). Итак, когда в скобках есть что-то, кроме переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы действительно спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \ (x \). Вот \ (f \ left (4 \ right) \).2} — 5} \ right) \) Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left (3 \ right) \) и \ (g \ left (3 \ right) \) Показать решение

Хорошо, у нас есть две оценки функций, которые нужно выполнить, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно будет решить, какую функцию использовать для оценок. Главное здесь — обратить внимание на букву перед круглой скобкой. Для \ (f \ left (3 \ right) \) мы будем использовать функцию \ (f \ left (x \ right) \), а для \ (g \ left (3 \ right) \) мы будем использовать \ (g \ влево (х \ вправо) \).2} — 2 \ влево ({- 10} \ вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 \]

Убедитесь, что здесь вы правильно разбираетесь с негативными знаками. Теперь второй.

\ [g \ left ({- 10} \ right) = \ sqrt {- 10 + 6} = \ sqrt {- 4} \]

Мы достигли разницы. Напомним, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только действительные числа.2} — 2 \ влево (0 \ вправо) + 8 = 8 \]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.

d \ (f \ left (t \ right) \) Показать решение

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как показывает этот, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы вставляем символы \ (x \) справа от знака равенства в скобки.2} — 2t + 8 \]

Обратите внимание, что в этом случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \ (t \) в качестве переменной.

e \ (f \ left ({t + 1} \ right) \) и \ (f \ left ({x + 1} \ right) \) Показать решение

Теперь давайте немного посложнее, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \ (f \ left ({t + 1} \ right) \). Этот работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \ end {выровнять *} \]

Оценка функций — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что несколько последующих разделов будет очень трудным для понимания и / или выполнения работы, если вы не имеете хорошего представления о том, как работает оценка функций.

Пока мы говорим об оценке функций, мы должны теперь поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если в то время мы не называли его функцией (или кусочной функцией).Вспомните математическое определение абсолютной величины.

\ [\ left | х \ право | = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

\ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какой фрагмент вы используете, зависит от значения \ (x \).2} + 4} & {{\ mbox {if}} t \ le — 4} \\ {10} & {{\ mbox {if}} — 4 15} \ end {array}} \ right. \]

оценивают каждое из следующих действий.

1. \ (g \ left ({- 6} \ right) \)
2. \ (g \ left ({- 4} \ right) \)
3. \ (г \ влево (1 \ вправо) \)
4. \ (g \ left ({15} \ right) \)
5. \ (g \ left ({21} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Прежде чем приступить к оценкам, обратите внимание, что мы используем разные буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента.Это не повлияет на работу оценки. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \ (f \) для функции и \ (x \) для переменной, что вы не сможете решить любую проблему, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, и оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52 \]
c \ (g \ left (1 \ right) \) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо проводим. Мы знаем, что оцениваем функции / уравнения, подставляя номер переменной. В этом случае нет переменных. Это не проблема. Поскольку переменных нет, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и получаем следующее:

\ [g \ left (1 \ right) = 10 \]
d \ (g \ left ({15} \ right) \) Показать решение

Опять же, как и со второй частью, нам нужно быть немного осторожнее с этой.В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства в нем. Затем, как и в предыдущей части, мы получаем

\ [g \ left ({15} \ right) = 10 \]

Не радуйтесь тому факту, что предыдущие две оценки имели одинаковое значение. Иногда это будет происходить.

e \ (g \ left ({21} \ right) \) Показать решение

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

\ [g \ left ({21} \ right) = 1 — 6 \ left ({21} \ right) = — 125 \]

Кусочные функции не так часто возникают в классе алгебры, однако они возникают в нескольких местах в более поздних классах, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к большему количеству математических классов.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подключить каждый \ (x \) к каждой функции. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и мы видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно взглянуть на это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно избавиться от пары определений.

Домен и диапазон

Область уравнения — это набор всех \ (x \), которые мы можем вставить в уравнение и получить действительное число для \ (y \). Диапазон уравнения — это набор всех \ (y \), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно имели в виду использовать уравнение в определениях выше вместо функций.Это действительно определения уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы также можем использовать определения функций.

Определение диапазона уравнения / функции для многих функций может быть довольно сложным, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Здесь нас гораздо больше интересует определение областей функций. Согласно определению, домен — это набор всех \ (x \), которые мы можем подключить к функции и получить действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 2} \ right) = 0 \ hspace {0,25in} x = — 5, \, \, x = 2 \ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \ (x = — 5 \) или \ (x = 2 \). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \ (x \) будут работать, поскольку они не дают деления на ноль. Тогда домен

\ [{\ mbox {Домен: все действительные числа, кроме}} x = — 5 {\ mbox {и}} x = 2 \]
b \ (f \ left (x \ right) = \ sqrt {5 — 3x} \) Показать решение

В этом случае у нас не будет проблем с делением на ноль, так как у нас нет дробей.У нас действительно есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно позаботиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значение (я) \ (x \), которого следует избегать. В этом случае напрямую получить домен будет так же просто. Чтобы избежать квадратных корней из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

\ [5 — 3x \ ge 0 \]

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}} \) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x ² гарантированно будет положительным или нулевым, и добавление 4 к этому будет означать, что знаменатель всегда минимум 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это позаботиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется

\ [\ begin {align *} 7x + 8 & \ ge 0 \\ 7x & \ ge — 8 \\ x & \ ge — \ frac {8} {7} \ end {align *} \]

Теперь мы можем фактически подставить любое значение \ (x \) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \ (x \) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем.2} — 16}} \) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно беспокоиться как о квадратном корне, так и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, поскольку это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \ (x \). Итак, чтобы квадратный корень оставался счастливым (, т. Е. не было квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

\ [\ begin {align *} 10x — 5 & \ ge 0 \\ 10x & \ ge 5 \\ x & \ ge \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Итак, по крайней мере, нам нужно потребовать, чтобы \ (x \ ge \ frac {1} {2} \), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 4, \, \, х = 4 \]

Теперь обратите внимание, что \ (x = — 4 \) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \ (x \) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \ (x = 4 \) удовлетворяет неравенству. Это означает, что можно подставить \ (x = 4 \) в квадратный корень, однако, поскольку это даст деление на ноль, нам нужно будет избегать этого.

Тогда домен для этой функции —

. \ [{\ mbox {Домен:}} x \ ge \ frac {1} {2} {\ mbox {except}} x = 4 \]

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией. Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число. линейный и может быть записан f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию.Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x. е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4. Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень. Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций.Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой. Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны. Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0.Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень большие, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞. по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., Или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене.Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительное, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня. Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, то y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целочисленной функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

• Постройте точки для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
• Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
• Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: Основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

Оценить.

7. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

8. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

9. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

10. f (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).

11. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

12. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

13. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

14. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

15. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

16. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

19. Постройте график функции корня куба, определенной как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

20. Определите область и диапазон функции кубического корня.

Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

Часть B: кусочные функции

Постройте график кусочных функций.

25. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

26. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

27. h (x) = {xifx <0xifx≥0

28. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

29. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

30. f (x) = {xifx <1xifx≥1

31. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

32. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

33. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

34. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

35. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

36. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

37. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

38. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

39. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

40. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

Оценить.

45. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

    Найдите f (−5), f (0) и f (3).

46. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

    Найдите f (−3), f (0) и f (2).

47. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

    Найдите g (−1), g (1) и g (4).

48. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

    Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

49. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

    Найдите h (−2), h (0) и h (4).

50. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

    Найдите h (−5), h (4) и h (25).

51. f (x) = [[x − 0,5]]

    Найдите f (−2), f (0) и f (3).

52. f (x) = [[2x]] + 1

    Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

Оцените по графику f .

53. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

54. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

55. Найдите f (0), f (2) и f (4).

56. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

57. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

58. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

59. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

60. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

61. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

    1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
    2. Какой уровень производства минимизирует затраты на единицу продукции?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000 долларов США, 05x, если 20 000 долларов США≤x <50,0000,07 долларов США ,x, если x≥ 50 000 долларов США

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
    2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

Часть C: Обсуждение

65. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

66. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

7. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

9. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

13. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

15. Домен: ℝ; диапазон: {5}

17. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

45. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

47. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

49. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

51. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

53. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

55. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

57. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

59. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Операции с функциями

Функции с перекрытием домены можно складывать, вычитать, умножать и делить.Если ж ( Икс ) а также грамм ( Икс ) две функции, то для всех Икс в области определения обеих функций сумма, разность, произведение и частное определяются следующим образом.

( ж + грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + грамм ( Икс ) ( ж — грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) — грамм ( Икс ) ( ж грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) × грамм ( Икс ) ( ж грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) грамм ( Икс ) , грамм ( Икс ) ≠ 0

Пример :

Позволять ж ( Икс ) знак равно 2 Икс + 1 а также грамм ( Икс ) знак равно Икс 2 — 4

Находить ( ж + грамм ) ( Икс ) , ( ж — грамм ) ( Икс ) , ( ж грамм ) ( Икс ) а также ( ж грамм ) ( Икс ) .

( ж + грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) + грамм ( Икс ) знак равно ( 2 Икс + 1 ) + ( Икс 2 — 4 ) знак равно Икс 2 + 2 Икс — 3

( ж — грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) — грамм ( Икс ) знак равно ( 2 Икс + 1 ) — ( Икс 2 — 4 ) знак равно — Икс 2 + 2 Икс + 5

( ж грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) × грамм ( Икс ) знак равно ( 2 Икс + 1 ) ( Икс 2 — 4 ) знак равно 2 Икс 3 + Икс 2 — 8 Икс — 4

( ж грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( Икс ) грамм ( Икс ) знак равно 2 Икс + 1 Икс 2 — 4 , Икс ≠ ± 2

Другой способ объединения двух функций для создания новой функции называется состав функций .В составе функций мы заменяем целую функцию другой функцией.

Обозначение функции ж с участием грамм является ( ж ∘ грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( грамм ( Икс ) ) и читается ж из грамм из Икс .Это значит, что везде, где есть Икс в функции ж , она заменяется функцией грамм ( Икс ) . Область ж ∘ грамм это набор всех Икс в области грамм такой, что грамм ( Икс ) находится в сфере ж .

Пример 1:

Позволять ж ( Икс ) знак равно Икс 2 а также грамм ( Икс ) знак равно Икс — 3 .Находить ж ( грамм ( Икс ) ) .

ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно ж ( Икс — 3 ) знак равно ( Икс — 3 ) 2 знак равно Икс 2 — 6 Икс + 9

Пример 2:

Позволять ж ( Икс ) знак равно 2 Икс — 1 а также грамм ( Икс ) знак равно Икс + 2 .Находить ж ( грамм ( Икс ) ) .

ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно ж ( Икс + 2 ) знак равно 2 ( Икс + 2 ) — 1 знак равно 2 Икс + 3

Порядок имеет значение при нахождении состава функций.

Пример 3:

Позволять ж ( Икс ) знак равно 3 Икс + 1 а также грамм ( Икс ) знак равно 2 Икс — 3 .

Находить ж ( грамм ( Икс ) ) а также грамм ( ж ( Икс ) ) .

ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно ж ( 2 Икс — 3 ) знак равно 3 ( 2 Икс — 3 ) + 1 знак равно 6 Икс — 8 грамм ( ж ( Икс ) ) знак равно ж ( 3 Икс + 1 ) знак равно 2 ( 3 Икс + 1 ) — 3 знак равно 6 Икс — 1

С 6 Икс — 8 ≠ 2 Икс — 1 , ж ( грамм ( Икс ) ) ≠ грамм ( ж ( Икс ) ) .

1. Введение в функции

В повседневной жизни многие величины зависят от одного или нескольких изменение переменных. Например:

(a) Рост растений зависит от солнечного света и осадков

(b) Скорость зависит от пройденного расстояния и затраченного времени

(в) Напряжение зависит от тока и сопротивления

(d) Тестовые отметки зависят от отношения, слушания лекций и выполняю обучающие программы (среди многих других переменных !!)

Функции

Функция — это правило, которое связывает, как одно количество зависит от других величин.

Пример 1

Определенная электрическая цепь имеет источник питания и резистор на 8 Ом (Ом). Напряжение в этой цепи определяется по формуле:

.

В = 8 I ,

где

В = напряжение (в вольтах, В)

I = ток (в амперах, A)

Итак, если I = 4 ампера, то напряжение будет В, = 8 × 4 = 32 вольта.

Если I увеличивается, увеличивается и напряжение, В .

Если I уменьшается, уменьшается и напряжение, В .

Мы говорим, что напряжение — это функция тока (когда сопротивление постоянно). Мы получаем только , одно значение В для каждого значения I .

Пример 2

Велосипед преодолевает расстояние за 20 секунд. Скорость велосипеда равна

.

`s = d / 20 = 0.05d`

где

с = скорость (в мс ⁻¹ или метров в секунду, м / с)

d = расстояние (в метрах, м)

Если расстояние, пройденное велосипедом 10 м, то скорость будет s = 0,05 × 10 = 0,5 м / с.

Если d увеличивается, скорость увеличивается на до .

Если d уменьшается, скорость уменьшается на на .

Мы говорим, что скорость — это функция расстояния (когда время постоянно).Мы получаем только , одно значение s для каждого значения d .

Определение функции

У нас есть 2 величины (называемые «переменными»), и мы наблюдаем, что между ними существует связь. Если мы обнаружим, что для каждого значения первой переменной есть только , одно значение второй переменной, то мы скажем:

«Вторая переменная — это функция от первая переменная. «

Первая переменная — это независимая переменная (обычно записывается как x ), а вторая переменная — зависимая переменная (обычно записывается как y ).

Независимая переменная и зависимая переменная: вещественные числа . (О числах, которые не являются настоящими, мы узнаем позже, в комплексных числах.)

Пример 3

Нам известно уравнение площади A кружок из начальной школы:

A = πr ² , где r — радиус окружности

Это функция . как каждое значение независимая переменная r дает нам одно значение зависимой переменной А .

Общие дела

Мы используем x для независимой переменной и y для зависимой переменной для общих случаев. Это очень распространено в математике. Пожалуйста, поймите, что эти общие количества могут представлять миллионы соотношений между реальными количествами.

Пример 4

В уравнении

`y = 3x + 1`,

y является функцией x , поскольку для каждого значения x существует только один стоимость г .

Если подставить `x = 5`, получим y = 16 и никаких других значений.

Значения и , которые мы получаем, зависят от значений, выбранных для х .

Следовательно, x — это независимая переменная и и — это зависимая переменная .

Пример 5

Сила F , необходимая для ускорения объект массой 5 ​​кг при ускорении мс ^-2 определяется как: `F = 5а`.

Здесь F — функция ускорения, г.

Зависимая переменная — это F , а независимая переменная — это a .

Обозначение функций

Обычно мы пишем функции как `f (x)` и читаем это как «функция f из x ».

Мы можем использовать другие буквы для функций, например г ( x ) или y ( x ).

Когда мы решаем реальные проблемы, мы используем значимые буквы, такие как

P ( т ) для мощность при время т ,

F ( т ) для силы одновременно т ,

h ( x ) для высоты объекта, x единиц по горизонтали от фиксированной точки.

Пример 6

Часто встречаются функции типа: y = 2 x ² + 5 x + 3 по математике.

Мы можем записать это, используя обозначение функции:

y = f ( x ) = 2 х ² + 5 х + 3

Обозначение функций — это все о замене .

Значение этой функции f ( x ), когда `x = 0 записывается как f (0). Рассчитываем его стоимость, подставляя:

f (0) = 2 (0) ² + 5 (0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3

Обозначение функций: Общее

Как правило, значение любой функции f ( x ), когда x = a , записывается как f ( a ).

Пример 7

Если у нас есть `f (x) = 4x + 10`, значение` f (x) `для` x = 3` записывается:

`f (3) = 4 × 3 + 10 = 22`

Другими словами, когда `x = 3`, значение функции f ( x ) равно` 22`.

Математическое обозначение

Математика часто сбивает с толку из-за того, как она написана.

Мы пишем «5 (10)», что означает «5 × 10 = 50».

Но если мы напишем `a (10)`, это может означать, в зависимости от ситуации,

«функция a из» 10 «(то есть значение функции a , когда независимая переменная равна» 10 «)

Или это может означать умножение, например:

`a × 10 = 10a`.3+ 5 (10) `

`= 1000d + 50`

Мы оставляем d там, потому что мы ничего не знаем о его стоимости.

Пример 9

В этом примере используется значение функции, когда независимая переменная содержит константу.

Если высота объекта в момент времени t равна предоставлено

ч ( т ) = 10 т ² -2 т , затем

а.Высота в момент t = 4 равна

.

ч (4) = 10 (4) ² — 2 (4) = 10 × 16 — 8 = 152

г. Высота на момент t = b составляет

ч ( b ) = 10 b ² -2 b

г. Высота в момент t = 3b равна

.

ч (3 b ) = 10 (3 b ) ² — 2 (3 b ) = 10 × 9 b ² — 6 b = 90 b ² — 6 б

г.Высота в момент t = b + 1 равна

.

ч ( b + 1)

= 10 ( b + 1) ² — 2 ( b + 1)

= 10 × ( b ² + 2 b + 1) — 2 b — 2

= 10 b ² + 20 b + 10-2 b -2

= 10 b ² + 18 b + 8

Упражнения

Оцените следующие функции:

(1) Учитывая `f (x) = 3x + 20`, найти

Ответ

а. f (−4)

= 3 (−4) + 20

= −12 + 20

= 8

г. ф (10)

= 3 (10) + 20

= 30 + 20

= 50

(2) Учитывая, что высота конкретного объекта во время т это

ч ( т ) = 50 т — 4.9 t ² , найти

Ответ

а. ч (2)

= 50 (2) — 4,9 (2) ²

= 100 — 19,6

= 80,4

г. ч (5)

= 50 (5) — 4,9 (5) ²

= 250–122,5

= 127,5

(3) Напряжение, В , в конкретной цепи является функцией времени. t , и выдается по:

V ( т ) = 3 т — 1.02 ^т

Найдите напряжение в момент времени

а. `t = 4`

г. `t = c + 10`

Ответ

а. В (4)

= 3 (4) — 1,02 ⁴

= 12 — 1.08243216

= 10,

78

г. В ( с + 10)

= 3 ( c + 10) — 1.02 ^{c + 10}

= 3 c + 30 — 1.02 ^{c + 10}

(4) Если F ( т ) = 3 т — т ² для t ≤ 2 найдите F (2) и F (3).

Ответ

F ( т ) = 3 т — т ²

F (2) = 3 (2) — (2) ²

= 6–4

= 2

F (3) не определен, так как t ≤ 2.

.