Формулы теория вероятностей: Теория вероятностей — Основные Формулы и Примеры

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?

Вычислим вероятности причин при условия наступления события А.

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.

Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Имеем:

Нужно найти вероятность .

Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:

Отсюда по формуле полной вероятности:

Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.

Решение

Введём события:

1. = {застрахованный – курильщик}

2. = {застрахованный – не курильщик}

3. = {застрахованный умер в течение года}

Условие задачи означает, что

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .

Используя формулу Байеса, мы имеем:

поэтому верным является вариант (В).

Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.

50% всех застрахованных являются стандартными, 40% — привилегированными и 10% — ультрапривилегированными.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?

Решение

Введем в рассмотрение следующие события:

1. = {застрахованный является стандартным}

2. = {застрахованный является привилегированным}

3. = {застрахованный является ультрапривилегированным}

4. = {застрахованный умер в течение года}

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Случайные величины и их характеристики

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено

,

то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x).

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой, квантили уровней ¼ и ¾ — нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

— символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x:

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

Функция

называется функцией выживания (survival function):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1. убывает при ;
   
2. ;
   
3. ;
4. непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1. Среднее время жизни

,
2. Дисперсия времени жизни

,
где
,

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.

3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.

Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.

В модели де Муавра при 0<x<

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид

,

а кривая смертей:

.

Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .

Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.

В этой модели
,
.

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.

Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .

В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Теория вероятности. Основные формулы — презентация онлайн

Теория вероятностей для самых маленьких

Кирилл Дубовиков

директор по технологиям в «Синимекс Дата Лаб»

В этой статье мы рассмотрим основы статистики, полезные изучающим машинное обучение, а также желающим освежить свои знания. Понятия, о которых пойдет речь ниже, встречаются в очень разнообразных контекстах, а также лежат в основе всеми любимого data science. Всегда полезно повторить азы теории, так как зачастую это помогает открыть для себя что-то новое, на что раньше не обращали внимание. Поэтому, начнем.

Вероятности

Зачем нам нужны вероятности, когда мы обладаем таким мощным математическим инструментарием? У нас есть матанализ для работы с функциями на бесконечно малых величинах и оценки их динамики.  У нас есть алгебра для решения уравнений, а также десятки других областей математики, с помощью которых мы можем решить едва ли не любую задачу.

Проблема в том, что мы живем в хаотичной вселенной, где точные измерения чаще всего невозможны. Изучая реальные процессы, происходящие в мире, мы хотим понять, какие случайные события влияют на наши эксперименты. Нас окружает неопределенность, и важно уметь «обуздать» и использовать ее в своих целях. Именно в такие моменты в ход идет теория вероятностей и статистика.

В наш век именно эти дисциплины лежат в основе искусственного интеллекта, физики элементарных частиц, обществознания, биоинформатики.

Перед тем как говорить о статистике, необходимо определиться с понятием вероятности. Как ни странно, однозначного ответа нет. Рассмотрим несколько теоретических подходов к определению вероятности.

Частотная вероятность

Представим, что нам дали монету, и мы хотим определить является ли она честной. Как это можно сделать? Подбросим ее несколько раз и запишем как 1, если выпадет орёл, 0 – если выпадет решка. Повторим этот эксперимент 1000 раз, и подсчитаем все 0 и 1. Допустим, по результатам этого утомительного процесса мы насчитали 600 орлов (1) и 400 решек (0). Если мы посчитаем частоту, с которой нам выпадал орёл или решка, мы получим 60% и 40%, соответственно. Эти частоты могут интерпретироваться как вероятности того, что, подбросив монету, нам выпадет орёл или решка. Такой подход к вероятностям называется частотным.

Условные вероятности

Зачастую нам нужно узнать вероятность наступления события при условии, что произошло другое событие. В этом случае, мы указываем условную вероятность события A при условии, что произошло событие B как P (A | B). Рассмотрим это на примере дождя:

• Какова вероятность дождя, если мы слышим раскаты грома?
• Какова вероятность дождя, если на улице солнце?

Из этой диаграммы Эйлера мы видим, что P (Дождь | Гром) = 1: дождь идет всегда, когда мы слышим раскаты грома и видим молнии (в реальности это не всегда так, но примем условности для целей нашего примера).

А что насчет P (Дождь | Солнце)? На глаз, эта вероятность достаточно мала, но есть ли способ рассчитать ее точно? Условная вероятность определяется как:

Иными словами, мы должны поделить вероятность наступления обоих событий – Дождя и Солнечной погоды на вероятность события Солнечная погода.

Зависимые и независимые события

События называются независимыми, если вероятность наступления любого из них никак не зависит от наступления других событий. Например, рассмотрим вероятность того, чтобы бросить игральные кости и выкинуть две двойки подряд. Это независимые события. Иными словами,

Но почему эта формула работает? Для начала обозначим броски №1 и №2 как A и B, чтобы упростить формулу, а далее перепишем вероятность бросания костей как вероятность появления двух независимых событий:

Затем умножим P(A) на P(B) / P(B), а далее вспомним определение условной вероятности:

Если формулу выше прочитать справа налево, мы увидим, что P (A | B) = P(A). По сути, это означает, что событие A не зависит от события B. Такая же логика справедлива и в отношении P(B).

Байесовский подход к вероятности

Существует еще один подход к определению вероятностей, который называется Байесовским. Частотный подход к статистике предполагает существование одной оптимальной и конкретной комбинации параметров для модели. Частотная статистика работает с неопределенностью через достаточно сложные для понимания доверительные интервалы (confidence interval). К примеру, 95% доверительный интервал в частотной статистике означает, что если бы мы проводили измерение бесконечное количество раз, то истинное значение параметра попадало бы в этот интервал в 95% случаев. Сбивает с толку, да?

С другой стороны, Байесовская теорема подходит к параметрам с вероятностных позиций и рассматривает их как случайные величины. В Байесовской статистике каждый параметр обладает собственным распределением вероятности, которое отражает, насколько вероятны данные параметры, учитывая имеющиеся в наличии данные. Математически это можно представить как:

В отличие от частотного подхода, Байесовская статистика работает с неопределенностью через достоверные интервалы (credible interval), которые интуитивно понятны. 95% достоверный интервал означает, что значение измеряемого параметра попадает в него с 95% вероятностью.

В этой ветке статистики все крутится вокруг теоремы, позволяющей рассчитать условные вероятности исходя из накопленных знаний:

Несмотря на кажущуюся простоту, Теорема Байеса имеет огромную ценность, она применяется в различных областях, и даже существует отдельная ветвь статистики, которая называется Байесовская статистика. Если интересно понять, как выводится эта формула, то вот ссылка на отличный пост, посвященный Теореме Байеса.

Распределения

Распределение вероятностей – это закон, описывающий вероятности наступления всех возможных исходов какой-либо случайной величины, выраженных в виде математической функции. Как и любая функция, распределение может обладать параметрами, позволяющими скорректировать его характеристики.

Когда мы измеряли относительную частоту исходов такого события как подбрасывание монеты, мы на самом деле рассчитали так называемое эмпирическое распределение вероятностей. Многие процессы, отличающиеся неопределенностью, могут быть описаны в терминах распределения вероятностей. Так, например, подбрасывание монеты описывается распределением Бернулли, а если бы мы захотели рассчитать вероятность, что после n попыток выпадет орел, мы можем прибегнуть к Биномиальному распределению.

Для удобства работы с вероятностями введем новое понятие, аналогичное переменной, — случайная переменная. Каждая случайная переменная соответствует определенному распределению. Случайные величины принято обозначать заглавной буквой, а также мы можем использовать символ ~, чтобы обозначить, какому распределению соответствует переменная.

Это означает, что случайная переменная X описывается распределением Бернулли, при этом вероятность успеха (выпадение орла) равна 0,6.

Непрерывное и дискретное распределение вероятностей

Распределения вероятностей бывают двух типов. Дискретное распределение описывает случайные величины, которые принимают конечное число значений, как это было в примере с монетой и распределением Бернулли. Дискретные распределения определяются Функцией распределения масс (Probability Mass Function).  Непрерывное распределение описывает непрерывные случайные величины, которые (в теории) могут принимать бесчисленное число значений. Например, когда мы измеряем скорость и ускорение датчиками с высокими шумами. Непрерывные распределения определяются Функцией плотности распределения вероятности (Probability Density Function).

При расчете статистик для дискретного распределения вероятностей применяется суммирование ∑, а для непрерывного – интегралы ∫. Например, математическое ожидание будет иметь следующий вид:

Выборки и статистики

Представим, что мы хотим измерить рост людей в своем городе. Чтобы измерения были независимыми, мы оценивали рост случайных прохожих на улице. Процесс случайного отбора подмножества данных из общей (генеральной) совокупности называется выборкой.

Выборка сама по себе достаточно сложна для понимания. Для того, чтобы описать ее более понятным для человека способом используются статистические показатели – обобщающие математические функции.

С одним таким показателем вы скорее всего уже сталкивались – это арифметическое среднее.

Другой пример – это дисперсия выборки:

Данная формула характеризует разброс значений в массиве данных относительно среднего.

А если я хочу узнать больше?

Знания статистики могут пригодиться в самых неочевидных ситуациях. Как сказал известный статист Джон Тьюки: «The best thing about being a statistician is that you get to play in everyone’s backyard».

Вот небольшая подборка ресурсов для продолжения изучения математической статистики:

• Начинающие: Академия Khan – это отличный бесплатный ресурс. Их курс даст вам представление об основах теории вероятностей и статистики простым и понятным языком.
• Средний уровень: Учебник Ларри Вассермана All of the statistics представляет собой отличный обзор всех наиболее важных вопросов статистики в сжатой форме. Но имейте в виду, эта книга рассчитана на читателей, уже знакомых с линейной алгеброй и математическим анализом.
• Продвинутый уровень: Предположу, что, дойдя до этого этапа, вы уже составите свой собственный список литературы 🙃. Однако, вот несколько полезных источников, о которых не всем известно:

Перевод статьи «Learning Machine Learning — Probability Theory Fundamentals»

Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Содержание:

Формулировка теоремы умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Событие $A$ называется \lt strong>независимым от события \lt /strong>$B$, если вероятность события $A$ не зависит от того, произошло событие $B$ или нет. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло событие $B$ или нет.

Вероятность события $A$, вычисленная при условии, что имело место другое событие $B$, называется \lt strong>условной вероятностью события \lt /strong> $A$ и обозначается $P(A | B)$ .

Условие независимости события $A$ от события $B$ можно записать в виде:

$$P(A | B)=P(A)$$

а условие зависимости — в виде:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1. Если событие $A$ не зависит от события $B$, то и событие $B$ не зависит от события $A$ .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)$$

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_{n}\right)$$

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P\left(\prod_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие $A$ — появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

$$A=A_{1} A_{2}$$

где событие $A_1$ — появление белого шара при первом вынимании, $A_2$ — появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0,1$$

Ответ. $0,1$

Слишком сложно?

Теорема умножения вероятностей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. После первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. В данном случае события $A_1$ и $A_2$ независимы, а тогда искомая вероятность

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}=0,16$$

Ответ. $0,16$

Видео уроки по высшей математике: Теория вероятностей и статистика

Комбинаторика

Основные понятия теории вероятностей 8:44

Аксиомы теории вероятностей 8:48

Основные формулы комбинаторики 11:45

Перестановки 8:53

Перестановки с повторениями 6:41

Размещения 9:02

Сочетания 7:25

Выбор с возвращением 6:49

Задачи на комбинаторику 11:49

Вероятность событий

Несовместные события. Противоположные события 6:07

Определение вероятности 9:43

Умножение вероятностей. Условная вероятность 8:56

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий 9:20

Задачи на сложение и умножение вероятностей 11:55

Вероятность появления хотя бы одного события 9:50

Задачи на появление хотя бы одного события 12:07

Теорема сложения вероятностей совместных событий 7:13

Задача на теорему сложения вероятностей (с шарами)-1 3:23

Задача на теорему сложения вероятностей (с шарами)-2 2:15

Примеры вычисления вероятностей 6:20

Пример. Найти вероятность выбора синих шаров 2:16

Теорема умножения вероятностей 7:59

Задача на теорему умножения (задача с шарами) 2:13

Геометрическая вероятность 5:12

Формулы Бейеса (формулы Байеса) +док-во 4:18

Полная вероятность. Формула Байеса (Бейеса). Пример 6:00

Формула Бернулли 2:57

Повторение испытаний Формула Бернулли 15:47

Локальная предельная теорема Лапласа 6:54

Интегральная теорема Лапласа 10:58

Формула Пуассона 8:33

Дискретные случайные величины

Случайная величина и закон ее распределения 3:51

Дискретная случайная величина и ее свойства. Пример 9:15

Закон распределения дискретной случайной величины 7:40

Математическое ожидание дискретной случайной и его свойства 16:11

Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства 16:16

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 4:01

Математическое ожидание и дисперсия. Теория 5:17

Закон Пуассона распределения случайной величины 2:02

Биномиальный закон распределения случайной величины 2:57

Биномиальное распределение 11:50

Геометрическое и гипергеометрическое распределения 16:26

Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина и ее свойства 6:49

Распределение непрерывной случайной величины 11:41

Функция распределения непрерывной случайной величины 11:40

Плотность распределения случайной величины 12:13

Математическое ожидание непрерывной случайной 8:17

Дисперсия непрерывной случайной величины 6:41

Задачи на непрерывные случайные величины 11:04

Равномерное распределение случайной величины 3:04

Равномерное распределение 7:51

Показательное распределение 6:28

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа 4:22

Нормальное распределение 9:44

Найти вероятность нормально распределенной величины 3:08

Теорема Муавра-Лапласа 1:56

Теорема Муавра-Лапласа в действии 2:16

Функции случайных величин

Функция одного случайного аргумента 10:37

Функция двух случайных аргументов 9:45

Распределения хи квадрат, Стьюдента, Фишера 7:46

Закон больших чисел 8:37

Центральная предельная теорема 10:01

Распределение двух случайных величин 12:45

Зависимые и независимые случайные величины 17:10

Мода и медиана 2:16

Пример: Найти моду случайной величины 2:59

Пример: Найти медиану случайной величины 3:46

Линейная регрессия 11:44

Случайные функции 25:09

Математическая статистика

Основные понятия математической статистики 12:18

Генеральное и групповое среднее 11:02

Генеральная и выборочная дисперсия 14:55

Групповая, межгрупповая и общая дисперсия 12:39

Интервальные оценки 16:13

Проверка гипотез 13:42

Основы дисперсионного анализа 9:24

Основы корреляционного анализа 8:48

Метод Монте-Карло 12:43

Использование математической статистики в экономике 17:07

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование  в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

• x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

• Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

• Нижний_предел    Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

• Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

• Если значение в prob_range ≤ 0 или любое из значений в prob_range > 1, то значение СБ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если сумма значений в prob_range не равна 1, возвращается значение #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

• Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры

Для случайных событий при вычислении их вероятности используются формулы полной вероятности и Байеса. Они не столь сложны в понимании и вычислении, и приведенный ниже теоретический и практический материал поможет Вам быстро его изучить.

Пусть в условиях эксперимента событие появляется совместно с одним из группы несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу , известны или можно установить априорные вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

где – вероятность гипотезы ; – условная вероятность события при выполнении гипотезы . Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

—————————————

Задача 1. В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором — 2 белых и 8 шоколадных, в третьем — 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое.

Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано — й холодильник, – выбрано белое мороженое

Тогда имеем:

Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны

Используя формулу полной вероятности находим:

Таким образом вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%.

—————————————

Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией , 6 компанией , 8 компанией и два, которые производит . Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.

Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано ноутбук компании, – ноутбук проработает без ремонта.

Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения:

Вероятности, что они будут работать без ремонта равны

Здесь мы просто переводим проценты в вероятность.
Применяем формулу полной вероятности:

Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775.

———————————

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Пусть события образуют полную группу несовместных событий () и пусть событие происходит обязательно с одним из них . Предположим событие произошло, тогда вероятность того, что оно произошла именно с определяется формулой:

Рассмотрим практическую сторону применения формулы Байеса

——————————-

Задача 3. Заданны условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.

Решение. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений

и подставим в формулу Байеса

Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется.

——————————-

Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям , .

Решение. Выпишем предварительно найдены вероятности

и проведем вычисления по формуле Байеса

——————————-

Задача 5. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго — 60%, третьего — 15%. Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй — 4%, третьей — 1%. Найти вероятность того, что:
а) наугад взят телефон окажется с браком;
б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный;
в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно ?

Решение.

а) Введем для ясности обозначения:

– наугад выбранный телефон оказался бракованным;

Предположение: – телефон изготовлен на первой, – второй и –третий фабрике соответственно. Собития попарно несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого предположения определяем делением процентной доли продукции ко всей (100%)

Подобным образом определяем условные вероятности события

Применим формулу полной вероятности для определения возможности выбора бракованного телефона

б) для отыскания вероятности применим формулу Байеса

в) чтобы определить, на каком заводе скорее был изготовлен рабочий телефон необходимо сравнить между собой вероятности предположений:

где событие (вытащили телефон без брака) противоположна . Для противоположных событий используют формулу

По подобной формуле определяем условные вероятности события , если только справедливы предположения

По формуле Байеса находим вероятности

Наибольшую вероятность имеет второе предположение, поэтому телефон скорее всего был изготовлен на втором заводе.

——————————-

Задач на нахождение полной вероятности и применения формулы Байеса в литературе и интернете множество. Стоит ввести в гугле нужный запрос и вам тут же будет предложено множество материалов к выбору. Поэтому освоить данный материал не трудно, стоит лишь внимательно (без паники) разобраться с приведенными примерами и подобными. Все остальные решаются по аналогичной схеме.

Формула, Определение, Теоремы, Типы, Примеры

Вероятность определяет вероятность возникновения события. В реальной жизни существует множество ситуаций, в которых нам, возможно, придется предсказывать исход события. Мы можем быть уверены или не уверены в результатах события. В таких случаях мы говорим, что существует вероятность того, что это событие произойдет или не произойдет. Вероятность, как правило, имеет большое применение в играх, в бизнесе для прогнозирования на основе вероятности, а также вероятность имеет широкое применение в этой новой области искусственного интеллекта.

Вероятность события можно рассчитать по формуле вероятности, просто разделив число благоприятных исходов на общее число возможных исходов. Значение вероятности того, что событие произойдет, может находиться в диапазоне от 0 до 1, потому что число благоприятных исходов никогда не пересекается с общим числом исходов. Кроме того, благоприятное число исходов не может быть отрицательным. Давайте подробно обсудим основы вероятности в следующих разделах.

Что такое вероятность?

Вероятность можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов события.Для эксперимента с числом исходов n количество благоприятных исходов можно обозначить как x. Формула для расчета вероятности события выглядит следующим образом.

Вероятность (событие) = Благоприятные исходы/Всего исходы = x/n

Давайте проверим простое приложение вероятности, чтобы лучше понять его. Предположим, нам нужно предсказать, будет дождь или нет. Ответ на этот вопрос либо «Да», либо «Нет». Есть вероятность дождя или его отсутствия. Здесь мы можем применить вероятность.Вероятность используется для предсказания результатов подбрасывания монет, бросания костей или извлечения карты из колоды игральных карт.

Вероятность подразделяется на теоретическую вероятность и экспериментальную вероятность.

Терминология теории вероятностей

Следующие термины в теории вероятности помогают лучше понять концепции вероятности.

Эксперимент: Испытание или операция, проводимая для получения результата, называется экспериментом.

Пространство выборки: Все возможные результаты эксперимента вместе составляют пространство выборки. Например, выборочное пространство подбрасывания монеты — это орел и решка.

Благоприятный исход: Событие, приведшее к желаемому результату или ожидаемому событию, называется благоприятным исходом. Например, когда мы бросаем два кубика, возможные/благоприятные результаты получения суммы чисел на двух кубиках как 4 равны (1,3), (2,2) и (3,1).

Испытание: Испытание означает проведение случайного эксперимента.

Случайный эксперимент: Эксперимент с четко определенным набором результатов называется случайным экспериментом. Например, когда мы подбрасываем монету, мы знаем, что выиграем или опередим, но не уверены, какая из них выпадет.

Событие: Общее количество исходов случайного эксперимента называется событием.

Равновероятные события: События, которые имеют одинаковые шансы или вероятность возникновения, называются равновероятными событиями.Исход одного события не зависит от другого. Например, когда мы подбрасываем монету, есть равные шансы выпадения орла или решки.

Исчерпывающие события: Когда набор всех результатов эксперимента равен выборочному пространству, мы называем это исчерпывающим событием.

Взаимоисключающие события: События, которые не могут произойти одновременно, называются взаимоисключающими событиями. Например, климат может быть как жарким, так и холодным. Мы не можем испытывать одну и ту же погоду одновременно.

Формула вероятности

Формула вероятности определяет вероятность наступления события. Это отношение благоприятных исходов к общему количеству благоприятных исходов. Формула вероятности может быть выражена как

где,

• P(B) — вероятность события «B».
• n(B) — количество благоприятных исходов события «В».
• n(S) — общее количество событий, происходящих в пространстве выборки.

Различные формулы вероятности

Формула вероятности с правилом сложения: Всякий раз, когда событие является объединением двух других событий, скажем, A и B, тогда
P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A∩B)
Р(А ∪ В) = Р(А) + Р(В) — Р(А∩В)

Формула вероятности с дополнительным правилом: Всякий раз, когда событие является дополнением другого события, в частности, если А является событием, тогда P(не A) = 1 — P(A) или P(A’) = 1 — П(А).
Р(А) + Р(А’) = 1.

Формула вероятности с условным правилом : Когда известно, что событие А произошло, и требуется вероятность события В, тогда P(B, при данном A) = P(A и B), P(A, при заданном B ). В случае события B может быть и наоборот.
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

Формула вероятности с правилом умножения : Всякий раз, когда событие является пересечением двух других событий, то есть события A и B должны произойти одновременно. Тогда P(A и B) = P(A)⋅P(B).
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A)

Пример 1 : Найдите вероятность выпадения числа меньше 5 при броске игральной кости, используя формулу вероятности.

Раствор

Найти:
Вероятность выпадения числа меньше 5
Дано: Пример пространства = {1,2,3,4,5,6}
Получение числа меньше 5 = {1,2,3,4}
Следовательно, n(S) = 6
п(А) = 4
Использование формулы вероятности,
P(A) = (n(A))/(n(s))
р(А) = 4/6
м = 2/3

Ответ: Вероятность выпадения числа меньше 5 равна 2/3.

Пример 2: Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 9?

Решение:

Всего есть 36 возможностей, когда мы бросаем два кубика.
Чтобы получить желаемый результат, то есть 9, мы можем иметь следующие благоприятные исходы.
(4,5),(5,4),(6,3)(3,6). Возможны 4 благоприятных исхода.
Вероятность события P(E) = (Количество благоприятных исходов) ÷ (Всего исходов в выборке)
Вероятность выпадения числа 9 = 4 ÷ 36 = 1/9

Ответ: Следовательно, вероятность получить сумму 9 равна 1/9.

Диаграмма дерева вероятностей

Древовидная диаграмма вероятности — это визуальное представление, которое помогает найти возможные результаты или вероятность того, что какое-либо событие произойдет или не произойдет. Древовидная диаграмма подбрасывания монеты, приведенная ниже, помогает понять возможные результаты при подбрасывании монеты и, таким образом, определить вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты.

Типы вероятностей

Могут быть различные точки зрения или типы вероятностей, основанные на характере результата или подходе, используемом при определении вероятности события.Четыре типа вероятностей:

• Классическая вероятность
• Эмпирическая вероятность
• Субъективная вероятность
• Аксиоматическая вероятность

Классическая вероятность

Классическая вероятность, часто называемая «априорной» или «теоретической вероятностью», утверждает, что в эксперименте, где есть B равновероятных исходов, а событие X имеет ровно A из этих исходов, тогда вероятность X равна A/B. , или P(X) = A/B.Например, когда бросается правильная игральная кость, есть шесть возможных исходов, которые равновероятны. Это означает, что вероятность выпадения каждого числа на кубике составляет 1/6.

Эмпирическая вероятность

Эмпирическая вероятность или экспериментальная перспектива оценивает вероятность посредством мысленных экспериментов. Например, если бросается взвешенный кубик, так что мы не знаем, какая сторона имеет вес, то мы можем получить представление о вероятности каждого исхода, бросая кубик определенное количество раз и вычисляя долю раз, когда кубик дает этот результат и, таким образом, найти вероятность этого результата.

Субъективная вероятность

Субъективная вероятность рассматривает собственную веру человека в происходящее событие. Например, вероятность того, что конкретная команда выиграет футбольный матч, по мнению болельщика, больше зависит от их собственной веры и чувства, а не от формального математического расчета.

Аксиоматическая вероятность

В аксиоматической вероятности ко всем типам применяется набор правил или аксиом Колмогорова. Вероятность возникновения или ненаступления любого события может быть определена количественно с помощью применения этих аксиом, заданных как

• Наименьшая возможная вероятность равна нулю, а наибольшая — единице.
• Вероятность достоверного события равна единице.
• Любые два взаимоисключающих события не могут произойти одновременно, а объединение событий говорит, что может произойти только одно из них.

Определение вероятности события

В эксперименте вероятность события — это вероятность того, что это событие произойдет. Вероятность любого события — это значение между (включительно) «0» и «1».

Вероятностные события

В теории вероятностей событие — это набор результатов эксперимента или подмножество выборочного пространства.

Если P(E) представляет вероятность события E, то мы имеем

• P(E) = 0 тогда и только тогда, когда событие E невозможно.
• P(E) = 1 тогда и только тогда, когда E — определенное событие.
• 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Предположим, нам даны два события, «А» и «В», тогда вероятность события А, Р(А) > Р(В), тогда и только тогда, когда событие «А» более вероятно, чем событие «Б». Выборочное пространство (S) представляет собой набор всех возможных результатов эксперимента, а n (S) представляет количество результатов в выборочном пространстве.

P(E) = n(E)/n(S)

P(E’) = (n(S) — n(E))/n(S) = 1 — (n(E)/n(S))

E’ означает, что событие не произойдет.

Следовательно, теперь мы также можем заключить, что P(E) + P(E’) = 1

Вероятность подбрасывания монеты

Давайте теперь рассмотрим вероятность подбрасывания монеты. Довольно часто в таких играх, как крикет, для принятия решения о том, кто будет играть первым, мы иногда используем подбрасывание монеты и принимаем решение, основываясь на результате подбрасывания.Давайте проверим, как мы можем использовать понятие вероятности при подбрасывании одной монеты. Далее мы также рассмотрим подбрасывание двух и трех приходов соответственно.

Подбрасывание монеты

У одной монеты при подбрасывании два исхода: решка и решка. Понятие вероятности, которое представляет собой отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов, можно использовать для определения вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки.

Общее количество возможных исходов = 2; Образец пространства = {H, T}; H: Голова, T: Хвост

• P(H) = количество голов/общее количество результатов = 1/2
• P(T)= количество решек/общее число исходов = 1/2

Подбрасывание двух монет

В процессе подбрасывания двух монет всего четыре исхода.Формулу вероятности можно использовать для определения вероятности выпадения двух орлов, одного орла или отсутствия орла, и аналогичную вероятность можно рассчитать для количества решек. Расчеты вероятности для двух орлов следующие.

Общее количество исходов = 4; Пространство выборки = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

• P(2H) = P(0 T) = Количество исходов с двумя орлами/Всего исходов = 1/4
• P(1H) = P(1T) = количество результатов только с одной головкой/общее количество результатов = 2/4 = 1/2
• P(0H) = (2T) = Количество исходов с двумя орлами/Всего исходов = 1/4

Подбрасывание трех монет

Общее количество исходов при одновременном подбрасывании трех монет равно 2 ³ = 8. Для этих исходов мы можем найти вероятность выпадения одного орла, двух орлов, трех орлов и ни одного орла. Аналогичную вероятность можно рассчитать и для количества решек.

Общее количество результатов = 2 ³ = 8 Пространство выборки = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T , Т, Н), (Т, Н, Т), (Н, Т, Т), (Т, Т, Т)}

• P(0H) = P(3T) = количество исходов без голов/общее количество исходов = 1/8
• P(1H) = P(2T) = количество исходов с одной головкой/общее количество исходов = 3/8
• P(2H) = P(1T) = Количество исходов с двумя орлами / Всего исходов = 3/8
• P(3H) = P(0T) = количество исходов с тремя орлами/общее количество исходов = 1/8

Вероятность броска кубиков

Во многих играх для определения ходов игроков в игре используются кубики.Игра в кости имеет шесть возможных результатов, а результаты игры в кости — это игра на удачу, и их можно получить, используя концепции вероятности. В некоторых играх также используются два кубика, и существует множество вероятностей, которые можно рассчитать для исходов с использованием двух кубиков. Давайте теперь проверим исходы, их вероятности для одного и двух кубиков соответственно.

Бросание одного игрального кубика

Общее количество результатов при бросании игральной кости равно 6, а пространство выборки равно {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Здесь мы вычислим следующие несколько вероятностей, чтобы помочь лучше понять концепцию вероятности при броске одного игрального кубика.

• P(Четное число) = количество четных исходов/общее число исходов = 3/6 = 1/2
• P (нечетное число) = количество результатов с нечетным числом / общее количество результатов = 3/6 = 1/2
• P(простое число) = количество исходов простых чисел/общее число исходов = 3/6 = 1/2

Бросание двух игральных костей

Общее количество результатов при бросании двух игральных костей равно 6 ² = 36. На следующем изображении показано примерное пространство из 36 результатов при бросании двух игральных костей.

Проверим несколько вероятностей исходов двух игральных костей.Вероятности следующие.

• Вероятность получить дублет (одинаковое число) = 6/36 = 1/6
• Вероятность выпадения числа 3 хотя бы на одной кости = 11/36
• Вероятность получить сумму 7 = 6/36 = 1/6

Как мы видим, когда мы бросаем один кубик, есть 6 возможностей. Когда мы бросаем два кубика, у нас есть 36 возможностей. Когда мы бросаем 3 кубика, мы получаем 216 возможностей. Таким образом, общая формула для представления количества результатов при бросании игральных костей: 6 ⁿ .

Вероятность вытягивания карт

Колода, содержащая 52 карты, сгруппирована в четыре масти: трефы, бубны, червы и пики. Каждая из треф, бубен, червей и пик имеет по 13 карт, что в сумме дает 52. Теперь давайте обсудим вероятность вытягивания карт из колоды. Ниже показаны символы на картах. Пики и трефы — черные карты. Червы и бубны — красные карточки.

13 карт каждой масти: туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король.В них валет, дама и король называются фигурными картами. Мы можем понять вероятность карты из следующих примеров.

• Вероятность вытянуть черную карту равна P(черная карта) = 26/52 = 1/2
• Вероятность вытянуть червовую карту равна P(Червы) = 13/52 = 1/4
• Вероятность того, что выпадет лицевая карта, равна P(лицевая карта) = 12/52 = 3/13
• Вероятность вытянуть карту с номером 4 равна P(4) = 4/52 = 1/13
• Вероятность вытягивания красной карточки с номером 4 равна P(4 Red) = 2/52 = 1/26

Теоремы вероятности

Следующие теоремы вероятности полезны для понимания приложений вероятности, а также для выполнения многочисленных вычислений, связанных с вероятностью.

Теорема 1: Сумма вероятностей наступления и ненаступления события равна 1. \(P(A) + P(\bar A) = 1\)

Теорема 2: Вероятность невозможного события или вероятность того, что событие не произойдет, всегда равна 0. \(\begin{align}P(\phi) =0\end{align}\)

Теорема 3: Вероятность достоверного события всегда равна 1. P(A) = 1

Теорема 4: Вероятность наступления любого события всегда лежит между 0 и 1.0 < Р(А) < 1

Теорема 5: Если есть два события A и B, мы можем применить формулу объединения двух множеств и вывести формулу вероятности наступления события A или события B следующим образом.

\(P(A\чашка B) = P(A) + P(B) — P(A\cap B)\)

Также для двух взаимоисключающих событий A и B имеем P( A U B) = P(A) + P(B)

Теорема Байеса об условной вероятности

Теорема Байеса описывает вероятность события на основе условия возникновения других событий.Ее также называют условной вероятностью. Это помогает в расчете вероятности возникновения одного события на основе условия возникновения другого события.

Например, предположим, что есть три мешка, в каждом из которых находится несколько синих, зеленых и желтых шаров. Какова вероятность того, что из третьего мешка вынут желтый шар? Поскольку есть также синие и зеленые шары, мы можем получить вероятность на основе этих условий. Такая вероятность называется условной вероятностью.

Формула теоремы Байеса: \(\begin{align}P(A|B) = \dfrac{P(B|A)·P(A)} {P(B)}\end{align}\)

, где \(\begin{align}P(A|B) \end{align}\) обозначает, как часто происходит событие A при условии, что происходит B.

, где \(\begin{align}P(B|A) \end{align}\) обозначает, как часто происходит событие B при условии, что происходит A.

\(\begin{align}P(A) \end{align}\) вероятность возникновения события A.

\(\begin{align}P(B) \end{align}\) вероятность возникновения события B.

Закон полной вероятности

Если в эксперименте n событий, то сумма вероятностей этих n событий всегда равна 1.

\(P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + . …P(A_n) = 1\)

☛ Также проверьте:

Важные примечания о вероятности:

Давайте проверим следующие пункты, которые помогут нам обобщить ключевые выводы по этой теме вероятности.

1. Вероятность — это мера вероятности того, что событие произойдет.
2. Вероятность представлена ​​в виде дроби и всегда находится между 0 и 1.
3. Событие может быть определено как подмножество выборочного пространства.
4. При бросании монеты выпадает орел или решка, а при бросании игральной кости выпадает 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
5. Случайный эксперимент не может предсказать точные результаты, а только некоторые вероятные результаты.

Часто задаваемые вопросы о вероятности

Что такое вероятность?

Вероятность — это раздел математики, который занимается определением вероятности наступления события.Вероятность измеряет вероятность того, что событие произойдет, и равна количеству благоприятных событий, деленному на общее количество событий. Значение вероятности колеблется от 0 до 1, где 0 обозначает неопределенность, а 1 обозначает уверенность.

Как рассчитать вероятность с помощью формулы вероятности?

Вероятность любого события зависит от количества благоприятных исходов и общего числа исходов. В общем случае вероятность представляет собой отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов в этом пространстве выборки.Это выражается как Вероятность события P(E) = (Количество благоприятных исходов) ÷ (Выборочное пространство).

Как определить вероятность?

Вероятность можно определить, предварительно зная выборочное пространство результатов эксперимента. Вероятность обычно рассчитывается для события (x) в пространстве выборки. Вероятность события получается путем деления количества исходов события на общее количество возможных исходов или выборочное пространство.

Каковы три типа вероятности?

Существует три типа вероятностей: теоретическая вероятность, экспериментальная вероятность и аксиоматическая вероятность. Теоретическая вероятность вычисляет вероятность на основе формул и входных значений. Экспериментальная вероятность дает реалистичное значение и основана на экспериментальных значениях для расчета. Довольно часто теоретическая и экспериментальная вероятности расходятся в своих результатах. А аксиоматическая вероятность основана на аксиомах, управляющих понятиями вероятности.

Что такое условная вероятность?

Условная вероятность предсказывает наступление одного события на основе наступления другого события.Если есть два события А и В, условная вероятность — это вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло. Формула условной вероятности наступления события B при условии, что событие A произошло: P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A).

Что такое экспериментальная вероятность?

Экспериментальная вероятность основана на результатах и ​​значениях, полученных в результате экспериментов с вероятностью. Экспериментальная вероятность определяется как отношение общего количества случаев, когда событие произошло, к общему количеству проведенных испытаний. Результаты экспериментальной вероятности основаны на реальных случаях и могут отличаться по значениям от теоретической вероятности.

Что такое распределение вероятностей?

Двумя важными вероятностными распределениями являются биномиальное распределение и распределение Пуассона. Биномиальное распределение определяется для событий с двумя вероятностными исходами и для событий с кратным количеством таких событий. Распределение Пуассона основано на множестве вероятностных исходов в ограниченном промежутке времени, расстоянии, пространстве выборки.Примером биномиального распределения является подбрасывание монеты с двумя исходами и проведение такого эксперимента с подбрасыванием n монет. Распределение Пуассона предназначено для таких событий, как обнаружение антигена в образце плазмы, вероятность которых многочисленна.

Как связаны вероятность и статистика?

Вероятность вычисляет возникновение эксперимента и вычисляет возникновение конкретного события по отношению ко всему набору событий. Для простых событий из нескольких чисел легко рассчитать вероятность. Но для расчета вероятностей, связанных с многочисленными событиями, и для управления огромными данными, относящимися к этим событиям, нам нужна помощь статистики. Статистика помогает правильно анализировать

Как вероятность используется в реальной жизни?

Вероятность имеет огромное применение в играх и анализе. Также в реальной жизни и в областях промышленности, где речь идет о прогнозировании, мы используем вероятность. Прогнозирование цены акции или выступления команды в крикете требует использования концепций вероятности.Кроме того, новая технологическая область искусственного интеллекта в значительной степени основана на вероятности.

Как была открыта вероятность?

Использование слова «вероятность» началось впервые в семнадцатом веке, когда оно относилось к действиям или мнениям, которых придерживались разумные люди. Далее, слово вероятное в юридическом содержании относилось к суждению, имеющему материальные доказательства. Поле перестановок и комбинаций, статистический вывод, криптоанализ, частотный анализ в целом внесли свой вклад в это современное поле вероятностей.

Где мы используем формулу вероятности в нашей реальной жизни?

Следующие действия в нашей реальной жизни, как правило, следуют формуле вероятности:

• Прогноз погоды
• Игральные карты
• Стратегия голосования в политике
• Бросание игральной кости.
• Вытягивание одинаковых носков одного цвета
• Шансы на победу или поражение в любом виде спорта.

Что такое формула условной вероятности?

Условная вероятность зависит от наступления одного события, основанного на наступлении другого события.Формула условной вероятности наступления события B при условии, что событие A уже произошло, выражается как P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A).

Теоретическая вероятность

Определение теоретической вероятности

Математическое определение теоретической вероятности утверждает, что оно связано с теорией, лежащей в основе вероятности. В теоретической вероятности мы используем знание ситуации для расчета вероятности события. Мы не проводим никаких экспериментов; вместо этого мы просто используем знание ситуации.Теоретическая формула вероятности выглядит следующим образом: она утверждает, что вероятность возникновения события равна количеству благоприятных исходов, деленному на общее число возможных исходов.

Математическая формула того, как мы определяем теоретическую вероятность:

Примеры теоретической вероятности

Давайте рассмотрим некоторые теоретические вопросы вероятности: это 6.

Количество благоприятных исходов = количество раз, когда на честном кубике может выпасть 4 за один бросок = 1

Согласно формуле теоретической вероятности, ‘

P(E)= \[\frac{\text{ Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}\].

Итак, P (правильная кость выбрасывает 4 при броске) = 1/6 

Вопрос 2) Брошена честная игральная кость. Найдите вероятность того, что на кубике выпадет нечетное число.

Ответ) Здесь общее количество возможных исходов равно 6.

Количество благоприятных исходов = количество раз, когда на правом кубике может выпасть нечетное число за один бросок.

Общее количество исходов честной кости = {1,2,3,4,5,6}

Благоприятные исходы (Нечетные числа) = {1,3,5} =3

Итак, количество благоприятных исходов = 3

Согласно формуле теоретической вероятности ‘

P(E)= \[\frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов}}\].

Итак, P (на кости выпадает нечетное число) = 3/6 = 1/2 

Что такое экспериментальная вероятность?

Также известна как эмпирическая вероятность.Он рассчитывается на основе проведения реальных экспериментов или испытаний и их результатов. Опыты проводят серийно. Такие эксперименты называются случайными, поскольку результаты этих экспериментов непредсказуемы. Эксперименты проводятся несколько раз для определения результатов.

Математическая формула того, как мы определяем экспериментальную вероятность, выглядит следующим образом: \].

Решенные задачи

Давайте рассмотрим некоторые экспериментальные вероятностные вопросы: —

Вопрос) Два друга A и B подбрасывают правильную монету 10 раз подряд. Результаты для этого эксперимента следующие:

Ответ) Согласно формуле экспериментальной вероятности, 

P(E) = \[\frac{\text{количество повторений события E}}{\text{общее количество испытаний эксперимента}}\ ].

Теперь, 

P (появление решки) = \[\frac{\text{количество раз, когда появляется голова}}{\text{общее количество испытаний}}\]

P (появление решки) = \

Расчет экспериментальной вероятности:

Количество головок

Количество хвостов

Экспериментальные вероятности для головок

Экспериментальные вероятности для хвостов

A

5

5

5/10= 0.5

B

2

8

2/10 = 0,2

8/10 = 0,8

Теоретическая вероятность против экспериментальной вероятности

При сравнении экспериментальной и теоретической вероятностей мы должны четко смотреть на их определения, чтобы понять фундаментальное различие между ними.

В случае экспериментальной вероятности мы неоднократно проводим эксперименты, чтобы узнать результаты и вычислить вероятность этих серий результатов.Эти эксперименты известны как случайные эксперименты, поскольку результаты этих экспериментов непредсказуемы. Совокупность результатов и составляет событие. Если исходы имеют равные шансы произойти, событие называется равновероятным событием. Каждая повторность проведения эксперимента называется пробой. По определению вероятности мы можем написать эту формулу для расчета вероятности события: P(E) = \[\frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов }}\] 

Когда в случае экспериментальной вероятности количество испытаний чрезвычайно велико, экспериментальная вероятность начинает приближаться к теоретическим значениям вероятности.Теоретическая вероятность означает, что вероятность рассчитывается с использованием знаний об определенной ситуации, а не путем фактического проведения эксперимента.

В реальной жизни бывают ситуации, когда проведение экспериментов невозможно или слишком дорого. В таких случаях теоретические вероятности рассчитываются, чтобы иметь четкое представление о том, насколько вероятны результаты, и чтобы можно было предпринять необходимые шаги или меры предосторожности, чтобы избежать опасных ситуаций.Например, когда мы запускаем спутник, рассчитанные вероятности являются теоретическими, а не экспериментальными.

Формулы вероятности – Список основных формул вероятности с примерами

Есть несколько важных терминов, которые связаны со всеми формулами вероятности.

• Эксперимент: любая ситуация или явление, например, подбрасывание монеты, бросок игральной кости и т. д.

• Результат: результат события после проведения эксперимента, например сторона монеты после подбрасывания, число, выпавшее на кубике после броска а из колоды хорошо перетасованных карт вытягивается карта и т. д.

• Событие: комбинация всех возможных исходов эксперимента, таких как выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, получение четного или нечетного числа на костях и т. д.

• Пространство выборки: множество всех возможных результатов или исходов.

• Функция вероятности: Функция помогает определить вероятность каждого исхода.

Формулы вероятности с примерами

Формула вероятности дает отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов

Вероятность события = (количество благоприятных исходов) / (общее число возможных исходов)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) < 1

Здесь P(A) означает нахождение вероятности события A, n(E) означает количество благоприятных исходов события, а n(S) означает множество всех возможных исходов события.

Если вероятность наступления события равна P(A), то вероятность того, что событие не произойдет, равна

P(A’) = 1- P(A)

Vedantu обеспечивает лучшее понимание основных формул вероятности с пример

Пример 01: Вероятность выпадения нечетного числа при бросании костей один раз.

Решение: Выборочное пространство = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

Благоприятные исходы = {1, 3, 5}

n(E) = 3

Используя формулу вероятности,

P(A) = n(E) / n(S)

P(получение нечетного числа) = 3/6 = ½ = 0.5

Важный список формул вероятности

Событие (A ИЛИ B)

P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Событие (A AND B)

P (А ∩ В) = Р (А) . P (B)

Событие (A NOT B)

P(A NOT B) = A – B 

Событие (B NOT A)

P(B NOT A) = B – A 

Событие (NOT A) )

Вероятность наступления события равна P(A)

Вероятность ненаступления того же события равна P(A’).

Некоторые формулы, важные для вероятности, основанные на них, следующие:

• P(A. A’) = 0

• P(AB) + P (A’.B’) = 1

• P(A’B) = P(B) – P(AB)

• P(A.B) ‘) = P(A) – P(AB)

• P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(AB)

Пример 01: Два игральных кубика подбрасываются одновременно. Вычислите вероятность того, что сумма чисел на двух игральных костях равна 6.

Решение: выборочное пространство = [{(1, 1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1, 6)} {(2, 1), (2, 2), (2,3), (2,4), (2,5), (2, 6)} { (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3, 6)} {(4, 1), (4, 2), ( 4,3), (4,4), (4,5), (4, 6)} {(5, 1), (5,2), (5,3), (5,4), (5 ,5), (5, 6)} {(6, 1), (6, 2), (6,3), (6,4), (6,5), (6, 6)}] n( S) = 36 Благоприятные исходы = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и (5, 1)} n(E) = 5

Используя, P( A) = n(E) / n(S)

P(Получение суммы чисел на двух костях 6) = 5/ 36

Чего ожидать от Vedantu?

В Vedantu есть список базовых и расширенных формул вероятности, необходимых для каждой учебной программы для классов с 6 по 12.

• Учащиеся могут получить доступ к бесплатным формулам в любое время.

• Учащиеся 6–12 классов могут загружать математические формулы по главам в формате PDF.

• Учащиеся могут получить доступ к важным примечаниям к пересмотру, образцам работ, учебным материалам и практическим вопросам для обучения.

• Веданту использует уникальную методологию для решения различных математических задач. Таким образом, студенты могут легко понять основы проблемы и решения без какой-либо путаницы.

Студенты могут получить доступ к основным учебным материалам Vedantu, таким как решения RS Aggarwal Solutions, решения RD Sharma, решения NCERT и т. д.Эти решения могут быть полезны для улучшения понятий вероятности и применения каждой формулы.

Для тренировки

Два игральных кубика бросаются одновременно. Вероятность того, что на обеих костях выпадут четные числа, равна

Условная вероятность | Формулы | Расчет | Цепное правило

1.4.0 Условная вероятность

В этом разделе мы обсудим одно из самых фундаментальных понятий теории вероятностей.Здесь вопрос: по мере получения дополнительной информации, как следует обновлять вероятности событий? За Например, предположим, что в каком-то городе $23$ процентов дней дождливые. Таким образом, если вы выберете случайный день, вероятность того, что в этот день пойдет дождь, составляет $23$ процента: $$P(R)=0,23, \textrm{где } R \textrm{ – событие, когда в случайно выбранный день идет дождь.}$$ Теперь предположим, что я выбираю случайный день, но я также говорю вам, что в выбранный день облачно. Теперь, когда у вас есть эта дополнительная информация, как обновить вероятность того, что идет дождь? этот день? Другими словами, какова вероятность того, что 90 041 пойдет дождь, если 90 042 будет облачно? Если $C$ — это событие, состоящее в том, что облачно, то мы записываем это как $P(R | C)$, условное выражение вероятность $R$ при условии, что произошло $C$ . Разумно предположить, что в этом Например, $P(R | C)$ должно быть больше исходного $P(R)$, что называется априорной вероятностью для $R$. Но что именно должно быть $P(R | C)$? Прежде чем предоставить общую формулу, давайте рассмотрим простой пример.

Я правильно бросил кубик. Пусть $A$ — событие, когда исход — нечетное число, т. е. $A=\{1,3,5\}$. Также пусть $B$ быть событием, когда результат меньше или равен $3$, т. е. $B=\{1,2,3\}$. Какова вероятность $A$, $P(A)$? Какова вероятность $A$ при $B$, $P(A|B)$?

• Раствор

  • Это конечное пространство выборки, поэтому $$P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{|\{1,3,5\}|}{6}=\frac{1}{2}.$$ Теперь давайте найдем условную вероятность $A$ при условии, что произошло $B$. Если мы знаем, что произошло $B$, результат должен быть среди $\{1,2,3\}$. Чтобы $A$ тоже произошло, результат должен быть в $A \cap B=\{1,3\}$. Поскольку все броски костей равновероятны, мы утверждаем, что $P(A|B)$ должно быть равно $$P(A|B)=\frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac{2}{3}. $$

Теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить приведенный выше пример. Мы можем переписать вычисление, разделив числитель и знаменатель на $|S|$ следующим образом $$P(A|B)=\frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac{\frac{|A \cap B|}{|S|}}{\frac{|B |}{|S|}}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Хотя приведенный выше расчет был выполнен для конечного выборочного пространства с равновероятными исходами, получается, что полученная формула довольно общая и может применяться в любых условиях. Ниже мы формально предоставьте формулу, а затем объясните интуицию, стоящую за ней.

Если $A$ и $B$ — два события в выборочном пространстве $S$, то условная вероятность $A$ при $B$ определяется как $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \textrm{, когда } P(B)>0.$$

Вот интуиция, стоящая за формулой.Когда мы знаем, что произошло $B$, каждый результат, который находится за пределами $B$, следует отбросить. Таким образом, наше выборочное пространство сводится к множеству $B$ , Рисунок 1. 21. Теперь единственный способ, которым может произойти $A$, — это когда результат принадлежит на множество $A \cap B$. Разделим $P(A \cap B)$ на $P(B)$, так что условная вероятность пространства новой выборки становится $1$, т. е. $P(B|B)=\frac{P(B \cap B)}{P(B)}=1$.

Обратите внимание, что условная вероятность $P(A|B)$ не определена, когда $P(B)=0$. Это нормально, потому что если $P(B)=0$, то это означает, что событие $B$ никогда не происходит, поэтому говорить о вероятность $A$ при $B$.

Важно отметить, что условная вероятность сама по себе является вероятностной мерой, поэтому она удовлетворяет аксиомы вероятности. Особенно,

• Аксиома 1: Для любого события $A$ $P(A|B) \geq 0$.
• Аксиома 2: Условная вероятность $B$ при заданном $B$ равна $1$, т. е. $P(B|B)=1$.
• Аксиома 3: Если $A_1, A_2, A_3, \cdots$ — непересекающиеся события, то $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)+P(A_3|B)+\cdots. с|С)=1-Р(А|С)$;
• $P(\emptyset|C)=0$;
• $P(A|C) \leq 1$;
• $P(A-B|C)=P(A|C)-P(A \cap B|C)$;
• $P(A \чашка B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A \cap B|C)$;
• если $A \subset B$, то $P(A|C) \leq P(B|C)$.

Рассмотрим некоторые частные случаи условной вероятности:

• Когда $A$ и $B$ не пересекаются: в этом случае $A \cap B=\emptyset$, поэтому

  $P(A|B)$	$=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
  	$= \frac{P(\emptyset)}{P(B)}$
  	$=0$.

  
  Это имеет смысл. В частности, поскольку $A$ и $B$ не пересекаются, они не могут появиться одновременно. Таким образом, если произошло событие $B$, вероятность события $A$ должна быть равна нулю.


• Когда $B$ является подмножеством $A$: Если $B \subset A$, то всякий раз, когда происходит $B$, происходит и $A$. Таким образом, учитывая, что произошло $B$, мы ожидаем, что вероятность $A$ будет равна единице. В этом случае $A \cap B=B$, поэтому

  $P(A|B)$	$=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
  	$= \frac{P(B)}{P(B)}$
  	$=1$.

  
  
• Когда $A$ является подмножеством $B$: В этом случае $A \cap B=A$, поэтому

  $P(A|B)$	$=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
  	$= \frac{P(A)}{P(B)}$.

  
  

Я дважды бросаю игральную кость и получаю два числа $X_1=$ результат первого броска и $X_2=$ результат второго броска рулон. Учитывая, что я знаю $X_1+X_2=7$, какова вероятность того, что $X_1=4$ или $X_2=4$?

• Раствор

  • Пусть $A$ — это событие, когда $X_1=4$ или $X_2=4$, а $B$ — это событие, когда $X_1+X_2=7$.Мы интересует $P(A|B)$, поэтому мы можем использовать $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Мы отмечаем, что $$A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2) ,4),(3,4),(5,4),(6,4)\},$$ $$B=\{(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)\},$$ $$A \cap B= \{(4,3),(3,4)\}. $$ Мы заключаем $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ $$ = \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {2} {36}} {\ гидроразрыва {6} {36}} $ $ $$=\frac{1}{3}.$$

Давайте посмотрим на знаменитая вероятностная задача, называемая проблемой двух детей. Было много версий этой проблемы. обсуждались [1] в литературе, и мы рассмотрим некоторые из них в этой главе.Мы предлагаем вам попробуйте угадать ответы, прежде чем решать задачу, используя формулы вероятности.

Рассмотрим семью с двумя детьми. Нас интересует пол детей. Наше тестовое пространство есть $S=\{(G,G),(G,B),(B,G),(B,B)\}$. Также предположим, что все четыре возможных исхода равновероятны.

1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка?
2. Спрашиваем отца: «У тебя есть хоть одна дочь?» Он отвечает: «Да!» Учитывая это дополнительная информация, какова вероятность того, что оба ребенка девочки? Другими словами, какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем хотя бы одного из них это девушка?

• Раствор
  • Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что оба ребенка девочки, т. е.е., $A=\{(G,G)\}$. Пусть $B$ будет случае, если первым ребенком будет девочка, т. е. $B=\{(G,G),(G,B)\}$. Наконец, пусть $C$ будет случае, когда хотя бы один из детей — девочка, т. е. $C=\{(G,G),(G,B),(B,G)\}$. С исходы равновероятны, мы можем написать $$P(A)=\frac{1}{4},$$ $$P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(C)=\frac{3}{4}.$$
    1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка? Это $P(A|B)$, поэтому мы можем записать

       $P(A|B)$	$= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(B)} \hspace{20pt}$	$(\textrm{так как} A \подмножество B)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

       
       
    2. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем, по крайней мере, одна из них девушка? Это $P(A|C)$, поэтому мы можем записать

       $P(A|C)$	$= \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(C)} \hspace{20pt}$	$ (\textrm{так как} A \подмножество C)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$.

       
       

Обсуждение: При попытке угадать ответы в приведенном выше примере многие предположили бы, что и $P(A|B)$, и $P(A|C)$ должен составлять $50$ процентов.Однако, как мы видим, $P(A|B)$ составляет 50$ процентов, а $P(A|C)$ — всего 33$ процентов. Это пример, когда ответы могут показаться нелогичными. Чтобы понять результаты этой задачи, полезно отметить, что событие $B$ является подмножеством события. событие $С$. На самом деле он строго меньше: в него не входит элемент $(B,G)$, а в $C$ есть элемент. Таким образом, множество $C$ имеет больше исходов, не принадлежащих $A$, чем $B$, а это означает, что $P(A|C)$ должно быть меньше $P(A|B)$.

Часто полезно представлять вероятность в процентах.Например, чтобы лучше понять результаты этой проблемы, давайте представим, что есть семьи за 4000$, которые имеют двух детей. Поскольку результаты $(G,G),(G,B),(B,G)$ и $(B,B)$ равновероятны, у нас будет около 1000$ семей, связанных с каждым результатом, как показано на рисунке 1. 22. Чтобы найти вероятность $P(A|C)$, мы выполняем следующий эксперимент: мы выбираем случайную семью из семей, в которых есть хотя бы одна дочь. Эти семьи, показанные в рамке. Из этих семей есть 1000$ семей с двумя девочками и есть Семьи по $2000$, в которых ровно одна девочка.Таким образом, вероятность выбора семьи с двумя девочками равна $\frac{1}{3}$.

Запишем формулу для условной вероятности в следующем формате $$\hspace{100pt} P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \hspace{100pt} (1.5)$$ Этот формат особенно полезен в ситуациях, когда нам известна условная вероятность, но мы интересует вероятность пересечения.Мы можем интерпретировать эту формулу, используя дерево диаграмму, подобную той, что показана на рис. 1.23. На этом рисунке мы получаем вероятность в каждой точке путем умножения вероятностей на ветвях, ведущих к этой точке. Этот тип диаграммы может быть очень полезным для некоторых проблем.

Теперь мы можем расширить эту формулу до трех или более событий: $$\hspace{70pt} P(A \cap B \cap C)=P\big(A \cap (B \cap C)\big)=P(A)P(B \cap C|A) \hspace {70pt} (1,6)$$ Из уравнения 1.5 $$P(B \cap C)=P(B)P(C|B).$$ Обусловливая обе части на $A$, получаем $$\hspace{110pt} P(B \cap C|A)=P(B|A)P(C|A,B)\hspace{110pt} (1.7)$$ Комбинируя уравнения 1.6 и 1.7, мы получаем следующее цепное правило: $$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A,B).$$ Суть здесь в том, чтобы понять, как можно вывести эти формулы, и попытаться использовать интуицию. о них, а не запоминать их. Вы можете расширить дерево на рис. 1.22 до Это дело. Здесь у дерева будет восемь листьев. Общее утверждение цепного правила для $n$ события выглядит следующим образом:

Цепное правило для условной вероятности: $$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1) \cdots P(A_n|A_{n-1}A_{n -2} \cdots A_1)$$

На фабрике имеется $100$ единиц определенного товара, $5$ из которых неисправны. Мы выбираем три единицы из 100$ единиц случайным образом. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных?

• Раствор

  • Определим $A_i$ как событие, когда $i$-я выбранная единица не является бракованной, для $i=1,2,3$. Нас интересует $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$. Обратите внимание, что $$P(A_1)=\frac{95}{100}.$$ Учитывая, что первый выбранный предмет был хорошим, второй предмет будет выбран из $94$. хороших единиц и $5$ дефектных единиц, таким образом $$P(A_2|A_1)=\frac{94}{99}.$$ Учитывая, что первый и второй выбранные элементы были в порядке, будет выбран третий элемент. из $93$ хороших единиц и $5$ дефектных единиц, таким образом $$P(A_3|A_2,A_1)=\frac{93}{98}.$$ Таким образом, имеем

    $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$	$=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1)$
    	$=\frac{95}{100} \frac{94}{99} \frac{93}{98}$
    	$ = 0,8560 $

    
    Как мы увидим позже, еще один способ решить эту проблему — использовать счетные аргументы.

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Условная вероятность – определение, формула, вероятность событий

Что такое условная вероятность?

Условная вероятность — это вероятность того, что событие произойдет при условии, что другое событие уже произошло. Это понятие является одним из наиболее существенных понятий в теории вероятностей. Правило полной вероятностиОбратите внимание, что условная вероятность не утверждает, что между двумя событиями всегда существует причинно-следственная связь, а также не указывает на то, что оба события происходят одновременно.

Понятие условной вероятности в первую очередь связано с теоремой БайесаТеорема БайесаТеорема Байеса (также известная как правило Байеса) представляет собой математическую формулу, используемую для определения условной вероятности событий. одна из самых влиятельных теорий в статистике.

Формула условной вероятности

Где:

• P(A|B) – условная вероятность; вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло
• P(A ∩ B) – совместная вероятность событий A и B; вероятность того, что произойдут оба события A и B
• P(B) – вероятность события B

Приведенная выше формула применяется для расчета условной вероятности событий, которые не являются ни независимыми, ни независимыми событиями в статистике и теории вероятностей, независимые события — это два события, при которых возникновение одного события не влияет на возникновение другого события и не является взаимоисключающим.

Другой способ вычисления условной вероятности — использование теоремы Байеса. Теорему можно использовать для определения условной вероятности события A при условии, что произошло событие B, зная условную вероятность события B при условии, что событие A произошло, а также отдельные вероятности событий A и B. Математически , теорему Байеса можно обозначить следующим образом:

Наконец, условные вероятности можно найти с помощью древовидной диаграммы.В древовидной диаграмме вероятности в каждой ветви условны.

Условная вероятность независимых событий

Два события являются независимыми, если вероятность исхода одного события не влияет на вероятность исхода другого события. По этой причине условная вероятность двух независимых событий А и В составляет: Взаимоисключающие события

В теории вероятностей взаимоисключающие событияВзаимоисключающие событияВ статистике и теории вероятностей два события считаются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Простейшим примером взаимоисключающих являются события, которые не могут произойти одновременно. Другими словами, если одно событие уже произошло, другое событие может произойти не может. Таким образом, условная вероятность взаимоисключающих событий всегда равна нулю.

P(A|B) = 0

P(B|A) = 0

Дополнительные ресурсы

CFI предлагает аналитика по финансовому моделированию и оценке (FMVA)™Стать сертифицированным аналитиком по финансовому моделированию и оценке (FMVA) )® Сертификация CFI по финансовому моделированию и оценке (FMVA)® поможет вам обрести уверенность в своей финансовой карьере.Зарегистрируйтесь сегодня! Сертификационная программа для тех, кто хочет поднять свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

• Прогнозирование Прогнозирование Прогнозирование относится к практике прогнозирования того, что произойдет в будущем, с учетом событий в прошлом и настоящем. По сути, это инструмент для принятия решений, который помогает компаниям справиться с влиянием неопределенности будущего путем изучения исторических данных и тенденций.
• Закон больших чиселЗакон больших чиселВ статистике и теории вероятностей закон больших чисел — это теорема, описывающая результат повторения одного и того же эксперимента большим числом не требуют распределения для выполнения необходимых допущений для анализа
• Количественный анализКоличественный анализКоличественный анализ — это процесс сбора и оценки измеримых и проверяемых данных для понимания поведения и эффективности бизнеса.

Вероятность событий (Предалгебра, Вероятность и статистика) – Mathplanet

Вероятность — это тип отношения, в котором мы сравниваем, сколько раз может произойти исход, по сравнению со всеми возможными исходами.

$$Probability=\frac{The\, число\, of\, разыскиваемое \, results}{\, число \, of\, возможных\, результатов} $$

Пример

Какова вероятность того, что при броске кубика выпадет 6?

У игрального кубика 6 граней, на одной из которых находится число 6, что дает нам 1 желаемый исход из 6 возможных исходов.

Независимые события: два события независимы, если исход первого события не влияет на исход второго события.

Когда мы определяем вероятность двух независимых событий, мы умножаем вероятность первого события на вероятность второго события.

$$P(X \ и \, Y)=P(X)\cdot P(Y)$$

Чтобы найти вероятность независимого события, мы используем это правило:

Пример

Если у вас есть три кости, какова вероятность того, что выпадут три четверки?

Вероятность выпадения 4 на одном кубике равна 1/6

Вероятность выпадения 3 четверок:

$$P\left ( 4\, и\, 4\, и\, 4 \right )=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{ 6}=\frac{1}{216}$$

Когда результат влияет на второй результат, который мы назвали зависимыми событиями.

Зависимые события: два события являются зависимыми, когда исход первого события влияет на исход второго события. Вероятность двух зависимых событий является произведением вероятности X и вероятности Y ПОСЛЕ того, как произойдет X.

$$P(X \ и \, Y)=P(X)\cdot P(Y\: после\: x)$$

Пример

Какова вероятность того, что вы выберете две красные карты в колоде карт?

В колоде карт 26 черных и 26 красных карт.Вероятность случайного выбора красной карточки:

$$P\влево ( красный \вправо )=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$$

Вероятность выбора второй красной карты из колоды теперь составляет:

$$P\влево ( красный \вправо )=\frac{25}{51}$$

Вероятность:

$$P\left ( 2\,red \right )=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{51}=\frac{25}{102}$$

Два события являются взаимоисключающими, если два события не могут произойти одновременно. Вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, равна сумме их индивидуальных вероятностей.

$$P(X \ или \, Y)=P(X)+ P(Y)$$

Примером двух взаимоисключающих событий является колесо фортуны. Допустим, вы выиграете плитку шоколада, если окажетесь на красном или розовом поле.

Какова вероятность того, что колесо остановится на красном или розовом?

P(красный или розовый)=P(красный)+P(розовый)

$$P\left (красный \right )=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

$$P\left (розовый \right )=\frac{1}{8}$$

$$P\left ( красный\ или\, розовый \right )=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$$

Инклюзивные события — это события, которые могут произойти одновременно.Чтобы найти вероятность инклюзивного события, мы сначала складываем вероятности отдельных событий, а затем вычитаем вероятность того, что два события произойдут одновременно.

$$P\влево (X\, или \,Y\вправо)=P\влево (X\вправо)+ P\влево (Y\вправо)-P\влево (X\, и \,Y\вправо) $$

Пример

Какова вероятность того, что в колоде карт выпадет черная карта или десятка?

В колоде карт 4 десятка P(10) = 4/52

Есть 26 черных карт P(черные) = 26/52

Есть 2 черных десятка P(черные и 10) = 2/52

$$P\влево (черный\, или\, десять \вправо)=\frac{4}{52}+\frac{26}{52}-\frac{2}{52}=\frac{30} {52}-\frac{2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$$

На вечеринке 7-летних Энн все 20 приглашенных гостей собираются получить конфеты из рыбного пруда. В 12 пакетиках есть лишняя плитка шоколада. Тина и Джеймс первые и вторые, какова вероятность того, что они оба получат пакет с лишней плиткой шоколада?

Условная вероятность: определение и примеры из жизни

Условная вероятность — это вероятность того, что одно событие произойдет в некоторой связи с одним или несколькими другими событиями.

Посмотрите видео с парой примеров формулы:

События с условной вероятностью

Условная вероятность могла бы описать событие следующим образом:

• Событие A состоит в том, что на улице идет дождь, и вероятность дождя сегодня составляет 0,3 (30%).
• Событие B заключается в том, что вам нужно будет выйти на улицу, и это имеет вероятность 0,5 (50%).

Условная вероятность рассмотрит эти два события во взаимосвязи друг с другом, например вероятность того, что идет дождь и вам нужно будет выйти на улицу.

Формула условной вероятности:

P(B|A) = P(A и B) / P(A)

, который вы также можете переписать как:

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Нужна помощь с домашним заданием? Посетите нашу обучающую страницу!

Примеры формул условной вероятности

Пример 1

В группе из 100 покупателей спортивных автомобилей 40 купили системы сигнализации, 30 купили ковшеобразные сиденья и 20 приобрели сигнализацию и ковшеобразные сиденья.Если случайно выбранный покупатель автомобиля купил сигнализацию, какова вероятность того, что он также купил ковшеобразные сиденья?

Шаг 1: Рассчитайте P(A). В вопросе указано 40%, или 0,4.

Шаг 2: вычислить P(A∩B). Это пересечение А и Б: оба происходят вместе. В вопросе указано 20 из 100 покупателей, или 0,2.

Шаг 3: Подставьте свои ответы в формулу:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0,2 / 0,4 = 0,5.

Вероятность того, что покупатель купил ковшеобразные сиденья, при условии, что он приобрел сигнализацию, составляет 50%.

Диаграмма Венна для 90 покупателей, показывающая, что 20 покупателей сигнализации также приобрели ковшеобразные сиденья.

Пример 2:

В этом вопросе используется следующая таблица сопряженности:

Какова вероятность того, что случайно выбранный человек является мужчиной, если у него есть домашнее животное?

Шаг 1. Повторно заполните формулу новыми переменными, чтобы она имела смысл для вопроса (необязательно, но помогает уточнить, что вы ищете). Я собираюсь сказать, что M означает «самец», а PO означает «владелец домашнего животного», поэтому формула будет выглядеть так:
P(M|PO) = P(M∩PO) / P(PO)

Шаг 2: Найдите P(M∩PO) по таблице.Пересечение самец/домашние животные (пересечение в таблице этих двух факторов) составляет 0,41.

Шаг 3: Определите P(PO) из таблицы. Из общей колонки 86% (0,86) респондентов имели домашних животных.

Шаг 4: Вставьте свои значения в формулу:
P(M|PO) = P(M∩PO) / P(M) = 0,41 / 0,86 = 0,477, или 47,7%.

Зачем нам условная вероятность? События в жизни редко имеют простую вероятность. Подумайте о вероятности дождя.

Условная вероятность в реальной жизни

Условная вероятность используется во многих областях, в таких разных областях, как исчисление, страхование и политика.Например, переизбрание президента зависит от предпочтений избирателей при голосовании и, возможно, от успеха телевизионной рекламы — даже от вероятности оплошности оппонента во время дебатов!

Метеоролог может заявить, что вероятность дождя в вашем районе составляет 40 процентов. Однако этот факт обусловлен многими вещами, такими как вероятность…

• …в ваш район приближается холодный фронт.
• …формируются дождевые облака.
• …еще один фронт, отгоняющий дождевые тучи.

Мы говорим, что условная вероятность выпадения дождя зависит от всех вышеперечисленных событий.

Больше примеров из реальной жизни с условной вероятностью

• Представьте, что вы продавец мебели . Вероятность того, что новый покупатель в вашем магазине купит диван в конкретный день, составляет 30%. Однако, если они заходят в ваш магазин за месяц до Суперкубка, вероятность может составлять 70%. Мы можем представить условную вероятность продажи кушетки, если это месяц, предшествующий Суперкубку, как P (Продажа кушетки | Месяц Суперкубка), где | символ означает «при условии, что».Эта условная вероятность дает нам способ выразить вероятности, когда наши убеждения меняются в отношении вероятности того, что произойдет одно событие (в данном примере — продажа дивана) при условии, что произошло определенное событие (в данном случае — наступление месяца, предшествующего Суперкубку). ).
• Вероятность наличия у женщины в возрасте от 40 до 50 лет рака молочной железы составляет около 1%. Однако эта вероятность меняется, если у женщины положительный результат маммографии: вероятность того, что у женщины рак, если у нее положительный результат маммограммы, возрастает примерно до 8.3% [1].
• Четыре кандидата A, B, C и D баллотируются на политический пост . У каждого равные шансы на победу: 25%. Однако, если кандидат А выбывает из гонки по состоянию здоровья, вероятность изменится: P(Победа | Выбывает один кандидат) = 33,33%.
• Если вы беременны, вероятность рождения мальчика или девочки одинакова: 50%. Однако, если у вас уже есть один ребенок (скажем, мальчик), ваши шансы меняются. Учитывая, что ваш первый ребенок — мальчик, ваши шансы родить еще одного мальчика падают до одной трети (33.33%). Причина этого в том, что выборочное пространство для случая, когда у вас есть один мальчик из двух, равно S = {BB, BG, GB}. Если у вас есть один мальчик, единственным возможным событием в этом пространстве будет BB, что составляет одну треть выборочного пространства [2].

Откуда взялась формула условной вероятности?

Формула условной вероятности выводится из правила умножения вероятностей P(A и B) = P(A)*P(B|A). Вы также можете увидеть это правило как P(A∪B). Символ союза (∪) означает «и», как в случае события A и события B.

Шаг за шагом, вот как вывести уравнение условной вероятности из правила умножения:

Шаг 1 : Запишите правило умножения:
P(A и B) = P(A)*P(B|A)

Шаг 2: Разделите обе части уравнения на P(A):
P(A и B) / P(A) = P(A)*P(B|A) / / P(A)

Шаг 3 : Отменить P(A) в правой части уравнения:
P(A и B) / P(A) = P(B|A)

Шаг 4 : Переписать уравнение:
P(B|A) = P(A и B) / P(A)

Посетите наш канал на YouTube, чтобы получить дополнительную статистику, справку и советы!

Ссылки

[1] Формула Байеса.