Формулы суммы и разности кубов: Сумма кубов, формулы и вычисления онлайн

Содержание

Разность квадратов. Сумма и разность кубов 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

89. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

Продолжим изучать формулы сокращенного умножения.

Умножим многочлен (а+b) на многочлен (a-b):

(а+b)(a-b) = a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b) = a²-ab+ab-b²= a²-b²

(а+b)(a-b) = a²-b²

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений.

Также эту формулу можно использовать и для разложения на множители.

a²-b²= (а+b)(a-b)

Для разложения на множители нам пригодятся еще две формулы. Это сумма кубов и разность кубов:

a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³= (a-b)(a

2+ab+b²)

Докажем первое тождество:

(a+b)(a²-ab+b²) = a*a²+a*(-ab)+a*b²+b*a²+b*(-ab)+b*b²= a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³= a³+b³

Аналогично доказывается и второе тождество:

(a-b)(a²+ab+b²) = a*a²+a*ab+a*b²+(-b)*a²+(-b)*ab+(-b)*b²= a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³= a³-b³

Правила звучат так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Что такое «неполный квадрат»? Обратим внимание на множители (a²-ab+b²) и (a²+ab+b²). Если бы они выглядели так (a²-2ab+b²) и (a²+2ab+b²), то их можно было бы записать в виде квадрата разности (a-b)² и квадрата суммы (a+b)²соответственно.

Разность и сумма кубов математическая формула. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.2\right)\]

Формулы суммы и разности кубов двух выражений

Раздел 7.3В: Формулы сокращенного умножения

Назарбаев Интеллектуальная школа химико-биологического направления г. Павлодар

Дата:

ФИО учителя: Арғынбай Ш.С., Байбулатов Е.Н.

Тема урока:

Формулы суммы и разности кубов двух выражений

(Изучение нового материала)

Класс :7

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

7.2.1.11знать и применять формулы сокращённого умножения (изучение нового материала)

Цели урока:

— знать формулу суммы кубов

— знать формулу разности кубов

— применять эти формулы при решении задач

Языковые цели:

Языковые цели обучения

Учащиеся:

— могут устно формулировать формулы сокращенного умножения;

— умеют правильно записывать устно сформулированные формулы;

Лексика и терминология по разделу

— формула сокращенного умножения;

— утроенное произведение;

— сумма кубов двух выражений;

— разница кубов двух выражений;

Предметные цели

— сумма (разность) кубов двух выражений …… ;

— данное выражение записать в виде …. ;

Критерии оценивания

Учащиеся:

— Учащиеся знают формулу суммы кубов.

— Применяют при решении примеров.

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметная связь

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демострационного средства и средства записи

Начальные знания

Умножение многочлена на многочлен, ФСУ (квадрат суммы и разности, разность квадратов).

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

5 мин

Приветствие. Создание благоприятной психологической обстановки.

По технике «Хлопанья в ладошки» ученики делятся по три четыре человека.

Brayn Gym.

What is the next number in sequence below?

Какое следующее число последовательности?

142.857
285.714
428.571
714.285
???.???

Answer: 857142

These are the same digits being reshuffled as a result of multiplying 142857*1 through 6

Презентация

Слайд 2-3

Выход на тему. Изучение нового материала

10 мин

Мозговой штурм. Для начала делим класс на 2 группы, затем предлагаем каждой группе выполнить умножение данных выражении соответственно:

1 группа:

2 группа:

После решения данного примера ученики вместе с учителем выходят на тему и определяют цели урока.

Вводятся формулы суммы и разности кубов двух выражений:

где

называется соответственно неполным квадратом разности и суммы. Данное выражение отличается от полного квадрата лишь коэффициентом перед ab.

Учащийся должны устно сформулировать формулы сокращенного умножения:

— Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

— Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Презентация

Слайд 4-7

Закрепление

Индивидуальная работа

10 мин

На этом этапе ученикам раздаются карточки с индивидуальными заданиями. После выполнения данного задания, ученики проверят правильность выполнения заданий по слайду. Затем в паре по готовым критериям оценивают работы учащихся.

1-задание

Разложите на множители.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2-Задание

Умножьте.

3- задание

Разложите на множители.

1) ;

2) ;

3) .

4- задание

Сопоставьте.

Критерии оценивания:

— Знает формулу суммы кубов;

— Знает формулу разность кубов

— Правильно применяет при решении.

http://bilimland.kz/kk/#lesson=11591

Приложение 1

Презентация

Слайд 8-11

Закрепление

Групповая работа

10 мин

В начале урока ученики объединились в группы. Этим группам раздаются карточки Tarsia. Цель задания: сопоставить пример с его ответом и получить следующий треугольник:

Обратная связь:

— Какие сложности возникли при решении заданий?

— Какие знания были применены

Тарсия

Приложение 2 Презентация

Слайд 12

Конец

(5 мин)

Домашнее задание.

Подведение итогов. Рефлексия.

«ЗУХ».

Знал	Узнал	Хочу знать

Приложение 3 Презентация

Слайд 13-14

Дополнительная информация

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Дифференциация выражена в подборе заданий, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся.

Оценивание осуществляется при взаимопроверке в ходе групповой и индивидуальной работе учащихся

Используемые физминутки и активные виды деятельности, на начальном этапе урока по технике «Хлопанья в ладошки»

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

правила применения формул сокращенного умножения

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы.2\right)\]

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы сокращенного умножения.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пусть а, b R. Тогда:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Как читать формулы сокращенного умножения?

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Презентация на тему «Разложение на множители суммы и разности кубов»

pptcloud Добавить презентацию Войти
Главная
Математика
Разложение на множители суммы и разности кубов
Категории
Астрономия
Биология
География
Изобразительное искусство
Иностранные языки
Информатика
История
Литература
Математика
Статистика
История математики
Тригонометрия
Теория вероятности
Арифметика
Занимательная математика
Геометрия
Алгебра
Медицина
Менеджмент
Музыка
МХК
Обществознание
ОБЖ
Окружающий мир
Педагогика
Правоведение
Праздники
Психология
Русский язык
Социология
Технология
Физика
Физкультура
Философия
Химия
Черчение
Экономика
Другое
Как сделать презентацию
Математика
Скачать презентацию (1.56 Мб)
82 загрузки
5.0 оценка
правила применения формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n
Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !
Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n
Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1
Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2
Для нечетных показателей 2m+1:
a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
a — b 2 = a — b a — b .
Раскроем скобки:
a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.
Пример 1. ФСУ
Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .
Применим формулу суммы квадратов и получим:
9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2
Пример 2. ФСУ
Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .
Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .
Сокращаем и получаем:
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:
79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.
Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).
Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.
Квадрат суммы
Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².
Квадрат разности
Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².
Разность квадратов
Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).
Куб суммы
Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.
Сумма кубов
Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.
Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.
Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.
Куб разности
Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.
Разность кубов
Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.
Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.
Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).
Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов . Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 — b 2 = (а — b)(a + b)
Разберем для наглядности:
22 2 — 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.
(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2
Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.
Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Третья формула это квадрат разности . Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b) 2 = а 2 — 2аb + b 2
где (а — b) 2 равняется (b — а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2
Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.
(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3
Пятая, как вы уже поняли называется куб разности . Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b) 3 = а 3 — 3а 2 b + 3аb 2 — b 3
Шестая называется — сумма кубов . Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)
По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.
Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 — b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.
Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!
Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!
Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:
Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.
Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.
При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.
Дополнительные формулы
В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.
Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.
Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .
Пример.
Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .
Решение.
В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 — у 2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х — у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3ху 2 — у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 — у 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
Презентация на тему: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс
1
Первый слайд презентации: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс

Изображение слайда
2
Слайд 2: вывести формулы суммы и разности кубов; сформировать умение применять их при разложении многочлена на множители

Цели урока :

Изображение слайда
3
Слайд 3: Устный счет

Разложить многочлен на множители: 8x –12y a 4 + a 2 b x 3 — 3x 2 — 3x 9p 4 + 36p 2 — 27p Представить в виде квадрата двучлена: a 2 — 2ab + b 2 a 2 — 12ab +36 81- 18y + y 2 = 4(2x -3у) = a 2 (a 2 +b) = x(x 2 — 3x -1) = 9p (p 3 +4p -3 ) = (a –b) 2 = (a – 6 )² = (9 + y) 2

Изображение слайда
4
Слайд 4: Устно:

Представить в виде куба: 8х 3 64с 6 b 12

Изображение слайда
5
Слайд 5

Устно: Представить в виде куба: 27 х 3 = 8 b 6 = y 9 =

Изображение слайда
6
Слайд 6

Устно: Представить в виде куба: 64 у 3 = b 3 = а 12 b 9 = 27 n 6 m 15 =

Изображение слайда
7
Слайд 7: Найдите кубы следующих одночленов

…. Одночлены x m 2a 3 b 0,1x ² b 4a ² Куб одночлена

Изображение слайда
8
Слайд 8: Проверь себя

Критерий оценки :

Изображение слайда
9
Слайд 9

Формула суммы кубов Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Изображение слайда
10
Слайд 10

Для разложения на множители суммы кубов используют тождество — формула суммы кубов Докажем ее.

Изображение слайда
11
Слайд 11

Изображение слайда
12
Слайд 12

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности

Изображение слайда
13
Слайд 13

Алгоритм разложения c уммы кубов на множители: 1.Представить двучлен в виде суммы кубов. 2.Выполнить разложение по формуле а 3 +в 3 = (а + в)(а 2 — aв + b 2 ) сумма кубов Пример: 27 + m 3 = (3) 3 + m 3 =(3 + m ) ((3) 2 – 3* m + m 2 ) = (3 + m )(9- 3 m + m 2 )

Изображение слайда
14
Слайд 14

Формула разности кубов Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Изображение слайда
15
Слайд 15

Для разложения на множители разности кубов используют тождество — формула разности кубов Докажем ее.

Изображение слайда
16
Слайд 16

Изображение слайда
17
Слайд 17

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы.

Изображение слайда
18
Слайд 18

Алгоритм разложения разности кубов на множители: 1.Представить двучлен в виде разности кубов. 2.Выполнить разложение по формуле а 3 -в 3 = (а- в)(а 2 + aв + b 2 ) разность кубов Пример: 64 а 6 — 8b 9 =(4a 2 ) 3 — (2b 3 ) 3 =(4a 2 – 2b 3 )((4a 2 ) 2 + 4a 2 *2b 3 +(2b 3 ) 2 )=(4a 2 — 2b 3 )(16a 4 + 8a 2 b 3 + 4 b 6 )

Изображение слайда
19
Слайд 19: Формулы :

a ³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²) Сумма кубов Сумма выражений Неполный квадрат их разности Формулы : a ³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²) Разность кубов Разность выражений Неполный квадрат их суммы

Изображение слайда
20
Слайд 20: Разложите на множители

Изображение слайда
21
Слайд 21

Разложите на множители: (а+2) (а -2а+4) 2 (в-3) (В +3в+9) 2 ( 6- m) (36 -6m+m ) 2 (4a+1) (16a -4a+1) 2 (ab-1) (a² b² +ab+1 ) ( a — b) ( a² + ab+

Изображение слайда
22
Слайд 22

Разложите на множители:

Изображение слайда
23
Слайд 23: Итоги урока:

— C какими формулами мы познакомились?. – Сформулируйте правила. – Какие ещё формулы позволяют разложить многочлен на множители? Назовите их.

Изображение слайда
24
Последний слайд презентации: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс

Спасибо за урок !

Изображение слайда
4. Сумма и разность кубиков
Эти выражения мы встречали ранее (в разделе «Особые товары с кубиками»):
x ³ + y ³ = ( x + y ) ( x ² — xy + y ²) [Сумма двух кубов]
x ³ — y ³ = ( x — y ) ( x ² + xy + y ²) [
кубов] [
кубов]
Откуда они берутся? Если вы умножите правую часть каждого из них, вы получите левую часть уравнения.
Примечание: Мы не можем дальше разложить правые части на множители.
Мы используем приведенные выше формулы для факторизации выражений, включающих кубы, как в следующем примере.
Пример
Фактор 64 x ³ + 125
Ответ:
Мы используем формулу суммы 2 кубов, приведенную выше.
64 x ³ + 125
= (4 x ) ³ + (5) ³
= (4 x + 5) [(4 x ) ² — (4 x ) (5) + (5) ²]
= (4 x + 5) (16 x ² — 20 x + 25)
Как упоминалось выше, мы не можем дальше разложить выражение во второй скобке.Похоже, что его можно разложить на множители, чтобы получить (4 x -5) ², однако, когда мы расширим это, это даст:
(4 x — 5) ² = 16 x ²-40 x + 25
Этот «трехчлен полного квадрата» не то же самое, что выражение, которое мы получили при разложении на множители суммы двух кубиков.
Упражнения
Фактор:
(1) x ³ + 27
Ответ
Используя формулу суммы 2 кубов, получаем:
x ³ + 27
= ( x ) ³ + (3) ³
= ( x + 3) [( x ) ² — ( x ) (3) + (3) ²]
= ( x + 3) ( x ² — 3 x + 9)
(2) 3 м ³ — 81
Ответ
Используя формулу разности двух кубиков, получаем:
3 м ³ — 81
= 3 ( м ³ — 27)
= 3 ( м ³ — (3) ³)
= 3 ( м — 3) [( м ) ² + ( м ) (3) + (3) ²]
= 3 ( м — 3) ( м ² + 3 м + 9)
Веб-урок — Суммы и различия кубов
Цели
Знать и (возможно) запоминать формулы суммы кубов и разности кубов
Практика использования формул для простых случаев сумм и разностей кубов
Используйте факторинг GCF и другие предшествующие методы для сложных выражений суммы и разности, содержащие одну или несколько переменных
Описание урока
Подобно уже известной формуле разности квадратов, формула суммы и разности кубов обеспечивает успешный подход факторизации к выражениям вида $ a ^ 3 \ pm b ^ 3 $.2 = (a + b) (a-b) $$ Разность квадратов названа так, потому что то, что мы стремимся в данном случае разложить на множители, — это буквально разница двух квадратов. В этом уроке мы изучим формулу факторизации суммы или разности кубов, а не квадратов. К лучшему или худшему, это означает, что нам просто нужно запомнить формулу, но, как обычно, мы не будем готовы получить пятерку, если не попрактикуемся в ее использовании, поэтому мы можем увидеть все возможные способы ее использования. .
Формула суммы / разности кубов
Формула факторизации суммы двух кубов почти идентична формулам факторизации разности двух кубов.2 \ right) $$
Вы можете очень быстро доказать эти формулы, просто умножив правую часть и убедившись, что вы получаете сумму или разность в левой части формулы. На самом деле, если вы испугались викторины и беспокоитесь, что перепутали знаки плюса и минуса, это хороший способ дважды проверить, правильно ли написана формула. формула со знаками $ \ pm $ и $ \ mp $. Я искренне считаю, что студенты более склонны ошибаться, когда запоминают их по отдельности.Знание одной формулы означает, что вы одинаково подготовлены к любому случаю — и хотя вы не будете видеть это почти так часто, как квадратичное разложение на множители, вы обязательно будете видеть это время от времени, и, как ожидается, вы будете знать, что делать. Кроме того, стоит быстро упомянуть, что единственная причина, по которой у with не было двух формул для использования, когда мы изучили технику факторизации разницы квадратов, заключается в том, что «сумма квадратов» не может быть разложена на действительные числа. Причина того, что сумма кубов может быть разложена на множители, а сумма квадратов — невозможна, заключается в том, что вы можете извлечь кубический корень из отрицательного числа, но вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа.2 + 2x + 4 \ right) $$ Когда вы разлагаете на множители сумму или разность кубов выражения с одной переменной, вы получаете линейный множитель и квадратичный множитель. Этот квадратичный множитель гарантированно будет простым или неприводимым. Другими словами, не теряйте время, пытаясь еще раз проанализировать это — у вас не получится.
Мистер Математика делает это значимым
Безусловно, наиболее распространенное использование этого метода факторизации — для кубических выражений с одной переменной, используемых в случаях, когда мы также факторизуем квадратичные или другие полиномиальные функции и уравнения.Тем не менее, есть два примечательных способа, которыми учителя могут использовать эту концепцию, чтобы попытаться снизить вашу оценку. Факторинг GCF Учителям нравится уловка GCF, но если вы знаете, что искать, вы все равно узнаете сумму или разницу кубиков без трудность. Прежде всего, если вы следовали моим урокам с тех славных дней, когда вы впервые познакомились с факторингом, вы знаете, что всегда нужно искать GCF в каждой проблеме факторинга, каждый раз. Если вы не следуете моему неизменно правильному совету по факторингу, вы все равно привыкнете искать GCF в сумме или разнице задач факторинга куба, точно так же, как вы, вероятно, делали в задачах, требующих факторизации разности квадратов.2 + 15x + 25 \ big) $$ Опять же, нам даже не нужно подталкивать и тыкать в оставшуюся квадратичную — квадратичный член в сумме / разнице кубов факторинга больше никогда не будет факторизован. в уроке о продвинутом факторинге разности квадратов ситуации, связанные с одночленами с несколькими переменными, не обрабатываются по-разному, хотя нужно проявлять больше осторожности, чтобы найти правильный квадратный корень, или, в данном случае, кубический корень. Давайте посмотрим, как работает формула суммы / разности кубов на примере.4 \ right) $$ Стоит отметить, что более сложные задачи с суммой или разностью кубов могут иметь оба этих качества (требование GCF и несколько переменных) одновременно. Мы увидим примеры этого в задачах в конце урока, а также в рабочем листе урока.
Протестируйте
Посмотрев несколько примеров, мы готовы закончить освоение этого метода факторинга. В отличие от многих других формул, которые мы изучаем в алгебре, вам никогда не придется использовать эту формулу в обратном порядке, поэтому всего лишь небольшая практика — это все, что нужно, чтобы узнать, как решить любую проблему, которая требует от нас факторизации с использованием этой техники.{12}} {2} — 32 $$
Показать решение
$ \ blacktriangleright $ Это странная задача, но хорошее упражнение в нестандартном мышлении. Общего фактора нет, но ни один из терминов не является идеальным кубом. Однако, если мы умножим выражение на $ 2 $, каждый член действительно будет идеальным кубом. Поскольку мы не можем просто взять выражение и умножить его на $ 2 $ (так как это изменит выражение, что нам не разрешено), мы должны каким-то образом манипулировать им. Есть два способа взглянуть на этот процесс: 1) Умножение на $ 2/2 $ Умножение на $ 2/2 $ принципиально не меняет выражения, поскольку мы, по сути, умножаем на $ 1 $.6 $
Распознавайте возможности факторинга GCF и проверяйте их каждый раз, когда вы факторизуете
Будьте знакомы с факторингом суммы и разности фигур куба для многомерных сумм и разностей
Хотя оставшаяся квадратичная никогда не будет факторизована, не забудьте проверить первый множитель в формула для возможного дальнейшего разложения на множители (например, примеры 11 и 12)
Суммы и разности кубов
Две другие особые формы полиномов — это сумма и разность кубов .Вот формулы, используемые для их факторизации:
Во-первых, обратите внимание, что члены в каждой факторизации одинаковы; затем обратите внимание, что каждая формула имеет только один знак «минус». Для разности кубов знак «минус» соответствует линейному коэффициенту: a — b ; для суммы кубиков знак «минус» стоит в квадратичном множителе, a ² — ab + b ². Некоторые люди используют мнемоническое «SOAP» для знаков; буквы означают «такой же», как знак в середине исходного выражения, «противоположный» знак и «всегда положительный».
Какой бы метод ни помогал вам лучше всего согласовывать эти формулы, сделайте это, потому что вы не должны предполагать, что вам будут даны эти формулы на тесте. Тебе действительно стоит их знать. Примечание. Квадратичная часть каждой формулы куба не учитывает , поэтому не пытайтесь ее использовать.
Когда у вас есть пара кубиков, внимательно примените соответствующее правило. Под «осторожно» я имею в виду «использование круглых скобок для отслеживания всего, особенно отрицательных знаков». Вот некоторые типичные проблемы: Copyright © Elizabeth Stapel 2000-2011 Все права защищены
Это x ³-2 ³, поэтому я получаю:
x ³ — 8 = x ³ — 2 ³
= ( x -2) ( x ² + 2 x + 2 ²)
= ( x -2) ( x ² + 2 x + 4)
Помните, что 1 можно рассматривать как возведенное в любую степень, которая вам нравится, так что это действительно (3 x ) ³ + 1 ³.Тогда я получаю:
27 x ³ + 1 = (3 x ) ³ + 1 ³
= (3 x + 1) ((3 x ) ² — (3 x ) (1) + 1 ²)
= (3 x + 1) (9 x ²-3 x + 1)
Это ( xy ²) ³-4 ³, поэтому я получаю:
x ³ y ⁶-64 = ( xy ²) 3 — 4 ³
= ( xy ²-4) (( xy ²) ² + ( xy ²) (4) + 4 ²)
= ( xy ²-4) ( x ² y ⁴ + 4 xy ² + 16)
Присвоение:
Полностью разложите каждое выражение на множители.Иногда нужно искать общий фактор.
1. 500a ³ + 864
2. 27 — 125m ³
3. 24x ³ + 81
56
8x ³ — 125y ³
5. 3u ³ + 375
6. 4-864x ³
7. x ¹⁵ — 8
Рабочий лист разницы кубов — sumnermuseumdc.org
Ответы на факторинг суммы или разности кубов) x) (xx)) (a) (aa)) (a) (aa) )) (х) (хх)) (а) (аа)) (х) (хх). W u l f c.b w. f h a k t j. v рабочий лист с помощью программного обеспечения — бесконечное имя алгебры с факторизацией периода времени куба. Факторинг полиномов — разница сумм кубов. Этот рабочий лист поможет вашим ученикам попрактиковаться в факторинге полиномов, представляющих сумму или разность двух кубов.
это часть большого набора. Вы можете приобрести здесь набор со скидкой, если вы обучаете всем видам факторинговых факторов.
Отображение основных рабочих листов, найденных для — суммы и разности кубов. некоторые рабочие листы для этой концепции — факторизация кубов, факторизация суммы или разности кубов, разложение суммы или разности кубов, практика кубов полинома, полиномиальные уравнения, округление и оценка множественного выбора одного, разложение на множители и решение полинома функции.
Разница двух кубиков. разница двух кубов — отображение верхних листов, найденных для этой концепции. некоторые рабочие листы для этой концепции включают факторизацию суммы или разности кубов, факторизации кубов, факторизации разности квадратов, факторизации суммы или разности двух кубов, факторизации суммы и разности двух кубов, факторизации особых случаев, факторинг полиномов, факторинг.
1. Факторинговая сумма разности кубиков Цветная мозаика Math Easy Worksheet
[источник] [скачать]
Сначала поработайте на бумаге, затем прокрутите вниз, чтобы увидеть ключ ответа.проблема проблема проблема проблема проблема ответ ключ решение проблемы номер решение проблемы номер решение проблемы номер факторинг сумма и разность двух кубов практических задач.
Сумма кубиков пример разности кубов. фактор x. пример. фактор x. пример. фактор x y. сначала найдите. . пример. фактор x y. Во-первых, обратите внимание, что x y — это разность квадратов и разность кубов. в общем, факторизуйте разность квадратов перед факторизацией разности кубов.
2. Таблицы соответствия форм для дошкольных учреждений Рабочий лист кубиков различий между упражнениями
[источник] [скачать]
Com. Рабочие листы по алгебре, примеры игр по алгебре, видео, рабочие листы, решения и задания, помогающие оценивать, учащиеся, занимающиеся алгеброй, узнают, как разложить сумму двух кубиков на множители и разность двух кубов. на следующих диаграммах показано, как разложить на множители сумму или разность двух кубов.
3.Вычислить объем куба Формула Практика Видеоурок Расшифровка текста Кубики Различия Рабочий лист
[источник] [скачать]
На некоторых из отображаемых рабочих листов факторизуется сумма или разность кубов, факторизуется a кубов, факторизуется разность квадратов, факторизуется сумма и разность двух кубов, факторизуется сумма или разность работы кубов, факторизуется разность квадратов. , факторинг разности квадратов, факторинг.
Ответы на факторинг суммы или разности кубов.) (x) (x. x)) (a) (a. a)) (a) (a. a)) (x) (x x. Перепишите исходную задачу как разность двух совершенных кубов. step используйте Следующие высказывания помогут написать ответ: а) напишите то, что вы видите б) квадрат-умножьте-квадрат в) одинаковые, разные, положительный конец используйте эти три части, чтобы написать окончательный ответ.
4. Рабочие листы Life Deep Sea. Ответы на ключевые отличия. Рабочий лист
[источник] [скачать]
Итак, вот разница в кубиках.и на самом деле позвольте мне написать это явно, потому что это то же самое, что и с третьей степенью. так что вы можете записать это как — позвольте мне написать начало — раз — этот член прямо здесь может быть переписан как c в третьей степени, потому что это в третьей степени, умноженной на c в третьей степени — c в.
5. Рабочий лист по математике Рабочие листы для печати Ответы Практика Математика Кафе 3 класс Решение задач Таблица умножения Игры Введите кубики разности
[источник] [скачать]
Алгебра полиномов ii математика из таблицы суммы и разности кубов, источник khanacademy.орг. узнайте, как быстро умножить на s из таблицы суммы и разности кубов, источника pinterest.com. написание алгебраических выражений из таблицы суммы и разности кубов, источник мысли.
6. Рабочий лист кубоидов для определения площади поверхности Кубики для определения различий для учителей
[источник] [скачать]
Org. Бесплатная библиотека рабочих листов скачать и распечатать рабочие листы из таблицы суммы и разности кубов, исходный comprar-en-internet.сеть. нахождение квадратных корней кубических корней и корней n-й степени в Excel из таблицы суммы и разности кубов. Еще одно сокращение факторинга — кубики.
с кубиками мы можем сделать сумму или сумму кубиков. и сумма, и кубов имеют очень похожие формулы факторизации a b (a b) (a ab b) a b (a b) (a ab b) сравнивая формулы, вы можете заметить, что единственными являются знаки. Разница двух кубов — это частный случай умножения многочленов (ab) (a) a b, который иногда возникает при решении задач, поэтому стоит помнить.
8. Рабочий лист Кубики Помощник по алгебре
[источник] [скачать]
млн в х р qr z.k mi e b. рабочий лист с помощью программного обеспечения — бесконечная алгебра имен факторинг особых случаев период даты. В таблице на множители используются специальные шаблоны для разложения этих многочленов на множители, используя формулы для разложения суммы и разности кубов.
[источник] [скачать]
Видео, рабочие листы, решения и задания, помогающие оценивать, учащиеся-алгебры учатся умножать сумму двух кубиков на разность двух кубиков.формула для разложения суммы двух кубов a b (a b) (a ab b) формула для разницы двух кубов a b (a b) (a ab b) сумма и разность кубов.
Как разложить и разложить на множители сумму кубов, формула разности кубов, ее множители и примеры задач. интерактивные практические задачи решаются шаг за шагом. В этом видео проверяются формулы факторизации и приводятся примеры того, как разложить на множители сумму или разность кубов.
10. Рабочий лист решения полиномиальных уравнений Урок по классам Кубики различий между планетами
[источник] [скачать]
Рабочий лист по написанию и оценке выражений.природа корней рабочих листов квадратного уравнения. определить, является ли отношение пропорциональным листу. тригонометрия. Суммарная разница рабочих листов кубов — по этой теме есть рабочие листы для печати.
11. Жесткий мягкий рабочий лист Веселые обучающие кубики на различие
[источник] [скачать]
Эта огромная коллекция рабочих листов для печати с объемами обязательно поможет ученикам средних и старших классов шаг за шагом выполнять различные упражнения, начиная со счета кубиков и заканчивая нахождением объема твердых форм, таких как кубы, конусы, прямоугольники и треугольники. призмы и пирамиды, цилиндры, сферы и полусферы, l-блоки и смешанные формы.
12. Классы Словарь Рабочие листы Математические темы Задачи на замену Рабочий лист Основной детский сад 7-летний класс Распечатать Кубики разницы измерений
[источник] [скачать]
Httpmathispoweru.com. Как следует из названий, сумма кубов является выражением формы a b, а разница кубиков является выражением формы a b. сумму кубиков можно разложить на множители следующим образом: a b (a b) (a a b b), а разность кубиков можно разложить на множители следующим образом: a b (a b) (a a b b).
обратите внимание на знаки, показанные красным. Сумма и разность кубиков. мы встречались с этими выражениями ранее (в разделе специальные продукты с кубиками) xy (xy) (xy) сумма двух кубов xy (xy) (xy) разница кубиков, откуда они берутся, если вы умножите правую часть каждого , получите левую часть.
13. Таблица различий кубиков ресурсов
[источник] [скачать]
Этот рабочий лист и учебное пособие исследуют решение более сложных многочленов путем построения графика каждой стороны отдельно и нахождения точки пересечения, определения суммы и разностей кубов и решения многочленов более высокой степени с помощью.Факторные суммы и разности распределительных свойств кубов рабочего листа умножения — ii.
14. Рабочий лист кубиков вычисления разницы по математике
[источник] [скачать]
Автор. математика проста. этот продукт содержит сумму разности суммы и разности кубиков, каждый рабочий лист включает выражения, разделенные на группы для вашего удобства и расположенные в порядке возрастания сложности. студент должен разложить на множители каждое выражение и p.
Отображение основных рабочих листов, найденных для — факторинга суммы и разности кубов. некоторые из рабочих листов для этой концепции: факторинг a кубов, факторинг суммы или разности кубов, факторинг суммы или разности кубов, факторизация разности двух кубиков в программном обеспечении, факторинг кубических полиномов, факторинг полиномов, факторинг работы, разложение глав.
15. Страница ежегодных архивов Соединяющие кубики Рабочие листы по математике Рациональные числа 7 класса 1 Распечатка на миллиметровой бумаге Домашнее задание 3 Рабочий лист различий
[источник] [скачать]
Х.Икс. Икс. Икс. Икс. х .. х .. х. Икс. Как сделать кубический корень на ti, экспоненты в квадратные корни, математические уравнения жесткого баланса, формула десятичного числа в рациональное число. рабочие листы по математике ks, калькулятор функций журнала решений, обзорные листы по математике, предварительный обзор алгебры, программа полиномов ti плюс фактор, математическая викторина yr.
16. Заметки для инструктора Модуль 3 Пути подготовки инструкторов Reed Документируют таблицу различий
[источник] [скачать]
Просмотр экспорта — — таблица суммы и разности кубов.pdf по математике в старшей школе. Факторизация кубических уравнений сумма двух кубиков разности двух. В этом видеоуроке по алгебре основное внимание уделяется факторизации сумм и разностей кубов. это видео содержит множество примеров и практических задач по факторингу сумм.
17. Детские развлекательные листы для печати Приют Детский сад Бесплатные математические упражнения Элементарная геометрия Решатель идеального квадрата Многочлены Кубики разницы оценок Калькулятор Школьные рабочие листы Прочитать рабочий лист
[источник] [скачать]
Вот две формулы факторизации суммы кубов a b (a b) (a ab b) разности кубов a b (a b) (a ab b) узнайте в более продвинутых классах, как они пришли к этим формулам.а пока просто запомните их. содержание продолжается ниже. Загрузите последние рабочие листы по алгебре, например, разность суммы кубов по алгебре, которые можно бесплатно скачать на нашем веб-сайте.
, чтобы узнать больше о разности алгебр суммы кубов, читайте здесь. Сумма факторинга и разность двух кубов, практические задачи по направлению полностью исключают каждый бином.
18. Видео Рабочие листы Canyon College Часть 2 Рабочий лист Факторинга Различия Квадраты Сумма Кубов Документ
[источник] [скачать]
Рабочие листы факторируют сумму или разницу кубиков.Цели рабочего листа викторины. в этих оценках необходимо проверить правильность формы формулы суммы кубов, правильную форму формулы разности кубов, идентифицирующую идеально кубики. R cw k mu k.
Этот рабочий лист можно распечатать и использовать только в образовательных целях. его нельзя использовать в коммерческих целях без письменного согласия mathtv. 2).2).
Факторинговые трехчлены. Итак, есть некоторые вещи, которые мы умеем сразу учитывать, хорошо? Просто по времени и опыту и просто много с ними общаюсь. У меня за спиной 2 примера. x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате. Надеюсь, вы посмотрите на это и узнаете, о. Это будет просто x плюс y в квадрате. Аналогично, x в квадрате минус y в квадрате, надеюсь, вы понимаете, что это x + y, умноженное на x-y.Хорошо. Это 2, которые мы знаем.
Мы также можем иметь дело с так называемой разницей или суммой кубиков. Я имею в виду, что мы смотрим на куб плюс b в кубе. Мы также можем разложить это на множители, и как мы это делаем, формула похожа на эту. Хорошо, просто с точки зрения необходимости запоминать новую формулу. И как это работает, у нас есть бином a + b, а затем у нас также есть трехчленный, который будет возведен в квадрат минус ab плюс b в квадрате. Хорошо? Так же, как это формулы, это также новая формула.Хорошо? Это также будет работать для, поэтому я назову это суммой кубиков, потому что мы складываем 2 куба вместе. Это также будет работать для разницы в кубах: a в кубе минус b в кубе. И то, как это работает, почти идентично формуле, за исключением того, что вместо того, чтобы иметь дело с a + b, мы теперь имеем дело с минусом, а затем возведенным в квадрат плюс ab плюс b в квадрате.
Это может быть справедливо, эти похожие формулы действительно выглядят очень похожими, поэтому их может быть довольно сложно отличить. Как я помню, и если у вас есть другой способ, который тоже хорошо, это знак этих первых двух биномов, два члена один будет таким же, как исходный знак.Итак, здесь мы имеем дело со сложением, здесь мы имеем дело со сложением, вычитанием, вычитанием. Вот почему мы стираем скобки. Хорошо.
Тогда у нас есть квадрат. Все значения одинаковы. Хорошо, но тогда второй знак будет противоположным. Итак, мы начали с плюса, это минус. Здесь мы начали с минуса, это идет в плюс. Хорошо, если второй знак противоположен, а третий всегда будет положительным.
Итак, пока вы помните, что ab в квадрате ab и b в квадрате, просто помните, что ваши знаки такие же, как и в начале, противоположные, а затем всегда положительные.Нам нужно добавить еще две формулы в репертуар трифакторинга.
Сумма и разность кубов
Student Academic Learning Services Страница 1 из 2 Сумма или разница из кубиков Когда to use Когда у вас есть двучленные и , оба термина могут быть записаны как совершенные кубики (что-то в степени от 3).Формулы Сумма кубов : x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2) Разница <сильная > of кубов : x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2) Пример 1 Полностью разложите это выражение на множители: 8x 3 + 27y 6 шагов Шаг 1 : Определите, что представляют собой два куба (это x 3 и y 3 в формуле). Шаг 2. Найдите кубические корни из их (в формуле это x и y). Шаг 3. Найдите квадраты из x и y, которые вы нашли на шаге 2 (x 2 и y 2 в формуле) Шаг 4. Поместите их в правильную формулу (сумма или разница ). Шаг 5. Проверьте, можете ли вы упростить или разложить на множители какую-либо часть < strong> of это снова.Трехчленная часть не может быть факторизована, но иногда биномиальная часть может быть факторизована. Вы также можете удалить лишние скобки или где-нибудь объединить похожие термины Пример x 3 → 8x 3 y 3 → 27y 6 x → 2x, потому что (2x) 3 = 8x 3 y → 3y 2, потому что (3y 2) 3 = 27y 6 x 2 → 4x 2, потому что (2x) 2 = 4x 2 y 2 → 9y 4, потому что (3y 2) 2 = 9y 4 Используйте формулу суммы выше: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 ) Выполните замены, указанные в шагах с 1 по 3: 8x 3 + 27y 6 = (2x + 3y 2) (4x 2 — (2x) (3y 2) + 9y 4) Объедините эти два члена в середине элемента < / strong> 2-я скобка.8x 3 + 27y 6 = (2x + 3y 2) (4x 2 — 6xy 2 + 9y 4) Это полностью разложено на множители и ничто другое не может быть объединено. www.durhamcollege.ca/sals Здание обслуживания студентов (SSB), ауд. 204 905.721.2000 доб. 2491 Последнее обновление этого документа: 15.05.2012
Видеоурок: сумма и разность двух кубов
Стенограмма видео
В этом видео мы узнаем, как множите сумму и разницу двух кубиков.Мы начнем с демонстрации формулы, которые мы можем использовать для факторизации или разложения суммы двух кубов и разницы из двух кубиков.
Многочлен в виде 𝑎 в кубе плюс 𝑏 в кубе называется суммой двух кубов. Любой многочлен такого вида может быть факторизован таким образом, что в кубе плюс 𝑏 в кубе равно 𝑎 плюс 𝑏, умноженное на 𝑎 в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. Мы можем доказать, что это так путем раскрытия скобок или распределения скобок справа боковая сторона.Начнем с раздачи. Умножаем 𝑎 в квадрате, отрицательное 𝑎𝑏 и 𝑏 в квадрате на 𝑎. Это дает нам 𝑎 в кубе минус 𝑎 в квадрате 𝑏 плюс 𝑎𝑏 в квадрате.
Затем мы раздаем 𝑏. Это дает нам в квадрате 𝑏 минус 𝑎𝑏 в квадрате плюс 𝑏 в кубе. Мы замечаем, что можем отменить 𝑎 в квадрате 𝑏 как отрицательном 𝑎 в квадрате 𝑏 плюс в квадрате 𝑏 равно нулю. Мы также можем отменить 𝑎𝑏 в квадрате. Это оставляет нам ed в кубе плюс в кубе, что равно левой части.Это доказывает, что 𝑎 в кубе плюс 𝑏 в кубе равно 𝑎 плюс 𝑏, умноженному на 𝑎 в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.
Теперь рассмотрим многочлен от форма 𝑎 в кубе минус 𝑏 в кубе. Это называется разницей два кубика. 𝑎 в кубе минус 𝑏 в кубе может быть в следующей форме: 𝑎 минус 𝑏 умноженное на в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. Еще раз, мы можем доказать это раздвигая круглые скобки.Умножение на 𝑎 в квадрате плюс плюс 𝑏 в квадрате дает нам 𝑎 в кубе плюс 𝑎 в квадрате 𝑏 плюс 𝑎𝑏 в квадрате. Умножая три члена в вторая скобка с отрицательным дает нам отрицательный 𝑎 в квадрате 𝑏 минус 𝑎𝑏 в квадрате минус 𝑏 в кубе.
И снова в квадрате 𝑏 и 𝑎𝑏 возведенных в квадрат членов отменяются, оставляя нам 𝑎 в кубе минус 𝑏 в кубе. в кубе минус 𝑏 в кубе равно 𝑎 минус 𝑏 умноженное на 𝑎 в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.Во всех следующих вопросах В этом видео нам нужно будет использовать одну из этих двух формул. В каждом случае мы перепишем подходящую формулу, чтобы к концу этого урока мы, надеюсь, получили узнал их обоих.
Учитывая, что 𝑥 в кубе минус 512 равно равно 𝑥 минус восемь, умноженное на 𝑥 в квадрате плюс 𝑘 плюс 64, найти выражение для 𝑘.
Любое выражение в форме 𝑎 в кубе минус 𝑏 в кубе называется разностью двух кубов.Мы знаем, что это можно учесть в форму 𝑎 минус 𝑏, умноженную на 𝑎 в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. В этом вопросе наше значение 𝑎 в кубе равно в кубе, а наше значение 𝑏 в кубе равно 512. Если 𝑎 в кубе равно 𝑥 в кубе, мы знаем, что 𝑎 равно 𝑥, поскольку мы можем извлекать кубический корень из обеих частей уравнения. Если 𝑏 в кубе равно 512, то равно равно восьми. Мы знаем, что это восемь кубов равно 512, что означает, что кубический корень из 512 равен восьми.
При факторинге 𝑎 в кубе минус 𝑏 в кубе, первая пара скобок содержала минус. Это означает, что в нашем примере мы будет 𝑥 минус восемь. Первый член во втором наборе круглые скобки будут возведены в квадрат. Второй член умножается на на 𝑏, что составляет восемь 𝑥. Последний член — 𝑏 в квадрате, что в нашем случае восемь в квадрате, что равно 64. Нас просят найти выражение для 𝑘.Это равно восьми eight. Это значение 𝑎, умноженное на 𝑏.
В следующем вопросе нам понадобится чтобы полностью разложить сумму двух кубов.
Выражение 𝑥 в кубе плюс 27 имеет два фактора. Один множитель равен плюс три. Что еще за фактор?
Напомним, что любое выражение записанная в форме в кубе плюс 𝑏 в кубе, известна как сумма двух кубов. Это можно разделить на два набора скобок: 𝑎 плюс 𝑏, умноженное на в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.В этом вопросе 𝑎 в кубе равно 𝑥 в кубе и 𝑏 в кубе равно 27. Мы можем вычислить значения 𝑎 и 𝑏 путем укоренения куба обеих частей этих уравнений. Это дает нам значения 𝑎 и 𝑏 из и трех соответственно. Теперь мы можем использовать эту информацию для множитель 𝑥 в кубе плюс 27 в два набора круглых скобок.
Первая скобка 𝑎 плюс 𝑏. В нашем вопросе это 𝑥 плюс три. Нам уже сказали в вопрос, что это было одним из факторов.Наш второй набор круглых скобок: равно 𝑎 в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. 𝑎 в квадрате невероятно похож на 𝑥 в квадрате. 𝑎 умноженное на 𝑏 равно три 𝑥, поэтому наш второй член отрицателен три 𝑥. 𝑏 в квадрате равно девяти как три умножить на три — девять. Выражение 𝑥 в кубе плюс 27 может разложить на множители 𝑥 плюс три умножить на 𝑥 в квадрате минус три 𝑥 плюс девять. Это означает, что правильный ответ на вопрос 𝑥 в квадрате минус три 𝑥 плюс девять.Это еще один фактор 𝑥 в кубе плюс 27.
Мы можем проверить этот ответ, раздавая наши скобки. Мы могли умножить 𝑥 в квадрате на минус три 𝑥 плюс девять на 𝑥, а затем умножьте 𝑥 в квадрате минус три 𝑥 плюс девять на три. Когда мы это делаем, все условия отменил бы, за исключением 𝑥 в кубе плюс 27.
Наш следующий вопрос — больше сложная проблема, так как нам нужно сначала выделить самый высокий общий множитель.
Полностью разложить на множители 1,000 в кубе минус 125.
На первый взгляд кажется, что это выражение записывается в виде в кубе минус 𝑏 в кубе, что является разница двух кубиков. Мы знаем, что любое выражение этого тип можно разложить на множители, как показано в двух наборах круглых скобок, умножить 𝑎 минус 𝑏 на 𝑎 в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. Однако, если учесть числа 1000 и 125, мы замечаем, что у них есть самый высокий общий множитель, который больше чем один.Фактически, 1000 и 125 оба делится на 125. Это означает, что мы можем начать это вопрос путем вычитания 125. 1000 делить на 125 равно восемь. Это означает, что 125 умноженное на восемь 𝑥 в кубе равно 1000𝑥 в кубе. 125 делить на 125 равно 1 000𝑥 в кубе минус 125 равно 125, умноженному на восемь 𝑥 в кубе минус один.
Выражение восемь 𝑥 в кубе минус один по-прежнему в форме в кубе минус 𝑏 в кубе, что означает, что это может быть учтены далее.𝑎 в кубе равно восьми 𝑥 в кубе, а 𝑏 в кубе равно единице. Затем мы можем получить кубический корень с обеих сторон эти уравнения для вычисления значений 𝑎 и 𝑏. Кубический корень из восьми равен два. Следовательно, 𝑎 равно двум 𝑥. Кубический корень из единицы равен единице, поэтому 𝑏 равно единице. Теперь мы можем разложить на множители восемь 𝑥 в кубе минус один в наши две круглые скобки.
𝑎 минус 𝑏 равно двум 𝑥 минус один.𝑎 в квадрате равно четырем 𝑥 в квадрате два 𝑥, умноженных на два, получится четыре 𝑥 в квадрате. Умножаем наши значения 𝑎 и 𝑏 дает нам два 𝑥. Наконец, 𝑏 в квадрате равно один. Восемь 𝑥 в кубе минус один, следовательно, равно двум 𝑥 минус один, умноженное на четыре 𝑥 в квадрате плюс два 𝑥 плюс один. Таким образом, мы можем заключить, что полная факторизация 1000 of в кубе минус 125 равно 125, умноженному на два 𝑥 минус один, умноженный на четыре 𝑥 в квадрате плюс два 𝑥 плюс один.
В следующем вопросе нам нужно вычислите сумму двух кубиков, раздавая скобки.
Выполните следующее: Пусто равно 𝑦 плюс 15𝑥, умноженному на в квадрате минус 15𝑦𝑥 плюс 225𝑥 в квадрате.
Наша первая мысль в этом вопросе можно было бы попытаться раздать скобки, чтобы умножить 𝑦 в квадрате минус 15𝑦𝑥 плюс 225𝑥 в квадрате сначала на 𝑦, а затем на 15𝑥. Однако мы можем заметить, что наш выражение записывается в виде 𝑎 плюс 𝑏 умноженное на 𝑎 в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.Это факторизованная форма выражение 𝑎 в кубе плюс 𝑏 в кубе. Это известно как сумма двух кубики. Наше значение 𝑎 равно 𝑦, а наше значение 𝑏 равно 15𝑥.
Мы можем вычислить стоимость 𝑎 в кубе и 𝑏 кубе путем кубирования обеих частей каждого из этих уравнений. Наше первое уравнение дает нам 𝑎 cubed невероятно похож на 𝑦 cubed. Кубики с обеих сторон нашего второго уравнение дает нам 𝑏 в кубе равно 3,375𝑥 в кубе.Это потому, что 15 умножить на 15 умножить на 15 дает 3375. Таким образом, отсутствующий член is в кубе плюс 3375𝑥 в кубе, так как это равно 𝑦 плюс 15𝑥, умноженное на 𝑦 в квадрате минус 15𝑦𝑥 плюс 225𝑥 в квадрате.
Мы получили бы тот же ответ, если бы мы раздали два набора скобок. Все условия были бы отменены за исключением, умноженного на в квадрате, что равно 𝑦 в кубе, и 15𝑥 умножить на 225𝑥 в квадрате, что равно 3375𝑥 в кубе.
В нашем последнем вопросе у нас есть более сложное начальное выражение.
Полностью разложить на множители 𝑥 минус шесть 𝑦 все в кубах минус 216𝑦 куб.
Хотя это может быть не сразу Очевидно, это выражение записывается в виде в кубе минус в кубе. Это разница двух кубики. Мы знаем, что факторизация в кубе минус 𝑏 в кубе равно 𝑎 минус 𝑏, умноженное на 𝑎 в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.Первый член в нашем выражении: 𝑥 минус шесть 𝑦 все в кубах. Это означает, что 𝑎 в кубе равно к этому. Поскольку укоренение куба противоположно кубизируя, мы можем извлечь кубический корень из обеих частей этого уравнения, получив значение 𝑎, равное до 𝑥 минус шесть 𝑦. Наш второй член равен 216𝑦 в кубе; следовательно, 𝑏 в кубе равно этому. Еще раз, мы можем использовать кубический корень как части этого уравнения, давая нам, что равно шести 𝑦, поскольку кубический корень из 216 равен шесть.
Теперь мы можем заменить наши значения 𝑎 и 𝑏 в правую часть формулы. Начнем с минус 𝑏. Это равно 𝑥 минус шесть 𝑦 минус шесть 𝑦. Это упрощается до 𝑥 минус 12𝑦. 𝑎 в квадрате будет равно 𝑥 минус шесть 𝑦 все в квадрате. Это равно 𝑥 минус шесть 𝑦 умножить на 𝑥 минус шесть 𝑦. Распространение наших скобок здесь дает нам в квадрате минус шесть 𝑦𝑥 минус шесть 𝑦𝑥 плюс 36𝑦 в квадрате.Это можно упростить до 𝑥 в квадрате минус 12𝑦𝑥 плюс 36𝑦 в квадрате. 𝑎𝑏 равно 𝑥 минус шесть 𝑦 умножить на шесть 𝑦. Распространение круглых скобок здесь дает нам шесть 𝑦𝑥 минус 36𝑦 в квадрате.
Наконец, в квадрате равно шести 𝑦 все в квадрате. Это равно 36𝑦 в квадрате. Подставляя замену на эти три члена дают нам 𝑥 в квадрате минус 12𝑦𝑥 плюс 36𝑦 в квадрате плюс шесть минус 36𝑦 в квадрате плюс 36𝑦 в квадрате.Это можно упростить до 𝑥 в квадрате минус шесть 𝑦𝑥 плюс 36𝑦 в квадрате. Шесть 𝑦𝑥 — это то же самое, что и шесть 𝑥𝑦. Следовательно, полностью факторизованный форма: минус 12𝑦, умноженное на в квадрате минус шесть 𝑥𝑦 плюс 36𝑦 в квадрате.
Теперь мы резюмируем ключ точки из этого видео. Мы можем факторизовать или разложить сумму на множители двух кубов и разности двух кубов по следующим формулам. в кубе плюс 𝑏 в кубе равно 𝑎 плюс 𝑏, умноженное на 𝑎 в квадрате минус 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате.в кубе минус 𝑏 в кубе на другая рука равна 𝑎 минус 𝑏, умноженному на 𝑎 в квадрате плюс 𝑎𝑏 плюс 𝑏 в квадрате. Перед использованием любого из двух формулы, важно, чтобы мы вычленили наивысший общий делитель двух условия в первую очередь.
.

РубрикаРазное

Формулы суммы и разности кубов: Сумма кубов, формулы и вычисления онлайн

Разность квадратов. Сумма и разность кубов 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Разность и сумма кубов математическая формула. Формулы сокращенного умножения

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство ФСУ

Примеры применения ФСУ

Формулы суммы и разности кубов двух выражений

правила применения формул сокращенного умножения

Применение разности кубов в обратную сторону

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство ФСУ

Примеры применения ФСУ

Презентация на тему «Разложение на множители суммы и разности кубов»

правила применения формул сокращенного умножения

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство ФСУ

Примеры применения ФСУ

Дополнительные формулы

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Презентация на тему: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс

Первый слайд презентации: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс

Слайд 2: вывести формулы суммы и разности кубов; сформировать умение применять их при разложении многочлена на множители

Слайд 3: Устный счет

Слайд 4: Устно:

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7: Найдите кубы следующих одночленов

Слайд 8: Проверь себя

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19: Формулы :

Слайд 20: Разложите на множители

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23: Итоги урока:

Последний слайд презентации: Сумма и разность кубов двух выражений» алгебра 7 класс

4. Сумма и разность кубиков

Пример

Упражнения

Веб-урок — Суммы и различия кубов

Формула суммы / разности кубов

Мистер Математика делает это значимым

Протестируйте

Суммы и разности кубов

Рабочий лист разницы кубов — sumnermuseumdc.org

1. Факторинговая сумма разности кубиков Цветная мозаика Math Easy Worksheet

2. Таблицы соответствия форм для дошкольных учреждений Рабочий лист кубиков различий между упражнениями

3.Вычислить объем куба Формула Практика Видеоурок Расшифровка текста Кубики Различия Рабочий лист

4. Рабочие листы Life Deep Sea. Ответы на ключевые отличия. Рабочий лист

5. Рабочий лист по математике Рабочие листы для печати Ответы Практика Математика Кафе 3 класс Решение задач Таблица умножения Игры Введите кубики разности

6. Рабочий лист кубоидов для определения площади поверхности Кубики для определения различий для учителей

8. Рабочий лист Кубики Помощник по алгебре

10. Рабочий лист решения полиномиальных уравнений Урок по классам Кубики различий между планетами

11. Жесткий мягкий рабочий лист Веселые обучающие кубики на различие

12. Классы Словарь Рабочие листы Математические темы Задачи на замену Рабочий лист Основной детский сад 7-летний класс Распечатать Кубики разницы измерений

13. Таблица различий кубиков ресурсов

14. Рабочий лист кубиков вычисления разницы по математике

16. Заметки для инструктора Модуль 3 Пути подготовки инструкторов Reed Документируют таблицу различий

18. Видео Рабочие листы Canyon College Часть 2 Рабочий лист Факторинга Различия Квадраты Сумма Кубов Документ

Сумма и разность кубов

Видеоурок: сумма и разность двух кубов

Стенограмма видео

Добавить комментарий Отменить ответ