Формулы сокращенного умножения для 4 степени: Формулы сокращенного умножения

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть. До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений.Пятый — для краткого умножения разницы на сумму двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называется выражение в форме a 2 −ab + b 2) и разность двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых есть факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 ) — формула суммы кубиков , а a 3 −b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) — разница между кубиками … Обратите внимание, что мы не назвали FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу формул сокращенного умножения.

Сферы применения формул приведенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в реализации идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно коротко выполнить, имеем 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)… Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y — 1−6 y — 9 y 2 = 3 y — 1−9 л 2.

В числителе выражение — это разность кубиков двух выражений 2 · x и z 2, а в знаменателе — разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид … Теперь вы можете отменить те же множители в числителе и знаменателе :.

Кратко подведем итоги всего решения:

Ответ:

.

Сокращенные формулы умножения иногда позволяют рационально оценивать значения выражений. В качестве примера покажем, как возвести число 79 в квадрат по формуле разности квадратов: 79 2 = (80−1) 2 = 80 2 −2 80 1 + 1 2 = 6400-160 + 1 = 6 241. Такой подход позволяет производить такие расчеты даже устно.

В заключение скажем еще об одном важном преобразовании — выделение квадрата бинома , в основе которого лежит формула приведенного умножения на квадрат суммы.Например, 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в (2 x) 2 + 2 2 x 1 + 1 2 −4, а первые три члена заменяются с использованием квадрата формулы суммы. Таким образом, выражение принимает вид (2 x + 1) 2 −4. Такие преобразования широко используются, например, для.

Список использованной литературы.

• Алгебра: учеб. за 7 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008.- 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.
• А.Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 13 изд., Перераб. — М .: Мнемосина, 2009. — 160 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие. руководство по эксплуатации. — М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.

Плюс в кубической формуле. Возведение куба Сокращенные формулы умножения

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть.До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятый — для краткого умножения разницы на сумму двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называется выражение вида a 2 −ab + b 2) и разность двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 ) — формула суммы кубиков , а a 3 −b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) — разница между кубиками … Обратите внимание, что мы не назвали FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу формул сокращенного умножения.

Сферы применения формул приведенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в реализации идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно коротко выполнить, имеем 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)… Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y — 1−6 y — 9 y 2 = 3 y — 1−9 л 2.

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом. Мы освоили два метода: выведение общего множителя за скобки и группирование. В этом руководстве следующий эффективный способ: сокращенных формул умножения … Короче — FSU.

Сокращенные формулы умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики.Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д. И т. Д. Короче говоря, есть все основания иметь дело с ними. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Понимание?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Равенства 6 и 7 написаны не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи яснее, откуда взялось ФСО.

Они происходят от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто умножаем скобки и даем похожие. Получается всех сокращенных формул умножения. Сокращенное умножение связано с тем, что в самих формулах отсутствует умножение скобок и приведение похожих.Сокращенно.) Результат выдается сразу.

ФСО нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя мечтать о тройке, без остальных — о четверке с буквой А.)

Зачем нужны сокращенные формулы умножения?

Есть две причины учиться, даже запоминать эти формулы. Во-первых, готовый ответ на машине резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй …

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Возведение в степень — это операция, тесно связанная с умножением; эта операция является результатом умножения числа на себя. Представим формулой: a1 * a2 *… * an = an.3 = 8.

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах математики и физики. Эта функция более научна, чем четыре основных: сложение, вычитание, умножение, деление.

Возведение числа в степень

Возведение числа в степень — несложная операция. Это связано с умножением, как отношения между умножением и сложением. Обозначение an — это краткое обозначение n-го числа чисел «a», умноженных друг на друга.3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 … Девять в кубе равняются семистам двадцати девяти.

Формулы возведения в степень

Чтобы правильно возвести в степень, вам необходимо запомнить и знать формулы, перечисленные ниже. 3 = 8.Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть 3 или 4 и до бесконечности любое число, и это число определяет степень квадратного корня, извлеченного из данного числа. Конечно, знаменатель не может быть нулевым.

Возведение корня в степень

Если корень возведен в степень, равную мощности самого корня, то ответом будет радикальное выражение. Например, (√x) 2 = x. И так в любом случае равенство степени корня и степени поднятия корня.2. Чтобы проверить решение, давайте переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, знаменатель равен 2. А если корень возвести в четвертую степень, то в числителе 4. Получаем 4/2 = 2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучше всего. просто преобразуйте выражение в выражение с дробной степенью. Если дробь не отменяется, то такой ответ будет при условии, что корень данного числа не выбран.

Возведение в степень комплексного числа

Что такое комплексное число? Комплексное число — выражение, имеющее формулу a + b * i; а, б — действительные числа.-9 = -5 + 12i.

Запишитесь на курс «Ускорение устного счета, НЕ мысленной арифметики», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат числа и даже корень. За 30 дней вы научитесь использовать простые приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке есть новые приемы, наглядные примеры и полезные задания.

Возведение в степень в Интернете

С помощью нашего калькулятора вы можете рассчитать возведение в степень числа:

Степень возведения в степень 7

Возведение в степень начинается только в седьмом классе.3 = 8.

Примеры решения:

Возведение в степень

Презентация о повышении до степени для семиклассников. Презентация может прояснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, не благодаря нашей статье.

Результат

Мы только что рассмотрели верхушку айсберга, чтобы лучше понимать математику — запишитесь на наш курс: Ускорение вербального счета — НЕ ментальной арифметики.

Из курса вы не только выучите десятки приемов упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, вычисления процентов, но и отработаете их в специальных задачах и обучающих играх! Вербальный счет также требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Сокращенные формулы умножения.

Изучение сокращенных формул умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений; куб суммы и куб разности двух выражений; сумма и разность кубов двух выражений.

Применение сокращенных формул умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, факторизации многочленов и приведения многочленов к стандартной форме используются сокращенные формулы умножения. Сокращенные формулы умножения нужно знать наизусть .

Пусть a, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

a 2 — b 2 = (a -b) (a + b)

4. Сумма куба двух выражений равна кубу первого выражения плюс троекратный квадрат первого выражения и второй плюс трижды первое выражение и квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус троекратный квадрат первого выражения и второй плюс троекратный произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второе выражение.

(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

6. Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражений на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение сокращенных формул умножения при решении примеров.

Пример 1.

Рассчитать

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, получаем

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем

98 2 = (100-2) 2 = 100 2-2 100 2 + 2 2 = 10000-400 + 4 = 9604

Пример 2.

Рассчитать

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получаем

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(x — y) 2 + (x + y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Сокращенные формулы умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a + b )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 \ u003d (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, .А как насчет 8 i ² ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

Аналогично имеем

и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

Более высокие степени i теперь легко найти, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умножить на i ⁴ , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить мощность i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = — i.

Как насчет отрицательной степени и ? Что является обратным для i, то есть i ^–1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = — i. Таким образом, i обратное — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными.

Корни единства.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц сверху. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | w |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

полиномов

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

Предполагаемые знания

Мотивация

Полиномы представляют следующий уровень алгебраической сложности после квадратичных.В самом деле, квадратичный — это многочлен степени 2. Мы можем факторизовать квадратичные выражения, решать квадратные уравнения и графы квадратичных функций, возникает очевидный вопрос,
как это можно сделать с алгебраическими выражениями более высокой степени.

Квадратичный x2 — 5x + 6 множится как (x — 2) (x — 3). Следовательно, уравнение x2 — 5x + 6 = 0
имеет решения x = 2 и x = 3.

Точно так же мы можем разложить на множители кубику x3 — 6×2 + 11x — 6 как (x — 1) (x — 2) (x — 3), что позволяет нам показать, что решения x3 — 6×2 + 11x — 6 = 0 являются х = 1, х = 2 или х = 3.В этом модуле мы увидим, как прийти к этой факторизации.

Полиномы во многих отношениях ведут себя как целые или целые числа. Мы можем складывать, вычитать и умножать два или более многочлена вместе, чтобы получить еще один многочлен. Так же, как мы можем разделить одно целое число на другое, получая частное и остаток, мы можем разделить один многочлен на другой и получить частное и остаток, которые также являются многочленами.

Квадратичное уравнение вида ax2 + bx + c имеет 0, 1 или 2 решения, в зависимости от того, какой дискриминант отрицательный, нулевой или положительный.Количество решений этого уравнения помогло нам построить график квадратичной функции y = ax2 + bx + c. Точно так же информация о корнях полиномиального уравнения позволяет нам дать грубый набросок соответствующей полиномиальной функции.

Помимо того, что полиномы являются интересными по своей сути объектами, они имеют важные приложения в реальном мире. Одно из таких приложений для кодов исправления ошибок обсуждается в Приложении к этому модулю.

Содержимое

Терминология

Многочлен — это такое выражение, как x5 — 2×3 + 8x + 3 или x4 — x2 + 1.Может быть любое количество терминов, но каждый член должен быть кратным целому числу в степени x. Таким образом, 2×3 — x не является многочленом.

Член с наибольшей степенью называется старшим членом, а его коэффициент — старшим коэффициентом. Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называется моническим. Индекс главного члена называется степенью многочлена. Термин, не зависящий от, называется постоянным членом.

Таким образом, x5 — 2×3 + 8x + 3 является моническим многочленом степени 5 с постоянным членом 3, а
x4 — x2 + 1 является немоническим многочленом степени 4 со старшим коэффициентом и постоянным членом 1.

В первом полиноме все коэффициенты являются целыми числами, в то время как второй полином имеет иррациональный коэффициент. По большей части мы будем рассматривать только многочлены первого типа, но многое из того, что следует ниже, одинаково хорошо применимо и ко второму.

Для именования полиномов мы будем использовать обозначение функций, например p (x) или q (x). Таким образом, мы можем записать p (x) = x5 — 2×3 + 8x + 3 или q (x) = x4 — x2 + 1. Это позволяет нам удобно подставлять значения x, когда это необходимо.

Общий многочлен имеет вид

p (x) = тревога — an — 1xn — 1 + … + a1x + a0,

, где 0, а n — целое число. Коэффициенты, как правило, являются действительными числами.

УПРАЖНЕНИЕ 1

Запишите главный член, старший коэффициент, степень и постоянный член приведенного выше общего полинома.

Для полиномов малой степени мы используем следующие имена.

• полином степени 1 называется линейным
• полином степени 2 называется квадратичным
• полином степени 3 называется кубикой
• полином степени 4 называется квартикой
• полином степени 5 называется квинтикой

Многочлен, состоящий только из ненулевой константы, называется постоянным многочленом и имеет степень 0. Многочлен p (x) = 0 называется нулевым многочленом.В нем нет терминов, и поэтому нет ведущего термина. Лучше не определять степень нулевого многочлена. В некоторых книгах его степень обозначается как −1 или −∞.

Сложение, вычитание и умножение многочленов

Чтобы сложить или вычесть два многочлена, мы собираем похожие члены.

Обратите внимание, что мы обычно пишем члены многочлена от наибольшей к наименьшей степени. Иногда это называют стандартной формой многочлена.

Чтобы умножить два полинома, мы умножаем каждый член в первом полиноме на второй полином и собираем похожие члены.

ПРИМЕР

Многочлены P (x), Q (x) и R (x) задаются формулами P (x) = x3 — 2×2 + x — 1, Q (x) = 3×3 — 2×2 и R (x) = −x4 + 2×3 — 3×2. Находят:

а P (x) Q (x) b Q (x) R (x)

Решение

Делящие многочлены

При делении одного целого числа на другое образуется частное и остаток.Таким образом дает 7 остаток 2. Есть разные способы записать этот результат.

• 37 ÷ 5 равно 7 остаток 2
• 37 ÷ 5 = 7
• 37 = 7 × 5 + 2

В выписке 37 ÷ 5 равно 7, остаток 2

• число 5, на которое мы делим, называется делителем
• число 37, на которое мы делим, называется делимым
• число 7 называется частным
• число 2 называется остатком

Ключевым моментом в отношении остатка является то, что он неотрицателен, но строго меньше делителя.Таким образом, используя третье представление, когда мы разделим два целых числа p и d> 0, мы можем написать

p = dq + r, где 0 ≤ r ≤ d.

Если остаток равен нулю, то мы говорим, что d является множителем p.

Эти основные утверждения, касающиеся арифметики, имеют аналоги, когда мы начинаем делить один многочлен на другой. Мы будем использовать ту же терминологию при обсуждении полиномиального деления. Это делается по образцу деления в столбик.

Деление многочлена p (x) на многочлен d (x) также дает частное q (x) и остаток r (x), поэтому мы можем записать

п (х) = d (х) q (х) + г (х).

Ключевой идеей при выполнении деления является продолжение работы с ведущими терминами, как показано в следующем примере.

ПРИМЕР

Мы разделим многочлен p (x) = 5×4 −7×3 + 2x — 4 на многочлен d (x) = x — 2, а затем выразим деление в виде p (x) = d (x) q (x ) + г (х).

Решение

Отсюда 5×4 — 7×3 + 2x — 4 = (x — 2) (5×3 + 3×2 + 6x + 14) + 24. (1)

В этом примере мы видим, что частное q (x) = 5×3 + 3×3 + 6x — 14, а остаток равен r (x) = 24.

Мы можем выполнить частичную проверку, подставив x = 2 в последнюю строку.

Из приведенного выше примера видно, что степень остатка меньше степени делителя, так как в противном случае мы могли бы продолжить деление.Таким образом, в случае линейного множителя остаток будет константой, и мы можем записать его как.

В общем, теперь мы можем написать p (x) = d (x) q (x) + r (x), где r (x) = 0, или, 0 ≤ степень (r (x)) <степень (d (Икс)).

УПРАЖНЕНИЕ 3

Разделите p (x) = 5×4 — 7×3 + 2x — 4 на d (x) = x2 — 2. Выразите результат в виде
p (x) = d (x) q (x) + r (x) где степень r (x) меньше степени d (x).

Обратите внимание, что в этом случае, поскольку делитель имеет степень 2, остаток будет либо равен 0, либо иметь степень не выше 1.

Теорема об остатке

Деление многочленов в длину — громоздкий процесс, и в некоторых случаях нас интересует только остаток. Это не появляется до конца вычислений. Когда мы делим многочлен p (x) на линейный множитель (x — a), мы можем довольно легко найти остаток.

Поскольку делитель линейный, p (x) = (x — a) q (x) + r, где r — постоянная. Подставляя x = a в обе части, получаем r = p (a).

Таким образом, остаток равен полиному, вычисленному при x = a.

Этот удивительный результат называется теоремой об остатке. Мы должны иметь в виду, что он вообще ничего не говорит о частном q (x) и работает только тогда, когда мы делим на линейный множитель (x — a).

УПРАЖНЕНИЕ 4

Полином p (x) = x5 — 7×3 + ax + 1 имеет остаток 13 после деления на x — 1. Найдите значение коэффициента a.

Теорема о факторах

Квадратичное разложение на множители — важный метод, который мы использовали для решения квадратных уравнений.Подобным образом мы хотели бы разработать некоторые методы факторизации многочленов.

Если линейный многочлен (x — a) является множителем многочлена p (x), то мы можем записать
p (x) = q (x) (x — a) и, таким образом, остаток от деления p (x) by (x — a) равно 0.
Используя теорему об остатке, мы доказали:

Теорема

(x — a) является множителем многочлена p (x), если p (a) = 0. Если p (a) ≠ 0, то

(x — a) не является множителем p (x).

Число a, которое дает p (a) = 0, называется нулем многочлена.

Обратите внимание, что, поскольку (x — 2) и (x — 1) являются факторами p (x), то и их произведение равно
(x — 2) (x — 1) = x2 — 3 x + 2. Таким образом, мы могли найти третий множитель путем деления в столбик.
Деление p (x) на x2 — 3x + 2 дает (x — 3) в качестве третьего множителя, и поэтому мы получаем
после факторизации,

p (x) = x3 — 6×2 + 11x — 6 = (x — 1) (x — 2) (x — 3).

Альтернативный метод

Поскольку p (2) = 0 и p (1) = 0, а p (x) имеет степень 3, мы можем записать p (x) = (x — 2) (x — 1) (x — a)

Где a — число, которое предстоит определить.Поскольку p (0) = −6, имеем −2a = −6, поэтому a = 3.

УПРАЖНЕНИЕ 5

Многочлен p (x) = 3×6 — 5×3 + ax2 + bx + 10 делится на x + 1 и x — 2. Найдите значения коэффициентов a и b.

Факторинговые полиномы

Наша цель — взять многочлен с целыми коэффициентами и записать его как произведение многочленов меньшей степени, которые также имеют целые коэффициенты. Этот процесс называется факторингом по целым числам.

Теорема о факторах позволяет нам проверить, имеет ли многочлен p (x) линейный фактор (x — a). Если это так, то мы можем использовать длинное деление, чтобы найти многочлен q (x) такой, что p (x) = (x — a) q (x) и q (x) имеет степень на единицу меньше, чем степень p (x ). Таким образом, мы сможем повторять процесс над q (x) и так далее как можно чаще, чтобы получить полную факторизацию p (x).

Например,

Начнем с полинома p (x) = x3 + 4×2 — 7x — 10.

• Мы систематически ищем один линейный фактор, проверяя числа a = 1, — 1, 2, −2,…, пока не найдем целое значение a такое, что p (a) = 0.

p (1) = −12 ≠ 0, p (−1) = 0, поэтому (x + 1) является множителем.

• Затем мы используем длинное деление, чтобы разделить p (x) на (x + 1), чтобы получить p (x) = (x + 1) (x2 + 3x — 10).

Теперь квадратичная величина q (x) = x2 + 3x — 10 может быть разложена на множители, используя наши знания о квадратиках, как (x + 5) (x — 2), и поэтому полная факторизация p (x) равна

п (х) = (х + 1) (х + 5) (х — 2).

Чтобы помочь нам найти целое число ноль многочлена, мы используем следующий результат.

Теорема

Если многочлен

p (x) = тревога + an − 1xn − 1 +… + a1x + a0

имеет целое число ноль a, тогда a является множителем постоянного члена a0.

Таким образом, в приведенном выше примере единственными возможными целыми нулями являются ± 1, ± 2, ± 5 или ± 10.

УПРАЖНЕНИЕ 6

Объясните, почему приведенная выше теорема верна.

ПРИМЕР

Разложите многочлен p (x) = x4 — 2×3 — 8x + 16 на множители.

Решение

• Нам нужно проверить только положительный и отрицательный множители 16.
  P (1) = 1-2-8 + 16 ≠ 0, поэтому x — 1 не является множителем p (x).
  P (−1) = 1 + 2 + 8 + 16 ≠ 0, поэтому x + 1 не является множителем p (x).
  P (2) = 16-16-16 + 16 = 0, поэтому x — 2 является множителем.
  После деления p (x) на x — 2, p (x) = (x — 2) (x3 — 8)
  
• Пусть Q (x) = x3 — 8.
  x — 1 и x + 1 не являются факторами Q (x), поскольку P (x) = (x — 2) Q (x), и они не являются факторами P (Икс).
  Однако Q (2) = 8-8 = 0, поэтому x — 2 также является множителем Q (x).
  После деления Q (x) на x — 2, Q (x) = (x — 2) (x2 + 2x + 4).
  
• Квадратичный x2 + 2x + 4 не может быть разложен на множители, см. Ниже.
  Следовательно, P (x) = (x — 2) 2 (x2 + 2x + 4) — полная факторизация P (x).

Обратите внимание, что квадратичный x2 + 2x + 4 = (x + 1) 2 + 3 всегда больше или равен 3, следовательно, квадратичный не имеет множителей.

УПРАЖНЕНИЕ 7

Сначала удалите очевидный общий множитель, разложите на множители многочлен
p (x) = 2×5 — 22×4 + 78×3 — 90×2.

Полиномиальные уравнения

Одним из основных методов решения квадратных уравнений был метод факторизации. Точно так же одно из основных приложений факторизации многочленов — решение полиномиальных уравнений.

ПРИМЕР

Решить x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0

Решение

В предыдущем примере мы разложили многочлен
p (x) = x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0 как (x + 1) (x + 5) (x — 2).

Таким образом, уравнение x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0 принимает вид (x + 1) (x + 5) (x — 2) = 0

Поскольку произведение трех факторов равно нулю, мы можем приравнять каждый фактор к нулю, чтобы найти решения. Таким образом, x + 1 = 0 или x — 2 = 0, или x + 5 = 0, что дает x = −1, x = 2 или x = −5.

Примечание: полином p (x) = (x — 1) (x — 2) 2 (x — 4) 3 имеет степень 6, но полиномиальное уравнение (x — 1) (x — 2) 2 (x — 4) 3 = 0 имеет только 3 (различных) решения x = 1 или x = 2 или x = 4.Таким образом, количество (различных) решений может быть меньше степени, но никогда не может превышать степень.

УПРАЖНЕНИЕ 8

Воспользуйтесь факторизацией p (x) = 2×5 — 22×4 + 78×3 −90×2 из приведенного выше упражнения, чтобы решить уравнение 2×5 — 22×4 + 78×3 — 90×2 = 0.

В некоторых ситуациях факторизация приводит к квадратному уравнению без реальных решений или без иррациональных решений. В этом случае нам может потребоваться завершить задачу, используя формулу корней квадратного уравнения.

ПРИМЕР

Решить x4 + 7×3 — 2×2 — 7x + 1 = 0

Решение

Многочлен x4 + 7×3 — 2×2 — 7x + 1 имеет факторизацию (x — 1) (x + 1) (x2 + 7x — 1).

Следовательно, уравнение принимает вид (x — 1) (x + 1) (x2 + 7x — 1) = 0.

Таким образом, решения x = 1, x = −1 и решения x2 + 7x — 1 = 0.

Используя формулу корней квадратного уравнения, b2 — 4ac = 49 + 4 = 53, поэтому квадратичная формула имеет решения
x = и x =.

Следовательно, квартика имеет четыре решения x = 1, −1 и x =.

Обратите внимание, что существуют полиномиальные уравнения с иррациональными корнями, которые нельзя решить с помощью описанной выше процедуры. Например, многочлен p (x) = x5 — 3×3 — 2×2 + 6 множится как
(x2 — 3) (x3 — 2), и поэтому уравнение x5 — 3×3 — 2×2 + 6 = 0 имеет решения, x =, x = — и x =.

В общем, разложение многочленов на целые числа является сложной задачей. Например, многочлен
x3 — 2 не может быть разложен на целые числа, но у него есть одно действительное решение, x =.

Построение полиномиальных функций

Полиномиальная функция — это функция вида y = p (x), где p (x) — полином.

В модуле Квадратичные функции мы увидели, как нарисовать график квадратичного
, указав

• перехватчики
• нахождение вершины.

Вершина — это пример точки поворота.

Для многочленов степени больше 2 поиск точек поворота не является элементарной процедурой и обычно требует использования исчисления:

• Чтобы найти точку пересечения оси y, положим x = 0.
• Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы полагаем y = 0 и решаем соответствующее полиномиальное уравнение, если это возможно.

Возьмем многочлен y = x3 + x2 — 6x = x (x — 2) (x — 3).

Перехват по оси Y равен 0, а пересечение по оси x происходит, когда x (x — 2) (x — 3) = 0, то есть когда x = 0, 2 и 3.

Чтобы получить представление об общей форме кривой, мы можем подставить несколько контрольных точек.

Мы можем представить знак y с помощью диаграммы знаков:

С этой информацией мы можем начать набросок графика y = x (x — 2) (x + 3).

Знаковая диаграмма говорит нам, что график пересекает ось x в точках x = −3, 0 и 2, а также находится ли график выше или ниже оси a с каждой стороны этих точек. Он не сообщает нам максимальное и минимальное значения y между нулями.

Обратите внимание, что если x — большое положительное число, то p (x) также большое и положительное число. Например, если x = 10, то y = 1040. Если x — большое отрицательное число, то p (x) также является большим отрицательным числом. Например, если x = −10, то y = −840.

УПРАЖНЕНИЕ 9

Нарисуйте график y = (x + 2) (x + 1) (x — 1) (x — 2).

Графики многочленов с повторяющимися множителями

Полиномиальные функции, такие как p (x) = 3 (x — 1) 2 (x + 3) 5 (x — 4), которые содержат повторяющиеся множители, требуют особой осторожности.

Если мы рассмотрим, например, размер x4 для различных значений x, мы заметим

• x4 положительно как для положительных, так и для отрицательных значений x
• для значений x от -1 до 1, размер x4 меньше, чем значение x.

Графически это говорит нам, что график y = x4 имеет минимум при x = 0 и что около x = 0 график довольно плоский, но начинает резко увеличиваться при x> 1 и x <−1.

Графики y = x2 и y = x4 показаны для сравнения.

Оба этих графа имеют минимум при x = 0. В случае параболы мы называем это вершиной, но обычно мы не используем это слово для многочленов более высокой степени. Вместо этого мы говорим о поворотной точке и далее классифицируем ее как максимум или минимум.

Каждый из графиков y = −x2 и y = −x4 имеет максимум при x = 0.

Четные степени

То же самое происходит для всех положительных четных степеней x и для четных степеней (x — a). Следовательно, около нуля многочлена, который возникает из множителя с четной степенью, график имеет минимум или максимум и является «плоским» около этого нуля.

Нечетные степени

График y = (x — 2) пересекает ось x в точке x = 2, но не имеет там максимума или минимума.Так как это прямая линия, график в этой точке не плоский, он действительно имеет градиент 45 °. С другой стороны, график y = (x — 2) 3 ведет себя немного иначе при
x = 2. В Далее мы будем считать нечетные степени равными или равными 3.

Поскольку нечетная степень отрицательного числа отрицательна, знаковая диаграмма показывает, что
значения y графика y = x3 меняются от отрицательного к положительному, когда значения x перемещаются от -1 к 1. Как и выше, график квартира возле начала координат.

Отсюда график y = x3 выглядит так:

В начале у нас нет ни максимума, ни минимума. Точка x = 0 называется точкой заражения кривой.

ПРИМЕР

Постройте график y = 2×3 (x — 2) 2.

Решение

График проходит через начало координат и срезает ось x в точках x = 0 и x = 2. При x = 0 график имеет точку перегиба, а при x = 2 — минимум.Знаковая схема есть.

График:

УПРАЖНЕНИЕ 10

Нарисуйте график полиномиальной функции p (x) = (x + 3) 3 (x — 1) 3. (Вы должны обнаружить, что график симметричен относительно x = −1, вы понимаете, почему?)

Ссылки вперед

Основная теорема алгебры

Нули полинома также называют корнями соответствующего полиномиального уравнения.

Полиномиальное уравнение x2− 4 = 0 имеет два целых корня, x = 2, x = −2, а уравнение x2-2 = 0 имеет два действительных корня, x =, x = -. С другой стороны, уравнение x2 + 2 = 0 не имеет действительных корней. Кроме того, уравнение x3 — 1 = 0, которое множится как (x — 1) (x2 + x + 1 = 0), имеет только один действительный корень, поскольку квадратное уравнение x2 + x + 1 = 0 не имеет решений.

Чтобы правильно понять, сколько решений может иметь полиномиальное уравнение, нам нужно ввести комплексные числа.Комплексное число — это число в форме a + ib, где a, b — действительные числа и i2 = — 1. Комплексное число i часто называют мнимым числом. Обратите внимание, что если мы положим b = 0, мы получим действительное число, поэтому комплексные числа содержат набор всех действительных чисел.

Таким образом, хотя уравнение x2 + 1 = 0 не имеет вещественных решений, у него есть два комплексных решения, x = i и x = −i, и многочлен x2 + 1 может быть разложен на множители как (x — i) (x + i).

Великий математик Гаусс (1777–1855) дал первое доказательство следующего удивительного результата, который стал известен как Фундаментальная теорема алгебры.

Теорема

Каждое полиномиальное уравнение степени больше 0 имеет хотя бы одно комплексное решение.

Учитывая этот результат, нетрудно показать, что:

Следствие

Каждое полиномиальное уравнение степени n больше 0 имеет ровно n решений с учетом кратности над комплексными числами.

УПРАЖНЕНИЕ 11

Объясните, как следствие можно вывести из теоремы.

Следовательно, каждый многочлен степени n больше 0 можно разложить на n линейных множителей, используя комплексные числа.

Обратите внимание, что выражение, учитывающее кратность, означает, что при заданном полиномиальном уравнении (x — 2) 3 (x + 1) 2 = 0, например, мы говорим, что корни равны x = 2, 2, 2, −1, −1 . Таким образом, мы говорим, что x = 2 — корень кратности 3, а x = −1 — корень кратности 2. Однако уравнение имеет только два (различных) корня.

точек поворота

Вершина параболы — пример точки поворота.Координата x точки поворота параболы y = ax2 + bx + c задается как x = -. Координаты x точек поворота многочлена не так просто найти и требуют использования дифференциального исчисления, которое изучается в высшей математике.

Корни многочлена

Предположим, что мы можем разложить на множители моническую квадратичную x2 + bx + c как (x — α) (x — β). Раскрывая их, мы видим, что сумма корней α + β равна −b, а произведение корней ab равно c.

Аналогичное упражнение можно выполнить на монических кубиках. То есть, если корни кубики
x3 + bx2 + cx + d равны α, β, γ, то можно показать, что

α + β + γ = −b, αβ + αγ + βγ = c и αβγ = −d,

Эти тождества определяют отношения между корнями многочлена и его коэффициентами.

УПРАЖНЕНИЕ 12

Выведите приведенные выше формулы.

История

Изучение уравнений степени больше двух восходит к арабской математике.Омар Хайям (1048–1141) большую часть своей жизни провел, пытаясь решить различные случаи кубического уравнения. Только в эпоху Возрождения было получено общее решение кубики. Точные детали отрывочны, но итальянский математик Кардано (1501–1576) сумел раскрыть секрет решения кубической формы своего соотечественника Тартальи и включил его в свою работу Ars Magna (Великое искусство), опубликованную в 1545 году.

Кубический

Кардано показал, как привести любое кубическое уравнение к виду x3 + px + c = 0, а затем, сделав замену x = u — v, свести задачу к решению квадратичной.На практике проще положить x = u + v.

УПРАЖНЕНИЕ 13

Положите x = y — в уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0, чтобы показать, что полученное уравнение не содержит членов степени 2.

ПРИМЕР

Решите x3 + 3x — 1 = 0, используя замену x = u + v.

Решение

Переставляя уравнение и подставляя, получаем

(u + v) 3 = −3 (u + v) + 1.

Теперь мы расширяем левую часть и множим 3uv из двух членов, чтобы получить

u3 + v3 + 3uv (u + v) = 1 −3 (u + v).

Приравнивая коэффициенты при (u + v) с обеих сторон и приравнивая оставшиеся члены,
получаем

u3 + v3 = 1, 3uv = −3.

Кубирование второго уравнения дает

u3 + v3 = 1, u3v3 = -1,

На этом этапе у нас есть два числа u3, v3, сумма и произведение которых нам известны.Следовательно,
они будут удовлетворять квадратному уравнению z2 — z — 1 = 0, которое имеет решения z = или
z =. Эти решения представляют числа u3 + v3 в любом порядке, поэтому, взяв кубические корни, мы получим следующее решение исходного уравнения

х = и + v = +.

Это единственное реальное решение уравнения.

УПРАЖНЕНИЕ 14

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы выразить это в десятичной форме, и убедитесь, что оно удовлетворяет исходному уравнению
.

Квартик

Решение общего уравнения четвертой степени было вскоре найдено учеником Кардано и его протеже Феррари. Он открыл метод, позволяющий свести задачу решения
квартики к задаче решения кубики.

В обоих случаях можно выразить решение данного уравнения, используя квадратные и более высокие корни, а также обычные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление). Такой раствор часто называют раствором с использованием радикалов.Решениями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 являются x = и x = -, поэтому квадратное уравнение также может быть решено с использованием радикалов.

Потребовалось несколько сотен лет, прежде чем Абель (1802-1829) и Галуа (1811-1832) осознали, что невозможно найти решение общего уравнения пятой степени или общего уравнения более высокой степени с использованием радикалов. . Очевидно, что некоторые уравнения более высокой степени могут быть решены с использованием радикалов, например x5 — 32 = 0, но в общем случае это невозможно.

Корни многочленов

Хотя работа Кардано была большим прорывом, по-прежнему оставалось много безответных вопросов, касающихся полиномов. В 17 веке Декарт нашел тест, известный как правило знаков Декарта, для определения числа положительных действительных корней многочлена, в то время как Ньютон открыл так называемые тождества Ньютона, которые находят и связывают формулы для суммы k-х степеней корней многочлена. В XVIII и XIX веках великие математики Эйлер, Лагранж, Эйзенштейн и Гаусс еще больше расширили наше понимание полиномов и полиномиальных уравнений.Это привело к развитию того, что сегодня называется современной алгеброй, которая занимается изучением алгебраических структур.

Факторинговые полиномы

Выше мы видели, что когда мы изучаем многочлен, нам нужно указать, какие решения / факторы мы ищем. В частности, предположим, что p (x) — многочлен со степенью больше 0 и действительными коэффициентами

• над комплексными числами p (x) делится на линейные множители
• над действительными числами p (x) имеет все свои множители либо линейные, либо квадратичные
• над рациональными числами, можно найти полиномы сколь угодно большой
  степени, которые являются неприводимыми, то есть они не могут быть выражены как произведение
  двух полиномов с рациональными коэффициентами, каждый меньшей степени.

Основная теорема алгебры используется для доказательства первого из этих утверждений. Чтобы получить второе, нам нужно знать тот факт, что, когда у нас есть многочлен с действительными коэффициентами, любые комплексные корни будут встречаться парами, известными как сопряженные пары. То есть, если a + ib — корень, то a — ib тоже. Этот факт можно использовать для доказательства второго утверждения.

УПРАЖНЕНИЕ 15

(Для этого нужно немного знать комплексные числа.)

Предположим, что все коэффициенты многочлена p (x) = dancingn — an — 1xn — 1 + … + a1x + a0 действительны.

a

Если α = a + ib является решением полиномиального уравнения, p (x) = dancingn — an — 1xn — 1 + … + a1x + a0 = 0, покажите, что = a — ib также является решением.

б

Покажите, что если x — α является множителем p (x), где α = a + ib — комплексное число, то квадратичный (x — α) (x -) также является множителем p (x) и что (x — α) (x -) имеет действительные коэффициенты.

в

Выведите, что каждый многочлен с действительными коэффициентами теоретически может быть разложен на множители как произведение линейных и / или квадратичных множителей с действительными коэффициентами. (Обратите внимание, что на практике это может быть очень сложной задачей.)

Эйзенштейн (ок. 1850 г.) предложил следующий остроумный тест на несводимость многочленов над рациональными числами.

Рассмотрим многочлен p (x) = travelling — an — 1xn — 1 + … + a1x + a0, где все коэффициенты являются целыми числами.Предположим, что мы можем найти простое число p, которое не делит старший коэффициент an, но которое делит все остальные коэффициенты. Тест говорит, что если квадрат того же простого числа не делит константный член, то есть p2 + a0, то p (x) неприводимо по рациональным числам.

ПРИМЕР

Многочлен p (x) = 5×7 + 6×6 — 15x 4 + 12x — 21 удовлетворяет критерию Эйзенштейна с простым p = 3, и поэтому p (x) не может быть выражено как произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами.То есть p (x) неприводимо.

УПРАЖНЕНИЕ 16

Объясните, как построить многочлен сколь угодно большой степени, который нельзя разложить на рациональные числа.

Маклорен серии

В 17-м и 18-м веках математики сделали замечательное открытие, что такие функции, как y = sin x и y = cos x, могут быть выражены с помощью «бесконечных многочленов», то есть многочленов, степени x которых продолжаются бесконечно.Это называется степенным рядом. Так, например,

sin x = x — + — +…,

, где очевидная закономерность продолжается вечно. Обозначение n! (читается как факториал n) — это сокращение от n (n — 1) (n — 2)… 3.2.1. Таким образом 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Эти бесконечные ряды часто называют рядами Маклорена и имеют очень широкое применение как в математике, так и в физике.

На сегодняшний день остаются нерешенными проблемы, связанные с многочленами. В приложении ниже в общих чертах обсуждается замечательное применение полиномов в современных телекоммуникациях.

Приложение

Применение полиномов к кодам, исправляющим ошибки

Оцифровка информации

Информация обычно оцифровывается путем преобразования ее в последовательность нулей и единиц. Например, код ASCII для цифры 1 и буквы A — «1» 1000110 и «A» 1000001. Здесь мы будем предполагать, что все рассматриваемые сообщения представляют собой конечные последовательности нулей и единиц.

Когда ваш мобильный телефон отправляет или принимает сообщения или данные отправляются со спутников в глубоком космосе, информация может быть потеряна или повреждена по пути к месту назначения.

Поскольку информация отправляется как последовательности из 0 и 1, «поврежденный» 0 становится 1 и наоборот.

Простая проверка на наличие ошибок — это добавить контрольную цифру, чтобы в строке было четное число единиц и, следовательно, сумма цифр была четной.

Таким образом, мы кодируем 1 как 10001101 и A как 10000010.

Теперь, если байт передан и один из битов поврежден, то количество единиц становится нечетным, и поэтому получатель может запросить повторную передачу.

Этот код может обнаружить одну ошибку, но не может ее исправить.

Многочлены по модулю 2

Полином по модулю 2 — это полином, коэффициенты которого равны 0 или 1. Затем арифметические операции выполняются по модулю 2, так что 0 + 1 = 1 + 0 = 1 и 1 + 1 = 2 = 0.

Производим сложение по модулю 2.

ПРИМЕР

Если p (t) = t3 + 1 + 1, q (t) = t4 + t3 + t2 + 1

Тогда p (t) + q (t) = t4 + 2t3 + t2 + 2t + 2 = t4 + t2.

Умножение производится аналогично.

Решение

p (t) = t3 + 1 + 1, q (t) = t + 1, тогда

p (t) × q (t) = (t3 + t + 1) (t + 1) = t4 + t3 + t2 + 2t + 1 = t4 + t3 + t2 + 1

Кодирование

Теперь зафиксируем многочлен m1 (t) = t3 + t + 1.

Этот многочлен не может быть разложен на множители по модулю 2, поскольку единственные возможные корни — это 0 и 1, и ни один из них не работает.

Предположим теперь, что многочлен m1 (t) имеет корень a. То есть, a обладает тем свойством, что
α3 + α + 1 = 0 или α3 = α + 1 (напомним, что по модулю 2, −1 = 1)

Это число α очень интересно, и, используя приведенное выше уравнение, мы можем составить таблицу его степеней.

Мощность | Упрощенная форма

Например, чтобы получить α5, мы умножаем α4 = α2 + α на α5 = α3 + α2 и заменяем α3 на α + 1, чтобы получить α5 = α + 1 + α2.

Таким образом, мы можем записать все степени α как комбинации 1, α и α2 (!!)

Теперь о кодах.

Мы начинаем с сообщения (a, b, c, d) в двоичном формате длиной 4, добавляем 3 контрольных цифры, чтобы получить
(a, b, c, d, x, y, z). Мы используем их как коэффициенты многочлена

p (t) = at6 + bt5 + ct4 + dt3 + xt2 + yt + z.

Цифры x, y, z выбраны так, чтобы p (t) делилось на многочлен m1 (t) = t3 + t + 1

Поскольку a является корнем m1 (t), он также является корнем p (t), и поэтому p (a) = 0.

ПРИМЕР

Возьмите сообщение (1, 0, 0, 1) и закодируйте его как (1, 0, 0, 1, x, y, z). Преобразуя в полином, получаем

Теперь, если мы возьмем x = 1, y = 1, z = 0, тогда p (a) будет равно нулю.Следовательно, мы кодируем сообщение
(1, 0, 0, 1) как (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0). Мы будем называть многочлен, соответствующий отправленному сообщению, C (t), поэтому C (a) = 0.

Исправление ошибок

Предположим, что одна ошибка возникает в пятом числе слева, поэтому мы получаем сообщение (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0).

Таким образом, коэффициент t4 неверен и полином для полученного сообщения равен

R (t) = C (t) + t4

Подставляя t = α, получаем

R (α) = C (α) + α4 = α4

и поэтому мы знаем, где ошибка.

В общем, если бы была ровно одна ошибка в -ой цифре, мы получили бы

R (t) = C (t) + ti.

Тогда R (α) = C (α) + αi = αi, и поэтому вычисление R (a) дает позицию неправильной цифры.

Если R (α) = 0, то ошибок не было. Этот процесс, конечно, предполагает, что произошло не более 1
ошибки.

ПРИМЕР

Предполагая, что не более одной ошибки, исправьте и расшифруйте сообщение (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1).

Решение

Преобразуя в полиномы, получаем

R (t) = t6 + t3 + 1

и т. Д.

R (α) = α6 + α3 + 1 = α2 + 1 + α + 1 + 1 = α2 + α + 1 = α5

Итак, исправленное сообщение было (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1), которое декодируется как (1, 1, 0, 1).

Исправление более одной ошибки

Процедура кодирования и исправления, описанная выше, работает только в том случае, если при передаче возникла не более одной ошибки.

Полиномиальный метод может быть расширен для обнаружения и исправления более чем одной ошибки.
Детали этих кодов немного сложнее, но в них используются те же идеи, которые были развиты выше.

Коды, используемые для исправления множественных ошибок, называются кодами BCH и были открыты (независимо) Бозом и Чаудхури (в 1960 г.) и Хоккенгемом (в 1959 г.) — отсюда и название BCH.

В то время как арифметика теперь становится очень сложной, она легко выполняется компьютером, и можно создавать коды, которые могут обнаруживать и исправлять произвольное количество ошибок.

Современные коды исправления ошибок, используемые в технологии мобильных телефонов, снова более сложны, но в основном используют те виды оборудования, которые я описал выше.

В последнее время коды Рида-Соломона, которые представляют собой тип кода BCH, использовались в таких приложениях, как спутниковая связь, проигрыватели компакт-дисков, DVD-диски и дисководы.

ОТВЕТОВ НА УПРАЖНЕНИЯ

УПРАЖНЕНИЕ 1

Ведущий термин: тревога

Ведущий коэффициент:

Степень: n

Постоянный член: a0

УПРАЖНЕНИЕ 2

а 4×6 — 4×4 + 4×3 + x2 — 2x + 1

b i….сумма степеней полиномов

ii… произведение констант

УПРАЖНЕНИЕ 3

5×4 — 7×3 + 2x — 4 = (x2 — 2) (5×2 — 7x + 10) + (−12x + 16)

УПРАЖНЕНИЕ 4

а = 18

УПРАЖНЕНИЕ 5

a = -33 и b = -15

УПРАЖНЕНИЕ 6

Если P (a) = 0, то a0 = — anan — an − 1an − 1…. − A1a. Следовательно, a делит a0.

УПРАЖНЕНИЕ 7

2×2 (х — 3) 2 (х — 5)

УПРАЖНЕНИЕ 8

x = 0 или x = 3 или x = 5

УПРАЖНЕНИЕ 9

УПРАЖНЕНИЕ 10

УПРАЖНЕНИЕ 11

Для полиномиального уравнения P (x) = 0 существует решение x = a по теореме.Следовательно, x — a является фактором P (x) и P (x) = (x — a) Q (x). Уравнение Q (x) = 0 также имеет решение, поэтому с помощью теоремы можно найти новый линейный множитель.

УПРАЖНЕНИЕ 12

(x — α) (x — β) (x — γ) = x3 — (α + β + γ) x2 + (αβ + αγ + βγ) x + αβγ = x3 + bx2 + cx + d

Следовательно, результат b = — (α + β + γ), c = (αβ + αγ + βγ) и d = αβγ

УПРАЖНЕНИЕ 13

y3 — + — + d

УПРАЖНЕНИЕ 14

a

Возьмите конъюгаты с обеих сторон.Сопряжение с действительным — это то же самое, что и реальное.

б

Непосредственное следствие a и теоремы о факторах, а также того факта, что сумма и произведение комплексного числа и его сопряженного действительны.

в

Основная теорема и b дает результат

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Непортированная лицензия.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Почему учителям математики пора убирать BODMAS

Что означает BODMAS?

Акроним BODMAS означает скобки, порядки, деление, умножение, сложение, вычитание.

Иногда его называют BIDMAS (с «индексами» вместо «заказов») или правилом PEMDAS в Америке (с «круглыми скобками» и «экспонентами»).

Правило BODMAS

Это математическое правило диктует правильный порядок операций, которым нужно следовать, когда вы отвечаете на вопрос с математическим числовым предложением с различными операциями.

Первый шаг — сделать что-нибудь в скобках, затем заказать следующие (например, извлекать квадратный корень или индексы). Деление и умножение находятся на одном уровне, что означает, что им дается равный приоритет, и они должны выполняться слева направо, а не все деление, а затем все умножение. Точно так же сложение и вычитание находятся на одном уровне и должны выполняться слева направо.

Я начал свою педагогическую карьеру в средней школе. Молодой, нетренированный и еще не лысеющий, я попал на самый крутой этап обучения в моей жизни.

Еженедельные встречи с моим руководителем отдела были жизненно важны для обсуждения педагогики, и я строго придерживался его инструкций: «Никогда не сокращайте совокупную частоту», «Мы всегда подбрасываем монеты и получаем решку, мы никогда не подбрасываем монеты и не получаем орла», и что очень важно. , «Мы никогда, никогда не используем БОДМЫ».

Отказаться от использования BODMAS оказалось труднее, чем вы думаете.Приехали студенты, хорошо разбирающиеся в его применении.

Нам пришлось учить и . Нам приходилось убеждать комнаты, заполненные подростками, в том, что они должны изменить основные принципы своей арифметической системы убеждений. Это было сложно, потому что подростки ненавидят перемены и ненавидят прозелитизм взрослых.

Так зачем нам вообще беспокоиться? Что убедило весь отдел в том, что нужно приложить столько усилий для решения такого, казалось бы, тривиального вопроса?

BODMAS ошибочен.Это то что.

Неправильный ответ

Буквы обозначают скобки, порядок (что означает степень), деление, умножение, сложение, вычитание. Таким образом, предполагается, что в этой последовательности происходит упрощение любого данного математического выражения.

Например, чтобы оценить 3 + (3 + 3) ³ ÷ 3 — 3 x 3 , мы действуем в указанном выше порядке:

Это был бы действительно полезный алгоритм, если бы он работал в любой ситуации, но рассмотрим гораздо более простое выражение 1-2 + 4 .Он не содержит скобок, степеней, деления или умножения, поэтому мы будем следовать BODMAS и выполнять сложение с последующим вычитанием:

Это ошибочно. Правильное значение — 3. BODMAS подвел нас. Позор БОДМАМ!

Математические задачи

У нас не может быть волшебной мнемоники, которая не работает все время; Предположим, он решил не работать в важный момент. Представьте, что вы пытаетесь объяснить своему ученику, что причина, по которой он потерял оценку на экзамене, заключалась в том, что то, что вы сказали ему, всегда работает, на самом деле не срабатывает во всех случаях, и, фактически, один из таких случаев произошел в тот документ GCSE.

Это не новая проблема. Я не первый, кто об этом пишет. Даже Википедия решает эту проблему и предлагает некоторые альтернативы. Студенты любят Википедию! Так почему же BODMAS все еще актуален?

В Хайгейте вокруг него было такое клеймо, что некоторые партии высмеивали меня более десяти лет после того, как мой коллега пережил обмен в классе, который проходил примерно так:

Учитель: Как нам упростить это выражение?
Ученик: БОДМАС, сэр.
Учитель: Мы здесь не используем БОДМЫ.
Студент: Но вот чему мистер Элтон научил нас в прошлом году, сэр.

После этого мне несправедливо присвоили прозвище «БОДМАС», которое преследовало меня повсюду. У меня не было защиты; Заявление подал платный студент, так что оно должно быть правдой. По крайней мере, один человек (он знает, кто он) все еще называет меня БОДМАСом чаще, чем он использует мое настоящее имя.

Несмотря на то, что я абсолютно не виновен в том, что запятнал умы невинных студентов, я чувствую себя обязанным исправить положение, поэтому я использую эту платформу именно так.Считайте это общественными работами.

Правильный ответ

Однако нет смысла бить БОДМАС, не предлагая альтернативы. Проиллюстрированная выше ошибка вызвана тем фактом, что сложение и вычитание не обязательно должны происходить в таком порядке. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется суммой, и мы должны работать слева направо:

Точно так же деление не более важно, чем умножение. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется продуктом, и мы снова будем работать слева направо:

У нас теперь такой порядок: скобки, порядок, продукты, суммы.

Это дает нам BOPS, который на целый слог короче, чем BODMAS, и имеет значительное преимущество в том, что он надежен.

Я уверен, что если бы кто-то предложил BOPS раньше BODMAS, то последний был бы предан безвестности. Даже сейчас еще не поздно избавиться от двусложных арифметических сокращений.

Я призываю своих коллег по всему миру запретить BIDMAS и очистить PEMDAS. Не оставляйте от них никаких следов. Позвольте BOPS нанести победный удар молодым математикам во всем мире.

Оуэн Элтон — учитель математики, автор / исполнитель глупых песен и автор математических минут. Вы можете следить за ним в Твиттере по адресу @owenelton.