Формулы сокращ умножения – Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Содержание

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

 

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения
  1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
  2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
  3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
  6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левы

zaochnik.com

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений — многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке — представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a

и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на

x, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4², применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

.

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4². Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

.

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:


А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)
Решение:


Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:


Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)^2-12x-1= \)

               

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…

\(=1+10x+25x^2-12x-1=\)

 

…и приведем подобные слагаемые.

\(=25x^2-2x\)

 

Готово.

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)

               

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=(368+132)^2=\)

 

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

\(=(500)^2=250 000.\)

 

Готово.

Ответ: \(250 000\).

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение:

\((2a-3)^2-4(a^2-a)=\)

               

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.

\(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:


Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями

Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\)

               

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)

 

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

\(=x+3\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\).
Решение:

\(25x^4-m^{10} t^6\)

               

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\)

 

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\)

 

Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) .
Решение:

\(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\)\(=\)

               

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

\(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

\(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

\(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Скачать статью

cos-cos.ru

Формулы сокращенного умножения

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а2 — b2 = (а — b)(a + b)

Разберем для наглядности:

222 — 42 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
2 — 4b2c2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b)2 = a2 +2ab + b2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
1122 = (100+12)2
3) Применяя формулу, получаем:
1122 = (100+12)2 = 1002 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b)2 = а2 — 2аb + b2

где (а — b)2 равняется (b — а)2. В доказательство чему, (а-b)2 = а2-2аb+b2 = b2-2аb + а2 = (b-а)2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b)3 = а3 — 3а2b + 3аb2 — b3

Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а3 + b3 = (а+b)(а2-аb+b2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.


а3 — b3 = (а-b)(а2+аb+b2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Формулы сокращенного умножения | Cubens

Основные законы алгебры

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность.

Куб суммы двух чисел равен кубовые первого числа плюс утроенный квадрат произведение первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

Куб разности равна кубовые первого числа минус утроен произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго и минус куб второго числа.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы этих чисел.

Квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов всех слагаемых плюс все удвоенные произведения каждого выражения на каждый следующий.

Правила раскрытия скобок

  1. Умножение одночлена на многочлен
  2. Умножение многочлена на многочлен
  3. Вынесение общего многочлена за скобки
  4. Метод группировки
  5. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Разложение алгебраических выражений на множители.

Квадратный трехчлен

Разность двух чисел n-ой степени

Разность двух чисел четвертой степени

Разность двух чисел пятого степеня

Для нечетных натуральных n

Бином Ньютона

где коэффициенты этого разложения можно взять из треугольника Паскаля.

cubens.com